↑

Properties

Label 40.40.2342492774...0625.1
Degree $40$
Signature $[40, 0]$
Discriminant $5^{20}\cdot 11^{32}\cdot 17^{35}$
Root discriminant $181.65$
Ramified primes $5, 11, 17$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{40}$ (as 40T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![99452651, 582845329, -14574899705, -62108079736, 443309788137, 551974490536, -3968102247745, -2042316034583, 16811606265180, 4123513230427, -39827070645512, -5328728706700, 57856494632629, 5434842226712, -54915618366102, -4842006085510, 35584533352769, 3444167779449, -16230752948952, -1770142272603, 5328173642850, 637078046638, -1279418767795, -161003561620, 227220142820, 28841721208, -30025251733, -3683043942, 2952971467, 334559600, -214673754, -21340302, 11344024, 928824, -422087, -26104, 10435, 424, -153, -3, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 3*x^39 - 153*x^38 + 424*x^37 + 10435*x^36 - 26104*x^35 - 422087*x^34 + 928824*x^33 + 11344024*x^32 - 21340302*x^31 - 214673754*x^30 + 334559600*x^29 + 2952971467*x^28 - 3683043942*x^27 - 30025251733*x^26 + 28841721208*x^25 + 227220142820*x^24 - 161003561620*x^23 - 1279418767795*x^22 + 637078046638*x^21 + 5328173642850*x^20 - 1770142272603*x^19 - 16230752948952*x^18 + 3444167779449*x^17 + 35584533352769*x^16 - 4842006085510*x^15 - 54915618366102*x^14 + 5434842226712*x^13 + 57856494632629*x^12 - 5328728706700*x^11 - 39827070645512*x^10 + 4123513230427*x^9 + 16811606265180*x^8 - 2042316034583*x^7 - 3968102247745*x^6 + 551974490536*x^5 + 443309788137*x^4 - 62108079736*x^3 - 14574899705*x^2 + 582845329*x + 99452651)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - 3*x^39 - 153*x^38 + 424*x^37 + 10435*x^36 - 26104*x^35 - 422087*x^34 + 928824*x^33 + 11344024*x^32 - 21340302*x^31 - 214673754*x^30 + 334559600*x^29 + 2952971467*x^28 - 3683043942*x^27 - 30025251733*x^26 + 28841721208*x^25 + 227220142820*x^24 - 161003561620*x^23 - 1279418767795*x^22 + 637078046638*x^21 + 5328173642850*x^20 - 1770142272603*x^19 - 16230752948952*x^18 + 3444167779449*x^17 + 35584533352769*x^16 - 4842006085510*x^15 - 54915618366102*x^14 + 5434842226712*x^13 + 57856494632629*x^12 - 5328728706700*x^11 - 39827070645512*x^10 + 4123513230427*x^9 + 16811606265180*x^8 - 2042316034583*x^7 - 3968102247745*x^6 + 551974490536*x^5 + 443309788137*x^4 - 62108079736*x^3 - 14574899705*x^2 + 582845329*x + 99452651, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - 3 x^{39} - 153 x^{38} + 424 x^{37} + 10435 x^{36} - 26104 x^{35} - 422087 x^{34} + 928824 x^{33} + 11344024 x^{32} - 21340302 x^{31} - 214673754 x^{30} + 334559600 x^{29} + 2952971467 x^{28} - 3683043942 x^{27} - 30025251733 x^{26} + 28841721208 x^{25} + 227220142820 x^{24} - 161003561620 x^{23} - 1279418767795 x^{22} + 637078046638 x^{21} + 5328173642850 x^{20} - 1770142272603 x^{19} - 16230752948952 x^{18} + 3444167779449 x^{17} + 35584533352769 x^{16} - 4842006085510 x^{15} - 54915618366102 x^{14} + 5434842226712 x^{13} + 57856494632629 x^{12} - 5328728706700 x^{11} - 39827070645512 x^{10} + 4123513230427 x^{9} + 16811606265180 x^{8} - 2042316034583 x^{7} - 3968102247745 x^{6} + 551974490536 x^{5} + 443309788137 x^{4} - 62108079736 x^{3} - 14574899705 x^{2} + 582845329 x + 99452651 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[40, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(2342492774810879590625564693377242840437133595865567669360927718694362835612583160400390625=5^{20}\cdot 11^{32}\cdot 17^{35}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $181.65$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 11, 17$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(935=5\cdot 11\cdot 17\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{935}(256,·)$, $\chi_{935}(1,·)$, $\chi_{935}(389,·)$, $\chi_{935}(774,·)$, $\chi_{935}(9,·)$, $\chi_{935}(526,·)$, $\chi_{935}(399,·)$, $\chi_{935}(16,·)$, $\chi_{935}(529,·)$, $\chi_{935}(786,·)$, $\chi_{935}(531,·)$, $\chi_{935}(276,·)$, $\chi_{935}(676,·)$, $\chi_{935}(421,·)$, $\chi_{935}(166,·)$, $\chi_{935}(559,·)$, $\chi_{935}(49,·)$, $\chi_{935}(434,·)$, $\chi_{935}(179,·)$, $\chi_{935}(696,·)$, $\chi_{935}(441,·)$, $\chi_{935}(59,·)$, $\chi_{935}(444,·)$, $\chi_{935}(191,·)$, $\chi_{935}(81,·)$, $\chi_{935}(851,·)$, $\chi_{935}(654,·)$, $\chi_{935}(86,·)$, $\chi_{935}(729,·)$, $\chi_{935}(474,·)$, $\chi_{935}(859,·)$, $\chi_{935}(784,·)$, $\chi_{935}(356,·)$, $\chi_{935}(229,·)$, $\chi_{935}(614,·)$, $\chi_{935}(104,·)$, $\chi_{935}(361,·)$, $\chi_{935}(144,·)$, $\chi_{935}(251,·)$, $\chi_{935}(511,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $\frac{1}{13} a^{30} + \frac{1}{13} a^{29} + \frac{1}{13} a^{28} - \frac{3}{13} a^{27} + \frac{4}{13} a^{26} + \frac{5}{13} a^{25} - \frac{5}{13} a^{24} - \frac{3}{13} a^{23} + \frac{4}{13} a^{22} + \frac{1}{13} a^{21} + \frac{1}{13} a^{20} - \frac{2}{13} a^{18} + \frac{5}{13} a^{17} - \frac{2}{13} a^{16} + \frac{1}{13} a^{15} + \frac{6}{13} a^{14} - \frac{6}{13} a^{12} + \frac{3}{13} a^{11} - \frac{1}{13} a^{10} + \frac{6}{13} a^{9} + \frac{5}{13} a^{8} - \frac{6}{13} a^{7} - \frac{5}{13} a^{5} + \frac{6}{13} a^{4} + \frac{1}{13} a^{3} - \frac{2}{13} a^{2} + \frac{6}{13} a + \frac{3}{13}$, $\frac{1}{13} a^{31} - \frac{4}{13} a^{28} - \frac{6}{13} a^{27} + \frac{1}{13} a^{26} + \frac{3}{13} a^{25} + \frac{2}{13} a^{24} - \frac{6}{13} a^{23} - \frac{3}{13} a^{22} - \frac{1}{13} a^{20} - \frac{2}{13} a^{19} - \frac{6}{13} a^{18} + \frac{6}{13} a^{17} + \frac{3}{13} a^{16} + \frac{5}{13} a^{15} - \frac{6}{13} a^{14} - \frac{6}{13} a^{13} - \frac{4}{13} a^{12} - \frac{4}{13} a^{11} - \frac{6}{13} a^{10} - \frac{1}{13} a^{9} + \frac{2}{13} a^{8} + \frac{6}{13} a^{7} - \frac{5}{13} a^{6} - \frac{2}{13} a^{5} - \frac{5}{13} a^{4} - \frac{3}{13} a^{3} - \frac{5}{13} a^{2} - \frac{3}{13} a - \frac{3}{13}$, $\frac{1}{13} a^{32} - \frac{4}{13} a^{29} - \frac{6}{13} a^{28} + \frac{1}{13} a^{27} + \frac{3}{13} a^{26} + \frac{2}{13} a^{25} - \frac{6}{13} a^{24} - \frac{3}{13} a^{23} - \frac{1}{13} a^{21} - \frac{2}{13} a^{20} - \frac{6}{13} a^{19} + \frac{6}{13} a^{18} + \frac{3}{13} a^{17} + \frac{5}{13} a^{16} - \frac{6}{13} a^{15} - \frac{6}{13} a^{14} - \frac{4}{13} a^{13} - \frac{4}{13} a^{12} - \frac{6}{13} a^{11} - \frac{1}{13} a^{10} + \frac{2}{13} a^{9} + \frac{6}{13} a^{8} - \frac{5}{13} a^{7} - \frac{2}{13} a^{6} - \frac{5}{13} a^{5} - \frac{3}{13} a^{4} - \frac{5}{13} a^{3} - \frac{3}{13} a^{2} - \frac{3}{13} a$, $\frac{1}{13} a^{33} - \frac{2}{13} a^{29} + \frac{5}{13} a^{28} + \frac{4}{13} a^{27} + \frac{5}{13} a^{26} + \frac{1}{13} a^{25} + \frac{3}{13} a^{24} + \frac{1}{13} a^{23} + \frac{2}{13} a^{22} + \frac{2}{13} a^{21} - \frac{2}{13} a^{20} + \frac{6}{13} a^{19} - \frac{5}{13} a^{18} - \frac{1}{13} a^{17} - \frac{1}{13} a^{16} - \frac{2}{13} a^{15} - \frac{6}{13} a^{14} - \frac{4}{13} a^{13} - \frac{4}{13} a^{12} - \frac{2}{13} a^{11} - \frac{2}{13} a^{10} + \frac{4}{13} a^{9} + \frac{2}{13} a^{8} - \frac{5}{13} a^{6} + \frac{3}{13} a^{5} + \frac{6}{13} a^{4} + \frac{1}{13} a^{3} + \frac{2}{13} a^{2} - \frac{2}{13} a - \frac{1}{13}$, $\frac{1}{13} a^{34} - \frac{6}{13} a^{29} + \frac{6}{13} a^{28} - \frac{1}{13} a^{27} - \frac{4}{13} a^{26} + \frac{4}{13} a^{24} - \frac{4}{13} a^{23} - \frac{3}{13} a^{22} - \frac{5}{13} a^{20} - \frac{5}{13} a^{19} - \frac{5}{13} a^{18} - \frac{4}{13} a^{17} - \frac{6}{13} a^{16} - \frac{4}{13} a^{15} - \frac{5}{13} a^{14} - \frac{4}{13} a^{13} - \frac{1}{13} a^{12} + \frac{4}{13} a^{11} + \frac{2}{13} a^{10} + \frac{1}{13} a^{9} - \frac{3}{13} a^{8} - \frac{4}{13} a^{7} + \frac{3}{13} a^{6} - \frac{4}{13} a^{5} + \frac{4}{13} a^{3} - \frac{6}{13} a^{2} - \frac{2}{13} a + \frac{6}{13}$, $\frac{1}{611} a^{35} - \frac{6}{611} a^{34} - \frac{12}{611} a^{33} - \frac{17}{611} a^{32} + \frac{16}{611} a^{31} - \frac{2}{611} a^{30} + \frac{1}{13} a^{29} + \frac{23}{611} a^{28} + \frac{76}{611} a^{27} + \frac{166}{611} a^{26} + \frac{3}{47} a^{25} - \frac{171}{611} a^{24} - \frac{113}{611} a^{23} + \frac{261}{611} a^{22} + \frac{70}{611} a^{21} - \frac{46}{611} a^{20} + \frac{23}{611} a^{19} + \frac{88}{611} a^{18} - \frac{35}{611} a^{17} - \frac{131}{611} a^{16} + \frac{99}{611} a^{15} - \frac{288}{611} a^{14} - \frac{126}{611} a^{13} - \frac{144}{611} a^{12} - \frac{2}{47} a^{11} - \frac{96}{611} a^{10} - \frac{304}{611} a^{9} - \frac{112}{611} a^{8} - \frac{115}{611} a^{7} + \frac{187}{611} a^{6} + \frac{8}{611} a^{5} + \frac{96}{611} a^{4} + \frac{25}{611} a^{3} - \frac{92}{611} a^{2} - \frac{48}{611} a + \frac{122}{611}$, $\frac{1}{611} a^{36} - \frac{1}{611} a^{34} + \frac{5}{611} a^{33} + \frac{8}{611} a^{32} - \frac{12}{611} a^{30} + \frac{23}{611} a^{29} + \frac{120}{611} a^{28} - \frac{83}{611} a^{27} + \frac{95}{611} a^{26} - \frac{172}{611} a^{25} + \frac{36}{611} a^{24} - \frac{88}{611} a^{23} - \frac{56}{611} a^{22} - \frac{190}{611} a^{21} - \frac{206}{611} a^{20} + \frac{179}{611} a^{19} - \frac{212}{611} a^{18} + \frac{82}{611} a^{17} - \frac{170}{611} a^{16} + \frac{71}{611} a^{15} + \frac{120}{611} a^{14} - \frac{54}{611} a^{13} + \frac{191}{611} a^{12} + \frac{30}{611} a^{11} + \frac{154}{611} a^{10} - \frac{291}{611} a^{9} + \frac{12}{611} a^{8} - \frac{17}{47} a^{7} - \frac{139}{611} a^{6} + \frac{191}{611} a^{5} - \frac{151}{611} a^{4} + \frac{105}{611} a^{3} + \frac{199}{611} a^{2} - \frac{119}{611} a - \frac{161}{611}$, $\frac{1}{611} a^{37} - \frac{1}{611} a^{34} - \frac{4}{611} a^{33} - \frac{17}{611} a^{32} + \frac{4}{611} a^{31} + \frac{21}{611} a^{30} + \frac{167}{611} a^{29} - \frac{60}{611} a^{28} + \frac{171}{611} a^{27} - \frac{6}{611} a^{26} + \frac{75}{611} a^{25} - \frac{259}{611} a^{24} - \frac{13}{47} a^{23} + \frac{71}{611} a^{22} - \frac{136}{611} a^{21} + \frac{133}{611} a^{20} - \frac{189}{611} a^{19} + \frac{170}{611} a^{18} - \frac{205}{611} a^{17} - \frac{60}{611} a^{16} + \frac{219}{611} a^{15} + \frac{269}{611} a^{14} + \frac{5}{47} a^{13} - \frac{114}{611} a^{12} + \frac{128}{611} a^{11} + \frac{224}{611} a^{10} - \frac{292}{611} a^{9} + \frac{278}{611} a^{8} - \frac{254}{611} a^{7} - \frac{233}{611} a^{6} - \frac{11}{47} a^{5} + \frac{201}{611} a^{4} + \frac{224}{611} a^{3} - \frac{211}{611} a^{2} - \frac{209}{611} a + \frac{122}{611}$, $\frac{1}{611} a^{38} - \frac{10}{611} a^{34} + \frac{18}{611} a^{33} - \frac{1}{47} a^{32} - \frac{10}{611} a^{31} - \frac{23}{611} a^{30} - \frac{295}{611} a^{29} - \frac{14}{47} a^{28} - \frac{118}{611} a^{27} + \frac{288}{611} a^{26} - \frac{32}{611} a^{25} + \frac{36}{611} a^{24} + \frac{240}{611} a^{23} + \frac{219}{611} a^{22} + \frac{109}{611} a^{21} + \frac{3}{13} a^{20} - \frac{42}{611} a^{19} - \frac{305}{611} a^{18} - \frac{142}{611} a^{17} + \frac{276}{611} a^{16} - \frac{149}{611} a^{15} - \frac{129}{611} a^{14} - \frac{146}{611} a^{13} - \frac{110}{611} a^{12} - \frac{272}{611} a^{11} - \frac{12}{611} a^{10} + \frac{303}{611} a^{9} - \frac{84}{611} a^{8} - \frac{113}{611} a^{7} + \frac{44}{611} a^{6} + \frac{162}{611} a^{5} - \frac{291}{611} a^{4} - \frac{186}{611} a^{3} - \frac{207}{611} a^{2} + \frac{215}{611} a + \frac{263}{611}$, $\frac{1}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{39} - \frac{82792592171952616802340971739245525233077679027337765845767560680772384249854505882902387108166614557528511311888657014435113742711706958464457508397269825111468964397876319641696013726975761648608011212790652333271}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{38} + \frac{19661238858655657614689830145908879619458174078436549682930535032390004618964409827537270699234223204218426312016494256299920933576347645659312492789806448746896530824787083391843743215381550887489412328683684433519}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{37} - \frac{38814523262552335272567534315295156130056797306576975977668303719786101287768608383754695636797342607159867139724869695325120900200338965881213469186440153853031188046250833638656030313256366686098796101238425406408}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{36} + \frac{98315551999417185543918973407708908429191976832673992601411218024243730471456592261725628544431960249851356088513257723870325092635292485138765785618668886451963114490388634962660683069106397008250516198338912009239}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{35} + \frac{3469747170487151122874624598541787548214884453085921454672515755570113275744410758956234451974847381629970813871490956579037114317458218571018430752685173812975769995247077973863104475414163818371410999851742168385960}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{34} - \frac{6449010949142132336398349172573552921602964515071163780452591472487329281710000038835666653451387554338283762261597685035655120787436346978250056432298938852455791784349998388569646142699415388189894251934003236365480}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{33} + \frac{7473815553432489977244378162279493152491096317231510819883735483118033057366696269998660251164233997721120849193751515220201182096740494689774873754063390949470723607490860196126102435657621628138036910901548339590900}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{32} + \frac{62878615202768253815800991716190335207228739193746795528537185621815504929557453401075766758094497197748033938643898667422517873398604392414575349342562863410056281703546178343289626106506275834508944688034460815131}{15035418738145527710982542911327223986210749820584343007665495277117821291647333216589951087914752154154602877192740876148377011594599657206693573359359525057474244191786686428052282959324151216811232519602097466292963} a^{31} + \frac{1560439152993783656942670681711028387733660984161483987893759620759508389504210485009880936538101700390927639295439838490304770724757683511167618738463322523823130635579491071874796569026049263123681646744063203121578}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{30} + \frac{5191467424607637276437824191616863797360598279221782123495829093763393472224438092282066633346193242366338471434888593176049603219694043703570032272648592137731363883307845025550310367160180410291754906710757828495134}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{29} - \frac{78512330413901764748202309594888842622680296124318534028331351573676226237658540858595185261924141691628570547364290586393996657443186856868646223588305317935275456202336885068051565654430382280342014530710598266880870}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{28} - \frac{82214086971889679983255208869006111646196932201954570593077224728890882564030316310809199091927545738267980914038351838002332450066861107158934468513756334652958259314100182130659932828611642703896226218749380589803973}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{27} - \frac{14672881485232898117359802052453514706958561423142414473468063835719318143206248546525721833737033181795616465465154984999334264175864817227993479747264473520612935155195780628293508353352868699467050727262610993674533}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{26} + \frac{8652979611387086398182978879158650762410036437639278536575340197540052128952056931097969041243373686936675654816296889294292813690244442652272473370017032853040928737136755892462210761663958545538185495434017332730836}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{25} + \frac{19980978940247953296089383591186880614062494201532789908234988100725555175923201222808785809110934669337128093309730268646983658833115375006890677577962952935164317053429522596337171068941598712707865976923052331786970}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{24} + \frac{90665661667110274692356392466316909252757672458810131204551655468477892955366500219419556236998997642748402257507339317951330495708427171809026164593965165379166915058211495271974026511576479507155274234300590985882079}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{23} + \frac{53482080355582598138122278773121940151196092895782021905104740273180424589908039363199444472083284126299515577535357515325614855937376883395984897842300019627212612113577603593075776338849620836344198879644686772580288}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{22} - \frac{30606158824571183519032455831524370725785398149514710384351358656757281004718373402538238871128060067599593350550378928657783406722387582201218484943869735968890142119516141502282029752726903735350937358684135892151843}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{21} + \frac{23373554352121192581576582073876805309638649981102361754817627283502027712287994006968756364619055784020122573424083879896301206608461835506787859228067109497694881121002217637383641088190986160296734752363488141995336}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{20} - \frac{70128324495939519455104635893948518364060112678745500959929015300077684371245691147258069206646108870659226371235594628428872876477052246708633575355682649951755950583436673669518397979941191766692192025512460806611341}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{19} + \frac{31477286242016916149790637681268280741477783515455563792259065515941788687076449137076127827201452912156988237837288578050333941359935367164315200802237668743002134107053317652619567649891761903742951215673678573776003}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{18} + \frac{66037485035201369939384764731150703443642456998681743215499580839560700044377884314694948067252973596895830940016032950124234805494212994550192310135485072753951865866524470976197612429919729612926534726473165240704943}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{17} - \frac{7625816764808981720823011558592833762924950358809979895310155477454955784414002820794835477778717709684676338677006214532653932616219268543442296289177379526622682454114816434922537795219227106141416303692343312777173}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{16} - \frac{23313900507699206246594031588523435947950297654913533092810506878074889756588143444612708347109601671648410416434377469039320527456933196939480345698005644520383999968995430460902861600061493938471570953651220680459414}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{15} + \frac{22981056640228626370728328464229384174076188581618352934080331090483900354291215329539698638085607579953150060763826491204614517228639233097040565671150887827549181343682038994808513462807966195109320877779783663775621}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{14} + \frac{67867381378760582965555551643458644018371890913224911575298818878644073086881220471956776818931756276141425034434909659830669759729971402577532757273848076401253448101121823650729464291392388008715570589638681743184039}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{13} + \frac{65854406385368986715939754650890011604968164920417687569960118065920861863908430209112859506331721781333128889039796098831018353742214904161849904332894766714386318902920772977508382118453569519392163221704520657758886}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{12} + \frac{83713100261609894129321290223655527612264750121017073243778257938675738787226778709574445919107668856445505275359679058369805091592707549165424466823746133808941678380846036823763659145906417065499790270882842446084643}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{11} + \frac{75787285333419144497737650246437936799613454599450934618524134186387377368906048685549205104445245666837608163977476695083407085643106745649480185762680452584238667042826555466477970885115583076532181734691114094830127}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{10} - \frac{69089987082114873282542750415650795849005918577853240779303853535917699722391315812425175863287982153221168762562926333942534531447385365846442502131524593561187281094218704625723211196674814897459307877163430188539490}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{9} - \frac{29117225973143203095753913371064327844053590446791555887060012799002654112131323163482221511118892031463863425973669321336776084118641480450683660113753121033305015669226530630865306143929702229736975952971395898045065}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{8} + \frac{466565016340918490035471073136454116677227229483662987580012228375903218700374250621378385998632688499804766593142305450420641522135504539844908392179393284987340393480919187836507601631298118506427937277456995914794}{15035418738145527710982542911327223986210749820584343007665495277117821291647333216589951087914752154154602877192740876148377011594599657206693573359359525057474244191786686428052282959324151216811232519602097466292963} a^{7} - \frac{21023166008806430557912088209878499294968690275991275009162805754600145643754517713182361254390048706505473340981107013365961332988349038761514079168197878523878138132727391150049318544828003190578861708008643810412548}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{6} - \frac{47125173181392530445713533305153881472523141421762356549485619094014988286465963298091394421718028673106717425304013201519679072824921767707652837282334833315531757159719848119514606783853491310116096277288930967050178}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{5} + \frac{29522821020490918770664568897060117887991030807553300592614913536496875067268681521256392541899576700724891146374628639240974210754484039115139404297857116842338798678886174665843020840427380889398851444270807407994926}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{4} + \frac{45107636718907181200923128381820332123972921977189938111555673224287577946625319200027816458232886786288236694082115173777339807944421332176386989694054071377067657393942591770237588448715019449013688646679982882670662}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{3} - \frac{96922207742955989815302665682180927217977276196489234928482716672562950879511428240306233172056443907773177210107153575600778594909032877754962237987004692392974484423662176174460830099913998922344151450805917610245616}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519} a^{2} + \frac{2573428571392879383443481967708368862456146894305337716089417552253125226706072857071603813473387174544464232394270520721307996861261415408548675121621658652125378079579904556371296223481695269674151811404258993693038}{15035418738145527710982542911327223986210749820584343007665495277117821291647333216589951087914752154154602877192740876148377011594599657206693573359359525057474244191786686428052282959324151216811232519602097466292963} a - \frac{35814741012493088494297861905020999940212460113364406982374735976840103216387351880557111180893576299935305756633603524336283097989262481951771211251818420897212119022714312996013340903531407337641191419679246848423326}{195460443595891860242773057847253911820739747667596459099651438602531676791415331815669364142891778004009837403505631389928901150729795543687016453671673825747165174493226923564679678471213965818546022754827267061808519}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $39$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{40}$ (as 40T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_{40}$
Character table for $C_{40}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{17}) \), 4.4.4913.1, \(\Q(\zeta_{11})^+\), 8.8.256461670625.1, 10.10.304358957700017.1, 20.20.131527565972137936816816034072938673.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $20^{2}$ $40$ R $40$ R ${\href{/LocalNumberField/13.5.0.1}{5} }^{8}$ R $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/23.8.0.1}{8} }^{5}$ $40$ $40$ $40$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/43.4.0.1}{4} }^{10}$ ${\href{/LocalNumberField/47.5.0.1}{5} }^{8}$ $20^{2}$ $20^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
11Data not computed
17Data not computed