↑

Properties

Label 40.40.6155827634...9073.1
Degree $40$
Signature $[40, 0]$
Discriminant $17^{35}\cdot 31^{32}$
Root discriminant $186.09$
Ramified primes $17, 31$
Class number $1$ (GRH)
Class group Trivial (GRH)
Galois group $C_{40}$ (as 40T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![3549191, -321122038, 3946372271, -12058221917, -35257572669, 275605157518, -417886545699, -661006520620, 2592852169237, -1217776950271, -4661863412887, 6091228711870, 2547146818876, -8923437470982, 2118390327104, 6581725976666, -4160499417738, -2528331564584, 2956877035321, 298800505505, -1207693270676, 171991889278, 309638493767, -98463886324, -49823950670, 25441334676, 4527382403, -4020136266, -99144751, 414369326, -27292390, -28126532, 3593237, 1232961, -217189, -33175, 7311, 491, -132, -3, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 3*x^39 - 132*x^38 + 491*x^37 + 7311*x^36 - 33175*x^35 - 217189*x^34 + 1232961*x^33 + 3593237*x^32 - 28126532*x^31 - 27292390*x^30 + 414369326*x^29 - 99144751*x^28 - 4020136266*x^27 + 4527382403*x^26 + 25441334676*x^25 - 49823950670*x^24 - 98463886324*x^23 + 309638493767*x^22 + 171991889278*x^21 - 1207693270676*x^20 + 298800505505*x^19 + 2956877035321*x^18 - 2528331564584*x^17 - 4160499417738*x^16 + 6581725976666*x^15 + 2118390327104*x^14 - 8923437470982*x^13 + 2547146818876*x^12 + 6091228711870*x^11 - 4661863412887*x^10 - 1217776950271*x^9 + 2592852169237*x^8 - 661006520620*x^7 - 417886545699*x^6 + 275605157518*x^5 - 35257572669*x^4 - 12058221917*x^3 + 3946372271*x^2 - 321122038*x + 3549191)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - 3*x^39 - 132*x^38 + 491*x^37 + 7311*x^36 - 33175*x^35 - 217189*x^34 + 1232961*x^33 + 3593237*x^32 - 28126532*x^31 - 27292390*x^30 + 414369326*x^29 - 99144751*x^28 - 4020136266*x^27 + 4527382403*x^26 + 25441334676*x^25 - 49823950670*x^24 - 98463886324*x^23 + 309638493767*x^22 + 171991889278*x^21 - 1207693270676*x^20 + 298800505505*x^19 + 2956877035321*x^18 - 2528331564584*x^17 - 4160499417738*x^16 + 6581725976666*x^15 + 2118390327104*x^14 - 8923437470982*x^13 + 2547146818876*x^12 + 6091228711870*x^11 - 4661863412887*x^10 - 1217776950271*x^9 + 2592852169237*x^8 - 661006520620*x^7 - 417886545699*x^6 + 275605157518*x^5 - 35257572669*x^4 - 12058221917*x^3 + 3946372271*x^2 - 321122038*x + 3549191, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - 3 x^{39} - 132 x^{38} + 491 x^{37} + 7311 x^{36} - 33175 x^{35} - 217189 x^{34} + 1232961 x^{33} + 3593237 x^{32} - 28126532 x^{31} - 27292390 x^{30} + 414369326 x^{29} - 99144751 x^{28} - 4020136266 x^{27} + 4527382403 x^{26} + 25441334676 x^{25} - 49823950670 x^{24} - 98463886324 x^{23} + 309638493767 x^{22} + 171991889278 x^{21} - 1207693270676 x^{20} + 298800505505 x^{19} + 2956877035321 x^{18} - 2528331564584 x^{17} - 4160499417738 x^{16} + 6581725976666 x^{15} + 2118390327104 x^{14} - 8923437470982 x^{13} + 2547146818876 x^{12} + 6091228711870 x^{11} - 4661863412887 x^{10} - 1217776950271 x^{9} + 2592852169237 x^{8} - 661006520620 x^{7} - 417886545699 x^{6} + 275605157518 x^{5} - 35257572669 x^{4} - 12058221917 x^{3} + 3946372271 x^{2} - 321122038 x + 3549191 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[40, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(6155827634730144286356794433547991992654838673155704504735108092752401416206521723841569073=17^{35}\cdot 31^{32}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $186.09$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $17, 31$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(527=17\cdot 31\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{527}(256,·)$, $\chi_{527}(1,·)$, $\chi_{527}(2,·)$, $\chi_{527}(4,·)$, $\chi_{527}(8,·)$, $\chi_{527}(128,·)$, $\chi_{527}(140,·)$, $\chi_{527}(66,·)$, $\chi_{527}(16,·)$, $\chi_{527}(404,·)$, $\chi_{527}(512,·)$, $\chi_{527}(407,·)$, $\chi_{527}(280,·)$, $\chi_{527}(132,·)$, $\chi_{527}(157,·)$, $\chi_{527}(287,·)$, $\chi_{527}(32,·)$, $\chi_{527}(33,·)$, $\chi_{527}(35,·)$, $\chi_{527}(171,·)$, $\chi_{527}(47,·)$, $\chi_{527}(264,·)$, $\chi_{527}(438,·)$, $\chi_{527}(314,·)$, $\chi_{527}(188,·)$, $\chi_{527}(64,·)$, $\chi_{527}(450,·)$, $\chi_{527}(70,·)$, $\chi_{527}(202,·)$, $\chi_{527}(467,·)$, $\chi_{527}(342,·)$, $\chi_{527}(219,·)$, $\chi_{527}(349,·)$, $\chi_{527}(94,·)$, $\chi_{527}(225,·)$, $\chi_{527}(101,·)$, $\chi_{527}(497,·)$, $\chi_{527}(373,·)$, $\chi_{527}(376,·)$, $\chi_{527}(281,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $\frac{1}{335} a^{32} + \frac{27}{67} a^{31} - \frac{91}{335} a^{30} + \frac{81}{335} a^{29} - \frac{142}{335} a^{28} - \frac{7}{67} a^{27} + \frac{8}{335} a^{26} - \frac{103}{335} a^{25} - \frac{129}{335} a^{24} + \frac{46}{335} a^{23} + \frac{41}{335} a^{22} + \frac{163}{335} a^{21} - \frac{32}{67} a^{20} + \frac{163}{335} a^{19} + \frac{116}{335} a^{18} + \frac{43}{335} a^{17} - \frac{27}{335} a^{16} - \frac{17}{335} a^{15} - \frac{132}{335} a^{14} + \frac{109}{335} a^{13} + \frac{41}{335} a^{12} - \frac{137}{335} a^{11} - \frac{154}{335} a^{10} + \frac{149}{335} a^{9} - \frac{119}{335} a^{8} - \frac{27}{67} a^{7} + \frac{26}{67} a^{6} - \frac{4}{67} a^{5} - \frac{17}{67} a^{4} - \frac{53}{335} a^{3} - \frac{8}{335} a^{2} + \frac{8}{67} a - \frac{1}{5}$, $\frac{1}{335} a^{33} + \frac{109}{335} a^{31} - \frac{29}{335} a^{30} - \frac{22}{335} a^{29} + \frac{8}{67} a^{28} + \frac{43}{335} a^{27} + \frac{157}{335} a^{26} + \frac{41}{335} a^{25} + \frac{41}{335} a^{24} - \frac{139}{335} a^{23} - \frac{12}{335} a^{22} - \frac{11}{67} a^{21} - \frac{12}{335} a^{20} - \frac{114}{335} a^{19} + \frac{128}{335} a^{18} - \frac{137}{335} a^{17} - \frac{57}{335} a^{16} + \frac{153}{335} a^{15} - \frac{161}{335} a^{14} + \frac{66}{335} a^{13} + \frac{23}{335} a^{12} - \frac{84}{335} a^{11} - \frac{166}{335} a^{10} - \frac{2}{5} a^{9} - \frac{30}{67} a^{8} - \frac{14}{67} a^{7} - \frac{30}{67} a^{6} - \frac{13}{67} a^{5} + \frac{32}{335} a^{4} + \frac{112}{335} a^{3} + \frac{23}{67} a^{2} - \frac{107}{335} a$, $\frac{1}{335} a^{34} - \frac{4}{335} a^{31} - \frac{153}{335} a^{30} - \frac{79}{335} a^{29} + \frac{111}{335} a^{28} - \frac{48}{335} a^{27} - \frac{161}{335} a^{26} - \frac{122}{335} a^{25} - \frac{148}{335} a^{24} - \frac{1}{335} a^{23} + \frac{166}{335} a^{22} - \frac{24}{335} a^{21} - \frac{94}{335} a^{20} + \frac{116}{335} a^{19} - \frac{51}{335} a^{18} - \frac{54}{335} a^{17} + \frac{81}{335} a^{16} + \frac{17}{335} a^{15} + \frac{49}{335} a^{14} - \frac{133}{335} a^{13} + \frac{137}{335} a^{12} + \frac{27}{335} a^{11} - \frac{98}{335} a^{10} + \frac{24}{335} a^{9} - \frac{164}{335} a^{8} + \frac{32}{67} a^{7} - \frac{33}{67} a^{6} - \frac{133}{335} a^{5} - \frac{3}{335} a^{4} - \frac{138}{335} a^{3} + \frac{19}{67} a^{2} - \frac{1}{67} a - \frac{1}{5}$, $\frac{1}{335} a^{35} + \frac{52}{335} a^{31} - \frac{108}{335} a^{30} + \frac{20}{67} a^{29} + \frac{54}{335} a^{28} + \frac{34}{335} a^{27} - \frac{18}{67} a^{26} + \frac{22}{67} a^{25} + \frac{153}{335} a^{24} + \frac{3}{67} a^{23} + \frac{28}{67} a^{22} - \frac{112}{335} a^{21} + \frac{146}{335} a^{20} - \frac{69}{335} a^{19} + \frac{15}{67} a^{18} - \frac{82}{335} a^{17} - \frac{91}{335} a^{16} - \frac{19}{335} a^{15} + \frac{9}{335} a^{14} - \frac{97}{335} a^{13} - \frac{144}{335} a^{12} + \frac{24}{335} a^{11} + \frac{78}{335} a^{10} + \frac{97}{335} a^{9} + \frac{19}{335} a^{8} - \frac{7}{67} a^{7} + \frac{52}{335} a^{6} - \frac{83}{335} a^{5} - \frac{143}{335} a^{4} - \frac{117}{335} a^{3} - \frac{37}{335} a^{2} + \frac{93}{335} a + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{335} a^{36} - \frac{93}{335} a^{31} + \frac{142}{335} a^{30} - \frac{138}{335} a^{29} + \frac{48}{335} a^{28} + \frac{11}{67} a^{27} + \frac{29}{335} a^{26} + \frac{149}{335} a^{25} + \frac{23}{335} a^{24} + \frac{93}{335} a^{23} + \frac{101}{335} a^{22} + \frac{9}{67} a^{21} - \frac{124}{335} a^{20} - \frac{26}{335} a^{19} - \frac{84}{335} a^{18} + \frac{18}{335} a^{17} + \frac{9}{67} a^{16} - \frac{112}{335} a^{15} + \frac{1}{5} a^{14} - \frac{117}{335} a^{13} - \frac{98}{335} a^{12} + \frac{167}{335} a^{11} + \frac{13}{67} a^{10} - \frac{24}{335} a^{9} + \frac{123}{335} a^{8} + \frac{37}{335} a^{7} - \frac{143}{335} a^{6} - \frac{108}{335} a^{5} - \frac{52}{335} a^{4} + \frac{39}{335} a^{3} - \frac{161}{335} a^{2} - \frac{3}{335} a + \frac{2}{5}$, $\frac{1}{335} a^{37} - \frac{33}{335} a^{31} + \frac{109}{335} a^{30} - \frac{124}{335} a^{29} - \frac{86}{335} a^{28} + \frac{124}{335} a^{27} - \frac{112}{335} a^{26} + \frac{159}{335} a^{25} + \frac{156}{335} a^{24} + \frac{24}{335} a^{23} - \frac{162}{335} a^{22} - \frac{8}{67} a^{21} - \frac{166}{335} a^{20} + \frac{86}{335} a^{18} + \frac{24}{335} a^{17} + \frac{57}{335} a^{16} + \frac{161}{335} a^{15} + \frac{2}{335} a^{14} - \frac{11}{335} a^{13} - \frac{8}{67} a^{12} + \frac{54}{335} a^{11} + \frac{59}{335} a^{10} - \frac{18}{67} a^{9} + \frac{5}{67} a^{8} + \frac{32}{335} a^{7} - \frac{78}{335} a^{6} + \frac{98}{335} a^{5} - \frac{161}{335} a^{4} - \frac{13}{67} a^{3} - \frac{77}{335} a^{2} - \frac{166}{335} a + \frac{2}{5}$, $\frac{1}{178310785} a^{38} + \frac{181323}{178310785} a^{37} - \frac{164851}{178310785} a^{36} + \frac{113538}{178310785} a^{35} - \frac{167687}{178310785} a^{34} + \frac{31744}{178310785} a^{33} - \frac{230489}{178310785} a^{32} + \frac{88252273}{178310785} a^{31} - \frac{54005442}{178310785} a^{30} + \frac{47535529}{178310785} a^{29} - \frac{15190094}{35662157} a^{28} - \frac{6013699}{35662157} a^{27} + \frac{60009926}{178310785} a^{26} + \frac{15023369}{35662157} a^{25} - \frac{43340608}{178310785} a^{24} + \frac{25907717}{178310785} a^{23} - \frac{17067623}{178310785} a^{22} + \frac{84847873}{178310785} a^{21} - \frac{83181166}{178310785} a^{20} - \frac{9648431}{178310785} a^{19} + \frac{87381139}{178310785} a^{18} + \frac{38215717}{178310785} a^{17} - \frac{86249684}{178310785} a^{16} - \frac{4579149}{35662157} a^{15} + \frac{3076686}{35662157} a^{14} - \frac{28301226}{178310785} a^{13} - \frac{56205218}{178310785} a^{12} + \frac{16891168}{178310785} a^{11} + \frac{65997257}{178310785} a^{10} - \frac{63385513}{178310785} a^{9} + \frac{53376233}{178310785} a^{8} - \frac{53203859}{178310785} a^{7} - \frac{1861417}{178310785} a^{6} + \frac{38002893}{178310785} a^{5} + \frac{39305784}{178310785} a^{4} - \frac{4261088}{35662157} a^{3} - \frac{6090719}{178310785} a^{2} + \frac{14352747}{35662157} a - \frac{66706}{532271}$, $\frac{1}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{39} + \frac{420112296623608765155043677376138600724659384098641208435120672683047871913267981517309370243299025526974296011834423808547026621894522284062000506704449716481423800362702775012}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{38} - \frac{39237632447505671161811768579108839763858276995483320075678711960615140322084684020151706770387296265076393071698280865589353067799821267351411007649491650479114387620375782876238742}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{37} + \frac{68748657498924745376281840875548499816591238818629163577769294176769727282111829426734019244524197129363648184608088058071600119984820811449475624892443368025929044407492834335695174}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{36} + \frac{198853069050154961394062659844600046464081321174445743549466106228239538356217835257270117919288952390442088121625315292871946351873562023038823450680634985723745553791396138091948371}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{35} + \frac{23743944792729513341738680093215386579138970771503374304827206134064303848784866247948066649272796083430117306624079051278689615767242706083852803519498601930808739810503028860334873}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{34} - \frac{258509693271743674242371345413996815001783088325809262574615703567102748344561596369270225709374157028906591383695509844700780819713529093546404477398604325468193802984880050647105008}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{33} - \frac{120815785083451578243288048284930542747246846879552250713398505468498338211602167046421452067349814212785758932831414359678214741444234352381790035414510438877064431846071145122677003}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{32} - \frac{64030575730509828284188644854849676830995740480065278915147460741837875816005012462312699826634712412067199884056182787086721185025694643980019122239007178365168522354095741620850137047}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{31} - \frac{2574277648829724224394093829458165982114511771890365028887451534368843701723238205430596499374647126910766683068542225582563585296199903428630654528804183763508566479082849961554189871}{36943509850323824586102468862471215428166323959045598237012372884159817415483484231171202228714638658426533467152380269778607992182326694711069558315698211468296393108416929333088474301} a^{30} + \frac{4311707294791201186966309609911250765877373040808158845275201982474832300306911947368290565862010344525294750083389418418266108441988667064835393548837612615944299973431687396814122100}{36943509850323824586102468862471215428166323959045598237012372884159817415483484231171202228714638658426533467152380269778607992182326694711069558315698211468296393108416929333088474301} a^{29} + \frac{61736494338330155339819966384547886478290314446345683863613748436051496007766374336624377971010453355329609905978956103660459029381499243476529924442690289661677743253826560366362495499}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{28} - \frac{59460875079149524898169582262537343164606619126520390771142118982373816506431879602542720364243592598316013205793331534545702185113797429868636453983800960339809288213571552698467854988}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{27} + \frac{28530806488988174914287285188507151541893495282543773143188532388875616749534602459374384034905844393958329135488978160776236551612103840031316663324640666153979946955808897838631948638}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{26} + \frac{3659746541547405122617593331946319848557509245268645989896671094377127683757653027784904737598371399824272217573223695000890922846012896092551129309625320169621074308940863228157392321}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{25} + \frac{17561677798957244325912302542417950972050242634201308876463606458189102208626903705465475843699673218947660451428507057400823171777735227439496555121984165519142592621149474086251215784}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{24} - \frac{70627706963740714560617233422622562285304977033612010782449878768954771048972595224807796498231528053482934441769507776128814029122265708058204429837108866496328221322105369066627657119}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{23} - \frac{88167716493053629586207808347289726063005437692500428779638407200780446972057525708489843627171983125275565329789835306010523506947489250333818908562693868373131446231204478014218704291}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{22} + \frac{17759211280360101794873786137912413531245712361169633966498173729350587660345894237564337397064679876864095120468401253226084261240701669260968288041037420193269395716881317169765019961}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{21} - \frac{43848902039708707725877345762431166686118256185722525451235458984015297069310704223331501096906797825844287544536688445021891353054578913539651032332629404749388958000227713130008434574}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{20} + \frac{40396578182426706322714018028553456258457687084678356201545659769880162512814349538084560888371555518708009133211624348992021859107129515710620750713267113305345961280463529424618807463}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{19} - \frac{81083524763355302051794012796485921917858794243565872863744067554972540512721122052698310432923546875448292210062870010543254490253765456220775021868164823366858253505986977344306818927}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{18} + \frac{86776307481273178281583900321236078485828245459621097087771263589368170324822615422644691472336551312534799826993735876272429597940013468095336144853089248340851678342263703621167763362}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{17} - \frac{69436875591969958916358138141564443957006765577929650145879793563332317361926810759969151718878369894241003163491569891986778852028271748109885440611765566532179765337005727493052737966}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{16} + \frac{72843725106001462766283020561685066650524442162754859596286337087344821589519097186557767297160622831794039403652281336653010277579576175806365695552951205286339693494020014438465308332}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{15} - \frac{13078062347813375737616457381207295950510649655484133117861582946052822003967511249926377912892746968583061915893852999584930617120909256722332433383941707494013903167891789041195020253}{36943509850323824586102468862471215428166323959045598237012372884159817415483484231171202228714638658426533467152380269778607992182326694711069558315698211468296393108416929333088474301} a^{14} + \frac{15468924657779148798745520720432099860890470795284630025233044473991168953298920664346056036879984555338391069328455430184408576988205705761657820589442227911212623694978906701920642408}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{13} - \frac{3123072948656488336746233120326994183364648083428241255611116561370859908378823413574599533651239390816019020745871713062427897076568695808125077229365394740017645133498526613449138589}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{12} - \frac{4885448417776525013570969629313712391517108466991310404782897304153002167507850150906376533349526056769342790867819049680202188832702417692127996499127623512953929468448228913427710552}{36943509850323824586102468862471215428166323959045598237012372884159817415483484231171202228714638658426533467152380269778607992182326694711069558315698211468296393108416929333088474301} a^{11} - \frac{1665984100400428806815369011342180228466696062722231385954001148695181253949259559814203820833719380248386539443713786179872707401652307087899725928883909926822434173478964581050997116}{36943509850323824586102468862471215428166323959045598237012372884159817415483484231171202228714638658426533467152380269778607992182326694711069558315698211468296393108416929333088474301} a^{10} + \frac{27921486592650564361695004970211676495234362387415877016456066663435131661923868711688444674522294982713868220706355153858272448809110705945581472980437601203004494831107005183280981081}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{9} - \frac{39550808813128164685453300187501270839041754553129981207660094539205812565625425956501723464743698168923987237357565326363174302452735792321027985069053352858984682655870208012389962316}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{8} - \frac{22232024043261203690570074651312269613883389395208301640089501851729481413684824023958770993518162836158189854807527893646923939662396579094573441498349675925383995472310264937483852994}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{7} + \frac{5985164405681062282241807510743636760294867496577183584476154444716701632491894152151919088901291862706838908524132714235932061615615876152858551944392225499547004332990241292568891881}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{6} - \frac{22469786734806174909384712214128289106590359579679129932929313080040959781959151506478330681677142425826255722486052405418835710806840922182046245107642991664428742161072116024680521072}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{5} - \frac{8296480649710559478789750344269847007110085843889526940687925084668381479607657250167777019408798192422139503055153598268381771910331219771900163663865663196448635809686171134195330503}{36943509850323824586102468862471215428166323959045598237012372884159817415483484231171202228714638658426533467152380269778607992182326694711069558315698211468296393108416929333088474301} a^{4} - \frac{83699004953129195108171461886116581507121851946871848542928143060622680717835648240395120055395720108164901503582344834404954662136275470363566227832812919443082782275496175889550545512}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{3} - \frac{30061424717468982489843389147713106689472096890535064739761619744492424093168294025286096479347673263322120570826200515407084290026960454949921725119892158211830134336994504763356001132}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a^{2} + \frac{1756862179189999066854708453429394256809148418452890974210430026033474405226802661955935754442320253824703775290231074222327497560274215187025368412007566123281808646683889791255851261}{184717549251619122930512344312356077140831619795227991185061864420799087077417421155856011143573193292132667335761901348893039960911633473555347791578491057341481965542084646665442371505} a + \frac{385039788497449400306222193855384125299060024614815373855303723383984726402006562991309793875957183671722706988343431183769350457566548537437071204026259143513025816207414719580783693}{2756978347039091387022572303169493688669128653660119271418833797325359508618170465012776285724973034210935333369580617147657312849427365276945489426544642646887790530478875323364811515}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $39$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 827091053965112800000000000000000 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{40}$ (as 40T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_{40}$
Character table for $C_{40}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{17}) \), 4.4.4913.1, 5.5.923521.1, \(\Q(\zeta_{17})^+\), 10.10.1210983309747865937.1, 20.20.2082192711890374289210237325512162257000433.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $20^{2}$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/5.8.0.1}{8} }^{5}$ $40$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/13.10.0.1}{10} }^{4}$ R $20^{2}$ $40$ $40$ R ${\href{/LocalNumberField/37.8.0.1}{8} }^{5}$ $40$ $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/47.10.0.1}{10} }^{4}$ $20^{2}$ $20^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
17Data not computed
31Data not computed