↑

Properties

Label 40.0.80945152575...0000.1
Degree $40$
Signature $[0, 20]$
Discriminant $2^{60}\cdot 3^{20}\cdot 5^{20}\cdot 11^{32}$
Root discriminant $74.59$
Ramified primes $2, 3, 5, 11$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_2^2\times C_{10}$ (as 40T7)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![7921, -138306, 2163669, -7893186, 41542653, -53794892, 395621642, -421491998, 1837441747, -1129495192, 4837056745, -2093662826, 8864033300, -2411808414, 11277728362, -2457927574, 10428999440, -1874745952, 7163344449, -1196870942, 3736972197, -564834934, 1495634299, -208611822, 464093662, -56565736, 111278921, -11932490, 20750979, -1886108, 2957257, -236786, 320585, -21838, 25227, -1580, 1410, -66, 49, -2, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 2*x^39 + 49*x^38 - 66*x^37 + 1410*x^36 - 1580*x^35 + 25227*x^34 - 21838*x^33 + 320585*x^32 - 236786*x^31 + 2957257*x^30 - 1886108*x^29 + 20750979*x^28 - 11932490*x^27 + 111278921*x^26 - 56565736*x^25 + 464093662*x^24 - 208611822*x^23 + 1495634299*x^22 - 564834934*x^21 + 3736972197*x^20 - 1196870942*x^19 + 7163344449*x^18 - 1874745952*x^17 + 10428999440*x^16 - 2457927574*x^15 + 11277728362*x^14 - 2411808414*x^13 + 8864033300*x^12 - 2093662826*x^11 + 4837056745*x^10 - 1129495192*x^9 + 1837441747*x^8 - 421491998*x^7 + 395621642*x^6 - 53794892*x^5 + 41542653*x^4 - 7893186*x^3 + 2163669*x^2 - 138306*x + 7921)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - 2*x^39 + 49*x^38 - 66*x^37 + 1410*x^36 - 1580*x^35 + 25227*x^34 - 21838*x^33 + 320585*x^32 - 236786*x^31 + 2957257*x^30 - 1886108*x^29 + 20750979*x^28 - 11932490*x^27 + 111278921*x^26 - 56565736*x^25 + 464093662*x^24 - 208611822*x^23 + 1495634299*x^22 - 564834934*x^21 + 3736972197*x^20 - 1196870942*x^19 + 7163344449*x^18 - 1874745952*x^17 + 10428999440*x^16 - 2457927574*x^15 + 11277728362*x^14 - 2411808414*x^13 + 8864033300*x^12 - 2093662826*x^11 + 4837056745*x^10 - 1129495192*x^9 + 1837441747*x^8 - 421491998*x^7 + 395621642*x^6 - 53794892*x^5 + 41542653*x^4 - 7893186*x^3 + 2163669*x^2 - 138306*x + 7921, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - 2 x^{39} + 49 x^{38} - 66 x^{37} + 1410 x^{36} - 1580 x^{35} + 25227 x^{34} - 21838 x^{33} + 320585 x^{32} - 236786 x^{31} + 2957257 x^{30} - 1886108 x^{29} + 20750979 x^{28} - 11932490 x^{27} + 111278921 x^{26} - 56565736 x^{25} + 464093662 x^{24} - 208611822 x^{23} + 1495634299 x^{22} - 564834934 x^{21} + 3736972197 x^{20} - 1196870942 x^{19} + 7163344449 x^{18} - 1874745952 x^{17} + 10428999440 x^{16} - 2457927574 x^{15} + 11277728362 x^{14} - 2411808414 x^{13} + 8864033300 x^{12} - 2093662826 x^{11} + 4837056745 x^{10} - 1129495192 x^{9} + 1837441747 x^{8} - 421491998 x^{7} + 395621642 x^{6} - 53794892 x^{5} + 41542653 x^{4} - 7893186 x^{3} + 2163669 x^{2} - 138306 x + 7921 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 20]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(809451525758004789010365777553377865197930569782630809600000000000000000000=2^{60}\cdot 3^{20}\cdot 5^{20}\cdot 11^{32}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $74.59$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 3, 5, 11$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1320=2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 11\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1320}(1,·)$, $\chi_{1320}(389,·)$, $\chi_{1320}(641,·)$, $\chi_{1320}(521,·)$, $\chi_{1320}(269,·)$, $\chi_{1320}(401,·)$, $\chi_{1320}(529,·)$, $\chi_{1320}(661,·)$, $\chi_{1320}(89,·)$, $\chi_{1320}(1049,·)$, $\chi_{1320}(1181,·)$, $\chi_{1320}(581,·)$, $\chi_{1320}(289,·)$, $\chi_{1320}(1189,·)$, $\chi_{1320}(169,·)$, $\chi_{1320}(301,·)$, $\chi_{1320}(49,·)$, $\chi_{1320}(949,·)$, $\chi_{1320}(1081,·)$, $\chi_{1320}(829,·)$, $\chi_{1320}(181,·)$, $\chi_{1320}(449,·)$, $\chi_{1320}(961,·)$, $\chi_{1320}(709,·)$, $\chi_{1320}(929,·)$, $\chi_{1320}(841,·)$, $\chi_{1320}(1109,·)$, $\chi_{1320}(1241,·)$, $\chi_{1320}(221,·)$, $\chi_{1320}(1061,·)$, $\chi_{1320}(229,·)$, $\chi_{1320}(1169,·)$, $\chi_{1320}(421,·)$, $\chi_{1320}(749,·)$, $\chi_{1320}(509,·)$, $\chi_{1320}(881,·)$, $\chi_{1320}(361,·)$, $\chi_{1320}(889,·)$, $\chi_{1320}(1021,·)$, $\chi_{1320}(1301,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $\frac{1}{2} a^{30} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{31} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{32} - \frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{33} - \frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{3}$, $\frac{1}{2} a^{34} - \frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{4}$, $\frac{1}{4378} a^{35} - \frac{367}{2189} a^{34} + \frac{615}{4378} a^{33} - \frac{403}{2189} a^{32} + \frac{12}{199} a^{31} - \frac{177}{4378} a^{30} + \frac{819}{2189} a^{29} + \frac{635}{2189} a^{28} - \frac{335}{2189} a^{27} + \frac{503}{2189} a^{26} - \frac{45}{2189} a^{25} + \frac{1082}{2189} a^{24} - \frac{1687}{4378} a^{23} - \frac{610}{2189} a^{22} + \frac{707}{4378} a^{21} + \frac{145}{2189} a^{20} + \frac{657}{2189} a^{19} - \frac{1887}{4378} a^{18} - \frac{602}{2189} a^{17} - \frac{969}{2189} a^{16} + \frac{767}{2189} a^{15} + \frac{459}{2189} a^{14} + \frac{706}{2189} a^{13} - \frac{1094}{2189} a^{12} + \frac{281}{2189} a^{11} - \frac{82}{2189} a^{10} - \frac{55}{199} a^{9} + \frac{1015}{2189} a^{8} + \frac{255}{2189} a^{7} + \frac{582}{2189} a^{6} + \frac{1577}{4378} a^{5} + \frac{877}{2189} a^{4} - \frac{139}{4378} a^{3} + \frac{142}{2189} a^{2} + \frac{549}{2189} a + \frac{1187}{4378}$, $\frac{1}{1449118} a^{36} - \frac{131}{1449118} a^{35} - \frac{170551}{1449118} a^{34} - \frac{207857}{1449118} a^{33} - \frac{104970}{724559} a^{32} + \frac{53943}{1449118} a^{31} + \frac{38297}{724559} a^{30} + \frac{244946}{724559} a^{29} - \frac{285075}{724559} a^{28} + \frac{319480}{724559} a^{27} + \frac{276996}{724559} a^{26} + \frac{81208}{724559} a^{25} + \frac{103633}{1449118} a^{24} - \frac{156015}{1449118} a^{23} + \frac{530289}{1449118} a^{22} - \frac{629}{4378} a^{21} + \frac{261023}{724559} a^{20} - \frac{387227}{1449118} a^{19} - \frac{213820}{724559} a^{18} + \frac{209543}{724559} a^{17} - \frac{333994}{724559} a^{16} - \frac{18620}{724559} a^{15} + \frac{54205}{724559} a^{14} + \frac{115975}{724559} a^{13} - \frac{291649}{724559} a^{12} - \frac{314408}{724559} a^{11} - \frac{297408}{724559} a^{10} - \frac{306886}{724559} a^{9} + \frac{49727}{724559} a^{8} + \frac{51464}{724559} a^{7} + \frac{541483}{1449118} a^{6} - \frac{115547}{1449118} a^{5} + \frac{133765}{1449118} a^{4} + \frac{113477}{1449118} a^{3} - \frac{161182}{724559} a^{2} - \frac{711411}{1449118} a + \frac{225446}{724559}$, $\frac{1}{1449118} a^{37} - \frac{35}{1449118} a^{35} - \frac{177417}{1449118} a^{34} + \frac{310509}{1449118} a^{33} + \frac{125107}{724559} a^{32} + \frac{174253}{1449118} a^{31} - \frac{10627}{65869} a^{30} + \frac{2110}{65869} a^{29} + \frac{274383}{724559} a^{28} + \frac{269292}{724559} a^{27} + \frac{348595}{724559} a^{26} + \frac{12895}{131738} a^{25} - \frac{31422}{65869} a^{24} - \frac{323399}{1449118} a^{23} + \frac{421259}{1449118} a^{22} - \frac{574557}{1449118} a^{21} - \frac{1061}{65869} a^{20} - \frac{177729}{1449118} a^{19} - \frac{186209}{724559} a^{18} + \frac{357106}{724559} a^{17} - \frac{292998}{724559} a^{16} + \frac{274239}{724559} a^{15} - \frac{107538}{724559} a^{14} + \frac{315561}{724559} a^{13} + \frac{337318}{724559} a^{12} - \frac{340563}{724559} a^{11} - \frac{314923}{724559} a^{10} - \frac{90416}{724559} a^{9} - \frac{22192}{724559} a^{8} - \frac{392647}{1449118} a^{7} - \frac{274423}{724559} a^{6} - \frac{165155}{1449118} a^{5} - \frac{241611}{1449118} a^{4} - \frac{675595}{1449118} a^{3} - \frac{23146}{65869} a^{2} + \frac{294193}{1449118} a - \frac{7000}{724559}$, $\frac{1}{22354255306133108803526705228938742951146} a^{38} - \frac{3903644649548650125615865398015133}{22354255306133108803526705228938742951146} a^{37} + \frac{13013653812587921270866386447021}{56166470618424896491273128715926489827} a^{36} + \frac{1219646854886717341765845111283070049}{22354255306133108803526705228938742951146} a^{35} + \frac{589548910733522382199865317375903904353}{11177127653066554401763352614469371475573} a^{34} + \frac{4337576149184978542592656404873609039131}{22354255306133108803526705228938742951146} a^{33} + \frac{1564398175319260549285295362325301576695}{22354255306133108803526705228938742951146} a^{32} - \frac{1893248893822772140312630704104229504853}{22354255306133108803526705228938742951146} a^{31} + \frac{5127323263726924574481623169628952593249}{22354255306133108803526705228938742951146} a^{30} + \frac{621098486255101083512439180988106454302}{11177127653066554401763352614469371475573} a^{29} - \frac{354018363461231168922613997145736261044}{11177127653066554401763352614469371475573} a^{28} - \frac{5106047934139588948632946994935798699411}{11177127653066554401763352614469371475573} a^{27} - \frac{1425726443824349145102731159663870431969}{22354255306133108803526705228938742951146} a^{26} - \frac{6350057137923395655990883955286830630561}{22354255306133108803526705228938742951146} a^{25} + \frac{3981466719779561953145831344944407592594}{11177127653066554401763352614469371475573} a^{24} + \frac{7790079173414904140627854074559372285463}{22354255306133108803526705228938742951146} a^{23} - \frac{692259825324366143868158965921807610432}{11177127653066554401763352614469371475573} a^{22} + \frac{354418134443750971034077621895662751103}{22354255306133108803526705228938742951146} a^{21} - \frac{5336806048170473240917062786329482744773}{22354255306133108803526705228938742951146} a^{20} - \frac{1996160638187845605619560795758772518763}{22354255306133108803526705228938742951146} a^{19} + \frac{9410367391956184870570140098165099715211}{22354255306133108803526705228938742951146} a^{18} - \frac{3848743734783607790830051865527839327446}{11177127653066554401763352614469371475573} a^{17} - \frac{4235031490062145108553587908437455144470}{11177127653066554401763352614469371475573} a^{16} - \frac{946870075347426728547164665754781027970}{11177127653066554401763352614469371475573} a^{15} - \frac{3340030913208697143024206910429136552488}{11177127653066554401763352614469371475573} a^{14} + \frac{3726598888831167128754774045550742235581}{11177127653066554401763352614469371475573} a^{13} - \frac{2544300463006656570187746223020470783202}{11177127653066554401763352614469371475573} a^{12} - \frac{3130393605615671053132051602181201818805}{11177127653066554401763352614469371475573} a^{11} + \frac{39273258004375749367393672897104000642}{11177127653066554401763352614469371475573} a^{10} + \frac{223948196004086220644433445560459296879}{11177127653066554401763352614469371475573} a^{9} + \frac{450400335765806670728368310424216110289}{22354255306133108803526705228938742951146} a^{8} - \frac{10156092294727096014812257421832051234789}{22354255306133108803526705228938742951146} a^{7} - \frac{5004820788827370883193102145720326227796}{11177127653066554401763352614469371475573} a^{6} - \frac{3245162202749602924279571840156360371999}{22354255306133108803526705228938742951146} a^{5} + \frac{1536114184927525921592739707960488233684}{11177127653066554401763352614469371475573} a^{4} + \frac{10710194991881360190070179272958224725929}{22354255306133108803526705228938742951146} a^{3} - \frac{867022091490192724096332472858365774015}{2032205027830282618502427748085340268286} a^{2} + \frac{8893881076509147393829225721025087741701}{22354255306133108803526705228938742951146} a - \frac{5647791499961205657990213708641252659275}{22354255306133108803526705228938742951146}$, $\frac{1}{7013644581955044870767505958681261108634976242481135020682938927709503350961775290999764724020962111149754686408481345608817718947779475264546480799257630886} a^{39} - \frac{10547040652856445346798042545295987691947771492304597371160480823805477558957739063735166221889850121865489336309497}{637604052905004079160682359880114646239543294771012274607539902519045759178343208272705884001905646468159516946225576873528883540707225024049680072659784626} a^{38} + \frac{1077496783847666108884529543208498514364054555995788144270588220352470773893813642198817655189353400053994931949672478118338706104999886002681682168495}{7013644581955044870767505958681261108634976242481135020682938927709503350961775290999764724020962111149754686408481345608817718947779475264546480799257630886} a^{37} + \frac{360973468249811597895100553888126866921145121754989691935858983540667062024065470635926283060288112031778914949872234754913046430662675534992676094018}{3506822290977522435383752979340630554317488121240567510341469463854751675480887645499882362010481055574877343204240672804408859473889737632273240399628815443} a^{36} + \frac{356128436500265169631166746319351411872137456078209596741147799468664613255949407793798842383694173895390512547444733961112446718803562420189381609374099}{7013644581955044870767505958681261108634976242481135020682938927709503350961775290999764724020962111149754686408481345608817718947779475264546480799257630886} a^{35} + \frac{571404231731390444051829761715191081613403209857599027070130182135431903103856594595661517784365299004395521839910798562481529555361150189297790311668427960}{3506822290977522435383752979340630554317488121240567510341469463854751675480887645499882362010481055574877343204240672804408859473889737632273240399628815443} a^{34} - \frac{626506844684934725442503490549151139595121049747027602202178928467901372967714569708836778296705086020534599129878684817185511558486397484003896965811903629}{3506822290977522435383752979340630554317488121240567510341469463854751675480887645499882362010481055574877343204240672804408859473889737632273240399628815443} a^{33} + \frac{55242350390627205825467185926155984867410562941682421478933619995080755065291899800284663097104930104034470061119981376043715489173526361200498298803429992}{318802026452502039580341179940057323119771647385506137303769951259522879589171604136352942000952823234079758473112788436764441770353612512024840036329892313} a^{32} + \frac{814176149135214653973850185759754605378246507608609174890878197537330981659606460548791671227326735644786028557744787184425383783162234516447848264502602268}{3506822290977522435383752979340630554317488121240567510341469463854751675480887645499882362010481055574877343204240672804408859473889737632273240399628815443} a^{31} + \frac{789298716578475786928426830512802444476593660631316183715365871140171125609593874953794499240388346471818939691821914228814934692674935334780925352476952905}{7013644581955044870767505958681261108634976242481135020682938927709503350961775290999764724020962111149754686408481345608817718947779475264546480799257630886} a^{30} - \frac{713659688891814594349723518240694148364423815989064062595388940850871804832828767911944220415807755612671112394928559430830621407917166720717059738799990119}{3506822290977522435383752979340630554317488121240567510341469463854751675480887645499882362010481055574877343204240672804408859473889737632273240399628815443} a^{29} + \frac{135611432548853113738848250635788018531167020106534166096649879205048869868134489044152802260536656242582703334435745746410594746561426242619624222162200542}{318802026452502039580341179940057323119771647385506137303769951259522879589171604136352942000952823234079758473112788436764441770353612512024840036329892313} a^{28} - \frac{184279453566672653908138690951852417633056217162367709710746846650283639861199150680716486089077711602114599097162284460557159165053951889941461759863389501}{7013644581955044870767505958681261108634976242481135020682938927709503350961775290999764724020962111149754686408481345608817718947779475264546480799257630886} a^{27} + \frac{2683908671827002781555051847007609125781394047819587503608336481532907780538311424689808909817756870922541257698284254373020024499577070501347995868160500779}{7013644581955044870767505958681261108634976242481135020682938927709503350961775290999764724020962111149754686408481345608817718947779475264546480799257630886} a^{26} - \frac{3443837270548422530357579504917130375095318044554146862019270371051293587889796012123614934033455125672641007908555601156281767950300435204859502662648067751}{7013644581955044870767505958681261108634976242481135020682938927709503350961775290999764724020962111149754686408481345608817718947779475264546480799257630886} a^{25} + \frac{1138834512856476823391739469138860863564540444921943007937982118273162131796408896073022305723975863043112151302381945687096578450036688539332414813427065779}{3506822290977522435383752979340630554317488121240567510341469463854751675480887645499882362010481055574877343204240672804408859473889737632273240399628815443} a^{24} + \frac{180154458021964788602760025362485959734273549818611790311614646422321667672664909718526598032821107919186354651598514987898697281354780649847575022464349397}{7013644581955044870767505958681261108634976242481135020682938927709503350961775290999764724020962111149754686408481345608817718947779475264546480799257630886} a^{23} - \frac{1353641463489887147989994433395343622074727622160495980157930164120069615980338464550523400833775407130076602072925189355710912231047069734755338050912082073}{3506822290977522435383752979340630554317488121240567510341469463854751675480887645499882362010481055574877343204240672804408859473889737632273240399628815443} a^{22} - \frac{585760368429677798170664698234054812302090866052486751261781260505359494815333618732870267510974144792926080116979739836357174840017987255078659098034981932}{3506822290977522435383752979340630554317488121240567510341469463854751675480887645499882362010481055574877343204240672804408859473889737632273240399628815443} a^{21} - \frac{957391430189091239241867446045986044187927272643437778230733642110097473361976451710365084712198970469714353773313755128257801505011411591127130051285276419}{3506822290977522435383752979340630554317488121240567510341469463854751675480887645499882362010481055574877343204240672804408859473889737632273240399628815443} a^{20} - \frac{863159692673083298581191036144687621982611029193431147910839281041664532056909463252270075911937309617049774287539610327143579502224566317966044625468776198}{3506822290977522435383752979340630554317488121240567510341469463854751675480887645499882362010481055574877343204240672804408859473889737632273240399628815443} a^{19} - \frac{2942092062631472389178683639825334045393969486009298260618856523981390959181452177117431870086591069575803252660655999600305325330845537966612237149428988047}{7013644581955044870767505958681261108634976242481135020682938927709503350961775290999764724020962111149754686408481345608817718947779475264546480799257630886} a^{18} - \frac{1352662677698909348791692572623457558882484491377237410689284704017721003495066489337804210772373687775844605224025813386477547154871561400101730717231045329}{3506822290977522435383752979340630554317488121240567510341469463854751675480887645499882362010481055574877343204240672804408859473889737632273240399628815443} a^{17} + \frac{12471240088669406522380337026616597744606914204589371037569203919704538221912076046802913955723804074265203905478091808115038312729550155423612238570284682}{3506822290977522435383752979340630554317488121240567510341469463854751675480887645499882362010481055574877343204240672804408859473889737632273240399628815443} a^{16} + \frac{1497999456449442972171271172877431710750760881682239020066264232732766443110740483052970721051705909965958911631550648070315684230939574833608349939927743959}{3506822290977522435383752979340630554317488121240567510341469463854751675480887645499882362010481055574877343204240672804408859473889737632273240399628815443} a^{15} - \frac{1101284506915488835569205356968797149550157668445259552522106816095094257899492598170881641193888347564647713048680747375773803511732219490981078450411962374}{3506822290977522435383752979340630554317488121240567510341469463854751675480887645499882362010481055574877343204240672804408859473889737632273240399628815443} a^{14} + \frac{1219109239295804087996406704516655354921366771009551437399633134628657689485978295827629483186289064743615320944731237522985289545037379038700195568638089745}{3506822290977522435383752979340630554317488121240567510341469463854751675480887645499882362010481055574877343204240672804408859473889737632273240399628815443} a^{13} - \frac{484797297388269007042193384903250793442814472039347078119319953396283845931712637781388233155544417488223513974185821707576389717932600121972423687965973458}{3506822290977522435383752979340630554317488121240567510341469463854751675480887645499882362010481055574877343204240672804408859473889737632273240399628815443} a^{12} + \frac{991609039807121221885972937091735909599163998935696549873023538387480702802361798087221745077495517877893227108375852650604686904305477189584012398039516706}{3506822290977522435383752979340630554317488121240567510341469463854751675480887645499882362010481055574877343204240672804408859473889737632273240399628815443} a^{11} - \frac{662633796812655238288827896107847404313580783937604230912223718283850590770964054274422004379610324105574942178390036462307706854295561044001047283817559198}{3506822290977522435383752979340630554317488121240567510341469463854751675480887645499882362010481055574877343204240672804408859473889737632273240399628815443} a^{10} - \frac{646619383941880232749228658206125423597348663585128942870738025672590563356824581781518497089474529433522578035051922040731710535782287806490899971586351047}{7013644581955044870767505958681261108634976242481135020682938927709503350961775290999764724020962111149754686408481345608817718947779475264546480799257630886} a^{9} - \frac{2636068106475881952068169065473416853498364258605322069359594901659849736905955331525675965734866319684783967078543561441300194438154217393036174100544913065}{7013644581955044870767505958681261108634976242481135020682938927709503350961775290999764724020962111149754686408481345608817718947779475264546480799257630886} a^{8} + \frac{1046969851674950352614130134031107473128788696858375335014928086476657742833556419692018012600278620366652025346072913882839751636187017348761780036006059331}{7013644581955044870767505958681261108634976242481135020682938927709503350961775290999764724020962111149754686408481345608817718947779475264546480799257630886} a^{7} - \frac{1431121724908255453969861551145352832173101690089414199012763536496348365149333240147857141543624829593816909131308374612874919574434813034126187716454250813}{3506822290977522435383752979340630554317488121240567510341469463854751675480887645499882362010481055574877343204240672804408859473889737632273240399628815443} a^{6} + \frac{2835980344605465639832569353952507263797087338618114368967838707554925981488816903820982803069200130146571934491526453157455874938293445486757731946509292101}{7013644581955044870767505958681261108634976242481135020682938927709503350961775290999764724020962111149754686408481345608817718947779475264546480799257630886} a^{5} - \frac{1385917240772690301987362839129056483401337653104797786039884238911311002558579625444327069117313122466813538852845306760434373625901356029623493484908952436}{3506822290977522435383752979340630554317488121240567510341469463854751675480887645499882362010481055574877343204240672804408859473889737632273240399628815443} a^{4} - \frac{1465661873922948857843489453773881725183777449353556185278184620759063699145610258393026676301225633673492682572635236918234222241990378202812351104959315401}{3506822290977522435383752979340630554317488121240567510341469463854751675480887645499882362010481055574877343204240672804408859473889737632273240399628815443} a^{3} - \frac{676643688771874964683466949706248635261150693488169294031844639988226722340706608206411989762379901023372069305915838124551401177531514549030211635835513120}{3506822290977522435383752979340630554317488121240567510341469463854751675480887645499882362010481055574877343204240672804408859473889737632273240399628815443} a^{2} - \frac{329639245493382465161622070532209280908366324087617331544254642935881543562103452280162301281888688802766682799072742755551004479316427008012831694782541101}{3506822290977522435383752979340630554317488121240567510341469463854751675480887645499882362010481055574877343204240672804408859473889737632273240399628815443} a + \frac{32914148220184352004116142347133801463844147837411108091988624985661931525419427457633958798166895295697859092935908145691585290786263924165732690655823739}{78804995302865672705252875940238888861067148791922865400931898064151723044514329112356907011471484394941063892230127478750760887053701969264567199991658774}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $19$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( \frac{3918933250467393815726373552340254751386066348285554081591854231820052308338736758072053491263710247688352195958197181}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{39} - \frac{7841547983358750245014655336850950756147555162279952785952292441550075649904653736411476214574947695974198327522112947}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{38} + \frac{192100197403200606955179745353419028175593337647461021103141166833007755122026069817685038604920481063714436758257059527}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{37} - \frac{258946225984219720226167183378421728920483438423597021352315920269244103066626985863778631336461357603451072888074331319}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{36} + \frac{5529093253403011832863597038534926863863390213761005695826603474951205708219600234627153079597523065122194450318225343630}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{35} - \frac{6200701851281705523811996044410059739316307091101433395962270928199752455365102478715967480679354176724858329058538151672}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{34} + \frac{98959240650559277717794423671907567119010438606455251796863930619664890366288185949914374658851006668405168755887485491119}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{33} - \frac{171514357262610423485617456565152461580170286308397740239355693176396886611607438867511960279556586852630292059068619773457}{1056296022618440612519706108339350253476536521790931060633615299272877457813615843997750011747830739220621009845890748790262} a^{32} + \frac{1258041014087487056106698785259392163289116931058575262162973011205230618210457862815410711039506846687390797338402424285954}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{31} - \frac{930185479651915739206309097260549590787034042817943073667605152129562644273505174285850270352926818677486083432000366334780}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{30} + \frac{11610536633064092881799204679858778046485105234890691114907738250822939116059772519480097668119612703702999848296460053391388}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{29} - \frac{7413181476300748706209843919033726892057059280455546999720300631029007882590591206020075198268964282323460647147507444244040}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{28} + \frac{81515413310503357500642003925744693457400287398860564495344648187683905501363977543395085713692268425505319906462167927677057}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{27} - \frac{46918617314996480021934009156061412102902386526659109022611680961691191623301422080013616460523147754367542935770953112910150}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{26} + \frac{437440756448662554679977012705718873542425081860536474157225166571991141615749171936741542892254526704773244282434161716468839}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{25} - \frac{222558973279868661705206627341169560838194598844130448165375625848650970892807071792096013679305711671245931068899004686425197}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{24} + \frac{1825882123330881165909851988482951365321399836785555350588521250718202990523987450096153294149747420730356699015560726723654166}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{23} - \frac{821277920602938018881784652323301200175990503665769779386854594066332050167987553987025349642523265794471485908698258326503322}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{22} + \frac{535514076404951284797043301030891431267053306564303393760267009553676912400380117204500214042516893956221661542441447421063961}{48013455573565482387259368560879556976206205535951411846982513603312611718800720181715909624901397237300954992995034035921} a^{21} - \frac{4451420388938050593587766771055016444436710452501952653601267438959698423819263526739575972498420052912709139777055802136250621}{1056296022618440612519706108339350253476536521790931060633615299272877457813615843997750011747830739220621009845890748790262} a^{20} + \frac{14738074171922151825185789150820268377190607430031135432744041937111398260974192894541814989705688837439342160044998656313760302}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{19} - \frac{4718469559217229558880461019547084134195288781286427351851673839606473949295086904171681256045245745349923100908268923916294818}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{18} + \frac{28301691506080244443113125855753977786517755660653625704533537674782520830024243610239775947438443145816369014190026199265338477}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{17} - \frac{7394756490180674542769217761530193617205756622225220301239235983197715281177845301671567002891453208784859857020354531238395954}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{16} + \frac{41300758082079679232457535798810693483835649886188620919505319736039900764528858423377475618924565333900777478428486373068837640}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{15} - \frac{48662112451955252820122068712529864460018301357278201129851754142468674349993965674055652728069796991796019691863085765403278}{2654010107081509076682678664169221742403358094952088092044259545911752406566873979893844250622690299549299019713293338669} a^{14} + \frac{44809501158569469032795930516654379396158409237548404668618162425696049227411772586277098831783966101561650017187642804221081354}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{13} - \frac{9493686369000987151138482244425891646773497332099756089328724898401825180116469537321104455383784096167858050583140049725914026}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{12} + \frac{35377788232033544814644798894902593797617645194678212529421422970748307625884388420804786323895886716040369476057286029849009047}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{11} - \frac{8219108550334759634953045518098346578913616064979334572748385896400953418967344138879599683400717577980275499860884389541601848}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{10} + \frac{19437032457038202364104100971669649395124528327493531560356875595624253384177717454236472685144526535538888786685029307280896215}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{9} - \frac{4440000436219492615328788387842532698046190713111590593095898334062141003747029849203187520927559138792010768786816756654125109}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{8} + \frac{7439549566205786012486941680836316500916702844649743722156437410181980565438755455536776729204497547291554875603309289526443159}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{7} - \frac{1650286844847391297226801540874103183319642151784267160172333161649576470867587076909053165406358276209808477769100329822423403}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{6} + \frac{1630954284227214635222544077750353107363956169328809736348105137552427626454548062013816911629820960763273963732114574093608528}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{5} - \frac{18865115338937451067497325038088670273689584175452585484255794625850060871058870351649043500880234360389801308385629902551582}{48013455573565482387259368560879556976206205535951411846982513603312611718800720181715909624901397237300954992995034035921} a^{4} + \frac{174721050270649397259856360583220809262894721711803963656259622088751190043773710521583613542197165890860348964023173236392147}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a^{3} - \frac{52553416832376270021594965569379671772587494941620035657270408271068722231279575469016765740020162454338254687172243197187429}{1056296022618440612519706108339350253476536521790931060633615299272877457813615843997750011747830739220621009845890748790262} a^{2} + \frac{9359544476860310013598284794086440623991932150558729809753900766017344287914648462506581278241441845116691602118260780680756}{528148011309220306259853054169675126738268260895465530316807649636438728906807921998875005873915369610310504922945374395131} a - \frac{800554190107225009256403417362448574146313458685841200149207384150587200414525008802459068819223624420971712712912575579}{5934247318081127036627562406400844120654699560623208205806827524004929538278740696616573099706914265284387695763431172979} \) (order $6$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_2^2\times C_{10}$ (as 40T7):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_2^2\times C_{10}$
Character table for $C_2^2\times C_{10}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-30}) \), \(\Q(\sqrt{-6}) \), \(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\sqrt{-3}) \), \(\Q(\sqrt{10}) \), \(\Q(\sqrt{2}) \), \(\Q(\sqrt{-15}) \), \(\Q(\sqrt{5}, \sqrt{-6})\), \(\Q(\sqrt{-3}, \sqrt{10})\), \(\Q(\sqrt{2}, \sqrt{-15})\), \(\Q(\sqrt{2}, \sqrt{-3})\), \(\Q(\sqrt{-6}, \sqrt{10})\), \(\Q(\sqrt{-3}, \sqrt{5})\), \(\Q(\sqrt{2}, \sqrt{5})\), \(\Q(\zeta_{11})^+\), 8.0.207360000.1, 10.0.5333934907699200000.1, 10.0.1706859170463744.1, 10.10.669871503125.1, 10.0.52089208083.1, 10.10.21950349414400000.1, 10.10.7024111812608.1, 10.0.162778775259375.1, 20.0.28450861599572073223437680640000000000.13, 20.0.28450861599572073223437680640000000000.15, 20.0.28450861599572073223437680640000000000.12, 20.0.2913368227796180298080018497536.4, 20.0.28450861599572073223437680640000000000.6, 20.0.26496929674942114598525390625.1, 20.20.481817839414250422927360000000000.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R R R ${\href{/LocalNumberField/7.10.0.1}{10} }^{4}$ R ${\href{/LocalNumberField/13.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/17.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/19.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/23.2.0.1}{2} }^{20}$ ${\href{/LocalNumberField/29.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/31.5.0.1}{5} }^{8}$ ${\href{/LocalNumberField/37.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/41.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/43.2.0.1}{2} }^{20}$ ${\href{/LocalNumberField/47.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/53.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/59.10.0.1}{10} }^{4}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
3Data not computed
5Data not computed
$11$11.10.8.5$x^{10} - 2321 x^{5} + 2033647$$5$$2$$8$$C_{10}$$[\ ]_{5}^{2}$
11.10.8.5$x^{10} - 2321 x^{5} + 2033647$$5$$2$$8$$C_{10}$$[\ ]_{5}^{2}$
11.10.8.5$x^{10} - 2321 x^{5} + 2033647$$5$$2$$8$$C_{10}$$[\ ]_{5}^{2}$
11.10.8.5$x^{10} - 2321 x^{5} + 2033647$$5$$2$$8$$C_{10}$$[\ ]_{5}^{2}$