↑

Properties

Label 40.4.81838049382...0000.1
Degree $40$
Signature $[4, 18]$
Discriminant $2^{111}\cdot 3^{56}\cdot 5^{24}\cdot 7^{29}\cdot 11^{12}$
Root discriminant $704.41$
Ramified primes $2, 3, 5, 7, 11$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $S_{40}$ (as 40T315842)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-212265281716190997033600, -1320687936380639564236800, -4168397528000957970432000, -8765166219033111033484800, -13468976980779782363580000, -15631766178885580005797760, -13648935640574809132025760, -8369166482885528217875520, -2364665119699343002683120, 2003714444328444974615040, 3860744775405859251848736, 3726694189110949405579584, 2665957190465280126142008, 1538660650564897293864096, 737510649338519637350040, 296069266727479829997360, 99275620461555285598644, 27500637919324676682528, 6175860294063058627536, 1094555702225628334944, 148676542850261879424, 15684628915838324736, 1630838116240157304, 243226399927467600, 36791832526211640, 3461079483509184, 183136305521712, 22821387509152, 4086792360022, 176849382312, -6879123998, 2610452884, 160318881, -33104520, 1497696, 259680, -36068, 1024, 198, -20, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 20*x^39 + 198*x^38 + 1024*x^37 - 36068*x^36 + 259680*x^35 + 1497696*x^34 - 33104520*x^33 + 160318881*x^32 + 2610452884*x^31 - 6879123998*x^30 + 176849382312*x^29 + 4086792360022*x^28 + 22821387509152*x^27 + 183136305521712*x^26 + 3461079483509184*x^25 + 36791832526211640*x^24 + 243226399927467600*x^23 + 1630838116240157304*x^22 + 15684628915838324736*x^21 + 148676542850261879424*x^20 + 1094555702225628334944*x^19 + 6175860294063058627536*x^18 + 27500637919324676682528*x^17 + 99275620461555285598644*x^16 + 296069266727479829997360*x^15 + 737510649338519637350040*x^14 + 1538660650564897293864096*x^13 + 2665957190465280126142008*x^12 + 3726694189110949405579584*x^11 + 3860744775405859251848736*x^10 + 2003714444328444974615040*x^9 - 2364665119699343002683120*x^8 - 8369166482885528217875520*x^7 - 13648935640574809132025760*x^6 - 15631766178885580005797760*x^5 - 13468976980779782363580000*x^4 - 8765166219033111033484800*x^3 - 4168397528000957970432000*x^2 - 1320687936380639564236800*x - 212265281716190997033600)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - 20*x^39 + 198*x^38 + 1024*x^37 - 36068*x^36 + 259680*x^35 + 1497696*x^34 - 33104520*x^33 + 160318881*x^32 + 2610452884*x^31 - 6879123998*x^30 + 176849382312*x^29 + 4086792360022*x^28 + 22821387509152*x^27 + 183136305521712*x^26 + 3461079483509184*x^25 + 36791832526211640*x^24 + 243226399927467600*x^23 + 1630838116240157304*x^22 + 15684628915838324736*x^21 + 148676542850261879424*x^20 + 1094555702225628334944*x^19 + 6175860294063058627536*x^18 + 27500637919324676682528*x^17 + 99275620461555285598644*x^16 + 296069266727479829997360*x^15 + 737510649338519637350040*x^14 + 1538660650564897293864096*x^13 + 2665957190465280126142008*x^12 + 3726694189110949405579584*x^11 + 3860744775405859251848736*x^10 + 2003714444328444974615040*x^9 - 2364665119699343002683120*x^8 - 8369166482885528217875520*x^7 - 13648935640574809132025760*x^6 - 15631766178885580005797760*x^5 - 13468976980779782363580000*x^4 - 8765166219033111033484800*x^3 - 4168397528000957970432000*x^2 - 1320687936380639564236800*x - 212265281716190997033600, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - 20 x^{39} + 198 x^{38} + 1024 x^{37} - 36068 x^{36} + 259680 x^{35} + 1497696 x^{34} - 33104520 x^{33} + 160318881 x^{32} + 2610452884 x^{31} - 6879123998 x^{30} + 176849382312 x^{29} + 4086792360022 x^{28} + 22821387509152 x^{27} + 183136305521712 x^{26} + 3461079483509184 x^{25} + 36791832526211640 x^{24} + 243226399927467600 x^{23} + 1630838116240157304 x^{22} + 15684628915838324736 x^{21} + 148676542850261879424 x^{20} + 1094555702225628334944 x^{19} + 6175860294063058627536 x^{18} + 27500637919324676682528 x^{17} + 99275620461555285598644 x^{16} + 296069266727479829997360 x^{15} + 737510649338519637350040 x^{14} + 1538660650564897293864096 x^{13} + 2665957190465280126142008 x^{12} + 3726694189110949405579584 x^{11} + 3860744775405859251848736 x^{10} + 2003714444328444974615040 x^{9} - 2364665119699343002683120 x^{8} - 8369166482885528217875520 x^{7} - 13648935640574809132025760 x^{6} - 15631766178885580005797760 x^{5} - 13468976980779782363580000 x^{4} - 8765166219033111033484800 x^{3} - 4168397528000957970432000 x^{2} - 1320687936380639564236800 x - 212265281716190997033600 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[4, 18]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(818380493827663732613543259594667183634328825351814767249590812771172429611764531578535936000000000000000000000000=2^{111}\cdot 3^{56}\cdot 5^{24}\cdot 7^{29}\cdot 11^{12}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $704.41$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 3, 5, 7, 11$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $\frac{1}{3} a^{7} + \frac{1}{3} a^{6} + \frac{1}{3} a^{4} + \frac{1}{3} a^{3}$, $\frac{1}{3} a^{8} - \frac{1}{3} a^{6} + \frac{1}{3} a^{5} - \frac{1}{3} a^{3}$, $\frac{1}{6} a^{9} - \frac{1}{6} a^{8} + \frac{1}{3} a^{5} + \frac{1}{3} a^{3}$, $\frac{1}{6} a^{10} - \frac{1}{6} a^{8} + \frac{1}{3} a^{6} + \frac{1}{3} a^{5} + \frac{1}{3} a^{4} + \frac{1}{3} a^{3}$, $\frac{1}{6} a^{11} - \frac{1}{6} a^{8} - \frac{1}{3} a^{5}$, $\frac{1}{18} a^{12} + \frac{1}{18} a^{11} - \frac{1}{18} a^{9} - \frac{1}{18} a^{8} - \frac{1}{9} a^{6} + \frac{2}{9} a^{5} + \frac{1}{3} a^{2}$, $\frac{1}{18} a^{13} - \frac{1}{18} a^{11} - \frac{1}{18} a^{10} + \frac{1}{18} a^{8} - \frac{1}{9} a^{7} + \frac{1}{3} a^{6} - \frac{2}{9} a^{5} + \frac{1}{3} a^{3} - \frac{1}{3} a^{2}$, $\frac{1}{36} a^{14} - \frac{1}{36} a^{12} + \frac{1}{18} a^{11} - \frac{1}{18} a^{9} + \frac{1}{9} a^{8} + \frac{1}{18} a^{6} + \frac{1}{3} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} + \frac{1}{3} a^{3}$, $\frac{1}{108} a^{15} - \frac{1}{108} a^{14} + \frac{1}{108} a^{13} - \frac{1}{108} a^{12} + \frac{1}{27} a^{11} + \frac{1}{54} a^{10} - \frac{2}{27} a^{9} + \frac{1}{54} a^{8} - \frac{7}{54} a^{7} + \frac{5}{18} a^{6} - \frac{5}{18} a^{5} + \frac{5}{18} a^{4} + \frac{1}{3} a^{3} - \frac{1}{3} a^{2} + \frac{1}{3} a$, $\frac{1}{216} a^{16} - \frac{1}{72} a^{14} - \frac{1}{36} a^{13} - \frac{1}{18} a^{9} - \frac{1}{36} a^{8} - \frac{1}{27} a^{7} - \frac{11}{36} a^{6} + \frac{1}{6} a^{5} - \frac{1}{9} a^{4} + \frac{1}{3} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{3} a$, $\frac{1}{216} a^{17} - \frac{1}{216} a^{15} - \frac{1}{108} a^{14} + \frac{1}{108} a^{13} + \frac{1}{54} a^{12} - \frac{1}{54} a^{11} - \frac{1}{27} a^{10} - \frac{5}{108} a^{9} + \frac{1}{27} a^{8} - \frac{11}{108} a^{7} - \frac{5}{18} a^{6} - \frac{1}{6} a^{5} + \frac{4}{9} a^{4} - \frac{1}{6} a^{3} - \frac{1}{3} a^{2} + \frac{1}{3} a$, $\frac{1}{216} a^{18} - \frac{1}{72} a^{14} - \frac{1}{36} a^{12} - \frac{1}{36} a^{10} + \frac{2}{27} a^{9} + \frac{1}{18} a^{8} - \frac{1}{9} a^{7} - \frac{7}{36} a^{6} + \frac{1}{3} a^{4} - \frac{1}{3} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{648} a^{19} - \frac{1}{216} a^{15} - \frac{1}{108} a^{14} + \frac{1}{108} a^{13} - \frac{1}{36} a^{12} - \frac{1}{12} a^{11} + \frac{1}{162} a^{10} + \frac{2}{27} a^{9} - \frac{7}{54} a^{8} + \frac{13}{108} a^{7} + \frac{1}{6} a^{6} - \frac{1}{3} a^{5} - \frac{1}{18} a^{4} + \frac{1}{6} a^{3} - \frac{1}{3} a^{2} - \frac{1}{3} a$, $\frac{1}{9072} a^{20} - \frac{1}{4536} a^{19} - \frac{5}{3024} a^{18} - \frac{1}{504} a^{17} + \frac{1}{504} a^{16} + \frac{1}{1512} a^{15} - \frac{1}{1512} a^{14} - \frac{5}{756} a^{13} - \frac{1}{1512} a^{12} - \frac{155}{2268} a^{11} + \frac{215}{4536} a^{10} + \frac{1}{84} a^{9} - \frac{19}{756} a^{8} - \frac{13}{108} a^{7} - \frac{5}{14} a^{6} - \frac{1}{6} a^{5} + \frac{1}{18} a^{4} + \frac{1}{6} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{3} a$, $\frac{1}{18144} a^{21} - \frac{1}{18144} a^{20} - \frac{1}{6048} a^{19} - \frac{11}{6048} a^{18} + \frac{1}{756} a^{16} - \frac{1}{432} a^{15} + \frac{17}{3024} a^{14} - \frac{3}{112} a^{13} - \frac{61}{9072} a^{12} + \frac{535}{9072} a^{11} + \frac{61}{1008} a^{10} - \frac{10}{189} a^{9} - \frac{125}{756} a^{8} - \frac{31}{252} a^{7} + \frac{1}{14} a^{6} - \frac{2}{9} a^{5} + \frac{1}{3} a^{4} - \frac{1}{12} a^{3} + \frac{1}{4} a^{2} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{18144} a^{22} + \frac{1}{1512} a^{19} - \frac{1}{2016} a^{18} + \frac{1}{504} a^{17} - \frac{5}{3024} a^{16} - \frac{1}{252} a^{14} + \frac{41}{2268} a^{13} - \frac{5}{216} a^{12} + \frac{1}{756} a^{11} + \frac{23}{336} a^{10} - \frac{1}{27} a^{9} - \frac{95}{756} a^{8} - \frac{1}{42} a^{7} - \frac{53}{126} a^{6} + \frac{1}{18} a^{5} - \frac{1}{4} a^{4} + \frac{1}{3} a^{3} - \frac{1}{4} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{54432} a^{23} - \frac{1}{27216} a^{20} - \frac{1}{6048} a^{19} - \frac{1}{9072} a^{18} + \frac{1}{1008} a^{17} - \frac{1}{648} a^{16} - \frac{5}{1134} a^{15} - \frac{1}{6804} a^{14} - \frac{5}{648} a^{13} + \frac{23}{4536} a^{12} - \frac{1171}{27216} a^{11} + \frac{41}{648} a^{10} + \frac{47}{1134} a^{9} - \frac{41}{756} a^{8} - \frac{11}{378} a^{7} + \frac{19}{108} a^{6} + \frac{11}{36} a^{5} - \frac{1}{18} a^{4} + \frac{1}{36} a^{3} + \frac{1}{9} a^{2} + \frac{1}{6} a$, $\frac{1}{1905120} a^{24} + \frac{1}{136080} a^{23} + \frac{1}{90720} a^{22} - \frac{13}{952560} a^{21} + \frac{71}{1905120} a^{20} + \frac{37}{158760} a^{19} - \frac{313}{635040} a^{18} + \frac{1}{1620} a^{17} - \frac{353}{317520} a^{16} - \frac{179}{119070} a^{15} - \frac{2861}{238140} a^{14} + \frac{1709}{158760} a^{13} + \frac{6887}{952560} a^{12} - \frac{512}{59535} a^{11} + \frac{207}{3920} a^{10} - \frac{76}{19845} a^{9} - \frac{1213}{26460} a^{8} + \frac{2921}{26460} a^{7} + \frac{2048}{6615} a^{6} - \frac{13}{210} a^{5} - \frac{1}{42} a^{4} + \frac{11}{42} a^{3} - \frac{23}{252} a^{2} - \frac{10}{21} a + \frac{5}{14}$, $\frac{1}{1905120} a^{25} - \frac{1}{381024} a^{22} + \frac{1}{127008} a^{21} - \frac{1}{31752} a^{20} + \frac{5}{7056} a^{19} + \frac{17}{90720} a^{18} + \frac{289}{158760} a^{17} + \frac{59}{952560} a^{16} + \frac{349}{158760} a^{15} + \frac{409}{31752} a^{14} + \frac{11801}{952560} a^{13} - \frac{547}{31752} a^{12} - \frac{1532}{19845} a^{11} + \frac{383}{11760} a^{10} + \frac{149}{4410} a^{9} - \frac{677}{26460} a^{8} - \frac{293}{2940} a^{7} - \frac{1}{1260} a^{6} - \frac{373}{1260} a^{5} + \frac{59}{252} a^{4} - \frac{19}{42} a^{3} - \frac{5}{84} a^{2} - \frac{1}{7} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{1905120} a^{26} - \frac{1}{381024} a^{23} + \frac{1}{127008} a^{22} + \frac{1}{42336} a^{21} - \frac{1}{127008} a^{20} - \frac{1}{5040} a^{19} + \frac{421}{635040} a^{18} - \frac{1831}{952560} a^{17} + \frac{139}{158760} a^{16} - \frac{169}{63504} a^{15} + \frac{206}{59535} a^{14} - \frac{863}{63504} a^{13} + \frac{1073}{317520} a^{12} + \frac{4663}{158760} a^{11} - \frac{9397}{317520} a^{10} - \frac{881}{13230} a^{9} + \frac{34}{2205} a^{8} + \frac{31}{315} a^{7} + \frac{59}{420} a^{6} + \frac{1}{84} a^{5} + \frac{8}{21} a^{4} - \frac{1}{7} a^{3} + \frac{37}{84} a^{2} - \frac{1}{3} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{11430720} a^{27} + \frac{1}{11430720} a^{26} - \frac{1}{3810240} a^{25} + \frac{1}{11430720} a^{24} + \frac{47}{5715360} a^{23} + \frac{17}{635040} a^{22} + \frac{1}{79380} a^{21} - \frac{17}{1905120} a^{20} - \frac{337}{635040} a^{19} + \frac{2957}{1428840} a^{18} - \frac{5191}{5715360} a^{17} + \frac{79}{38880} a^{16} - \frac{12569}{2857680} a^{15} + \frac{15083}{1428840} a^{14} + \frac{797}{63504} a^{13} + \frac{11117}{476280} a^{12} - \frac{2287}{158760} a^{11} + \frac{7831}{105840} a^{10} + \frac{2671}{158760} a^{9} + \frac{649}{10584} a^{8} + \frac{739}{13230} a^{7} + \frac{7597}{26460} a^{6} - \frac{1387}{3780} a^{5} + \frac{3}{28} a^{4} + \frac{31}{126} a^{3} + \frac{29}{84} a^{2} + \frac{2}{21} a + \frac{5}{14}$, $\frac{1}{2640496320} a^{28} - \frac{89}{2640496320} a^{27} + \frac{221}{880165440} a^{26} - \frac{239}{2640496320} a^{25} - \frac{101}{660124080} a^{24} + \frac{449}{73347120} a^{23} + \frac{10391}{440082720} a^{22} - \frac{6199}{440082720} a^{21} - \frac{457}{10478160} a^{20} - \frac{22087}{82515510} a^{19} + \frac{165629}{1320248160} a^{18} + \frac{405151}{440082720} a^{17} + \frac{1357639}{660124080} a^{16} + \frac{46891}{13471920} a^{15} + \frac{5473}{555660} a^{14} + \frac{79213}{15717240} a^{13} - \frac{3781}{4490640} a^{12} - \frac{116033}{24449040} a^{11} - \frac{2087}{679140} a^{10} - \frac{869411}{12224520} a^{9} + \frac{28417}{407484} a^{8} - \frac{470017}{6112260} a^{7} - \frac{1273903}{6112260} a^{6} + \frac{20873}{97020} a^{5} + \frac{13157}{58212} a^{4} + \frac{1315}{5292} a^{3} + \frac{20}{147} a^{2} + \frac{569}{3234} a - \frac{204}{539}$, $\frac{1}{2640496320} a^{29} - \frac{97}{2640496320} a^{27} - \frac{599}{2640496320} a^{26} - \frac{1}{13752585} a^{25} - \frac{157}{2640496320} a^{24} + \frac{739}{146694240} a^{23} + \frac{641}{29338848} a^{22} + \frac{857}{88016544} a^{21} + \frac{42941}{1320248160} a^{20} + \frac{20131}{73347120} a^{19} + \frac{2317963}{1320248160} a^{18} - \frac{369731}{660124080} a^{17} - \frac{342017}{440082720} a^{16} - \frac{432871}{660124080} a^{15} + \frac{2869147}{220041360} a^{14} + \frac{74443}{5239080} a^{13} + \frac{936043}{55010340} a^{12} - \frac{4983857}{73347120} a^{11} + \frac{8462}{509355} a^{10} - \frac{37789}{3056130} a^{9} - \frac{32071}{2444904} a^{8} + \frac{18439}{2037420} a^{7} + \frac{241}{27783} a^{6} - \frac{373}{291060} a^{5} + \frac{1343}{4851} a^{4} - \frac{223}{5292} a^{3} + \frac{727}{4851} a^{2} - \frac{519}{1078} a - \frac{215}{539}$, $\frac{1}{211239705600} a^{30} + \frac{1}{52809926400} a^{29} + \frac{1}{15088550400} a^{28} - \frac{559}{17603308800} a^{27} + \frac{4943}{19203609600} a^{26} + \frac{193}{943034400} a^{25} + \frac{13787}{52809926400} a^{24} - \frac{12979}{1466942400} a^{23} - \frac{25937}{1257379200} a^{22} + \frac{4831}{5280992640} a^{21} - \frac{1648769}{52809926400} a^{20} + \frac{7599563}{13202481600} a^{19} - \frac{244459}{533433600} a^{18} - \frac{6223219}{6601240800} a^{17} + \frac{3876557}{13202481600} a^{16} + \frac{2657467}{1650310200} a^{15} - \frac{237317387}{17603308800} a^{14} + \frac{77177467}{4400827200} a^{13} - \frac{42659339}{1760330880} a^{12} + \frac{74202731}{1466942400} a^{11} - \frac{33728419}{651974400} a^{10} + \frac{18123229}{244490400} a^{9} + \frac{20349361}{244490400} a^{8} - \frac{3949129}{24449040} a^{7} - \frac{353257}{24449040} a^{6} - \frac{240817}{2328480} a^{5} + \frac{1692223}{4656960} a^{4} + \frac{186937}{1164240} a^{3} + \frac{1387}{44352} a^{2} - \frac{6163}{25872} a + \frac{5983}{17248}$, $\frac{1}{6970910284800} a^{31} - \frac{1}{497922163200} a^{30} + \frac{97}{1161818380800} a^{29} - \frac{1}{87136378560} a^{28} + \frac{295357}{6970910284800} a^{27} - \frac{21743}{129090931200} a^{26} - \frac{18353}{193636396800} a^{25} + \frac{4051}{58090919040} a^{24} - \frac{108127}{13831171200} a^{23} - \frac{3012979}{871363785600} a^{22} + \frac{4509931}{1742727571200} a^{21} - \frac{890341}{26404963200} a^{20} - \frac{30434231}{248961081600} a^{19} - \frac{307890127}{871363785600} a^{18} + \frac{33868099}{48409099200} a^{17} - \frac{684742}{453835305} a^{16} - \frac{11854813}{82987027200} a^{15} + \frac{593980099}{96818198400} a^{14} + \frac{1596970751}{96818198400} a^{13} - \frac{49495451}{2017045800} a^{12} + \frac{74886557}{2390572800} a^{11} + \frac{1032533989}{32272732800} a^{10} - \frac{640784861}{8068183200} a^{9} - \frac{229221}{2075150} a^{8} + \frac{42502099}{268939440} a^{7} + \frac{199677229}{537878880} a^{6} - \frac{14596831}{51226560} a^{5} + \frac{4276889}{25613280} a^{4} - \frac{7646941}{17075520} a^{3} - \frac{61125}{189728} a^{2} - \frac{77151}{189728} a + \frac{25507}{94864}$, $\frac{1}{146389115980800} a^{32} + \frac{1}{36597278995200} a^{31} - \frac{1}{633719116800} a^{30} + \frac{2669}{18298639497600} a^{29} + \frac{11503}{146389115980800} a^{28} + \frac{35813}{1742727571200} a^{27} + \frac{11136481}{48796371993600} a^{26} - \frac{2731}{72613648800} a^{25} - \frac{89021}{4066364332800} a^{24} - \frac{23023079}{3659727899520} a^{23} + \frac{225348961}{36597278995200} a^{22} + \frac{10051871}{871363785600} a^{21} + \frac{116230711}{9149319748800} a^{20} - \frac{6595418933}{9149319748800} a^{19} - \frac{15611512669}{12199092998400} a^{18} - \frac{324358717}{762443312400} a^{17} + \frac{15232593073}{12199092998400} a^{16} - \frac{3249616991}{1016591083200} a^{15} + \frac{1282432013}{271090955520} a^{14} - \frac{374181727}{508295541600} a^{13} + \frac{8017610591}{451818259200} a^{12} + \frac{22726180373}{338863694400} a^{11} - \frac{78385476187}{1355454777600} a^{10} - \frac{934439417}{11295456480} a^{9} - \frac{917524589}{11295456480} a^{8} + \frac{143759351}{11295456480} a^{7} - \frac{1954928009}{7530304320} a^{6} - \frac{17398937}{179292960} a^{5} + \frac{1398421}{3841992} a^{4} - \frac{104735}{498036} a^{3} + \frac{2580757}{23905728} a^{2} - \frac{6025}{1992144} a + \frac{516525}{1328096}$, $\frac{1}{146389115980800} a^{33} + \frac{1}{29277823196160} a^{31} + \frac{37}{146389115980800} a^{30} - \frac{139}{9759274398720} a^{29} + \frac{9523}{73194557990400} a^{28} - \frac{959911}{48796371993600} a^{27} + \frac{703687}{9759274398720} a^{26} - \frac{1633}{18072730368} a^{25} + \frac{6503689}{36597278995200} a^{24} + \frac{899303}{1355454777600} a^{23} - \frac{26540629}{2287329937200} a^{22} + \frac{14411629}{1663512681600} a^{21} + \frac{264505513}{12199092998400} a^{20} + \frac{4880422429}{7319455799040} a^{19} - \frac{104124101}{162654573312} a^{18} - \frac{2749978999}{12199092998400} a^{17} + \frac{427395013}{609954649920} a^{16} - \frac{17277090889}{4066364332800} a^{15} + \frac{2011681769}{369669484800} a^{14} - \frac{90723577309}{4066364332800} a^{13} + \frac{4001395033}{677727388800} a^{12} + \frac{478088269}{6024243456} a^{11} - \frac{11872377107}{193636396800} a^{10} + \frac{403266953}{9412880400} a^{9} + \frac{4466272753}{28238641200} a^{8} - \frac{1896411487}{22590912960} a^{7} + \frac{933030607}{3765152160} a^{6} - \frac{19721489}{107575776} a^{5} + \frac{24528961}{215151552} a^{4} - \frac{4083209}{17075520} a^{3} - \frac{8757979}{23905728} a^{2} - \frac{135169}{362208} a + \frac{437219}{1328096}$, $\frac{1}{338158857915648000} a^{34} - \frac{17}{33815885791564800} a^{33} - \frac{13}{56359809652608000} a^{32} - \frac{179}{15370857177984000} a^{31} - \frac{160079}{338158857915648000} a^{30} + \frac{6821893}{56359809652608000} a^{29} + \frac{1606463}{14089952413152000} a^{28} + \frac{249246797}{11271961930521600} a^{27} - \frac{4495751}{626220107251200} a^{26} + \frac{911636141}{4226985723945600} a^{25} + \frac{639381487}{3381588579156480} a^{24} - \frac{5126686381}{2012850344736000} a^{23} + \frac{69574619143}{3381588579156480} a^{22} - \frac{15309716423}{2113492861972800} a^{21} + \frac{377097489581}{7044976206576000} a^{20} + \frac{2763818222059}{14089952413152000} a^{19} + \frac{54380030729}{125244021450240} a^{18} + \frac{995385350111}{1565550268128000} a^{17} + \frac{1464467492333}{939330160876800} a^{16} + \frac{4058071702523}{1565550268128000} a^{15} - \frac{343918042829}{3131100536256000} a^{14} - \frac{503757904259}{74550012768000} a^{13} + \frac{14339487701083}{782775134064000} a^{12} - \frac{16278124928809}{521850089376000} a^{11} - \frac{1850793063659}{260925044688000} a^{10} - \frac{83525749733}{2899167163200} a^{9} + \frac{147980641573}{5798334326400} a^{8} - \frac{71528179733}{1242500212800} a^{7} - \frac{495078002039}{1159666865280} a^{6} - \frac{39756788681}{207083368800} a^{5} + \frac{420359273}{16566669504} a^{4} - \frac{6543714097}{82833347520} a^{3} + \frac{141105113}{418350240} a^{2} + \frac{29180159}{219135840} a - \frac{9776633}{766975440}$, $\frac{1}{676317715831296000} a^{35} - \frac{1}{676317715831296000} a^{34} + \frac{611}{338158857915648000} a^{33} - \frac{19}{13526354316625920} a^{32} + \frac{2837}{96616816547328000} a^{31} + \frac{74927}{61483428711936000} a^{30} + \frac{515591}{8051401378944000} a^{29} + \frac{2187253}{18786603217536000} a^{28} - \frac{11395045}{901756954441728} a^{27} - \frac{4739240417}{67631771583129600} a^{26} - \frac{615730153}{6763177158312960} a^{25} + \frac{34424361403}{169079428957824000} a^{24} + \frac{984334003027}{169079428957824000} a^{23} - \frac{30591453913}{3074171435596800} a^{22} + \frac{248133922943}{12077102068416000} a^{21} + \frac{105690240409}{9393301608768000} a^{20} + \frac{37647402144647}{56359809652608000} a^{19} - \frac{6119468408143}{6262201072512000} a^{18} - \frac{20214338882833}{9393301608768000} a^{17} + \frac{7256523539}{7057326528000} a^{16} + \frac{5765872486993}{1252440214502400} a^{15} + \frac{1557404173553}{231933373056000} a^{14} - \frac{1950781701679}{78277513406400} a^{13} - \frac{11254976089177}{782775134064000} a^{12} + \frac{8338420501027}{347900059584000} a^{11} - \frac{35951093038417}{1043700178752000} a^{10} - \frac{429940814537}{11596668652800} a^{9} - \frac{4576865170319}{34790005958400} a^{8} + \frac{3322974354527}{34790005958400} a^{7} + \frac{187254764089}{3865556217600} a^{6} - \frac{164142241079}{414166737600} a^{5} + \frac{57051847}{788889024} a^{4} + \frac{102854635}{676190592} a^{3} + \frac{2673428137}{18407410560} a^{2} + \frac{897701681}{3067901760} a + \frac{710316161}{3067901760}$, $\frac{1}{781146961785146880000} a^{36} - \frac{107}{195286740446286720000} a^{35} - \frac{17}{23671120054095360000} a^{34} - \frac{27521}{195286740446286720000} a^{33} + \frac{2131729}{781146961785146880000} a^{32} - \frac{365677}{7232842238751360000} a^{31} - \frac{12047963}{10415292823801958400} a^{30} + \frac{445975501}{13019116029752448000} a^{29} - \frac{1951626599}{14465684477502720000} a^{28} - \frac{66985201579}{1775334004057152000} a^{27} + \frac{2998432759811}{15622939235702937600} a^{26} + \frac{3197345823043}{32547790074381120000} a^{25} - \frac{325911717199}{3487263222255120000} a^{24} - \frac{107319837301301}{48821685111571680000} a^{23} - \frac{405875356291247}{21698526716254080000} a^{22} - \frac{24242714288183}{8136947518595280000} a^{21} + \frac{37990624953553}{1972593337841280000} a^{20} - \frac{1812132353776583}{5424631679063520000} a^{19} - \frac{14275295445915853}{21698526716254080000} a^{18} - \frac{603764233632073}{361642111937568000} a^{17} - \frac{1790545277449657}{7232842238751360000} a^{16} - \frac{883061611330097}{602736853229280000} a^{15} + \frac{32896456996632133}{7232842238751360000} a^{14} + \frac{1620090047889619}{200912284409760000} a^{13} + \frac{10474549308931733}{1205473706458560000} a^{12} + \frac{612438538515983}{100456142204880000} a^{11} + \frac{1666547649719663}{36529506256320000} a^{10} + \frac{1141435164721147}{20091228440976000} a^{9} - \frac{127168465519}{27335004681600} a^{8} - \frac{227463279751607}{1674269036748000} a^{7} + \frac{4288674389886529}{13394152293984000} a^{6} - \frac{160399826387467}{478362581928000} a^{5} - \frac{528266481077}{1932778108800} a^{4} - \frac{32895479521}{2657569899600} a^{3} - \frac{976210519561}{7086853065600} a^{2} + \frac{12383878349}{53688280800} a - \frac{142467382713}{393714059200}$, $\frac{1}{14060645312132643840000} a^{37} + \frac{1}{2008663616018949120000} a^{36} - \frac{43}{195286740446286720000} a^{35} + \frac{2543}{7030322656066321920000} a^{34} + \frac{997279}{14060645312132643840000} a^{33} + \frac{178979}{60868594424816640000} a^{32} + \frac{5989253}{156229392357029376000} a^{31} - \frac{12857203}{23434408853554406400} a^{30} - \frac{74765765387}{781146961785146880000} a^{29} - \frac{4162310549}{28695194514556416000} a^{28} - \frac{2279764484653}{70303226560663219200} a^{27} + \frac{71337980767}{35506680081143040000} a^{26} + \frac{336511181367661}{3515161328033160960000} a^{25} + \frac{446003396579341}{3515161328033160960000} a^{24} + \frac{92501384223089}{20923579333530720000} a^{23} + \frac{14481521686392113}{585860221338860160000} a^{22} - \frac{20792659917798661}{1171720442677720320000} a^{21} - \frac{71926792441733}{7970887365154560000} a^{20} - \frac{7735494166361}{100456142204880000} a^{19} + \frac{405879090843829}{394518667568256000} a^{18} + \frac{118504669444328953}{130191160297524480000} a^{17} + \frac{119778022968075211}{130191160297524480000} a^{16} + \frac{206787619544657309}{65095580148762240000} a^{15} + \frac{207836243175149}{31630505417280000} a^{14} + \frac{348620191745357573}{21698526716254080000} a^{13} - \frac{228659221100912669}{21698526716254080000} a^{12} - \frac{6586389889713143}{1808210559687840000} a^{11} - \frac{723049801746941}{34442105898816000} a^{10} - \frac{441029445556961}{9643789651668480} a^{9} - \frac{21120561275274521}{241094741291712000} a^{8} + \frac{10986107311827187}{120547370645856000} a^{7} - \frac{4970883190631387}{30136842661464000} a^{6} + \frac{97897184904083}{382690065542400} a^{5} + \frac{180106303288631}{1148070196627200} a^{4} + \frac{1082981932121}{20501253511200} a^{3} - \frac{2587019477783}{9111668227200} a^{2} - \frac{4058362177897}{10630279598400} a + \frac{64227075391}{212605591968}$, $\frac{1}{43306787561368543027200000} a^{38} + \frac{17}{3093341968669181644800000} a^{37} + \frac{17}{82489119164511510528000} a^{36} - \frac{4757483}{10826696890342135756800000} a^{35} + \frac{23466451}{43306787561368543027200000} a^{34} - \frac{862073279}{267325849144250265600000} a^{33} - \frac{24249119}{7953496338176040960000} a^{32} - \frac{125523867751}{1804449481723689292800000} a^{31} - \frac{119536924873}{601483160574563097600000} a^{30} + \frac{1575654628982131}{10826696890342135756800000} a^{29} - \frac{2090462118592447}{21653393780684271513600000} a^{28} + \frac{1472841666812539}{82020430987440422400000} a^{27} + \frac{1376634529583568859}{10826696890342135756800000} a^{26} - \frac{873196189064838343}{5413348445171067878400000} a^{25} + \frac{878224123929749}{15622939235702937600000} a^{24} - \frac{542424788652304849}{451112370430922323200000} a^{23} - \frac{68865955789158089269}{3608898963447378585600000} a^{22} - \frac{2738583243191202353}{601483160574563097600000} a^{21} - \frac{10834224806672670481}{400988773716375398400000} a^{20} - \frac{15414526441729572391}{33415731143031283200000} a^{19} - \frac{714196879714486444691}{400988773716375398400000} a^{18} + \frac{334513402566931354307}{200494386858187699200000} a^{17} + \frac{324095842420107378151}{400988773716375398400000} a^{16} + \frac{3564756856096175219}{16707865571515641600000} a^{15} - \frac{109415522031995696453}{33415731143031283200000} a^{14} - \frac{22032201484638286103}{954735175515179520000} a^{13} + \frac{25930035274592811811}{2475239343928243200000} a^{12} - \frac{595820779705603427}{28127719817366400000} a^{11} + \frac{90854822444193249377}{3712859015892364800000} a^{10} - \frac{23972927461788667}{3068478525530880000} a^{9} + \frac{44044620183068850893}{742571803178472960000} a^{8} - \frac{411764791756854127}{8438315945209920000} a^{7} + \frac{595060292125095947}{12376196719641216000} a^{6} + \frac{1807287626440377419}{8840140514029440000} a^{5} + \frac{43018616219477713}{3536056205611776000} a^{4} - \frac{17664409060751993}{36833918808456000} a^{3} + \frac{255741257758313}{2182750744204800} a^{2} + \frac{4434795198945877}{16370630581536000} a + \frac{2622825248753299}{10913753721024000}$, $\frac{1}{4421741747343766484218240915468903085032821229520095018549060564228202128535033444104426594198279743272347488837580826923530444553843274146506424479936764911744550919114698055878045506184223926877505941888747993916791855142201813163212800000} a^{39} + \frac{13995392133066356193173378279527296172716348078420070318156236186235018839845397403009490668930330200007759375738531787447933057490180647418541481570865543634039982843712399762600806590947039170642162450614432367879}{4421741747343766484218240915468903085032821229520095018549060564228202128535033444104426594198279743272347488837580826923530444553843274146506424479936764911744550919114698055878045506184223926877505941888747993916791855142201813163212800000} a^{38} - \frac{2662121208274516700678738765237818895432914323452179190268375668071560829435446224289246465099305573586029683482748030704263363454111367709938882895693877494432571254516405214276618983759753181601074043040940897301813}{90239627496811560902413079907528634388424923051430510582633889065881676092551702940906665187719994760660152833420016875990417235792719880540947438366056426770296957532953021548531540942535182181173590650790775386056976635555139044147200000} a^{37} - \frac{2233864141365124384634765513094217059153095844789437093487294166261420192147331343201471407004732843084061455349476142316372884381181941906503558055309692498930098275218695067241524216216668353222382297162340490949157847}{4421741747343766484218240915468903085032821229520095018549060564228202128535033444104426594198279743272347488837580826923530444553843274146506424479936764911744550919114698055878045506184223926877505941888747993916791855142201813163212800000} a^{36} + \frac{333916295510770676016092866313046256787324709447449735328509542331141975679725501471539164960125472962711282667384746317482432608707379672523654267706705009999579713518995966144485092848727567563120350771501168170923296737}{631677392477680926316891559352700440718974461360013574078437223461171732647861920586346656314039963324621069833940118131932920650549039163786632068562394987392078702730671150839720786597746275268215134555535427702398836448885973309030400000} a^{35} - \frac{5977039756439880780654396692886179833089675199624616143034342207866687895045915996559491551980463360084539297853776135911462112332056929158482665890121919048973274544258357806360863601822785720417449477783582895836595643427}{4421741747343766484218240915468903085032821229520095018549060564228202128535033444104426594198279743272347488837580826923530444553843274146506424479936764911744550919114698055878045506184223926877505941888747993916791855142201813163212800000} a^{34} - \frac{13093893788885921427518151583462601257354557493440326597440541408050389459787162938131133055750798459174620722221747565306430333037110994660557484642193262821676380068339869604138569797430249629986116952772365929280623293764553}{4421741747343766484218240915468903085032821229520095018549060564228202128535033444104426594198279743272347488837580826923530444553843274146506424479936764911744550919114698055878045506184223926877505941888747993916791855142201813163212800000} a^{33} + \frac{5005774581715424660113888114469064492695979467968071299769208548579824546415529764390704497847147051887805240080408140157424960040458495628023721861207988031756495764343084740511177040088348694526497658822585648985632262563047}{1473913915781255494739413638489634361677607076506698339516353521409400709511677814701475531399426581090782496279193608974510148184614424715502141493312254970581516973038232685292681835394741308959168647296249331305597285047400604387737600000} a^{32} - \frac{688283582321033627114761665597281848364758458666444046552026689264076960663691999581579440227259233705398138118837354160640055928489260515352438608406355394166741202017010096091331405010515182062794672293250909139437124288251}{18423923947265693684242670481120429520970088456333729243954419017617508868895972683768444142492832263634781203489920112181376852307680308943776768666403187132268962162977908566158522942434266361989608091203116641319966063092507554846720000} a^{31} + \frac{2563056191834796977810717423407906368446898886856709900046042425576138033808208993253816224831756559383297303519205622152436143270736344804424036409782866422674328260067028927802987429069586901148175310856271252783503692380164057}{1105435436835941621054560228867225771258205307380023754637265141057050532133758361026106648549569935818086872209395206730882611138460818536626606119984191227936137729778674513969511376546055981719376485472186998479197963785550453290803200000} a^{30} + \frac{10584489822619258232194085913500835775234722170986747376404124795269373110628881539820372193772620287752689710632944920086218901585377861632495259620329388258902779097452491904848876951321753931791431165731430029522777026341650411}{442174174734376648421824091546890308503282122952009501854906056422820212853503344410442659419827974327234748883758082692353044455384327414650642447993676491174455091911469805587804550618422392687750594188874799391679185514220181316321280000} a^{29} + \frac{308081016602349543010783391843047732072303935608430652463190281919349049641942867583759206693815956760957380636585692820743657106908712817316069678318720945803977472628437132388100241775652553800092769123898897445916230530718698769}{2210870873671883242109120457734451542516410614760047509274530282114101064267516722052213297099139871636173744418790413461765222276921637073253212239968382455872275459557349027939022753092111963438752970944373996958395927571100906581606400000} a^{28} - \frac{39211922433687951578932776449123429582240285267646611100582462011077774931717253403168147339815471227890959024695479854524811555657887223329513059278170137212981980894291150419206859174679760120183650020577485762574531942250319225273}{1105435436835941621054560228867225771258205307380023754637265141057050532133758361026106648549569935818086872209395206730882611138460818536626606119984191227936137729778674513969511376546055981719376485472186998479197963785550453290803200000} a^{27} - \frac{12199181324771938094039294568077425040822445281037118254644803815731224313898399385328971522843211089862339032029000531695334719833611397365465792258130777316181553154877334469434379570843396968581804618210685438211270666445030661627}{1105435436835941621054560228867225771258205307380023754637265141057050532133758361026106648549569935818086872209395206730882611138460818536626606119984191227936137729778674513969511376546055981719376485472186998479197963785550453290803200000} a^{26} - \frac{286370745469611064975842454702739768871072767717818945463518308648200933396238560126139832736582996160554868539008993485076633991851983714263012460227057384948722207841327733410591477358749923730027995289910144845931467827006838525989}{1105435436835941621054560228867225771258205307380023754637265141057050532133758361026106648549569935818086872209395206730882611138460818536626606119984191227936137729778674513969511376546055981719376485472186998479197963785550453290803200000} a^{25} - \frac{158112647778517670116935861462650179790199042983488053545162539531516595247662071591491472173493742005125302774397277951381940214423208768371048683068003312533804728699553442015434374056785288996637423298022287231771744242127110010759}{1105435436835941621054560228867225771258205307380023754637265141057050532133758361026106648549569935818086872209395206730882611138460818536626606119984191227936137729778674513969511376546055981719376485472186998479197963785550453290803200000} a^{24} - \frac{1386328429161669931398939125993399804204717042480137005681610952722018712855294632383237417748863605696597744997270529116800715692159208725642452861920797144560860858976955206652986770408916796143876039438834385212933904648303798875421}{368478478945313873684853409622408590419401769126674584879088380352350177377919453675368882849856645272695624069798402243627537046153606178875535373328063742645379243259558171323170458848685327239792161824062332826399321261850151096934400000} a^{23} - \frac{1020521077144078062164095479243281879395331714758548948319653758863509471401211217408492825641569550755007106604924085983307380630609385087819972902486097581728227627903781115864430521858358841505889545176010463741666187676503542491089}{122826159648437957894951136540802863473133923042224861626362793450783392459306484558456294283285548424231874689932800747875845682051202059625178457776021247548459747753186057107723486282895109079930720608020777608799773753950050365644800000} a^{22} + \frac{4367299750734839235327576148640534593120021895742397296476193587556346467497394138289233770824837430596990578028483610648505221500247555372892542459352137586090845377474077953690997610284576093093122504238715744492078227277263610050353}{368478478945313873684853409622408590419401769126674584879088380352350177377919453675368882849856645272695624069798402243627537046153606178875535373328063742645379243259558171323170458848685327239792161824062332826399321261850151096934400000} a^{21} - \frac{5673915097927588686266974128226100406360434801142608437661894666517348377572028795751102998122328974817725860471629411601892159466919624687485709671054176006422345635888902257459461707048204073478293245787053355820437687060347896386999}{122826159648437957894951136540802863473133923042224861626362793450783392459306484558456294283285548424231874689932800747875845682051202059625178457776021247548459747753186057107723486282895109079930720608020777608799773753950050365644800000} a^{20} - \frac{22397106187038834275370770183405687036795353412202059267852456472336003817825926562879303386929807125707405872989508029423549938250356938489717555796686510597068646793424443082927757773095657893980054334365941630276629021389669141416743}{40942053216145985964983712180267621157711307680741620542120931150261130819768828186152098094428516141410624896644266915958615227350400686541726152592007082516153249251062019035907828760965036359976906869340259202933257917983350121881600000} a^{19} - \frac{52122930266097600271912712536238090617642320168868311371744157499072609759123891491437631074406836741099021426944861935809760746251022343257232647627438053732172140541891738756723264206562671737053407505113724089506161441826229275980917}{40942053216145985964983712180267621157711307680741620542120931150261130819768828186152098094428516141410624896644266915958615227350400686541726152592007082516153249251062019035907828760965036359976906869340259202933257917983350121881600000} a^{18} + \frac{292502487777461392239146139895755670844055711853674734019346016803310497885784651777285307098992987580244660017708192223062800009676427247666669634448200695752576192853875412567387751635313949813981790907954741639623820598334333435321}{248133655855430217969598255637985582774007925337828003285581400910673520119811079916073321784415249341882575131177375248234031680911519312374097894497012621310019692430678903247926234914939614302890344662668237593534896472626364375040000} a^{17} + \frac{53716327283693861615577260459286296492493338386161894307087990600567856147178848446978737742000956718041810734964474910966572099885240486105397883504138951275888264078049727646788666264446544565646344063171899565623577852295587613906327}{40942053216145985964983712180267621157711307680741620542120931150261130819768828186152098094428516141410624896644266915958615227350400686541726152592007082516153249251062019035907828760965036359976906869340259202933257917983350121881600000} a^{16} + \frac{107003379701806376445938467097654993649330520780235053371984045536732087323091880083553880098566854633341257055371857335554025325219995530332595292418995686137437213894111992854036405255086224902716992573758660843756691565254388068711}{81884106432291971929967424360535242315422615361483241084241862300522261639537656372304196188857032282821249793288533831917230454700801373083452305184014165032306498502124038071815657521930072719953813738680518405866515835966700243763200} a^{15} - \frac{19785742984183715494552467365208733596978726979813272336832644338109145706339984870778291455615767710832906291594393683167829730754899265651693986517623192038335422889399400160731392902735530487875213623976848191645446900198400441963109}{1705918884006082748540988007511150881571304486697567522588372131260880450823701174423004087267854839225442704026844454831608967806266695272571923024666961771506385385460917459829492865040209848332371119555844133455552413249306255078400000} a^{14} + \frac{5977140211116801187613916155162306469997734533832838366343941609423740501273670442531539342906679978083818009409127633897816607560322345422639548609622708125810679976753951900033596014120234315446172734961382165755930273031062128923701}{252728723556456703487553778890540871343896960992232225568647723149760066788696470284889494410052568774139659855828808123201328563891362262603247855506216558741686723771987771826591535561512570123314239934199130882304061222119445196800000} a^{13} + \frac{14145415780459890746653135027775925512376510010667951479948559794905349316413484676016945889051842581941045664054010399773792110936630191625113425532710834459765142374062006313278875168179530043776521173764904169012309634510396589343901}{1364735107204866198832790406008920705257043589358054018070697705008704360658960939538403269814283871380354163221475563865287174245013356218057538419733569417205108308368733967863594292032167878665896895644675306764441930599445004062720000} a^{12} + \frac{4934505113081709921840512083386728456668442349664517959484360365692174990342663520327519059110410141081740035453025179968299800907329532678137383359373645294500819242396014748607575130259630964425431276305291934834999746282424343618697}{162468465143436452241998857858204845863933760637863573579844964881988614364162016611714674977890937069089781335889948079200854076787304311673516478539710644905370036710563567602808844289543795079273439957699441281481182214219643340800000} a^{11} - \frac{5207374298380452933739802959797908573514108202286068101730603038643579370958438267819928910303962177319392603167703508373341606204681580531031871211226992945526334081729465766283214486226207792235258963166940680268355046057912374800871}{126364361778228351743776889445270435671948480496116112784323861574880033394348235142444747205026284387069829927914404061600664281945681131301623927753108279370843361885993885913295767780756285061657119967099565441152030611059722598400000} a^{10} - \frac{6289725830476762958819683860055086055908476664650219336698937378329920610847765727429376674506978741213126213374275447921653399095069110190940484197797433661950861998331391872645784405580757251885750050081207402501793030131326677314281}{75818617066937011046266133667162261403169088297669667670594316944928020036608941085466848323015770632241897956748642436960398569167408678780974356651864967622506017131596331547977460668453771036994271980259739264691218366635833559040000} a^{9} + \frac{1342188543182794365181398694760971789723960550282301036759941698920663143969745341380898432428022493809444376889560203936416473390968193960100591000128529728863446596117232731750448785959411074517674631425701564492787629534427874068157}{75818617066937011046266133667162261403169088297669667670594316944928020036608941085466848323015770632241897956748642436960398569167408678780974356651864967622506017131596331547977460668453771036994271980259739264691218366635833559040000} a^{8} - \frac{1290165966012156329597589008454011695872654852659166135831945045686486993691180234600602512206444510275643862322328401421435355065401396472344593400097793819823056918889659444893671737095438703016271682473479220473462667551362866915869}{18954654266734252761566533416790565350792272074417416917648579236232005009152235271366712080753942658060474489187160609240099642291852169695243589162966241905626504282899082886994365167113442759248567995064934816172804591658958389760000} a^{7} + \frac{1423497254858392543362570078406432857343977449473405215118477091048909115164128461323736233909557297300662593297703884349210793122698294426754652110105947295736144266764045521197280754078926406927556371720947130584150284554791713097271}{4738663566683563190391633354197641337698068018604354229412144809058001252288058817841678020188485664515118622296790152310024910572963042423810897290741560476406626070724770721748591291778360689812141998766233704043201147914739597440000} a^{6} - \frac{168616675679486766817475322575346878955796035783281742325246344494772395767861028971292332860123441160312827934787192995702687332021185618892255398689596602792565348295938046265996414738555413130121378795843846272172229761032859020759}{601735056086801674970366140215573503199754669029124346592018388451809682830229691154498796214410878033665856799592400293336496580693719672864875846443372758908777913742828028158551275146458500293605333176664597338819193385998679040000} a^{5} - \frac{2275755533497527826062001452656106713650392281790802866178134386815626002150239688048735770230988452333751546660880767742039213108579142474288311374862788253587326955034431905768246837167239913643521568696046661309281226477707754681}{24069402243472066998814645608622940127990186761164973863680735538072387313209187646179951848576435121346634271983696011733459863227748786914595033857734910356351116549713121126342051005858340011744213327066583893552767735439947161600} a^{4} + \frac{4374913452976783363437545544347391765248998674563694811190078626913599346970653811563446239496928645387922916898833260795180909159962954368239747196757336204110756441013469501381469751889899883008669681913913424570861113837695057139}{12894322630431464463650703004619432211423314336338378855543251181110207489219207667596402776023090243578554074276980006285782069586293992989961625280929416262330955294489172031968955895995539292005828568071384228688982715414257408000} a^{3} - \frac{221782665743191149647904042904926891918848489964161324875045378943060628852775589307005026562106640340439433758218874830497529602852287904658219762868838163231616978141429076217106954264035244176168949835877260767976467395370853099}{1432702514492384940405633667179936912380368259593153206171472353456689721024356407510711419558121138175394897141886667365086896620699332554440180586769935140258995032721019114663217321777282143556203174230153803187664746157139712000} a^{2} + \frac{182355374627809117752098090338860430162530492927590849789756180570755371599855702419699010113381047721928388271833190544114102217790004880243678993127338693626889644634867968998959595893780047080391786614363546108905751132293340051}{3342972533815564860946478556753186128887525939050690814400102158065609349056831617524993312302282655742588093331068890518536092114965109293693754702463181993937655076349044600880840417480325001631140739870358874104551074366659328000} a + \frac{17453831556215826562776209410277177915495735032478285880557975826342403797885728512005274472544306025732487515683304413090549841326603029805897604228478062098624188431911892684863003023778071423266578133773190818118263932329984577}{3342972533815564860946478556753186128887525939050690814400102158065609349056831617524993312302282655742588093331068890518536092114965109293693754702463181993937655076349044600880840417480325001631140739870358874104551074366659328000}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $21$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$S_{40}$ (as 40T315842):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A non-solvable group of order 815915283247897734345611269596115894272000000000
The 37338 conjugacy class representatives for $S_{40}$ are not computed
Character table for $S_{40}$ is not computed

Intermediate fields

The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R R R R R $18{,}\,{\href{/LocalNumberField/13.14.0.1}{14} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/13.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/LocalNumberField/13.1.0.1}{1} }^{2}$ $33{,}\,{\href{/LocalNumberField/17.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/17.1.0.1}{1} }$ $31{,}\,{\href{/LocalNumberField/19.7.0.1}{7} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/19.2.0.1}{2} }$ $20{,}\,{\href{/LocalNumberField/23.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/23.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/23.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/23.2.0.1}{2} }$ $16{,}\,{\href{/LocalNumberField/29.14.0.1}{14} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/29.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/29.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/29.1.0.1}{1} }$ $35{,}\,{\href{/LocalNumberField/31.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/31.1.0.1}{1} }^{2}$ $19{,}\,{\href{/LocalNumberField/37.13.0.1}{13} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/37.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/37.1.0.1}{1} }^{2}$ $22{,}\,{\href{/LocalNumberField/41.8.0.1}{8} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/41.5.0.1}{5} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/41.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/41.2.0.1}{2} }$ $15{,}\,{\href{/LocalNumberField/43.14.0.1}{14} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/43.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/43.1.0.1}{1} }$ $18{,}\,{\href{/LocalNumberField/47.14.0.1}{14} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/47.7.0.1}{7} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/47.1.0.1}{1} }$ $29{,}\,{\href{/LocalNumberField/53.3.0.1}{3} }^{3}{,}\,{\href{/LocalNumberField/53.2.0.1}{2} }$ $25{,}\,{\href{/LocalNumberField/59.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/59.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/59.2.0.1}{2} }{,}\,{\href{/LocalNumberField/59.1.0.1}{1} }$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
$3$$\Q_{3}$$x + 1$$1$$1$$0$Trivial$[\ ]$
3.2.0.1$x^{2} - x + 2$$1$$2$$0$$C_2$$[\ ]^{2}$
3.3.5.1$x^{3} + 3$$3$$1$$5$$S_3$$[5/2]_{2}$
3.4.3.1$x^{4} + 3$$4$$1$$3$$D_{4}$$[\ ]_{4}^{2}$
3.6.11.11$x^{6} + 9 x^{3} + 21$$6$$1$$11$$S_3\times C_3$$[5/2]_{2}^{3}$
3.9.18.2$x^{9} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 9 x + 3$$9$$1$$18$$C_3^2:C_2$$[3/2, 5/2]_{2}$
3.15.19.4$x^{15} + 3 x^{14} + 3 x^{12} - 3 x^{9} + 3 x^{8} + 3 x^{5} + 3$$15$$1$$19$$F_5 \times S_3$$[3/2]_{10}^{4}$
$5$5.2.1.1$x^{2} - 5$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2}$
5.2.1.1$x^{2} - 5$$2$$1$$1$$C_2$$[\ ]_{2}$
5.3.0.1$x^{3} - x + 2$$1$$3$$0$$C_3$$[\ ]^{3}$
5.3.0.1$x^{3} - x + 2$$1$$3$$0$$C_3$$[\ ]^{3}$
5.5.0.1$x^{5} - x + 2$$1$$5$$0$$C_5$$[\ ]^{5}$
5.5.0.1$x^{5} - x + 2$$1$$5$$0$$C_5$$[\ ]^{5}$
5.10.11.5$x^{10} + 15 x^{2} + 10$$10$$1$$11$$F_5$$[5/4]_{4}$
5.10.11.5$x^{10} + 15 x^{2} + 10$$10$$1$$11$$F_5$$[5/4]_{4}$
7Data not computed
$11$11.2.0.1$x^{2} - x + 7$$1$$2$$0$$C_2$$[\ ]^{2}$
11.2.0.1$x^{2} - x + 7$$1$$2$$0$$C_2$$[\ ]^{2}$
11.3.2.1$x^{3} - 11$$3$$1$$2$$S_3$$[\ ]_{3}^{2}$
11.3.2.1$x^{3} - 11$$3$$1$$2$$S_3$$[\ ]_{3}^{2}$
11.5.4.4$x^{5} - 11$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
11.6.4.1$x^{6} + 220 x^{3} + 41503$$3$$2$$4$$S_3$$[\ ]_{3}^{2}$
11.6.0.1$x^{6} + x^{2} - 2 x + 8$$1$$6$$0$$C_6$$[\ ]^{6}$
11.13.0.1$x^{13} - x + 3$$1$$13$$0$$C_{13}$$[\ ]^{13}$