↑

Properties

Label 40.0.85645247294...0353.1
Degree $40$
Signature $[0, 20]$
Discriminant $3^{20}\cdot 11^{32}\cdot 17^{35}$
Root discriminant $140.71$
Ramified primes $3, 11, 17$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{40}$ (as 40T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![465327060067, -2418718157, 2069517788169, -1907601398814, 4483561154497, 2892780488084, 4254453066613, 3991924932655, 3347002683342, 2290141206741, 1693306660912, 587465997768, 854529788449, 100840883446, 281478246442, 45371379782, 62706387315, 11469428513, 7741540618, 5850180293, 2329164546, 354600620, 11507039, 352256790, -12029980, 13416566, 18709105, -5004522, 3025727, -223678, 89898, 75618, -17246, 10722, -1133, 280, 99, -18, 17, -3, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 3*x^39 + 17*x^38 - 18*x^37 + 99*x^36 + 280*x^35 - 1133*x^34 + 10722*x^33 - 17246*x^32 + 75618*x^31 + 89898*x^30 - 223678*x^29 + 3025727*x^28 - 5004522*x^27 + 18709105*x^26 + 13416566*x^25 - 12029980*x^24 + 352256790*x^23 + 11507039*x^22 + 354600620*x^21 + 2329164546*x^20 + 5850180293*x^19 + 7741540618*x^18 + 11469428513*x^17 + 62706387315*x^16 + 45371379782*x^15 + 281478246442*x^14 + 100840883446*x^13 + 854529788449*x^12 + 587465997768*x^11 + 1693306660912*x^10 + 2290141206741*x^9 + 3347002683342*x^8 + 3991924932655*x^7 + 4254453066613*x^6 + 2892780488084*x^5 + 4483561154497*x^4 - 1907601398814*x^3 + 2069517788169*x^2 - 2418718157*x + 465327060067)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - 3*x^39 + 17*x^38 - 18*x^37 + 99*x^36 + 280*x^35 - 1133*x^34 + 10722*x^33 - 17246*x^32 + 75618*x^31 + 89898*x^30 - 223678*x^29 + 3025727*x^28 - 5004522*x^27 + 18709105*x^26 + 13416566*x^25 - 12029980*x^24 + 352256790*x^23 + 11507039*x^22 + 354600620*x^21 + 2329164546*x^20 + 5850180293*x^19 + 7741540618*x^18 + 11469428513*x^17 + 62706387315*x^16 + 45371379782*x^15 + 281478246442*x^14 + 100840883446*x^13 + 854529788449*x^12 + 587465997768*x^11 + 1693306660912*x^10 + 2290141206741*x^9 + 3347002683342*x^8 + 3991924932655*x^7 + 4254453066613*x^6 + 2892780488084*x^5 + 4483561154497*x^4 - 1907601398814*x^3 + 2069517788169*x^2 - 2418718157*x + 465327060067, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - 3 x^{39} + 17 x^{38} - 18 x^{37} + 99 x^{36} + 280 x^{35} - 1133 x^{34} + 10722 x^{33} - 17246 x^{32} + 75618 x^{31} + 89898 x^{30} - 223678 x^{29} + 3025727 x^{28} - 5004522 x^{27} + 18709105 x^{26} + 13416566 x^{25} - 12029980 x^{24} + 352256790 x^{23} + 11507039 x^{22} + 354600620 x^{21} + 2329164546 x^{20} + 5850180293 x^{19} + 7741540618 x^{18} + 11469428513 x^{17} + 62706387315 x^{16} + 45371379782 x^{15} + 281478246442 x^{14} + 100840883446 x^{13} + 854529788449 x^{12} + 587465997768 x^{11} + 1693306660912 x^{10} + 2290141206741 x^{9} + 3347002683342 x^{8} + 3991924932655 x^{7} + 4254453066613 x^{6} + 2892780488084 x^{5} + 4483561154497 x^{4} - 1907601398814 x^{3} + 2069517788169 x^{2} - 2418718157 x + 465327060067 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 20]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(85645247294113376440758931865564540771239245310508132650583152744800142458597746860353=3^{20}\cdot 11^{32}\cdot 17^{35}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $140.71$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 11, 17$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(561=3\cdot 11\cdot 17\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{561}(256,·)$, $\chi_{561}(1,·)$, $\chi_{561}(4,·)$, $\chi_{561}(389,·)$, $\chi_{561}(518,·)$, $\chi_{561}(257,·)$, $\chi_{561}(268,·)$, $\chi_{561}(526,·)$, $\chi_{561}(16,·)$, $\chi_{561}(26,·)$, $\chi_{561}(155,·)$, $\chi_{561}(412,·)$, $\chi_{561}(410,·)$, $\chi_{561}(542,·)$, $\chi_{561}(287,·)$, $\chi_{561}(416,·)$, $\chi_{561}(421,·)$, $\chi_{561}(166,·)$, $\chi_{561}(169,·)$, $\chi_{561}(157,·)$, $\chi_{561}(434,·)$, $\chi_{561}(179,·)$, $\chi_{561}(53,·)$, $\chi_{561}(185,·)$, $\chi_{561}(59,·)$, $\chi_{561}(64,·)$, $\chi_{561}(322,·)$, $\chi_{561}(67,·)$, $\chi_{561}(460,·)$, $\chi_{561}(463,·)$, $\chi_{561}(467,·)$, $\chi_{561}(212,·)$, $\chi_{561}(485,·)$, $\chi_{561}(103,·)$, $\chi_{561}(104,·)$, $\chi_{561}(361,·)$, $\chi_{561}(236,·)$, $\chi_{561}(115,·)$, $\chi_{561}(383,·)$, $\chi_{561}(511,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $\frac{1}{67} a^{30} - \frac{9}{67} a^{29} - \frac{10}{67} a^{28} + \frac{12}{67} a^{27} + \frac{33}{67} a^{26} - \frac{27}{67} a^{25} - \frac{14}{67} a^{24} + \frac{11}{67} a^{23} - \frac{1}{67} a^{22} + \frac{19}{67} a^{21} + \frac{26}{67} a^{20} - \frac{4}{67} a^{19} + \frac{28}{67} a^{18} - \frac{27}{67} a^{17} - \frac{29}{67} a^{16} + \frac{33}{67} a^{15} + \frac{22}{67} a^{14} + \frac{22}{67} a^{13} - \frac{3}{67} a^{12} + \frac{33}{67} a^{11} - \frac{12}{67} a^{10} - \frac{14}{67} a^{9} + \frac{12}{67} a^{8} - \frac{30}{67} a^{7} + \frac{24}{67} a^{6} - \frac{22}{67} a^{5} - \frac{19}{67} a^{4} + \frac{7}{67} a^{3} - \frac{13}{67} a^{2} - \frac{26}{67} a$, $\frac{1}{5963} a^{31} - \frac{13}{5963} a^{30} + \frac{2438}{5963} a^{29} - \frac{1489}{5963} a^{28} + \frac{52}{5963} a^{27} - \frac{1499}{5963} a^{26} - \frac{643}{5963} a^{25} - \frac{1921}{5963} a^{23} + \frac{425}{5963} a^{22} + \frac{1223}{5963} a^{21} + \frac{1366}{5963} a^{20} - \frac{961}{5963} a^{19} + \frac{196}{5963} a^{18} - \frac{524}{5963} a^{17} - \frac{655}{5963} a^{16} - \frac{1316}{5963} a^{15} + \frac{269}{5963} a^{14} - \frac{91}{5963} a^{13} + \frac{45}{5963} a^{12} + \frac{2804}{5963} a^{11} - \frac{569}{5963} a^{10} + \frac{1140}{5963} a^{9} + \frac{927}{5963} a^{8} - \frac{459}{5963} a^{7} + \frac{1356}{5963} a^{6} + \frac{203}{5963} a^{5} + \frac{1021}{5963} a^{4} + \frac{2438}{5963} a^{3} + \frac{2706}{5963} a^{2} - \frac{499}{5963} a - \frac{32}{89}$, $\frac{1}{5963} a^{32} + \frac{44}{5963} a^{30} + \frac{2526}{5963} a^{29} + \frac{2945}{5963} a^{28} + \frac{2292}{5963} a^{27} + \frac{1853}{5963} a^{26} - \frac{1951}{5963} a^{25} - \frac{586}{5963} a^{24} - \frac{1319}{5963} a^{23} - \frac{2953}{5963} a^{22} - \frac{1158}{5963} a^{21} + \frac{688}{5963} a^{20} + \frac{2566}{5963} a^{19} - \frac{646}{5963} a^{18} - \frac{1059}{5963} a^{17} + \frac{1027}{5963} a^{16} - \frac{819}{5963} a^{15} + \frac{2160}{5963} a^{14} - \frac{2384}{5963} a^{13} - \frac{1862}{5963} a^{12} - \frac{1764}{5963} a^{11} + \frac{2554}{5963} a^{10} - \frac{807}{5963} a^{9} + \frac{2781}{5963} a^{8} + \frac{2509}{5963} a^{7} + \frac{209}{5963} a^{6} - \frac{1057}{5963} a^{5} - \frac{1644}{5963} a^{4} + \frac{936}{5963} a^{3} - \frac{1989}{5963} a^{2} + \frac{1515}{5963} a + \frac{29}{89}$, $\frac{1}{5963} a^{33} - \frac{17}{5963} a^{30} + \frac{1227}{5963} a^{29} - \frac{2413}{5963} a^{28} - \frac{2037}{5963} a^{27} + \frac{2951}{5963} a^{26} - \frac{1486}{5963} a^{25} + \frac{550}{5963} a^{24} - \frac{398}{5963} a^{23} + \frac{1146}{5963} a^{22} + \frac{988}{5963} a^{21} - \frac{1379}{5963} a^{20} + \frac{431}{5963} a^{19} - \frac{1495}{5963} a^{18} + \frac{854}{5963} a^{17} - \frac{924}{5963} a^{16} - \frac{990}{5963} a^{15} + \frac{732}{5963} a^{14} - \frac{795}{5963} a^{13} - \frac{362}{5963} a^{12} + \frac{2977}{5963} a^{11} + \frac{1979}{5963} a^{10} + \frac{2194}{5963} a^{9} + \frac{1860}{5963} a^{8} + \frac{558}{5963} a^{7} + \frac{1668}{5963} a^{6} - \frac{1676}{5963} a^{5} - \frac{2692}{5963} a^{4} + \frac{120}{5963} a^{3} + \frac{465}{5963} a^{2} - \frac{2445}{5963} a - \frac{16}{89}$, $\frac{1}{5963} a^{34} + \frac{27}{5963} a^{30} + \frac{140}{5963} a^{29} + \frac{329}{5963} a^{28} - \frac{1950}{5963} a^{27} + \frac{354}{5963} a^{26} - \frac{1837}{5963} a^{25} + \frac{1382}{5963} a^{24} - \frac{539}{5963} a^{23} - \frac{2734}{5963} a^{22} + \frac{811}{5963} a^{21} - \frac{1801}{5963} a^{20} - \frac{1990}{5963} a^{19} + \frac{626}{5963} a^{18} - \frac{1288}{5963} a^{17} - \frac{1623}{5963} a^{16} - \frac{280}{5963} a^{15} + \frac{129}{5963} a^{14} + \frac{405}{5963} a^{13} + \frac{716}{5963} a^{12} - \frac{549}{5963} a^{11} - \frac{1694}{5963} a^{10} - \frac{832}{5963} a^{9} - \frac{1394}{5963} a^{8} - \frac{617}{5963} a^{7} - \frac{2120}{5963} a^{6} - \frac{1555}{5963} a^{5} + \frac{300}{5963} a^{4} - \frac{720}{5963} a^{3} + \frac{2617}{5963} a^{2} - \frac{1990}{5963} a - \frac{10}{89}$, $\frac{1}{53529851} a^{35} + \frac{3078}{53529851} a^{34} + \frac{3874}{53529851} a^{33} + \frac{3805}{53529851} a^{32} - \frac{1461}{53529851} a^{31} + \frac{61663}{53529851} a^{30} - \frac{22862152}{53529851} a^{29} - \frac{4981704}{53529851} a^{28} + \frac{333411}{1138933} a^{27} - \frac{3121544}{53529851} a^{26} - \frac{1184934}{53529851} a^{25} + \frac{3751947}{53529851} a^{24} + \frac{10200345}{53529851} a^{23} + \frac{4925104}{53529851} a^{22} + \frac{8515622}{53529851} a^{21} - \frac{12725151}{53529851} a^{20} + \frac{24929319}{53529851} a^{19} - \frac{18029395}{53529851} a^{18} + \frac{13756000}{53529851} a^{17} + \frac{18566626}{53529851} a^{16} + \frac{84186}{280261} a^{15} + \frac{4202056}{53529851} a^{14} + \frac{14552442}{53529851} a^{13} - \frac{16054629}{53529851} a^{12} + \frac{253686}{1138933} a^{11} - \frac{15852072}{53529851} a^{10} - \frac{9720886}{53529851} a^{9} - \frac{16993233}{53529851} a^{8} + \frac{2492999}{53529851} a^{7} - \frac{12250497}{53529851} a^{6} + \frac{567113}{53529851} a^{5} + \frac{324228}{798953} a^{4} + \frac{1934198}{53529851} a^{3} + \frac{12199231}{53529851} a^{2} + \frac{5150602}{53529851} a - \frac{377934}{798953}$, $\frac{1}{53529851} a^{36} + \frac{525}{53529851} a^{34} + \frac{1089}{53529851} a^{33} + \frac{1734}{53529851} a^{32} - \frac{1695}{53529851} a^{31} - \frac{327885}{53529851} a^{30} + \frac{26345329}{53529851} a^{29} - \frac{24861442}{53529851} a^{28} + \frac{14532972}{53529851} a^{27} + \frac{334731}{798953} a^{26} - \frac{21009189}{53529851} a^{25} - \frac{7479653}{53529851} a^{24} + \frac{9872033}{53529851} a^{23} - \frac{12581563}{53529851} a^{22} - \frac{24183811}{53529851} a^{21} - \frac{9543087}{53529851} a^{20} - \frac{21352200}{53529851} a^{19} + \frac{20274685}{53529851} a^{18} + \frac{6011865}{53529851} a^{17} + \frac{22077069}{53529851} a^{16} + \frac{12457267}{53529851} a^{15} - \frac{24211667}{53529851} a^{14} - \frac{10871177}{53529851} a^{13} + \frac{20557451}{53529851} a^{12} - \frac{3862184}{53529851} a^{11} - \frac{5377525}{53529851} a^{10} - \frac{898961}{53529851} a^{9} + \frac{15166945}{53529851} a^{8} - \frac{23410000}{53529851} a^{7} - \frac{12446479}{53529851} a^{6} - \frac{24037634}{53529851} a^{5} + \frac{9527127}{53529851} a^{4} + \frac{8899858}{53529851} a^{3} + \frac{14805838}{53529851} a^{2} - \frac{20034518}{53529851} a - \frac{317888}{798953}$, $\frac{1}{53529851} a^{37} + \frac{999}{53529851} a^{34} - \frac{3314}{53529851} a^{33} + \frac{2551}{53529851} a^{32} - \frac{733}{53529851} a^{31} + \frac{238200}{53529851} a^{30} + \frac{9308786}{53529851} a^{29} + \frac{2036500}{53529851} a^{28} + \frac{14995384}{53529851} a^{27} - \frac{12296111}{53529851} a^{26} - \frac{11104157}{53529851} a^{25} + \frac{17023775}{53529851} a^{24} - \frac{2030248}{53529851} a^{23} + \frac{1554866}{53529851} a^{22} - \frac{23496286}{53529851} a^{21} + \frac{17332614}{53529851} a^{20} + \frac{12230290}{53529851} a^{19} - \frac{8743541}{53529851} a^{18} + \frac{24058739}{53529851} a^{17} + \frac{230804}{798953} a^{16} + \frac{24681277}{53529851} a^{15} + \frac{3115385}{53529851} a^{14} - \frac{20596708}{53529851} a^{13} - \frac{16425622}{53529851} a^{12} - \frac{20822007}{53529851} a^{11} + \frac{9832033}{53529851} a^{10} + \frac{317017}{798953} a^{9} + \frac{18931510}{53529851} a^{8} - \frac{20270252}{53529851} a^{7} + \frac{13506294}{53529851} a^{6} - \frac{16608063}{53529851} a^{5} - \frac{22311145}{53529851} a^{4} + \frac{24031553}{53529851} a^{3} + \frac{24598616}{53529851} a^{2} + \frac{37710}{601459} a - \frac{182821}{798953}$, $\frac{1}{18896037403} a^{38} + \frac{165}{18896037403} a^{37} + \frac{80}{18896037403} a^{36} - \frac{166}{18896037403} a^{35} + \frac{352083}{18896037403} a^{34} + \frac{523575}{18896037403} a^{33} + \frac{165727}{18896037403} a^{32} + \frac{1288732}{18896037403} a^{31} - \frac{62877024}{18896037403} a^{30} + \frac{7561261392}{18896037403} a^{29} - \frac{6133820657}{18896037403} a^{28} - \frac{8913861065}{18896037403} a^{27} + \frac{2259557793}{18896037403} a^{26} - \frac{4545451224}{18896037403} a^{25} + \frac{3239851755}{18896037403} a^{24} - \frac{5200493484}{18896037403} a^{23} + \frac{1395385878}{18896037403} a^{22} + \frac{5228749971}{18896037403} a^{21} - \frac{8990476631}{18896037403} a^{20} - \frac{6935421948}{18896037403} a^{19} + \frac{6083898917}{18896037403} a^{18} - \frac{4627362195}{18896037403} a^{17} + \frac{8762577142}{18896037403} a^{16} - \frac{5782711151}{18896037403} a^{15} + \frac{4282277698}{18896037403} a^{14} - \frac{538618921}{18896037403} a^{13} - \frac{4952766218}{18896037403} a^{12} + \frac{4526895887}{18896037403} a^{11} - \frac{4003839566}{18896037403} a^{10} - \frac{4381624232}{18896037403} a^{9} - \frac{9234971805}{18896037403} a^{8} - \frac{3658096819}{18896037403} a^{7} - \frac{6527916713}{18896037403} a^{6} + \frac{6375172374}{18896037403} a^{5} - \frac{8431189539}{18896037403} a^{4} + \frac{5290373537}{18896037403} a^{3} + \frac{118792836}{18896037403} a^{2} - \frac{1858567365}{18896037403} a - \frac{63767384}{282030409}$, $\frac{1}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{39} - \frac{75687757832145213921107957815775512411401704014843601764448405502952333487601354903071170287405639940538386410800783695812866413395485425024116192368458860066606418019680407906968175280785799598631157415812486559232896948211635821221472}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{38} + \frac{9022969413263636320045551452987803219481430073300646322680883636413823430537234710195724411516391945407684565478798047043170180466972464148506203012722515256171874092146735045488459756629947203659061964033399169143647057699895960162896892}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{37} + \frac{43554107711643268274213020579427400358034210245933760562774858612621160280262703429884674159952153901323785470930714019839352384846550705957864624991977036159331504617974743094175394896742802108860067178266358390679329295213624982329480971}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{36} - \frac{19828161233537926983304005108054241282116115173037322475208872721213308933476654362565737334025168561303696279678877449165707041838750130157039240322385186635641950531030454622185668964747344043831733791772183234411103008997283622272954714}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{35} - \frac{147223656755066199346518403281033983445523562609159402270109548365029166488447133424053613745619746706749640615479071568893855391798579459328573580463633173721603161375818979406941022789094566354315238876419978786331200104399867254401926626889}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{34} - \frac{364191477527141332121609150795327528264500027111561734389214895150050217515280914111829108842203307685336571019804625189825104974588402420884636735410897988145588040920653716368054426722191090014311118252568425964856004441996728821921618570274}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{33} + \frac{181595200446968358797397102724309179632060926149878784493355428239132908072440906155443125252005844351459725796686086957507508439566269209279756615505706162305752366508415914899133235415697951681166195931829869904033862331628392681398463969196}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{32} - \frac{316772097612744553701077422730484375910068700827549794807361103062320679335379373651259769542669012970630922321460389583520891975127493427930625645291584874942520980802399399642623528549225322301473852242845494198286856389373993748637238266924}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{31} + \frac{11864252155892104982908597153133412918047012625299437647906285422802796083987852534654762096001963418081284947900999056003694766563023964913295454876245233259986813721262862424303666326093994824241427196095973072490533397983448670748099169568273}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{30} + \frac{328145212095047889116315056395937247253644382123556697961575470137366537630801922708153447934631419724880150722042893227429731892595062071276983500878139313270752327584530316194679463768177163024319742380875211222904678436357900523754865549932660}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{29} - \frac{1986799925776502139662221976315369371489663900387603063655296352563403611999770398809252937664140844019192514137654160004526147758902664905173019095344386093448673659212036876207407103309687547186987116061480059275890076621842606977891581101745990}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{28} + \frac{2303274924521102025645420742640624253101555797774382226341969482831175011714753443268721122120456887602090943724735123953598897659321841561775768840987199032351303161664469840737302453216500543092256272498679522209969562857682716112454145861149192}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{27} - \frac{1491530478644002793144497088340471027080115566600436154505333122094887402826330069290333568305491439207151574648973765389499433923923660659122401087100535887659826050820455055078768936458238458493145118735114722724057545831267312092466032495928749}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{26} - \frac{1371937890126049993303778075618666493853911179720754501334071897465174438503995439742108901807147669458691902630745175171190750431850583081609324858655353431797157049737018686265976845280834662748501086535069181782428737666631211279176550676592616}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{25} - \frac{787511634911344048701488143228965060370884252049505192532661852141420027177784919764286924143287729991495369276245710822054203223202484275751098006532260808550532641715009763189329949441832021433820771960160317430663618387051514377694772408858906}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{24} - \frac{1910035717582579594270135418886315163704160874847415032875088380835907286866546498681809186090473974920500847635216324001950708558716243419597173823902906242436859053403081487223758760886016143494225998364711862603085381976239003213787210709958781}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{23} + \frac{161961630521582780327422051246547635497549073305090500985454357510624008123245337386281854850758670921834772165376390593487363544566493046668119663713525581460159707327295462609063678914252289620410900152038383215357459480176095045145325572930668}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{22} + \frac{1865428356916625239054924018211716630453001438307142381415012212084028515103772831168755518911378896467459918093474835534609600317002836580896495717838998146915704943866175260583434088484990329084235765111184521219906242453692541133122702144151084}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{21} - \frac{1950847094582629269171630986621662537034492655211278700904070744405698758558257799537234359820266038077952935241323447961912838337754051185321966076695187908338551714671450916704195794444106313483137940429088945293044587066115139415429501872689461}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{20} - \frac{1371350050582168896563692522564753592739978451583900352700052463551398211442070921726757490078146009948514240122712233448998100847343866802054284734771347439756695455472617714034767473504228061459509276275643836743827958034290944032738786897562286}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{19} - \frac{260092910143542841701009678788208815811585611319257945321302562928414504861052462389148414848821950540058449174390373021462628455138383901074265766987684592728242510011984478243403096103247398385165979562856036636391950998631688527960655770907}{52406431324927908880122183850443291944875058719319618266734393076141102214719589499846563996825120444476695278922736334393802344317633059249769020462863823026664450482814265126406119548804716743226356229676859460855993363128115695955642425469801} a^{18} - \frac{921893014556375490198734923420688045465809761183471725815991578423767677162089830518986968898884701072196956377457608452124593517607094848775304054405898525306969991831795228858012341440899456540581787308291709402622473549628532543083545554337077}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{17} - \frac{2082541853853194288005468244654741904965245034512095879361838903567963363930885596489393419427107570761440565740250764274858712751049740256477129618281432043838957327669980832342659686438814264856369829894260764040301514380778810721397968662155949}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{16} - \frac{634350872066150947475932855550615607882921550201766289098492841034449651396308552232308666013891752985956808174594064360541705489798581054439560530631281875525715508127479763003224248008472265089040719203947455464668028207479043302653474014249607}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{15} - \frac{1535336616829176414389549410542101041284737187859023235534230691803325656053180350756653778543221719761455647109128108517886694781600227626682831090320762801868010504310122435044985988788687596883673219715736848682936187715939632509730018108996033}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{14} + \frac{69056059045034085369594431189219733741028141958286745714811891182356097376201089879643171884270545537249647389885505161652536293048452823905531571192720647094519815397340572385848653780371611756620678924788405484269867674406860460353524810191995}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{13} + \frac{1711556045772084812242979665651076744669378309855069897236871653939805206619775719467469197717001846411073070189515710485865763647138854439745573338121979146634195441217307796717098494696343844974811296951022290364043480206487660152597350966964396}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{12} - \frac{79738365600390959775375374928455088726697465681035274504004093006541639566839719963711051894389462826832539672827531426684016952587472112869136163015796803578841323778934438175689850252433022430572375233547093780180472431160367638812100082686589}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{11} + \frac{1703350582853754084145980305966501175386088723258489100005443727024924000332077043702913088131757855698606883414836590446299895830292508674695968141744285106010374571251206746961650668085630176100763399203812132068822051522221426783611518629708532}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{10} - \frac{508949362962961009298763918163479926416936597195760059722637748688145495155806931488675121440449841274561091143228453882437025499114126718340869516310286286985070707902090640802537550404611741452596917295524618024961102387496082679930191401304444}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{9} + \frac{823216430088714937321751985917822841215849552582841897933195520385490204509204593886155558961364642453579650386444507603286049918574007668201497450780959397756203206643651278284922574364345712016636211318978701991828794935377155026580159936196686}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{8} + \frac{590535254364899125678049802985849629239576206335226245732207765013225705973232562146312456385348571321305803618975867836733289429072083355524557085481420195847758322633454073729034080237860000472236693427252237892873145456210164764614932118605641}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{7} - \frac{1264958219993229242560613956983515783330763304961558185449033659990601227344850871387233294054380823974943100758196407735983950778043296366698108046607961697258275118897041503654253481455535656570292322311653565058228268028121848245218996608751018}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{6} + \frac{1900053865901172002688680767204241660284768010060529004292948922531131051068706060150379053239540382201348764529363138670601212121223717575329162509996793707122122761900977549973842224494500172657568618819629138779685583816008335886117463823037433}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{5} + \frac{399537735931471647118825156236546252242705093392137647011256270748695720056848777934860681189163914455231937334170800574152005594386709150196332150763230532061174567477453233527678114054874955232277296083858217043177261953402706540068921744418802}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{4} - \frac{1485432582783745038640566616318379123357962897792990106348878775986610031075257656587620283727682037446371437676382684422585342808884375434435892723407419456744024617303817200749750891904492563271729182818995191668385221344559302428619574460839145}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{3} + \frac{813611877004391851534134831345279881383944279533438948920341418166092986718399117911479117954851568144037142081568897472616385356297362695645591453376977970355434218876510180623774114663977764067280920554938134365650976641268563433706308985904806}{4664172387918583890330874362689452983093880226019446025739360983776558097110043465486344195717435719558425879824123533761048408644269342273229442821194880249373136092970469596250144639843619790147145704441240492016183409318402296940052175866812289} a^{2} + \frac{15190267659688287040908304704954178537206890589578806763703795619590885116999558124768504327591471139888697668935634848425368545308165528309730288618888422704160782191915053487603835037477077827007533229113809043193897320669208381662383902458703}{69614513252516177467624990487902283329759406358499194414020313190694896971791693514721555159961727157588445967524231847179826994690587198107902131659625078348852777507021934272390218505128653584285756782705081970390797154006004431941077251743467} a + \frac{471935170897908247831586187018457489102238545015025173046201622906598686948079247888084325449295817494883265807968722935962475123659561045954516522694702064614115012650773383666712989768955707094212973084767044719877843408217087004745313724367}{1039022585858450409964552096834362437757603079977599916627168853592461148832711843503306793432264584441618596530212415629549656637172943255341822860591419079833623544880924392125227141867591844541578459443359432393892494835910513909568317190201}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $19$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{40}$ (as 40T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_{40}$
Character table for $C_{40}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{17}) \), 4.4.4913.1, \(\Q(\zeta_{11})^+\), 8.0.33237432513.1, 10.10.304358957700017.1, 20.20.131527565972137936816816034072938673.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $20^{2}$ R $40$ $40$ R ${\href{/LocalNumberField/13.10.0.1}{10} }^{4}$ R $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/23.8.0.1}{8} }^{5}$ $40$ $40$ $40$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/43.4.0.1}{4} }^{10}$ ${\href{/LocalNumberField/47.5.0.1}{5} }^{8}$ $20^{2}$ $20^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
11Data not computed
17Data not computed