↑

Properties

Label 40.0.67330470569...2721.1
Degree $40$
Signature $[0, 20]$
Discriminant $3^{20}\cdot 41^{38}$
Root discriminant $58.98$
Ramified primes $3, 41$
Class number $69632$ (GRH)
Class group $[8, 8, 8, 136]$ (GRH)
Galois group $C_2\times C_{20}$ (as 40T2)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1, 10, 155, -220, 4180, -33, 43098, -13431, 244002, -53834, 846197, -207142, 2008708, -457001, 3426005, -773063, 4405640, -948272, 4383590, -911552, 3457565, -682496, 2190299, -410723, 1127150, -197858, 472811, -77302, 161911, -24189, 44934, -6058, 9997, -1174, 1735, -172, 226, -17, 20, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - x^39 + 20*x^38 - 17*x^37 + 226*x^36 - 172*x^35 + 1735*x^34 - 1174*x^33 + 9997*x^32 - 6058*x^31 + 44934*x^30 - 24189*x^29 + 161911*x^28 - 77302*x^27 + 472811*x^26 - 197858*x^25 + 1127150*x^24 - 410723*x^23 + 2190299*x^22 - 682496*x^21 + 3457565*x^20 - 911552*x^19 + 4383590*x^18 - 948272*x^17 + 4405640*x^16 - 773063*x^15 + 3426005*x^14 - 457001*x^13 + 2008708*x^12 - 207142*x^11 + 846197*x^10 - 53834*x^9 + 244002*x^8 - 13431*x^7 + 43098*x^6 - 33*x^5 + 4180*x^4 - 220*x^3 + 155*x^2 + 10*x + 1)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - x^39 + 20*x^38 - 17*x^37 + 226*x^36 - 172*x^35 + 1735*x^34 - 1174*x^33 + 9997*x^32 - 6058*x^31 + 44934*x^30 - 24189*x^29 + 161911*x^28 - 77302*x^27 + 472811*x^26 - 197858*x^25 + 1127150*x^24 - 410723*x^23 + 2190299*x^22 - 682496*x^21 + 3457565*x^20 - 911552*x^19 + 4383590*x^18 - 948272*x^17 + 4405640*x^16 - 773063*x^15 + 3426005*x^14 - 457001*x^13 + 2008708*x^12 - 207142*x^11 + 846197*x^10 - 53834*x^9 + 244002*x^8 - 13431*x^7 + 43098*x^6 - 33*x^5 + 4180*x^4 - 220*x^3 + 155*x^2 + 10*x + 1, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - x^{39} + 20 x^{38} - 17 x^{37} + 226 x^{36} - 172 x^{35} + 1735 x^{34} - 1174 x^{33} + 9997 x^{32} - 6058 x^{31} + 44934 x^{30} - 24189 x^{29} + 161911 x^{28} - 77302 x^{27} + 472811 x^{26} - 197858 x^{25} + 1127150 x^{24} - 410723 x^{23} + 2190299 x^{22} - 682496 x^{21} + 3457565 x^{20} - 911552 x^{19} + 4383590 x^{18} - 948272 x^{17} + 4405640 x^{16} - 773063 x^{15} + 3426005 x^{14} - 457001 x^{13} + 2008708 x^{12} - 207142 x^{11} + 846197 x^{10} - 53834 x^{9} + 244002 x^{8} - 13431 x^{7} + 43098 x^{6} - 33 x^{5} + 4180 x^{4} - 220 x^{3} + 155 x^{2} + 10 x + 1 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 20]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(67330470569637410331240297486633042732017118041235378120152501254022721=3^{20}\cdot 41^{38}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $58.98$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 41$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(123=3\cdot 41\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{123}(1,·)$, $\chi_{123}(2,·)$, $\chi_{123}(4,·)$, $\chi_{123}(5,·)$, $\chi_{123}(8,·)$, $\chi_{123}(10,·)$, $\chi_{123}(16,·)$, $\chi_{123}(20,·)$, $\chi_{123}(23,·)$, $\chi_{123}(25,·)$, $\chi_{123}(31,·)$, $\chi_{123}(32,·)$, $\chi_{123}(37,·)$, $\chi_{123}(40,·)$, $\chi_{123}(43,·)$, $\chi_{123}(46,·)$, $\chi_{123}(49,·)$, $\chi_{123}(50,·)$, $\chi_{123}(59,·)$, $\chi_{123}(61,·)$, $\chi_{123}(62,·)$, $\chi_{123}(64,·)$, $\chi_{123}(73,·)$, $\chi_{123}(74,·)$, $\chi_{123}(77,·)$, $\chi_{123}(80,·)$, $\chi_{123}(83,·)$, $\chi_{123}(86,·)$, $\chi_{123}(91,·)$, $\chi_{123}(92,·)$, $\chi_{123}(98,·)$, $\chi_{123}(100,·)$, $\chi_{123}(103,·)$, $\chi_{123}(107,·)$, $\chi_{123}(113,·)$, $\chi_{123}(115,·)$, $\chi_{123}(118,·)$, $\chi_{123}(119,·)$, $\chi_{123}(121,·)$, $\chi_{123}(122,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $\frac{1}{163} a^{37} - \frac{1}{163} a^{36} + \frac{20}{163} a^{35} - \frac{30}{163} a^{34} + \frac{76}{163} a^{33} + \frac{57}{163} a^{32} + \frac{6}{163} a^{31} - \frac{43}{163} a^{30} - \frac{35}{163} a^{29} + \frac{58}{163} a^{28} + \frac{16}{163} a^{27} + \frac{64}{163} a^{26} - \frac{50}{163} a^{25} + \frac{78}{163} a^{24} - \frac{69}{163} a^{23} + \frac{22}{163} a^{22} - \frac{31}{163} a^{21} - \frac{44}{163} a^{20} - \frac{55}{163} a^{19} + \frac{62}{163} a^{18} - \frac{71}{163} a^{17} + \frac{7}{163} a^{16} + \frac{40}{163} a^{15} + \frac{7}{163} a^{14} - \frac{15}{163} a^{13} + \frac{15}{163} a^{12} - \frac{20}{163} a^{11} - \frac{80}{163} a^{10} + \frac{27}{163} a^{9} - \frac{35}{163} a^{8} - \frac{37}{163} a^{7} - \frac{69}{163} a^{6} - \frac{43}{163} a^{5} - \frac{73}{163} a^{4} - \frac{15}{163} a^{3} + \frac{37}{163} a^{2} + \frac{76}{163} a - \frac{25}{163}$, $\frac{1}{163} a^{38} + \frac{19}{163} a^{36} - \frac{10}{163} a^{35} + \frac{46}{163} a^{34} - \frac{30}{163} a^{33} + \frac{63}{163} a^{32} - \frac{37}{163} a^{31} - \frac{78}{163} a^{30} + \frac{23}{163} a^{29} + \frac{74}{163} a^{28} + \frac{80}{163} a^{27} + \frac{14}{163} a^{26} + \frac{28}{163} a^{25} + \frac{9}{163} a^{24} - \frac{47}{163} a^{23} - \frac{9}{163} a^{22} - \frac{75}{163} a^{21} + \frac{64}{163} a^{20} + \frac{7}{163} a^{19} - \frac{9}{163} a^{18} - \frac{64}{163} a^{17} + \frac{47}{163} a^{16} + \frac{47}{163} a^{15} - \frac{8}{163} a^{14} - \frac{5}{163} a^{12} + \frac{63}{163} a^{11} - \frac{53}{163} a^{10} - \frac{8}{163} a^{9} - \frac{72}{163} a^{8} + \frac{57}{163} a^{7} + \frac{51}{163} a^{6} + \frac{47}{163} a^{5} + \frac{75}{163} a^{4} + \frac{22}{163} a^{3} - \frac{50}{163} a^{2} + \frac{51}{163} a - \frac{25}{163}$, $\frac{1}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{39} + \frac{15506339253586072871314886132104731405881591259645132356127512998396781404837208}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{38} - \frac{2603387985342493863490180111318002049270511232262310011501358637966839207617185}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{37} - \frac{3736625280507183623070736255970548689361915132718961055898100725095349622808589695}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{36} - \frac{3063039640741468193090799317565087894889706031220320857611366838338428255578791111}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{35} + \frac{3334601246519005669979518790149680177097642031465076276963537011139400524375259890}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{34} - \frac{3180578047266116131899112406789791286113225831712164899983219924169701472328061325}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{33} + \frac{3566835138832473009617580367878055181295500274971997711745746065110926343115073887}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{32} + \frac{775077346199672161811862614297484272804506160128646664652319752082802459789422875}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{31} + \frac{157536685974345144307855372123883078754556246425549407813567292943222696123208073}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{30} - \frac{125579304085391148847021914044371469061078051702502916094565226165822260920536489}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{29} + \frac{1989709760512224267316123143004649972294314697364480972200421827048742542397230871}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{28} + \frac{3283984847750864042927151646034637236331402394905123373154381686435840094093402860}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{27} + \frac{915991472921622553714076760266981349190376966060195685829872411548863035194383277}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{26} - \frac{1170116389727610553148450692574113998065891536441977335139742603071861601328730534}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{25} + \frac{3509398667650396143942547557224276154948470338795712982826663518697007210682177142}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{24} - \frac{3254104857944376376998398411087070135416274413203048822388494062717806102890054137}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{23} + \frac{3153729633790978065044241081064421137256662951992148284962126123639919376959580060}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{22} - \frac{3671393409670556548313187550336507017983069477699639406545362818016105818934779515}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{21} + \frac{204503173348467826598850494366774947395739409374629192912209370546188696074917433}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{20} - \frac{771012430544320087897135093424363613324127074616516543253151430064063357110461201}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{19} - \frac{740362687322838157393963479197277071888412480125090679638728479398359133293516627}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{18} - \frac{2470399828993732775162480112794240127618030791696737542223917205271617614832016435}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{17} + \frac{2987777159756181115580695849649554202104442298782644144002077875499758658217498992}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{16} + \frac{2364657627915293670042491628799950496461369553541460746668089069513080995875059481}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{15} - \frac{502244672729256787994671762498895641584820216913844851835492172719979389586448184}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{14} + \frac{3080694817012289897964827033294149316001815694650694793722647257798389800992829540}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{13} - \frac{3091310530857883877393185054998334236963324643149780178765747026673261922892934143}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{12} + \frac{2817567161015104692768167395222434628242659047140747726818366968569596327258342095}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{11} - \frac{1493505606786814209169826207789532821100817392154784904380188077493962707786884292}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{10} + \frac{3713162040097127249465615209122827817614033477348146273996514010772548072533525090}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{9} + \frac{1616216468325625741407519946444577286636325185776562443935940203309367102573975519}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{8} - \frac{1443637110779367066171666497786212019825670299010797561474486366753022781804994029}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{7} - \frac{3414997758357805744996033022472206458837509442043952918777018155893745847035844364}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{6} + \frac{1918351892421312980163368180808884363540586194635594121216929711268556628484520439}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{5} + \frac{1857921227264470157563121698768171297468728853637497179878314413125996579516703409}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{4} - \frac{2927771088942040754341316118284951229143351204582923491268960548186169531997105798}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{3} + \frac{1502721284597544288855239995415836681285926661676958448192153069156844504114665292}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{2} - \frac{4004445713773029299887999405364095721051645406210898521513835640494544166483669103}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a + \frac{2385374306721928034735293524819597872847492290607648330851565367074321654082321214}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

$C_{8}\times C_{8}\times C_{8}\times C_{136}$, which has order $69632$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $19$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( \frac{679863214873483707149961740986160510907426966780545356889332423567766640984489580}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{39} - \frac{711690862085424325045424231689095359976306904969528246508164634700779905267781651}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{38} + \frac{13614071289145396980582151788211085578505424027483242705001603452868382031040548381}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{37} - \frac{12179518842869215154767441054204775316989685528362414372556732735927393466246712560}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{36} + \frac{153891639535650325397313969052773082859114453187966761897803818997919455274916091812}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{35} - \frac{123882125480299755948136120263316935085895587209571202941153182430225183631637901073}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{34} + \frac{1181679109800932737070880937015306447490806021159025865962946969006045258272447293751}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{33} - \frac{850896502182410843390842623467566597393003872506199826769974760705530689627016545674}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{32} + \frac{6808303941330816749451213053892869514542875856179682512690972925969708739520676299860}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{31} - \frac{4419994886810899198590815774072408473040125266378726495370979025828119740678519226813}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{30} + \frac{30594679418220150548565699599961374393388828028664385382551033487445951596510516917919}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{29} - \frac{17789498770457984568205926785274634990994787329835420364980237255133509772287449844606}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{28} + \frac{110189533328119881231083775396429468296606763895419553972741688296509755864478824363743}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{27} - \frac{57369166618895443426868929122477144964848200007068175728551671291815613769039844725787}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{26} + \frac{321551131636069124869268030823427256140987010470952562039775637308623371349108000466477}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{25} - \frac{148496076564507834719177989433633377891191164176734402568086831652800440676177434404783}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{24} + \frac{765771410512761268033658226023972962674019953657656348336728531140116544034419353066755}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{23} - \frac{312419838744094940137245866484136431621711478298286299528855322048068104459183315993393}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{22} + \frac{1486011123941435853365755540301796313476877348161881219765851053035286307695708245362423}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{21} - \frac{528243804141761206432492531646758349511400328848798135501563925114542866639621967891781}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{20} + \frac{2341275311338940673618519479937244367643969719961291837192289120397626192209437204349841}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{19} - \frac{720930784616853567512872864489520255080325184665413558888673370949130614088164583852776}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{18} + \frac{2960687889586077311779312494972419501720260863303675295946501175274382236685120498536771}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{17} - \frac{772811963122211017530263280396988209747248486031323741776895879818746904775591285625202}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{16} + \frac{2964726359792869999538730763788125502457326710226202718005901216649145093068222182764216}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{15} - \frac{654559779281559812966471960341220598309475972880658248860934644865411027017029393201874}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{14} + \frac{2293946065511732888664049407042549467162118530894816067922267746740107753810750335060164}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{13} - \frac{411235406025526840739804230861173894774362337626783770993594362200508040206244844736337}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{12} + \frac{1334794063772327239225677705200397427003033710054515302072132544742138877755615869378697}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{11} - \frac{200415663608049036319555137692628789689639015317952759584853470934031879337706513437973}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{10} + \frac{556173604417562199381320710668724383873923401076720288263393285046200707057767416570410}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{9} - \frac{61939039908514558574121083926684029612006781532383482435073289736761666543725908994681}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{8} + \frac{157321005959595250707656825042629359507808492024885735915966776606239291934975252084003}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{7} - \frac{16787046375399506648840531303094290830737448903511360941054363586420833696004887321029}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{6} + \frac{26983608895716260869309676155128763592124493570538004308307818819182953603034378297110}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{5} - \frac{1396460504237557926732179453524095335974696182587678270069651048643793643409079443570}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{4} + \frac{2424939504184881007107554773901087495682539546225026307049072533514692686380663342217}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{3} - \frac{341874504094605942297510222587143828685681356785809362608000200965839015230011665881}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a^{2} + \frac{80443827675904038640705178628044306254394211640994497637408281039196926080689628098}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} a + \frac{5029987067585514761332664763082464586173941869075899219967787188480463229717308428}{8051921367310432482588950816162189901255578764284871302581700957317939085956805533} \) (order $6$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 310417721980536.1 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_2\times C_{20}$ (as 40T2):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{20}$
Character table for $C_2\times C_{20}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-123}) \), \(\Q(\sqrt{41}) \), \(\Q(\sqrt{-3}) \), \(\Q(\sqrt{-3}, \sqrt{41})\), 4.0.620289.1, 4.4.68921.1, 5.5.2825761.1, 8.0.384758443521.1, 10.0.79553810057732523.1, 10.10.327381934393961.1, 10.0.1940336830676403.1, 20.0.6328808694701784334458304211945529.1, 20.0.259481156482773157712790472689766689.1, \(\Q(\zeta_{41})^+\)

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.10.0.1}{10} }^{4}$ R ${\href{/LocalNumberField/5.10.0.1}{10} }^{4}$ $20^{2}$ $20^{2}$ $20^{2}$ $20^{2}$ $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/23.10.0.1}{10} }^{4}$ $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/31.5.0.1}{5} }^{8}$ ${\href{/LocalNumberField/37.5.0.1}{5} }^{8}$ R ${\href{/LocalNumberField/43.10.0.1}{10} }^{4}$ $20^{2}$ $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/59.10.0.1}{10} }^{4}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$3$3.8.4.1$x^{8} + 36 x^{4} - 27 x^{2} + 324$$2$$4$$4$$C_4\times C_2$$[\ ]_{2}^{4}$
3.8.4.1$x^{8} + 36 x^{4} - 27 x^{2} + 324$$2$$4$$4$$C_4\times C_2$$[\ ]_{2}^{4}$
3.8.4.1$x^{8} + 36 x^{4} - 27 x^{2} + 324$$2$$4$$4$$C_4\times C_2$$[\ ]_{2}^{4}$
3.8.4.1$x^{8} + 36 x^{4} - 27 x^{2} + 324$$2$$4$$4$$C_4\times C_2$$[\ ]_{2}^{4}$
3.8.4.1$x^{8} + 36 x^{4} - 27 x^{2} + 324$$2$$4$$4$$C_4\times C_2$$[\ ]_{2}^{4}$
41Data not computed