↑

Properties

Label 40.0.98539998598...5625.2
Degree $40$
Signature $[0, 20]$
Discriminant $5^{70}\cdot 17^{35}$
Root discriminant $199.45$
Ramified primes $5, 17$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{40}$ (as 40T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![425077129297501, 596008027834280, 226016395440355, 677168823181435, 768543708596375, 14763856914996, -136647868301930, 110255235330495, 175271153169940, -84300057675375, -42312650380770, 61348584853325, -10144826464550, -10197961852375, 5267826745750, 544751654689, -310481889800, -423395127475, 289463727950, -11815599375, -36569530966, 4195070685, 5343583885, -1632459680, -187379125, 140034529, 28158920, -23356305, 483640, 796375, 161395, -98775, -4175, 3800, 2625, -484, 10, -65, 20, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 + 20*x^38 - 65*x^37 + 10*x^36 - 484*x^35 + 2625*x^34 + 3800*x^33 - 4175*x^32 - 98775*x^31 + 161395*x^30 + 796375*x^29 + 483640*x^28 - 23356305*x^27 + 28158920*x^26 + 140034529*x^25 - 187379125*x^24 - 1632459680*x^23 + 5343583885*x^22 + 4195070685*x^21 - 36569530966*x^20 - 11815599375*x^19 + 289463727950*x^18 - 423395127475*x^17 - 310481889800*x^16 + 544751654689*x^15 + 5267826745750*x^14 - 10197961852375*x^13 - 10144826464550*x^12 + 61348584853325*x^11 - 42312650380770*x^10 - 84300057675375*x^9 + 175271153169940*x^8 + 110255235330495*x^7 - 136647868301930*x^6 + 14763856914996*x^5 + 768543708596375*x^4 + 677168823181435*x^3 + 226016395440355*x^2 + 596008027834280*x + 425077129297501)
 
gp: K = bnfinit(x^40 + 20*x^38 - 65*x^37 + 10*x^36 - 484*x^35 + 2625*x^34 + 3800*x^33 - 4175*x^32 - 98775*x^31 + 161395*x^30 + 796375*x^29 + 483640*x^28 - 23356305*x^27 + 28158920*x^26 + 140034529*x^25 - 187379125*x^24 - 1632459680*x^23 + 5343583885*x^22 + 4195070685*x^21 - 36569530966*x^20 - 11815599375*x^19 + 289463727950*x^18 - 423395127475*x^17 - 310481889800*x^16 + 544751654689*x^15 + 5267826745750*x^14 - 10197961852375*x^13 - 10144826464550*x^12 + 61348584853325*x^11 - 42312650380770*x^10 - 84300057675375*x^9 + 175271153169940*x^8 + 110255235330495*x^7 - 136647868301930*x^6 + 14763856914996*x^5 + 768543708596375*x^4 + 677168823181435*x^3 + 226016395440355*x^2 + 596008027834280*x + 425077129297501, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} + 20 x^{38} - 65 x^{37} + 10 x^{36} - 484 x^{35} + 2625 x^{34} + 3800 x^{33} - 4175 x^{32} - 98775 x^{31} + 161395 x^{30} + 796375 x^{29} + 483640 x^{28} - 23356305 x^{27} + 28158920 x^{26} + 140034529 x^{25} - 187379125 x^{24} - 1632459680 x^{23} + 5343583885 x^{22} + 4195070685 x^{21} - 36569530966 x^{20} - 11815599375 x^{19} + 289463727950 x^{18} - 423395127475 x^{17} - 310481889800 x^{16} + 544751654689 x^{15} + 5267826745750 x^{14} - 10197961852375 x^{13} - 10144826464550 x^{12} + 61348584853325 x^{11} - 42312650380770 x^{10} - 84300057675375 x^{9} + 175271153169940 x^{8} + 110255235330495 x^{7} - 136647868301930 x^{6} + 14763856914996 x^{5} + 768543708596375 x^{4} + 677168823181435 x^{3} + 226016395440355 x^{2} + 596008027834280 x + 425077129297501 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 20]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(98539998598235050113740433105359371614648411014472130509123104502577916719019412994384765625=5^{70}\cdot 17^{35}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $199.45$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 17$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(425=5^{2}\cdot 17\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{425}(128,·)$, $\chi_{425}(1,·)$, $\chi_{425}(2,·)$, $\chi_{425}(259,·)$, $\chi_{425}(4,·)$, $\chi_{425}(86,·)$, $\chi_{425}(257,·)$, $\chi_{425}(8,·)$, $\chi_{425}(213,·)$, $\chi_{425}(256,·)$, $\chi_{425}(271,·)$, $\chi_{425}(16,·)$, $\chi_{425}(404,·)$, $\chi_{425}(149,·)$, $\chi_{425}(287,·)$, $\chi_{425}(32,·)$, $\chi_{425}(298,·)$, $\chi_{425}(43,·)$, $\chi_{425}(172,·)$, $\chi_{425}(174,·)$, $\chi_{425}(178,·)$, $\chi_{425}(186,·)$, $\chi_{425}(319,·)$, $\chi_{425}(64,·)$, $\chi_{425}(202,·)$, $\chi_{425}(341,·)$, $\chi_{425}(342,·)$, $\chi_{425}(87,·)$, $\chi_{425}(344,·)$, $\chi_{425}(89,·)$, $\chi_{425}(348,·)$, $\chi_{425}(93,·)$, $\chi_{425}(263,·)$, $\chi_{425}(356,·)$, $\chi_{425}(101,·)$, $\chi_{425}(171,·)$, $\chi_{425}(372,·)$, $\chi_{425}(117,·)$, $\chi_{425}(234,·)$, $\chi_{425}(383,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $\frac{1}{101} a^{32} - \frac{29}{101} a^{31} - \frac{4}{101} a^{30} - \frac{30}{101} a^{29} - \frac{29}{101} a^{28} - \frac{10}{101} a^{27} + \frac{23}{101} a^{26} + \frac{10}{101} a^{24} + \frac{2}{101} a^{23} - \frac{29}{101} a^{22} + \frac{38}{101} a^{21} - \frac{9}{101} a^{20} - \frac{24}{101} a^{19} - \frac{33}{101} a^{18} - \frac{35}{101} a^{17} - \frac{38}{101} a^{16} - \frac{1}{101} a^{15} - \frac{25}{101} a^{14} - \frac{8}{101} a^{13} + \frac{34}{101} a^{12} + \frac{11}{101} a^{11} - \frac{8}{101} a^{10} - \frac{14}{101} a^{9} - \frac{10}{101} a^{8} + \frac{28}{101} a^{7} + \frac{34}{101} a^{6} + \frac{24}{101} a^{5} - \frac{4}{101} a^{4} + \frac{49}{101} a^{3} + \frac{2}{101} a^{2} - \frac{50}{101} a + \frac{5}{101}$, $\frac{1}{101} a^{33} - \frac{37}{101} a^{31} - \frac{45}{101} a^{30} + \frac{10}{101} a^{29} - \frac{43}{101} a^{28} + \frac{36}{101} a^{27} - \frac{40}{101} a^{26} + \frac{10}{101} a^{25} - \frac{11}{101} a^{24} + \frac{29}{101} a^{23} + \frac{5}{101} a^{22} - \frac{18}{101} a^{21} + \frac{18}{101} a^{20} - \frac{22}{101} a^{19} + \frac{18}{101} a^{18} - \frac{43}{101} a^{17} + \frac{8}{101} a^{16} + \frac{47}{101} a^{15} - \frac{26}{101} a^{14} + \frac{4}{101} a^{13} - \frac{13}{101} a^{12} + \frac{8}{101} a^{11} - \frac{44}{101} a^{10} - \frac{12}{101} a^{9} + \frac{41}{101} a^{8} + \frac{38}{101} a^{7} - \frac{15}{101} a^{5} + \frac{34}{101} a^{4} + \frac{9}{101} a^{3} + \frac{8}{101} a^{2} - \frac{31}{101} a + \frac{44}{101}$, $\frac{1}{101} a^{34} - \frac{7}{101} a^{31} - \frac{37}{101} a^{30} - \frac{42}{101} a^{29} - \frac{27}{101} a^{28} - \frac{6}{101} a^{27} - \frac{48}{101} a^{26} - \frac{11}{101} a^{25} - \frac{5}{101} a^{24} - \frac{22}{101} a^{23} + \frac{20}{101} a^{22} + \frac{10}{101} a^{21} + \frac{49}{101} a^{20} + \frac{39}{101} a^{19} + \frac{49}{101} a^{18} + \frac{26}{101} a^{17} - \frac{46}{101} a^{16} + \frac{38}{101} a^{15} - \frac{12}{101} a^{14} - \frac{6}{101} a^{13} - \frac{47}{101} a^{12} - \frac{41}{101} a^{11} - \frac{5}{101} a^{10} + \frac{28}{101} a^{9} - \frac{29}{101} a^{8} + \frac{26}{101} a^{7} + \frac{31}{101} a^{6} + \frac{13}{101} a^{5} - \frac{38}{101} a^{4} + \frac{3}{101} a^{3} + \frac{43}{101} a^{2} + \frac{12}{101} a - \frac{17}{101}$, $\frac{1}{101} a^{35} - \frac{38}{101} a^{31} + \frac{31}{101} a^{30} - \frac{35}{101} a^{29} - \frac{7}{101} a^{28} - \frac{17}{101} a^{27} + \frac{49}{101} a^{26} - \frac{5}{101} a^{25} + \frac{48}{101} a^{24} + \frac{34}{101} a^{23} + \frac{9}{101} a^{22} + \frac{12}{101} a^{21} - \frac{24}{101} a^{20} - \frac{18}{101} a^{19} - \frac{3}{101} a^{18} + \frac{12}{101} a^{17} - \frac{26}{101} a^{16} - \frac{19}{101} a^{15} + \frac{21}{101} a^{14} - \frac{2}{101} a^{13} - \frac{5}{101} a^{12} - \frac{29}{101} a^{11} - \frac{28}{101} a^{10} - \frac{26}{101} a^{9} - \frac{44}{101} a^{8} + \frac{25}{101} a^{7} + \frac{49}{101} a^{6} + \frac{29}{101} a^{5} - \frac{25}{101} a^{4} - \frac{18}{101} a^{3} + \frac{26}{101} a^{2} + \frac{37}{101} a + \frac{35}{101}$, $\frac{1}{15049} a^{36} - \frac{60}{15049} a^{35} - \frac{49}{15049} a^{34} - \frac{47}{15049} a^{33} - \frac{16}{15049} a^{32} + \frac{5068}{15049} a^{31} + \frac{2349}{15049} a^{30} - \frac{4049}{15049} a^{29} - \frac{6688}{15049} a^{28} - \frac{751}{15049} a^{27} + \frac{4823}{15049} a^{26} - \frac{3219}{15049} a^{25} - \frac{3884}{15049} a^{24} - \frac{2979}{15049} a^{23} + \frac{3477}{15049} a^{22} + \frac{549}{15049} a^{21} + \frac{704}{15049} a^{20} + \frac{7045}{15049} a^{19} + \frac{4198}{15049} a^{18} - \frac{4304}{15049} a^{17} + \frac{5411}{15049} a^{16} + \frac{5552}{15049} a^{15} - \frac{1719}{15049} a^{14} + \frac{6711}{15049} a^{13} - \frac{4147}{15049} a^{12} + \frac{6516}{15049} a^{11} - \frac{6612}{15049} a^{10} - \frac{2630}{15049} a^{9} + \frac{1939}{15049} a^{8} + \frac{3983}{15049} a^{7} - \frac{450}{15049} a^{6} - \frac{1876}{15049} a^{5} - \frac{463}{15049} a^{4} - \frac{6971}{15049} a^{3} - \frac{1033}{15049} a^{2} - \frac{1305}{15049} a - \frac{3124}{15049}$, $\frac{1}{15049} a^{37} - \frac{73}{15049} a^{35} - \frac{7}{15049} a^{34} - \frac{5}{15049} a^{33} - \frac{64}{15049} a^{32} + \frac{383}{15049} a^{31} - \frac{3318}{15049} a^{30} - \frac{351}{15049} a^{29} + \frac{3398}{15049} a^{28} - \frac{5371}{15049} a^{27} + \frac{3806}{15049} a^{26} + \frac{6361}{15049} a^{25} - \frac{1642}{15049} a^{24} - \frac{337}{15049} a^{23} - \frac{325}{15049} a^{22} + \frac{2205}{15049} a^{21} + \frac{2350}{15049} a^{20} + \frac{4930}{15049} a^{19} - \frac{360}{15049} a^{18} - \frac{2807}{15049} a^{17} - \frac{4591}{15049} a^{16} + \frac{2260}{15049} a^{15} + \frac{3699}{15049} a^{14} - \frac{3191}{15049} a^{13} - \frac{7033}{15049} a^{12} - \frac{221}{15049} a^{11} - \frac{3606}{15049} a^{10} - \frac{5520}{15049} a^{9} + \frac{4252}{15049} a^{8} + \frac{4898}{15049} a^{7} + \frac{6586}{15049} a^{6} + \frac{7220}{15049} a^{5} - \frac{4057}{15049} a^{4} - \frac{6563}{15049} a^{3} + \frac{6596}{15049} a^{2} - \frac{3199}{15049} a + \frac{5813}{15049}$, $\frac{1}{24183743} a^{38} + \frac{474}{24183743} a^{37} - \frac{568}{24183743} a^{36} + \frac{1051}{24183743} a^{35} + \frac{13482}{24183743} a^{34} - \frac{31170}{24183743} a^{33} + \frac{75711}{24183743} a^{32} - \frac{9073729}{24183743} a^{31} - \frac{10920855}{24183743} a^{30} + \frac{9509117}{24183743} a^{29} - \frac{11926672}{24183743} a^{28} - \frac{757336}{24183743} a^{27} - \frac{1799376}{24183743} a^{26} + \frac{9451314}{24183743} a^{25} + \frac{11715038}{24183743} a^{24} - \frac{10827915}{24183743} a^{23} + \frac{2627138}{24183743} a^{22} + \frac{5001703}{24183743} a^{21} - \frac{11696480}{24183743} a^{20} + \frac{8897447}{24183743} a^{19} + \frac{11488578}{24183743} a^{18} - \frac{9932480}{24183743} a^{17} - \frac{6010794}{24183743} a^{16} - \frac{7892114}{24183743} a^{15} + \frac{1558487}{24183743} a^{14} + \frac{5984679}{24183743} a^{13} - \frac{7104465}{24183743} a^{12} - \frac{7071743}{24183743} a^{11} - \frac{3671873}{24183743} a^{10} + \frac{7845076}{24183743} a^{9} + \frac{1742365}{24183743} a^{8} + \frac{4865095}{24183743} a^{7} - \frac{4655973}{24183743} a^{6} - \frac{9968332}{24183743} a^{5} + \frac{11052812}{24183743} a^{4} + \frac{9067945}{24183743} a^{3} - \frac{3297585}{24183743} a^{2} + \frac{7142722}{24183743} a + \frac{6374183}{24183743}$, $\frac{1}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{39} - \frac{63551442602454801641715951522607374403324519409671281929029803748214843700273912400697406779900173213510128600407415891837050289294989120732723388408111732608516675637189473553252764832781515157581718093384569322257251039551777264849872200609464733204045003886685475435071295406322590809465985507628702722}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{38} + \frac{96063647982668614716166964594180756570079842563581417577814614418827503045025965508692445129997309359000764875750341348155444850315453562878046634846737889328014004528505283355099769570722874162157023709186817620082494712200070596224219141443496016277151581385695648950588348121556722813237644485258927096275}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{37} - \frac{66630474473151209849063957215921968593243721639589396785432543769032040155139355597109018489935690316117007718851647936498992611319468917604606961047288372879667301547925357014482849998344626581168992480149849878430394947501378531415695691764901727936343021398012769498531527903904537527437214371714575847065}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{36} + \frac{24692370838777893482638575704123853760135192319896872094533180900901188513962088354728727820450783781179254592666868379758376809988231276758264508673499723528936258395487961567012933060975873221271517101777367342695640044973095428060075334192871851879512270625873762239312222063480723641325040743795289214695504}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{35} - \frac{15799145535347903517493923744746863677239844002182147119680961659496157216332779307439848095863782217463594820658000542769488123450841645827218926829577666922129786296082051719326280858745619343072426841180727214168983792846502437573074950637067081847689771499968363690142443707286032432908993275814552763157387}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{34} - \frac{5780209263817411244340553669716084611966207717134009207719479423858167055716668394408856188193412562972319759141686246536796058383886222075983287552631612800274769959313738711119528733946710564926191320222768965545248683484986991995686249769182542540187166680722795157501621950416777461861711113739386786880232}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{33} - \frac{2114960893037017264380592808950610501002386522473946272542269592477268417534753760196517118039426967080842925563176504664153967113693664793978908344702107840770134365686303347756681993465978560582743971119547586646362353045371348669706162446681454038853208211089354028891972119159495747943252047293858256258657}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{32} + \frac{3038353571493455709891015269041486763200883072969740562120948278165614555150240488822275325100028179296773337155716854051021887193285780353836531913259458399184601975520216937057748618096386526385666734924618366773816898044311007021568522227878451933080655010060332521274940334745672269900878450805438225923032119}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{31} - \frac{286173035868350053398566600662886942016498760150994946477703807183214232375579694596190454870868090679101697534427482967268178442047344608982628333610893295964908376860349299585532631186862481273906301926429839712191989829936996741082899563096100380764796374054427307079423218208818275629244811967200919375436836}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{30} - \frac{1501177477523405639432045935033825564203608392201895613794214648766055952424954353870226950632987631861539202071279101240870691789545656040411787556161677470218261281395471638510035855129414891834052743589703607840002619271820343851978682969527567177355928091634774308094262635499721776896448665502781165078409038}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{29} - \frac{1104894873146341840211218667521927639490444712255481915172611776184095903243672803535558020587259128485425362127217507142160375477468546572769264510808840138739174063282066737808897452320614769055286868957916980457615255378466103191800776971039504033694967840687472246580857739092819776037605504531386767453683846}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{28} - \frac{2830259977016774697268974540558772103088824903179526360833537081374150033640386792878636042694436611024920498512535212183056399872984591905119092737538963564783331577246149470001305729305814346582643855004341413233156355662117535972770958938533155627170007899820946091863488730366411696555549314231116813601683756}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{27} - \frac{435195442572635696740122108585112838978162065553632521880035691324027095967186489535449455078419871832004520412916385842398610510525404928913509884891588465468542841605888277750065297272070856448097455902518019032728797062734054587949241158050880357749710073224732531968424164622636700957114741082222735791239303}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{26} - \frac{513952597216027129158417213627141120887818131085819762314741987479163803402099280780999126193022844765714478309238665468127880881635663669856172590278239535166493389137229244077985577485421581802363483156302847855479739623433170201761430438287419392941808804774392578031929751602590901706849400632725951727214882}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{25} - \frac{2778679995475705828727866115384633181586629620931236695645591970203914562187307833224299251856024437607714072226974419633264083638186835947940427698421952030286809241988852330680273091732619698269072352837400584922763034807904944651104869797506273878662821472106248912908797820506687790091262978329102339790294454}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{24} + \frac{2849691368717003079003656323705197104293654316483119842179973328656075187043942123864405531872469677169387237029889517720273445675420138757086007284589788284139025062179271590283244756666164868639912782268861840687806289364811805009799854755854531061952822795534342741509800071446352035057410108894653026384050234}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{23} - \frac{1543809518898885928344837065227043635534388306388322003342624162132319309823745197355286306578452512608520687357277593192394061986430840364811997142642784941454935563143639570512804865262176381243259973970723373544070464275470931126612859852282962695968515726128599591785449249919182079551066206179778056181518632}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{22} - \frac{894437262760905064053523631153765620978153772160568050319978539832767018794906642440300731147426934222040541954435238996523742813337526784596527715351917984957174667565865745376384057028650993126465486045859914178251298743693750977380908095998689900766256041850772628455022326087549719455876923394098488705645567}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{21} - \frac{400063677517589140339092583605371751032747869994692182902426008547447423675482551266799889506999458348735491114859115938210610554828804765463794006733676777685452950496936560299684667137327387718931482787716196674604555755233761546094732930432401974013947721863897450772522916927007103138491668390687161182814178}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{20} - \frac{2098170439085176550692442008011461772602172597208595576304060613702171838598610062086717613807655660595524658926468627473753467084076836706705801663287765722194684334134231432215464679050896005650961789102720211699070218820179572693461263041750078545323702448778568442804928621762435639926498756983349708450529445}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{19} - \frac{1759680108627708898842818231672201258681690871327989306709519912412016908183036287760925727297103887725342919497396622448327058726571846021989095344822502291430261087969236032294097506069367074446668034874830512994239695404476678010475325333882887995734841098787324840498889732636050326962719476809719465011776054}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{18} - \frac{2242142706988867910726043819446593987713897416531254876243540621767679224060713345775149160219666908025848324423225635764993870995851506538473606036690944025176461084903441704517758998887308985669205450129592168438422039920596591185329956702633225483808449668778527005929159692586526456668702456747873489109409523}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{17} + \frac{1161918908200986584284247454102383355567587777049443232529999104639373190784806064001538876523745322307494718097825785634454480173771833983466005740921661779602797728927602964605360411411241364945250474146762969123486768230062539238182708204632661580097796905386838753255469768862123260383994350133654873513328842}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{16} - \frac{2889963253374443775140425814079123074902591910956718524431831967663442016380796126809606408146828638541696257630293490255368010624222916515034795062498328053572459785011508191284141680013025563317648678109866066570911727966126266003086988017260996892872620389243768613426911621622096877405461236703532391099291255}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{15} + \frac{760520131874390645939028480286037223327188780116136134905452669642912603895397322478669070446252231566751379560362787862453112470072324740320131037373046413023531685630039804624575407239418800378116509642073810577527500355116239488707218657144850683548579796377484239548005430828921369561350238208270326472104456}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{14} - \frac{2932981178518734750672933973470203344686516309480546588522245041045975713924678408320994438521929528511562613238403313828831024109886984075850965696220972396875259387023301597195957540569268328408048374066748503442364778945394815265488266750663757965685647956036389125337762191181418772944925203610676303722955834}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{13} + \frac{272181273583664405722308459804706339522087670689016913344968696900218081755636720782058451091098221749846837382317433274770978462395432464008529688118911850615569815659358052074293508843508605754432153236442243500646062000152943357944657392229052017604707960273646708662590878652550781512237830641813370269710916}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{12} + \frac{619081093180117899898827929781662755990384730730090394337262933927990989421904965303540781466509362756057870491276111942940878914854860951749392812931923644506123327333294023672169715248177920932717440110893287513612243632966431219192128089486865236031130224023360326783621565395881119469646196870212301959446119}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{11} + \frac{27575876658653468369044414042123940941185096684616656835404279067915335886149049055883844738164376144937639793433203943600652503255081599326467545027972353876707081802376287808643480030939484017760472293465900058090600219278904869457452180776434574729784695857353295887607747478310655255744933513763576920440594}{60774809901310479830033911005806946559651695678188980749451975966787485188092604813499035455328055932387235630853641057501017591719396593711992921381078660846274027610538029638452990731269455995430713592218768212530005900313163202769747386151862727812863380496757812739857652107062928254764928328217617459028849} a^{10} + \frac{2992216295001080524303486816099697178300574375801353894412680985414899833704639828280932750217520345568204120630877234401451112028005671833126672076159539038834037029351120689790643312573055905746676716985703539805771457063520711369199237102636290631233637333216433530063487392217608805676839740842883914858287222}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{9} + \frac{2917190383063313692917490070038129111457267172515664188793158293383591394685922883649100553919229702752349148361457004605053051418913164348727404415576665087333397906492039268158672406797912253007237595001448520806161130703998740930653525609093473232834387714353983984595582548701432108061691695129870445509329363}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{8} - \frac{980462416253448399556658414670704692012172318526825651389564894507156010446674805583569495578436016128271057106176227853928725139011502499008820312879594656223931237692091571192320132983273580326962042592108026410880151609744445521975654807467898439147707660146734726673267799332464138229702724318008230818194887}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{7} + \frac{1111998078199720018437004579052199938248543442941047846777086294351942122742557630622474333062857244027360745438152616197877523606863468431135663129251237889833029395588106703209742320202738828620952620993734707903202935060174564672441654816506470694971973166810699522119786136136206554713283589160499170208033829}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{6} - \frac{820886348203244069341836369937931452766570325202885907778290745395375394039146662599187725088526232951967280510590911902907873903125933437436293548924045574191372802126837643605780044270978846521749867261158540809833932569880183470912127099844764943942012893131473626357152419339086735108477613486884267917469141}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{5} - \frac{2818497775386008488201826194971159677113335741789559033210833739504258309974056427779105432948402493139947182601263792275582445323710908932634859265475641630420369728049838623300794224888786114148069344190246841222902839888397171882720178930200747480929271354806840672764333708374997622020514734712151649708850654}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{4} + \frac{1273539857045043087122222141136092977793051236143991579751663906126470971962908066502208671921738099999329331990699968382929419426036449042558274884907878534472602385597115791634998718426342952112702353473601095317755452785531530762519634720108777367740875052062615316579770573130082143082465464544387281513178829}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{3} + \frac{194040684577005681820643518498487655323928411707367410022016195762024191856302761999033149570897742211271683724736884118378889725254930122675980103469270205044280722623659162839783103225458801826724334320508686255754913536805285910560960710821978180928461358823396436572153444616062158225374830115630162610495182}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a^{2} + \frac{2601454598987116524211311037270315450504188668262085601341606466446417201788546273543009856777065840085406640203197759734104023776761516831139708612430303354849204248206156587878492230352759661860365515202592165320426245121475221353807807944359696897473090974949036244681487495511555164343578572021353878052880494}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749} a + \frac{190281636917473374012071014289349637124882674012185714672760321976530261538769910378622651444413149139894815680125076019428626286494726222326117983608009067546077249031846551881306769133924398863538697815189232912677258410521643737498748160095233229241079816650322509048878109718581246718533423185856701187326055}{6138255800032358462833425011586501602524821263497087055694649572645536003997353086163402580988133649171110798716217746807602776763659055964911285059488944745473676788664340993483752063858215055538502072814095589465530595931629483479744486001338135509099201430172539086725622862813355753731257761149979363361913749}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $19$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{40}$ (as 40T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_{40}$
Character table for $C_{40}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{17}) \), 4.4.122825.1, 5.5.390625.1, 8.0.6411541765625.1, 10.10.216652984619140625.1, 20.20.1666149503731760075897909700870513916015625.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.10.0.1}{10} }^{4}$ $40$ R ${\href{/LocalNumberField/7.8.0.1}{8} }^{5}$ $40$ $20^{2}$ R $20^{2}$ $40$ $40$ $40$ $40$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/43.2.0.1}{2} }^{20}$ $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/53.5.0.1}{5} }^{8}$ $20^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
17Data not computed