↑

Properties

Label 40.40.3941599943...0625.1
Degree $40$
Signature $[40, 0]$
Discriminant $5^{68}\cdot 17^{35}$
Root discriminant $184.03$
Ramified primes $5, 17$
Class number $2$ (GRH)
Class group $[2]$ (GRH)
Galois group $C_{40}$ (as 40T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![544001, -8630265, -221351785, 3573593490, 2093555025, -98863237441, -85891607135, 768129252655, 740664948050, -2799968295700, -2825680076104, 5736709316575, 5987699870315, -7234784909160, -7817807874825, 5946130517703, 6686541773025, -3317484482190, -3906118505605, 1294784673650, 1605598178486, -360886694255, -474001671100, 72677138515, 101793747900, -10603222817, -15996134070, 1113003605, 1837625615, -82534925, -153008214, 4178520, 9064985, -135890, -369675, 2524, 9785, -20, -150, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 150*x^38 - 20*x^37 + 9785*x^36 + 2524*x^35 - 369675*x^34 - 135890*x^33 + 9064985*x^32 + 4178520*x^31 - 153008214*x^30 - 82534925*x^29 + 1837625615*x^28 + 1113003605*x^27 - 15996134070*x^26 - 10603222817*x^25 + 101793747900*x^24 + 72677138515*x^23 - 474001671100*x^22 - 360886694255*x^21 + 1605598178486*x^20 + 1294784673650*x^19 - 3906118505605*x^18 - 3317484482190*x^17 + 6686541773025*x^16 + 5946130517703*x^15 - 7817807874825*x^14 - 7234784909160*x^13 + 5987699870315*x^12 + 5736709316575*x^11 - 2825680076104*x^10 - 2799968295700*x^9 + 740664948050*x^8 + 768129252655*x^7 - 85891607135*x^6 - 98863237441*x^5 + 2093555025*x^4 + 3573593490*x^3 - 221351785*x^2 - 8630265*x + 544001)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - 150*x^38 - 20*x^37 + 9785*x^36 + 2524*x^35 - 369675*x^34 - 135890*x^33 + 9064985*x^32 + 4178520*x^31 - 153008214*x^30 - 82534925*x^29 + 1837625615*x^28 + 1113003605*x^27 - 15996134070*x^26 - 10603222817*x^25 + 101793747900*x^24 + 72677138515*x^23 - 474001671100*x^22 - 360886694255*x^21 + 1605598178486*x^20 + 1294784673650*x^19 - 3906118505605*x^18 - 3317484482190*x^17 + 6686541773025*x^16 + 5946130517703*x^15 - 7817807874825*x^14 - 7234784909160*x^13 + 5987699870315*x^12 + 5736709316575*x^11 - 2825680076104*x^10 - 2799968295700*x^9 + 740664948050*x^8 + 768129252655*x^7 - 85891607135*x^6 - 98863237441*x^5 + 2093555025*x^4 + 3573593490*x^3 - 221351785*x^2 - 8630265*x + 544001, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - 150 x^{38} - 20 x^{37} + 9785 x^{36} + 2524 x^{35} - 369675 x^{34} - 135890 x^{33} + 9064985 x^{32} + 4178520 x^{31} - 153008214 x^{30} - 82534925 x^{29} + 1837625615 x^{28} + 1113003605 x^{27} - 15996134070 x^{26} - 10603222817 x^{25} + 101793747900 x^{24} + 72677138515 x^{23} - 474001671100 x^{22} - 360886694255 x^{21} + 1605598178486 x^{20} + 1294784673650 x^{19} - 3906118505605 x^{18} - 3317484482190 x^{17} + 6686541773025 x^{16} + 5946130517703 x^{15} - 7817807874825 x^{14} - 7234784909160 x^{13} + 5987699870315 x^{12} + 5736709316575 x^{11} - 2825680076104 x^{10} - 2799968295700 x^{9} + 740664948050 x^{8} + 768129252655 x^{7} - 85891607135 x^{6} - 98863237441 x^{5} + 2093555025 x^{4} + 3573593490 x^{3} - 221351785 x^{2} - 8630265 x + 544001 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[40, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(3941599943929402004549617324214374864585936440578885220364924180103116668760776519775390625=5^{68}\cdot 17^{35}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $184.03$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 17$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(425=5^{2}\cdot 17\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{425}(256,·)$, $\chi_{425}(1,·)$, $\chi_{425}(389,·)$, $\chi_{425}(134,·)$, $\chi_{425}(264,·)$, $\chi_{425}(9,·)$, $\chi_{425}(271,·)$, $\chi_{425}(16,·)$, $\chi_{425}(274,·)$, $\chi_{425}(19,·)$, $\chi_{425}(276,·)$, $\chi_{425}(21,·)$, $\chi_{425}(421,·)$, $\chi_{425}(166,·)$, $\chi_{425}(171,·)$, $\chi_{425}(349,·)$, $\chi_{425}(304,·)$, $\chi_{425}(49,·)$, $\chi_{425}(179,·)$, $\chi_{425}(186,·)$, $\chi_{425}(59,·)$, $\chi_{425}(189,·)$, $\chi_{425}(191,·)$, $\chi_{425}(336,·)$, $\chi_{425}(81,·)$, $\chi_{425}(399,·)$, $\chi_{425}(341,·)$, $\chi_{425}(86,·)$, $\chi_{425}(219,·)$, $\chi_{425}(314,·)$, $\chi_{425}(94,·)$, $\chi_{425}(229,·)$, $\chi_{425}(144,·)$, $\chi_{425}(356,·)$, $\chi_{425}(101,·)$, $\chi_{425}(359,·)$, $\chi_{425}(104,·)$, $\chi_{425}(361,·)$, $\chi_{425}(106,·)$, $\chi_{425}(251,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $\frac{1}{15857} a^{36} - \frac{2302}{15857} a^{35} - \frac{5227}{15857} a^{34} + \frac{1392}{15857} a^{33} - \frac{6512}{15857} a^{32} - \frac{290}{15857} a^{31} + \frac{5425}{15857} a^{30} - \frac{1629}{15857} a^{29} - \frac{88}{15857} a^{28} + \frac{2554}{15857} a^{27} + \frac{2360}{15857} a^{26} - \frac{6105}{15857} a^{25} + \frac{3762}{15857} a^{24} - \frac{3723}{15857} a^{23} + \frac{7572}{15857} a^{22} - \frac{6450}{15857} a^{21} - \frac{6276}{15857} a^{20} - \frac{2682}{15857} a^{19} - \frac{6420}{15857} a^{18} + \frac{6801}{15857} a^{17} - \frac{5278}{15857} a^{16} + \frac{1373}{15857} a^{15} + \frac{2394}{15857} a^{14} + \frac{5458}{15857} a^{13} + \frac{1983}{15857} a^{12} - \frac{2365}{15857} a^{11} + \frac{6042}{15857} a^{10} - \frac{2195}{15857} a^{9} + \frac{6580}{15857} a^{8} - \frac{1029}{15857} a^{7} + \frac{6170}{15857} a^{6} + \frac{4551}{15857} a^{5} + \frac{21}{157} a^{4} + \frac{2295}{15857} a^{3} + \frac{1371}{15857} a^{2} + \frac{6653}{15857} a + \frac{5315}{15857}$, $\frac{1}{4646101} a^{37} + \frac{64}{4646101} a^{36} - \frac{3345}{15857} a^{35} + \frac{1969038}{4646101} a^{34} + \frac{1526833}{4646101} a^{33} - \frac{105677}{4646101} a^{32} + \frac{1190411}{4646101} a^{31} - \frac{1548378}{4646101} a^{30} - \frac{1967319}{4646101} a^{29} + \frac{1475188}{4646101} a^{28} - \frac{1407666}{4646101} a^{27} - \frac{1335997}{4646101} a^{26} + \frac{1892042}{4646101} a^{25} + \frac{794242}{4646101} a^{24} + \frac{1204721}{4646101} a^{23} - \frac{1420781}{4646101} a^{22} - \frac{1899525}{4646101} a^{21} + \frac{1211443}{4646101} a^{20} - \frac{548370}{4646101} a^{19} + \frac{1799928}{4646101} a^{18} - \frac{881102}{4646101} a^{17} + \frac{817648}{4646101} a^{16} + \frac{2125065}{4646101} a^{15} + \frac{2181122}{4646101} a^{14} - \frac{1720400}{4646101} a^{13} + \frac{281167}{4646101} a^{12} - \frac{1894867}{4646101} a^{11} - \frac{358691}{4646101} a^{10} + \frac{236304}{4646101} a^{9} + \frac{851955}{4646101} a^{8} + \frac{8926}{46001} a^{7} + \frac{1282891}{4646101} a^{6} + \frac{700592}{4646101} a^{5} - \frac{2146783}{4646101} a^{4} - \frac{641890}{4646101} a^{3} + \frac{475464}{4646101} a^{2} + \frac{1284729}{4646101} a - \frac{681162}{4646101}$, $\frac{1}{7168933843} a^{38} - \frac{128}{7168933843} a^{37} + \frac{36936}{7168933843} a^{36} + \frac{1439988719}{7168933843} a^{35} + \frac{3284585940}{7168933843} a^{34} - \frac{3237086627}{7168933843} a^{33} + \frac{1268098998}{7168933843} a^{32} - \frac{3111839056}{7168933843} a^{31} - \frac{2409321602}{7168933843} a^{30} + \frac{481912758}{7168933843} a^{29} + \frac{1984996354}{7168933843} a^{28} + \frac{839568318}{7168933843} a^{27} - \frac{313808540}{7168933843} a^{26} - \frac{2125752994}{7168933843} a^{25} + \frac{1583764255}{7168933843} a^{24} + \frac{915775652}{7168933843} a^{23} - \frac{2119435217}{7168933843} a^{22} - \frac{1854680756}{7168933843} a^{21} - \frac{987676682}{7168933843} a^{20} - \frac{1413010803}{7168933843} a^{19} + \frac{3006609486}{7168933843} a^{18} - \frac{2916365530}{7168933843} a^{17} + \frac{2157494114}{7168933843} a^{16} - \frac{2728055305}{7168933843} a^{15} - \frac{999526233}{7168933843} a^{14} + \frac{2473282941}{7168933843} a^{13} + \frac{3523100247}{7168933843} a^{12} - \frac{737429025}{7168933843} a^{11} - \frac{1405753302}{7168933843} a^{10} - \frac{2824214980}{7168933843} a^{9} + \frac{1164949014}{7168933843} a^{8} - \frac{459716296}{7168933843} a^{7} + \frac{1723948807}{7168933843} a^{6} - \frac{2672316142}{7168933843} a^{5} + \frac{2673688552}{7168933843} a^{4} - \frac{1820953128}{7168933843} a^{3} - \frac{2219150682}{7168933843} a^{2} + \frac{2976684867}{7168933843} a + \frac{1870741336}{7168933843}$, $\frac{1}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{39} - \frac{1416927697591926270362641237332689675657910323663732913309789924327508584894482930323767399606692445837737098651043161392546550245164598853134760284937732949103158085115735336713785956346361143755}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{38} - \frac{2683346392578067485283702175175745346964844918495300262315898844525714100208764791814464919397547532104457646465058634181183451597153019932357368806935711062574361620597320036584035823017198941318696}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{37} - \frac{779303512261441988314568735045254738407458240856382904140028320072760533866182413888733694686460907451170857953102689756406180445093547757058300541488076662699124799258695533825080225854103964702021688}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{36} - \frac{11935085869227663839282727095002243974976623798520977491157807306666102503694787562111583817285941207703438066041156276233559769298177936126635403698059393205125407080957456405506284066324575513341078628368}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{35} + \frac{1270523125046386854131838833053074186114734782913973155936242790793868835621855347222163805889414964554179857747190078942354973673981531814700358228637199872862680102753321443808928113170164372103455954119}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{34} + \frac{10453646473937249118156964494648543581128715347109696612464547254806309337925679472359116931301541486431032643811299927997985660019575807581201639656311604284529509073322660974132685352384909766451343650073}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{33} + \frac{10621809999460528673300531423814088347465229368177884717276516322526231595111528508573424365972160755258852098593067768390210154540992528372771667150926853125143483022352391529262642909809581048319854249599}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{32} + \frac{2094625414775571765461716094408087161948315857654921730235503648302949144271235793392315250738533831141671268832719186668668990378850437171934784357342802060730089621531895102688772407004850964899562092256}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{31} + \frac{8747389056751570159484204836536202588876681605112626351272036484560904491093821521734546454436607744629574575312925505550476391273116497964553978862537398944035028431506210820710193465814595250426683221747}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{30} + \frac{3670920093922055294294800049212178553218576659945228369888261759819946879108571532970210815616272302773857253786000286566327786134304334408952519600654368975597125302607966449727432075128722442770574937871}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{29} + \frac{13148816420996210090148300693305073898657599789312678337729069065694869960067493355574287394220056314098363758586054795735435171703296610229897073806913802271512863701882221452480100329959176267141910333807}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{28} - \frac{12783129075649534812828510741169475780448568314777110879994301782122727048343612206795118083420541424585132373884693142295356960935208251488807401627628021415161652454323039980581845664257078830864461534052}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{27} - \frac{10987905158953281487788922660753923483733507881263224430306280034237070300131838105255594341420561846700790772750373216686979293815454857437575223565861912462015555193467743211988634085612108383927508588166}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{26} + \frac{15041175044537616335648159605059864150812959743436960897505484574498450074254514449561334261515103057786553531707105083350930831315512725353184223138846882712496606889909276638824561224134330933878707361424}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{25} + \frac{15986144028823123326537604073306260214297757907588095714895253553120935314016046184924798383215665907134717138299383386315305437485383624450740076531654559809616748045308625139078647224253466203398797517221}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{24} - \frac{13108677077957545395349857358062984599416779072172939717584514885110132374717174312290839943501875316545973178555683055387614291069982971062810025923268912682678302109055869580616201580310001111391482171032}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{23} + \frac{7310896445244165626354215795782414920265584889144378317402409546732569032844953886510058251215045295836577536492704343411828387079990800083071914559723539585871722413439514678032859234208770249346190400145}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{22} + \frac{11759992310737737221590244594990785075882219285383867250735593785929737081189416648887932289917520111118035019472069694229488969168047260209673488867890236814116312749606566775992621907872434678276838552686}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{21} - \frac{6901662729636359096535700435712069808125440127382973945605084009911746807137318568931783163379352583697426448363216926917924434856115004829778729400907787907259778182809369033351970898986794077150284919347}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{20} + \frac{3608044127826410465720136767572366431224800666125975425103717181484327249267141787453196249897543729613018751730572925101740328812064913229952714700823762797786710981107125339031980657673788878117095652962}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{19} + \frac{12252557962381472790783374446986131243397649153763159582016280781179078774056873301707882969646534575329978498875847806540068259818052422744815815001839074010994451321434467585294484666958829789611910515353}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{18} + \frac{21889709824289212719941439180148753231014536576058848196148027493174782197732006282633248813463559822388611273398491374230187438920275558786634586356997109324829001695378882313927339875586472906059859743}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{17} - \frac{10152477033336843741486633197971841907058078788914834329652025794109217342279495104626516139475678671872407890842206545751256039118387987179412869077844525162009423145502310957402847697192546016070004037424}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{16} - \frac{8020046110274226381240487920712119086594544571026527716811335217681187305320329769750961453434051839537020796522813119396395104708948655294869048026825401846947829822120483567390367377241318923084047547947}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{15} - \frac{4414273616253003448384740751929337080349020833110940657973902163174661719812748450155278069291569379884593081075554497379805513785053468686070553302752583782586104573195823740132455742640277097674878432670}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{14} - \frac{3550315482961795730501652074653440694139134696033375045430636066395369993945929261122187769948940741651312561360915788717223831604141120783795678673108460037953357050077314138572055995315113814541318261027}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{13} + \frac{15983659262319601148204980244077718875651669547743060342691647103574691594543939635036995711029854727661427430807996323282518747595593188875894871603023398926845195904630123600961716800692047794557875098219}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{12} + \frac{3034761552409701667359470028252597973092895756591575713052894453251709845089921732606621760412763012999003218331558226154620815723256527270890323777232222806578473876667476310115293392646000197881602730972}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{11} - \frac{5530501252089707342006675995519648429620777817150327701810675722350388562350254215042763458296632261919134783817731360382287185055669817008768914344229199674294737767309406762279983798617446612991010102830}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{10} - \frac{8885486218886835411663447599583557253659048341108295330312571174513791271854242448818688140080310646857666920299713475064859753080273571904969330496933828497670737764583825686560236092279197626230576780693}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{9} - \frac{12966484912030147806459941397979724715149425181058624764207047658290666590425692781822795022976573553581972731829965402325752146228817565579878672458954828289141737628967354884424542092794073076839560529888}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{8} - \frac{1657519700102740974292153561149450414515511816511429373813559507442030733704766298222290820574794065287233739523636961168048137644417749090491600323179893786596705781117815553619032347892775754102104216560}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{7} + \frac{5948000292414883497423301182452516785154285896877315057816635987853637553753098211223219029168745970263694453924440363125948974396457974259481757294094832830928149624406517650344237860107891962820322366321}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{6} - \frac{9228113889359675997838399743513085515261002599739463454432388963407933368628649116764573198658966100189353436974586489176824016164047373501000098836242237269036791228100423361802230001406265913413899374253}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{5} - \frac{1547671920324914969958455320399547348868015600447635067281298774391112165288450072515965514393480565843061546307945067484716038996613271325611963521141449616741619656539659372651150605783228280699322752740}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{4} - \frac{2730340629590277457914486465107224564950192058476771369633698314159650305371420493100803819712280362991193130210425659262276036073556653325589074921823871253541761642979558370338714515500284523745501209036}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{3} + \frac{8402159361127023299336179062225479202712843971602839430014683879855493702922113991309341206697975763223371678461827400700051532261659776039271153352280237295938419192539895094867013369988784276528516123272}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a^{2} - \frac{3081085694684887122746485083706130312763346090875529253085948895940618951074083580170747256548773239074489397347950148993831934390563903038471347286148044552556527817067071384919911385318640220582417595885}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757} a - \frac{10272678252378917234521528399588193832789246925818817388402606573425451870156968497730735441953499069954111999972130618410464024812941877573465684559921621719367871067207806497956765585807447458530183497015}{32444170633442717245958219314037841739071153742692202176457793439294144443341281618138984187510098155899122749823683261723409483727223252976668086031340448479770644463318071743598511821991407073300228212757}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

$C_{2}$, which has order $2$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $39$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 342927919181953960000000000000000 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{40}$ (as 40T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_{40}$
Character table for $C_{40}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{17}) \), 4.4.4913.1, 5.5.390625.1, 8.8.256461670625.1, 10.10.216652984619140625.1, 20.20.66645980149270403035916388034820556640625.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $20^{2}$ $40$ R ${\href{/LocalNumberField/7.8.0.1}{8} }^{5}$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/13.5.0.1}{5} }^{8}$ R $20^{2}$ $40$ $40$ $40$ $40$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/43.4.0.1}{4} }^{10}$ ${\href{/LocalNumberField/47.5.0.1}{5} }^{8}$ $20^{2}$ $20^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
17Data not computed