↑

Properties

Label 40.0.91963467847...0000.1
Degree $40$
Signature $[0, 20]$
Discriminant $2^{155}\cdot 5^{20}\cdot 11^{32}$
Root discriminant $223.40$
Ramified primes $2, 5, 11$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{40}$ (as 40T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![5424210633452270351, -4939288609931078664, 9825430597065036188, -5123857830305345616, 6818698319706763242, -5451794249717719944, 5317253886648497056, -3222210111441488976, 2365456957824375879, -1147210272018355104, 728375723204923992, -342216969473620912, 210820337169176950, -103996373551496376, 61489614112054296, -29262704404706840, 15620944186704963, -6653015951663376, 3138679423984556, -1171738568154112, 489335533088804, -159957215701272, 59482075201096, -17046975185024, 5672202781136, -1423709835656, 425189311920, -93034822728, 24970015418, -4718479848, 1137446244, -182623496, 39432415, -5232512, 1006496, -105088, 17842, -1328, 196, -8, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 8*x^39 + 196*x^38 - 1328*x^37 + 17842*x^36 - 105088*x^35 + 1006496*x^34 - 5232512*x^33 + 39432415*x^32 - 182623496*x^31 + 1137446244*x^30 - 4718479848*x^29 + 24970015418*x^28 - 93034822728*x^27 + 425189311920*x^26 - 1423709835656*x^25 + 5672202781136*x^24 - 17046975185024*x^23 + 59482075201096*x^22 - 159957215701272*x^21 + 489335533088804*x^20 - 1171738568154112*x^19 + 3138679423984556*x^18 - 6653015951663376*x^17 + 15620944186704963*x^16 - 29262704404706840*x^15 + 61489614112054296*x^14 - 103996373551496376*x^13 + 210820337169176950*x^12 - 342216969473620912*x^11 + 728375723204923992*x^10 - 1147210272018355104*x^9 + 2365456957824375879*x^8 - 3222210111441488976*x^7 + 5317253886648497056*x^6 - 5451794249717719944*x^5 + 6818698319706763242*x^4 - 5123857830305345616*x^3 + 9825430597065036188*x^2 - 4939288609931078664*x + 5424210633452270351)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - 8*x^39 + 196*x^38 - 1328*x^37 + 17842*x^36 - 105088*x^35 + 1006496*x^34 - 5232512*x^33 + 39432415*x^32 - 182623496*x^31 + 1137446244*x^30 - 4718479848*x^29 + 24970015418*x^28 - 93034822728*x^27 + 425189311920*x^26 - 1423709835656*x^25 + 5672202781136*x^24 - 17046975185024*x^23 + 59482075201096*x^22 - 159957215701272*x^21 + 489335533088804*x^20 - 1171738568154112*x^19 + 3138679423984556*x^18 - 6653015951663376*x^17 + 15620944186704963*x^16 - 29262704404706840*x^15 + 61489614112054296*x^14 - 103996373551496376*x^13 + 210820337169176950*x^12 - 342216969473620912*x^11 + 728375723204923992*x^10 - 1147210272018355104*x^9 + 2365456957824375879*x^8 - 3222210111441488976*x^7 + 5317253886648497056*x^6 - 5451794249717719944*x^5 + 6818698319706763242*x^4 - 5123857830305345616*x^3 + 9825430597065036188*x^2 - 4939288609931078664*x + 5424210633452270351, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - 8 x^{39} + 196 x^{38} - 1328 x^{37} + 17842 x^{36} - 105088 x^{35} + 1006496 x^{34} - 5232512 x^{33} + 39432415 x^{32} - 182623496 x^{31} + 1137446244 x^{30} - 4718479848 x^{29} + 24970015418 x^{28} - 93034822728 x^{27} + 425189311920 x^{26} - 1423709835656 x^{25} + 5672202781136 x^{24} - 17046975185024 x^{23} + 59482075201096 x^{22} - 159957215701272 x^{21} + 489335533088804 x^{20} - 1171738568154112 x^{19} + 3138679423984556 x^{18} - 6653015951663376 x^{17} + 15620944186704963 x^{16} - 29262704404706840 x^{15} + 61489614112054296 x^{14} - 103996373551496376 x^{13} + 210820337169176950 x^{12} - 342216969473620912 x^{11} + 728375723204923992 x^{10} - 1147210272018355104 x^{9} + 2365456957824375879 x^{8} - 3222210111441488976 x^{7} + 5317253886648497056 x^{6} - 5451794249717719944 x^{5} + 6818698319706763242 x^{4} - 5123857830305345616 x^{3} + 9825430597065036188 x^{2} - 4939288609931078664 x + 5424210633452270351 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 20]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(9196346784702509188567534114422041535758244156679054160504004666125503692800000000000000000000=2^{155}\cdot 5^{20}\cdot 11^{32}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $223.40$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 5, 11$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1760=2^{5}\cdot 5\cdot 11\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1760}(1,·)$, $\chi_{1760}(619,·)$, $\chi_{1760}(1281,·)$, $\chi_{1760}(521,·)$, $\chi_{1760}(779,·)$, $\chi_{1760}(499,·)$, $\chi_{1760}(1681,·)$, $\chi_{1760}(1299,·)$, $\chi_{1760}(819,·)$, $\chi_{1760}(801,·)$, $\chi_{1760}(1059,·)$, $\chi_{1760}(881,·)$, $\chi_{1760}(1321,·)$, $\chi_{1760}(939,·)$, $\chi_{1760}(1659,·)$, $\chi_{1760}(179,·)$, $\chi_{1760}(841,·)$, $\chi_{1760}(641,·)$, $\chi_{1760}(1721,·)$, $\chi_{1760}(59,·)$, $\chi_{1760}(961,·)$, $\chi_{1760}(1219,·)$, $\chi_{1760}(201,·)$, $\chi_{1760}(1739,·)$, $\chi_{1760}(81,·)$, $\chi_{1760}(419,·)$, $\chi_{1760}(1699,·)$, $\chi_{1760}(441,·)$, $\chi_{1760}(1081,·)$, $\chi_{1760}(1241,·)$, $\chi_{1760}(859,·)$, $\chi_{1760}(1499,·)$, $\chi_{1760}(1379,·)$, $\chi_{1760}(401,·)$, $\chi_{1760}(361,·)$, $\chi_{1760}(1259,·)$, $\chi_{1760}(1521,·)$, $\chi_{1760}(339,·)$, $\chi_{1760}(1401,·)$, $\chi_{1760}(379,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $\frac{1}{5} a^{10} - \frac{2}{5} a^{9} - \frac{2}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{6} - \frac{2}{5} a^{5} + \frac{2}{5} a^{4} + \frac{1}{5} a^{3} - \frac{2}{5} a^{2} - \frac{1}{5} a + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{11} - \frac{1}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a^{7} - \frac{2}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a + \frac{2}{5}$, $\frac{1}{5} a^{12} - \frac{2}{5} a^{9} + \frac{2}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{7} - \frac{1}{5} a^{6} - \frac{2}{5} a^{5} + \frac{2}{5} a^{4} + \frac{1}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2} + \frac{1}{5} a + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{13} - \frac{2}{5} a^{9} + \frac{2}{5} a^{7} - \frac{2}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2} - \frac{1}{5} a + \frac{2}{5}$, $\frac{1}{5} a^{14} + \frac{1}{5} a^{9} - \frac{2}{5} a^{8} - \frac{2}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{5} - \frac{2}{5} a^{4} - \frac{1}{5} a^{3} + \frac{2}{5}$, $\frac{1}{5} a^{15} + \frac{1}{5} a^{7} + \frac{2}{5} a^{4} - \frac{1}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2} - \frac{2}{5} a - \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{16} + \frac{1}{5} a^{8} + \frac{2}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a^{4} + \frac{2}{5} a^{3} - \frac{2}{5} a^{2} - \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{5} a^{17} + \frac{1}{5} a^{9} + \frac{2}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{5} + \frac{2}{5} a^{4} - \frac{2}{5} a^{3} - \frac{1}{5} a^{2}$, $\frac{1}{5} a^{18} + \frac{2}{5} a^{9} + \frac{2}{5} a^{8} - \frac{2}{5} a^{7} - \frac{2}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{5} + \frac{1}{5} a^{4} - \frac{2}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2} + \frac{1}{5} a - \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{19} + \frac{1}{5} a^{9} + \frac{2}{5} a^{8} + \frac{2}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{4} + \frac{1}{5} a - \frac{2}{5}$, $\frac{1}{25} a^{20} + \frac{1}{25} a^{19} + \frac{1}{25} a^{17} + \frac{1}{25} a^{15} - \frac{1}{25} a^{14} - \frac{1}{25} a^{12} - \frac{1}{25} a^{11} + \frac{3}{25} a^{9} - \frac{1}{25} a^{8} - \frac{12}{25} a^{7} - \frac{6}{25} a^{6} - \frac{2}{25} a^{5} + \frac{11}{25} a^{4} - \frac{9}{25} a^{3} - \frac{8}{25} a^{2} + \frac{3}{25} a - \frac{9}{25}$, $\frac{1}{25} a^{21} - \frac{1}{25} a^{19} + \frac{1}{25} a^{18} - \frac{1}{25} a^{17} + \frac{1}{25} a^{16} - \frac{2}{25} a^{15} + \frac{1}{25} a^{14} - \frac{1}{25} a^{13} + \frac{1}{25} a^{11} - \frac{2}{25} a^{10} + \frac{6}{25} a^{9} - \frac{1}{25} a^{8} + \frac{11}{25} a^{7} - \frac{1}{25} a^{6} - \frac{2}{25} a^{5} - \frac{1}{5} a^{4} - \frac{4}{25} a^{3} - \frac{4}{25} a^{2} - \frac{7}{25} a + \frac{4}{25}$, $\frac{1}{25} a^{22} + \frac{2}{25} a^{19} - \frac{1}{25} a^{18} + \frac{2}{25} a^{17} - \frac{2}{25} a^{16} + \frac{2}{25} a^{15} - \frac{2}{25} a^{14} + \frac{2}{25} a^{11} + \frac{1}{25} a^{10} + \frac{7}{25} a^{9} - \frac{1}{5} a^{8} + \frac{12}{25} a^{7} + \frac{12}{25} a^{6} - \frac{7}{25} a^{5} - \frac{3}{25} a^{4} + \frac{7}{25} a^{3} - \frac{1}{5} a^{2} + \frac{7}{25} a - \frac{4}{25}$, $\frac{1}{25} a^{23} + \frac{2}{25} a^{19} + \frac{2}{25} a^{18} + \frac{1}{25} a^{17} + \frac{2}{25} a^{16} + \frac{1}{25} a^{15} + \frac{2}{25} a^{14} - \frac{1}{25} a^{12} - \frac{2}{25} a^{11} + \frac{2}{25} a^{10} - \frac{1}{25} a^{9} - \frac{1}{25} a^{8} + \frac{6}{25} a^{7} + \frac{1}{25} a^{5} + \frac{1}{5} a^{4} - \frac{12}{25} a^{3} + \frac{3}{25} a^{2} - \frac{2}{5} a + \frac{8}{25}$, $\frac{1}{25} a^{24} + \frac{1}{25} a^{18} + \frac{1}{25} a^{16} + \frac{2}{25} a^{14} - \frac{1}{25} a^{13} - \frac{1}{25} a^{11} - \frac{1}{25} a^{10} - \frac{2}{25} a^{9} + \frac{8}{25} a^{8} + \frac{4}{25} a^{7} - \frac{12}{25} a^{6} - \frac{6}{25} a^{5} - \frac{9}{25} a^{4} - \frac{4}{25} a^{3} + \frac{6}{25} a^{2} + \frac{7}{25} a + \frac{8}{25}$, $\frac{1}{25} a^{25} + \frac{1}{25} a^{19} + \frac{1}{25} a^{17} + \frac{2}{25} a^{15} - \frac{1}{25} a^{14} - \frac{1}{25} a^{12} - \frac{1}{25} a^{11} - \frac{2}{25} a^{10} + \frac{8}{25} a^{9} + \frac{4}{25} a^{8} - \frac{12}{25} a^{7} - \frac{6}{25} a^{6} - \frac{9}{25} a^{5} - \frac{4}{25} a^{4} + \frac{6}{25} a^{3} + \frac{7}{25} a^{2} + \frac{8}{25} a$, $\frac{1}{25} a^{26} - \frac{1}{25} a^{19} + \frac{1}{25} a^{18} - \frac{1}{25} a^{17} + \frac{2}{25} a^{16} - \frac{2}{25} a^{15} + \frac{1}{25} a^{14} - \frac{1}{25} a^{13} - \frac{1}{25} a^{11} - \frac{2}{25} a^{10} - \frac{4}{25} a^{9} + \frac{9}{25} a^{8} - \frac{9}{25} a^{7} + \frac{12}{25} a^{6} - \frac{7}{25} a^{5} + \frac{6}{25} a^{3} + \frac{11}{25} a^{2} + \frac{7}{25} a - \frac{1}{25}$, $\frac{1}{25} a^{27} + \frac{2}{25} a^{19} - \frac{1}{25} a^{18} - \frac{2}{25} a^{17} - \frac{2}{25} a^{16} + \frac{2}{25} a^{15} - \frac{2}{25} a^{14} - \frac{2}{25} a^{12} + \frac{2}{25} a^{11} + \frac{1}{25} a^{10} - \frac{8}{25} a^{9} + \frac{1}{5} a^{8} - \frac{2}{5} a^{7} + \frac{7}{25} a^{6} + \frac{8}{25} a^{5} - \frac{8}{25} a^{4} - \frac{8}{25} a^{3} - \frac{6}{25} a^{2} - \frac{8}{25} a + \frac{6}{25}$, $\frac{1}{25} a^{28} + \frac{2}{25} a^{19} - \frac{2}{25} a^{18} + \frac{1}{25} a^{17} + \frac{2}{25} a^{16} + \frac{1}{25} a^{15} + \frac{2}{25} a^{14} - \frac{2}{25} a^{13} - \frac{1}{25} a^{12} - \frac{2}{25} a^{11} + \frac{2}{25} a^{10} + \frac{4}{25} a^{9} - \frac{3}{25} a^{8} + \frac{11}{25} a^{7} + \frac{1}{5} a^{6} - \frac{9}{25} a^{5} - \frac{1}{5} a^{4} + \frac{2}{25} a^{3} + \frac{8}{25} a^{2} + \frac{2}{5} a - \frac{2}{25}$, $\frac{1}{25} a^{29} + \frac{1}{25} a^{19} + \frac{1}{25} a^{18} + \frac{1}{25} a^{16} - \frac{1}{25} a^{13} - \frac{1}{25} a^{11} - \frac{1}{25} a^{10} + \frac{11}{25} a^{9} + \frac{8}{25} a^{8} - \frac{11}{25} a^{7} + \frac{8}{25} a^{6} - \frac{6}{25} a^{5} - \frac{2}{5} a^{4} - \frac{4}{25} a^{3} + \frac{11}{25} a^{2} + \frac{7}{25} a - \frac{7}{25}$, $\frac{1}{125} a^{30} - \frac{1}{125} a^{29} + \frac{1}{125} a^{28} - \frac{2}{125} a^{27} - \frac{2}{125} a^{26} - \frac{2}{125} a^{25} + \frac{1}{125} a^{24} - \frac{1}{125} a^{23} + \frac{2}{125} a^{22} + \frac{2}{125} a^{21} + \frac{2}{125} a^{20} - \frac{6}{125} a^{19} - \frac{4}{125} a^{18} - \frac{7}{125} a^{17} - \frac{12}{125} a^{16} - \frac{3}{125} a^{15} + \frac{7}{125} a^{14} - \frac{12}{125} a^{13} + \frac{9}{125} a^{12} + \frac{9}{125} a^{11} + \frac{7}{125} a^{9} - \frac{27}{125} a^{8} - \frac{1}{125} a^{7} - \frac{16}{125} a^{6} + \frac{6}{125} a^{5} + \frac{61}{125} a^{4} + \frac{19}{125} a^{3} - \frac{38}{125} a^{2} + \frac{32}{125} a + \frac{36}{125}$, $\frac{1}{125} a^{31} - \frac{1}{125} a^{28} + \frac{1}{125} a^{27} + \frac{1}{125} a^{26} - \frac{1}{125} a^{25} + \frac{1}{125} a^{23} - \frac{1}{125} a^{22} - \frac{1}{125} a^{21} + \frac{1}{125} a^{20} - \frac{1}{25} a^{19} - \frac{11}{125} a^{18} - \frac{9}{125} a^{17} - \frac{2}{25} a^{16} + \frac{9}{125} a^{15} - \frac{2}{25} a^{14} - \frac{3}{125} a^{13} + \frac{3}{125} a^{12} - \frac{6}{125} a^{11} + \frac{7}{125} a^{10} + \frac{4}{25} a^{9} - \frac{58}{125} a^{8} - \frac{37}{125} a^{7} + \frac{2}{5} a^{6} - \frac{43}{125} a^{5} + \frac{12}{25} a^{4} - \frac{14}{125} a^{3} - \frac{1}{125} a^{2} - \frac{47}{125} a + \frac{16}{125}$, $\frac{1}{125} a^{32} - \frac{1}{125} a^{29} + \frac{1}{125} a^{28} + \frac{1}{125} a^{27} - \frac{1}{125} a^{26} + \frac{1}{125} a^{24} - \frac{1}{125} a^{23} - \frac{1}{125} a^{22} + \frac{1}{125} a^{21} - \frac{6}{125} a^{19} - \frac{9}{125} a^{18} - \frac{1}{25} a^{17} + \frac{9}{125} a^{16} - \frac{1}{25} a^{15} - \frac{8}{125} a^{14} + \frac{3}{125} a^{13} - \frac{11}{125} a^{12} + \frac{2}{125} a^{11} - \frac{1}{25} a^{10} + \frac{7}{125} a^{9} + \frac{8}{125} a^{8} + \frac{3}{25} a^{7} + \frac{27}{125} a^{6} - \frac{1}{5} a^{5} - \frac{9}{125} a^{4} + \frac{54}{125} a^{3} - \frac{37}{125} a^{2} + \frac{56}{125} a + \frac{11}{25}$, $\frac{1}{125} a^{33} + \frac{2}{125} a^{28} + \frac{2}{125} a^{27} - \frac{2}{125} a^{26} - \frac{1}{125} a^{25} - \frac{2}{125} a^{23} - \frac{2}{125} a^{22} + \frac{2}{125} a^{21} + \frac{1}{125} a^{20} - \frac{2}{25} a^{19} - \frac{9}{125} a^{18} + \frac{12}{125} a^{17} + \frac{8}{125} a^{16} - \frac{6}{125} a^{15} + \frac{1}{25} a^{14} + \frac{2}{125} a^{13} - \frac{4}{125} a^{12} - \frac{1}{125} a^{11} + \frac{7}{125} a^{10} + \frac{11}{25} a^{9} + \frac{58}{125} a^{8} + \frac{31}{125} a^{7} - \frac{46}{125} a^{6} + \frac{37}{125} a^{5} + \frac{9}{25} a^{4} - \frac{38}{125} a^{3} - \frac{52}{125} a^{2} - \frac{23}{125} a - \frac{34}{125}$, $\frac{1}{125} a^{34} + \frac{2}{125} a^{29} + \frac{2}{125} a^{28} - \frac{2}{125} a^{27} - \frac{1}{125} a^{26} - \frac{2}{125} a^{24} - \frac{2}{125} a^{23} + \frac{2}{125} a^{22} + \frac{1}{125} a^{21} + \frac{1}{125} a^{19} + \frac{12}{125} a^{18} - \frac{7}{125} a^{17} - \frac{6}{125} a^{16} - \frac{2}{25} a^{15} - \frac{8}{125} a^{14} - \frac{4}{125} a^{13} - \frac{11}{125} a^{12} - \frac{3}{125} a^{11} + \frac{1}{25} a^{10} + \frac{38}{125} a^{9} - \frac{4}{125} a^{8} - \frac{16}{125} a^{7} + \frac{2}{125} a^{6} + \frac{1}{5} a^{5} - \frac{3}{125} a^{4} + \frac{8}{125} a^{3} - \frac{28}{125} a^{2} - \frac{29}{125} a + \frac{2}{25}$, $\frac{1}{125} a^{35} - \frac{1}{125} a^{29} + \frac{1}{125} a^{28} - \frac{2}{125} a^{27} - \frac{1}{125} a^{26} + \frac{2}{125} a^{25} + \frac{1}{125} a^{24} - \frac{1}{125} a^{23} + \frac{2}{125} a^{22} + \frac{1}{125} a^{21} + \frac{2}{125} a^{20} - \frac{1}{125} a^{19} + \frac{6}{125} a^{18} + \frac{8}{125} a^{17} + \frac{9}{125} a^{16} + \frac{3}{125} a^{15} + \frac{12}{125} a^{14} + \frac{3}{125} a^{13} + \frac{9}{125} a^{12} - \frac{8}{125} a^{11} - \frac{12}{125} a^{10} + \frac{32}{125} a^{9} + \frac{23}{125} a^{8} + \frac{54}{125} a^{7} + \frac{62}{125} a^{6} - \frac{2}{5} a^{5} + \frac{46}{125} a^{4} + \frac{59}{125} a^{3} + \frac{37}{125} a^{2} + \frac{16}{125} a + \frac{58}{125}$, $\frac{1}{125} a^{36} - \frac{1}{125} a^{28} + \frac{2}{125} a^{27} - \frac{1}{125} a^{25} + \frac{1}{125} a^{23} - \frac{2}{125} a^{22} - \frac{1}{125} a^{21} + \frac{1}{125} a^{20} + \frac{1}{25} a^{19} - \frac{1}{125} a^{18} + \frac{12}{125} a^{17} + \frac{11}{125} a^{16} - \frac{6}{125} a^{15} + \frac{1}{25} a^{14} + \frac{2}{125} a^{13} - \frac{9}{125} a^{12} - \frac{8}{125} a^{11} - \frac{8}{125} a^{10} + \frac{2}{5} a^{9} - \frac{43}{125} a^{8} + \frac{46}{125} a^{7} + \frac{39}{125} a^{6} + \frac{12}{125} a^{5} - \frac{1}{25} a^{4} - \frac{24}{125} a^{3} - \frac{32}{125} a^{2} + \frac{41}{125}$, $\frac{1}{125} a^{37} - \frac{1}{125} a^{29} + \frac{2}{125} a^{28} - \frac{1}{125} a^{26} + \frac{1}{125} a^{24} - \frac{2}{125} a^{23} - \frac{1}{125} a^{22} + \frac{1}{125} a^{21} - \frac{6}{125} a^{19} + \frac{12}{125} a^{18} + \frac{6}{125} a^{17} - \frac{6}{125} a^{16} + \frac{7}{125} a^{14} - \frac{9}{125} a^{13} - \frac{3}{125} a^{12} - \frac{3}{125} a^{11} + \frac{42}{125} a^{9} + \frac{26}{125} a^{8} + \frac{24}{125} a^{7} - \frac{8}{125} a^{6} - \frac{4}{25} a^{5} - \frac{54}{125} a^{4} - \frac{37}{125} a^{3} + \frac{3}{25} a^{2} - \frac{49}{125} a - \frac{1}{25}$, $\frac{1}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{38} - \frac{412104644440844603400112879385285370282776378482608575102325456882550357622037335948975309412700968379390654426580574635516493814008377691536314}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{37} + \frac{433929694548010957438918284324419879400705442097197767167523313707233141187019357174159384621013050985577073835751109370417049282867510149498178}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{36} - \frac{358818435812041321673061380395345037082860554832850754601905203310222204987777279554256652641083139595796945055345920156831459636429408908170624}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{35} - \frac{286053629470572797643021442846327802723179834915726270837162767261147794904190988581191473896268771235217003048218263399214862794184636243075401}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{34} + \frac{34910828876577677452467697379392275159365086310141184873571773602011102201434944995602852671715588523380570579589877974227931624595243334745332}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{33} + \frac{58685425796976241605308872113999334078976871419636590020229821062442718219817516060279126057417067698571658594777555715224567737911236213579093}{22094591710376394659759206686754599712414672839362973008338298688015846801222208198171956346981741263968830294168597675302437034064719673434244025} a^{32} - \frac{1245638713419951164317246435702982025211751342181044302378300037588249332295229597712827719986577835848466090861287678698090314092127654807713}{883783668415055786390368267470183988496586913574518920333531947520633872048888327926878253879269650558753211766743907012097481362588786937369761} a^{31} + \frac{28123914024430029050251137064839011486526477511468466738603125255092968961062046378423815158597579588722001055421818551443334777129959243107124}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{30} + \frac{34911695184114256343426321873486198449064037128926051078707934809024088028217898479841212212631991063082485171300649371467064301029569332157408}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{29} - \frac{1222702939546149103103720240688651101011466460265785938359519545283722276818849783575585051592530548727326172584821052249738765444725247838486818}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{28} - \frac{1943563913233149860697126108100265227935684770325743931150762535961853883915477109078905176795372764878477134990480482179336230308262848763562306}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{27} - \frac{7098897302097238710519564593069613367864364103781694326199818186472421830457541539973537018447068047084034737921387899058010598908697658850689}{22094591710376394659759206686754599712414672839362973008338298688015846801222208198171956346981741263968830294168597675302437034064719673434244025} a^{26} + \frac{1865231944352819543397301829823953790696094001472139749500868541253644329306337675725621718812021930461218696650309040515509178927867630441203308}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{25} + \frac{1994233132487801967704987584048353352207845456130196291778868867952601483200298589718762701817451050254665809732919688403219045585883167231833887}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{24} - \frac{1647143334627004633337534479432012634690600400945717222751098189171501006549072522844564036096940371043245623852472730744547061382485684860237078}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{23} + \frac{283181665445056523082040492072498438428282108007508858228789896048767409369663543954858209443453779604014498578400811193795080759322171950109896}{22094591710376394659759206686754599712414672839362973008338298688015846801222208198171956346981741263968830294168597675302437034064719673434244025} a^{22} + \frac{1152310709047611731355689882033979281268661998289848231595689382354389123608385719316052011288459775487649768954404464632545219230411993718430482}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{21} - \frac{873838519625537562239038586802738484258016370035267908720687638986041579917329933707507661975602011489400398739524531100890977669074828947208904}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{20} - \frac{8368352699741431596879524076991023520309403568397197075100491985569007315858867076672962901462381602541199115101582437859408950481645665442264846}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{19} + \frac{5019857240276380898228062814674987445672458370362830673602410343617810261339117696210616293378192199624745149277928033105161616104204696995854901}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{18} - \frac{544080071519822975220539565969384937690561810974048064060725077096847296175291140647364419640792653232871523976299604651316741149054328880818616}{22094591710376394659759206686754599712414672839362973008338298688015846801222208198171956346981741263968830294168597675302437034064719673434244025} a^{17} - \frac{4590808485191857883483032012872828080553762641634830155734520702214476354846925064921864831877804170041279624327374910234425040961160541490426507}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{16} - \frac{435143169048591500868207812599852324601924933386032353789657570099309912678615338210054200910279313020212391465516728051916249066048426387570467}{4418918342075278931951841337350919942482934567872594601667659737603169360244441639634391269396348252793766058833719535060487406812943934686848805} a^{15} + \frac{467075056627784079779908950056979809105355587269680074555465815129616754687053983306718383779979660510377575972428214489162578809075630175147863}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{14} + \frac{405056590095517012934657333942030996754588800308630050736616595476290527768177494244789482760504818014351477487717329836094722428206569922765138}{22094591710376394659759206686754599712414672839362973008338298688015846801222208198171956346981741263968830294168597675302437034064719673434244025} a^{13} + \frac{9514439478470591336576344987458422927614021351706348195626686070755726093138201617216328621567187488145150749770717716064091878442734929933062384}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{12} - \frac{9694810275934989490186334533402695115058628181559221530846791780859682085383360167825573278576263665888550814497807258138099040826921036844757154}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{11} + \frac{1893480237681948368275502804367633353939024277668413892571115513383068145548659626391101298105052297033798882560541310375553164819476343172806018}{22094591710376394659759206686754599712414672839362973008338298688015846801222208198171956346981741263968830294168597675302437034064719673434244025} a^{10} + \frac{33927000238377691032141727743194306550349891481363802204544799653978934161644446346462640780929114631734808077821019168620012679554524954436616082}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{9} + \frac{14590860487198796307713924172511316223689124712955086896515634448163495851338420387951551844552463458301769169954660885246909048428027316513374674}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{8} + \frac{41460957792281540427643498777797999567435074155345019915353512190894067799437791874562744338864941944251921569532853843116918279436648664399555021}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{7} + \frac{32271852859380597466430847551856013673882506682646274240759610778260405931581419298161217782728670870585650799056006849428734182631688993248841797}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{6} + \frac{1148452427784713617301617911538461700996200383085453861603970267499158807500370921829650643610449676906295098007979498480765257128513428353254441}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{5} - \frac{28206090400318595651441363927959459864586066189976214119678966059986790237451751235594317667775681704227281314972749994672133267954270149188884707}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{4} - \frac{35397269594336310220605562708204020921285129732455773018912511653075103629383331428324117076904619380370868156669811428712709690750222046754909129}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{3} + \frac{2495630554311261135371440918416924755005543245365479055162640879634970516080666340387807996234239659143127893830224641740640418081536018346773641}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125} a^{2} - \frac{2186924160307025722666256475406237346807516912217098525653901665381112164547003683165320190905960915850705590606925490903657623542589508914661764}{22094591710376394659759206686754599712414672839362973008338298688015846801222208198171956346981741263968830294168597675302437034064719673434244025} a - \frac{2941054340624640377999165988139502726005305323692503722770496739750527425130729214502712152933252493857757831680549017321776794588946431717670837}{110472958551881973298796033433772998562073364196814865041691493440079234006111040990859781734908706319844151470842988376512185170323598367171220125}$, $\frac{1}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{39} - \frac{78012939494322338616207797517119808125429219543312930584619}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{38} + \frac{154429844404162001655130718568470662852233512308013391129060007171530783778769826487344794237530600851853224313983691815019102777561888666367532497120383034396628006989434936792933658197411063283598693039}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{37} + \frac{83819564823841448337247068621198562872291574826289283371803273251984940193794453178987796787259096383772001572029135303181940386733018948884663513055248066784623925660530674859294440105956025949746147438}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{36} + \frac{101846900689675545020729152158397669950723109743631725689480240073112598507992202551907839026254451519700282874047575604133918605495743858692416917031061111867114929126360610686387845539275632653987942291}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{35} + \frac{150348238684863061303909672295113947852533609339143345274107380816478221632038680878551796457304582662985180197256705101515500921603294255107161493838818345046298595695102614575388454113477000508757558396}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{34} + \frac{4808813880294613889379401963219882956149175381412612149088414220764632398055359459685505102327730725708352133395068526653240463862961857772264497258118615826075832319570754643951391045461622842627971386}{8643554098658959106294490132553299238280612601199123104702161582481581814342353508447701537569305157821920653267427868262364863320628649158941738342595929105402515632218620423980219951449088903210375536025} a^{33} - \frac{116433726705021501667717975304188540331908670986643124775286784581648022621747769236248322102542471354914898157103831665862657433682287287380414552900165031969909743775598743093679923085533166034452869736}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{32} + \frac{144616893825723732699834179925058042029824724234888494166690889083996728285295348646792060889363526027272351944286180389244510808663700477475077712944233822009752951147930865375894268211292197650329952439}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{31} - \frac{131907345479552322689086089945544406009833386963057454248715033643770331474772192401680544277708426359979870277161101048721200375249863315094717130217091381997314898718304147373947634204592299272944507042}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{30} - \frac{76231461790616019757687885726744021628104135523096964061400562840645282250989833514686292764921242720466234638481725188661404822471061394244052328885875522984552545730116978662949965593666632720098702782}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{29} + \frac{736032601130061619426373607359799089372521493257821062821740292324160070442447326481199221481683731660836089811320685629598675462885555093749324469892042023180550652678446005198325476925743699603118087983}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{28} + \frac{671199932542060664281785730206099028428342420621971480467513422907010106711160703287804419051826734489284166678793488707193860701154378666085194740255444918689429451068511561330696063011101927130807825411}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{27} + \frac{40315645047246040896936152717422685531754498149188176333895598455856831290278174684973680884879776655822517489949038833669897700278842415114064377054928885737861878748284053615585357387862708023499079592}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{26} - \frac{405970427523837334706939014671001327054884716173054179939341227533275112611832364224074057610388609071416317150151176112845519823402110049205529736830801356219606328783681101807931518886833644621586517621}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{25} - \frac{367024210450326290224989511233565153211919801065948799458267760414878259497695073108275542959031194468997247104820223088949577878847443183975886447179167804342956774513519478405763502585164660622422415514}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{24} + \frac{606949197077489534703545294043486964358924670768695861120242154486412236154561485239009911288183481174976369160370601346407751297835990238230697161156007474442342535854426799298729195983160517375227361196}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{23} + \frac{2221095863967428893662067983008624131870810839274525426839456890503770188588065370020436180858455048710674629043198483296874066616389292738282800034250775889781406531896717454851288526333992009699077141}{8643554098658959106294490132553299238280612601199123104702161582481581814342353508447701537569305157821920653267427868262364863320628649158941738342595929105402515632218620423980219951449088903210375536025} a^{22} + \frac{170759490413347710335472032198268483306404474444035126133345457825202291153384257685198133314780516531532401126898457826917865084501568160790600235875981939801483966049727888413981498597623751924743042317}{8643554098658959106294490132553299238280612601199123104702161582481581814342353508447701537569305157821920653267427868262364863320628649158941738342595929105402515632218620423980219951449088903210375536025} a^{21} + \frac{9487284494279987979742107168909955023983195772522103725018768589411931147051537849875442937524549739542120941626524954551678300653385126900421053338919375398809663351976964228019299356946984791710936832}{8643554098658959106294490132553299238280612601199123104702161582481581814342353508447701537569305157821920653267427868262364863320628649158941738342595929105402515632218620423980219951449088903210375536025} a^{20} - \frac{2126242279222006977867489333990718170651233512470449463321778431878002056101469610722563135980003846592152406997366181593236503801904837135805444679019856411629186257112880098348576592244093977422415181167}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{19} - \frac{1844908909517542025892296236862220223980853093929107635109761219853022453618816812013832423185841846152494932949542403074984826903248171484047326043723460524806688079749290079501825766324392619049008687221}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{18} - \frac{1219049261326505647639153508968986056653837272096297242649769993099234578961204735886514228913956021089442522120726061823320985937705310620246299684273756926498662353860351068324321806623025233130334321624}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{17} + \frac{3837304668325341800988633920766289985986082466241975451090874927100354154342925422885258544321168157255850321923346448645876245464047211014198438467481629123501234034715241933267387492336311228916362924966}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{16} + \frac{3744463621419941221091758939708629148809334116340737775551098070239665266168096723441272723631346392564204935806939973450653671840126684888450122200277242835810594034661301891684331287701467330435453930792}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{15} + \frac{974251001521834527452501742330321240783947646083099710635771485584625903661433923897492237965456053030839377141613567890658082227981663094120412182573864849556866177655716251185244282976125984773785240982}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{14} - \frac{2373447600368883707352874352389589372081873367225097171239739930140856857048973932056703020744632199232772561972113345288972613023446204015852415992001317936054610548159898767001149890259600803799286706124}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{13} - \frac{637287229187587090317398756670419823970624146781525110708255284484984343515266387993259109345515991047963005704139019040352987450169334089706625750050592539544630782020439156804658803326090865443118824243}{8643554098658959106294490132553299238280612601199123104702161582481581814342353508447701537569305157821920653267427868262364863320628649158941738342595929105402515632218620423980219951449088903210375536025} a^{12} - \frac{2414924187103435592680250479136048338695006930194768821751125346291022212300194602622196977096652893608458439484520974798317915055450617346503192562746038275309351476923225289197899757709624918611065986319}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{11} - \frac{637998810134370513593089047546537230233845002668876311319907275243063505402972479629422807238250041435514364387337659349492103106487004828638537323982779672959175959173790411608630810375277218153942893913}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{10} + \frac{580352675558906026714621802054441981347361090506065372408232193914503923540037311912439984586357529765064628724661218490462430352164715120869901330301495663448665116687885763656523249814932927433345323493}{8643554098658959106294490132553299238280612601199123104702161582481581814342353508447701537569305157821920653267427868262364863320628649158941738342595929105402515632218620423980219951449088903210375536025} a^{9} + \frac{11929968681808182165431998307539070321744393280600036426683801419812545425074250152945779946622349850322634718143149938038862409121259390358977341446981763263363182956451150652692153846575880474308601185968}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{8} - \frac{17415829966337211288448665976995407659641782358371822178103693221210124201271813864943659214639737604234827286759665061263189908010615632106804515427562078378953889923947832460527340950961831135683415021113}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{7} - \frac{15746743130327686967324092970937607163821802106241051460422212759285312584291539387654004748007596892876303243878761499929131980773838559198667821669358164170061775905618177414501728860007621533806211336354}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{6} - \frac{15813943296100404047781140109339937528133614977106576406966054103956344937618482998241788532706286496569927101211953960834006042741359236386463152213770458514490563104501299071154898243641141356871633648308}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{5} - \frac{1858534695586877439051013604045587366324646525724493478937229948406722828102497672311040619690488141497707432681516490555263372444584619090647369097519526757213854644577869863336072547172137194428650939}{8183633874890133598082266741671368337701772960802048006724258267829560513484523299041565553464594923141375358139962003656849898996997395530147451564661928711799389918783014981992255208719076787739420125} a^{4} - \frac{7491660797476544144060211288033232096782010655534711247160948878426951717969724409581869531082826852174403477279738248537108823622608956977142539100757393925635041934375168652332150676444619839485503770723}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a^{3} - \frac{1232652929183623229390118996217451071705967881875839540178599298254210708165273829872811658321805572036024634079002139075866923408649148036517287594274091640507156693660224451009789069849200446554857850561}{8643554098658959106294490132553299238280612601199123104702161582481581814342353508447701537569305157821920653267427868262364863320628649158941738342595929105402515632218620423980219951449088903210375536025} a^{2} + \frac{6317072257736636012233515470016454289078510910914153378547941283919634729688458581410832005871394372786215113952900359729631691352715234474234491176791380440061444789913300843929844238574759757794487533819}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125} a - \frac{20046259420940210412957165624615496613044386218108496174405726431446802088804733254628048837247170197080216664568953810218663531575393835771006713127111520097846497411037524942710228237929550582037066480377}{43217770493294795531472450662766496191403063005995615523510807912407909071711767542238507687846525789109603266337139341311824316603143245794708691712979645527012578161093102119901099757245444516051877680125}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $19$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{40}$ (as 40T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_{40}$
Character table for $C_{40}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{2}) \), \(\Q(\zeta_{16})^+\), \(\Q(\zeta_{11})^+\), 8.0.1342177280000.1, 10.10.7024111812608.1, 20.20.1655513490330868290261743826894848.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R $40$ R $20^{2}$ R $40$ ${\href{/LocalNumberField/17.5.0.1}{5} }^{8}$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/23.4.0.1}{4} }^{10}$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/31.10.0.1}{10} }^{4}$ $40$ $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/43.8.0.1}{8} }^{5}$ ${\href{/LocalNumberField/47.10.0.1}{10} }^{4}$ $40$ $40$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
5Data not computed
11Data not computed