↑

Properties

Label 40.40.2976065128...4761.1
Degree $40$
Signature $[40, 0]$
Discriminant $19^{20}\cdot 41^{39}$
Root discriminant $162.87$
Ramified primes $19, 41$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{40}$ (as 40T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![75821752444021, 3834242944821604, -3834242944821604, -50906662816897146, 50906662816897146, 177910323267087229, -177910323267087229, -273186020727053396, 273186020727053396, 238056502466305979, -238056502466305979, -133756241674319021, 133756241674319021, 52150130395993479, -52150130395993479, -14776163549319021, 14776163549319021, 3136462183102854, -3136462183102854, -508914281740896, 508914281740896, 63930591305979, -63930591305979, -6259887209646, 6259887209646, 478398727854, -478398727854, -28412522146, 28412522146, 1297102854, -1297102854, -44622146, 44622146, 1118479, -1118479, -19271, 19271, 204, -204, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - x^39 - 204*x^38 + 204*x^37 + 19271*x^36 - 19271*x^35 - 1118479*x^34 + 1118479*x^33 + 44622146*x^32 - 44622146*x^31 - 1297102854*x^30 + 1297102854*x^29 + 28412522146*x^28 - 28412522146*x^27 - 478398727854*x^26 + 478398727854*x^25 + 6259887209646*x^24 - 6259887209646*x^23 - 63930591305979*x^22 + 63930591305979*x^21 + 508914281740896*x^20 - 508914281740896*x^19 - 3136462183102854*x^18 + 3136462183102854*x^17 + 14776163549319021*x^16 - 14776163549319021*x^15 - 52150130395993479*x^14 + 52150130395993479*x^13 + 133756241674319021*x^12 - 133756241674319021*x^11 - 238056502466305979*x^10 + 238056502466305979*x^9 + 273186020727053396*x^8 - 273186020727053396*x^7 - 177910323267087229*x^6 + 177910323267087229*x^5 + 50906662816897146*x^4 - 50906662816897146*x^3 - 3834242944821604*x^2 + 3834242944821604*x + 75821752444021)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - x^39 - 204*x^38 + 204*x^37 + 19271*x^36 - 19271*x^35 - 1118479*x^34 + 1118479*x^33 + 44622146*x^32 - 44622146*x^31 - 1297102854*x^30 + 1297102854*x^29 + 28412522146*x^28 - 28412522146*x^27 - 478398727854*x^26 + 478398727854*x^25 + 6259887209646*x^24 - 6259887209646*x^23 - 63930591305979*x^22 + 63930591305979*x^21 + 508914281740896*x^20 - 508914281740896*x^19 - 3136462183102854*x^18 + 3136462183102854*x^17 + 14776163549319021*x^16 - 14776163549319021*x^15 - 52150130395993479*x^14 + 52150130395993479*x^13 + 133756241674319021*x^12 - 133756241674319021*x^11 - 238056502466305979*x^10 + 238056502466305979*x^9 + 273186020727053396*x^8 - 273186020727053396*x^7 - 177910323267087229*x^6 + 177910323267087229*x^5 + 50906662816897146*x^4 - 50906662816897146*x^3 - 3834242944821604*x^2 + 3834242944821604*x + 75821752444021, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - x^{39} - 204 x^{38} + 204 x^{37} + 19271 x^{36} - 19271 x^{35} - 1118479 x^{34} + 1118479 x^{33} + 44622146 x^{32} - 44622146 x^{31} - 1297102854 x^{30} + 1297102854 x^{29} + 28412522146 x^{28} - 28412522146 x^{27} - 478398727854 x^{26} + 478398727854 x^{25} + 6259887209646 x^{24} - 6259887209646 x^{23} - 63930591305979 x^{22} + 63930591305979 x^{21} + 508914281740896 x^{20} - 508914281740896 x^{19} - 3136462183102854 x^{18} + 3136462183102854 x^{17} + 14776163549319021 x^{16} - 14776163549319021 x^{15} - 52150130395993479 x^{14} + 52150130395993479 x^{13} + 133756241674319021 x^{12} - 133756241674319021 x^{11} - 238056502466305979 x^{10} + 238056502466305979 x^{9} + 273186020727053396 x^{8} - 273186020727053396 x^{7} - 177910323267087229 x^{6} + 177910323267087229 x^{5} + 50906662816897146 x^{4} - 50906662816897146 x^{3} - 3834242944821604 x^{2} + 3834242944821604 x + 75821752444021 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[40, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(29760651285380902852087872649550114019243492487777007055411937484641109657237103814494761=19^{20}\cdot 41^{39}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $162.87$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $19, 41$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(779=19\cdot 41\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{779}(1,·)$, $\chi_{779}(645,·)$, $\chi_{779}(647,·)$, $\chi_{779}(265,·)$, $\chi_{779}(267,·)$, $\chi_{779}(398,·)$, $\chi_{779}(400,·)$, $\chi_{779}(20,·)$, $\chi_{779}(151,·)$, $\chi_{779}(666,·)$, $\chi_{779}(284,·)$, $\chi_{779}(286,·)$, $\chi_{779}(417,·)$, $\chi_{779}(419,·)$, $\chi_{779}(550,·)$, $\chi_{779}(39,·)$, $\chi_{779}(170,·)$, $\chi_{779}(683,·)$, $\chi_{779}(172,·)$, $\chi_{779}(305,·)$, $\chi_{779}(436,·)$, $\chi_{779}(56,·)$, $\chi_{779}(322,·)$, $\chi_{779}(324,·)$, $\chi_{779}(75,·)$, $\chi_{779}(588,·)$, $\chi_{779}(77,·)$, $\chi_{779}(590,·)$, $\chi_{779}(208,·)$, $\chi_{779}(721,·)$, $\chi_{779}(210,·)$, $\chi_{779}(341,·)$, $\chi_{779}(476,·)$, $\chi_{779}(94,·)$, $\chi_{779}(227,·)$, $\chi_{779}(742,·)$, $\chi_{779}(626,·)$, $\chi_{779}(115,·)$, $\chi_{779}(248,·)$, $\chi_{779}(761,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $\frac{1}{96286306128869} a^{21} + \frac{9573329546019}{96286306128869} a^{20} - \frac{105}{96286306128869} a^{19} + \frac{5530106686790}{96286306128869} a^{18} + \frac{4725}{96286306128869} a^{17} - \frac{42456921930837}{96286306128869} a^{16} - \frac{119000}{96286306128869} a^{15} + \frac{41787237444467}{96286306128869} a^{14} + \frac{1837500}{96286306128869} a^{13} - \frac{13435498573774}{96286306128869} a^{12} - \frac{17915625}{96286306128869} a^{11} + \frac{41203342546116}{96286306128869} a^{10} + \frac{109484375}{96286306128869} a^{9} + \frac{26861166405756}{96286306128869} a^{8} - \frac{402187500}{96286306128869} a^{7} - \frac{38209909189002}{96286306128869} a^{6} + \frac{812109375}{96286306128869} a^{5} + \frac{47667194841707}{96286306128869} a^{4} - \frac{751953125}{96286306128869} a^{3} - \frac{23053675290194}{96286306128869} a^{2} + \frac{205078125}{96286306128869} a + \frac{40819889980567}{96286306128869}$, $\frac{1}{96286306128869} a^{22} - \frac{110}{96286306128869} a^{20} + \frac{47866647730095}{96286306128869} a^{19} + \frac{5225}{96286306128869} a^{18} - \frac{21875146302182}{96286306128869} a^{17} - \frac{140250}{96286306128869} a^{16} + \frac{8429096927459}{96286306128869} a^{15} + \frac{2337500}{96286306128869} a^{14} + \frac{20221905235681}{96286306128869} a^{13} - \frac{25025000}{96286306128869} a^{12} + \frac{25974150322754}{96286306128869} a^{11} + \frac{172046875}{96286306128869} a^{10} + \frac{2245189168795}{96286306128869} a^{9} - \frac{737343750}{96286306128869} a^{8} + \frac{26670783116665}{96286306128869} a^{7} + \frac{1843359375}{96286306128869} a^{6} - \frac{18533804727228}{96286306128869} a^{5} - \frac{2363281250}{96286306128869} a^{4} - \frac{40211962164703}{96286306128869} a^{3} + \frac{1181640625}{96286306128869} a^{2} + \frac{45499422764524}{96286306128869} a - \frac{97656250}{96286306128869}$, $\frac{1}{96286306128869} a^{23} + \frac{41783530374626}{96286306128869} a^{20} - \frac{6325}{96286306128869} a^{19} + \frac{8718752471504}{96286306128869} a^{18} + \frac{379500}{96286306128869} a^{17} - \frac{40089621278899}{96286306128869} a^{16} - \frac{10752500}{96286306128869} a^{15} - \frac{4924670058661}{96286306128869} a^{14} + \frac{177100000}{96286306128869} a^{13} - \frac{7636100859351}{96286306128869} a^{12} - \frac{1798671875}{96286306128869} a^{11} + \frac{9156481184712}{96286306128869} a^{10} + \frac{11305937500}{96286306128869} a^{9} - \frac{3476402245114}{96286306128869} a^{8} - \frac{42397265625}{96286306128869} a^{7} + \frac{14973654152788}{96286306128869} a^{6} + \frac{86968750000}{96286306128869} a^{5} + \frac{3718939464141}{96286306128869} a^{4} - \frac{81533203125}{96286306128869} a^{3} + \frac{13039100193778}{96286306128869} a^{2} + \frac{22460937500}{96286306128869} a - \frac{35268490194473}{96286306128869}$, $\frac{1}{96286306128869} a^{24} - \frac{6900}{96286306128869} a^{20} - \frac{33180640120740}{96286306128869} a^{19} + \frac{437000}{96286306128869} a^{18} + \frac{15943228923570}{96286306128869} a^{17} - \frac{13196250}{96286306128869} a^{16} + \frac{10341415640179}{96286306128869} a^{15} + \frac{234600000}{96286306128869} a^{14} + \frac{11513092073214}{96286306128869} a^{13} - \frac{2616250000}{96286306128869} a^{12} - \frac{9047114182276}{96286306128869} a^{11} + \frac{18500625000}{96286306128869} a^{10} - \frac{42010906758428}{96286306128869} a^{9} - \frac{80940234375}{96286306128869} a^{8} - \frac{34078608747289}{96286306128869} a^{7} + \frac{205562500000}{96286306128869} a^{6} - \frac{2777826782733}{96286306128869} a^{5} - \frac{266835937500}{96286306128869} a^{4} - \frac{34437767797377}{96286306128869} a^{3} + \frac{134765625000}{96286306128869} a^{2} + \frac{21446249316237}{96286306128869} a - \frac{11230468750}{96286306128869}$, $\frac{1}{96286306128869} a^{25} - \frac{29612776993774}{96286306128869} a^{20} - \frac{287500}{96286306128869} a^{19} + \frac{44302140742446}{96286306128869} a^{18} + \frac{19406250}{96286306128869} a^{17} - \frac{39476663115623}{96286306128869} a^{16} - \frac{586500000}{96286306128869} a^{15} - \frac{34035397067141}{96286306128869} a^{14} + \frac{10062500000}{96286306128869} a^{13} + \frac{9725528877971}{96286306128869} a^{12} - \frac{105117187500}{96286306128869} a^{11} + \frac{23876969020684}{96286306128869} a^{10} + \frac{674501953125}{96286306128869} a^{9} - \frac{43169707103714}{96286306128869} a^{8} - \frac{2569531250000}{96286306128869} a^{7} - \frac{19245050053211}{96286306128869} a^{6} + \frac{5336718750000}{96286306128869} a^{5} - \frac{44815096235581}{96286306128869} a^{4} - \frac{5053710937500}{96286306128869} a^{3} + \frac{16064471869225}{96286306128869} a^{2} + \frac{1403808593750}{96286306128869} a + \frac{19795438970475}{96286306128869}$, $\frac{1}{96286306128869} a^{26} - \frac{325000}{96286306128869} a^{20} + \frac{16122352519984}{96286306128869} a^{19} + \frac{23156250}{96286306128869} a^{18} - \frac{23108172780130}{96286306128869} a^{17} - \frac{745875000}{96286306128869} a^{16} + \frac{28020354303390}{96286306128869} a^{15} + \frac{13812500000}{96286306128869} a^{14} - \frac{22440570104047}{96286306128869} a^{13} - \frac{158437500000}{96286306128869} a^{12} + \frac{494362644318}{96286306128869} a^{11} + \frac{1143720703125}{96286306128869} a^{10} + \frac{14136170859528}{96286306128869} a^{9} - \frac{5083203125000}{96286306128869} a^{8} - \frac{45043932854637}{96286306128869} a^{7} + \frac{13071093750000}{96286306128869} a^{6} - \frac{3831156670648}{96286306128869} a^{5} - \frac{17138671875000}{96286306128869} a^{4} - \frac{32582098779291}{96286306128869} a^{3} + \frac{8728027343750}{96286306128869} a^{2} - \frac{28210418389210}{96286306128869} a - \frac{732421875000}{96286306128869}$, $\frac{1}{96286306128869} a^{27} - \frac{47471439577882}{96286306128869} a^{20} - \frac{10968750}{96286306128869} a^{19} - \frac{18625167498884}{96286306128869} a^{18} + \frac{789750000}{96286306128869} a^{17} + \frac{30065242108173}{96286306128869} a^{16} - \frac{24862500000}{96286306128869} a^{15} + \frac{31394629213979}{96286306128869} a^{14} + \frac{438750000000}{96286306128869} a^{13} + \frac{47440830303468}{96286306128869} a^{12} - \frac{4678857421875}{96286306128869} a^{11} - \frac{13847520025516}{96286306128869} a^{10} + \frac{30499218750000}{96286306128869} a^{9} + \frac{36092763937478}{96286306128869} a^{8} - \frac{21353537621131}{96286306128869} a^{7} + \frac{13156470172020}{96286306128869} a^{6} - \frac{42062043386607}{96286306128869} a^{5} + \frac{13089463875692}{96286306128869} a^{4} - \frac{43084126023512}{96286306128869} a^{3} + \frac{46231686502025}{96286306128869} a^{2} - \frac{30368337378869}{96286306128869} a + \frac{40698942575311}{96286306128869}$, $\frac{1}{96286306128869} a^{28} - \frac{12796875}{96286306128869} a^{20} + \frac{3761595524694}{96286306128869} a^{19} + \frac{972562500}{96286306128869} a^{18} - \frac{14476032664147}{96286306128869} a^{17} - \frac{32632031250}{96286306128869} a^{16} + \frac{47665442000209}{96286306128869} a^{15} + \frac{621562500000}{96286306128869} a^{14} - \frac{28218750072440}{96286306128869} a^{13} - \frac{7278222656250}{96286306128869} a^{12} - \frac{46457060391365}{96286306128869} a^{11} - \frac{42912673316369}{96286306128869} a^{10} - \frac{10691716156110}{96286306128869} a^{9} - \frac{47608735398512}{96286306128869} a^{8} - \frac{40960239786635}{96286306128869} a^{7} + \frac{46129819476786}{96286306128869} a^{6} + \frac{13115665492144}{96286306128869} a^{5} + \frac{41778171175446}{96286306128869} a^{4} - \frac{14417285520274}{96286306128869} a^{3} + \frac{37828408297024}{96286306128869} a^{2} - \frac{12786833148694}{96286306128869} a - \frac{35705566406250}{96286306128869}$, $\frac{1}{96286306128869} a^{29} - \frac{20871585510403}{96286306128869} a^{20} - \frac{371109375}{96286306128869} a^{19} + \frac{41684417623828}{96286306128869} a^{18} + \frac{27833203125}{96286306128869} a^{17} + \frac{19860804918562}{96286306128869} a^{16} - \frac{901265625000}{96286306128869} a^{15} - \frac{2684935228067}{96286306128869} a^{14} + \frac{16236035156250}{96286306128869} a^{13} + \frac{44835016835807}{96286306128869} a^{12} + \frac{16682231398363}{96286306128869} a^{11} - \frac{5257024272724}{96286306128869} a^{10} + \frac{5440840125447}{96286306128869} a^{9} + \frac{12456458948542}{96286306128869} a^{8} + \frac{2560880244343}{96286306128869} a^{7} - \frac{40143823544321}{96286306128869} a^{6} + \frac{35319267460719}{96286306128869} a^{5} + \frac{38711195433931}{96286306128869} a^{4} + \frac{43808874699549}{96286306128869} a^{3} - \frac{30397078252929}{96286306128869} a^{2} - \frac{11076701026338}{96286306128869} a - \frac{46382128554011}{96286306128869}$, $\frac{1}{96286306128869} a^{30} - \frac{445331250}{96286306128869} a^{20} - \frac{31533326133369}{96286306128869} a^{19} + \frac{35255390625}{96286306128869} a^{18} + \frac{40924865610881}{96286306128869} a^{17} - \frac{1216708593750}{96286306128869} a^{16} - \frac{16094079009212}{96286306128869} a^{15} + \frac{23658222656250}{96286306128869} a^{14} - \frac{22811195205345}{96286306128869} a^{13} + \frac{7434309011607}{96286306128869} a^{12} - \frac{19710599773575}{96286306128869} a^{11} - \frac{28721010225743}{96286306128869} a^{10} - \frac{38296355176846}{96286306128869} a^{9} + \frac{34263740351781}{96286306128869} a^{8} - \frac{22697206901727}{96286306128869} a^{7} + \frac{34058311720548}{96286306128869} a^{6} - \frac{37254063841213}{96286306128869} a^{5} + \frac{3653859112186}{96286306128869} a^{4} - \frac{27815905459222}{96286306128869} a^{3} + \frac{42437340580812}{96286306128869} a^{2} - \frac{3319581984627}{96286306128869} a - \frac{5351404160715}{96286306128869}$, $\frac{1}{96286306128869} a^{31} + \frac{16323251456624}{96286306128869} a^{20} - \frac{11504390625}{96286306128869} a^{19} - \frac{26703893073838}{96286306128869} a^{18} + \frac{887481562500}{96286306128869} a^{17} + \frac{17682134289710}{96286306128869} a^{16} - \frac{29336196093750}{96286306128869} a^{15} + \frac{37703328670562}{96286306128869} a^{14} - \frac{40846274273214}{96286306128869} a^{13} + \frac{37577369156655}{96286306128869} a^{12} - \frac{15345277310866}{96286306128869} a^{11} + \frac{35287355010344}{96286306128869} a^{10} - \frac{26079892766052}{96286306128869} a^{9} - \frac{31750429817626}{96286306128869} a^{8} + \frac{19925602041888}{96286306128869} a^{7} + \frac{35041840267185}{96286306128869} a^{6} + \frac{9971144548972}{96286306128869} a^{5} - \frac{8384584701399}{96286306128869} a^{4} - \frac{38301346997925}{96286306128869} a^{3} - \frac{38438274838791}{96286306128869} a^{2} + \frac{42928139577723}{96286306128869} a + \frac{42026391736964}{96286306128869}$, $\frac{1}{96286306128869} a^{32} - \frac{14159250000}{96286306128869} a^{20} - \frac{45916000447960}{96286306128869} a^{19} + \frac{1152967500000}{96286306128869} a^{18} + \frac{15650210965379}{96286306128869} a^{17} - \frac{40619348437500}{96286306128869} a^{16} + \frac{24686823123356}{96286306128869} a^{15} + \frac{32067050969048}{96286306128869} a^{14} + \frac{17675414281107}{96286306128869} a^{13} - \frac{35057512113100}{96286306128869} a^{12} + \frac{36758802789199}{96286306128869} a^{11} - \frac{25927577538357}{96286306128869} a^{10} + \frac{34146738522936}{96286306128869} a^{9} - \frac{1523152276950}{96286306128869} a^{8} - \frac{22316884736641}{96286306128869} a^{7} - \frac{5505716579031}{96286306128869} a^{6} - \frac{14773624684161}{96286306128869} a^{5} - \frac{8100857352366}{96286306128869} a^{4} + \frac{31668373675605}{96286306128869} a^{3} - \frac{27894990823211}{96286306128869} a^{2} - \frac{47120007769776}{96286306128869} a + \frac{45596835491641}{96286306128869}$, $\frac{1}{96286306128869} a^{33} + \frac{36320915922827}{96286306128869} a^{20} - \frac{333753750000}{96286306128869} a^{19} - \frac{23705405159456}{96286306128869} a^{18} + \frac{26283107812500}{96286306128869} a^{17} + \frac{12290151173636}{96286306128869} a^{16} - \frac{16016494840179}{96286306128869} a^{15} + \frac{43158496153528}{96286306128869} a^{14} - \frac{14738291907730}{96286306128869} a^{13} - \frac{15657219731990}{96286306128869} a^{12} + \frac{16675790781458}{96286306128869} a^{11} + \frac{33233467290828}{96286306128869} a^{10} + \frac{5584891682150}{96286306128869} a^{9} - \frac{31179546868758}{96286306128869} a^{8} - \frac{17861711879764}{96286306128869} a^{7} + \frac{19902743886112}{96286306128869} a^{6} - \frac{44256022653822}{96286306128869} a^{5} + \frac{7576018449825}{96286306128869} a^{4} + \frac{26978971003071}{96286306128869} a^{3} + \frac{28754523539977}{96286306128869} a^{2} - \frac{4381992689661}{96286306128869} a - \frac{36473344969636}{96286306128869}$, $\frac{1}{96286306128869} a^{34} - \frac{420282500000}{96286306128869} a^{20} + \frac{34824827711488}{96286306128869} a^{19} + \frac{34935982812500}{96286306128869} a^{18} - \frac{21840062539381}{96286306128869} a^{17} + \frac{1381542175297}{96286306128869} a^{16} + \frac{36157493765987}{96286306128869} a^{15} - \frac{27630843505940}{96286306128869} a^{14} - \frac{1007862343568}{96286306128869} a^{13} + \frac{37508617226040}{96286306128869} a^{12} + \frac{34831691947017}{96286306128869} a^{11} - \frac{42943152449755}{96286306128869} a^{10} + \frac{23244395429333}{96286306128869} a^{9} + \frac{42659747559927}{96286306128869} a^{8} - \frac{12994676373123}{96286306128869} a^{7} + \frac{36163103734766}{96286306128869} a^{6} + \frac{24008688867906}{96286306128869} a^{5} - \frac{26461184382446}{96286306128869} a^{4} + \frac{24237566426443}{96286306128869} a^{3} - \frac{30349356776541}{96286306128869} a^{2} - \frac{17734846460696}{96286306128869} a + \frac{2596736408688}{96286306128869}$, $\frac{1}{96286306128869} a^{35} - \frac{18448473700298}{96286306128869} a^{20} - \frac{9193679687500}{96286306128869} a^{19} + \frac{9743241551424}{96286306128869} a^{18} - \frac{34796074030952}{96286306128869} a^{17} - \frac{6267797353494}{96286306128869} a^{16} + \frac{27630843505940}{96286306128869} a^{15} + \frac{387818192400}{96286306128869} a^{14} - \frac{5859092432209}{96286306128869} a^{13} + \frac{14986859326222}{96286306128869} a^{12} + \frac{18818368734914}{96286306128869} a^{11} + \frac{5306310234591}{96286306128869} a^{10} - \frac{45912852404221}{96286306128869} a^{9} + \frac{14326275649517}{96286306128869} a^{8} + \frac{11757093583908}{96286306128869} a^{7} + \frac{14010610435836}{96286306128869} a^{6} + \frac{19116862801830}{96286306128869} a^{5} - \frac{44390953886208}{96286306128869} a^{4} - \frac{26191178996230}{96286306128869} a^{3} + \frac{12187128743472}{96286306128869} a^{2} - \frac{33550514305531}{96286306128869} a + \frac{16265063705357}{96286306128869}$, $\frac{1}{96286306128869} a^{36} - \frac{11820445312500}{96286306128869} a^{20} - \frac{1620374402486}{96286306128869} a^{19} + \frac{35307876211310}{96286306128869} a^{18} + \frac{23663389928111}{96286306128869} a^{17} + \frac{33088448204744}{96286306128869} a^{16} - \frac{40202779056400}{96286306128869} a^{15} + \frac{1660288013159}{96286306128869} a^{14} + \frac{47043896636737}{96286306128869} a^{13} + \frac{32260060688424}{96286306128869} a^{12} + \frac{5680691375894}{96286306128869} a^{11} + \frac{28372870662629}{96286306128869} a^{10} + \frac{22736869355873}{96286306128869} a^{9} + \frac{26453460563793}{96286306128869} a^{8} + \frac{26345138347898}{96286306128869} a^{7} + \frac{25743744625421}{96286306128869} a^{6} - \frac{6340781239765}{96286306128869} a^{5} - \frac{18491999446428}{96286306128869} a^{4} + \frac{12617082266717}{96286306128869} a^{3} + \frac{17220886465756}{96286306128869} a^{2} + \frac{7394503096393}{96286306128869} a + \frac{23808751761532}{96286306128869}$, $\frac{1}{96286306128869} a^{37} - \frac{31565808143715}{96286306128869} a^{20} + \frac{45883098074107}{96286306128869} a^{19} + \frac{33331274056072}{96286306128869} a^{18} + \frac{38634995023224}{96286306128869} a^{17} - \frac{17799476914832}{96286306128869} a^{16} + \frac{15314337160380}{96286306128869} a^{15} - \frac{9988894418032}{96286306128869} a^{14} + \frac{28157841427142}{96286306128869} a^{13} + \frac{13226822423140}{96286306128869} a^{12} + \frac{20226355395694}{96286306128869} a^{11} - \frac{24411822634118}{96286306128869} a^{10} - \frac{9350107141710}{96286306128869} a^{9} + \frac{24456464953696}{96286306128869} a^{8} + \frac{37400428566840}{96286306128869} a^{7} - \frac{22749395287344}{96286306128869} a^{6} - \frac{36474555128397}{96286306128869} a^{5} - \frac{3869717215321}{96286306128869} a^{4} + \frac{1775965609808}{96286306128869} a^{3} - \frac{17626699446203}{96286306128869} a^{2} - \frac{42005401553296}{96286306128869} a - \frac{36012402197288}{96286306128869}$, $\frac{1}{96286306128869} a^{38} - \frac{29523190988393}{96286306128869} a^{20} - \frac{7344172652457}{96286306128869} a^{19} - \frac{27354282907427}{96286306128869} a^{18} - \frac{16844191479538}{96286306128869} a^{17} - \frac{20587381588588}{96286306128869} a^{16} - \frac{19783297065604}{96286306128869} a^{15} - \frac{5000390948593}{96286306128869} a^{14} - \frac{11116989047877}{96286306128869} a^{13} - \frac{28852870521022}{96286306128869} a^{12} + \frac{44439303482777}{96286306128869} a^{11} + \frac{18144595184141}{96286306128869} a^{10} + \frac{10241764561229}{96286306128869} a^{9} - \frac{20483906773412}{96286306128869} a^{8} - \frac{47168168111463}{96286306128869} a^{7} - \frac{13908325520410}{96286306128869} a^{6} + \frac{17662524219284}{96286306128869} a^{5} - \frac{39501662285726}{96286306128869} a^{4} - \frac{26865481575037}{96286306128869} a^{3} + \frac{32613379116445}{96286306128869} a^{2} + \frac{1520467884710}{96286306128869} a - \frac{17090508679861}{96286306128869}$, $\frac{1}{96286306128869} a^{39} - \frac{31824748160647}{96286306128869} a^{20} - \frac{46127540564884}{96286306128869} a^{19} + \frac{24055706117737}{96286306128869} a^{18} - \frac{42367542162844}{96286306128869} a^{17} + \frac{23267718434285}{96286306128869} a^{16} + \frac{30010020456479}{96286306128869} a^{15} - \frac{32899496542202}{96286306128869} a^{14} - \frac{25720376724550}{96286306128869} a^{13} - \frac{3905368999021}{96286306128869} a^{12} - \frac{12397219331461}{96286306128869} a^{11} - \frac{7242125791746}{96286306128869} a^{10} - \frac{26412096991360}{96286306128869} a^{9} - \frac{15402809446227}{96286306128869} a^{8} - \frac{3921460164136}{96286306128869} a^{7} + \frac{8802626291360}{96286306128869} a^{6} + \frac{10695621762125}{96286306128869} a^{5} - \frac{37093467594873}{96286306128869} a^{4} - \frac{38828703998309}{96286306128869} a^{3} + \frac{28143615257401}{96286306128869} a^{2} + \frac{2393695805981}{96286306128869} a - \frac{12290945350156}{96286306128869}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $39$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{40}$ (as 40T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_{40}$
Character table for $C_{40}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{41}) \), 4.4.68921.1, 5.5.2825761.1, 8.8.25380571726445801.1, 10.10.327381934393961.1, \(\Q(\zeta_{41})^+\)

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/3.8.0.1}{8} }^{5}$ $20^{2}$ $40$ $40$ $40$ $40$ R ${\href{/LocalNumberField/23.10.0.1}{10} }^{4}$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/31.5.0.1}{5} }^{8}$ ${\href{/LocalNumberField/37.10.0.1}{10} }^{4}$ R $20^{2}$ $40$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/59.10.0.1}{10} }^{4}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
19Data not computed
41Data not computed