↑

Properties

Label 40.0.34296436716...0625.1
Degree $40$
Signature $[0, 20]$
Discriminant $5^{20}\cdot 11^{36}\cdot 17^{35}$
Root discriminant $230.88$
Ramified primes $5, 11, 17$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{40}$ (as 40T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![553402136113967801, 252128673371738912, 1157271788184170842, 355626436037277912, 1062431436014171077, 288175051685606927, 479398723525712355, 82933946634742001, 141832220187432461, -7800767151617665, 31699026105567100, -4841562954273985, 5697446694340888, 327805687794932, 1191232934278609, 222049495807135, 279072370692972, 2277515781046, 39496054736893, -6137453171112, 697453826091, -1156468185533, -587996815784, -204754941776, -47987734851, -38235186403, 11052709879, -5127881369, 2934250927, -443994502, 321376610, -24611285, 20231634, -861175, 769166, -18233, 17179, -210, 205, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - x^39 + 205*x^38 - 210*x^37 + 17179*x^36 - 18233*x^35 + 769166*x^34 - 861175*x^33 + 20231634*x^32 - 24611285*x^31 + 321376610*x^30 - 443994502*x^29 + 2934250927*x^28 - 5127881369*x^27 + 11052709879*x^26 - 38235186403*x^25 - 47987734851*x^24 - 204754941776*x^23 - 587996815784*x^22 - 1156468185533*x^21 + 697453826091*x^20 - 6137453171112*x^19 + 39496054736893*x^18 + 2277515781046*x^17 + 279072370692972*x^16 + 222049495807135*x^15 + 1191232934278609*x^14 + 327805687794932*x^13 + 5697446694340888*x^12 - 4841562954273985*x^11 + 31699026105567100*x^10 - 7800767151617665*x^9 + 141832220187432461*x^8 + 82933946634742001*x^7 + 479398723525712355*x^6 + 288175051685606927*x^5 + 1062431436014171077*x^4 + 355626436037277912*x^3 + 1157271788184170842*x^2 + 252128673371738912*x + 553402136113967801)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - x^39 + 205*x^38 - 210*x^37 + 17179*x^36 - 18233*x^35 + 769166*x^34 - 861175*x^33 + 20231634*x^32 - 24611285*x^31 + 321376610*x^30 - 443994502*x^29 + 2934250927*x^28 - 5127881369*x^27 + 11052709879*x^26 - 38235186403*x^25 - 47987734851*x^24 - 204754941776*x^23 - 587996815784*x^22 - 1156468185533*x^21 + 697453826091*x^20 - 6137453171112*x^19 + 39496054736893*x^18 + 2277515781046*x^17 + 279072370692972*x^16 + 222049495807135*x^15 + 1191232934278609*x^14 + 327805687794932*x^13 + 5697446694340888*x^12 - 4841562954273985*x^11 + 31699026105567100*x^10 - 7800767151617665*x^9 + 141832220187432461*x^8 + 82933946634742001*x^7 + 479398723525712355*x^6 + 288175051685606927*x^5 + 1062431436014171077*x^4 + 355626436037277912*x^3 + 1157271788184170842*x^2 + 252128673371738912*x + 553402136113967801, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - x^{39} + 205 x^{38} - 210 x^{37} + 17179 x^{36} - 18233 x^{35} + 769166 x^{34} - 861175 x^{33} + 20231634 x^{32} - 24611285 x^{31} + 321376610 x^{30} - 443994502 x^{29} + 2934250927 x^{28} - 5127881369 x^{27} + 11052709879 x^{26} - 38235186403 x^{25} - 47987734851 x^{24} - 204754941776 x^{23} - 587996815784 x^{22} - 1156468185533 x^{21} + 697453826091 x^{20} - 6137453171112 x^{19} + 39496054736893 x^{18} + 2277515781046 x^{17} + 279072370692972 x^{16} + 222049495807135 x^{15} + 1191232934278609 x^{14} + 327805687794932 x^{13} + 5697446694340888 x^{12} - 4841562954273985 x^{11} + 31699026105567100 x^{10} - 7800767151617665 x^{9} + 141832220187432461 x^{8} + 82933946634742001 x^{7} + 479398723525712355 x^{6} + 288175051685606927 x^{5} + 1062431436014171077 x^{4} + 355626436037277912 x^{3} + 1157271788184170842 x^{2} + 252128673371738912 x + 553402136113967801 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 20]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(34296436716006088086348892675736212426840072977067776247113342729404166276203830051422119140625=5^{20}\cdot 11^{36}\cdot 17^{35}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $230.88$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 11, 17$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(935=5\cdot 11\cdot 17\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{935}(256,·)$, $\chi_{935}(1,·)$, $\chi_{935}(899,·)$, $\chi_{935}(644,·)$, $\chi_{935}(134,·)$, $\chi_{935}(519,·)$, $\chi_{935}(909,·)$, $\chi_{935}(526,·)$, $\chi_{935}(16,·)$, $\chi_{935}(786,·)$, $\chi_{935}(19,·)$, $\chi_{935}(276,·)$, $\chi_{935}(676,·)$, $\chi_{935}(421,·)$, $\chi_{935}(166,·)$, $\chi_{935}(304,·)$, $\chi_{935}(689,·)$, $\chi_{935}(696,·)$, $\chi_{935}(569,·)$, $\chi_{935}(314,·)$, $\chi_{935}(699,·)$, $\chi_{935}(189,·)$, $\chi_{935}(191,·)$, $\chi_{935}(824,·)$, $\chi_{935}(851,·)$, $\chi_{935}(86,·)$, $\chi_{935}(441,·)$, $\chi_{935}(219,·)$, $\chi_{935}(604,·)$, $\chi_{935}(349,·)$, $\chi_{935}(94,·)$, $\chi_{935}(739,·)$, $\chi_{935}(356,·)$, $\chi_{935}(81,·)$, $\chi_{935}(361,·)$, $\chi_{935}(359,·)$, $\chi_{935}(274,·)$, $\chi_{935}(531,·)$, $\chi_{935}(251,·)$, $\chi_{935}(511,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $\frac{1}{3795323805965535073} a^{36} - \frac{734934812581735047}{3795323805965535073} a^{35} - \frac{650105007770617875}{3795323805965535073} a^{34} - \frac{1447742747381252495}{3795323805965535073} a^{33} - \frac{951405173886516356}{3795323805965535073} a^{32} - \frac{653867029286576513}{3795323805965535073} a^{31} - \frac{870840856293219202}{3795323805965535073} a^{30} - \frac{697971041199752330}{3795323805965535073} a^{29} + \frac{542629321588633575}{3795323805965535073} a^{28} - \frac{151784338251720855}{3795323805965535073} a^{27} - \frac{402267930655129659}{3795323805965535073} a^{26} + \frac{1716112021521543791}{3795323805965535073} a^{25} + \frac{108199780240622716}{3795323805965535073} a^{24} + \frac{1190396562168589484}{3795323805965535073} a^{23} + \frac{181507041950533534}{3795323805965535073} a^{22} - \frac{1402523950406128213}{3795323805965535073} a^{21} - \frac{526678034486677726}{3795323805965535073} a^{20} - \frac{1547260840329016417}{3795323805965535073} a^{19} - \frac{1413682606483206917}{3795323805965535073} a^{18} + \frac{1333139109633933756}{3795323805965535073} a^{17} - \frac{780904039395850762}{3795323805965535073} a^{16} - \frac{299639996072309522}{3795323805965535073} a^{15} + \frac{1173030481931749226}{3795323805965535073} a^{14} - \frac{232824666905655485}{3795323805965535073} a^{13} - \frac{1262294914570693536}{3795323805965535073} a^{12} - \frac{1546336347019777276}{3795323805965535073} a^{11} + \frac{357988681442990899}{3795323805965535073} a^{10} - \frac{382620872302861546}{3795323805965535073} a^{9} - \frac{1557129891452487046}{3795323805965535073} a^{8} - \frac{210493206161768607}{3795323805965535073} a^{7} - \frac{602513910219978712}{3795323805965535073} a^{6} - \frac{1219441624853805943}{3795323805965535073} a^{5} + \frac{392113620944431817}{3795323805965535073} a^{4} + \frac{158666145675378461}{3795323805965535073} a^{3} + \frac{868998554940961901}{3795323805965535073} a^{2} - \frac{1798780579755860331}{3795323805965535073} a + \frac{2642994931362509}{10751625512650241}$, $\frac{1}{3795323805965535073} a^{37} + \frac{294050770719088792}{3795323805965535073} a^{35} - \frac{598184649282755993}{3795323805965535073} a^{34} + \frac{1820188143250731485}{3795323805965535073} a^{33} - \frac{1219233419831986376}{3795323805965535073} a^{32} - \frac{117273336885877582}{3795323805965535073} a^{31} - \frac{1162658955874990017}{3795323805965535073} a^{30} - \frac{279783773524397550}{3795323805965535073} a^{29} + \frac{978891890763255234}{3795323805965535073} a^{28} + \frac{1123950253965569489}{3795323805965535073} a^{27} - \frac{940917489988200272}{3795323805965535073} a^{26} + \frac{338434719081658222}{3795323805965535073} a^{25} - \frac{1892426007898887093}{3795323805965535073} a^{24} - \frac{1619569611666396173}{3795323805965535073} a^{23} - \frac{1547980326667022034}{3795323805965535073} a^{22} + \frac{1183213529045488878}{3795323805965535073} a^{21} - \frac{252860457030722147}{3795323805965535073} a^{20} - \frac{1476768714470908363}{3795323805965535073} a^{19} + \frac{635751514970703545}{3795323805965535073} a^{18} - \frac{529591481306790968}{3795323805965535073} a^{17} - \frac{1186493395143435152}{3795323805965535073} a^{16} - \frac{379643363813016694}{3795323805965535073} a^{15} + \frac{1652036653109040886}{3795323805965535073} a^{14} - \frac{1197830693733311585}{3795323805965535073} a^{13} - \frac{214883649429339564}{3795323805965535073} a^{12} + \frac{1256094822911262646}{3795323805965535073} a^{11} + \frac{94921956275933760}{3795323805965535073} a^{10} + \frac{624858302048043211}{3795323805965535073} a^{9} + \frac{1683738471934457666}{3795323805965535073} a^{8} + \frac{1511072246364863696}{3795323805965535073} a^{7} - \frac{229583887391938994}{3795323805965535073} a^{6} + \frac{1144793442062649381}{3795323805965535073} a^{5} + \frac{89019543904928637}{3795323805965535073} a^{4} - \frac{463013056176197074}{3795323805965535073} a^{3} - \frac{404833786662462595}{3795323805965535073} a^{2} - \frac{1183081628778925598}{3795323805965535073} a + \frac{754988259076574}{10751625512650241}$, $\frac{1}{2168801938597755095304758782913} a^{38} - \frac{42837631471}{2168801938597755095304758782913} a^{37} - \frac{8148297977}{2168801938597755095304758782913} a^{36} - \frac{620579343030629029191720196395}{2168801938597755095304758782913} a^{35} + \frac{150354591883436168154666924715}{2168801938597755095304758782913} a^{34} - \frac{759159761799119759138397799061}{2168801938597755095304758782913} a^{33} + \frac{563546092521399828318758325837}{2168801938597755095304758782913} a^{32} + \frac{578172115847070981483001996508}{2168801938597755095304758782913} a^{31} + \frac{257374235888475806353312493986}{2168801938597755095304758782913} a^{30} - \frac{1009828996446173765104437479067}{2168801938597755095304758782913} a^{29} + \frac{388120819439035874137541478933}{2168801938597755095304758782913} a^{28} - \frac{585042408771429566836230431791}{2168801938597755095304758782913} a^{27} - \frac{266089747644159149755974036445}{2168801938597755095304758782913} a^{26} - \frac{1005535929571619783834581862408}{2168801938597755095304758782913} a^{25} + \frac{848193193347389733624723330221}{2168801938597755095304758782913} a^{24} + \frac{762192571463509685507853427533}{2168801938597755095304758782913} a^{23} + \frac{685000528302588465029242484343}{2168801938597755095304758782913} a^{22} + \frac{576221491141554885560943899526}{2168801938597755095304758782913} a^{21} + \frac{281456489049884321659384085552}{2168801938597755095304758782913} a^{20} + \frac{438476976110315106029335429964}{2168801938597755095304758782913} a^{19} - \frac{1971663220713278065179945737}{2168801938597755095304758782913} a^{18} + \frac{277089453179619615786976113301}{2168801938597755095304758782913} a^{17} - \frac{415069530988781772331909863109}{2168801938597755095304758782913} a^{16} - \frac{549398904098418682773986656422}{2168801938597755095304758782913} a^{15} + \frac{790850150780370440615854691028}{2168801938597755095304758782913} a^{14} - \frac{479122136079150624963808508912}{2168801938597755095304758782913} a^{13} - \frac{230847943919036997390947451392}{2168801938597755095304758782913} a^{12} - \frac{833239965107796380590440222662}{2168801938597755095304758782913} a^{11} - \frac{284894564492400460131159454411}{2168801938597755095304758782913} a^{10} + \frac{285763816407002330998355962900}{2168801938597755095304758782913} a^{9} + \frac{509634259406527391770258593819}{2168801938597755095304758782913} a^{8} + \frac{442254164123604440873186896911}{2168801938597755095304758782913} a^{7} - \frac{464986702286263841537796463965}{2168801938597755095304758782913} a^{6} - \frac{463209370972778894749141013485}{2168801938597755095304758782913} a^{5} + \frac{1022412516425835660822956829789}{2168801938597755095304758782913} a^{4} - \frac{1010727184874639463481432920306}{2168801938597755095304758782913} a^{3} + \frac{458241970008629181500746267649}{2168801938597755095304758782913} a^{2} - \frac{618152688552760643745718239647}{2168801938597755095304758782913} a + \frac{637963938682448538351462011}{6143914840220269391798183521}$, $\frac{1}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{39} - \frac{761672426384833584765916878468885069475040564369290854596928803522041206334522302892013723448542772893023219408878304674695715209548892312921524255523998778502267605239419231259629931991231754349952912308934389927828921715599352689446615692632760758254635328248907558111663537483601648410194541}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{38} - \frac{521902944945495130101275529189356925111832007131584511658139379107714415037029947872847235939519158645973178240105623391639106225283524718025195867455378727701634991320358297158911099576453322710710107915663740815528093781654348801107097344496442561390992558725998477639066771455547716038248483742127150845}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{37} - \frac{2744841616616002394445218335729797295799213955108507834914248971996299651456985242831720798801450592670703453356264763028392869988265735258969914130798938538524618549480376833750383450830119303860514943395137675668439081552779894992295622520301759782412765913510287474692825313699817039923006682946161141992}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{36} + \frac{6634085507888280965802673853161118101775531728204966532031767633857669053938941839763383249231491671050163425987425160034097742089882860662820946877806868011430774090782322970019718072488010861231642748150514475863539786584617264743788003190474838675374498993573330456007828892495466846098253341554925121784064116107297404607}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{35} + \frac{3486444472089780529784665373329670608716956621206677202965902082915237872251378748349003465501215386565950950771883500423976411471027687945315680342841793632883459270056962552143830359737495809179212027724697459531623334192243693294443394961824763147414041073200430473781618908384060830570104556426843980911278409766665642394}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{34} + \frac{6842489673143154033261257386595552086493348842285464712188265861037269085949945157228334637483786453224484935873249183002796348222161999982056294542939273136324962899657038140520526448265328581606339921523428627647635408450699650364573335041543430234602843847192287125772601390484436531315406856158664320843821785589879300310}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{33} - \frac{8356911143020463571206044535008765177320384420787414411929700820251053357603276918255727612800834259304986080703972758260500651211737597756772271950319424405884735297689173366615789652335530083915103365002761121092951691778192113506503090228907933459429054076646821401714501900121264036454852313457069694553632509988040329384}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{32} - \frac{8638688117388090000455550380475881755522545385410722086782309281146592300657627210130365797148552253190762029095829355003971488312528198963095937738139288684912691890888099602160582247487366877555703289919561776474995053759230616717310700810170587139387266397479960675100812179561546147482164589319736029354557151707966239730}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{31} - \frac{3657766168072812310047196967512495565895617271237549908079943722147283864536291300040536448565693510986178297449477831435894197566599153735984050804466894474091406782673869895949946049643426861264220691169336013120031000211158739894658498808863156751447280173885573437139713351271452634050439740845924524366832281044100926071}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{30} + \frac{7702225520541871256245087675146982673700902375419585723543039273220770331103654711732170749691161461974855803760423884677493538499553086655831583570090203489957622673213130281001872107484559550350185701448688928905713242022831422552780268250051957571488869971354256874407453719164544796721077759352464034981875165977279938887}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{29} - \frac{5902519692164312607500897182127101676819401756682423620184144520317873305327256207547035038232986968094508536472531840602997978529510472275027608477799974464429066010513260026916562692140039425860366217120528420645634575605123525507742520230187567726858886702787852316540928278169160151411320433796983955781226687055373700}{68626878501699983317913386996590570895309606015034154556711007157323217955340111792431333005049423017612300229308773892382352421712687815601353514611069521133579861567035351202485911581733222444273626872296743866761924732660104901896760354423165410563175116210962046506092816048905078483523012773417948137549162145283903257} a^{28} - \frac{4665994087301563900821721337236915926176119713931697418867927762145339551733470392449329019100019232827985371298674079910403107295691158854476345728451878369495209999308022664589422519094624383003939790362966800904937002487563519782875786183994580536202468290881156857420473701260812505193957875352714825297715762567131500751}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{27} - \frac{5101048142424441218737659907461605705375525956641344261787318846520550873965560469725155905346015032930589620376549521603741014885995881822543989997409983178454305301647730731758441041570715934469855375334938823998027679155312300798438752535378385653296879778243505525171109696355970766214862819614871090994217665956300377204}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{26} - \frac{8939994113679374102509499767588528527390093769309764281392426210924963685155733771347566998802966573289707251673500431528141398712499690818725863181326031281979291754376007264949826682748830803988119567642313204306492911509041687788486139716382755849984491874884299608473817143282399319080647805397130447397852364660291269569}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{25} - \frac{2025570415910471065037795106446247460804419992304745744449322967503613686953537620302420108142576012876938619766127374425871301158716127764010247314085162159296856145226725727415583493005834367274947586721725705757271422486395328082099516908599224225198606593968631368380377290077045905208448328999619786559711185810224980243}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{24} - \frac{1856760997890828834607476588715346667947450063545769080545226021842164132273905941047416262371900387703274936182163439278060317608391866907596913659117000120259227354108555799973391810439555690701991878381013845092797263876403158588200458269707635711562444297999525584039931111828647391916408603129637023667153124843455301107}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{23} - \frac{2495571885766279216377018751920358604921114361464206158982604820309255842115330669453599550962042592551331270425251714218496172569064066405368945085883381006533348207155833986067551751494556381467578450679233773712559191189558217798760563609825972166961978735316534221710547404667977094064105935292425084047993016736924244158}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{22} - \frac{1738557513855245041844776875064972144810764530247445412818329226784229399070538018258359866256240997078940299893917628396281898494737571802681379932205686798483787976520827939126852229360373716688972855408240252838145475909746281023006267448957395853645019754261753032127103800279673784943134249843631956961305955982098449392}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{21} - \frac{607839987302531332169783677781173321870808483452625545032096061912585902541985836985083747114387765869998914815317518193021312135693380533345595283461036642450274618693679324320313558323669149053001866432877631318977572455127696065077874778234616202363174993469941290033298104019309267346654339018990651896938331413156116478}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{20} - \frac{5119614255445592253941493301358793813276443308615130840330807386960228349642808765148785537525260088230955623273896664124449030453310148813801240657205263817787061782702067154020395563174754395265746695708611299073515493100993735575321114692943860775669703877449162809615119120201038427153243553440415563497062311667615213995}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{19} - \frac{7837864489660838592432084275017025364762710539187899685697396612272753681073880868893455223417366001882317037520684680335852371469417060357840575367923336481184774868207716120882204785046064735564101596414132125793358433615523132348961177042183622454783932746134131930539542058879074501875774492783065928613154540393292533049}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{18} + \frac{24385241276145483811699513685469261058963324395982653585300736931277560884085232533573795575005512737790300426064113305829545021386799043844058957733276533366051906702156010420760925754225699033862509007421803391281204779276116414514737343764580804488502065768715137932492528595625243419294695884802746680819848180482755846}{68626878501699983317913386996590570895309606015034154556711007157323217955340111792431333005049423017612300229308773892382352421712687815601353514611069521133579861567035351202485911581733222444273626872296743866761924732660104901896760354423165410563175116210962046506092816048905078483523012773417948137549162145283903257} a^{17} - \frac{9535403177847951318955630236942133486085173878364926310806100738161466859233559040138148481731775499613360950274771696915171125952775677524112020485565872702497707473209374299451674867800818767438926182374979156689561427753753571504156851667831525941030280371793879494757610615717901246385505860719030382109272568617262479243}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{16} + \frac{5645644527981780111170032694519513609221871530690071677843798748962831540478970569771227124229773494130615384296888560755653943149168004843553093173353524354919606771570584493354867736174253455281808455277780851078777635813306922785070315278174507238922285321148440057740578641078362877867944844723935888234844985014113249958}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{15} - \frac{144632766029744459356248783662879628021429818067554552465288353259002023272574413274888324877597380073032064781883869312743862396324065167112758647281949377375790230693403838349735118026226148748292273979937118305414850466307566153603229675628480593434327110335392885752932391665753396711285452223781262181632848519937878735}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{14} - \frac{6914821600055686072800730146215711950041935665386960274969537922776289987618876171421890434576020604970785548072211381983622462388940622718940131277855837474547059862557535400903476726820300545958620793857798865928815835913705312395936818667495043462843766260323624161370018514133901980099689289558782849683887284908531358823}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{13} + \frac{5355685403394933812454248229322668618479818284969640058789668322249119965589530483394259387837086632056320963020227530176018750793444613554343343570136056200643803775647322112700528717409459948564903242373561185994361340032009074894515058059795085895554431075834941214371606038760792896825870529173551253408171197926584837435}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{12} - \frac{5632544564635484896431383160311024892741858711537621546711100041290445117530805641417784908482126779482711642531636066354443459609670955827035740102288697224272180099662918113694352013858786266986583522317033065518190657258671062084743109061164978657527452163636616482355005684538014345976327541884889426889755022931221382672}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{11} - \frac{8705732443860694619367558720873551729009981972038967118505304783200601901522194341424321158990820757026563094155491226499785560416677912293980780348250280731830649927903625957059285359104358336629884869797982917125549420115593674061256677480840485760880792409781878448318844532718282090767731182954281713860624839284124008786}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{10} - \frac{9398603142360618528791284435199602735075725237500353355924102828544017002605863246058109773349180647381873041252683226695096777480921882531103948913049645081405736028008712644271947566750937515714972494960723477291642742591966325952405682423524790379300292915278708382095653660657199615708540377713895603979521207045101000711}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{9} + \frac{9661380303347381291741135433065506620145989251408476877373272070153791643609676980146248065644129972132666940406981869716088954199976090120908950298173834541230834647019981347332237011570581442217595460797661102322564998632666408638070726822790535465768674756195684789346753580988654883734239344881340663973199311651363064592}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{8} - \frac{5239197767331234639470266554119847122640805440998191892696437466169552218946407248176849174236391278098718469159908232383005071108239914142418386699472942287209369330673057682382547912726465227758105986443550394538736880695543009297515013202821665632019275713435844370204158382917997697628453922226570726229202622761146502249}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{7} - \frac{8369736791217356595334969294657385733650501745189875374383592214937945647446808407136404275908064175910826187952291524480416677327288564994388859683830600721371689336580072460019199767027157568780435638756234991762866769596888617516154089961319026778501095607848432288939851173213321293976620880671024620487204973407448561633}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{6} - \frac{9592265344261026829274929217451548022588995181190135454360723598471454150085780984927239066546439610767166448570306893026273917473451784341544385169527872335321451189478261741662704802443309069380623793719332796681376760892219902590690074742548515222399209670694578935493016334884449561265814737581163503492434716211047165129}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{5} + \frac{6088187691293916416602694972089343331412641069222046863211950595504529274999990571634638880470943290552056638968409322874541976850228232490005842527901497045550058553855157470754817496521008952776485964188946087882991622662358084095326541752967540806386333574718250591593026065000193647575250093783688930669192259076484876503}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{4} - \frac{8239566533759490459996964384183656536878652998819112342318243966776123863029926152432485330822637421712853487539870397595583281768591674563835272310563574606698064941119157031984280715218767757229876968734532878983332586556171821405424492992904371508742401550668550141027749156769622496339721715489490829005058321514237552242}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{3} - \frac{9138260125793810522239485091982111289613205635193586443953520738499511766875350387537708142136346024188290086396718289376118782259836548047398634732648595720550045349790007748282933001425219157657624169938099983209738341906724854567160496274355050848802984510112295213865410834112328176848029377133285042569242633125938779027}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a^{2} - \frac{6402552135032778629221766048297190502449355541067569342720866860833405310655332556623657917120265563193643607831956947972584412273256519247062562086289209170476219167209744319914073747403615580680147358070889848528855045587403422379897242385148062158158103410011928834464979040926424101092051725207248972984198755858286705508}{21068451700021894878599409807953305264860049046615485448910279197298227912289414320276419232550172866406976170397793584961382193465795159389615528985598342988009017501079852819163174855592099290392003449795100367095910892926652204882305428807911781042894760676765348277370494527013859094441564921439310078227592778602158299899} a + \frac{5706792351266360847183154260436523073972216540221590942874892349818202682803827798041347020953286850601917564397060416175614683470111740115516923319198887621610650485375152180424745245731951363952352210177432018750354332313495821857448945478323969792461731299494239650639650794537798112656459021871618716441895094558611593}{59683999150203668211329772827063187719150280585312989940255748434272600318100323853474275446317770159793133627189216954564822077806785154078230960299145447558099199719772954161935339534255238782980179744462040699988416127270969418930043707671138189923214619480921666508131712541115748142893951618808243847670234500289400283}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $19$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{40}$ (as 40T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_{40}$
Character table for $C_{40}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{17}) \), 4.4.4913.1, \(\Q(\zeta_{11})^+\), 8.0.3754855319620625.1, 10.10.304358957700017.1, 20.20.131527565972137936816816034072938673.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $20^{2}$ $40$ R $40$ R ${\href{/LocalNumberField/13.10.0.1}{10} }^{4}$ R $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/23.8.0.1}{8} }^{5}$ $40$ $40$ $40$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/43.4.0.1}{4} }^{10}$ ${\href{/LocalNumberField/47.5.0.1}{5} }^{8}$ $20^{2}$ $20^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
11Data not computed
17Data not computed