↑

Properties

Label 40.0.94264070509...0625.1
Degree $40$
Signature $[0, 20]$
Discriminant $3^{20}\cdot 5^{68}\cdot 7^{20}$
Root discriminant $70.69$
Ramified primes $3, 5, 7$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_2^2\times C_{10}$ (as 40T7)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![3107899, 1527435, 24713760, -109881885, 266470770, -509520747, 824549945, -1732881785, 4582264570, -10504339140, 19249458247, -30110973150, 45256479670, -71247196915, 114506150895, -173441812688, 234872963600, -279345756625, 291790112540, -269334320725, 221323843494, -163041491640, 108312567150, -65203926240, 35705537360, -17835897715, 8143185965, -3401715790, 1300438080, -454632600, 145094552, -42149850, 11096690, -2630895, 556865, -103882, 16785, -2280, 250, -20, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 20*x^39 + 250*x^38 - 2280*x^37 + 16785*x^36 - 103882*x^35 + 556865*x^34 - 2630895*x^33 + 11096690*x^32 - 42149850*x^31 + 145094552*x^30 - 454632600*x^29 + 1300438080*x^28 - 3401715790*x^27 + 8143185965*x^26 - 17835897715*x^25 + 35705537360*x^24 - 65203926240*x^23 + 108312567150*x^22 - 163041491640*x^21 + 221323843494*x^20 - 269334320725*x^19 + 291790112540*x^18 - 279345756625*x^17 + 234872963600*x^16 - 173441812688*x^15 + 114506150895*x^14 - 71247196915*x^13 + 45256479670*x^12 - 30110973150*x^11 + 19249458247*x^10 - 10504339140*x^9 + 4582264570*x^8 - 1732881785*x^7 + 824549945*x^6 - 509520747*x^5 + 266470770*x^4 - 109881885*x^3 + 24713760*x^2 + 1527435*x + 3107899)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - 20*x^39 + 250*x^38 - 2280*x^37 + 16785*x^36 - 103882*x^35 + 556865*x^34 - 2630895*x^33 + 11096690*x^32 - 42149850*x^31 + 145094552*x^30 - 454632600*x^29 + 1300438080*x^28 - 3401715790*x^27 + 8143185965*x^26 - 17835897715*x^25 + 35705537360*x^24 - 65203926240*x^23 + 108312567150*x^22 - 163041491640*x^21 + 221323843494*x^20 - 269334320725*x^19 + 291790112540*x^18 - 279345756625*x^17 + 234872963600*x^16 - 173441812688*x^15 + 114506150895*x^14 - 71247196915*x^13 + 45256479670*x^12 - 30110973150*x^11 + 19249458247*x^10 - 10504339140*x^9 + 4582264570*x^8 - 1732881785*x^7 + 824549945*x^6 - 509520747*x^5 + 266470770*x^4 - 109881885*x^3 + 24713760*x^2 + 1527435*x + 3107899, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - 20 x^{39} + 250 x^{38} - 2280 x^{37} + 16785 x^{36} - 103882 x^{35} + 556865 x^{34} - 2630895 x^{33} + 11096690 x^{32} - 42149850 x^{31} + 145094552 x^{30} - 454632600 x^{29} + 1300438080 x^{28} - 3401715790 x^{27} + 8143185965 x^{26} - 17835897715 x^{25} + 35705537360 x^{24} - 65203926240 x^{23} + 108312567150 x^{22} - 163041491640 x^{21} + 221323843494 x^{20} - 269334320725 x^{19} + 291790112540 x^{18} - 279345756625 x^{17} + 234872963600 x^{16} - 173441812688 x^{15} + 114506150895 x^{14} - 71247196915 x^{13} + 45256479670 x^{12} - 30110973150 x^{11} + 19249458247 x^{10} - 10504339140 x^{9} + 4582264570 x^{8} - 1732881785 x^{7} + 824549945 x^{6} - 509520747 x^{5} + 266470770 x^{4} - 109881885 x^{3} + 24713760 x^{2} + 1527435 x + 3107899 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 20]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(94264070509965596540717696610726418493531042486210935749113559722900390625=3^{20}\cdot 5^{68}\cdot 7^{20}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $70.69$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 5, 7$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(525=3\cdot 5^{2}\cdot 7\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{525}(1,·)$, $\chi_{525}(386,·)$, $\chi_{525}(134,·)$, $\chi_{525}(391,·)$, $\chi_{525}(139,·)$, $\chi_{525}(524,·)$, $\chi_{525}(274,·)$, $\chi_{525}(281,·)$, $\chi_{525}(29,·)$, $\chi_{525}(286,·)$, $\chi_{525}(34,·)$, $\chi_{525}(419,·)$, $\chi_{525}(421,·)$, $\chi_{525}(41,·)$, $\chi_{525}(176,·)$, $\chi_{525}(181,·)$, $\chi_{525}(314,·)$, $\chi_{525}(316,·)$, $\chi_{525}(64,·)$, $\chi_{525}(449,·)$, $\chi_{525}(454,·)$, $\chi_{525}(71,·)$, $\chi_{525}(76,·)$, $\chi_{525}(461,·)$, $\chi_{525}(209,·)$, $\chi_{525}(211,·)$, $\chi_{525}(344,·)$, $\chi_{525}(356,·)$, $\chi_{525}(349,·)$, $\chi_{525}(251,·)$, $\chi_{525}(484,·)$, $\chi_{525}(104,·)$, $\chi_{525}(106,·)$, $\chi_{525}(491,·)$, $\chi_{525}(146,·)$, $\chi_{525}(239,·)$, $\chi_{525}(496,·)$, $\chi_{525}(244,·)$, $\chi_{525}(169,·)$, $\chi_{525}(379,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $\frac{1}{5} a^{30} + \frac{1}{5} a^{25} - \frac{1}{5} a^{20} + \frac{1}{5} a^{15} - \frac{2}{5} a^{10} - \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{31} + \frac{1}{5} a^{26} - \frac{1}{5} a^{21} + \frac{1}{5} a^{16} - \frac{2}{5} a^{11} - \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{5} a^{32} + \frac{1}{5} a^{27} - \frac{1}{5} a^{22} + \frac{1}{5} a^{17} - \frac{2}{5} a^{12} - \frac{1}{5} a^{2}$, $\frac{1}{5} a^{33} + \frac{1}{5} a^{28} - \frac{1}{5} a^{23} + \frac{1}{5} a^{18} - \frac{2}{5} a^{13} - \frac{1}{5} a^{3}$, $\frac{1}{755} a^{34} + \frac{17}{755} a^{33} - \frac{6}{755} a^{32} - \frac{11}{151} a^{31} - \frac{21}{755} a^{30} + \frac{116}{755} a^{29} + \frac{162}{755} a^{28} - \frac{276}{755} a^{27} + \frac{34}{151} a^{26} - \frac{36}{755} a^{25} - \frac{281}{755} a^{24} + \frac{168}{755} a^{23} + \frac{301}{755} a^{22} - \frac{22}{151} a^{21} - \frac{324}{755} a^{20} - \frac{174}{755} a^{19} - \frac{228}{755} a^{18} - \frac{266}{755} a^{17} - \frac{67}{151} a^{16} - \frac{321}{755} a^{15} + \frac{143}{755} a^{14} + \frac{286}{755} a^{13} - \frac{153}{755} a^{12} + \frac{22}{151} a^{11} + \frac{22}{755} a^{10} + \frac{20}{151} a^{9} - \frac{65}{151} a^{8} - \frac{36}{151} a^{7} - \frac{60}{151} a^{6} - \frac{45}{151} a^{5} + \frac{259}{755} a^{4} + \frac{293}{755} a^{3} - \frac{94}{755} a^{2} - \frac{70}{151} a + \frac{106}{755}$, $\frac{1}{755} a^{35} + \frac{7}{755} a^{33} + \frac{47}{755} a^{32} + \frac{8}{755} a^{31} + \frac{4}{151} a^{30} - \frac{60}{151} a^{29} + \frac{292}{755} a^{28} + \frac{332}{755} a^{27} - \frac{57}{755} a^{26} - \frac{122}{755} a^{25} - \frac{68}{151} a^{24} + \frac{163}{755} a^{23} + \frac{58}{755} a^{22} + \frac{187}{755} a^{21} - \frac{253}{755} a^{20} - \frac{58}{151} a^{19} + \frac{137}{755} a^{18} - \frac{343}{755} a^{17} - \frac{62}{755} a^{16} - \frac{138}{755} a^{15} + \frac{24}{151} a^{14} - \frac{334}{755} a^{13} - \frac{309}{755} a^{12} - \frac{36}{755} a^{11} - \frac{123}{755} a^{10} + \frac{48}{151} a^{9} + \frac{12}{151} a^{8} - \frac{52}{151} a^{7} + \frac{69}{151} a^{6} + \frac{309}{755} a^{5} - \frac{67}{151} a^{4} - \frac{92}{755} a^{3} - \frac{262}{755} a^{2} + \frac{167}{755} a + \frac{161}{755}$, $\frac{1}{5285} a^{36} - \frac{2}{5285} a^{35} + \frac{1}{5285} a^{34} - \frac{522}{5285} a^{33} + \frac{101}{5285} a^{32} - \frac{54}{1057} a^{31} - \frac{214}{5285} a^{30} + \frac{2461}{5285} a^{29} + \frac{2098}{5285} a^{28} + \frac{331}{5285} a^{27} + \frac{2143}{5285} a^{26} + \frac{326}{1057} a^{25} + \frac{1019}{5285} a^{24} - \frac{68}{5285} a^{23} + \frac{379}{5285} a^{22} + \frac{91}{755} a^{21} - \frac{323}{1057} a^{20} + \frac{1761}{5285} a^{19} - \frac{457}{5285} a^{18} + \frac{2371}{5285} a^{17} + \frac{2147}{5285} a^{16} + \frac{116}{755} a^{15} - \frac{1432}{5285} a^{14} + \frac{1814}{5285} a^{13} + \frac{1198}{5285} a^{12} + \frac{2007}{5285} a^{11} - \frac{401}{5285} a^{10} - \frac{204}{1057} a^{9} - \frac{139}{1057} a^{8} - \frac{64}{1057} a^{7} + \frac{1419}{5285} a^{6} - \frac{358}{5285} a^{5} - \frac{976}{5285} a^{4} + \frac{126}{755} a^{3} + \frac{2614}{5285} a^{2} + \frac{1776}{5285} a - \frac{1713}{5285}$, $\frac{1}{2637215} a^{37} - \frac{5}{75349} a^{36} + \frac{173}{527443} a^{35} - \frac{128}{2637215} a^{34} + \frac{156522}{2637215} a^{33} - \frac{41193}{2637215} a^{32} - \frac{122183}{2637215} a^{31} - \frac{11743}{2637215} a^{30} + \frac{496152}{2637215} a^{29} + \frac{768367}{2637215} a^{28} + \frac{180853}{527443} a^{27} + \frac{729387}{2637215} a^{26} - \frac{1286283}{2637215} a^{25} - \frac{739057}{2637215} a^{24} + \frac{915878}{2637215} a^{23} + \frac{122709}{527443} a^{22} - \frac{876412}{2637215} a^{21} + \frac{940948}{2637215} a^{20} - \frac{295023}{2637215} a^{19} - \frac{2432}{5285} a^{18} + \frac{1190379}{2637215} a^{17} + \frac{951597}{2637215} a^{16} + \frac{1055862}{2637215} a^{15} + \frac{91598}{376745} a^{14} + \frac{601401}{2637215} a^{13} + \frac{79474}{376745} a^{12} - \frac{469839}{2637215} a^{11} - \frac{184774}{2637215} a^{10} + \frac{140062}{527443} a^{9} + \frac{74733}{527443} a^{8} + \frac{263979}{2637215} a^{7} + \frac{61424}{527443} a^{6} + \frac{143415}{527443} a^{5} + \frac{153623}{2637215} a^{4} + \frac{206328}{2637215} a^{3} + \frac{17994}{2637215} a^{2} + \frac{820013}{2637215} a + \frac{1292848}{2637215}$, $\frac{1}{2163841695540465178150465} a^{38} - \frac{39693146075710929}{2163841695540465178150465} a^{37} + \frac{134332472227307627008}{2163841695540465178150465} a^{36} + \frac{223009474292102112278}{432768339108093035630093} a^{35} + \frac{137194203030955202568}{309120242220066454021495} a^{34} - \frac{32341313715589898398137}{432768339108093035630093} a^{33} - \frac{139684554924339569471461}{2163841695540465178150465} a^{32} - \frac{12985956953369897244746}{309120242220066454021495} a^{31} + \frac{706216107509852792313}{2163841695540465178150465} a^{30} - \frac{577367140395373457191989}{2163841695540465178150465} a^{29} + \frac{42433154684787084772258}{2163841695540465178150465} a^{28} + \frac{71575278519779389517522}{2163841695540465178150465} a^{27} + \frac{218213758867948182298402}{2163841695540465178150465} a^{26} + \frac{442076911247043289905518}{2163841695540465178150465} a^{25} - \frac{180120870749522250675181}{2163841695540465178150465} a^{24} + \frac{230121861131293598981462}{2163841695540465178150465} a^{23} + \frac{484714904769464216476368}{2163841695540465178150465} a^{22} + \frac{72214821290800460942069}{309120242220066454021495} a^{21} - \frac{644159568118060225290588}{2163841695540465178150465} a^{20} - \frac{14140452805705076936047}{309120242220066454021495} a^{19} + \frac{579344208494397623770132}{2163841695540465178150465} a^{18} + \frac{597062835075053014247361}{2163841695540465178150465} a^{17} + \frac{429458474229729414578014}{2163841695540465178150465} a^{16} + \frac{505762084108278964828878}{2163841695540465178150465} a^{15} - \frac{708852072661102325557517}{2163841695540465178150465} a^{14} + \frac{633475569208444337847037}{2163841695540465178150465} a^{13} + \frac{350929307087478318974129}{2163841695540465178150465} a^{12} + \frac{10139488094344284463629}{61824048444013290804299} a^{11} + \frac{269775958777192432999009}{2163841695540465178150465} a^{10} + \frac{198480195616265195163917}{432768339108093035630093} a^{9} - \frac{288438197240061833225161}{2163841695540465178150465} a^{8} + \frac{842401011154818216134434}{2163841695540465178150465} a^{7} - \frac{143697729566116902877544}{309120242220066454021495} a^{6} - \frac{128022246850025691636849}{432768339108093035630093} a^{5} + \frac{140099352908013178198569}{2163841695540465178150465} a^{4} + \frac{56556707196521265165396}{2163841695540465178150465} a^{3} - \frac{906044859519015982092018}{2163841695540465178150465} a^{2} - \frac{124789251760530152464902}{432768339108093035630093} a + \frac{444961448105828267459362}{2163841695540465178150465}$, $\frac{1}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{39} - \frac{3506474963970292126074556154159892706225055482478787287345148821972844080436348149725108061018640406965854476014108246}{2489817181632135352677018178033324394654262000875331142692791996087479345571520084979086613689885285786720944145176308897066303628519636876594465} a^{38} + \frac{1980683333376174077675618654733688534601258818721830935719674728003774323008616579029891192774179904076102962450544957493003675002080971784207}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{37} + \frac{203238700524615823312519156168359857079265806943348755772755880880046056391028636148579427102362807937525462571494935424305699217536344163914768}{4609647530073735391946231454810896784262900668420588077581435101556359260391112285330280956585453618105535155990379418292028554537841255713326992501} a^{36} + \frac{1970819382493346944821208671261484094102491230659102146743689734751753784943929676189835990449351428843647624636753254336682847331281692682444083}{3292605378624096708533022467722069131616357620300420055415310786825970900279365918093057826132466870075382254278842441637163253241315182652376423215} a^{35} + \frac{14569935869137548967423711742987521965752456665394001942790993753694179369153588914493394248496615312812674000424954692353640700592838645575267829}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{34} - \frac{698129743070964660690327243468380319706235006935273246678171369248960578136837230715644420594510150132312464723505562727226584165410813563580995006}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{33} - \frac{319869660898841872478004156780915210914899076972449812042608332189096037554323928253573302199569662908660080657138639921486782716628483478852558992}{3292605378624096708533022467722069131616357620300420055415310786825970900279365918093057826132466870075382254278842441637163253241315182652376423215} a^{32} + \frac{28163982139384985158250956714394587365499147075108766530504978125803913588134110496444740135593095997423381884121969527147395404343893521075183542}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{31} + \frac{88145010917766545726847963877409114860233360975987557230546059631696854541857487014425208573388777967785046279772753965290712174188664599377217038}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{30} - \frac{2729581568253239364748860500655661245460200638973384482101652644884686961972139425694594973948407016045623642035930703125260855492802116283241899368}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{29} + \frac{7594325627325684715955980616472908342381301759435654182852985363473489481203096246757996171131063661419130736679166262195394284486761130253239363763}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{28} - \frac{11169080253987288157115534178009490526066591919481854208798093444037922047367680544340398149208068529712994918303054222245133447921002152933726044158}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{27} + \frac{1511487334896763314979999644524177368676111711134161533269837749736304830154380314111389829707606517827137427004396440814072595488526706489360739792}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{26} - \frac{7132816194861160137001827256502185470802763500824551642706703149361233831657861650788265072257188356325125999062166600351564310579122667849232552949}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{25} + \frac{2308503187534654420207321744588419747350378673737198636846444578269545279076143774389925263800452119435962649523216842314361520372456644043608953738}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{24} + \frac{3382734147495365351145283587676843405752874351461337802868889813308036925790087800139898699588502689462176056898518528030018392404886874472948133562}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{23} + \frac{1075126224498581755674428938738996674503623533427397473834309842065958369600179264043977729632083599683736138408965987466096398903451616585107454599}{3292605378624096708533022467722069131616357620300420055415310786825970900279365918093057826132466870075382254278842441637163253241315182652376423215} a^{22} - \frac{4818476150159204418368036103663051175755890122940345006948332723888543814018629130526989411592164380477756826065601929153826353114897645304977523657}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{21} - \frac{462062345460043311047030609025296408955270597928579687981809774498793494373113020194632494415361713745964700205118052747167008673578891214315657953}{3292605378624096708533022467722069131616357620300420055415310786825970900279365918093057826132466870075382254278842441637163253241315182652376423215} a^{20} + \frac{1116638678750981923644823130074957877105260522268662378865934842074022306074107268452931342738069367544616288771504880258975439910640083818281094141}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{19} + \frac{583229720189758701083991009142404874120104284727068091871891138300663854129300509911702646881333647786192057555266045717396147400643733177480515375}{4609647530073735391946231454810896784262900668420588077581435101556359260391112285330280956585453618105535155990379418292028554537841255713326992501} a^{18} - \frac{92509183610422990900512120207662995375767806036891501124744659595541979614193530577895445375595319328514157050086560129407131097913547362835604456}{4609647530073735391946231454810896784262900668420588077581435101556359260391112285330280956585453618105535155990379418292028554537841255713326992501} a^{17} + \frac{11459634972217376572272489538471003343259851851532186965915144001076161490631906765526169076738164724557331411121404835771584566812305302477071579722}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{16} + \frac{1967606896244389539919482140146425204789228382768738486854652105132193258983642662205458428084214567240840917191621898613585363815903104862128592631}{4609647530073735391946231454810896784262900668420588077581435101556359260391112285330280956585453618105535155990379418292028554537841255713326992501} a^{15} - \frac{5076008336101567948582854944324791738396874909638872214356228926002477286548467621228549039869882128637309505415247697181627365154955498776366974256}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{14} - \frac{4669126051151246336836745728352276028786679322113806181457719021921992724460234396448598388320111399091138377688197296659185249561912197306763402952}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{13} - \frac{1528307334430831426031643871985753510492923686366121443652422526248134903167683990016925066656734848297922167597217592275515511071839616714028908974}{3292605378624096708533022467722069131616357620300420055415310786825970900279365918093057826132466870075382254278842441637163253241315182652376423215} a^{12} - \frac{5623062131284799125918042036247097253227276544742432045413467220186482427262197960353099428958136945169287094227863435992630788267768103396169733604}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{11} + \frac{6928235006292122305943397991502947739149735957429210531293669291212309514608101933315541943375425592301328773310322155708572102704769083434332605656}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{10} + \frac{839346710598032476528052601241397698805047751596717105824477059666100325065034035480436540416609673543907267570841318911710414611463697559546737689}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{9} - \frac{8913381297381442078486281142155587252922492943151277767377105986518093335017141888390745743531830097684100793795799970615313496645658196547539700033}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{8} - \frac{155315761487399164802753597922746137430069510199077072364723220297777034930486758446607179902501114682047072673151432313632373787298772964749077371}{3292605378624096708533022467722069131616357620300420055415310786825970900279365918093057826132466870075382254278842441637163253241315182652376423215} a^{7} + \frac{104402954214935867242070173646898156633137023167479433219181728419973547655186803952748904886405639191742070868187773932324245259858135723687898832}{4609647530073735391946231454810896784262900668420588077581435101556359260391112285330280956585453618105535155990379418292028554537841255713326992501} a^{6} - \frac{9771711846015259705510882116773644259540256630812988101710606497196333107096328842895147549298755062501303258956505103294603690650495112671455114456}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{5} - \frac{8154601696625593256726192298622734189173516885565916008324712584206085182041245169452507320277445617325632497578701403647276195849215000993214367978}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{4} - \frac{3221604622925710276234316223163536463529718338668044883733417946008284017033580508916040968712914546340919419387723912458125158358532894929592236116}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{3} - \frac{4230827062993170819687553803638065125173003262793706665653252654334960763051448530843890708514567375041035604186180471985648968436848368097405535784}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a^{2} + \frac{6056419033568097288665491296160840401130298579268682603441327795110175301267754306539448131565146994536992893645017712987032047600691756606539522633}{23048237650368676959731157274054483921314503342102940387907175507781796301955561426651404782927268090527675779951897091460142772689206278566634962505} a + \frac{202087946706468063901086704930350045379364353861099944130395097910386198528185052912417115214974578403625664160276216755460153264672846253161757354}{3292605378624096708533022467722069131616357620300420055415310786825970900279365918093057826132466870075382254278842441637163253241315182652376423215}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $19$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -\frac{32035763414383105039988057483376059702091262503677926263298624865494}{63024307835663697697899762404616440257139297296639881250857507096037893505} a^{39} + \frac{12868119612542614843556816819022123150664972194023078363333689714}{1361657293629981585781565569938780171916156363760178918674678774895493} a^{38} - \frac{7162045751708342801794261189358182591485105733563930597111769451911276}{63024307835663697697899762404616440257139297296639881250857507096037893505} a^{37} + \frac{415910688086084123408088115426191171213723451046884579282802850535177}{417379522090488064224501737778916822894962233752581995038791437722105255} a^{36} - \frac{447425742095620409649207371744655838563618374091564260737583611047738422}{63024307835663697697899762404616440257139297296639881250857507096037893505} a^{35} + \frac{2681489884546042885942624429026525309170402426261495288524949093787812157}{63024307835663697697899762404616440257139297296639881250857507096037893505} a^{34} - \frac{2789218909189776427694739646776778916000349378099208994740075892214069456}{12604861567132739539579952480923288051427859459327976250171501419207578701} a^{33} + \frac{63935711372595228750184479091255776204453189341704533840751410158794551698}{63024307835663697697899762404616440257139297296639881250857507096037893505} a^{32} - \frac{261751092254392406844532166608167496178144391577895022038377924829178514456}{63024307835663697697899762404616440257139297296639881250857507096037893505} a^{31} + \frac{192921479294353916499150457187383617386860490238048081604108624704535449504}{12604861567132739539579952480923288051427859459327976250171501419207578701} a^{30} - \frac{643878250338438277269667034332837228382696605685458466235930871017746490156}{12604861567132739539579952480923288051427859459327976250171501419207578701} a^{29} + \frac{1953888377871944242683629566446649301457095755134535365455401024858786271808}{12604861567132739539579952480923288051427859459327976250171501419207578701} a^{28} - \frac{5404754091205823391054033033491490967755316603845062380666271349701668601160}{12604861567132739539579952480923288051427859459327976250171501419207578701} a^{27} + \frac{278494105374027799674731536226163633985313710947320613102461765318893233894}{257242072798627337542448009814760980641384886925060739799418396310358749} a^{26} - \frac{22468631971063063512394071368505993601167056674087924931677002849909390674028}{9003472547951956813985680343516634322448471042377125892979643870862556215} a^{25} + \frac{66150779534687623532447582511877992982948564935209040742825148861891539782403}{12604861567132739539579952480923288051427859459327976250171501419207578701} a^{24} - \frac{126689738944821724328092615529072261720804263996500277586188940944268075112368}{12604861567132739539579952480923288051427859459327976250171501419207578701} a^{23} + \frac{220354636945477991381417561375490880966940790266784769956232183179032974172555}{12604861567132739539579952480923288051427859459327976250171501419207578701} a^{22} - \frac{346729771182105423970511378599833872959682129479105847290472658964183341574543}{12604861567132739539579952480923288051427859459327976250171501419207578701} a^{21} + \frac{2455123387387290500582692003344671022708321129242971401358384342298817186175976}{63024307835663697697899762404616440257139297296639881250857507096037893505} a^{20} - \frac{3108619113984545012998837079628382940944771828546524709660079892165987498519251}{63024307835663697697899762404616440257139297296639881250857507096037893505} a^{19} + \frac{698083361794470547552411096254143553266595607142304058102138692473995948938470}{12604861567132739539579952480923288051427859459327976250171501419207578701} a^{18} - \frac{3441657295901592581391730482973631985955440039380029788121732851522217380627034}{63024307835663697697899762404616440257139297296639881250857507096037893505} a^{17} + \frac{2949651194597868088057650560385441950886372566036172141921118865844582275924548}{63024307835663697697899762404616440257139297296639881250857507096037893505} a^{16} - \frac{2181937823611326456324369234150824617028435205377022000048820702839364679460274}{63024307835663697697899762404616440257139297296639881250857507096037893505} a^{15} + \frac{200821004368274550463960882852751966308605206006784449260264046400564478752269}{9003472547951956813985680343516634322448471042377125892979643870862556215} a^{14} - \frac{166650337815913432520990469668387018288013876434516815340526242388926867190717}{12604861567132739539579952480923288051427859459327976250171501419207578701} a^{13} + \frac{512246037770917417255749023396568077411916341078147599194979592775190663478127}{63024307835663697697899762404616440257139297296639881250857507096037893505} a^{12} - \frac{351457537403973382568657547112860555036374605847966460840980306790656928974489}{63024307835663697697899762404616440257139297296639881250857507096037893505} a^{11} + \frac{34086213182832761520624868298328239947125295316769605395457819352800669799018}{9003472547951956813985680343516634322448471042377125892979643870862556215} a^{10} - \frac{18931944905100789448527140350566723378087062653200346579850814083828903323373}{9003472547951956813985680343516634322448471042377125892979643870862556215} a^{9} + \frac{10501928632248257401780134147226009346519329315548223973992500177723014207047}{12604861567132739539579952480923288051427859459327976250171501419207578701} a^{8} - \frac{14398020902952175785027241825499704247612295761195658568635451889790920285964}{63024307835663697697899762404616440257139297296639881250857507096037893505} a^{7} + \frac{6414480818764642487136471137027446201676772776247685524151676297912891003668}{63024307835663697697899762404616440257139297296639881250857507096037893505} a^{6} - \frac{6194935163484268990057286166351412220090527956515449059125579477269459239508}{63024307835663697697899762404616440257139297296639881250857507096037893505} a^{5} + \frac{511157172254306913669704923104059616033261511469655637124120820057708908162}{9003472547951956813985680343516634322448471042377125892979643870862556215} a^{4} - \frac{43426360941780898271899306196751330510509648307491213670379647867838190413}{1800694509590391362797136068703326864489694208475425178595928774172511243} a^{3} + \frac{371086883362663529557705407810251072324578758870971337299552883025213431001}{63024307835663697697899762404616440257139297296639881250857507096037893505} a^{2} + \frac{282814828976918269171923651706308526615511092241768999789790861366198229958}{63024307835663697697899762404616440257139297296639881250857507096037893505} a + \frac{113181593837541136038619669788551862383711024427193419584003853490874416903}{63024307835663697697899762404616440257139297296639881250857507096037893505} \) (order $6$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_2^2\times C_{10}$ (as 40T7):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_2^2\times C_{10}$
Character table for $C_2^2\times C_{10}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-3}) \), \(\Q(\sqrt{-15}) \), \(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\sqrt{105}) \), \(\Q(\sqrt{-35}) \), \(\Q(\sqrt{-7}) \), \(\Q(\sqrt{21}) \), \(\Q(\sqrt{-3}, \sqrt{5})\), \(\Q(\sqrt{-3}, \sqrt{-35})\), \(\Q(\sqrt{-3}, \sqrt{-7})\), \(\Q(\sqrt{-7}, \sqrt{-15})\), \(\Q(\sqrt{-15}, \sqrt{21})\), \(\Q(\sqrt{5}, \sqrt{21})\), \(\Q(\sqrt{5}, \sqrt{-7})\), 5.5.390625.1, 8.0.121550625.1, 10.0.37078857421875.1, 10.0.185394287109375.1, \(\Q(\zeta_{25})^+\), 10.10.3115921783447265625.1, 10.0.12822723388671875.1, 10.0.2564544677734375.1, 10.10.623184356689453125.1, 20.0.34371041692793369293212890625.1, 20.0.9708968560561188496649265289306640625.3, 20.0.388358742422447539865970611572265625.1, 20.0.9708968560561188496649265289306640625.1, 20.0.9708968560561188496649265289306640625.4, 20.20.9708968560561188496649265289306640625.1, 20.0.164422235102392733097076416015625.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.10.0.1}{10} }^{4}$ R R R ${\href{/LocalNumberField/11.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/13.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/17.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/19.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/23.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/29.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/31.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/37.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/41.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/43.2.0.1}{2} }^{20}$ ${\href{/LocalNumberField/47.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/53.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/59.10.0.1}{10} }^{4}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
5Data not computed
$7$7.4.2.1$x^{4} + 35 x^{2} + 441$$2$$2$$2$$C_2^2$$[\ ]_{2}^{2}$
7.4.2.1$x^{4} + 35 x^{2} + 441$$2$$2$$2$$C_2^2$$[\ ]_{2}^{2}$
7.4.2.1$x^{4} + 35 x^{2} + 441$$2$$2$$2$$C_2^2$$[\ ]_{2}^{2}$
7.4.2.1$x^{4} + 35 x^{2} + 441$$2$$2$$2$$C_2^2$$[\ ]_{2}^{2}$
7.4.2.1$x^{4} + 35 x^{2} + 441$$2$$2$$2$$C_2^2$$[\ ]_{2}^{2}$
7.4.2.1$x^{4} + 35 x^{2} + 441$$2$$2$$2$$C_2^2$$[\ ]_{2}^{2}$
7.4.2.1$x^{4} + 35 x^{2} + 441$$2$$2$$2$$C_2^2$$[\ ]_{2}^{2}$
7.4.2.1$x^{4} + 35 x^{2} + 441$$2$$2$$2$$C_2^2$$[\ ]_{2}^{2}$
7.4.2.1$x^{4} + 35 x^{2} + 441$$2$$2$$2$$C_2^2$$[\ ]_{2}^{2}$
7.4.2.1$x^{4} + 35 x^{2} + 441$$2$$2$$2$$C_2^2$$[\ ]_{2}^{2}$