↑

Properties

Label 40.40.2475880078...0000.1
Degree $40$
Signature $[40, 0]$
Discriminant $2^{155}\cdot 5^{64}$
Root discriminant $192.68$
Ramified primes $2, 5$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{40}$ (as 40T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-7065151, 33598000, 473512880, -260231040, -8286865580, -5491302248, 61123001360, 79666196680, -213096967350, -394883968040, 350891999212, 967195870520, -232021627260, -1397365920280, -103103625460, 1311230967664, 334604461485, -845333306000, -316466541100, 387281514680, 178661216010, -128571053760, -68313418100, 31210475400, 18533680680, -5540454608, -3636420600, 712912200, 518290750, -65210600, -53314820, 4096920, 3889530, -166560, -194900, 3912, 6340, -40, -120, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 120*x^38 - 40*x^37 + 6340*x^36 + 3912*x^35 - 194900*x^34 - 166560*x^33 + 3889530*x^32 + 4096920*x^31 - 53314820*x^30 - 65210600*x^29 + 518290750*x^28 + 712912200*x^27 - 3636420600*x^26 - 5540454608*x^25 + 18533680680*x^24 + 31210475400*x^23 - 68313418100*x^22 - 128571053760*x^21 + 178661216010*x^20 + 387281514680*x^19 - 316466541100*x^18 - 845333306000*x^17 + 334604461485*x^16 + 1311230967664*x^15 - 103103625460*x^14 - 1397365920280*x^13 - 232021627260*x^12 + 967195870520*x^11 + 350891999212*x^10 - 394883968040*x^9 - 213096967350*x^8 + 79666196680*x^7 + 61123001360*x^6 - 5491302248*x^5 - 8286865580*x^4 - 260231040*x^3 + 473512880*x^2 + 33598000*x - 7065151)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - 120*x^38 - 40*x^37 + 6340*x^36 + 3912*x^35 - 194900*x^34 - 166560*x^33 + 3889530*x^32 + 4096920*x^31 - 53314820*x^30 - 65210600*x^29 + 518290750*x^28 + 712912200*x^27 - 3636420600*x^26 - 5540454608*x^25 + 18533680680*x^24 + 31210475400*x^23 - 68313418100*x^22 - 128571053760*x^21 + 178661216010*x^20 + 387281514680*x^19 - 316466541100*x^18 - 845333306000*x^17 + 334604461485*x^16 + 1311230967664*x^15 - 103103625460*x^14 - 1397365920280*x^13 - 232021627260*x^12 + 967195870520*x^11 + 350891999212*x^10 - 394883968040*x^9 - 213096967350*x^8 + 79666196680*x^7 + 61123001360*x^6 - 5491302248*x^5 - 8286865580*x^4 - 260231040*x^3 + 473512880*x^2 + 33598000*x - 7065151, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - 120 x^{38} - 40 x^{37} + 6340 x^{36} + 3912 x^{35} - 194900 x^{34} - 166560 x^{33} + 3889530 x^{32} + 4096920 x^{31} - 53314820 x^{30} - 65210600 x^{29} + 518290750 x^{28} + 712912200 x^{27} - 3636420600 x^{26} - 5540454608 x^{25} + 18533680680 x^{24} + 31210475400 x^{23} - 68313418100 x^{22} - 128571053760 x^{21} + 178661216010 x^{20} + 387281514680 x^{19} - 316466541100 x^{18} - 845333306000 x^{17} + 334604461485 x^{16} + 1311230967664 x^{15} - 103103625460 x^{14} - 1397365920280 x^{13} - 232021627260 x^{12} + 967195870520 x^{11} + 350891999212 x^{10} - 394883968040 x^{9} - 213096967350 x^{8} + 79666196680 x^{7} + 61123001360 x^{6} - 5491302248 x^{5} - 8286865580 x^{4} - 260231040 x^{3} + 473512880 x^{2} + 33598000 x - 7065151 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[40, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(24758800785707605497982484480000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000=2^{155}\cdot 5^{64}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $192.68$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 5$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(800=2^{5}\cdot 5^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{800}(1,·)$, $\chi_{800}(261,·)$, $\chi_{800}(641,·)$, $\chi_{800}(521,·)$, $\chi_{800}(781,·)$, $\chi_{800}(401,·)$, $\chi_{800}(21,·)$, $\chi_{800}(281,·)$, $\chi_{800}(541,·)$, $\chi_{800}(161,·)$, $\chi_{800}(421,·)$, $\chi_{800}(41,·)$, $\chi_{800}(301,·)$, $\chi_{800}(561,·)$, $\chi_{800}(181,·)$, $\chi_{800}(441,·)$, $\chi_{800}(61,·)$, $\chi_{800}(321,·)$, $\chi_{800}(581,·)$, $\chi_{800}(201,·)$, $\chi_{800}(461,·)$, $\chi_{800}(141,·)$, $\chi_{800}(81,·)$, $\chi_{800}(341,·)$, $\chi_{800}(121,·)$, $\chi_{800}(601,·)$, $\chi_{800}(221,·)$, $\chi_{800}(101,·)$, $\chi_{800}(481,·)$, $\chi_{800}(741,·)$, $\chi_{800}(721,·)$, $\chi_{800}(361,·)$, $\chi_{800}(621,·)$, $\chi_{800}(701,·)$, $\chi_{800}(241,·)$, $\chi_{800}(501,·)$, $\chi_{800}(681,·)$, $\chi_{800}(761,·)$, $\chi_{800}(381,·)$, $\chi_{800}(661,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $\frac{1}{7} a^{32} - \frac{3}{7} a^{31} + \frac{2}{7} a^{30} - \frac{3}{7} a^{29} + \frac{1}{7} a^{27} - \frac{1}{7} a^{26} - \frac{1}{7} a^{24} - \frac{2}{7} a^{23} - \frac{2}{7} a^{22} - \frac{3}{7} a^{21} - \frac{3}{7} a^{20} - \frac{2}{7} a^{19} - \frac{2}{7} a^{18} + \frac{2}{7} a^{17} - \frac{3}{7} a^{16} - \frac{2}{7} a^{15} + \frac{2}{7} a^{14} - \frac{2}{7} a^{13} - \frac{2}{7} a^{12} - \frac{3}{7} a^{11} + \frac{3}{7} a^{10} + \frac{1}{7} a^{9} - \frac{2}{7} a^{8} + \frac{3}{7} a^{7} - \frac{3}{7} a^{6} + \frac{2}{7} a^{5} + \frac{2}{7} a^{4} + \frac{3}{7} a^{3} + \frac{2}{7} a^{2} + \frac{1}{7} a - \frac{1}{7}$, $\frac{1}{7} a^{33} + \frac{3}{7} a^{30} - \frac{2}{7} a^{29} + \frac{1}{7} a^{28} + \frac{2}{7} a^{27} - \frac{3}{7} a^{26} - \frac{1}{7} a^{25} + \frac{2}{7} a^{24} - \frac{1}{7} a^{23} - \frac{2}{7} a^{22} + \frac{2}{7} a^{21} + \frac{3}{7} a^{20} - \frac{1}{7} a^{19} + \frac{3}{7} a^{18} + \frac{3}{7} a^{17} + \frac{3}{7} a^{16} + \frac{3}{7} a^{15} - \frac{3}{7} a^{14} - \frac{1}{7} a^{13} - \frac{2}{7} a^{12} + \frac{1}{7} a^{11} + \frac{3}{7} a^{10} + \frac{1}{7} a^{9} - \frac{3}{7} a^{8} - \frac{1}{7} a^{7} + \frac{1}{7} a^{5} + \frac{2}{7} a^{4} - \frac{3}{7} a^{3} + \frac{2}{7} a - \frac{3}{7}$, $\frac{1}{7} a^{34} + \frac{3}{7} a^{31} - \frac{2}{7} a^{30} + \frac{1}{7} a^{29} + \frac{2}{7} a^{28} - \frac{3}{7} a^{27} - \frac{1}{7} a^{26} + \frac{2}{7} a^{25} - \frac{1}{7} a^{24} - \frac{2}{7} a^{23} + \frac{2}{7} a^{22} + \frac{3}{7} a^{21} - \frac{1}{7} a^{20} + \frac{3}{7} a^{19} + \frac{3}{7} a^{18} + \frac{3}{7} a^{17} + \frac{3}{7} a^{16} - \frac{3}{7} a^{15} - \frac{1}{7} a^{14} - \frac{2}{7} a^{13} + \frac{1}{7} a^{12} + \frac{3}{7} a^{11} + \frac{1}{7} a^{10} - \frac{3}{7} a^{9} - \frac{1}{7} a^{8} + \frac{1}{7} a^{6} + \frac{2}{7} a^{5} - \frac{3}{7} a^{4} + \frac{2}{7} a^{2} - \frac{3}{7} a$, $\frac{1}{7} a^{35} + \frac{2}{7} a^{30} - \frac{3}{7} a^{29} - \frac{3}{7} a^{28} + \frac{3}{7} a^{27} - \frac{2}{7} a^{26} - \frac{1}{7} a^{25} + \frac{1}{7} a^{24} + \frac{1}{7} a^{23} + \frac{2}{7} a^{22} + \frac{1}{7} a^{21} - \frac{2}{7} a^{20} + \frac{2}{7} a^{19} + \frac{2}{7} a^{18} - \frac{3}{7} a^{17} - \frac{1}{7} a^{16} - \frac{2}{7} a^{15} - \frac{1}{7} a^{14} + \frac{2}{7} a^{12} + \frac{3}{7} a^{11} + \frac{2}{7} a^{10} + \frac{3}{7} a^{9} - \frac{1}{7} a^{8} - \frac{1}{7} a^{7} - \frac{3}{7} a^{6} - \frac{2}{7} a^{5} + \frac{1}{7} a^{4} - \frac{2}{7} a^{2} - \frac{3}{7} a + \frac{3}{7}$, $\frac{1}{7} a^{36} + \frac{2}{7} a^{31} - \frac{3}{7} a^{30} - \frac{3}{7} a^{29} + \frac{3}{7} a^{28} - \frac{2}{7} a^{27} - \frac{1}{7} a^{26} + \frac{1}{7} a^{25} + \frac{1}{7} a^{24} + \frac{2}{7} a^{23} + \frac{1}{7} a^{22} - \frac{2}{7} a^{21} + \frac{2}{7} a^{20} + \frac{2}{7} a^{19} - \frac{3}{7} a^{18} - \frac{1}{7} a^{17} - \frac{2}{7} a^{16} - \frac{1}{7} a^{15} + \frac{2}{7} a^{13} + \frac{3}{7} a^{12} + \frac{2}{7} a^{11} + \frac{3}{7} a^{10} - \frac{1}{7} a^{9} - \frac{1}{7} a^{8} - \frac{3}{7} a^{7} - \frac{2}{7} a^{6} + \frac{1}{7} a^{5} - \frac{2}{7} a^{3} - \frac{3}{7} a^{2} + \frac{3}{7} a$, $\frac{1}{7} a^{37} + \frac{3}{7} a^{31} + \frac{2}{7} a^{29} - \frac{2}{7} a^{28} - \frac{3}{7} a^{27} + \frac{3}{7} a^{26} + \frac{1}{7} a^{25} - \frac{3}{7} a^{24} - \frac{2}{7} a^{23} + \frac{2}{7} a^{22} + \frac{1}{7} a^{21} + \frac{1}{7} a^{20} + \frac{1}{7} a^{19} + \frac{3}{7} a^{18} + \frac{1}{7} a^{17} - \frac{2}{7} a^{16} - \frac{3}{7} a^{15} - \frac{2}{7} a^{14} - \frac{1}{7} a^{12} + \frac{2}{7} a^{11} - \frac{3}{7} a^{9} + \frac{1}{7} a^{8} - \frac{1}{7} a^{7} + \frac{3}{7} a^{5} + \frac{1}{7} a^{4} - \frac{2}{7} a^{3} - \frac{1}{7} a^{2} - \frac{2}{7} a + \frac{2}{7}$, $\frac{1}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{38} + \frac{1826457168321242940657210399970130922271143388135538070122828733350150871267261}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{37} + \frac{2002573734654698218553744985584008453950831771113625099887251860694491273605245}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{36} + \frac{116150874536087537802545372398227202613729570293542216691558332594547237121307}{4204047365759465657703566230428606529343406094047504189575060975096062966004351} a^{35} + \frac{1113889613969103585012639749018552652585495044411751667141227983749098886897276}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{34} - \frac{131564915225673390835607589464285725618559422042431715181312676455381592319114}{4204047365759465657703566230428606529343406094047504189575060975096062966004351} a^{33} - \frac{1461894966199618590599031701125158812211247454132783782912746265457172548413671}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{32} + \frac{1774953553384942890847710532909406807220466678011221710615060772432811011885971}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{31} + \frac{7784550741757328567459052726518928881798641037622100694187322639295800504624067}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{30} - \frac{2192138718260800837998820001584756323301054196278570787268604927769718786463597}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{29} + \frac{10265225573056433467346765287050651290667878591359751025213091074500155615229429}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{28} + \frac{4642196156739618158226380590075522071745220539144715881063799619101019178401083}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{27} - \frac{8933341920673795571435260199186839856273813070699144799887415394266991863389083}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{26} + \frac{4052169627050692858817571902005899671232582097229420542133789867646033314965245}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{25} + \frac{1013570529851788777466819356223440121677634874552953148639803168376774815317483}{4204047365759465657703566230428606529343406094047504189575060975096062966004351} a^{24} + \frac{5454131006957917961054708855837207820350057709972270153404486555586918645432026}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{23} + \frac{7833655401729782393175424982034464019775778454079361617515664651692157595194506}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{22} - \frac{5820460984116263667442060492178716109395599515179683848311322329502574726952707}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{21} - \frac{4644006326239639413553692980728483985855784283504442425784279466826069227724476}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{20} - \frac{338774046061337266334993319473574392345658105946640229549392816135611780378692}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{19} - \frac{1731503606683424218511169182671037635601638062946550953665681045933034934764867}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{18} - \frac{4162995084101815826742000686905304072909151180011548684506686737746665372186191}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{17} + \frac{9373343180581960968803461302631073141431074653546122445167244915613832983134181}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{16} - \frac{1797695465475124588960281570791173509555087497339301616975967487725720425912323}{4204047365759465657703566230428606529343406094047504189575060975096062966004351} a^{15} + \frac{11641480005497726743130253803277780918625024022719255476363655260293646340035792}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{14} - \frac{440377570337106090414188042421666412673228044313397370349725799091281082368720}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{13} + \frac{7881871479415546062070534398106493708338270547124009864226210930338634086201349}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{12} - \frac{12722214775085823471140751781660803491501510385315380245115664661470977112455413}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{11} + \frac{452561540450807241498686442355547320963211511693300568757372211259335151629178}{4204047365759465657703566230428606529343406094047504189575060975096062966004351} a^{10} + \frac{898508837805212060116677837142791382839895392824037816238190924741482974548740}{4204047365759465657703566230428606529343406094047504189575060975096062966004351} a^{9} - \frac{8814533937117355744498077529037368743771811718069737138461299331933743992052515}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{8} - \frac{6404245280299158680851633964086130803250588554032159529308993332548341515473855}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{7} - \frac{1003273767030123240391925832632113756688745773423750677486234690889763014574931}{4204047365759465657703566230428606529343406094047504189575060975096062966004351} a^{6} - \frac{1317838529928828743449118344204049520189213421795733259426034745627084146307440}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{5} + \frac{1491600700120949808533431143233409186031735284149311207737613887181178035562754}{4204047365759465657703566230428606529343406094047504189575060975096062966004351} a^{4} - \frac{1255601995682595733251770184305431054562503770992787945973154748531476641155092}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a^{3} - \frac{2042400222008556336670416584021241353726697520252020959250419765586196054291749}{4204047365759465657703566230428606529343406094047504189575060975096062966004351} a^{2} + \frac{7246331476540816271645667334173302145227880528521227704941039514298879627979697}{29428331560316259603924963613000245705403842658332529327025426825672440762030457} a + \frac{64736378549303690051427269149390547521452282295630963370335804835028688710428}{152478401866923624890802920274612672048724573359235903248836408423173268197049}$, $\frac{1}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{39} + \frac{33341863470806829001407366355}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{38} + \frac{41454088374028154877298819875455587607950692941505933226009489416973774068659718471572020037058302379829003}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{37} - \frac{192657169594615162115002512845970520809689882807651114273106627036452531205488515430653509990481983731817581}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{36} - \frac{101905804722921045901250005783863398432569916482445113694776314795822025418297353327700235450925322146264486}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{35} + \frac{191939500769529386061072843728731708435043235380225454094512842507106523001164852125229462285115791724775656}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{34} + \frac{47410099864524270050496255747197477322012609458687067395330648110027667896630505212562395482774282749049300}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{33} - \frac{190196997420259203789734914408068195937073015457635901467305897409443434874499017097874874537376288549668997}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{32} - \frac{56242836681428718917512240018112732305266188442927476325365670678876852802889725134535724325437102439050068}{455909095656379740547504362535277055160316637200535931462007325305987723294476709526874722122638322893087199} a^{31} + \frac{979082943999603114857342791294621067919272564011802820573613304832084475870643190809918987477390018100025608}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{30} - \frac{1015189980585138000923812749211799784776493657990256445940883719080511963700092481841649428244192507037089265}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{29} + \frac{611815303125543885269919665239069574045225748351473885572158633655940885874350749851493276581969527509848899}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{28} + \frac{734235493370435102167737475109764224826736839340472190965737916189516295065228885533806622062812767604871602}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{27} + \frac{1571176310700038606995415936816014187715348074517533067230661449700673067883035043744978021414696147232243876}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{26} - \frac{339763931880467945059437092501727534167368368373330103370687142477905704535547095939708804209152676476346287}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{25} + \frac{423455375799727404761436901191727253566944575276153323122481983990460792548280743788361095735296284495752989}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{24} - \frac{175098924287289377873282212378156937882748726321631896098728746563710534509321500149168217091874217580782699}{455909095656379740547504362535277055160316637200535931462007325305987723294476709526874722122638322893087199} a^{23} + \frac{887618590834278398449699372000632801972571320441759078309687905812827371628392731660244926016846592733592409}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{22} - \frac{123388628226287801911526469746422680416474352911597216890568221958059918949942141435919216740287297964380865}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{21} + \frac{951822050708948431130075099692914035063180032170800188739490544865970157306554620076893224501357679344294758}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{20} + \frac{168087774755220686237470472173835770181752643655802244318586473617999442594202486383956108544616681793419565}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{19} + \frac{1476773150872529473526880685593367253636906031250417287075752260672956413631557870460418323966959389991821855}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{18} + \frac{1508420521064482350742925399754022801578296128000338720083348178246234643586002008256706040416402332376041906}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{17} + \frac{935936660581955011029492007523056548018869679114188888061602957714457024536624973624095311201967464873623259}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{16} - \frac{567412112977530116622135846908579427438263706368308084228607566429414009224230758917234068478403756020110972}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{15} + \frac{468873779226889177597541578275121638541965104055753312169970460443407505998345615169609132417321200255665924}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{14} - \frac{1418680747501631657396385842195643444304935837227974023512234862733731246426840465461068385455978380927023742}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{13} + \frac{1333101764566422548717463965526990745561776184422912505105960344401866788938560143416172617265014040076617018}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{12} - \frac{1176104117228983537888362166857361275216921021443528764451152922528265102817555879414701711018539757493643764}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{11} - \frac{610083547155043958792492717783413715874144870772119017321801705840877889753952364879925328465686113024597558}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{10} - \frac{913400437940697437017483834136173135947650631650129694455182033888912468770030250099776366215349706742001178}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{9} + \frac{9802852285063505116305322764428620027621788680295519012945231731620394756877707450676337946004741743666305}{455909095656379740547504362535277055160316637200535931462007325305987723294476709526874722122638322893087199} a^{8} + \frac{277072379878188203190851236530816665850700858200824191421009202464074087832549613451423794140204190120754040}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{7} - \frac{1285966597547851955654919427532570141825773142144773952797500482790361527478487898888055121246439242547385353}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{6} + \frac{761397439460019288886267494785729699776134664215500017190806679476437700147550886107496662129304985121227897}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{5} - \frac{353487372706746808425656621065543004865410676951638297474201167659192506293426625092479410683071132500432199}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{4} - \frac{1273575026958728765664077489618943102594803105321751291550617202964293888642181366437654331874769511339741143}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{3} - \frac{1210987050417216701854263508463632674458688995761777653013040318815949146870197602095271345847848499840430965}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a^{2} + \frac{1299931451365989980454611178660094513380216040475789829759465395572603451690797794102184674617910541059445210}{3191363669594658183832530537746939386122216460403751520234051277141914063061336966688123054858468260251610393} a - \frac{498465218004161521081868972976100540350773384405714869087813923642222730358706516028540758691321417994223}{16535563054894601988769588278481551223431173369967624457171250140631679083219362521700119455225224146381401}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $39$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{40}$ (as 40T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_{40}$
Character table for $C_{40}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{2}) \), \(\Q(\zeta_{16})^+\), 5.5.390625.1, \(\Q(\zeta_{32})^+\), 10.10.5000000000000000.1, 20.20.838860800000000000000000000000000000000.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R $40$ R ${\href{/LocalNumberField/7.4.0.1}{4} }^{10}$ $40$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/17.10.0.1}{10} }^{4}$ $40$ $20^{2}$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/31.5.0.1}{5} }^{8}$ $40$ $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/43.8.0.1}{8} }^{5}$ ${\href{/LocalNumberField/47.10.0.1}{10} }^{4}$ $40$ $40$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
5Data not computed