LMFDB - Number field 40.0.771953130491261281023374345353486886213236398489600000000000000000000.1

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 27*x^38 + 452*x^36 - 4707*x^34 + 35613*x^32 - 189939*x^30 + 758623*x^28 - 2202717*x^26 + 4873258*x^24 - 8161689*x^22 + 10602647*x^20 - 10506063*x^18 + 8018080*x^16 - 4542648*x^14 + 1926084*x^12 - 569703*x^10 + 122757*x^8 - 16992*x^6 + 1555*x^4 - 45*x^2 + 1)

gp: K = bnfinit(y^40 - 27*y^38 + 452*y^36 - 4707*y^34 + 35613*y^32 - 189939*y^30 + 758623*y^28 - 2202717*y^26 + 4873258*y^24 - 8161689*y^22 + 10602647*y^20 - 10506063*y^18 + 8018080*y^16 - 4542648*y^14 + 1926084*y^12 - 569703*y^10 + 122757*y^8 - 16992*y^6 + 1555*y^4 - 45*y^2 + 1, 1)

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^40 - 27*x^38 + 452*x^36 - 4707*x^34 + 35613*x^32 - 189939*x^30 + 758623*x^28 - 2202717*x^26 + 4873258*x^24 - 8161689*x^22 + 10602647*x^20 - 10506063*x^18 + 8018080*x^16 - 4542648*x^14 + 1926084*x^12 - 569703*x^10 + 122757*x^8 - 16992*x^6 + 1555*x^4 - 45*x^2 + 1);

oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^40 - 27*x^38 + 452*x^36 - 4707*x^34 + 35613*x^32 - 189939*x^30 + 758623*x^28 - 2202717*x^26 + 4873258*x^24 - 8161689*x^22 + 10602647*x^20 - 10506063*x^18 + 8018080*x^16 - 4542648*x^14 + 1926084*x^12 - 569703*x^10 + 122757*x^8 - 16992*x^6 + 1555*x^4 - 45*x^2 + 1)

$ x^{40} - 27 x^{38} + 452 x^{36} - 4707 x^{34} + 35613 x^{32} - 189939 x^{30} + 758623 x^{28} - 2202717 x^{26} + \cdots + 1 $ x^40 - 27*x^38 + 452*x^36 - 4707*x^34 + 35613*x^32 - 189939*x^30 + 758623*x^28 - 2202717*x^26 + 4873258*x^24 - 8161689*x^22 + 10602647*x^20 - 10506063*x^18 + 8018080*x^16 - 4542648*x^14 + 1926084*x^12 - 569703*x^10 + 122757*x^8 - 16992*x^6 + 1555*x^4 - 45*x^2 + 1

sage: K.defining_polynomial()

gp: K.pol

magma: DefiningPolynomial(K);

oscar: defining_polynomial(K)

Invariants

Degree:	$40$	sage: K.degree() gp: poldegree(K.pol) magma: Degree(K); oscar: degree(K)
Signature:	$[0, 20]$	sage: K.signature() gp: K.sign magma: Signature(K); oscar: signature(K)
Discriminant:	$771953130491261281023374345353486886213236398489600000000000000000000$ 771953130491261281023374345353486886213236398489600000000000000000000 $\medspace = 2^{40}\cdot 3^{20}\cdot 5^{20}\cdot 11^{32}$	sage: K.disc() gp: K.disc magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK); oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:	$52.75$	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree()) gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol)) magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K)); oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:	$2\cdot 3^{1/2}5^{1/2}11^{4/5}\approx 52.74602949834854$
Ramified primes:	$2$, $3$, $5$, $11$ 2, 3, 5, 11	sage: K.disc().support() gp: factor(abs(K.disc))[,1]~ magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK)); oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:	$\Q$
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:	$40$	sage: K.automorphisms() magma: Automorphisms(K); oscar: automorphisms(K)
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:	$660=2^{2}\cdot 3\cdot 5\cdot 11$
Dirichlet character group:	$\lbrace$$\chi_{660}(1,·)$, $\chi_{660}(389,·)$, $\chi_{660}(641,·)$, $\chi_{660}(521,·)$, $\chi_{660}(631,·)$, $\chi_{660}(269,·)$, $\chi_{660}(529,·)$, $\chi_{660}(31,·)$, $\chi_{660}(289,·)$, $\chi_{660}(419,·)$, $\chi_{660}(421,·)$, $\chi_{660}(551,·)$, $\chi_{660}(169,·)$, $\chi_{660}(71,·)$, $\chi_{660}(301,·)$, $\chi_{660}(559,·)$, $\chi_{660}(49,·)$, $\chi_{660}(179,·)$, $\chi_{660}(181,·)$, $\chi_{660}(311,·)$, $\chi_{660}(59,·)$, $\chi_{660}(191,·)$, $\chi_{660}(449,·)$, $\chi_{660}(581,·)$, $\chi_{660}(199,·)$, $\chi_{660}(331,·)$, $\chi_{660}(599,·)$, $\chi_{660}(89,·)$, $\chi_{660}(91,·)$, $\chi_{660}(221,·)$, $\chi_{660}(379,·)$, $\chi_{660}(229,·)$, $\chi_{660}(401,·)$, $\chi_{660}(361,·)$, $\chi_{660}(619,·)$, $\chi_{660}(499,·)$, $\chi_{660}(119,·)$, $\chi_{660}(251,·)$, $\chi_{660}(509,·)$, $\chi_{660}(511,·)$$\rbrace$
This is a CM field.
Reflex fields:	unavailable$^{524288}$

Integral basis (with respect to field generator $a$)

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $\frac{1}{8}a^{30}-\frac{1}{4}a^{24}-\frac{3}{8}a^{18}-\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{3}{8}$, $\frac{1}{8}a^{31}-\frac{1}{4}a^{25}-\frac{3}{8}a^{19}-\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{3}{8}a$, $\frac{1}{2648}a^{32}-\frac{3}{2648}a^{30}-\frac{36}{331}a^{28}-\frac{425}{1324}a^{26}-\frac{521}{1324}a^{24}-\frac{110}{331}a^{22}-\frac{499}{2648}a^{20}+\frac{1153}{2648}a^{18}-\frac{71}{331}a^{16}-\frac{151}{662}a^{14}-\frac{21}{662}a^{12}-\frac{61}{331}a^{10}-\frac{305}{662}a^{8}-\frac{289}{662}a^{6}+\frac{61}{331}a^{4}-\frac{467}{2648}a^{2}+\frac{161}{2648}$, $\frac{1}{2648}a^{33}-\frac{3}{2648}a^{31}-\frac{36}{331}a^{29}-\frac{425}{1324}a^{27}-\frac{521}{1324}a^{25}-\frac{110}{331}a^{23}-\frac{499}{2648}a^{21}+\frac{1153}{2648}a^{19}-\frac{71}{331}a^{17}-\frac{151}{662}a^{15}-\frac{21}{662}a^{13}-\frac{61}{331}a^{11}-\frac{305}{662}a^{9}-\frac{289}{662}a^{7}+\frac{61}{331}a^{5}-\frac{467}{2648}a^{3}+\frac{161}{2648}a$, $\frac{1}{2648}a^{34}+\frac{17}{1324}a^{30}+\frac{467}{1324}a^{28}-\frac{118}{331}a^{26}+\frac{157}{662}a^{24}-\frac{491}{2648}a^{22}-\frac{43}{331}a^{20}-\frac{375}{1324}a^{18}+\frac{85}{662}a^{16}+\frac{94}{331}a^{14}+\frac{73}{331}a^{12}-\frac{9}{662}a^{10}+\frac{60}{331}a^{8}+\frac{124}{331}a^{6}+\frac{997}{2648}a^{4}-\frac{155}{331}a^{2}-\frac{255}{1324}$, $\frac{1}{2648}a^{35}+\frac{17}{1324}a^{31}+\frac{467}{1324}a^{29}-\frac{118}{331}a^{27}+\frac{157}{662}a^{25}-\frac{491}{2648}a^{23}-\frac{43}{331}a^{21}-\frac{375}{1324}a^{19}+\frac{85}{662}a^{17}+\frac{94}{331}a^{15}+\frac{73}{331}a^{13}-\frac{9}{662}a^{11}+\frac{60}{331}a^{9}+\frac{124}{331}a^{7}+\frac{997}{2648}a^{5}-\frac{155}{331}a^{3}-\frac{255}{1324}a$, $\frac{1}{17\!\cdots\!48}a^{36}+\frac{125745432187}{17\!\cdots\!48}a^{34}+\frac{53611515429}{439417526473862}a^{32}-\frac{48695506214033}{17\!\cdots\!48}a^{30}-\frac{181109982530143}{878835052947724}a^{28}+\frac{13685539502581}{219708763236931}a^{26}+\frac{167333300054771}{17\!\cdots\!48}a^{24}-\frac{831415846775529}{17\!\cdots\!48}a^{22}+\frac{161388495202393}{439417526473862}a^{20}+\frac{262987820129721}{17\!\cdots\!48}a^{18}-\frac{213541105864217}{439417526473862}a^{16}+\frac{70833740732344}{219708763236931}a^{14}-\frac{81468512342141}{219708763236931}a^{12}-\frac{18802528569891}{439417526473862}a^{10}-\frac{35013202274552}{219708763236931}a^{8}-\frac{487696764048079}{17\!\cdots\!48}a^{6}-\frac{399124144934985}{17\!\cdots\!48}a^{4}-\frac{70135783645755}{439417526473862}a^{2}+\frac{362063534391965}{17\!\cdots\!48}$, $\frac{1}{17\!\cdots\!48}a^{37}+\frac{125745432187}{17\!\cdots\!48}a^{35}+\frac{53611515429}{439417526473862}a^{33}-\frac{48695506214033}{17\!\cdots\!48}a^{31}-\frac{181109982530143}{878835052947724}a^{29}+\frac{13685539502581}{219708763236931}a^{27}+\frac{167333300054771}{17\!\cdots\!48}a^{25}-\frac{831415846775529}{17\!\cdots\!48}a^{23}+\frac{161388495202393}{439417526473862}a^{21}+\frac{262987820129721}{17\!\cdots\!48}a^{19}-\frac{213541105864217}{439417526473862}a^{17}+\frac{70833740732344}{219708763236931}a^{15}-\frac{81468512342141}{219708763236931}a^{13}-\frac{18802528569891}{439417526473862}a^{11}-\frac{35013202274552}{219708763236931}a^{9}-\frac{487696764048079}{17\!\cdots\!48}a^{7}-\frac{399124144934985}{17\!\cdots\!48}a^{5}-\frac{70135783645755}{439417526473862}a^{3}+\frac{362063534391965}{17\!\cdots\!48}a$, $\frac{1}{19\!\cdots\!28}a^{38}-\frac{12\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!28}a^{36}-\frac{26\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!28}a^{34}-\frac{15\!\cdots\!11}{19\!\cdots\!28}a^{32}+\frac{19\!\cdots\!63}{47\!\cdots\!82}a^{30}+\frac{20\!\cdots\!13}{95\!\cdots\!64}a^{28}+\frac{79\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!28}a^{26}-\frac{39\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!28}a^{24}-\frac{39\!\cdots\!45}{19\!\cdots\!28}a^{22}-\frac{59\!\cdots\!13}{79\!\cdots\!08}a^{20}+\frac{32\!\cdots\!13}{95\!\cdots\!64}a^{18}+\frac{76\!\cdots\!69}{47\!\cdots\!82}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!69}{47\!\cdots\!82}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!55}{47\!\cdots\!82}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!28}a^{8}-\frac{66\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!92}a^{6}+\frac{68\!\cdots\!23}{19\!\cdots\!28}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!28}a^{2}+\frac{30\!\cdots\!19}{95\!\cdots\!64}$, $\frac{1}{19\!\cdots\!28}a^{39}-\frac{12\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!28}a^{37}-\frac{26\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!28}a^{35}-\frac{15\!\cdots\!11}{19\!\cdots\!28}a^{33}+\frac{19\!\cdots\!63}{47\!\cdots\!82}a^{31}+\frac{20\!\cdots\!13}{95\!\cdots\!64}a^{29}+\frac{79\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!28}a^{27}-\frac{39\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!28}a^{25}-\frac{39\!\cdots\!45}{19\!\cdots\!28}a^{23}-\frac{59\!\cdots\!13}{79\!\cdots\!08}a^{21}+\frac{32\!\cdots\!13}{95\!\cdots\!64}a^{19}+\frac{76\!\cdots\!69}{47\!\cdots\!82}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!69}{47\!\cdots\!82}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!55}{47\!\cdots\!82}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!28}a^{9}-\frac{66\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!92}a^{7}+\frac{68\!\cdots\!23}{19\!\cdots\!28}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!28}a^{3}+\frac{30\!\cdots\!19}{95\!\cdots\!64}a$ 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9, a^10, a^11, a^12, a^13, a^14, a^15, a^16, a^17, a^18, a^19, a^20, a^21, a^22, a^23, a^24, a^25, a^26, a^27, a^28, a^29, 1/8*a^30 - 1/4*a^24 - 3/8*a^18 - 1/2*a^12 - 1/2*a^6 - 3/8, 1/8*a^31 - 1/4*a^25 - 3/8*a^19 - 1/2*a^13 - 1/2*a^7 - 3/8*a, 1/2648*a^32 - 3/2648*a^30 - 36/331*a^28 - 425/1324*a^26 - 521/1324*a^24 - 110/331*a^22 - 499/2648*a^20 + 1153/2648*a^18 - 71/331*a^16 - 151/662*a^14 - 21/662*a^12 - 61/331*a^10 - 305/662*a^8 - 289/662*a^6 + 61/331*a^4 - 467/2648*a^2 + 161/2648, 1/2648*a^33 - 3/2648*a^31 - 36/331*a^29 - 425/1324*a^27 - 521/1324*a^25 - 110/331*a^23 - 499/2648*a^21 + 1153/2648*a^19 - 71/331*a^17 - 151/662*a^15 - 21/662*a^13 - 61/331*a^11 - 305/662*a^9 - 289/662*a^7 + 61/331*a^5 - 467/2648*a^3 + 161/2648*a, 1/2648*a^34 + 17/1324*a^30 + 467/1324*a^28 - 118/331*a^26 + 157/662*a^24 - 491/2648*a^22 - 43/331*a^20 - 375/1324*a^18 + 85/662*a^16 + 94/331*a^14 + 73/331*a^12 - 9/662*a^10 + 60/331*a^8 + 124/331*a^6 + 997/2648*a^4 - 155/331*a^2 - 255/1324, 1/2648*a^35 + 17/1324*a^31 + 467/1324*a^29 - 118/331*a^27 + 157/662*a^25 - 491/2648*a^23 - 43/331*a^21 - 375/1324*a^19 + 85/662*a^17 + 94/331*a^15 + 73/331*a^13 - 9/662*a^11 + 60/331*a^9 + 124/331*a^7 + 997/2648*a^5 - 155/331*a^3 - 255/1324*a, 1/1757670105895448*a^36 + 125745432187/1757670105895448*a^34 + 53611515429/439417526473862*a^32 - 48695506214033/1757670105895448*a^30 - 181109982530143/878835052947724*a^28 + 13685539502581/219708763236931*a^26 + 167333300054771/1757670105895448*a^24 - 831415846775529/1757670105895448*a^22 + 161388495202393/439417526473862*a^20 + 262987820129721/1757670105895448*a^18 - 213541105864217/439417526473862*a^16 + 70833740732344/219708763236931*a^14 - 81468512342141/219708763236931*a^12 - 18802528569891/439417526473862*a^10 - 35013202274552/219708763236931*a^8 - 487696764048079/1757670105895448*a^6 - 399124144934985/1757670105895448*a^4 - 70135783645755/439417526473862*a^2 + 362063534391965/1757670105895448, 1/1757670105895448*a^37 + 125745432187/1757670105895448*a^35 + 53611515429/439417526473862*a^33 - 48695506214033/1757670105895448*a^31 - 181109982530143/878835052947724*a^29 + 13685539502581/219708763236931*a^27 + 167333300054771/1757670105895448*a^25 - 831415846775529/1757670105895448*a^23 + 161388495202393/439417526473862*a^21 + 262987820129721/1757670105895448*a^19 - 213541105864217/439417526473862*a^17 + 70833740732344/219708763236931*a^15 - 81468512342141/219708763236931*a^13 - 18802528569891/439417526473862*a^11 - 35013202274552/219708763236931*a^9 - 487696764048079/1757670105895448*a^7 - 399124144934985/1757670105895448*a^5 - 70135783645755/439417526473862*a^3 + 362063534391965/1757670105895448*a, 1/190464294096175871036769228047358678728*a^38 - 12419385469845324074091/190464294096175871036769228047358678728*a^36 - 2626553875050354705426570913118893/190464294096175871036769228047358678728*a^34 - 15071263560068018848555524440096911/190464294096175871036769228047358678728*a^32 + 1990972507113331760226977946658621663/47616073524043967759192307011839669682*a^30 + 20044986708948107901293027956923789613/95232147048087935518384614023679339364*a^28 + 79731729239473220507171632599672089831/190464294096175871036769228047358678728*a^26 - 39747562924451927285449177822031175571/190464294096175871036769228047358678728*a^24 - 39361251771117294806077253772510935145/190464294096175871036769228047358678728*a^22 - 59853549823964304167271614987235813/790308274257991166127673145424724808*a^20 + 3219125190743403549407993980436057613/95232147048087935518384614023679339364*a^18 + 7680545230823462716762344296445445269/47616073524043967759192307011839669682*a^16 + 2505286755342207888832040408823481949/23808036762021983879596153505919834841*a^14 + 18670488324485711289587245478539939469/47616073524043967759192307011839669682*a^12 - 1409430317026641595902145617367705555/47616073524043967759192307011839669682*a^10 + 2022860239520441059331771826177264081/190464294096175871036769228047358678728*a^8 - 66961405942924845060844912800926535/135176929805660660778402574909409992*a^6 + 68082084537433385004465934399368879023/190464294096175871036769228047358678728*a^4 - 11320708239066942685475853954834872113/190464294096175871036769228047358678728*a^2 + 30780413146575889301252993814540343119/95232147048087935518384614023679339364, 1/190464294096175871036769228047358678728*a^39 - 12419385469845324074091/190464294096175871036769228047358678728*a^37 - 2626553875050354705426570913118893/190464294096175871036769228047358678728*a^35 - 15071263560068018848555524440096911/190464294096175871036769228047358678728*a^33 + 1990972507113331760226977946658621663/47616073524043967759192307011839669682*a^31 + 20044986708948107901293027956923789613/95232147048087935518384614023679339364*a^29 + 79731729239473220507171632599672089831/190464294096175871036769228047358678728*a^27 - 39747562924451927285449177822031175571/190464294096175871036769228047358678728*a^25 - 39361251771117294806077253772510935145/190464294096175871036769228047358678728*a^23 - 59853549823964304167271614987235813/790308274257991166127673145424724808*a^21 + 3219125190743403549407993980436057613/95232147048087935518384614023679339364*a^19 + 7680545230823462716762344296445445269/47616073524043967759192307011839669682*a^17 + 2505286755342207888832040408823481949/23808036762021983879596153505919834841*a^15 + 18670488324485711289587245478539939469/47616073524043967759192307011839669682*a^13 - 1409430317026641595902145617367705555/47616073524043967759192307011839669682*a^11 + 2022860239520441059331771826177264081/190464294096175871036769228047358678728*a^9 - 66961405942924845060844912800926535/135176929805660660778402574909409992*a^7 + 68082084537433385004465934399368879023/190464294096175871036769228047358678728*a^5 - 11320708239066942685475853954834872113/190464294096175871036769228047358678728*a^3 + 30780413146575889301252993814540343119/95232147048087935518384614023679339364*a

sage: K.integral_basis()

gp: K.zk

magma: IntegralBasis(K);

oscar: basis(OK)

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

$C_{341}$, which has order $341$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()

gp: K.clgp

magma: ClassGroup(K);

oscar: class_group(K)

Unit group

sage: UK = K.unit_group()

magma: UK, fUK := UnitGroup(K);

oscar: UK, fUK = unit_group(OK)

Rank:	$19$	sage: UK.rank() gp: K.fu magma: UnitRank(K); oscar: rank(UK)
Torsion generator:	\( -\frac{27316684355959916833092637517528873027}{190464294096175871036769228047358678728} a^{39} + \frac{184786157913599474017454827572781642377}{47616073524043967759192307011839669682} a^{37} - \frac{184925026152781696588747275062874615211}{2842750658151878672190585493244159384} a^{35} + \frac{64647315661418559540151101414199990632063}{95232147048087935518384614023679339364} a^{33} - \frac{980239929196757703403305316205883316441685}{190464294096175871036769228047358678728} a^{31} + \frac{2622156757649396795370564131466026052406637}{95232147048087935518384614023679339364} a^{29} - \frac{21018603182167478807582811611463321395513007}{190464294096175871036769228047358678728} a^{27} + \frac{30670925038352686297381961920571351569550571}{95232147048087935518384614023679339364} a^{25} - \frac{136480382534396773319898606663283980600718213}{190464294096175871036769228047358678728} a^{23} + \frac{238881564242539777515945593236944320144517}{197577068564497791531918286356181202} a^{21} - \frac{301686455636751478653712570025779821008056249}{190464294096175871036769228047358678728} a^{19} + \frac{75581490226939698786760573599790549057375565}{47616073524043967759192307011839669682} a^{17} - \frac{58446617004531023945757994856826333473082225}{47616073524043967759192307011839669682} a^{15} + \frac{33740394388690060158903629494688515166346657}{47616073524043967759192307011839669682} a^{13} - \frac{14612998976656374992952461211789402745508809}{47616073524043967759192307011839669682} a^{11} + \frac{17877224119426929500843934407316000783482505}{190464294096175871036769228047358678728} a^{9} - \frac{494799451533960849617512891601807511701572}{23808036762021983879596153505919834841} a^{7} + \frac{576125839469863601959393448442508266697507}{190464294096175871036769228047358678728} a^{5} - \frac{6542627175778891895214920494175257391033}{23808036762021983879596153505919834841} a^{3} + \frac{1518659142800836072755025387903128043839}{190464294096175871036769228047358678728} a \) -(27316684355959916833092637517528873027)/(190464294096175871036769228047358678728)a^(39) + (184786157913599474017454827572781642377)/(47616073524043967759192307011839669682)a^(37) - (184925026152781696588747275062874615211)/(2842750658151878672190585493244159384)a^(35) + (64647315661418559540151101414199990632063)/(95232147048087935518384614023679339364)a^(33) - (980239929196757703403305316205883316441685)/(190464294096175871036769228047358678728)a^(31) + (2622156757649396795370564131466026052406637)/(95232147048087935518384614023679339364)a^(29) - (21018603182167478807582811611463321395513007)/(190464294096175871036769228047358678728)a^(27) + (30670925038352686297381961920571351569550571)/(95232147048087935518384614023679339364)a^(25) - (136480382534396773319898606663283980600718213)/(190464294096175871036769228047358678728)a^(23) + (238881564242539777515945593236944320144517)/(197577068564497791531918286356181202)a^(21) - (301686455636751478653712570025779821008056249)/(190464294096175871036769228047358678728)a^(19) + (75581490226939698786760573599790549057375565)/(47616073524043967759192307011839669682)a^(17) - (58446617004531023945757994856826333473082225)/(47616073524043967759192307011839669682)a^(15) + (33740394388690060158903629494688515166346657)/(47616073524043967759192307011839669682)a^(13) - (14612998976656374992952461211789402745508809)/(47616073524043967759192307011839669682)a^(11) + (17877224119426929500843934407316000783482505)/(190464294096175871036769228047358678728)a^(9) - (494799451533960849617512891601807511701572)/(23808036762021983879596153505919834841)a^(7) + (576125839469863601959393448442508266697507)/(190464294096175871036769228047358678728)a^(5) - (6542627175778891895214920494175257391033)/(23808036762021983879596153505919834841)a^(3) + (1518659142800836072755025387903128043839)/(190464294096175871036769228047358678728)a (order $12$)	sage: UK.torsion_generator() gp: K.tu[2] magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K); oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:	$\frac{86\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!41}a^{38}-\frac{23\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!41}a^{36}+\frac{76\!\cdots\!43}{47\!\cdots\!82}a^{34}-\frac{79\!\cdots\!39}{47\!\cdots\!82}a^{32}+\frac{11\!\cdots\!43}{95\!\cdots\!64}a^{30}-\frac{15\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!41}a^{28}+\frac{60\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!41}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!45}{14\!\cdots\!22}a^{24}+\frac{72\!\cdots\!37}{47\!\cdots\!82}a^{22}-\frac{47\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!02}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!99}{95\!\cdots\!64}a^{18}-\frac{61\!\cdots\!47}{23\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{40\!\cdots\!74}{23\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{49\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!41}{47\!\cdots\!82}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!71}{47\!\cdots\!82}a^{2}+\frac{81\!\cdots\!43}{95\!\cdots\!64}$, $\frac{87\!\cdots\!11}{19\!\cdots\!28}a^{38}-\frac{11\!\cdots\!27}{95\!\cdots\!64}a^{36}+\frac{19\!\cdots\!93}{95\!\cdots\!64}a^{34}-\frac{49\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!41}a^{32}+\frac{14\!\cdots\!33}{95\!\cdots\!64}a^{30}-\frac{38\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!82}a^{28}+\frac{60\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!28}a^{26}-\frac{85\!\cdots\!17}{95\!\cdots\!64}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!45}{95\!\cdots\!64}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!51}{39\!\cdots\!04}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!15}{95\!\cdots\!64}a^{18}-\frac{82\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!99}{47\!\cdots\!82}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!87}{23\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{93\!\cdots\!83}{95\!\cdots\!72}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!17}{95\!\cdots\!64}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!23}{95\!\cdots\!64}a^{4}+\frac{32\!\cdots\!27}{95\!\cdots\!64}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!73}{95\!\cdots\!64}$, $\frac{62\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!41}a^{38}-\frac{16\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!41}a^{36}+\frac{28\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!41}a^{34}-\frac{29\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!41}a^{32}+\frac{22\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!41}a^{30}-\frac{11\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!41}a^{28}+\frac{47\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!41}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!41}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!41}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!92}{98\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{48\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!49}a^{18}-\frac{66\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{48\!\cdots\!47}{23\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{43\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!41}$, $\frac{63\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!41}a^{38}-\frac{13\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!28}a^{36}+\frac{55\!\cdots\!01}{47\!\cdots\!82}a^{34}-\frac{22\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!28}a^{32}+\frac{16\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!28}a^{30}-\frac{10\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!41}a^{28}+\frac{16\!\cdots\!89}{95\!\cdots\!64}a^{26}-\frac{91\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!28}a^{24}+\frac{47\!\cdots\!59}{47\!\cdots\!82}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!69}{79\!\cdots\!08}a^{20}+\frac{33\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!28}a^{18}-\frac{35\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{42\!\cdots\!49}{47\!\cdots\!82}a^{14}-\frac{79\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!18}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!35}{19\!\cdots\!28}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!05}{47\!\cdots\!82}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!87}{19\!\cdots\!28}a^{2}+\frac{62\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!28}$, $\frac{15\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!41}a^{38}-\frac{32\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!28}a^{36}+\frac{27\!\cdots\!19}{95\!\cdots\!64}a^{34}-\frac{56\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!28}a^{32}+\frac{21\!\cdots\!83}{95\!\cdots\!64}a^{30}-\frac{55\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!82}a^{28}+\frac{43\!\cdots\!55}{95\!\cdots\!64}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!28}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!27}{95\!\cdots\!64}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!35}{79\!\cdots\!08}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!67}{47\!\cdots\!82}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!39}{47\!\cdots\!82}a^{14}-\frac{91\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!82}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{43\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!18}a^{8}+\frac{72\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!28}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!37}{95\!\cdots\!64}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!28}a^{2}-\frac{81\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!41}$, $\frac{27\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!28}a^{39}-\frac{18\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!82}a^{37}+\frac{18\!\cdots\!11}{28\!\cdots\!84}a^{35}-\frac{64\!\cdots\!63}{95\!\cdots\!64}a^{33}+\frac{98\!\cdots\!85}{19\!\cdots\!28}a^{31}-\frac{26\!\cdots\!37}{95\!\cdots\!64}a^{29}+\frac{21\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!28}a^{27}-\frac{30\!\cdots\!71}{95\!\cdots\!64}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!28}a^{23}-\frac{23\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!02}a^{21}+\frac{30\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!28}a^{19}-\frac{75\!\cdots\!65}{47\!\cdots\!82}a^{17}+\frac{58\!\cdots\!25}{47\!\cdots\!82}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!57}{47\!\cdots\!82}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!82}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!28}a^{9}+\frac{49\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{57\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!28}a^{5}+\frac{65\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!28}a+1$, $\frac{10\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!28}a^{38}-\frac{25\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!28}a^{36}+\frac{41\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!28}a^{34}-\frac{20\!\cdots\!17}{95\!\cdots\!64}a^{32}+\frac{29\!\cdots\!63}{19\!\cdots\!28}a^{30}-\frac{70\!\cdots\!29}{95\!\cdots\!64}a^{28}+\frac{49\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!28}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!28}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!28}a^{22}-\frac{73\!\cdots\!99}{98\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{60\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!28}a^{18}+\frac{97\!\cdots\!99}{47\!\cdots\!82}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!57}{47\!\cdots\!82}a^{14}+\frac{74\!\cdots\!12}{23\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{94\!\cdots\!47}{47\!\cdots\!82}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!28}a^{8}-\frac{47\!\cdots\!25}{19\!\cdots\!28}a^{6}+\frac{86\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!28}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!91}{47\!\cdots\!82}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!28}$, $\frac{12\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!41}a^{38}-\frac{67\!\cdots\!43}{47\!\cdots\!82}a^{36}+\frac{22\!\cdots\!39}{95\!\cdots\!64}a^{34}-\frac{23\!\cdots\!23}{95\!\cdots\!64}a^{32}+\frac{35\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!28}a^{30}-\frac{47\!\cdots\!31}{47\!\cdots\!82}a^{28}+\frac{18\!\cdots\!79}{47\!\cdots\!82}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!87}{95\!\cdots\!64}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!03}{95\!\cdots\!64}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!11}{39\!\cdots\!04}a^{20}+\frac{73\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!92}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{94\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!82}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{93\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!01}{95\!\cdots\!64}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!77}{95\!\cdots\!64}a^{2}+\frac{43\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!28}$, $\frac{13\!\cdots\!54}{23\!\cdots\!41}a^{38}-\frac{14\!\cdots\!73}{95\!\cdots\!64}a^{36}+\frac{47\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!28}a^{34}-\frac{49\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!28}a^{32}+\frac{37\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!28}a^{30}-\frac{98\!\cdots\!49}{95\!\cdots\!64}a^{28}+\frac{39\!\cdots\!29}{95\!\cdots\!64}a^{26}-\frac{56\!\cdots\!25}{47\!\cdots\!82}a^{24}+\frac{49\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!28}a^{22}-\frac{33\!\cdots\!53}{79\!\cdots\!08}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!53}{19\!\cdots\!28}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!51}{47\!\cdots\!82}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!07}{47\!\cdots\!82}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!19}{47\!\cdots\!82}a^{12}+\frac{40\!\cdots\!03}{47\!\cdots\!82}a^{10}-\frac{53\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!18}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!85}{95\!\cdots\!64}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!28}a^{4}+\frac{88\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!28}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!28}$, $\frac{21\!\cdots\!25}{23\!\cdots\!41}a^{38}-\frac{45\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!28}a^{36}+\frac{95\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!41}a^{34}-\frac{79\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!28}a^{32}+\frac{59\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!28}a^{30}-\frac{39\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!41}a^{28}+\frac{63\!\cdots\!17}{95\!\cdots\!64}a^{26}-\frac{36\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!28}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!41}a^{22}-\frac{55\!\cdots\!97}{79\!\cdots\!08}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!95}{19\!\cdots\!28}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!29}{47\!\cdots\!82}a^{14}-\frac{87\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!79}{47\!\cdots\!82}a^{8}+\frac{87\!\cdots\!19}{95\!\cdots\!72}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!28}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!28}$, $\frac{37\!\cdots\!45}{95\!\cdots\!64}a^{39}+\frac{44\!\cdots\!15}{95\!\cdots\!64}a^{38}-\frac{10\!\cdots\!47}{95\!\cdots\!64}a^{37}-\frac{11\!\cdots\!89}{95\!\cdots\!64}a^{36}+\frac{24\!\cdots\!45}{14\!\cdots\!92}a^{35}+\frac{39\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!28}a^{34}-\frac{34\!\cdots\!85}{19\!\cdots\!28}a^{33}-\frac{51\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!41}a^{32}+\frac{26\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!28}a^{31}+\frac{17\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!76}a^{30}-\frac{34\!\cdots\!25}{47\!\cdots\!82}a^{29}-\frac{80\!\cdots\!39}{95\!\cdots\!64}a^{28}+\frac{13\!\cdots\!75}{47\!\cdots\!82}a^{27}+\frac{31\!\cdots\!59}{95\!\cdots\!64}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!41}a^{25}-\frac{88\!\cdots\!67}{95\!\cdots\!64}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!75}{95\!\cdots\!64}a^{23}+\frac{38\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!28}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!65}{79\!\cdots\!08}a^{21}-\frac{63\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!02}a^{20}+\frac{53\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!92}a^{19}+\frac{38\!\cdots\!17}{95\!\cdots\!64}a^{18}-\frac{90\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!82}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!65}{47\!\cdots\!82}a^{15}+\frac{63\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{73\!\cdots\!91}{47\!\cdots\!82}a^{13}-\frac{33\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!41}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!82}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!85}{95\!\cdots\!64}a^{9}-\frac{72\!\cdots\!03}{47\!\cdots\!36}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!07}{95\!\cdots\!64}a^{7}+\frac{35\!\cdots\!79}{95\!\cdots\!64}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!65}{95\!\cdots\!64}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!28}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!28}a^{3}+\frac{33\!\cdots\!19}{47\!\cdots\!82}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!28}a+\frac{12\!\cdots\!45}{95\!\cdots\!64}$, $\frac{98\!\cdots\!55}{47\!\cdots\!82}a^{39}+\frac{67\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!41}a^{38}-\frac{53\!\cdots\!17}{95\!\cdots\!64}a^{37}-\frac{14\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!28}a^{36}+\frac{67\!\cdots\!69}{71\!\cdots\!46}a^{35}+\frac{11\!\cdots\!57}{95\!\cdots\!64}a^{34}-\frac{19\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!28}a^{33}-\frac{24\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!28}a^{32}+\frac{14\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!28}a^{31}+\frac{22\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!41}a^{30}-\frac{97\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!41}a^{29}-\frac{24\!\cdots\!23}{47\!\cdots\!82}a^{28}+\frac{15\!\cdots\!29}{95\!\cdots\!64}a^{27}+\frac{18\!\cdots\!35}{95\!\cdots\!64}a^{26}-\frac{23\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!82}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!95}{19\!\cdots\!28}a^{24}+\frac{53\!\cdots\!99}{47\!\cdots\!82}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!61}{95\!\cdots\!64}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!87}{79\!\cdots\!08}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!47}{79\!\cdots\!08}a^{20}+\frac{49\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!28}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!87}{95\!\cdots\!64}a^{18}-\frac{63\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{46\!\cdots\!52}{23\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!21}{47\!\cdots\!82}a^{15}+\frac{59\!\cdots\!51}{47\!\cdots\!82}a^{14}-\frac{60\!\cdots\!31}{47\!\cdots\!82}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!25}{47\!\cdots\!82}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!41}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{43\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!47}{23\!\cdots\!18}a^{8}+\frac{38\!\cdots\!17}{95\!\cdots\!64}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!28}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!79}{47\!\cdots\!82}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!17}{95\!\cdots\!64}a^{4}+\frac{91\!\cdots\!85}{19\!\cdots\!28}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!28}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!63}{19\!\cdots\!28}a+\frac{84\!\cdots\!69}{95\!\cdots\!64}$, $\frac{21\!\cdots\!87}{47\!\cdots\!82}a^{39}-\frac{43\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!82}a^{38}-\frac{23\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!28}a^{37}+\frac{23\!\cdots\!79}{95\!\cdots\!64}a^{36}+\frac{59\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!84}a^{35}-\frac{39\!\cdots\!77}{95\!\cdots\!64}a^{34}-\frac{20\!\cdots\!33}{95\!\cdots\!64}a^{33}+\frac{81\!\cdots\!37}{19\!\cdots\!28}a^{32}+\frac{31\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!28}a^{31}-\frac{30\!\cdots\!89}{95\!\cdots\!64}a^{30}-\frac{84\!\cdots\!29}{95\!\cdots\!64}a^{29}+\frac{81\!\cdots\!13}{47\!\cdots\!82}a^{28}+\frac{84\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!41}a^{27}-\frac{65\!\cdots\!03}{95\!\cdots\!64}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!28}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!13}{95\!\cdots\!64}a^{24}+\frac{44\!\cdots\!85}{19\!\cdots\!28}a^{23}-\frac{41\!\cdots\!65}{95\!\cdots\!64}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!05}{39\!\cdots\!04}a^{21}+\frac{57\!\cdots\!81}{79\!\cdots\!08}a^{20}+\frac{99\!\cdots\!11}{19\!\cdots\!28}a^{19}-\frac{88\!\cdots\!15}{95\!\cdots\!64}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!87}{47\!\cdots\!82}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{97\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!07}{47\!\cdots\!82}a^{14}-\frac{57\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{89\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{50\!\cdots\!31}{47\!\cdots\!82}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!79}{47\!\cdots\!82}a^{9}+\frac{50\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!28}a^{7}-\frac{81\!\cdots\!09}{95\!\cdots\!64}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!28}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!07}{95\!\cdots\!64}a^{4}+\frac{95\!\cdots\!75}{95\!\cdots\!64}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!51}{19\!\cdots\!28}a^{2}-\frac{55\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!28}a+\frac{43\!\cdots\!41}{95\!\cdots\!64}$, $\frac{10\!\cdots\!41}{71\!\cdots\!11}a^{39}+\frac{34\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!41}a^{38}-\frac{90\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!41}a^{37}-\frac{93\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!41}a^{36}+\frac{45\!\cdots\!09}{71\!\cdots\!46}a^{35}+\frac{15\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!41}a^{34}-\frac{31\!\cdots\!11}{47\!\cdots\!82}a^{33}-\frac{16\!\cdots\!30}{23\!\cdots\!41}a^{32}+\frac{23\!\cdots\!75}{47\!\cdots\!82}a^{31}+\frac{12\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!41}a^{30}-\frac{61\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!41}a^{29}-\frac{66\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!41}a^{28}+\frac{24\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!41}a^{27}+\frac{26\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!41}a^{26}-\frac{67\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!41}a^{25}-\frac{77\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!41}a^{24}+\frac{28\!\cdots\!51}{47\!\cdots\!82}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!41}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!02}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!44}{98\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{56\!\cdots\!07}{47\!\cdots\!82}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!85}{16\!\cdots\!49}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!64}{23\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{37\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{28\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{71\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!41}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!41}a^{11}+\frac{63\!\cdots\!52}{23\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{85\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!41}a^{9}-\frac{83\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{27\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!51}{47\!\cdots\!82}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!89}{47\!\cdots\!82}a^{3}+\frac{80\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{79\!\cdots\!71}{47\!\cdots\!82}a+\frac{39\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!41}$, $\frac{18\!\cdots\!53}{95\!\cdots\!64}a^{39}+\frac{31\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!41}a^{38}-\frac{12\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!41}a^{37}-\frac{21\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!82}a^{36}+\frac{83\!\cdots\!31}{95\!\cdots\!64}a^{35}+\frac{12\!\cdots\!93}{14\!\cdots\!92}a^{34}-\frac{43\!\cdots\!89}{47\!\cdots\!82}a^{33}-\frac{10\!\cdots\!55}{95\!\cdots\!64}a^{32}+\frac{65\!\cdots\!15}{95\!\cdots\!64}a^{31}+\frac{17\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!28}a^{30}-\frac{17\!\cdots\!95}{47\!\cdots\!82}a^{29}-\frac{28\!\cdots\!43}{47\!\cdots\!82}a^{28}+\frac{13\!\cdots\!61}{95\!\cdots\!64}a^{27}+\frac{13\!\cdots\!47}{47\!\cdots\!82}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!82}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!63}{95\!\cdots\!64}a^{24}+\frac{88\!\cdots\!63}{95\!\cdots\!64}a^{23}+\frac{27\!\cdots\!35}{95\!\cdots\!64}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!51}{98\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{23\!\cdots\!71}{39\!\cdots\!04}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!91}{95\!\cdots\!64}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!53}{19\!\cdots\!28}a^{18}-\frac{47\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{28\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!54}{23\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!41}a^{13}-\frac{39\!\cdots\!79}{47\!\cdots\!82}a^{12}+\frac{87\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!41}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{52\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!36}a^{9}-\frac{42\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{57\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{31\!\cdots\!81}{95\!\cdots\!64}a^{5}-\frac{74\!\cdots\!29}{95\!\cdots\!64}a^{4}+\frac{67\!\cdots\!64}{23\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{72\!\cdots\!37}{95\!\cdots\!64}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!27}{95\!\cdots\!64}a-\frac{23\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!28}$, $\frac{28\!\cdots\!17}{95\!\cdots\!64}a^{39}+\frac{47\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!28}a^{38}-\frac{15\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!28}a^{37}-\frac{12\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!28}a^{36}+\frac{64\!\cdots\!07}{47\!\cdots\!82}a^{35}+\frac{20\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!28}a^{34}-\frac{26\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!28}a^{33}-\frac{25\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!41}a^{32}+\frac{50\!\cdots\!59}{47\!\cdots\!82}a^{31}+\frac{18\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!41}a^{30}-\frac{13\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!41}a^{29}-\frac{37\!\cdots\!83}{95\!\cdots\!64}a^{28}+\frac{53\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!41}a^{27}+\frac{28\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!28}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!28}a^{25}-\frac{73\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!28}a^{24}+\frac{69\!\cdots\!83}{47\!\cdots\!82}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!28}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!75}{79\!\cdots\!08}a^{21}-\frac{39\!\cdots\!39}{39\!\cdots\!04}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!57}{95\!\cdots\!64}a^{19}+\frac{89\!\cdots\!21}{95\!\cdots\!64}a^{18}-\frac{75\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!15}{47\!\cdots\!82}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!57}{47\!\cdots\!82}a^{15}-\frac{35\!\cdots\!91}{47\!\cdots\!82}a^{14}-\frac{64\!\cdots\!59}{47\!\cdots\!82}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!13}{47\!\cdots\!82}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!49}{47\!\cdots\!82}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!73}{95\!\cdots\!64}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!28}a^{8}+\frac{66\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!28}a^{7}-\frac{79\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!28}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!91}{47\!\cdots\!82}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!28}a^{4}+\frac{65\!\cdots\!45}{19\!\cdots\!28}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!25}{95\!\cdots\!64}a^{2}-\frac{31\!\cdots\!77}{95\!\cdots\!64}a+\frac{95\!\cdots\!47}{95\!\cdots\!64}$, $\frac{20\!\cdots\!99}{95\!\cdots\!64}a^{39}+\frac{77\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!28}a^{38}-\frac{14\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!41}a^{37}-\frac{54\!\cdots\!69}{47\!\cdots\!82}a^{36}+\frac{23\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!41}a^{35}+\frac{18\!\cdots\!51}{95\!\cdots\!64}a^{34}-\frac{14\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!92}a^{33}-\frac{39\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!28}a^{32}+\frac{21\!\cdots\!93}{26\!\cdots\!69}a^{31}+\frac{30\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!28}a^{30}-\frac{10\!\cdots\!47}{23\!\cdots\!41}a^{29}-\frac{42\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!82}a^{28}+\frac{41\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!12}a^{27}+\frac{71\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!28}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!41}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!99}{95\!\cdots\!64}a^{24}+\frac{27\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!41}a^{23}+\frac{26\!\cdots\!91}{95\!\cdots\!64}a^{22}-\frac{76\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!04}a^{21}-\frac{39\!\cdots\!03}{79\!\cdots\!08}a^{20}+\frac{61\!\cdots\!87}{23\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!28}a^{18}-\frac{62\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{48\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!25}{23\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!41}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!95}{47\!\cdots\!82}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!41}a^{11}+\frac{44\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!21}{95\!\cdots\!64}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!28}a^{8}+\frac{65\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{78\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!21}{95\!\cdots\!64}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!79}{95\!\cdots\!64}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!28}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!41}a-\frac{24\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!28}$, $\frac{24\!\cdots\!01}{95\!\cdots\!64}a^{39}-\frac{11\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!41}a^{38}-\frac{32\!\cdots\!41}{47\!\cdots\!82}a^{37}+\frac{59\!\cdots\!55}{47\!\cdots\!82}a^{36}+\frac{21\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!28}a^{35}-\frac{19\!\cdots\!87}{95\!\cdots\!64}a^{34}-\frac{22\!\cdots\!87}{19\!\cdots\!28}a^{33}+\frac{20\!\cdots\!19}{95\!\cdots\!64}a^{32}+\frac{17\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!28}a^{31}-\frac{31\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!28}a^{30}-\frac{45\!\cdots\!91}{95\!\cdots\!64}a^{29}+\frac{41\!\cdots\!19}{47\!\cdots\!82}a^{28}+\frac{45\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!41}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!81}{47\!\cdots\!82}a^{26}-\frac{52\!\cdots\!33}{95\!\cdots\!64}a^{25}+\frac{95\!\cdots\!67}{95\!\cdots\!64}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!87}{19\!\cdots\!28}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!67}{95\!\cdots\!64}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!19}{79\!\cdots\!08}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!67}{39\!\cdots\!04}a^{20}+\frac{48\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!28}a^{19}-\frac{63\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!92}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!07}{47\!\cdots\!82}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{89\!\cdots\!91}{47\!\cdots\!82}a^{15}-\frac{81\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{48\!\cdots\!15}{47\!\cdots\!82}a^{13}+\frac{88\!\cdots\!59}{47\!\cdots\!82}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!79}{47\!\cdots\!82}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{54\!\cdots\!39}{47\!\cdots\!36}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{53\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{81\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{51\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!28}a^{5}+\frac{30\!\cdots\!05}{95\!\cdots\!64}a^{4}+\frac{43\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!28}a^{3}-\frac{88\!\cdots\!13}{95\!\cdots\!64}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!28}a+\frac{24\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!28}$, $\frac{44\!\cdots\!73}{47\!\cdots\!82}a^{39}-\frac{11\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!41}a^{38}-\frac{47\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!28}a^{37}+\frac{61\!\cdots\!63}{47\!\cdots\!82}a^{36}+\frac{97\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!41}a^{35}-\frac{20\!\cdots\!69}{95\!\cdots\!64}a^{34}-\frac{10\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!41}a^{33}+\frac{21\!\cdots\!89}{95\!\cdots\!64}a^{32}+\frac{84\!\cdots\!48}{26\!\cdots\!69}a^{31}-\frac{31\!\cdots\!87}{19\!\cdots\!28}a^{30}-\frac{39\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!41}a^{29}+\frac{41\!\cdots\!23}{47\!\cdots\!82}a^{28}+\frac{31\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!82}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!31}{47\!\cdots\!82}a^{26}-\frac{35\!\cdots\!45}{19\!\cdots\!28}a^{25}+\frac{93\!\cdots\!13}{95\!\cdots\!64}a^{24}+\frac{94\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!41}a^{23}-\frac{29\!\cdots\!91}{14\!\cdots\!92}a^{22}-\frac{63\!\cdots\!85}{98\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!29}{39\!\cdots\!04}a^{20}+\frac{75\!\cdots\!61}{95\!\cdots\!64}a^{19}-\frac{80\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!28}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{94\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{67\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!82}a^{13}+\frac{69\!\cdots\!57}{47\!\cdots\!82}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!74}{23\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{73\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!18}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!28}a^{7}-\frac{70\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!43}{95\!\cdots\!64}a^{4}+\frac{32\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!91}{95\!\cdots\!64}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!11}{95\!\cdots\!64}a+\frac{50\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!28}$ 867343992323015619511583445073949777/23808036762021983879596153505919834841a^38 - 23138581203648872482326775245560191494/23808036762021983879596153505919834841a^36 + 768969022561812307101408551806505096143/47616073524043967759192307011839669682a^34 - 7912193991701161140486822197614593910039/47616073524043967759192307011839669682a^32 + 118284875849082556636592474104037462017143/95232147048087935518384614023679339364a^30 - 154774043496316390370818153639561360149776/23808036762021983879596153505919834841a^28 + 604823029564326021086596774464476890788818/23808036762021983879596153505919834841a^26 - 10261441532416295298277480850863944757445/143855207021280869363118752301630422a^24 + 7222195130284726586589177232714135227207037/47616073524043967759192307011839669682a^22 - 47467516706086799432401339022272058946431/197577068564497791531918286356181202a^20 + 27713688212372675793541748364130493130778699/95232147048087935518384614023679339364a^18 - 6186233950946673586093173932070304900511247/23808036762021983879596153505919834841a^16 + 4087206164336335136788329987336104196168074/23808036762021983879596153505919834841a^14 - 1794017571561106971372382280416868737586953/23808036762021983879596153505919834841a^12 + 495281801397641775227170218305118125302405/23808036762021983879596153505919834841a^10 - 25839460640722804039527182518241079930223/23808036762021983879596153505919834841a^8 - 16725384260935482478634770405384321223481/23808036762021983879596153505919834841a^6 + 12765436382936954272208993645961351550241/47616073524043967759192307011839669682a^4 - 1346652149231864644159321039236970109771/47616073524043967759192307011839669682a^2 + 81271947821773696517560962588879121643/95232147048087935518384614023679339364, 8718826157228020090761979485243702111/190464294096175871036769228047358678728a^38 - 116298067508591747881036373547635810127/95232147048087935518384614023679339364a^36 + 1932743756039267897551268265520696844193/95232147048087935518384614023679339364a^34 - 4972768279854111065259651959850517480061/23808036762021983879596153505919834841a^32 + 148748524757155061334889411905884471037033/95232147048087935518384614023679339364a^30 - 389575622537017493709299441816609921364477/47616073524043967759192307011839669682a^28 + 6098429296108425367232610063076319358124119/190464294096175871036769228047358678728a^26 - 8584800145480139247288854550591757097294817/95232147048087935518384614023679339364a^24 + 18343641640578245537459107634869952209447845/95232147048087935518384614023679339364a^22 - 121582444983409575969354431735116519049551/395154137128995583063836572712362404a^20 + 36019993531816897847880441073886944890201315/95232147048087935518384614023679339364a^18 - 8259350848609190586383315891072024136000951/23808036762021983879596153505919834841a^16 + 11486833040680517270185397217478528834018299/47616073524043967759192307011839669682a^14 - 2823279950066393373225015262709640895400160/23808036762021983879596153505919834841a^12 + 1024128452614082670438268554550013702543187/23808036762021983879596153505919834841a^10 - 9350279518443611516173605874071063264283/957107005508421462496327779132455672a^8 + 195652137730682975608302843693174698827617/95232147048087935518384614023679339364a^6 - 23308196846639414273227644070364191793523/95232147048087935518384614023679339364a^4 + 3254314267794137287003254840081956073627/95232147048087935518384614023679339364a^2 - 16628070011138978743377534438774374073/95232147048087935518384614023679339364, 620140093790105574484112816224196889/23808036762021983879596153505919834841a^38 - 16797600760730363317377102677649339685/23808036762021983879596153505919834841a^36 + 281700285640891227255788519339420959713/23808036762021983879596153505919834841a^34 - 2941822614717004374103428191889448750586/23808036762021983879596153505919834841a^32 + 22313346697228249973202871680833273126946/23808036762021983879596153505919834841a^30 - 119446990015678343124775786085098366419178/23808036762021983879596153505919834841a^28 + 478735707269014622483494685790997935491661/23808036762021983879596153505919834841a^26 - 1396611655155930372968073306989450492912575/23808036762021983879596153505919834841a^24 + 3100466763904205372371104562561599659390613/23808036762021983879596153505919834841a^22 - 21616402478250885664859699902801979600892/98788534282248895765959143178090601a^20 + 4803611069991336909660287795373759314169/16897116225707582597300321863676249a^18 - 6687905115177081255982110619874613552012484/23808036762021983879596153505919834841a^16 + 5042132051288956493872069554988218565987044/23808036762021983879596153505919834841a^14 - 2786184812975492603812177295477288124664785/23808036762021983879596153505919834841a^12 + 1112219073896723736120677416485660580271604/23808036762021983879596153505919834841a^10 - 1474454985333981979563176237801672064005/119638375688552682812040972391556959a^8 + 48149589333914178181406044248424302339570/23808036762021983879596153505919834841a^6 - 4829915157554372459327351723263621348547/23808036762021983879596153505919834841a^4 + 141781049978682584583823702333752599256/23808036762021983879596153505919834841a^2 - 43284535668973089664074201611769565513/23808036762021983879596153505919834841, 637404225893068664869806634340305872/23808036762021983879596153505919834841a^38 - 134851954648470859875052731573710026603/190464294096175871036769228047358678728a^36 + 557267541439312774779246957069858869301/47616073524043967759192307011839669682a^34 - 22739144766296296038236327033534040697041/190464294096175871036769228047358678728a^32 + 168542277791479917630973645409335684840947/190464294096175871036769228047358678728a^30 - 108809650200081959771110884523326394950357/23808036762021983879596153505919834841a^28 + 1675626359923536417485662159606700740932489/95232147048087935518384614023679339364a^26 - 9193505509307185588150721008083342964568209/190464294096175871036769228047358678728a^24 + 4761735528959660367596252206440141074750559/47616073524043967759192307011839669682a^22 - 120647202353165671496759582055403160115269/790308274257991166127673145424724808a^20 + 33725182704297001449302362394785996764489717/190464294096175871036769228047358678728a^18 - 3521917137537044712901126923550382475954898/23808036762021983879596153505919834841a^16 + 4277522662435881258201074785230644757225249/47616073524043967759192307011839669682a^14 - 790874787112838582572980431742986582074562/23808036762021983879596153505919834841a^12 + 169854478553010666268882134689681580906042/23808036762021983879596153505919834841a^10 + 162950509307478109310126949446419836175/239276751377105365624081944783113918a^8 - 23816898263045059964154906908540680251435/190464294096175871036769228047358678728a^6 + 1819973139224507877176925073522685176605/47616073524043967759192307011839669682a^4 + 1686139265381462540175628211107769172987/190464294096175871036769228047358678728a^2 + 6232244133512157395735352828241568969/190464294096175871036769228047358678728, 1536466825345175982565897647625999038/23808036762021983879596153505919834841a^38 - 328702769244022426252324736429824179391/190464294096175871036769228047358678728a^36 + 2735384848680805640071581300488421154419/95232147048087935518384614023679339364a^34 - 56438881389509529422009279612124730308107/190464294096175871036769228047358678728a^32 + 211539653534572136034777323788662397326183/95232147048087935518384614023679339364a^30 - 556124608163255458206891300252772991981009/47616073524043967759192307011839669682a^28 + 4371769951374150167941737833678395597653855/95232147048087935518384614023679339364a^26 - 24782730938028188678058242624009962704190115/190464294096175871036769228047358678728a^24 + 26685238498725714414965972871881227331871327/95232147048087935518384614023679339364a^22 - 357647122041608034189700658164982256428535/790308274257991166127673145424724808a^20 + 26844979326843195101613844805269243310106267/47616073524043967759192307011839669682a^18 - 12553922692821769615274038418685978299494420/23808036762021983879596153505919834841a^16 + 17900315156652326159505412237021252044969939/47616073524043967759192307011839669682a^14 - 9165506498311684186130268452257595247049109/47616073524043967759192307011839669682a^12 + 1744996452890917157013882965705837272774728/23808036762021983879596153505919834841a^10 - 4360874050836540946774999746890145495645/239276751377105365624081944783113918a^8 + 729381145956982946453380774954311498300021/190464294096175871036769228047358678728a^6 - 45014440357187167199596868846397389939437/95232147048087935518384614023679339364a^4 + 10757134150623794018731057658198803496577/190464294096175871036769228047358678728a^2 - 8120017464097664629191528567147453789/23808036762021983879596153505919834841, 27316684355959916833092637517528873027/190464294096175871036769228047358678728a^39 - 184786157913599474017454827572781642377/47616073524043967759192307011839669682a^37 + 184925026152781696588747275062874615211/2842750658151878672190585493244159384a^35 - 64647315661418559540151101414199990632063/95232147048087935518384614023679339364a^33 + 980239929196757703403305316205883316441685/190464294096175871036769228047358678728a^31 - 2622156757649396795370564131466026052406637/95232147048087935518384614023679339364a^29 + 21018603182167478807582811611463321395513007/190464294096175871036769228047358678728a^27 - 30670925038352686297381961920571351569550571/95232147048087935518384614023679339364a^25 + 136480382534396773319898606663283980600718213/190464294096175871036769228047358678728a^23 - 238881564242539777515945593236944320144517/197577068564497791531918286356181202a^21 + 301686455636751478653712570025779821008056249/190464294096175871036769228047358678728a^19 - 75581490226939698786760573599790549057375565/47616073524043967759192307011839669682a^17 + 58446617004531023945757994856826333473082225/47616073524043967759192307011839669682a^15 - 33740394388690060158903629494688515166346657/47616073524043967759192307011839669682a^13 + 14612998976656374992952461211789402745508809/47616073524043967759192307011839669682a^11 - 17877224119426929500843934407316000783482505/190464294096175871036769228047358678728a^9 + 494799451533960849617512891601807511701572/23808036762021983879596153505919834841a^7 - 576125839469863601959393448442508266697507/190464294096175871036769228047358678728a^5 + 6542627175778891895214920494175257391033/23808036762021983879596153505919834841a^3 - 1518659142800836072755025387903128043839/190464294096175871036769228047358678728a + 1, 1007526193444825744854659642545065415/190464294096175871036769228047358678728a^38 - 25774317811741467877349921380750040801/190464294096175871036769228047358678728a^36 + 416880030262729950332284679527549436149/190464294096175871036769228047358678728a^34 - 2049093183672376872214408936587841351617/95232147048087935518384614023679339364a^32 + 29182800825391351312029638504353270933563/190464294096175871036769228047358678728a^30 - 70388011669734874519237608840413547039629/95232147048087935518384614023679339364a^28 + 495213539619420705902843983870726264912555/190464294096175871036769228047358678728a^26 - 1147919911094355591752553713178460967407303/190464294096175871036769228047358678728a^24 + 1814712558368781898974766319872656588000817/190464294096175871036769228047358678728a^22 - 736061462140145533771323074932937546599/98788534282248895765959143178090601a^20 - 609977424025316926965735388566836443164919/190464294096175871036769228047358678728a^18 + 977244030653830068618385781464890208912399/47616073524043967759192307011839669682a^16 - 1508293255720711649153061164403805733021657/47616073524043967759192307011839669682a^14 + 740656600186363767988830148090051113160212/23808036762021983879596153505919834841a^12 - 943256372713186209241895663550644723166247/47616073524043967759192307011839669682a^10 + 1698026350511510228890997792779719222833571/190464294096175871036769228047358678728a^8 - 472706607163709551334658541551235876343625/190464294096175871036769228047358678728a^6 + 86916868952038259744953936406871110597017/190464294096175871036769228047358678728a^4 - 2049662160036084412675444956817268587991/47616073524043967759192307011839669682a^2 + 241248912450832645056270614674689739349/190464294096175871036769228047358678728, 1252000561479838779956143043144139046/23808036762021983879596153505919834841a^38 - 67567767386695083423170852280808214243/47616073524043967759192307011839669682a^36 + 2261254293595113801802038311720095238039/95232147048087935518384614023679339364a^34 - 23531218042803873481107289894473133338723/95232147048087935518384614023679339364a^32 + 355773597041267550227452110406383545780505/190464294096175871036769228047358678728a^30 - 473738793965019025626773662253447596040631/47616073524043967759192307011839669682a^28 + 1888681168635672123176163409084076513991279/47616073524043967759192307011839669682a^26 - 10935719969533862267734369734668796947314287/95232147048087935518384614023679339364a^24 + 24092396295806244655908650136549033377803403/95232147048087935518384614023679339364a^22 - 166373718304888788692912626130795005882311/395154137128995583063836572712362404a^20 + 73256665315224437155199721342535413901741/135176929805660660778402574909409992a^18 - 12603698305691113685089499169260527341264993/23808036762021983879596153505919834841a^16 + 9408076580368406606850091183787082615675727/23808036762021983879596153505919834841a^14 - 10270281451400909715550876477404291751133309/47616073524043967759192307011839669682a^12 + 2044643950646664838727359563813124557837427/23808036762021983879596153505919834841a^10 - 2700209503462059587852911364433532644075/119638375688552682812040972391556959a^8 + 93757271468951551773663190782218347046205/23808036762021983879596153505919834841a^6 - 35238383481928550856585334199701988587701/95232147048087935518384614023679339364a^4 + 1034216579380141756550368543346346868977/95232147048087935518384614023679339364a^2 + 437522627753153145063451442305569136957/190464294096175871036769228047358678728, 1325250385743111129159614190530840254/23808036762021983879596153505919834841a^38 - 142635521231111705196782159996868980273/95232147048087935518384614023679339364a^36 + 4765485981313949644079228973313520108301/190464294096175871036769228047358678728a^34 - 49457286256839601397402086296584463802161/190464294096175871036769228047358678728a^32 + 372909156165201266178482918674623499660505/190464294096175871036769228047358678728a^30 - 989198303787248272163500192144608159550549/95232147048087935518384614023679339364a^28 + 3926910996878243013561835101605258669731929/95232147048087935518384614023679339364a^26 - 5648888289314420514600445901011806570064025/47616073524043967759192307011839669682a^24 + 49457006232325502431344886454640918665516001/190464294096175871036769228047358678728a^22 - 338703637742264701912952759162998704405853/790308274257991166127673145424724808a^20 + 104175815798079000964067075517520985419717753/190464294096175871036769228047358678728a^18 - 25173274871411943695190182190846922764358651/47616073524043967759192307011839669682a^16 + 18612317121304593439646016081607782854259507/47616073524043967759192307011839669682a^14 - 10051259580354281029568529869611862324876319/47616073524043967759192307011839669682a^12 + 4006897572617362829246895843470547667942503/47616073524043967759192307011839669682a^10 - 5384814058782376212477751311348220283667/239276751377105365624081944783113918a^8 + 419458578150742078505202727755173969236285/95232147048087935518384614023679339364a^6 - 103531893504795209291093410639873481123103/190464294096175871036769228047358678728a^4 + 8873587257737148309788287382889662239891/190464294096175871036769228047358678728a^2 - 253628276875687694272942141717400077943/190464294096175871036769228047358678728, 2114153262048644826225521513733748025/23808036762021983879596153505919834841a^38 - 455683319125467272308864811062638200227/190464294096175871036769228047358678728a^36 + 952325294863097714867550149880818133405/23808036762021983879596153505919834841a^34 - 79173559485666303005807568475570252668229/190464294096175871036769228047358678728a^32 + 597800053771837016355872718539771337281577/190464294096175871036769228047358678728a^30 - 397294392448552764663068052493589659769144/23808036762021983879596153505919834841a^28 + 6325000956581930121741648984082173548194717/95232147048087935518384614023679339364a^26 - 36538815840491560581486729695382656191444677/190464294096175871036769228047358678728a^24 + 10045973796475319880345898863145623554503110/23808036762021983879596153505919834841a^22 - 554184808177619186917237938809585929128697/790308274257991166127673145424724808a^20 + 171962631624296138709232928930673856856299395/190464294096175871036769228047358678728a^18 - 21043895200581739273534461245997737738910382/23808036762021983879596153505919834841a^16 + 31665111920738928104668846476548381231216029/47616073524043967759192307011839669682a^14 - 8786115761076619060427654789896359430338603/23808036762021983879596153505919834841a^12 + 3638491383234948385691260687591745028718542/23808036762021983879596153505919834841a^10 - 2072348370692234229275757409243635879473179/47616073524043967759192307011839669682a^8 + 8705502561671105024892755106725194755219/957107005508421462496327779132455672a^6 - 27939634170940157372174234671668250199663/23808036762021983879596153505919834841a^4 + 18562951923470790546719258956503618513119/190464294096175871036769228047358678728a^2 - 163463746142877714951696378852106601657/190464294096175871036769228047358678728, 37185047119481222051368674940618555745/95232147048087935518384614023679339364a^39 + 4476805196785615439137956750271683315/95232147048087935518384614023679339364a^38 - 1001821991056637279554345615488936673347/95232147048087935518384614023679339364a^37 - 119485052468408833913032745548255466289/95232147048087935518384614023679339364a^36 + 249974720101424711955662508016560754645/1421375329075939336095292746622079692a^35 + 3972941589441406786437456164493332674899/190464294096175871036769228047358678728a^34 - 348060823842239612342470302045726770020185/190464294096175871036769228047358678728a^33 - 5114177920867140183649112120737937873740/23808036762021983879596153505919834841a^32 + 2627513360232098993461614773054416360101449/190464294096175871036769228047358678728a^31 + 1720196459181609109306661036468665894419/1070024124135819500206568696895273476a^30 - 3491284752451776815052652133894702279350725/47616073524043967759192307011839669682a^29 - 802953802092500572168988424592999699439039/95232147048087935518384614023679339364a^28 + 13887402884835762558220988362403044881807975/47616073524043967759192307011839669682a^27 + 3148173588310104387912347842746353750698659/95232147048087935518384614023679339364a^26 - 20036232576631968187442046291423697353171327/23808036762021983879596153505919834841a^25 - 8890938285039036171924398440655255072870967/95232147048087935518384614023679339364a^24 + 175976292388991930125576044239933587326980875/95232147048087935518384614023679339364a^23 + 38175249469796999461277461281520928883714327/190464294096175871036769228047358678728a^22 - 2420187638532622379620073351916439839751065/790308274257991166127673145424724808a^21 - 63727262183335144869543166952792190212691/197577068564497791531918286356181202a^20 + 530585507168862640968537778270311135858001/135176929805660660778402574909409992a^19 + 38193127712079007282047099956345588027729217/95232147048087935518384614023679339364a^18 - 90811072588915113632628560218720561508165085/23808036762021983879596153505919834841a^17 - 17845785401942096562200338587660289821593609/47616073524043967759192307011839669682a^16 + 134948756412873664918103173339353443089157665/47616073524043967759192307011839669682a^15 + 6397347379716530503814826469387205889910365/23808036762021983879596153505919834841a^14 - 73239082933320906737136368680952247697692691/47616073524043967759192307011839669682a^13 - 3324051164449548464857478860724800184889538/23808036762021983879596153505919834841a^12 + 14561525492315890375651378924227612408127310/23808036762021983879596153505919834841a^11 + 2647253100569837878767700553678300104941885/47616073524043967759192307011839669682a^10 - 15279340839427559556833340700812635844141585/95232147048087935518384614023679339364a^9 - 7246058723186192353983586829723153129103/478553502754210731248163889566227836a^8 + 2729139012479628710387548895796026917948707/95232147048087935518384614023679339364a^7 + 355913259981164722274790333541370090550879/95232147048087935518384614023679339364a^6 - 250016085624077326926245305532504395790265/95232147048087935518384614023679339364a^5 - 100379017792823921504224639303628527701641/190464294096175871036769228047358678728a^4 + 14674161895431209177375860047079293087375/190464294096175871036769228047358678728a^3 + 3346560589555306400363086325380556310219/47616073524043967759192307011839669682a^2 + 2744904093878023861674968972182695659905/190464294096175871036769228047358678728a + 122576533840411080316645943837315740845/95232147048087935518384614023679339364, 9872228892335675321546002643228864655/47616073524043967759192307011839669682a^39 + 674145022006582008252809678242282542/23808036762021983879596153505919834841a^38 - 537791278997424627284195192842134540517/95232147048087935518384614023679339364a^37 - 143860756572632981461068999043247688247/190464294096175871036769228047358678728a^36 + 67542480465037706784339124501139265169/710687664537969668047646373311039846a^35 + 1195064808031891606103482327778381331657/95232147048087935518384614023679339364a^34 - 190089859836667270794252308844021904445967/190464294096175871036769228047358678728a^33 - 24587183435108845333297439843031974675703/190464294096175871036769228047358678728a^32 + 1450056051505213765568599258657777698729709/190464294096175871036769228047358678728a^31 + 22965010984181524138402336158283674359265/23808036762021983879596153505919834841a^30 - 978767043011716096382046555954586229361998/23808036762021983879596153505919834841a^29 - 240250913152531461452978507676448134141323/47616073524043967759192307011839669682a^28 + 15852486473313679368271797646343649568984129/95232147048087935518384614023679339364a^27 + 1875835605527840299170503233966886458789635/95232147048087935518384614023679339364a^26 - 23478576552071477451431598237007233267882509/47616073524043967759192307011839669682a^25 - 10516072830894236942076701330295743798643095/190464294096175871036769228047358678728a^24 + 53087002914998261700224910181845852662692799/47616073524043967759192307011839669682a^23 + 11147995283263416008682647790285421634316261/95232147048087935518384614023679339364a^22 - 1517656842640251445052737768472150267078587/790308274257991166127673145424724808a^21 - 145848382027471794290116078357054885002547/790308274257991166127673145424724808a^20 + 490114165466042492031378237173115408621602157/190464294096175871036769228047358678728a^19 + 21121607399647470007084394732010065060873487/95232147048087935518384614023679339364a^18 - 63178564764529873200112928300531113826396640/23808036762021983879596153505919834841a^17 - 4650601873236667204702440484144293896256552/23808036762021983879596153505919834841a^16 + 100803437011055866977350042864103655838158121/47616073524043967759192307011839669682a^15 + 5989867051852951491489478796380795001991951/47616073524043967759192307011839669682a^14 - 60564838787775196411124417738624918668934731/47616073524043967759192307011839669682a^13 - 2480929761532702018999436104538025947850525/47616073524043967759192307011839669682a^12 + 13615308941101672899713018655940885540799707/23808036762021983879596153505919834841a^11 + 288422150325054212579081494231734784540548/23808036762021983879596153505919834841a^10 - 4352807971180227079696461045891976722494721/23808036762021983879596153505919834841a^9 + 194521935556966827094190367759212079747/239276751377105365624081944783113918a^8 + 3868414839057565396951197380247732746632817/95232147048087935518384614023679339364a^7 - 190182047577435005711494432612037954026875/190464294096175871036769228047358678728a^6 - 275321820226166150118123074907079020107179/47616073524043967759192307011839669682a^5 + 22852573534797736865811096183402933415017/95232147048087935518384614023679339364a^4 + 91287015573727155516958964117165720268885/190464294096175871036769228047358678728a^3 - 5656312954339340544267338272042706276907/190464294096175871036769228047358678728a^2 - 1727748719348690004011771915657171075763/190464294096175871036769228047358678728a + 84773533020499700766911036798218405769/95232147048087935518384614023679339364, 21808822137408100569187638419246134387/47616073524043967759192307011839669682a^39 - 4359026578223807471187995470805166477/47616073524043967759192307011839669682a^38 - 2363661660147230319417669078984940766565/190464294096175871036769228047358678728a^37 + 234908304774732982787636456361527054779/95232147048087935518384614023679339364a^36 + 591854700688352001979622104147721404183/2842750658151878672190585493244159384a^35 - 3927593809974611844910268526575864170077/95232147048087935518384614023679339364a^34 - 207180231911388389499916740083175378455333/95232147048087935518384614023679339364a^33 + 81637058250630137198781272272707403872637/190464294096175871036769228047358678728a^32 + 3145623434724286836937999859234908038957289/190464294096175871036769228047358678728a^31 - 308207919454774635691290353045022400266489/95232147048087935518384614023679339364a^30 - 8431604681896743571143486896990375662573129/95232147048087935518384614023679339364a^29 + 819352478462935303062041478002058341757113/47616073524043967759192307011839669682a^28 + 8467617589074306161639598388931781087124695/23808036762021983879596153505919834841a^27 - 6521753134844257414621661047831861032558603/95232147048087935518384614023679339364a^26 - 198371245059320002622365278226589093689827431/190464294096175871036769228047358678728a^25 + 18835041534793853224283465315136307710647813/95232147048087935518384614023679339364a^24 + 443068314476322697368745981555901332378739185/190464294096175871036769228047358678728a^23 - 41411414588210560030065887150007782048983665/95232147048087935518384614023679339364a^22 - 1558960698302976845470723332352411390171105/395154137128995583063836572712362404a^21 + 570701843015215410856112576614101533941281/790308274257991166127673145424724808a^20 + 990319497453279214778215816081965662411546711/190464294096175871036769228047358678728a^19 - 88424686853342732118360507740702578879098315/95232147048087935518384614023679339364a^18 - 250094519871293294010287685062897000051794687/47616073524043967759192307011839669682a^17 + 21592262380611470488180271359974179208041475/23808036762021983879596153505919834841a^16 + 97630431600223351054339618315660296518989950/23808036762021983879596153505919834841a^15 - 32357927842728972502846787185750577304978807/47616073524043967759192307011839669682a^14 - 57118220218852752831364718872609799158491262/23808036762021983879596153505919834841a^13 + 8913762382529490886045133077177126219654722/23808036762021983879596153505919834841a^12 + 50245180821542275272648193989503619183500831/47616073524043967759192307011839669682a^11 - 3643418018286758128195645508310456242457999/23808036762021983879596153505919834841a^10 - 15701611331915584344345192290572946487051479/47616073524043967759192307011839669682a^9 + 5090627182351630646258594644632129448459/119638375688552682812040972391556959a^8 + 14148438446110287277157326615279873527098131/190464294096175871036769228047358678728a^7 - 815348057557126143651290947667988296549709/95232147048087935518384614023679339364a^6 - 2093498901659159418102753916707172278108743/190464294096175871036769228047358678728a^5 + 101479968748229407298845483779315659904007/95232147048087935518384614023679339364a^4 + 95976820642736435071898652291456884287675/95232147048087935518384614023679339364a^3 - 17878361972947834689679088140527590141751/190464294096175871036769228047358678728a^2 - 5577900097941724665988826360492436114533/190464294096175871036769228047358678728a + 438894600669889686523076419563432269241/95232147048087935518384614023679339364, 10256239611253907775721499833671641/71927603510640434681559376150815211a^39 + 343066335414081489824577383976005793/23808036762021983879596153505919834841a^38 - 90792637287250060991556225140724509104/23808036762021983879596153505919834841a^37 - 9302448755978910357436641289924120671/23808036762021983879596153505919834841a^36 + 45099696871412323825875724046701446609/710687664537969668047646373311039846a^35 + 156102766230442192528372649396059423875/23808036762021983879596153505919834841a^34 - 31164177896416728943202915479759854424811/47616073524043967759192307011839669682a^33 - 1631825767271617087922067039223205253230/23808036762021983879596153505919834841a^32 + 233459402774523222896185096261633928515975/47616073524043967759192307011839669682a^31 + 12389059003519974049827547740621080051556/23808036762021983879596153505919834841a^30 - 613024357258616641920137396639735520137131/23808036762021983879596153505919834841a^29 - 66416208441656223787360312052078835441406/23808036762021983879596153505919834841a^28 + 2403977131058036230371659441825566464912110/23808036762021983879596153505919834841a^27 + 266603051346883104612928458931384015258893/23808036762021983879596153505919834841a^26 - 6785116824023148878349697162031530454974957/23808036762021983879596153505919834841a^25 - 779482506225534113994390704519225886339401/23808036762021983879596153505919834841a^24 + 28996772554625809857678498676746325604906251/47616073524043967759192307011839669682a^23 + 1734371223135957245998113130835545786131855/23808036762021983879596153505919834841a^22 - 191742268469503717327393038576373882445659/197577068564497791531918286356181202a^21 - 12125603658534844116739128838888500033744/98788534282248895765959143178090601a^20 + 56246869908780082205868877179495258170293607/47616073524043967759192307011839669682a^19 + 2701957520048262812114752108822742461185/16897116225707582597300321863676249a^18 - 25231827137558616883299018890408742052978564/23808036762021983879596153505919834841a^17 - 3773870513633724579489974121307455092829148/23808036762021983879596153505919834841a^16 + 16629232191063850483418685155466080971984845/23808036762021983879596153505919834841a^15 + 2853126161410913204069285075288756873643588/23808036762021983879596153505919834841a^14 - 7174680572349701960273336120206591674429462/23808036762021983879596153505919834841a^13 - 1581316698335507604165725307550734109853272/23808036762021983879596153505919834841a^12 + 1766179533574521378187890231311772792534006/23808036762021983879596153505919834841a^11 + 631942845608261998015472692449951328146252/23808036762021983879596153505919834841a^10 + 85780148207121076719963727486320077734029/23808036762021983879596153505919834841a^9 - 838632402040066414021620832182766675181/119638375688552682812040972391556959a^8 - 169098590874717124035906212178605194862626/23808036762021983879596153505919834841a^7 + 27393750484935342332848131839093924783508/23808036762021983879596153505919834841a^6 + 103690523393149635956521828880476231978251/47616073524043967759192307011839669682a^5 - 2750134412278685558426936807812090592057/23808036762021983879596153505919834841a^4 - 14656946366056874433773044758311913956989/47616073524043967759192307011839669682a^3 + 80733744198588321911175914033989170804/23808036762021983879596153505919834841a^2 + 798220622044012783643754689515797583671/47616073524043967759192307011839669682a + 39001331118930511057627051160214051559/23808036762021983879596153505919834841, 18551880961168757620859640100727712053/95232147048087935518384614023679339364a^39 + 31718607129091698184507568211743389/23808036762021983879596153505919834841a^38 - 125026128860595800726262159238863120273/23808036762021983879596153505919834841a^37 - 2185541241590146629664450722908155209/47616073524043967759192307011839669682a^36 + 8364410535234714961511769386041530890531/95232147048087935518384614023679339364a^35 + 1237488368336648900153287802025271993/1421375329075939336095292746622079692a^34 - 43488057874408873262965360402278065408889/47616073524043967759192307011839669682a^33 - 1025480328204294410912831894066156985455/95232147048087935518384614023679339364a^32 + 657145569553438080707792003752531264553515/95232147048087935518384614023679339364a^31 + 17967277579499241165396053959914185777133/190464294096175871036769228047358678728a^30 - 1748746690583593571328682304973906069379795/47616073524043967759192307011839669682a^29 - 28957220770458757923033223926997481780743/47616073524043967759192307011839669682a^28 + 13938609334853870030750596824626350125564761/95232147048087935518384614023679339364a^27 + 138425736596654833054844288106893646783047/47616073524043967759192307011839669682a^26 - 20172366481590953600683068448389831803213985/47616073524043967759192307011839669682a^25 - 1001538419900914057494068484691378440382363/95232147048087935518384614023679339364a^24 + 88986483976673194657156978419329461129064463/95232147048087935518384614023679339364a^23 + 2717377180236940506595113993572674727956135/95232147048087935518384614023679339364a^22 - 154025836653411148249004195547950526627051/98788534282248895765959143178090601a^21 - 23564926432047582481667860010245430263771/395154137128995583063836572712362404a^20 + 192246994241332964340745938835481541428352091/95232147048087935518384614023679339364a^19 + 18227358178330427370069520098029990214377953/190464294096175871036769228047358678728a^18 - 47446090715402734465110224946100719944493655/23808036762021983879596153505919834841a^17 - 2845771604338051316279737563065290923028275/23808036762021983879596153505919834841a^16 + 36131519411303259712996743623310096908841354/23808036762021983879596153505919834841a^15 + 2724190082771887313863838738559199447704271/23808036762021983879596153505919834841a^14 - 20439376605153010404125114394951704819877663/23808036762021983879596153505919834841a^13 - 3995721780963793078239543027937884607726079/47616073524043967759192307011839669682a^12 + 8709483703336078142940898290842014032916091/23808036762021983879596153505919834841a^11 + 1079860172940264715517830612711037566566281/23808036762021983879596153505919834841a^10 - 52194006113208953247167326038274109153085/478553502754210731248163889566227836a^9 - 424281083093607092040942923767247170585867/23808036762021983879596153505919834841a^8 + 573773580187249339337886127584318551128772/23808036762021983879596153505919834841a^7 + 110875139788438983280826730638240843542413/23808036762021983879596153505919834841a^6 - 311337166140504400637991018666189157172081/95232147048087935518384614023679339364a^5 - 74185259401510091498368706285365463393129/95232147048087935518384614023679339364a^4 + 6713234362485917812303915745797358299564/23808036762021983879596153505919834841a^3 + 7228801741084895027596356802019457381337/95232147048087935518384614023679339364a^2 + 103546228170172248815932024684728852027/95232147048087935518384614023679339364a - 233736279489840867464389506543179442567/190464294096175871036769228047358678728, 28353288842035820968547648486946987617/95232147048087935518384614023679339364a^39 + 4762450025710865464569643143078300127/190464294096175871036769228047358678728a^38 - 1531852640317126461364214208525341533583/190464294096175871036769228047358678728a^37 - 124337503777795069620259851516645829973/190464294096175871036769228047358678728a^36 + 6412948605018366442368376725912758783807/47616073524043967759192307011839669682a^35 + 2038296978763778670032998838524375391443/190464294096175871036769228047358678728a^34 - 267254615489395785835156766097236162903927/190464294096175871036769228047358678728a^33 - 2563369563449042669073692050044767761797/23808036762021983879596153505919834841a^32 + 505728264401083261303673827607932842196159/47616073524043967759192307011839669682a^31 + 18722988187828778236551608453917076608213/23808036762021983879596153505919834841a^30 - 1349505689503176005287785131424102920595318/23808036762021983879596153505919834841a^29 - 377568860407776491846239780976010171018783/95232147048087935518384614023679339364a^28 + 5393556560350722111129713306626463206374659/23808036762021983879596153505919834841a^27 + 2820249318761162801630135366142536257810175/190464294096175871036769228047358678728a^26 - 125402927957655466204331519417960347251643775/190464294096175871036769228047358678728a^25 - 7345104036169273530874324868402512218715901/190464294096175871036769228047358678728a^24 + 69420558053748075598146618407195975029467483/47616073524043967759192307011839669682a^23 + 14167575914069988932005871512039743667548127/190464294096175871036769228047358678728a^22 - 1931680032270492646260759911794178596371375/790308274257991166127673145424724808a^21 - 39655079872469698192969926596235507317639/395154137128995583063836572712362404a^20 + 302622163710634350665810979918149703989111657/95232147048087935518384614023679339364a^19 + 8990050313504232804032960546064666245277321/95232147048087935518384614023679339364a^18 - 75020413530146623279993903895866813485135323/23808036762021983879596153505919834841a^17 - 2185032472463567635448494655950990847979915/47616073524043967759192307011839669682a^16 + 114491511433998651058750136231062078801094557/47616073524043967759192307011839669682a^15 - 350163289370472477125550058167691666164291/47616073524043967759192307011839669682a^14 - 64785163621499086772812504032456494057373059/47616073524043967759192307011839669682a^13 + 1803833821902479564831630623247662911421713/47616073524043967759192307011839669682a^12 + 13662682795498877975551930429471405406693251/23808036762021983879596153505919834841a^11 - 1499610080610270755493478671879959560386949/47616073524043967759192307011839669682a^10 - 15975615249197639793100686215364766902002073/95232147048087935518384614023679339364a^9 + 3036520310047770177707604625237778330463683/190464294096175871036769228047358678728a^8 + 6670096845044072578803715921841000064596861/190464294096175871036769228047358678728a^7 - 794770879181095192274911318496894326244521/190464294096175871036769228047358678728a^6 - 216803750134079294638141725697967115354891/47616073524043967759192307011839669682a^5 + 135534930434689734478321448373810020897383/190464294096175871036769228047358678728a^4 + 65960245368311649755266739402975898771945/190464294096175871036769228047358678728a^3 - 4776069841092657516811572895019472959425/95232147048087935518384614023679339364a^2 - 317823478910371633387941208598012531977/95232147048087935518384614023679339364a + 95303134504253555978520190630041736947/95232147048087935518384614023679339364, 20652098381663186904818978693022993499/95232147048087935518384614023679339364a^39 + 7735695575905874030926375281341580647/190464294096175871036769228047358678728a^38 - 140451318343590103103702603302072069113/23808036762021983879596153505919834841a^37 - 54011005763443741342618002401560903869/47616073524043967759192307011839669682a^36 + 2361616067185897898532268558508693786956/23808036762021983879596153505919834841a^35 + 1844505114398298543517195056955180613251/95232147048087935518384614023679339364a^34 - 1478549496249795928099061367799571474313/1421375329075939336095292746622079692a^33 - 39619662277105625264764090321696171597957/190464294096175871036769228047358678728a^32 + 2119393091259903776713878561776994082893/267506031033954875051642174223818369a^31 + 308655489179960732129201182656937091371717/190464294096175871036769228047358678728a^30 - 1016112806505328772292051164660924023236447/23808036762021983879596153505919834841a^29 - 429599509992466597586543427359810560151077/47616073524043967759192307011839669682a^28 + 41325967533419917003063597719748801277589/239879463597198830021119934568461812a^27 + 7181988927962527346154752334331308153831369/190464294096175871036769228047358678728a^26 - 12091600939606119709039530791670767753522043/23808036762021983879596153505919834841a^25 - 11108432139499658080687901875337103521625499/95232147048087935518384614023679339364a^24 + 27165178297345710224275727902696975632346923/23808036762021983879596153505919834841a^23 + 26215253412534722762473005664475884723464891/95232147048087935518384614023679339364a^22 - 769578860106717774202736253218382815347245/395154137128995583063836572712362404a^21 - 394011311496434174450216457573869181930503/790308274257991166127673145424724808a^20 + 61364464700570503931452085185718562884576987/23808036762021983879596153505919834841a^19 + 133560714134101507512115211351394416098571449/190464294096175871036769228047358678728a^18 - 62160489301642061460652109547007226490040395/23808036762021983879596153505919834841a^17 - 18186462697685735963356332335333992394778234/23808036762021983879596153505919834841a^16 + 48332420596079490370338130139853829210920180/23808036762021983879596153505919834841a^15 + 15241303866968646334243013359026723169312425/23808036762021983879596153505919834841a^14 - 27930175460468000122916888409015699428219328/23808036762021983879596153505919834841a^13 - 19324563083680578731470570194938512715190695/47616073524043967759192307011839669682a^12 + 11832768996178898678549709247994198380849408/23808036762021983879596153505919834841a^11 + 4481453234367387462138611126008823444788606/23808036762021983879596153505919834841a^10 - 13772239842456594671772073524533403429043821/95232147048087935518384614023679339364a^9 - 11764085016984861444440385807229554082401089/190464294096175871036769228047358678728a^8 + 656655724900370943678814751751349717804303/23808036762021983879596153505919834841a^7 + 306572223413838787537173305757359897830111/23808036762021983879596153505919834841a^6 - 78356247069551897030724397968447363617046/23808036762021983879596153505919834841a^5 - 164624382053766154570507646569986647539421/95232147048087935518384614023679339364a^4 + 18101239164847361284938077126516090144279/95232147048087935518384614023679339364a^3 + 21252213052021337558510834874813556025749/190464294096175871036769228047358678728a^2 + 11939995245872300883573633496725390351/23808036762021983879596153505919834841a - 243554154354284023447503824676088923775/190464294096175871036769228047358678728, 24232789876522926546107665539715151601/95232147048087935518384614023679339364a^39 - 1101964093612402973346629927205692971/23808036762021983879596153505919834841a^38 - 326444986834840979848915218234815836841/47616073524043967759192307011839669682a^37 + 59417402365701135763915286569475646855/47616073524043967759192307011839669682a^36 + 21830635596376380111423092454488570879799/190464294096175871036769228047358678728a^35 - 1987443310973441063487945805063623875987/95232147048087935518384614023679339364a^34 - 226853960993988597030229398422548366487687/190464294096175871036769228047358678728a^33 + 20664423962394240721184520670059127987219/95232147048087935518384614023679339364a^32 + 1712668158655018046634616293089454994597683/190464294096175871036769228047358678728a^31 - 312178026372698065160882637245552826251049/190464294096175871036769228047358678728a^30 - 4552033254732694373119719876030537184143991/95232147048087935518384614023679339364a^29 + 415179846843170404286160487909371376974019/47616073524043967759192307011839669682a^28 + 4527724700458287755698005198535471216469640/23808036762021983879596153505919834841a^27 - 1653055459038775809847292206268074726330281/47616073524043967759192307011839669682a^26 - 52279932396064555416778504247628278568280633/95232147048087935518384614023679339364a^25 + 9553186720789136983196373040881374627698267/95232147048087935518384614023679339364a^24 + 229732815861531835817862682001016775171796787/190464294096175871036769228047358678728a^23 - 21005562055201189295603524522787354196027767/95232147048087935518384614023679339364a^22 - 1581404470915019608983859118202096901526719/790308274257991166127673145424724808a^21 + 144701461846039798761614803011291954107967/395154137128995583063836572712362404a^20 + 489329275676746306695040524308746355257529319/190464294096175871036769228047358678728a^19 - 63558286427029589405041561864590430699045/135176929805660660778402574909409992a^18 - 119221751964796974879199368017127521196830507/47616073524043967759192307011839669682a^17 + 10902335945072918664863622638074609247098061/23808036762021983879596153505919834841a^16 + 89028207404112217375013194906244907768466491/47616073524043967759192307011839669682a^15 - 8116478384968722905300762031810911915647531/23808036762021983879596153505919834841a^14 - 48776492895897041345662595237439203639977215/47616073524043967759192307011839669682a^13 + 8832126770292752669138355073267392869095459/47616073524043967759192307011839669682a^12 + 19757687529199509533373057731245487455224879/47616073524043967759192307011839669682a^11 - 1756833886133411005889075247741074553099967/23808036762021983879596153505919834841a^10 - 54349676396888536805946333654544866354639/478553502754210731248163889566227836a^9 + 2317682562425280794386888777488035047684/119638375688552682812040972391556959a^8 + 531413852913818751827930413280469026112789/23808036762021983879596153505919834841a^7 - 81257598231075044376051784166022036241581/23808036762021983879596153505919834841a^6 - 516565692341860041033673486207472280460077/190464294096175871036769228047358678728a^5 + 30212685911584811510974335317104545390505/95232147048087935518384614023679339364a^4 + 43738344415899773799698631745150912088361/190464294096175871036769228047358678728a^3 - 886669611165415688030754914542510605513/95232147048087935518384614023679339364a^2 - 2123585961752956580853447827594841185841/190464294096175871036769228047358678728a + 247970359737993093344058634418881140531/190464294096175871036769228047358678728, 4402174232503044014871217043456466573/47616073524043967759192307011839669682a^39 - 1151160712080729904424378323623889072/23808036762021983879596153505919834841a^38 - 470205372382208227196896774405038387069/190464294096175871036769228047358678728a^37 + 61585302444007238223280983799756457763/47616073524043967759192307011839669682a^36 + 977449730199920810631394938573404828820/23808036762021983879596153505919834841a^35 - 2050347785336274553408449916106298185269/95232147048087935518384614023679339364a^34 - 10070638802006608798920436612733827077815/23808036762021983879596153505919834841a^33 + 21158247438769583194800041048721627662089/95232147048087935518384614023679339364a^32 + 847232587837480325198253625491619399848/267506031033954875051642174223818369a^31 - 317305026972083491745199815313169243791187/190464294096175871036769228047358678728a^30 - 395759878413170100995592079569335715984309/23808036762021983879596153505919834841a^29 + 417273502315774364085164805436885127707523/47616073524043967759192307011839669682a^28 + 3105843945291135287520283921398889299246609/47616073524043967759192307011839669682a^27 - 1640972985907766882110906921773771738957431/47616073524043967759192307011839669682a^26 - 35128640600363373654154274570406670197339445/190464294096175871036769228047358678728a^25 + 9309813347709777067391838197594488312142813/95232147048087935518384614023679339364a^24 + 9439602366242366155176566864185353206353572/23808036762021983879596153505919834841a^23 - 299521782081324439700133947355167830873791/1421375329075939336095292746622079692a^22 - 63145864580291580043195438618943409875685/98788534282248895765959143178090601a^21 + 134656966900515512706035198077017510071729/395154137128995583063836572712362404a^20 + 75841088189216046653301516804140303047896561/95232147048087935518384614023679339364a^19 - 80989167491779096519293134226298452161064703/190464294096175871036769228047358678728a^18 - 17767970323402304031487791952566039267708071/23808036762021983879596153505919834841a^17 + 9490440389104272674425992480436132883515206/23808036762021983879596153505919834841a^16 + 12776969159840203256319861209977777387872501/23808036762021983879596153505919834841a^15 - 6785914839942692671235629814534970028397849/23808036762021983879596153505919834841a^14 - 13336658005289059597625964143894464806751085/47616073524043967759192307011839669682a^13 + 6980552417969666723516366054607439170085057/47616073524043967759192307011839669682a^12 + 2662306481782700752622763154324380649503159/23808036762021983879596153505919834841a^11 - 1335872855994096304153982100456829864655074/23808036762021983879596153505919834841a^10 - 7313242515625546177657536286707016831575/239276751377105365624081944783113918a^9 + 334752508543621062751909094626126577599313/23808036762021983879596153505919834841a^8 + 1415786512236185134640085108781390451130207/190464294096175871036769228047358678728a^7 - 70416536883848086606322112260562179514133/23808036762021983879596153505919834841a^6 - 24782032372454025997914658655668773774877/23808036762021983879596153505919834841a^5 + 34880081895719138884229864774050905004843/95232147048087935518384614023679339364a^4 + 3231828175821542124943392833849139030765/23808036762021983879596153505919834841a^3 - 4764112985817529136280867804889937131291/95232147048087935518384614023679339364a^2 + 233251912348851866062257625678056370211/95232147048087935518384614023679339364a + 50386520953184561001964429090009480073/190464294096175871036769228047358678728 (assuming GRH)	sage: UK.fundamental_units() gp: K.fu magma: [K\|fUK(g): g in Generators(UK)]; oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:	$ 17492090815064632 $ (assuming GRH)	sage: K.regulator() gp: K.reg magma: Regulator(K); oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{20}\cdot 17492090815064632 \cdot 341}{12\cdot\sqrt{771953130491261281023374345353486886213236398489600000000000000000000}}\cr\approx \mathstrut & 0.164519263702415 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula

x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 27*x^38 + 452*x^36 - 4707*x^34 + 35613*x^32 - 189939*x^30 + 758623*x^28 - 2202717*x^26 + 4873258*x^24 - 8161689*x^22 + 10602647*x^20 - 10506063*x^18 + 8018080*x^16 - 4542648*x^14 + 1926084*x^12 - 569703*x^10 + 122757*x^8 - 16992*x^6 + 1555*x^4 - 45*x^2 + 1)

DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()

hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();

2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))

# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula

K = bnfinit(x^40 - 27*x^38 + 452*x^36 - 4707*x^34 + 35613*x^32 - 189939*x^30 + 758623*x^28 - 2202717*x^26 + 4873258*x^24 - 8161689*x^22 + 10602647*x^20 - 10506063*x^18 + 8018080*x^16 - 4542648*x^14 + 1926084*x^12 - 569703*x^10 + 122757*x^8 - 16992*x^6 + 1555*x^4 - 45*x^2 + 1, 1);

[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]

/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */

Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^40 - 27*x^38 + 452*x^36 - 4707*x^34 + 35613*x^32 - 189939*x^30 + 758623*x^28 - 2202717*x^26 + 4873258*x^24 - 8161689*x^22 + 10602647*x^20 - 10506063*x^18 + 8018080*x^16 - 4542648*x^14 + 1926084*x^12 - 569703*x^10 + 122757*x^8 - 16992*x^6 + 1555*x^4 - 45*x^2 + 1);

OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);

UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);

r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);

hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);

2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));

# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula

Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^40 - 27*x^38 + 452*x^36 - 4707*x^34 + 35613*x^32 - 189939*x^30 + 758623*x^28 - 2202717*x^26 + 4873258*x^24 - 8161689*x^22 + 10602647*x^20 - 10506063*x^18 + 8018080*x^16 - 4542648*x^14 + 1926084*x^12 - 569703*x^10 + 122757*x^8 - 16992*x^6 + 1555*x^4 - 45*x^2 + 1);

OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);

UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);

r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);

hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);

2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))

Galois group

$C_2^2\times C_{10}$ (as 40T7):

sage: K.galois_group(type='pari')

gp: polgalois(K.pol)

magma: G = GaloisGroup(K);

oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)

An abelian group of order 40

The 40 conjugacy class representatives for $C_2^2\times C_{10}$

Character table for $C_2^2\times C_{10}$ is not computed

Intermediate fields

$\Q(\sqrt{-1}) $, $\Q(\sqrt{5}) $, $\Q(\sqrt{-5}) $, $\Q(\sqrt{-3}) $, $\Q(\sqrt{3}) $, $\Q(\sqrt{-15}) $, $\Q(\sqrt{15}) $, $\Q(i, \sqrt{5})$, $\Q(\zeta_{12})$, $\Q(i, \sqrt{15})$, $\Q(\sqrt{-3}, \sqrt{5})$, $\Q(\sqrt{3}, \sqrt{5})$, $\Q(\sqrt{-3}, \sqrt{-5})$, $\Q(\sqrt{3}, \sqrt{-5})$, $\Q(\zeta_{11})^+$, 8.0.12960000.1, 10.0.219503494144.1, 10.10.669871503125.1, 10.0.685948419200000.1, 10.0.52089208083.1, 10.10.53339349076992.1, 10.0.162778775259375.1, 10.10.166685465865600000.1, 20.0.470525233802978928640000000000.1, 20.0.2845086159957207322343768064.1, 20.0.27784044530832102757263360000000000.3, 20.0.26496929674942114598525390625.1, 20.20.27784044530832102757263360000000000.1, 20.0.27784044530832102757263360000000000.2, 20.0.27784044530832102757263360000000000.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]

gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]

magma: L := Subfields(K); L[2..#L];

oscar: subfields(K)[2:end-1]

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	R	R	R	${\href{/padicField/7.10.0.1}{10} }^{4}$	R	${\href{/padicField/13.10.0.1}{10} }^{4}$	${\href{/padicField/17.10.0.1}{10} }^{4}$	${\href{/padicField/19.10.0.1}{10} }^{4}$	${\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }^{20}$	${\href{/padicField/29.10.0.1}{10} }^{4}$	${\href{/padicField/31.10.0.1}{10} }^{4}$	${\href{/padicField/37.10.0.1}{10} }^{4}$	${\href{/padicField/41.10.0.1}{10} }^{4}$	${\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{20}$	${\href{/padicField/47.10.0.1}{10} }^{4}$	${\href{/padicField/53.10.0.1}{10} }^{4}$	${\href{/padicField/59.10.0.1}{10} }^{4}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:

p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]

\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:

p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])

// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:

p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:

p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
$2$ 2		Deg $20$	$2$	$10$	$20$
$2$ 2		Deg $20$	$2$	$10$	$20$
$3$ 3	3.20.10.1	$x^{20} + 30 x^{18} + 409 x^{16} + 4 x^{15} + 3244 x^{14} - 60 x^{13} + 16162 x^{12} - 1250 x^{11} + 53008 x^{10} - 7102 x^{9} + 121150 x^{8} - 12140 x^{7} + 219264 x^{6} + 5736 x^{5} + 257465 x^{4} + 35250 x^{3} + 250183 x^{2} + 51502 x + 77812$	$2$	$10$	$10$	20T3	$[\ ]_{2}^{10}$
$3$ 3	3.20.10.1	$x^{20} + 30 x^{18} + 409 x^{16} + 4 x^{15} + 3244 x^{14} - 60 x^{13} + 16162 x^{12} - 1250 x^{11} + 53008 x^{10} - 7102 x^{9} + 121150 x^{8} - 12140 x^{7} + 219264 x^{6} + 5736 x^{5} + 257465 x^{4} + 35250 x^{3} + 250183 x^{2} + 51502 x + 77812$	$2$	$10$	$10$	20T3	$[\ ]_{2}^{10}$
$5$ 5		Deg $20$	$2$	$10$	$10$
$5$ 5		Deg $20$	$2$	$10$	$10$
$11$ 11	11.10.8.5	$x^{10} + 35 x^{9} + 500 x^{8} + 3710 x^{7} + 14985 x^{6} + 31389 x^{5} + 30355 x^{4} + 19790 x^{3} + 37110 x^{2} + 111495 x + 148840$	$5$	$2$	$8$	$C_{10}$	$[\ ]_{5}^{2}$
	11.10.8.5	$x^{10} + 35 x^{9} + 500 x^{8} + 3710 x^{7} + 14985 x^{6} + 31389 x^{5} + 30355 x^{4} + 19790 x^{3} + 37110 x^{2} + 111495 x + 148840$	$5$	$2$	$8$	$C_{10}$	$[\ ]_{5}^{2}$
	11.10.8.5	$x^{10} + 35 x^{9} + 500 x^{8} + 3710 x^{7} + 14985 x^{6} + 31389 x^{5} + 30355 x^{4} + 19790 x^{3} + 37110 x^{2} + 111495 x + 148840$	$5$	$2$	$8$	$C_{10}$	$[\ ]_{5}^{2}$
	11.10.8.5	$x^{10} + 35 x^{9} + 500 x^{8} + 3710 x^{7} + 14985 x^{6} + 31389 x^{5} + 30355 x^{4} + 19790 x^{3} + 37110 x^{2} + 111495 x + 148840$	$5$	$2$	$8$	$C_{10}$	$[\ ]_{5}^{2}$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more