↑

Properties

Label 40.0.59156287405...1321.1
Degree $40$
Signature $[0, 20]$
Discriminant $11^{32}\cdot 41^{35}$
Root discriminant $175.51$
Ramified primes $11, 41$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{40}$ (as 40T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![2983509962179, 6294547903777, 6513363586559, -29182251573759, 7111255666458, 7630270834549, 1372645832422, 7578192596520, -2917951840654, 397170019371, 800896596388, -2550582941805, 2167339669831, -1715763878977, 1249029264466, -786069579780, 434127034021, -226543347560, 116881460464, -52307277171, 22442317148, -9226542891, 3574297374, -1319976263, 457628814, -145267570, 42858754, -14112225, 4064715, -1070856, 336531, -83186, -8520, 9011, 2573, -2028, 223, 108, -18, -3, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 3*x^39 - 18*x^38 + 108*x^37 + 223*x^36 - 2028*x^35 + 2573*x^34 + 9011*x^33 - 8520*x^32 - 83186*x^31 + 336531*x^30 - 1070856*x^29 + 4064715*x^28 - 14112225*x^27 + 42858754*x^26 - 145267570*x^25 + 457628814*x^24 - 1319976263*x^23 + 3574297374*x^22 - 9226542891*x^21 + 22442317148*x^20 - 52307277171*x^19 + 116881460464*x^18 - 226543347560*x^17 + 434127034021*x^16 - 786069579780*x^15 + 1249029264466*x^14 - 1715763878977*x^13 + 2167339669831*x^12 - 2550582941805*x^11 + 800896596388*x^10 + 397170019371*x^9 - 2917951840654*x^8 + 7578192596520*x^7 + 1372645832422*x^6 + 7630270834549*x^5 + 7111255666458*x^4 - 29182251573759*x^3 + 6513363586559*x^2 + 6294547903777*x + 2983509962179)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - 3*x^39 - 18*x^38 + 108*x^37 + 223*x^36 - 2028*x^35 + 2573*x^34 + 9011*x^33 - 8520*x^32 - 83186*x^31 + 336531*x^30 - 1070856*x^29 + 4064715*x^28 - 14112225*x^27 + 42858754*x^26 - 145267570*x^25 + 457628814*x^24 - 1319976263*x^23 + 3574297374*x^22 - 9226542891*x^21 + 22442317148*x^20 - 52307277171*x^19 + 116881460464*x^18 - 226543347560*x^17 + 434127034021*x^16 - 786069579780*x^15 + 1249029264466*x^14 - 1715763878977*x^13 + 2167339669831*x^12 - 2550582941805*x^11 + 800896596388*x^10 + 397170019371*x^9 - 2917951840654*x^8 + 7578192596520*x^7 + 1372645832422*x^6 + 7630270834549*x^5 + 7111255666458*x^4 - 29182251573759*x^3 + 6513363586559*x^2 + 6294547903777*x + 2983509962179, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - 3 x^{39} - 18 x^{38} + 108 x^{37} + 223 x^{36} - 2028 x^{35} + 2573 x^{34} + 9011 x^{33} - 8520 x^{32} - 83186 x^{31} + 336531 x^{30} - 1070856 x^{29} + 4064715 x^{28} - 14112225 x^{27} + 42858754 x^{26} - 145267570 x^{25} + 457628814 x^{24} - 1319976263 x^{23} + 3574297374 x^{22} - 9226542891 x^{21} + 22442317148 x^{20} - 52307277171 x^{19} + 116881460464 x^{18} - 226543347560 x^{17} + 434127034021 x^{16} - 786069579780 x^{15} + 1249029264466 x^{14} - 1715763878977 x^{13} + 2167339669831 x^{12} - 2550582941805 x^{11} + 800896596388 x^{10} + 397170019371 x^{9} - 2917951840654 x^{8} + 7578192596520 x^{7} + 1372645832422 x^{6} + 7630270834549 x^{5} + 7111255666458 x^{4} - 29182251573759 x^{3} + 6513363586559 x^{2} + 6294547903777 x + 2983509962179 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 20]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(591562874052785633250268709202581935979796890752712583261409569563284548449419361747771321=11^{32}\cdot 41^{35}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $175.51$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $11, 41$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(451=11\cdot 41\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{451}(1,·)$, $\chi_{451}(3,·)$, $\chi_{451}(342,·)$, $\chi_{451}(9,·)$, $\chi_{451}(14,·)$, $\chi_{451}(273,·)$, $\chi_{451}(278,·)$, $\chi_{451}(411,·)$, $\chi_{451}(284,·)$, $\chi_{451}(290,·)$, $\chi_{451}(27,·)$, $\chi_{451}(38,·)$, $\chi_{451}(42,·)$, $\chi_{451}(301,·)$, $\chi_{451}(155,·)$, $\chi_{451}(137,·)$, $\chi_{451}(191,·)$, $\chi_{451}(196,·)$, $\chi_{451}(202,·)$, $\chi_{451}(331,·)$, $\chi_{451}(81,·)$, $\chi_{451}(163,·)$, $\chi_{451}(214,·)$, $\chi_{451}(91,·)$, $\chi_{451}(378,·)$, $\chi_{451}(419,·)$, $\chi_{451}(355,·)$, $\chi_{451}(401,·)$, $\chi_{451}(232,·)$, $\chi_{451}(366,·)$, $\chi_{451}(368,·)$, $\chi_{451}(114,·)$, $\chi_{451}(243,·)$, $\chi_{451}(372,·)$, $\chi_{451}(245,·)$, $\chi_{451}(247,·)$, $\chi_{451}(122,·)$, $\chi_{451}(124,·)$, $\chi_{451}(126,·)$, $\chi_{451}(383,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $\frac{1}{2} a^{30} - \frac{1}{2} a^{28} - \frac{1}{2} a^{27} - \frac{1}{2} a^{26} - \frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{31} - \frac{1}{2} a^{29} - \frac{1}{2} a^{28} - \frac{1}{2} a^{27} - \frac{1}{2} a^{23} - \frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{32} - \frac{1}{2} a^{29} - \frac{1}{2} a^{27} - \frac{1}{2} a^{26} - \frac{1}{2} a^{24} - \frac{1}{2} a^{23} - \frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{33} - \frac{1}{2} a^{26} - \frac{1}{2} a^{25} - \frac{1}{2} a^{24} - \frac{1}{2} a^{23} - \frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{34} - \frac{1}{2} a^{27} - \frac{1}{2} a^{26} - \frac{1}{2} a^{25} - \frac{1}{2} a^{24} - \frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{853738} a^{35} - \frac{53517}{426869} a^{34} - \frac{169451}{853738} a^{33} + \frac{143263}{853738} a^{32} - \frac{69983}{426869} a^{31} + \frac{120733}{853738} a^{30} - \frac{251205}{853738} a^{29} + \frac{42643}{426869} a^{28} - \frac{105065}{853738} a^{27} + \frac{174148}{426869} a^{26} - \frac{21500}{426869} a^{25} + \frac{14887}{426869} a^{24} - \frac{201599}{853738} a^{23} - \frac{4211}{23074} a^{22} - \frac{7651}{853738} a^{21} + \frac{29669}{426869} a^{20} - \frac{149562}{426869} a^{19} - \frac{10197}{426869} a^{18} - \frac{61213}{426869} a^{17} + \frac{56101}{426869} a^{16} - \frac{91273}{426869} a^{15} - \frac{27531}{853738} a^{14} + \frac{4511}{10286} a^{13} - \frac{9581}{23074} a^{12} - \frac{57873}{853738} a^{11} - \frac{250385}{853738} a^{10} - \frac{43009}{853738} a^{9} + \frac{79609}{853738} a^{8} - \frac{219395}{853738} a^{7} + \frac{143602}{426869} a^{6} - \frac{33102}{426869} a^{5} + \frac{154737}{426869} a^{4} - \frac{55633}{426869} a^{3} + \frac{41139}{426869} a^{2} + \frac{6151}{23074} a - \frac{385831}{853738}$, $\frac{1}{853738} a^{36} - \frac{136385}{853738} a^{34} - \frac{64999}{853738} a^{33} - \frac{58121}{426869} a^{32} - \frac{16278}{426869} a^{31} + \frac{106349}{853738} a^{30} - \frac{192981}{853738} a^{29} - \frac{98453}{426869} a^{28} - \frac{168847}{853738} a^{27} + \frac{1994}{11537} a^{26} + \frac{34666}{426869} a^{25} - \frac{375237}{853738} a^{24} - \frac{151046}{426869} a^{23} - \frac{81433}{426869} a^{22} - \frac{61527}{426869} a^{21} - \frac{36307}{426869} a^{20} + \frac{211933}{426869} a^{19} - \frac{392625}{853738} a^{18} + \frac{196140}{426869} a^{17} - \frac{143062}{426869} a^{16} - \frac{8227}{853738} a^{15} + \frac{149033}{426869} a^{14} - \frac{161022}{426869} a^{13} + \frac{241901}{853738} a^{12} + \frac{93861}{853738} a^{11} - \frac{61541}{853738} a^{10} - \frac{208635}{426869} a^{9} + \frac{345071}{853738} a^{8} + \frac{53333}{853738} a^{7} + \frac{409435}{853738} a^{6} + \frac{127969}{426869} a^{5} - \frac{25906}{426869} a^{4} - \frac{185702}{426869} a^{3} - \frac{390169}{853738} a^{2} - \frac{713}{5143} a - \frac{10359}{426869}$, $\frac{1}{853738} a^{37} + \frac{168973}{853738} a^{34} - \frac{3217}{853738} a^{33} - \frac{91519}{426869} a^{32} - \frac{875}{426869} a^{31} - \frac{33791}{426869} a^{30} - \frac{284891}{853738} a^{29} - \frac{95559}{426869} a^{28} - \frac{3877}{853738} a^{27} + \frac{10103}{853738} a^{26} + \frac{249823}{853738} a^{25} - \frac{379899}{853738} a^{24} + \frac{243547}{853738} a^{23} - \frac{321929}{853738} a^{22} + \frac{70228}{426869} a^{21} - \frac{99622}{426869} a^{20} - \frac{61083}{426869} a^{19} + \frac{8125}{853738} a^{18} - \frac{375199}{853738} a^{17} + \frac{261631}{853738} a^{16} + \frac{42543}{853738} a^{15} - \frac{397755}{853738} a^{14} - \frac{36044}{426869} a^{13} - \frac{369675}{853738} a^{12} - \frac{131418}{426869} a^{11} - \frac{41182}{426869} a^{10} + \frac{169535}{853738} a^{9} - \frac{156543}{426869} a^{8} + \frac{15892}{426869} a^{7} + \frac{110150}{426869} a^{6} + \frac{275605}{853738} a^{5} + \frac{70421}{426869} a^{4} - \frac{210629}{853738} a^{3} + \frac{261269}{853738} a^{2} - \frac{173529}{426869} a - \frac{69349}{426869}$, $\frac{1}{9052184014} a^{38} + \frac{1224}{4526092007} a^{37} - \frac{1907}{9052184014} a^{36} - \frac{159}{393573218} a^{35} + \frac{290249663}{4526092007} a^{34} + \frac{187425810}{4526092007} a^{33} + \frac{19488827}{9052184014} a^{32} - \frac{198309101}{4526092007} a^{31} + \frac{202560731}{4526092007} a^{30} - \frac{2044136812}{4526092007} a^{29} + \frac{1699424693}{9052184014} a^{28} + \frac{2086712009}{9052184014} a^{27} + \frac{3289887973}{9052184014} a^{26} + \frac{2134916180}{4526092007} a^{25} + \frac{1035450760}{4526092007} a^{24} - \frac{3676147993}{9052184014} a^{23} - \frac{1271812763}{9052184014} a^{22} - \frac{1044358523}{4526092007} a^{21} - \frac{4483139523}{9052184014} a^{20} + \frac{1537904777}{4526092007} a^{19} + \frac{754818445}{9052184014} a^{18} + \frac{2039889367}{9052184014} a^{17} + \frac{2203955263}{4526092007} a^{16} + \frac{1184814345}{4526092007} a^{15} - \frac{1552732692}{4526092007} a^{14} - \frac{1697839814}{4526092007} a^{13} - \frac{3357425927}{9052184014} a^{12} - \frac{699938831}{4526092007} a^{11} + \frac{73477159}{9052184014} a^{10} - \frac{63038434}{196786609} a^{9} - \frac{4055101003}{9052184014} a^{8} - \frac{3116991317}{9052184014} a^{7} + \frac{9164601}{393573218} a^{6} + \frac{137244522}{4526092007} a^{5} + \frac{104114003}{244653622} a^{4} - \frac{2093797793}{4526092007} a^{3} - \frac{849997542}{4526092007} a^{2} - \frac{1177851857}{9052184014} a + \frac{2012470607}{4526092007}$, $\frac{1}{54974135456831137730275303803750856969534020276238557030262827599818320458077919707052930844238209674659121508107237416117892355492627997048632221847664771632475811145205285570041026555522401560029623082352963685762734291825299231675014599181449868803554719236742601878067818} a^{39} + \frac{685863793679518507170421337388971138319955981701910638282520332838278403928032631483379862771005670870951594492842312162239380135127645005675866927348054699202322511638676429308308646609427780913450700561581329152004035214059898095292461350061066843608312848161933}{54974135456831137730275303803750856969534020276238557030262827599818320458077919707052930844238209674659121508107237416117892355492627997048632221847664771632475811145205285570041026555522401560029623082352963685762734291825299231675014599181449868803554719236742601878067818} a^{38} + \frac{360498527498216629796170848410466237550165344912296680895542331167205991104132193134741436559168698972221307625395164146974737095230513343981613141177176915599173855651509271840207867432448794706208651517196376765688664194806559647036027398712390579217302228491124239}{662338981407604069039461491611456108066674943087211530485094308431546029615396622976541335472749514152519536242255872483348100668585879482513641227080298453403323025845846814096879838018342187470236422678951369707984750503919267851506199990137950226548852038996898817808046} a^{37} + \frac{172612153434656953465461855361205901567089571917304668187371334769252084415989425997073909031295154505583257955408057298223765822100359666089241552860576011361029176401093831563688203390186303990019705990990602285053143290728938953499638366081499981010500777144939143}{54974135456831137730275303803750856969534020276238557030262827599818320458077919707052930844238209674659121508107237416117892355492627997048632221847664771632475811145205285570041026555522401560029623082352963685762734291825299231675014599181449868803554719236742601878067818} a^{36} + \frac{732084400450556010578944787275604210227650637544111792568320771377518907110758999860250085935822265988107050811653079262239542550587090553187895432796399512068618111090510995999659831857627423070717664298975845061750699064899617037188684818637302729434538378049424151}{54974135456831137730275303803750856969534020276238557030262827599818320458077919707052930844238209674659121508107237416117892355492627997048632221847664771632475811145205285570041026555522401560029623082352963685762734291825299231675014599181449868803554719236742601878067818} a^{35} - \frac{4971939187591039700712254042536133615736319327461586332272293439500699076760165123595302636313958523274189448934912221923714482456090802068948013753674209617146586869368483601716450077984111741135860478575904289630674874013132738293848159891631632532916327840955054672716813}{27487067728415568865137651901875428484767010138119278515131413799909160229038959853526465422119104837329560754053618708058946177746313998524316110923832385816237905572602642785020513277761200780014811541176481842881367145912649615837507299590724934401777359618371300939033909} a^{34} + \frac{603527860315701698390607397615907227566756154994537081273160623607406565759193025208377824605604552455547248166674307333367475607506777309078991954183934718191485901973834478974432378084552263431489035107741470978485239787648521234273915635768690625079502152299889438324885}{27487067728415568865137651901875428484767010138119278515131413799909160229038959853526465422119104837329560754053618708058946177746313998524316110923832385816237905572602642785020513277761200780014811541176481842881367145912649615837507299590724934401777359618371300939033909} a^{33} + \frac{13029210018943707203564481816767440114268664406188009772827281107040084804896959638244182588513715052540362583221256173336041303593576017866852948847952157432589257052536237636391196343572101530616047777224988648694272561889376470626870301880152189840269429632147181550702361}{54974135456831137730275303803750856969534020276238557030262827599818320458077919707052930844238209674659121508107237416117892355492627997048632221847664771632475811145205285570041026555522401560029623082352963685762734291825299231675014599181449868803554719236742601878067818} a^{32} + \frac{7074731944251935597259942204912861794521594950258644248183774428538137538497872286081571960918618203092718838243808171929891203884566018252360118950221300590001910016744245556363935850783171393963568198085049279653047644522815536486607033554260471424379211064454230275106443}{54974135456831137730275303803750856969534020276238557030262827599818320458077919707052930844238209674659121508107237416117892355492627997048632221847664771632475811145205285570041026555522401560029623082352963685762734291825299231675014599181449868803554719236742601878067818} a^{31} + \frac{3439337591984755799227280237735785934096634154857826325959366285217291727147837870862489243378528952050652783451475291244590185827998477541562997183090253977458463552092284950321794006611303246772004754205218804204781069068105921126513525296805584608906630356161811422265995}{54974135456831137730275303803750856969534020276238557030262827599818320458077919707052930844238209674659121508107237416117892355492627997048632221847664771632475811145205285570041026555522401560029623082352963685762734291825299231675014599181449868803554719236742601878067818} a^{30} - \frac{6726300789150203897078032266573059005082557319099932254290724625568204840954566778765717373613082153770700053063258562011617904485552640012337510022798500952358127237074314177099339865074654706713682908950368000418172864835251602281936541376301904667807252161786785221557909}{54974135456831137730275303803750856969534020276238557030262827599818320458077919707052930844238209674659121508107237416117892355492627997048632221847664771632475811145205285570041026555522401560029623082352963685762734291825299231675014599181449868803554719236742601878067818} a^{29} + \frac{24677197631713820294138757696030291894364089481150711093475063138345549863949178695128395873214866501616809530574693767192183589488038287495174982720832357122193137098940844809068365114337218210583767826501731867885142220604660110539229513092509124414518333601444936919525693}{54974135456831137730275303803750856969534020276238557030262827599818320458077919707052930844238209674659121508107237416117892355492627997048632221847664771632475811145205285570041026555522401560029623082352963685762734291825299231675014599181449868803554719236742601878067818} a^{28} + \frac{21811806086904975076447879257139114839735011546446884691833142369802254556833926933452395327025039139859392856087110186680762364013644165754241817104172129809517744445728769151458039849362298315967313042478520644351085146320099785640986222627511186336113779935546976688528605}{54974135456831137730275303803750856969534020276238557030262827599818320458077919707052930844238209674659121508107237416117892355492627997048632221847664771632475811145205285570041026555522401560029623082352963685762734291825299231675014599181449868803554719236742601878067818} a^{27} - \frac{9612869478487337241492845000793869124569411942995392600580258087546659915542273596822400302780183842751233743691791073182070573632470666107558925793090224198498720104199258550103545508559695588520584569273853235357266121799693599743392037011189923037219417342186327894087121}{27487067728415568865137651901875428484767010138119278515131413799909160229038959853526465422119104837329560754053618708058946177746313998524316110923832385816237905572602642785020513277761200780014811541176481842881367145912649615837507299590724934401777359618371300939033909} a^{26} - \frac{336768575118615625526538355364850669761989222267583159896689858471132291257793738925767574287077872073289381617140839395754906935364220266893899988436365628873992635743047672681908167932379094291295767124919132864332296960861513535085484022274604625033979589824790202866759}{54974135456831137730275303803750856969534020276238557030262827599818320458077919707052930844238209674659121508107237416117892355492627997048632221847664771632475811145205285570041026555522401560029623082352963685762734291825299231675014599181449868803554719236742601878067818} a^{25} + \frac{2036340442256080072541483904262115973683856686352559947677215928665468170232985102133204626613131296431859225643348520720665346324743170676126676890866611960312134344822579944448465633757436193786529487680568108935686336741586886769408736267012678547766600753826446106576227}{54974135456831137730275303803750856969534020276238557030262827599818320458077919707052930844238209674659121508107237416117892355492627997048632221847664771632475811145205285570041026555522401560029623082352963685762734291825299231675014599181449868803554719236742601878067818} a^{24} + \frac{5306246507121685850127776941081538988493188126324531169260194353765068644004446203570400629421909691879449325575447938179288992501642570782829897874383699467046480511577689007719058460541884085727381610558273470063585965700159481236913195920877776490054908991726089511223319}{54974135456831137730275303803750856969534020276238557030262827599818320458077919707052930844238209674659121508107237416117892355492627997048632221847664771632475811145205285570041026555522401560029623082352963685762734291825299231675014599181449868803554719236742601878067818} a^{23} - \frac{20138814173951787444458220731680471946494213100611466230300272673283437583362203952852050663108077089043669790557669617182444018421536628055258864234222262704657579283917351495460154231351399686613552189395738957839700480689866749046609666862213745030312370264707136049513219}{54974135456831137730275303803750856969534020276238557030262827599818320458077919707052930844238209674659121508107237416117892355492627997048632221847664771632475811145205285570041026555522401560029623082352963685762734291825299231675014599181449868803554719236742601878067818} a^{22} + \frac{874278814332948172895661643500014170013550890669382097790225057740579926841694076827225711779885562582669378490370079066536418055505135386529630828407795349166683026337448028812283747824973228293477678993302946551376787062636068568280428800349384247653882240993308075170683}{27487067728415568865137651901875428484767010138119278515131413799909160229038959853526465422119104837329560754053618708058946177746313998524316110923832385816237905572602642785020513277761200780014811541176481842881367145912649615837507299590724934401777359618371300939033909} a^{21} - \frac{34214668556569586774266197990771442533140933677418836965599915956702004838970139390627883770890985870267389470244781879604579158702912886171213956477706810814528849051496127605150261065968926598350028395551249645937800540042241450692711531554236822169975695841241004082815}{119249751533256264056996320615511620324368807540647629132891166160126508585852320405754730681644706452622823227998345805027966063975331880799636056068687140200598288818232723579264699686599569544532804950874107778227189353200215253091137959178850040788621950622001305592338} a^{20} - \frac{6006780690167722096586938913554150733750261640549037822155069736887228586432304156332834765374502915480897140950535351765126226828756385723383957134045002385787885354885927194531697286352926615209137216006814584966859801046804747368329989048861881482913399823925305114509904}{27487067728415568865137651901875428484767010138119278515131413799909160229038959853526465422119104837329560754053618708058946177746313998524316110923832385816237905572602642785020513277761200780014811541176481842881367145912649615837507299590724934401777359618371300939033909} a^{19} + \frac{17753857814694029343403293986805491141057270189383400714377808763698121667577277190893777991559068085208499700556800126518972922100875742123486092743188257361425657165679665072848360385133400397231005738352252947957895328733556999628000102267259459079496552704844655263206403}{54974135456831137730275303803750856969534020276238557030262827599818320458077919707052930844238209674659121508107237416117892355492627997048632221847664771632475811145205285570041026555522401560029623082352963685762734291825299231675014599181449868803554719236742601878067818} a^{18} + \frac{649788831769553079702046678477327785053645588849724261196977663629742725494348193133371129912881419817918472827998737122404292240498592836509052041838791295548630387292421309767629850102694147173882284081602848504283225201353491004075214643610180308960313735421955255978471}{27487067728415568865137651901875428484767010138119278515131413799909160229038959853526465422119104837329560754053618708058946177746313998524316110923832385816237905572602642785020513277761200780014811541176481842881367145912649615837507299590724934401777359618371300939033909} a^{17} - \frac{1477917320200339798292437335791376496066032612557841959783007030712554223114150031098957041690075324583602408272837954418905293923096617542877370833183613528678232927788568564068317066091515871412454246012189771219987460228157655372982788447692356625248639421723495831217503}{54974135456831137730275303803750856969534020276238557030262827599818320458077919707052930844238209674659121508107237416117892355492627997048632221847664771632475811145205285570041026555522401560029623082352963685762734291825299231675014599181449868803554719236742601878067818} a^{16} - \frac{8061585417138518009891292731913269706277018670751688723295037442234003297454411816299213962588470742560047928420101425477692802775988348825040933741793959530657119657962635402997907845023295303358808166289989018508869415291740073093175052579628514164174387848471336935733922}{27487067728415568865137651901875428484767010138119278515131413799909160229038959853526465422119104837329560754053618708058946177746313998524316110923832385816237905572602642785020513277761200780014811541176481842881367145912649615837507299590724934401777359618371300939033909} a^{15} + \frac{10168062874552498341502997465255600011520990862240905644455399981823738339740059717213363321641561625091820287829251800602056669069642221922517391677931259572205680393128009967698849250243959046966004246175872252802497267237546020651915964615736985546196379584520643897252363}{54974135456831137730275303803750856969534020276238557030262827599818320458077919707052930844238209674659121508107237416117892355492627997048632221847664771632475811145205285570041026555522401560029623082352963685762734291825299231675014599181449868803554719236742601878067818} a^{14} + \frac{14342007727824009332062237945246386795523254012807472547762000974163575230320996873877276064954889211648331805053606764692303578952714142154804840665977917906892805674259009443603466685255819510999478145187597231793252436191843236225745120335817908251750366780061788557493587}{54974135456831137730275303803750856969534020276238557030262827599818320458077919707052930844238209674659121508107237416117892355492627997048632221847664771632475811145205285570041026555522401560029623082352963685762734291825299231675014599181449868803554719236742601878067818} a^{13} - \frac{18248561638157545307788427769703265236793098233523184697121572046190877733898782668021480120986857895474422495041062374698992022225501339881480517715312512807811916912802440745840437018884197400399433149862891644379234527611050979275844660508481623756626895954860246650497723}{54974135456831137730275303803750856969534020276238557030262827599818320458077919707052930844238209674659121508107237416117892355492627997048632221847664771632475811145205285570041026555522401560029623082352963685762734291825299231675014599181449868803554719236742601878067818} a^{12} + \frac{6456996097048192390621586739101285403472502990331303432249949826703790482769926691700549745882845675700793193197424477715538105584828367633196191327360202807922996411538604783558280007942937926310078272042425292307050233954796118917312570558605142569915310497477064320094695}{27487067728415568865137651901875428484767010138119278515131413799909160229038959853526465422119104837329560754053618708058946177746313998524316110923832385816237905572602642785020513277761200780014811541176481842881367145912649615837507299590724934401777359618371300939033909} a^{11} - \frac{13678502332018550971359368863435438610502451693212302761493964952250349067767039482020467762771562474659117908705739721451514301651375905735224281914668029050716202212644199056831662609532277380865501015084811379187809840996741211372943459727636400949565374573247721789639220}{27487067728415568865137651901875428484767010138119278515131413799909160229038959853526465422119104837329560754053618708058946177746313998524316110923832385816237905572602642785020513277761200780014811541176481842881367145912649615837507299590724934401777359618371300939033909} a^{10} + \frac{101251325568890183497284016822645257411916226900763118932749795677674583952677691564503099430709621916812369687768759912002946214208901965640122921240377141897741060649807372654548344274234276463677223019292304974420269862500951546483680877444863238017741553792553969570380}{742893722389609969328044645996633202291000274003223743652200372970517844028079996041255822219435265873771912271719424542133680479630108068224759754698172589628051501962233588784338196696248669730130041653418428185982895835477016644256954042992565794642631341037062187541457} a^{9} - \frac{139867265283475294995309022056115613809237054715434780783514411363133811473523488902763255029050910095436641055563494815133267709792866888917870143188864816372723948963662966187223827192258262900974126908871402540354155930185922800420991351864689828650634925211776983212528}{742893722389609969328044645996633202291000274003223743652200372970517844028079996041255822219435265873771912271719424542133680479630108068224759754698172589628051501962233588784338196696248669730130041653418428185982895835477016644256954042992565794642631341037062187541457} a^{8} - \frac{270089567435151061389303801362232026518512621853072562489440354704437156834028446606858880093598493081354012423254621574051593928751016300123886786517917781127340860924217910982930353977880864933091531512147839641729499973997857249997229799846626603538713459651257151062414}{27487067728415568865137651901875428484767010138119278515131413799909160229038959853526465422119104837329560754053618708058946177746313998524316110923832385816237905572602642785020513277761200780014811541176481842881367145912649615837507299590724934401777359618371300939033909} a^{7} + \frac{9296560495805900880370457857625768749140144255802120761640522832582555985482176359283768526862818621573299019578688613299088299417168051122483818685909686558863367399204369013686457798494267646409080769798171930868565130762684975452898499196507261056496602274740980147019949}{27487067728415568865137651901875428484767010138119278515131413799909160229038959853526465422119104837329560754053618708058946177746313998524316110923832385816237905572602642785020513277761200780014811541176481842881367145912649615837507299590724934401777359618371300939033909} a^{6} - \frac{7726607209790311226895850805233911347433922012307888128749127802372988531490127667974200850511805714001497231389841788224229340162020387406090076108031087853123374367451803440758319497526066428522115371924412918893373871651751469840073185569929028646474133688385386038188369}{54974135456831137730275303803750856969534020276238557030262827599818320458077919707052930844238209674659121508107237416117892355492627997048632221847664771632475811145205285570041026555522401560029623082352963685762734291825299231675014599181449868803554719236742601878067818} a^{5} - \frac{4534899463602987852596609033305727954514473785710895544182848945630731931175418345849663732911967982734856335994213561789442973882083096712318764938369356230144898932703131568594518997018013329920235339606683896010017955314097752883435863738717158053966739457773423774515891}{27487067728415568865137651901875428484767010138119278515131413799909160229038959853526465422119104837329560754053618708058946177746313998524316110923832385816237905572602642785020513277761200780014811541176481842881367145912649615837507299590724934401777359618371300939033909} a^{4} - \frac{7706222093705935022257492405681231132433116528164048532003803346257837780067159680813980353324634319249127723389062074379974299108887665687580083388172389324595615449351453559056037736100558639966591830273974185444372097381161865654382722060111430583051842702924064193472635}{27487067728415568865137651901875428484767010138119278515131413799909160229038959853526465422119104837329560754053618708058946177746313998524316110923832385816237905572602642785020513277761200780014811541176481842881367145912649615837507299590724934401777359618371300939033909} a^{3} - \frac{18917910151527569420185426578577146900413762759411610908655072938222552285526632722414449348800648068761645422789361530616609917705614764384001900963210245024684464550057154592362053882993857577603686430786851692731380930035775987098916114236013237890153503370508533357144511}{54974135456831137730275303803750856969534020276238557030262827599818320458077919707052930844238209674659121508107237416117892355492627997048632221847664771632475811145205285570041026555522401560029623082352963685762734291825299231675014599181449868803554719236742601878067818} a^{2} - \frac{5938350563544899763694231555330953889169824854779216204032968013517696622792328412325407882186753943383657428185946361636011021594036213608543628939821296196442985517492734626477955967925287059584828484927474116427274880273820218103098041641413735379720333895263878591548623}{54974135456831137730275303803750856969534020276238557030262827599818320458077919707052930844238209674659121508107237416117892355492627997048632221847664771632475811145205285570041026555522401560029623082352963685762734291825299231675014599181449868803554719236742601878067818} a - \frac{9910912706173050961990907606660599093522308615872466193514051043690198097610081720117809963488311455325005630448550194540785550632219471732294077035029987036877418741429071106603252032591009521132359271912143353164545972653041767551346570781686126070445728498957774028135163}{27487067728415568865137651901875428484767010138119278515131413799909160229038959853526465422119104837329560754053618708058946177746313998524316110923832385816237905572602642785020513277761200780014811541176481842881367145912649615837507299590724934401777359618371300939033909}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $19$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{40}$ (as 40T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_{40}$
Character table for $C_{40}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{41}) \), 4.4.68921.1, \(\Q(\zeta_{11})^+\), 8.0.194754273881.1, 10.10.24834805603271081.1, 20.20.71456347485157416743258455558623595836761.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $20^{2}$ $40$ $20^{2}$ $40$ R $40$ $40$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/23.2.0.1}{2} }^{20}$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/31.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/37.5.0.1}{5} }^{8}$ R ${\href{/LocalNumberField/43.4.0.1}{4} }^{10}$ $40$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/59.5.0.1}{5} }^{8}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
11Data not computed
41Data not computed