↑

Properties

Label 40.0.45511495660...5625.1
Degree $40$
Signature $[0, 20]$
Discriminant $5^{30}\cdot 31^{36}$
Root discriminant $73.53$
Ramified primes $5, 31$
Class number $38400$ (GRH)
Class group $[2, 4, 4, 20, 60]$ (GRH)
Galois group $C_2\times C_{20}$ (as 40T2)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![390625, -312500, -734375, 1281250, 228750, 576250, -78700, -3833465, 2801471, 6548168, -5967172, -5547842, 11699025, -5513654, -12065200, 4424280, 7599798, -6001107, 3678122, 3360939, -1658812, -293393, 926706, -713657, -180921, 155327, -24459, -36412, 47648, 4304, -2402, 3395, 884, -529, 236, 53, -24, 19, -1, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - x^39 - x^38 + 19*x^37 - 24*x^36 + 53*x^35 + 236*x^34 - 529*x^33 + 884*x^32 + 3395*x^31 - 2402*x^30 + 4304*x^29 + 47648*x^28 - 36412*x^27 - 24459*x^26 + 155327*x^25 - 180921*x^24 - 713657*x^23 + 926706*x^22 - 293393*x^21 - 1658812*x^20 + 3360939*x^19 + 3678122*x^18 - 6001107*x^17 + 7599798*x^16 + 4424280*x^15 - 12065200*x^14 - 5513654*x^13 + 11699025*x^12 - 5547842*x^11 - 5967172*x^10 + 6548168*x^9 + 2801471*x^8 - 3833465*x^7 - 78700*x^6 + 576250*x^5 + 228750*x^4 + 1281250*x^3 - 734375*x^2 - 312500*x + 390625)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - x^39 - x^38 + 19*x^37 - 24*x^36 + 53*x^35 + 236*x^34 - 529*x^33 + 884*x^32 + 3395*x^31 - 2402*x^30 + 4304*x^29 + 47648*x^28 - 36412*x^27 - 24459*x^26 + 155327*x^25 - 180921*x^24 - 713657*x^23 + 926706*x^22 - 293393*x^21 - 1658812*x^20 + 3360939*x^19 + 3678122*x^18 - 6001107*x^17 + 7599798*x^16 + 4424280*x^15 - 12065200*x^14 - 5513654*x^13 + 11699025*x^12 - 5547842*x^11 - 5967172*x^10 + 6548168*x^9 + 2801471*x^8 - 3833465*x^7 - 78700*x^6 + 576250*x^5 + 228750*x^4 + 1281250*x^3 - 734375*x^2 - 312500*x + 390625, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - x^{39} - x^{38} + 19 x^{37} - 24 x^{36} + 53 x^{35} + 236 x^{34} - 529 x^{33} + 884 x^{32} + 3395 x^{31} - 2402 x^{30} + 4304 x^{29} + 47648 x^{28} - 36412 x^{27} - 24459 x^{26} + 155327 x^{25} - 180921 x^{24} - 713657 x^{23} + 926706 x^{22} - 293393 x^{21} - 1658812 x^{20} + 3360939 x^{19} + 3678122 x^{18} - 6001107 x^{17} + 7599798 x^{16} + 4424280 x^{15} - 12065200 x^{14} - 5513654 x^{13} + 11699025 x^{12} - 5547842 x^{11} - 5967172 x^{10} + 6548168 x^{9} + 2801471 x^{8} - 3833465 x^{7} - 78700 x^{6} + 576250 x^{5} + 228750 x^{4} + 1281250 x^{3} - 734375 x^{2} - 312500 x + 390625 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 20]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(455114956604101938631100439919192819024746180307118297554552555084228515625=5^{30}\cdot 31^{36}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $73.53$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 31$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(155=5\cdot 31\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{155}(128,·)$, $\chi_{155}(1,·)$, $\chi_{155}(2,·)$, $\chi_{155}(4,·)$, $\chi_{155}(8,·)$, $\chi_{155}(139,·)$, $\chi_{155}(16,·)$, $\chi_{155}(147,·)$, $\chi_{155}(23,·)$, $\chi_{155}(132,·)$, $\chi_{155}(154,·)$, $\chi_{155}(27,·)$, $\chi_{155}(29,·)$, $\chi_{155}(32,·)$, $\chi_{155}(33,·)$, $\chi_{155}(39,·)$, $\chi_{155}(46,·)$, $\chi_{155}(47,·)$, $\chi_{155}(54,·)$, $\chi_{155}(58,·)$, $\chi_{155}(151,·)$, $\chi_{155}(61,·)$, $\chi_{155}(63,·)$, $\chi_{155}(64,·)$, $\chi_{155}(66,·)$, $\chi_{155}(77,·)$, $\chi_{155}(78,·)$, $\chi_{155}(89,·)$, $\chi_{155}(91,·)$, $\chi_{155}(92,·)$, $\chi_{155}(94,·)$, $\chi_{155}(97,·)$, $\chi_{155}(101,·)$, $\chi_{155}(108,·)$, $\chi_{155}(109,·)$, $\chi_{155}(116,·)$, $\chi_{155}(153,·)$, $\chi_{155}(122,·)$, $\chi_{155}(123,·)$, $\chi_{155}(126,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $\frac{1}{5} a^{17} + \frac{1}{5} a^{13} + \frac{1}{5} a^{9} + \frac{1}{5} a^{5} + \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{5} a^{18} + \frac{1}{5} a^{14} + \frac{1}{5} a^{10} + \frac{1}{5} a^{6} + \frac{1}{5} a^{2}$, $\frac{1}{5} a^{19} + \frac{1}{5} a^{15} + \frac{1}{5} a^{11} + \frac{1}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{3}$, $\frac{1}{5} a^{20} + \frac{1}{5} a^{16} + \frac{1}{5} a^{12} + \frac{1}{5} a^{8} + \frac{1}{5} a^{4}$, $\frac{1}{25} a^{21} + \frac{2}{25} a^{20} - \frac{1}{25} a^{19} - \frac{2}{25} a^{18} + \frac{1}{25} a^{17} + \frac{7}{25} a^{16} + \frac{9}{25} a^{15} - \frac{7}{25} a^{14} - \frac{9}{25} a^{13} + \frac{12}{25} a^{12} - \frac{6}{25} a^{11} - \frac{12}{25} a^{10} + \frac{6}{25} a^{9} - \frac{8}{25} a^{8} + \frac{4}{25} a^{7} + \frac{8}{25} a^{6} - \frac{4}{25} a^{5} - \frac{3}{25} a^{4} - \frac{11}{25} a^{3} + \frac{3}{25} a^{2} + \frac{2}{5} a$, $\frac{1}{25} a^{22} - \frac{1}{25} a^{2}$, $\frac{1}{25} a^{23} - \frac{1}{25} a^{3}$, $\frac{1}{25} a^{24} - \frac{1}{25} a^{4}$, $\frac{1}{25} a^{25} - \frac{1}{25} a^{5}$, $\frac{1}{25} a^{26} - \frac{1}{25} a^{6}$, $\frac{1}{25} a^{27} - \frac{1}{25} a^{7}$, $\frac{1}{25} a^{28} - \frac{1}{25} a^{8}$, $\frac{1}{25} a^{29} - \frac{1}{25} a^{9}$, $\frac{1}{25} a^{30} - \frac{1}{25} a^{10}$, $\frac{1}{125} a^{31} - \frac{2}{125} a^{30} + \frac{2}{125} a^{27} - \frac{2}{125} a^{26} + \frac{1}{125} a^{25} - \frac{2}{125} a^{23} - \frac{2}{125} a^{22} + \frac{1}{125} a^{21} + \frac{2}{125} a^{20} + \frac{9}{125} a^{19} + \frac{8}{125} a^{18} - \frac{9}{125} a^{17} + \frac{32}{125} a^{16} + \frac{19}{125} a^{15} + \frac{3}{125} a^{14} - \frac{19}{125} a^{13} + \frac{12}{125} a^{12} - \frac{22}{125} a^{11} - \frac{2}{5} a^{10} - \frac{54}{125} a^{9} - \frac{58}{125} a^{8} - \frac{38}{125} a^{7} + \frac{9}{25} a^{6} + \frac{12}{25} a^{5} - \frac{53}{125} a^{4} - \frac{24}{125} a^{3} - \frac{12}{25} a^{2} - \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{625} a^{32} - \frac{2}{625} a^{31} + \frac{1}{125} a^{30} - \frac{2}{125} a^{29} + \frac{2}{625} a^{28} - \frac{2}{625} a^{27} + \frac{11}{625} a^{26} + \frac{1}{125} a^{25} + \frac{8}{625} a^{24} - \frac{7}{625} a^{23} - \frac{4}{625} a^{22} - \frac{8}{625} a^{21} + \frac{39}{625} a^{20} + \frac{18}{625} a^{19} + \frac{61}{625} a^{18} - \frac{3}{625} a^{17} + \frac{249}{625} a^{16} + \frac{163}{625} a^{15} - \frac{24}{625} a^{14} + \frac{202}{625} a^{13} - \frac{92}{625} a^{12} + \frac{27}{125} a^{11} - \frac{139}{625} a^{10} - \frac{8}{625} a^{9} - \frac{158}{625} a^{8} + \frac{26}{125} a^{7} - \frac{21}{125} a^{6} - \frac{293}{625} a^{5} + \frac{46}{625} a^{4} + \frac{61}{125} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2}$, $\frac{1}{625} a^{33} + \frac{1}{625} a^{31} + \frac{7}{625} a^{29} + \frac{2}{625} a^{28} + \frac{7}{625} a^{27} + \frac{2}{625} a^{26} - \frac{7}{625} a^{25} + \frac{9}{625} a^{24} + \frac{7}{625} a^{23} + \frac{9}{625} a^{22} - \frac{2}{625} a^{21} + \frac{46}{625} a^{20} - \frac{3}{625} a^{19} + \frac{44}{625} a^{18} - \frac{32}{625} a^{17} - \frac{139}{625} a^{16} - \frac{48}{625} a^{15} + \frac{204}{625} a^{14} + \frac{287}{625} a^{13} + \frac{276}{625} a^{12} + \frac{156}{625} a^{11} - \frac{111}{625} a^{10} + \frac{26}{625} a^{9} + \frac{14}{625} a^{8} - \frac{14}{125} a^{7} - \frac{178}{625} a^{6} - \frac{8}{125} a^{5} - \frac{153}{625} a^{4} - \frac{53}{125} a^{3} + \frac{11}{25} a^{2} + \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{625} a^{34} + \frac{2}{625} a^{31} + \frac{2}{625} a^{30} + \frac{12}{625} a^{29} + \frac{1}{125} a^{28} + \frac{4}{625} a^{27} + \frac{7}{625} a^{26} + \frac{4}{625} a^{25} - \frac{1}{625} a^{24} - \frac{9}{625} a^{23} + \frac{2}{625} a^{22} + \frac{4}{625} a^{21} - \frac{17}{625} a^{20} - \frac{49}{625} a^{19} + \frac{7}{625} a^{18} - \frac{61}{625} a^{17} + \frac{103}{625} a^{16} + \frac{91}{625} a^{15} + \frac{36}{625} a^{14} + \frac{24}{625} a^{13} - \frac{227}{625} a^{12} - \frac{71}{625} a^{11} + \frac{28}{125} a^{10} - \frac{153}{625} a^{9} - \frac{12}{625} a^{8} - \frac{8}{625} a^{7} + \frac{53}{125} a^{6} - \frac{32}{125} a^{5} - \frac{36}{625} a^{4} - \frac{41}{125} a^{3} - \frac{11}{25} a^{2} + \frac{2}{5} a$, $\frac{1}{3125} a^{35} + \frac{1}{3125} a^{34} - \frac{2}{3125} a^{32} + \frac{12}{3125} a^{31} - \frac{31}{3125} a^{30} + \frac{57}{3125} a^{29} + \frac{51}{3125} a^{28} - \frac{56}{3125} a^{27} - \frac{8}{3125} a^{26} + \frac{33}{3125} a^{25} + \frac{8}{3125} a^{24} + \frac{21}{3125} a^{23} - \frac{3}{3125} a^{22} + \frac{19}{3125} a^{21} + \frac{278}{3125} a^{20} - \frac{114}{3125} a^{19} - \frac{298}{3125} a^{18} - \frac{196}{3125} a^{17} + \frac{323}{3125} a^{16} - \frac{21}{125} a^{15} - \frac{1094}{3125} a^{14} - \frac{11}{3125} a^{13} - \frac{261}{625} a^{12} + \frac{779}{3125} a^{11} - \frac{1307}{3125} a^{10} + \frac{242}{3125} a^{9} - \frac{813}{3125} a^{8} + \frac{437}{3125} a^{7} - \frac{6}{25} a^{6} + \frac{676}{3125} a^{5} + \frac{51}{125} a^{4} + \frac{7}{125} a^{3} - \frac{3}{25} a^{2} + \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{209375} a^{36} + \frac{1}{8375} a^{35} - \frac{161}{209375} a^{34} - \frac{7}{209375} a^{33} - \frac{66}{209375} a^{32} - \frac{33}{209375} a^{31} - \frac{882}{209375} a^{30} - \frac{2286}{209375} a^{29} + \frac{1923}{209375} a^{28} - \frac{17}{209375} a^{27} - \frac{3844}{209375} a^{26} + \frac{694}{41875} a^{25} + \frac{2488}{209375} a^{24} + \frac{416}{209375} a^{23} - \frac{1648}{209375} a^{22} + \frac{269}{209375} a^{21} - \frac{1647}{209375} a^{20} + \frac{7606}{209375} a^{19} - \frac{2993}{209375} a^{18} + \frac{10054}{209375} a^{17} + \frac{62822}{209375} a^{16} - \frac{32829}{209375} a^{15} - \frac{97527}{209375} a^{14} + \frac{95396}{209375} a^{13} - \frac{43741}{209375} a^{12} - \frac{63606}{209375} a^{11} + \frac{22324}{209375} a^{10} + \frac{1762}{41875} a^{9} + \frac{5548}{41875} a^{8} - \frac{5907}{209375} a^{7} + \frac{48316}{209375} a^{6} - \frac{24036}{209375} a^{5} - \frac{12876}{41875} a^{4} - \frac{892}{8375} a^{3} - \frac{698}{1675} a^{2} - \frac{77}{335} a - \frac{17}{67}$, $\frac{1}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{37} - \frac{5933043406915359598619679300944460144283}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{36} - \frac{873231723681549918452595079066977006032003}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{35} - \frac{3502797301635385803590544794533491338249381}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{34} + \frac{592076899684491333259526093550231071143977}{1371217222540864512887618510063236645178114375} a^{33} - \frac{4428269738400131198299895077870041659479621}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{32} - \frac{491697569844678031735379500445084935665942}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{31} - \frac{112785204892423383469924427514870464806050968}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{30} + \frac{92746959880990860595654938992530604581821267}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{29} - \frac{125398908533466289052049750220591720468633953}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{28} + \frac{71397263493414495323420901509370305176936504}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{27} - \frac{9825957815475839106837049116826643304109767}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{26} - \frac{85751998914573770169950029135571025634660753}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{25} + \frac{51081104540566160969682162351730913671801351}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{24} - \frac{33332133131451788634197552989170059216861138}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{23} - \frac{29656025675861864978834349348001247048912756}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{22} + \frac{100837890579165159159631907574796998729815458}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{21} + \frac{578063223464571693151173321249171010678997466}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{20} - \frac{481923834978589570566809912688045061500592558}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{19} - \frac{570672430479505417969972826208081344922995096}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{18} - \frac{351506032507201726545917609562782038704143498}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{17} - \frac{611537675578364530941283725578365966820055911}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{16} - \frac{12041072145867831770938300118954434698852218}{274243444508172902577523702012647329035622875} a^{15} - \frac{276932934604790245478627186041861514400807666}{1371217222540864512887618510063236645178114375} a^{14} + \frac{192268757240264919299714752168559275903292488}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{13} - \frac{2476419522155615619669720004639589632643699758}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{12} + \frac{624441793115274168988117428183767609544302494}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{11} + \frac{2757962047485404677807301131282836879589626742}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{10} + \frac{2432482075584601497071720575396551622932894551}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{9} - \frac{717971883990106293383551694459018237091338961}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{8} - \frac{2767206392096275932728135544621895558793914122}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{7} + \frac{1690915273951044885407388734159837481360516951}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{6} + \frac{767270418779395269424425236960330106344773341}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{5} - \frac{21796057027183553241161039193614980480499991}{274243444508172902577523702012647329035622875} a^{4} + \frac{110880209326012186993626215393750495165196506}{274243444508172902577523702012647329035622875} a^{3} - \frac{7942848275393741432557633161879973395207387}{54848688901634580515504740402529465807124575} a^{2} - \frac{5038283095325870410878431937122315715678092}{10969737780326916103100948080505893161424915} a - \frac{539829924083061298999882205842047761390173}{2193947556065383220620189616101178632284983}$, $\frac{1}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{38} - \frac{1}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{37} + \frac{24282308412924995743127492652390289133839}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{36} - \frac{4693590706201810073182693335905953265759166}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{35} - \frac{17294449471277872124505457810410613635358349}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{34} - \frac{287440396373865314096215697262651433704552}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{33} + \frac{14846117717051553869376925779989604861603666}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{32} + \frac{21822024280984290875487440920293433391967631}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{31} - \frac{299366078320568741381098835070126743646421561}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{30} + \frac{124555965515960000130047253178619883044875472}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{29} + \frac{19147924159800501255385688969317171368974908}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{28} + \frac{585287595637024436896917945209420438628800459}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{27} + \frac{543044744122671437846826813136993039834361543}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{26} - \frac{667473921986748462449269356010857747574928117}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{25} - \frac{285869517905800590540750436958900997904651519}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{24} + \frac{313350311288589206759643217930191104055688157}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{23} + \frac{629781108835703097111449259788694396525484489}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{22} + \frac{114444049727769478824712808591377505452041638}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{21} + \frac{2929865747504667525902197547826217550452377496}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{20} - \frac{3083973740637212282106800196891933229746490738}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{19} - \frac{1881184075808397523840769190395427587930690377}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{18} + \frac{109913468897939792560376094944363738979486909}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{17} + \frac{10767170119252632609372450827001819475226530172}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{16} + \frac{5635054439993471761089726420233469907045761308}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{15} + \frac{2640331951082711935731306745537715287880708708}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{14} - \frac{1419253506459595001982540177123266339942712544}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{13} - \frac{1285551805031788971359343126052691067320108978}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{12} - \frac{11103596536128732565465929177314686380525840384}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{11} - \frac{2649064545417053826887152948449433750320945284}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{10} - \frac{6086747455960738025602090401573408364854933987}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{9} + \frac{5483491208380522482685270137535438947449236858}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{8} - \frac{232640013501622003598377298093255330749126246}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{7} + \frac{7668464047974999851873117992523737700788038961}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{6} - \frac{1888345469942807177772600948174891559025378403}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{5} + \frac{230563249527232453408099033301705692046020027}{1371217222540864512887618510063236645178114375} a^{4} + \frac{22715038188477652366874515800440920070261829}{274243444508172902577523702012647329035622875} a^{3} + \frac{121496844967382727368656863253021745106368}{54848688901634580515504740402529465807124575} a^{2} - \frac{3502073687381684280988356807617629115607157}{10969737780326916103100948080505893161424915} a + \frac{707969264912297134686784523692603104274794}{2193947556065383220620189616101178632284983}$, $\frac{1}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{39} - \frac{1}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{38} - \frac{1}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{37} - \frac{305546885156438915515924155032480166502381}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{36} + \frac{10945092048618712630516598023441817297236826}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{35} - \frac{26721848712641076213240901694794380029529822}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{34} + \frac{109640292256169789334962399972449994385267161}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{33} + \frac{116174955980603814940141654396915520931060296}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{32} - \frac{265845014092161914471399860291158533896798591}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{31} + \frac{247540690517695333955542453493414142291229694}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{30} - \frac{1947059997193558541935958088218774813214375927}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{29} - \frac{2030966496615954144622792660029983961331575921}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{28} - \frac{1192228552836389615813378060285009146227717777}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{27} + \frac{2558979498348881274313735648447061078877487638}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{26} - \frac{1744550899097283075688797520830546715186376659}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{25} + \frac{164190071650870897139301393684588698711779677}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{24} + \frac{1712863709200180798136240824638035420470311279}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{23} + \frac{3413371372782686081765274133669275889982726993}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{22} - \frac{27966030176553444789034268860414081033530707}{2558241086829971106133616623252307173839765625} a^{21} - \frac{12250322002990246106892038228882782413506621043}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{20} + \frac{2231829654604441725581312866776307931592035138}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{19} + \frac{401082802244212489258108143823058376789823839}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{18} - \frac{8601794091401846002227047005730239871614838953}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{17} - \frac{21190241595369551483076713310570271302631829857}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{16} - \frac{64669744865004602958962283449764536716968656977}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{15} + \frac{12931000429252709058677518431342821940217676486}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{14} + \frac{1331892642237338665110159596161172954778319137}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{13} + \frac{67628560417032027940433870483456597776503994621}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{12} + \frac{3175256312866239347498020349081048556022996163}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{11} - \frac{17285293681907297207380510368233137569290439892}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{10} - \frac{31208119452920397991615746619040499863457006722}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{9} - \frac{60541451585897462834482539865483969535772784132}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{8} - \frac{66416728133604141670953365347291046284368275779}{171402152817608064110952313757904580647264296875} a^{7} + \frac{3935197869507493732179541290263500533108289177}{34280430563521612822190462751580916129452859375} a^{6} + \frac{1599717859786425226523421897683156730181922972}{6856086112704322564438092550316183225890571875} a^{5} + \frac{207959737235565741739626781036355591729374967}{1371217222540864512887618510063236645178114375} a^{4} + \frac{58032711855408201202956832692653587953929106}{274243444508172902577523702012647329035622875} a^{3} + \frac{27226454692405964254370672592323106639814518}{54848688901634580515504740402529465807124575} a^{2} - \frac{1087230354028700265943729041375563167984388}{10969737780326916103100948080505893161424915} a + \frac{228882145663815104126150270585701313983615}{2193947556065383220620189616101178632284983}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

$C_{2}\times C_{4}\times C_{4}\times C_{20}\times C_{60}$, which has order $38400$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $19$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -\frac{52191102302450209136422202112624920716}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{39} - \frac{742467848301956011214160702658203836802}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{38} + \frac{568441318275734884188543354060753012514}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{37} - \frac{262890277333878131059791442800611702516}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{36} - \frac{12934530464323105141982270877020092930288}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{35} + \frac{11115612406233797162714941770970725833454}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{34} - \frac{433915436667429236385920143884518056668}{4093185738927953769813786597203691478143625} a^{33} - \frac{161254114422817518678823215671035888687044}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{32} + \frac{283835087012875109306815155482543021775833}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{31} - \frac{792214286381745711378414311868712496478252}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{30} - \frac{2573344866145910628140065565572698388255408}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{29} + \frac{312801188029120861962968374494666080736572}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{28} - \frac{48637555381071158560848484220545276294526}{4093185738927953769813786597203691478143625} a^{27} - \frac{35487911438659454164480903988051908502625002}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{26} + \frac{609707896283038316031277906519663390271116}{20465928694639768849068932986018457390718125} a^{25} + \frac{1511572472326314424001581648623817905166414}{102329643473198844245344664930092286953590625} a^{24} - \frac{16229439805468626701338192709561591321083534}{102329643473198844245344664930092286953590625} a^{23} + \frac{5590612629327968892709517190057627760532856}{20465928694639768849068932986018457390718125} a^{22} + \frac{21034045956263654126947828655466609203732926}{20465928694639768849068932986018457390718125} a^{21} - \frac{84885875695950938598860846683780095944034126}{102329643473198844245344664930092286953590625} a^{20} + \frac{256056364985185189659901215742911375332699696}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{19} + \frac{747600472801999239395023224734927623519511352}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{18} - \frac{2121576654477132697729185820313288327968197664}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{17} - \frac{3290183309729416935149407430572440490686460114}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{16} + \frac{1960787903398226213969987421057662253903727868}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{15} - \frac{5094827208972604919290838453818015875494681104}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{14} - \frac{92642801304207796423378998365903912689186234}{20465928694639768849068932986018457390718125} a^{13} + \frac{5579930731309036133504867614016932292341367564}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{12} + \frac{9017345026434807283867414671352906418736435872}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{11} - \frac{3191036262572855889334762442978781560465064198}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{10} + \frac{3095672210441481175726534012337585620460949408}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{9} + \frac{1700928819133645793135191478993876450458145798}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{8} - \frac{368932760769682553208759706333388878050150224}{102329643473198844245344664930092286953590625} a^{7} - \frac{4807209673772988799636924889966081992065150448}{511648217365994221226723324650461434767953125} a^{6} + \frac{76026592533133594985071809025202987407534}{163727429557118150792551463888147659125745} a^{5} + \frac{126004171296886028363761104903745400896218}{818637147785590753962757319440738295628725} a^{4} + \frac{41516174247331269180763147271888566402878}{32745485911423630158510292777629531825149} a^{3} - \frac{21678516147571851425273548744206144978436}{32745485911423630158510292777629531825149} a^{2} - \frac{239052740446084292273423389325228424131164}{163727429557118150792551463888147659125745} a + \frac{54848337964589793715842463050386200450}{155191876357457962836541671931893515759} \) (order $10$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 969023078310684700 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_2\times C_{20}$ (as 40T2):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{20}$
Character table for $C_2\times C_{20}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-31}) \), \(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\sqrt{-155}) \), \(\Q(\sqrt{5}, \sqrt{-31})\), 4.4.120125.1, \(\Q(\zeta_{5})\), 5.5.923521.1, 8.0.14430015625.1, 10.0.26439622160671.1, 10.10.2665284492003125.1, 10.0.82623819252096875.1, 20.0.6826695507803174204484084384765625.1, 20.20.21333423461884919389012763702392578125.1, 20.0.22199191947851112787734405517578125.2

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $20^{2}$ $20^{2}$ R $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/11.10.0.1}{10} }^{4}$ $20^{2}$ $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/19.10.0.1}{10} }^{4}$ $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/29.10.0.1}{10} }^{4}$ R ${\href{/LocalNumberField/37.4.0.1}{4} }^{10}$ ${\href{/LocalNumberField/41.5.0.1}{5} }^{8}$ $20^{2}$ $20^{2}$ $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/59.10.0.1}{10} }^{4}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$5$5.4.3.2$x^{4} - 20$$4$$1$$3$$C_4$$[\ ]_{4}$
5.4.3.2$x^{4} - 20$$4$$1$$3$$C_4$$[\ ]_{4}$
5.4.3.2$x^{4} - 20$$4$$1$$3$$C_4$$[\ ]_{4}$
5.4.3.2$x^{4} - 20$$4$$1$$3$$C_4$$[\ ]_{4}$
5.4.3.2$x^{4} - 20$$4$$1$$3$$C_4$$[\ ]_{4}$
5.4.3.2$x^{4} - 20$$4$$1$$3$$C_4$$[\ ]_{4}$
5.4.3.2$x^{4} - 20$$4$$1$$3$$C_4$$[\ ]_{4}$
5.4.3.2$x^{4} - 20$$4$$1$$3$$C_4$$[\ ]_{4}$
5.4.3.2$x^{4} - 20$$4$$1$$3$$C_4$$[\ ]_{4}$
5.4.3.2$x^{4} - 20$$4$$1$$3$$C_4$$[\ ]_{4}$
$31$31.10.9.8$x^{10} + 521017$$10$$1$$9$$C_{10}$$[\ ]_{10}$
31.10.9.8$x^{10} + 521017$$10$$1$$9$$C_{10}$$[\ ]_{10}$
31.10.9.8$x^{10} + 521017$$10$$1$$9$$C_{10}$$[\ ]_{10}$
31.10.9.8$x^{10} + 521017$$10$$1$$9$$C_{10}$$[\ ]_{10}$