↑

Properties

Label 40.40.1253932065...8273.1
Degree $40$
Signature $[40, 0]$
Discriminant $3^{20}\cdot 11^{36}\cdot 17^{35}$
Root discriminant $178.84$
Ramified primes $3, 11, 17$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{40}$ (as 40T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![659293725553, -2824636354242, -17785593138966, 30373994353352, 151892844636343, -87683463878301, -529199446717775, 99785910037161, 1002593035021561, -19657957772667, -1193088872781988, -73261636886553, 966867236860220, 96526851715894, -560776551917371, -64633390154843, 240398315372500, 28251138253118, -77799928955137, -8723038714906, 19263753417689, 1972195023941, -3676141757622, -332258193740, 541800127879, 41984561293, -61490161599, -3971508525, 5329207425, 278361814, -347475640, -14163595, 16641982, 505047, -563770, -11875, 12691, 164, -169, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - x^39 - 169*x^38 + 164*x^37 + 12691*x^36 - 11875*x^35 - 563770*x^34 + 505047*x^33 + 16641982*x^32 - 14163595*x^31 - 347475640*x^30 + 278361814*x^29 + 5329207425*x^28 - 3971508525*x^27 - 61490161599*x^26 + 41984561293*x^25 + 541800127879*x^24 - 332258193740*x^23 - 3676141757622*x^22 + 1972195023941*x^21 + 19263753417689*x^20 - 8723038714906*x^19 - 77799928955137*x^18 + 28251138253118*x^17 + 240398315372500*x^16 - 64633390154843*x^15 - 560776551917371*x^14 + 96526851715894*x^13 + 966867236860220*x^12 - 73261636886553*x^11 - 1193088872781988*x^10 - 19657957772667*x^9 + 1002593035021561*x^8 + 99785910037161*x^7 - 529199446717775*x^6 - 87683463878301*x^5 + 151892844636343*x^4 + 30373994353352*x^3 - 17785593138966*x^2 - 2824636354242*x + 659293725553)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - x^39 - 169*x^38 + 164*x^37 + 12691*x^36 - 11875*x^35 - 563770*x^34 + 505047*x^33 + 16641982*x^32 - 14163595*x^31 - 347475640*x^30 + 278361814*x^29 + 5329207425*x^28 - 3971508525*x^27 - 61490161599*x^26 + 41984561293*x^25 + 541800127879*x^24 - 332258193740*x^23 - 3676141757622*x^22 + 1972195023941*x^21 + 19263753417689*x^20 - 8723038714906*x^19 - 77799928955137*x^18 + 28251138253118*x^17 + 240398315372500*x^16 - 64633390154843*x^15 - 560776551917371*x^14 + 96526851715894*x^13 + 966867236860220*x^12 - 73261636886553*x^11 - 1193088872781988*x^10 - 19657957772667*x^9 + 1002593035021561*x^8 + 99785910037161*x^7 - 529199446717775*x^6 - 87683463878301*x^5 + 151892844636343*x^4 + 30373994353352*x^3 - 17785593138966*x^2 - 2824636354242*x + 659293725553, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - x^{39} - 169 x^{38} + 164 x^{37} + 12691 x^{36} - 11875 x^{35} - 563770 x^{34} + 505047 x^{33} + 16641982 x^{32} - 14163595 x^{31} - 347475640 x^{30} + 278361814 x^{29} + 5329207425 x^{28} - 3971508525 x^{27} - 61490161599 x^{26} + 41984561293 x^{25} + 541800127879 x^{24} - 332258193740 x^{23} - 3676141757622 x^{22} + 1972195023941 x^{21} + 19263753417689 x^{20} - 8723038714906 x^{19} - 77799928955137 x^{18} + 28251138253118 x^{17} + 240398315372500 x^{16} - 64633390154843 x^{15} - 560776551917371 x^{14} + 96526851715894 x^{13} + 966867236860220 x^{12} - 73261636886553 x^{11} - 1193088872781988 x^{10} - 19657957772667 x^{9} + 1002593035021561 x^{8} + 99785910037161 x^{7} - 529199446717775 x^{6} - 87683463878301 x^{5} + 151892844636343 x^{4} + 30373994353352 x^{3} - 17785593138966 x^{2} - 2824636354242 x + 659293725553 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[40, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(1253932065633113944469151521443730441431713790591149570137187939336618885736329611782428273=3^{20}\cdot 11^{36}\cdot 17^{35}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $178.84$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 11, 17$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(561=3\cdot 11\cdot 17\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{561}(256,·)$, $\chi_{561}(1,·)$, $\chi_{561}(2,·)$, $\chi_{561}(4,·)$, $\chi_{561}(134,·)$, $\chi_{561}(263,·)$, $\chi_{561}(8,·)$, $\chi_{561}(128,·)$, $\chi_{561}(268,·)$, $\chi_{561}(526,·)$, $\chi_{561}(16,·)$, $\chi_{561}(512,·)$, $\chi_{561}(536,·)$, $\chi_{561}(281,·)$, $\chi_{561}(412,·)$, $\chi_{561}(157,·)$, $\chi_{561}(32,·)$, $\chi_{561}(161,·)$, $\chi_{561}(359,·)$, $\chi_{561}(421,·)$, $\chi_{561}(166,·)$, $\chi_{561}(169,·)$, $\chi_{561}(314,·)$, $\chi_{561}(64,·)$, $\chi_{561}(322,·)$, $\chi_{561}(67,·)$, $\chi_{561}(332,·)$, $\chi_{561}(460,·)$, $\chi_{561}(461,·)$, $\chi_{561}(206,·)$, $\chi_{561}(463,·)$, $\chi_{561}(338,·)$, $\chi_{561}(83,·)$, $\chi_{561}(230,·)$, $\chi_{561}(103,·)$, $\chi_{561}(361,·)$, $\chi_{561}(491,·)$, $\chi_{561}(365,·)$, $\chi_{561}(115,·)$, $\chi_{561}(511,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $\frac{1}{5963} a^{34} + \frac{1741}{5963} a^{33} - \frac{2380}{5963} a^{32} - \frac{2694}{5963} a^{31} + \frac{1071}{5963} a^{30} + \frac{13}{89} a^{29} + \frac{1349}{5963} a^{28} - \frac{956}{5963} a^{27} - \frac{2552}{5963} a^{26} - \frac{1493}{5963} a^{25} + \frac{1473}{5963} a^{24} - \frac{404}{5963} a^{23} + \frac{1234}{5963} a^{22} + \frac{2926}{5963} a^{21} + \frac{2589}{5963} a^{20} - \frac{2727}{5963} a^{19} - \frac{604}{5963} a^{18} - \frac{5}{5963} a^{17} + \frac{2797}{5963} a^{16} - \frac{1202}{5963} a^{15} - \frac{2840}{5963} a^{14} - \frac{2463}{5963} a^{13} + \frac{65}{5963} a^{12} - \frac{471}{5963} a^{11} - \frac{1583}{5963} a^{10} + \frac{1122}{5963} a^{9} - \frac{2569}{5963} a^{8} + \frac{422}{5963} a^{7} - \frac{1707}{5963} a^{6} + \frac{2570}{5963} a^{5} + \frac{1403}{5963} a^{4} + \frac{61}{5963} a^{3} - \frac{1097}{5963} a^{2} + \frac{1965}{5963} a - \frac{30}{89}$, $\frac{1}{5963} a^{35} + \frac{1706}{5963} a^{33} + \frac{2564}{5963} a^{32} - \frac{1556}{5963} a^{31} + \frac{2679}{5963} a^{30} - \frac{460}{5963} a^{29} - \frac{143}{5963} a^{28} - \frac{1833}{5963} a^{27} - \frac{896}{5963} a^{26} + \frac{918}{5963} a^{25} - \frac{807}{5963} a^{24} + \frac{964}{5963} a^{23} + \frac{1212}{5963} a^{22} + \frac{825}{5963} a^{21} - \frac{2148}{5963} a^{20} + \frac{555}{5963} a^{19} + \frac{2071}{5963} a^{18} - \frac{424}{5963} a^{17} + \frac{992}{5963} a^{16} + \frac{2792}{5963} a^{15} - \frac{1350}{5963} a^{14} + \frac{751}{5963} a^{13} - \frac{339}{5963} a^{12} + \frac{1497}{5963} a^{11} + \frac{2219}{5963} a^{10} - \frac{107}{5963} a^{9} + \frac{9}{67} a^{8} - \frac{2960}{5963} a^{7} - \frac{1080}{5963} a^{6} - \frac{717}{5963} a^{5} + \frac{2268}{5963} a^{4} + \frac{36}{5963} a^{3} - \frac{2281}{5963} a^{2} - \frac{313}{5963} a - \frac{13}{89}$, $\frac{1}{160281868163} a^{36} - \frac{11385631}{160281868163} a^{35} + \frac{2141860}{160281868163} a^{34} - \frac{36296725380}{160281868163} a^{33} - \frac{53439070513}{160281868163} a^{32} + \frac{76034502674}{160281868163} a^{31} + \frac{23047201650}{160281868163} a^{30} + \frac{44853294770}{160281868163} a^{29} + \frac{63127070637}{160281868163} a^{28} + \frac{21886046930}{160281868163} a^{27} - \frac{73133402581}{160281868163} a^{26} + \frac{10062683464}{160281868163} a^{25} - \frac{23090844010}{160281868163} a^{24} + \frac{38368156305}{160281868163} a^{23} - \frac{15900712403}{160281868163} a^{22} - \frac{41835870446}{160281868163} a^{21} - \frac{13409813884}{160281868163} a^{20} - \frac{7961182820}{160281868163} a^{19} - \frac{41618223919}{160281868163} a^{18} + \frac{15176846447}{160281868163} a^{17} - \frac{12353542624}{160281868163} a^{16} + \frac{52757333673}{160281868163} a^{15} - \frac{11263344768}{160281868163} a^{14} - \frac{76779311597}{160281868163} a^{13} - \frac{44669591352}{160281868163} a^{12} - \frac{26886913758}{160281868163} a^{11} - \frac{710680847}{2392266689} a^{10} + \frac{76866241274}{160281868163} a^{9} + \frac{9201946191}{160281868163} a^{8} + \frac{45616638806}{160281868163} a^{7} + \frac{48563417946}{160281868163} a^{6} - \frac{70548450023}{160281868163} a^{5} - \frac{596887720}{160281868163} a^{4} - \frac{4596452195}{160281868163} a^{3} + \frac{8790163006}{160281868163} a^{2} - \frac{77157784325}{160281868163} a - \frac{388468671}{2392266689}$, $\frac{1}{160281868163} a^{37} + \frac{13167048}{160281868163} a^{35} + \frac{884177}{160281868163} a^{34} - \frac{19347820931}{160281868163} a^{33} - \frac{38378891195}{160281868163} a^{32} + \frac{47847144955}{160281868163} a^{31} + \frac{45909334705}{160281868163} a^{30} + \frac{52673813669}{160281868163} a^{29} - \frac{70795945134}{160281868163} a^{28} + \frac{58098474540}{160281868163} a^{27} - \frac{72779552158}{160281868163} a^{26} - \frac{35998463105}{160281868163} a^{25} + \frac{19919749482}{160281868163} a^{24} - \frac{32287520149}{160281868163} a^{23} - \frac{34193603559}{160281868163} a^{22} + \frac{62508322070}{160281868163} a^{21} + \frac{39755329018}{160281868163} a^{20} - \frac{46020716594}{160281868163} a^{19} - \frac{49759002858}{160281868163} a^{18} + \frac{53637445197}{160281868163} a^{17} + \frac{60533212170}{160281868163} a^{16} + \frac{74187318852}{160281868163} a^{15} + \frac{54915471035}{160281868163} a^{14} - \frac{17938902084}{160281868163} a^{13} + \frac{20527371878}{160281868163} a^{12} + \frac{18716905490}{160281868163} a^{11} - \frac{66071453287}{160281868163} a^{10} + \frac{36909362087}{160281868163} a^{9} + \frac{31373537832}{160281868163} a^{8} + \frac{60944745734}{160281868163} a^{7} - \frac{26269660172}{160281868163} a^{6} + \frac{71623233096}{160281868163} a^{5} + \frac{2344528650}{160281868163} a^{4} - \frac{46296071178}{160281868163} a^{3} + \frac{874527300}{2392266689} a^{2} - \frac{65770433287}{160281868163} a + \frac{651180568}{2392266689}$, $\frac{1}{48497712769470906743} a^{38} - \frac{5101371}{48497712769470906743} a^{37} - \frac{58126574}{48497712769470906743} a^{36} + \frac{1767234736865099}{48497712769470906743} a^{35} - \frac{1176902187090766}{48497712769470906743} a^{34} + \frac{9348326478006236200}{48497712769470906743} a^{33} + \frac{7096412058112503272}{48497712769470906743} a^{32} + \frac{19696837056648442997}{48497712769470906743} a^{31} - \frac{14493700884131887621}{48497712769470906743} a^{30} - \frac{7995146171987838790}{48497712769470906743} a^{29} - \frac{16980662483077576048}{48497712769470906743} a^{28} + \frac{6523815811702760431}{48497712769470906743} a^{27} + \frac{12637501038723466473}{48497712769470906743} a^{26} + \frac{1281506981223505242}{48497712769470906743} a^{25} - \frac{9631204706133575002}{48497712769470906743} a^{24} - \frac{8092920730480902881}{48497712769470906743} a^{23} - \frac{21590671550686033}{63065946384227447} a^{22} + \frac{3453088180136907219}{48497712769470906743} a^{21} - \frac{3462769104284378657}{48497712769470906743} a^{20} + \frac{4249022502860900876}{48497712769470906743} a^{19} - \frac{22297088974930320550}{48497712769470906743} a^{18} - \frac{180636434237037536}{723846459245834429} a^{17} - \frac{18297140892837435329}{48497712769470906743} a^{16} + \frac{24194964470345909268}{48497712769470906743} a^{15} + \frac{11409362691173966197}{48497712769470906743} a^{14} - \frac{2108415563823174784}{48497712769470906743} a^{13} - \frac{8231879669089885223}{48497712769470906743} a^{12} - \frac{14323897823584119936}{48497712769470906743} a^{11} - \frac{21565795046551299017}{48497712769470906743} a^{10} - \frac{8470869115460787283}{48497712769470906743} a^{9} + \frac{16306382854849866492}{48497712769470906743} a^{8} - \frac{9681042272889187400}{48497712769470906743} a^{7} + \frac{12379519464585661888}{48497712769470906743} a^{6} + \frac{13655854839757048217}{48497712769470906743} a^{5} + \frac{8952142960195147755}{48497712769470906743} a^{4} - \frac{8433490911756179337}{48497712769470906743} a^{3} + \frac{20720681638536987057}{48497712769470906743} a^{2} + \frac{17335579301339996248}{48497712769470906743} a + \frac{138651413417983238}{723846459245834429}$, $\frac{1}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{39} - \frac{653185581371338190106429657263387255860089026023650278891106963056828395310145696395510975847821820753735028132345690122642632801278776194413420261352462455518742486484}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{38} + \frac{108225354451338159867799482954214898598677856442659081789597878344437202941838243513498308463235586557441821786636199780659854281896624353900140222185185867351583015744483430342}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{37} + \frac{232354448344353091984634154814477803161983445781203372048898806028287178862733631787134105407815319993759856663612791335613203542609950041193893742157796521923397712113972640525}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{36} - \frac{3672976260064714002891075113714790387040324304143992119182684567006909236201533237025262960353706622761248619521000362263161792359181957816286914184747070970120992519003674497362537742}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{35} - \frac{5248882040109473017907406151389002324786377003031147953069359983987283116387582471556274378537906688116616701191683077025229765773575208248871083215770014685594278510269053211794921941}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{34} - \frac{17021298897807898642221134797825867021327756997435359398997190750193096300484483947259413603151982559312026214593148805978356920467859717514009424005454150471651111647347400785759988330947}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{33} - \frac{2852450086079563300912322878893244891427914535592087340115294346097532844521470019977617588952059098658039034741653320257097432279405276571648571577004240664627738079089923017072785638936}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{32} - \frac{10663072529846910652899578455689113604513518102458219107167560424055992365520524844151266524434878447630566755141842934466923971612845481671274401206932192872330143584318535022392319369630}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{31} - \frac{9798548878140678385382558975484136213160760123656893696276242638051378091535226234999328031691548472634655445714047353444933324504202433136937114419331017885492714966330358454657892198688}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{30} - \frac{36029964555206955209584352675972798932407916085672688019518629377756001282967167982455415221745898503819000156111631673789526602520660819340034930045101048298109096569535339900055076191212}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{29} + \frac{32810046655762543688585663882275398159350303095968382657905116326386415663788254011112989747316997492714722066752606115677365350535658023088794597794246089817040197855513925501693460289642}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{28} + \frac{14531740382443634634001897426415942597286730894269274351609163780071541410730737304324312636066831393126493822504681082512368778377563303915016907845702373884735120465854532617548020904877}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{27} - \frac{34636772957933229583028276981116518418702745446431033460478281652892634136585125904285865136608993624147229720800504355854309775222485547151534808451802371359061210919898593218716745697796}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{26} + \frac{15101495056928884426724434685805288329395345664047029402532210872196626342559494021766515072105794330637004266223939775015849534577193960656447318009413210591036535631191371500786086530218}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{25} + \frac{28054775669086770857367116444535121416284338096037340505543920083148461570703412529549537364477575449874334426156862357947937852647443359018725704530926148431025680959564456462026419323495}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{24} + \frac{35693422926670147166505935570148156876952663493779775666695452193068738529228581005298068167637493361317310457668858374015977926383907530350099850870069589785853800435151470314181291424512}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{23} - \frac{35043643688478532284712570897822951921564783936034808051313085915388351626752933519058968371629123224023735246959973587331764488415966857473595771523450748383033320006848232201351210917407}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{22} - \frac{4466320016251358831770527427853632996475304846289402437116371811747675809009495390321792833766307519916481101497349875531797743282111513000095636507754410819194080345929115476801098025407}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{21} - \frac{11014267539832441489113636230472735600225140408811814389839413601324315649957696440051990675166998459950713484458868422681787550446929198592449610131461966345405096194433692590106617469076}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{20} - \frac{17558683917549287603271111515111206748571087872554773694481386955194728501137794886774094521948454746656370038501207241690030171333672819287737327832371106360594323146910142799538190405628}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{19} + \frac{19143318117278292513148093767991084791590826081245485370517499976318112321721747723801786289182573417969341970037786755225733156445612205846123098272285870656000827012076905675976458211415}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{18} - \frac{11114545599081555854172284742437065696670921448283377084807181530349100959866986483125136027706835131552505773720583908103429979993624254548880769281196609089083589572595334861713920154437}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{17} + \frac{17831201425217861482083595359746509291511976561732277249691483144102672151097290220298140208912844069104520088100569191638671687046011980207556345417099674430402246310729673331753177820319}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{16} + \frac{22873976687864405662357452897053926288078795099302109970855912210113313954098420782664978212541695463068059518781624321120017215492771517016725969999885085121143331406919273181764429487414}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{15} - \frac{29241276897306907033966475989232052275648917540151105465723509994307396156665226654728582680363816912284066325220904760637538470724043895642128875374815465927687228962422609484357656486104}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{14} - \frac{5963203558188619309756833556047996330007578056319409253783531852574613267852258930781167885481601445291648313721934610590395762060599714834933534934325325592797127881606186890021552383272}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{13} + \frac{16899975746115212553186721754188403949919466968757169670734152983026407216317126142100335927562443739998256244613526278854475670175200781610275588173234245747061038051390111133998485559897}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{12} + \frac{24331304716076532516556883882353357234223675670899880745867167869170635024901551677805934651720487460132699735557580367134507154084291982485343727850053872127858688093998865960217606338281}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{11} + \frac{16160757532839788148414168820723162701602370737583783815704036187465527204053984486437036122666037974592386454812878451007162946322503331154266183266401429201339650092011781672966948555560}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{10} - \frac{2377670068385337230179285341155320547501622788796632560692460929759543093345278812166864016468497400752032730457011003224275944983121678487023554333399156946940950793083314581541874206813}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{9} + \frac{27486332482961027891815342601235415918712277353622704129712061637997399605156280693952230308853041601685758550991562235139377946026114940949962706480942098051649596604791670876547892855183}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{8} + \frac{20514770763906592733527261994749227220403957587675178015280659666363613786100235118998796103602381267128108391845947834703163065468465532865396736404745517656354370284357159039309256332648}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{7} - \frac{32807326553842633253083119889115237410679532145137575206093055595265624746141007351766166597777574549966674488364638193493822169999363050217031025975019975603335082825847198119836085639668}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{6} + \frac{36700232960686435053678196118619343718969144477777088755995784524515035120613279459902872966662138884699340576236640429700775201212109623138938308783981241527050783822907753921139104305275}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{5} + \frac{42294680684007756063202229143239576193292529384474390929577958930568153409420471074579169960564903327572848766630173853904771643597097801086986360300912180931052597277754242384463957206752}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{4} - \frac{32178749018628645131082912033671787276683869256065596041449259973828870944747898378025155164077880808094759585240537968308174018980069574291948560159233211248754412013604715356064473236213}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{3} - \frac{26404490814879869254465091070006591087027929626700711526114556611096896985859678131183107434787675842731014382460687787890774352305533524515185785428766655776388366093141697358075290984244}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a^{2} - \frac{25274613752636229490839918049094218835261267565742007921052788295036515238438553715734740666138723242941240269530779408007346791551279826892744998552324863704045880493538233704671333171557}{86706300475199585403267928486974917257546218685791505936288584922256620362532271400101989538345325020656186084241152435743357009503036434996272435822104130395676384704342463412693961304907} a + \frac{262493928820165166613298018316969180602264403522342196981638379023220854243050082694011649868104065562376395822276223252050506869836153379682273248606143883815153057567167696647264505545}{1294123887689546050795043708760819660560391323668529939347590819735173438246750319404507306542467537621734120660315707996169507604522931865616006504807524334263826637378245722577521810521}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $39$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{40}$ (as 40T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_{40}$
Character table for $C_{40}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{17}) \), 4.4.4913.1, \(\Q(\zeta_{11})^+\), 8.8.486629249422833.1, 10.10.304358957700017.1, 20.20.131527565972137936816816034072938673.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $20^{2}$ R $40$ $40$ R ${\href{/LocalNumberField/13.5.0.1}{5} }^{8}$ R $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/23.8.0.1}{8} }^{5}$ $40$ $40$ $40$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/43.4.0.1}{4} }^{10}$ ${\href{/LocalNumberField/47.5.0.1}{5} }^{8}$ $20^{2}$ $20^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
11Data not computed
17Data not computed