↑

Properties

Label 40.40.2416704387...6448.1
Degree $40$
Signature $[40, 0]$
Discriminant $2^{155}\cdot 31^{32}$
Root discriminant $228.87$
Ramified primes $2, 31$
Class number $1$ (GRH)
Class group Trivial (GRH)
Galois group $C_{40}$ (as 40T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![42209663, -228874328, -6594043108, 77279696800, -288637717830, 192988272776, 1440603918032, -3535639721664, 152712506135, 9155351367488, -9248389510952, -7656532378816, 17968739818102, -2329718096856, -15615391129992, 9131898997544, 6671459080739, -7668591177232, -725194611924, 3434806714480, -661031915676, -912006399112, 380958750440, 136200533328, -102288662272, -6551273896, 16490173728, -1481634088, -1659074182, 338987480, 99757876, -33432552, -2906961, 1879168, -16112, -61536, 3906, 1088, -108, -8, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 8*x^39 - 108*x^38 + 1088*x^37 + 3906*x^36 - 61536*x^35 - 16112*x^34 + 1879168*x^33 - 2906961*x^32 - 33432552*x^31 + 99757876*x^30 + 338987480*x^29 - 1659074182*x^28 - 1481634088*x^27 + 16490173728*x^26 - 6551273896*x^25 - 102288662272*x^24 + 136200533328*x^23 + 380958750440*x^22 - 912006399112*x^21 - 661031915676*x^20 + 3434806714480*x^19 - 725194611924*x^18 - 7668591177232*x^17 + 6671459080739*x^16 + 9131898997544*x^15 - 15615391129992*x^14 - 2329718096856*x^13 + 17968739818102*x^12 - 7656532378816*x^11 - 9248389510952*x^10 + 9155351367488*x^9 + 152712506135*x^8 - 3535639721664*x^7 + 1440603918032*x^6 + 192988272776*x^5 - 288637717830*x^4 + 77279696800*x^3 - 6594043108*x^2 - 228874328*x + 42209663)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - 8*x^39 - 108*x^38 + 1088*x^37 + 3906*x^36 - 61536*x^35 - 16112*x^34 + 1879168*x^33 - 2906961*x^32 - 33432552*x^31 + 99757876*x^30 + 338987480*x^29 - 1659074182*x^28 - 1481634088*x^27 + 16490173728*x^26 - 6551273896*x^25 - 102288662272*x^24 + 136200533328*x^23 + 380958750440*x^22 - 912006399112*x^21 - 661031915676*x^20 + 3434806714480*x^19 - 725194611924*x^18 - 7668591177232*x^17 + 6671459080739*x^16 + 9131898997544*x^15 - 15615391129992*x^14 - 2329718096856*x^13 + 17968739818102*x^12 - 7656532378816*x^11 - 9248389510952*x^10 + 9155351367488*x^9 + 152712506135*x^8 - 3535639721664*x^7 + 1440603918032*x^6 + 192988272776*x^5 - 288637717830*x^4 + 77279696800*x^3 - 6594043108*x^2 - 228874328*x + 42209663, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - 8 x^{39} - 108 x^{38} + 1088 x^{37} + 3906 x^{36} - 61536 x^{35} - 16112 x^{34} + 1879168 x^{33} - 2906961 x^{32} - 33432552 x^{31} + 99757876 x^{30} + 338987480 x^{29} - 1659074182 x^{28} - 1481634088 x^{27} + 16490173728 x^{26} - 6551273896 x^{25} - 102288662272 x^{24} + 136200533328 x^{23} + 380958750440 x^{22} - 912006399112 x^{21} - 661031915676 x^{20} + 3434806714480 x^{19} - 725194611924 x^{18} - 7668591177232 x^{17} + 6671459080739 x^{16} + 9131898997544 x^{15} - 15615391129992 x^{14} - 2329718096856 x^{13} + 17968739818102 x^{12} - 7656532378816 x^{11} - 9248389510952 x^{10} + 9155351367488 x^{9} + 152712506135 x^{8} - 3535639721664 x^{7} + 1440603918032 x^{6} + 192988272776 x^{5} - 288637717830 x^{4} + 77279696800 x^{3} - 6594043108 x^{2} - 228874328 x + 42209663 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[40, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(24167043879315228976172699291023550158269835250766566962153320455612538222913527445942276456448=2^{155}\cdot 31^{32}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $228.87$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 31$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(992=2^{5}\cdot 31\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{992}(1,·)$, $\chi_{992}(357,·)$, $\chi_{992}(901,·)$, $\chi_{992}(777,·)$, $\chi_{992}(729,·)$, $\chi_{992}(653,·)$, $\chi_{992}(621,·)$, $\chi_{992}(529,·)$, $\chi_{992}(405,·)$, $\chi_{992}(345,·)$, $\chi_{992}(281,·)$, $\chi_{992}(721,·)$, $\chi_{992}(157,·)$, $\chi_{992}(33,·)$, $\chi_{992}(349,·)$, $\chi_{992}(469,·)$, $\chi_{992}(969,·)$, $\chi_{992}(965,·)$, $\chi_{992}(97,·)$, $\chi_{992}(841,·)$, $\chi_{992}(845,·)$, $\chi_{992}(717,·)$, $\chi_{992}(977,·)$, $\chi_{992}(853,·)$, $\chi_{992}(473,·)$, $\chi_{992}(605,·)$, $\chi_{992}(869,·)$, $\chi_{992}(481,·)$, $\chi_{992}(101,·)$, $\chi_{992}(593,·)$, $\chi_{992}(745,·)$, $\chi_{992}(225,·)$, $\chi_{992}(109,·)$, $\chi_{992}(497,·)$, $\chi_{992}(221,·)$, $\chi_{992}(373,·)$, $\chi_{992}(233,·)$, $\chi_{992}(249,·)$, $\chi_{992}(125,·)$, $\chi_{992}(597,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $\frac{1}{5} a^{32} + \frac{1}{5} a^{31} + \frac{2}{5} a^{30} + \frac{1}{5} a^{28} + \frac{2}{5} a^{27} - \frac{1}{5} a^{26} + \frac{1}{5} a^{24} + \frac{2}{5} a^{23} + \frac{1}{5} a^{22} + \frac{1}{5} a^{20} + \frac{2}{5} a^{19} - \frac{1}{5} a^{18} + \frac{2}{5} a^{17} + \frac{2}{5} a^{15} + \frac{2}{5} a^{14} - \frac{1}{5} a^{13} - \frac{2}{5} a^{11} + \frac{1}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{6} + \frac{1}{5} a^{5} + \frac{1}{5} a^{4} + \frac{1}{5} a^{3} - \frac{2}{5} a^{2} - \frac{2}{5} a - \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{33} + \frac{1}{5} a^{31} - \frac{2}{5} a^{30} + \frac{1}{5} a^{29} + \frac{1}{5} a^{28} + \frac{2}{5} a^{27} + \frac{1}{5} a^{26} + \frac{1}{5} a^{25} + \frac{1}{5} a^{24} - \frac{1}{5} a^{23} - \frac{1}{5} a^{22} + \frac{1}{5} a^{21} + \frac{1}{5} a^{20} + \frac{2}{5} a^{19} - \frac{2}{5} a^{18} - \frac{2}{5} a^{17} + \frac{2}{5} a^{16} + \frac{2}{5} a^{14} + \frac{1}{5} a^{13} - \frac{2}{5} a^{12} + \frac{2}{5} a^{11} + \frac{1}{5} a^{10} - \frac{2}{5} a^{9} + \frac{1}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{7} + \frac{2}{5} a^{6} + \frac{2}{5} a^{3} + \frac{1}{5} a + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{34} + \frac{2}{5} a^{31} - \frac{1}{5} a^{30} + \frac{1}{5} a^{29} + \frac{1}{5} a^{28} - \frac{1}{5} a^{27} + \frac{2}{5} a^{26} + \frac{1}{5} a^{25} - \frac{2}{5} a^{24} + \frac{2}{5} a^{23} + \frac{1}{5} a^{21} + \frac{1}{5} a^{20} + \frac{1}{5} a^{19} - \frac{1}{5} a^{18} - \frac{1}{5} a^{14} - \frac{1}{5} a^{13} + \frac{2}{5} a^{12} - \frac{2}{5} a^{11} - \frac{2}{5} a^{10} + \frac{2}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{5} + \frac{1}{5} a^{4} - \frac{1}{5} a^{3} - \frac{2}{5} a^{2} - \frac{2}{5} a + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{955} a^{35} + \frac{28}{955} a^{34} + \frac{11}{955} a^{33} + \frac{18}{191} a^{32} - \frac{146}{955} a^{31} - \frac{433}{955} a^{30} + \frac{58}{191} a^{29} + \frac{91}{955} a^{28} - \frac{113}{955} a^{27} + \frac{60}{191} a^{26} + \frac{2}{5} a^{25} - \frac{23}{191} a^{24} + \frac{281}{955} a^{23} - \frac{297}{955} a^{22} - \frac{79}{191} a^{21} - \frac{32}{955} a^{20} - \frac{91}{191} a^{19} - \frac{198}{955} a^{18} - \frac{436}{955} a^{17} + \frac{267}{955} a^{16} - \frac{36}{191} a^{15} - \frac{176}{955} a^{14} + \frac{247}{955} a^{13} - \frac{258}{955} a^{12} + \frac{468}{955} a^{11} + \frac{21}{191} a^{10} - \frac{384}{955} a^{9} - \frac{84}{191} a^{8} - \frac{79}{955} a^{7} + \frac{231}{955} a^{6} + \frac{301}{955} a^{5} - \frac{49}{191} a^{4} + \frac{33}{191} a^{3} + \frac{51}{955} a^{2} - \frac{66}{191} a + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{955} a^{36} - \frac{9}{955} a^{34} - \frac{27}{955} a^{33} + \frac{8}{955} a^{32} + \frac{408}{955} a^{31} + \frac{381}{955} a^{30} - \frac{389}{955} a^{29} + \frac{13}{955} a^{28} - \frac{33}{191} a^{27} - \frac{378}{955} a^{26} - \frac{306}{955} a^{25} + \frac{63}{955} a^{24} + \frac{86}{191} a^{23} - \frac{101}{955} a^{22} - \frac{432}{955} a^{21} + \frac{50}{191} a^{20} - \frac{64}{955} a^{19} + \frac{333}{955} a^{18} + \frac{251}{955} a^{17} + \frac{366}{955} a^{16} - \frac{293}{955} a^{15} - \frac{364}{955} a^{14} + \frac{84}{955} a^{13} + \frac{243}{955} a^{12} - \frac{393}{955} a^{11} + \frac{114}{955} a^{10} + \frac{209}{955} a^{9} - \frac{352}{955} a^{8} - \frac{8}{191} a^{7} - \frac{11}{191} a^{6} - \frac{78}{955} a^{5} - \frac{42}{955} a^{4} - \frac{367}{955} a^{3} - \frac{39}{955} a^{2} - \frac{119}{955} a - \frac{2}{5}$, $\frac{1}{955} a^{37} + \frac{34}{955} a^{34} - \frac{84}{955} a^{33} + \frac{72}{955} a^{32} + \frac{213}{955} a^{31} - \frac{55}{191} a^{30} + \frac{331}{955} a^{29} + \frac{81}{955} a^{28} - \frac{58}{955} a^{27} + \frac{102}{955} a^{26} + \frac{254}{955} a^{25} + \frac{70}{191} a^{24} - \frac{11}{191} a^{23} - \frac{48}{191} a^{22} + \frac{133}{955} a^{21} + \frac{6}{191} a^{20} + \frac{58}{955} a^{19} + \frac{188}{955} a^{18} + \frac{262}{955} a^{17} - \frac{182}{955} a^{16} - \frac{456}{955} a^{15} - \frac{163}{955} a^{14} - \frac{208}{955} a^{13} + \frac{30}{191} a^{12} - \frac{67}{955} a^{11} + \frac{78}{191} a^{10} + \frac{203}{955} a^{9} - \frac{2}{955} a^{7} - \frac{291}{955} a^{6} - \frac{198}{955} a^{5} - \frac{89}{955} a^{4} + \frac{109}{955} a^{3} + \frac{149}{955} a^{2} + \frac{86}{955} a - \frac{2}{5}$, $\frac{1}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{38} - \frac{2386658334730293161815466115254446248226636577269156530314966782126189489154320091}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{37} + \frac{636400846272441991288809730442485996190443634306806709119853201910155779825629102}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{36} - \frac{2100186918788334386561083965263399338212050459414260968397689188035800032433354598}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{35} + \frac{372561993379651597328322116001680362827156404627867681377686453134540683168113455627}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{34} + \frac{260161183762887458329748641100556015769550269651223890209667804091536784358544276359}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{33} - \frac{221408469609111922399272396870418000088809582683052457680563042610254597695744918657}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{32} + \frac{2785869695167440008539151089226148430391137114573922611593153940543671890065160786398}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{31} - \frac{3147631723558657424046122914288899161361963744338449261070548446105223649817628417881}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{30} - \frac{233561166006889393191181543102592523748323796162741851072474914957797556287102737916}{1315023954020551723773693178070239624174798871646440295224154677869542161548345068191} a^{29} + \frac{1902745378859207388212774795431279325476005067767527965592397530459321436691730983274}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{28} - \frac{3276226211288674717587679460615593231208094218441059409856989039329874564683043597353}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{27} - \frac{739090184877704376950034931027775412758252465640158395483969195488301951392372340193}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{26} - \frac{1568906570423690663635210138431828047788283220962928576788898795196913374146203775102}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{25} + \frac{2887868179267195709856893486337484800401080067329203532688308815065403711783605298248}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{24} - \frac{1801608580202958931703143633371490003805912198797795267799944667480045225388905142356}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{23} + \frac{2189889714082059620213209395232228959135349699314996292416555585561179598478667661112}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{22} + \frac{65870194797964665269827172302261675508380005500389461139992621653962193780809300311}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{21} + \frac{1324032808257670461721848857150162493820777088265069424267752929111360968240293498621}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{20} + \frac{1260741251383800529377388577055903474744664383884768865556251117047370996080653719791}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{19} - \frac{2975751802606157420776645188264404251808922196604174595543213147727434329157624320772}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{18} + \frac{68604929408262048229149213402472039087772435728581667480731799132437558653984823899}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{17} + \frac{2652732097181350184454604263136941242777033640222265520506587541136762828869862967402}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{16} - \frac{778856525333937734693519235329344032211778712428473199149473601979090117355653036491}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{15} - \frac{56238745880861332271068127733783149153208198146692268671098510578784343950899881140}{1315023954020551723773693178070239624174798871646440295224154677869542161548345068191} a^{14} + \frac{1513603188282631468714436565168741486011542986491611645064669529270674141607910697351}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{13} - \frac{212127397969427578641800269007691286708578767229254818234114405326318785843497847461}{1315023954020551723773693178070239624174798871646440295224154677869542161548345068191} a^{12} + \frac{222109085417207967130176684504622022672564623622998379082642298220772103458740300818}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{11} - \frac{368166982953833566365783966204152066590450458465921641315883823921707838614340177}{8550220767363795343131945241028866217001293053617947303147949791089350855320839195} a^{10} + \frac{2822536136852328101766872793894942897679570713603790093639501705395994008681661815476}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{9} - \frac{3225364782012127270457831446187911506691710475016327849202523223404165634325515408638}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{8} - \frac{2846234920676438738274432345514152562307882110920984848800669433809174897054371770102}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{7} + \frac{3282276163570763303536534328435721380219700813929909431038752101646570391357698460307}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{6} - \frac{2993278091562444094344990393027374285560551553663316645010251844515422166213472268257}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{5} + \frac{749843533942680773391357963848479115488205039936525967970958006919117564416265405989}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{4} + \frac{2683773390091187086446569061389163200564234950066372644754421479640955719712186117156}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{3} + \frac{2257890356429474932122560430366414431979085411697321750371408988653670602054066374152}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a^{2} + \frac{5641567554437082582237268147755173772338228338304144930804868361540906908234553978}{6575119770102758618868465890351198120873994358232201476120773389347710807741725340955} a - \frac{62698378619371942553354509526826482672235476965359592340754035687269181990149}{155772856326826362458010287605262286052224448184582792715515719453806366749285}$, $\frac{1}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{39} - \frac{738171960739806754045834746337}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{38} + \frac{1177543731167997504573472211470526120198962474504117481526922209401603838878458144583876986244322336891711949423}{3164748046986224778489950431104948790643542221603804343443179562382818329623471151218038960497205320286441291344927} a^{37} - \frac{1509893683154995363234485599456072305531472716311466622682847309393814462468337675844284675901832133702938863432}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{36} - \frac{6539944967670328087556811359367305666153048888140422215511030480081673044415473617928841862834054349172546207884}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{35} + \frac{242707148001868267704459273784843357251469325240585957320600328733690848537798889418599980127943945482395354445951}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{34} + \frac{157600883721985758733723976396097953073139246259977542919636594495556762756135107401757062718598394359588844416142}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{33} - \frac{171200797382377541619986561216698030083967394489304635963425646862073457034519428564457512577300069791272708969778}{3164748046986224778489950431104948790643542221603804343443179562382818329623471151218038960497205320286441291344927} a^{32} + \frac{5625982717640090632913466812011959487828325713093981645260069455245527534473436265999778473086884743939884231342958}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{31} + \frac{4247770646264722019588765765235695662519759570999225724191091726325835491520962728783303339503234733075271861638978}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{30} + \frac{971319617473917204745055015202089811668511134046775428259649294348216782348282497082632685352788086162568749844279}{3164748046986224778489950431104948790643542221603804343443179562382818329623471151218038960497205320286441291344927} a^{29} - \frac{5815121679895174014313635092146506104353151368081709892039010500234006239358175906518961166846198407953264220587142}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{28} + \frac{2738403536737237696349741619097713172883523126807984400901570794731869966903295629322852841712452987497129470134587}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{27} + \frac{801169962244050009739124461528299922927797012383291228553959185597781990698142655038022982984848400603992436798561}{3164748046986224778489950431104948790643542221603804343443179562382818329623471151218038960497205320286441291344927} a^{26} + \frac{6496079798755038180741254469674455744236724287179193097320261758746273849057960769579906677561454667764571529564723}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{25} - \frac{5749349816036206108835746187395821260593005788085189983382696181369095428957743896505200471379894993337446836765247}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{24} + \frac{1677069915502471430893511708629340499870082231447326855290540376424216690341689149138384870365597517476120266069477}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{23} - \frac{1260972612915443293844524754486393003471871067233509540666049718880132681477749425531453353010013522653892425815382}{3164748046986224778489950431104948790643542221603804343443179562382818329623471151218038960497205320286441291344927} a^{22} + \frac{4665645203590462879129477794018354810132193142167320360768603210560338433788246564878490054249342183188235238981076}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{21} - \frac{6462543357254278857261211035518281089931289386917539817161688248196424781553148887481291529947930302170010994785564}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{20} - \frac{4925659729769120635971135935653336975471223037243671476797367149593779141092714915609102962225503655705563618173303}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{19} - \frac{6280662752179549996392375888471314472086006322872814415694176376482174866784534259383012589820971122102166018753751}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{18} - \frac{3966581753489871916509818128998014180740220551087913191372393907290895561096243376380375925346489406451541910900344}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{17} + \frac{540923071229514769344337812229537987507735517309776270826548236384959023025061684198869797708155333855440759474867}{3164748046986224778489950431104948790643542221603804343443179562382818329623471151218038960497205320286441291344927} a^{16} - \frac{6812187826870762956344564971643401827526457470926309087469867530260368338446966691329465787050181452753183070144631}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{15} + \frac{1172394106261308737187382021378862509310081749502048305246397995938957104412312846108357636007895674766191786668}{82846807512728397342668859453009130645118906324706919985423548753476919623651077257016726714586526709069143752485} a^{14} - \frac{2514297138791639246128082782241312649685631356069711772185207352012297182201616061073617476846358595338370517165849}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{13} - \frac{6720014026014237262770172142099920476128900904563641878874230448162621773610899016304627312812345637789965389103063}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{12} + \frac{2615513784173189861457101970876711920788081957116391681772690219775241690945810253735071195313156899592610650444287}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{11} - \frac{2436976386026749681946256113808581220833798943038038505902829262999050578180588299232733823040907169958481532589958}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{10} + \frac{1045214517208984819256648995969724929852061207028401669029288471074101291882757690383119991560073088995683979883576}{3164748046986224778489950431104948790643542221603804343443179562382818329623471151218038960497205320286441291344927} a^{9} - \frac{6355907681125058340110466244312331289639593101894797710948362844830579720778963907701388952409113828232357083073721}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{8} + \frac{171537218514254707321839816124365187228058561987704527896519826945367037242455635358050764098312326321295307575931}{3164748046986224778489950431104948790643542221603804343443179562382818329623471151218038960497205320286441291344927} a^{7} + \frac{613118502989650160630455056601828290065937378126517694604181297774725358281820940157221398832264995894197695059198}{3164748046986224778489950431104948790643542221603804343443179562382818329623471151218038960497205320286441291344927} a^{6} + \frac{4604911535029530285166729466956429941024597235322673983252093580345456230897084793111161685153546902084506747307524}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{5} - \frac{979246220259117506099132771221928312725200095181250582213965176849001808625610892315199125071428493803915426714171}{3164748046986224778489950431104948790643542221603804343443179562382818329623471151218038960497205320286441291344927} a^{4} - \frac{2903240485644069442996175710201352975258177849627829483098338036988246345978867134491196412359042503143991646609693}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{3} + \frac{6236545054788296099025650824724212991883526493347457988838946745086444988532603934082248148712762983150776364675409}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a^{2} + \frac{4260748284305741900770147671948824240356216912494498311085716199280422462088589762170940280752699062754894911309212}{15823740234931123892449752155524743953217711108019021717215897811914091648117355756090194802486026601432206456724635} a + \frac{23173248321884053447831435121427802069891862761238014598748244055372070234105776240645618723709734759941894}{374884306347840869813382593353676951962817402925463340401838740383075118323435933522856953453668336594684645}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $39$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 51941021536151210000000000000000000 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{40}$ (as 40T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_{40}$
Character table for $C_{40}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{2}) \), \(\Q(\zeta_{16})^+\), 5.5.923521.1, \(\Q(\zeta_{32})^+\), 10.10.27947533514866688.1, 20.20.26208180000330451995141510200671871172608.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R $40$ ${\href{/LocalNumberField/5.8.0.1}{8} }^{5}$ $20^{2}$ $40$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/17.10.0.1}{10} }^{4}$ $40$ $20^{2}$ $40$ R ${\href{/LocalNumberField/37.8.0.1}{8} }^{5}$ $20^{2}$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/47.10.0.1}{10} }^{4}$ $40$ $40$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
$31$31.5.4.1$x^{5} - 31$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
31.5.4.1$x^{5} - 31$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
31.5.4.1$x^{5} - 31$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
31.5.4.1$x^{5} - 31$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
31.5.4.1$x^{5} - 31$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
31.5.4.1$x^{5} - 31$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
31.5.4.1$x^{5} - 31$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
31.5.4.1$x^{5} - 31$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$