↑

Properties

Label 40.0.28437879249...8336.2
Degree $40$
Signature $[0, 20]$
Discriminant $2^{60}\cdot 7^{20}\cdot 11^{36}$
Root discriminant $64.77$
Ramified primes $2, 7, 11$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_2^2\times C_{10}$ (as 40T7)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![541696, 5699584, -20025856, -272152576, 1398502656, -1340352000, -2576594560, 1667546112, 14972299072, -33447633536, 36542373728, -38173429376, 55222821968, -79416402656, 97114298392, -105116990208, 105104472084, -98665586280, 87116562190, -72059216200, 55573165179, -39824889160, 26468749370, -16301626740, 9300148725, -4913327328, 2402433828, -1086128128, 453277478, -174207264, 61453956, -19809432, 5800422, -1530680, 360238, -74520, 13279, -1976, 234, -20, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 20*x^39 + 234*x^38 - 1976*x^37 + 13279*x^36 - 74520*x^35 + 360238*x^34 - 1530680*x^33 + 5800422*x^32 - 19809432*x^31 + 61453956*x^30 - 174207264*x^29 + 453277478*x^28 - 1086128128*x^27 + 2402433828*x^26 - 4913327328*x^25 + 9300148725*x^24 - 16301626740*x^23 + 26468749370*x^22 - 39824889160*x^21 + 55573165179*x^20 - 72059216200*x^19 + 87116562190*x^18 - 98665586280*x^17 + 105104472084*x^16 - 105116990208*x^15 + 97114298392*x^14 - 79416402656*x^13 + 55222821968*x^12 - 38173429376*x^11 + 36542373728*x^10 - 33447633536*x^9 + 14972299072*x^8 + 1667546112*x^7 - 2576594560*x^6 - 1340352000*x^5 + 1398502656*x^4 - 272152576*x^3 - 20025856*x^2 + 5699584*x + 541696)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - 20*x^39 + 234*x^38 - 1976*x^37 + 13279*x^36 - 74520*x^35 + 360238*x^34 - 1530680*x^33 + 5800422*x^32 - 19809432*x^31 + 61453956*x^30 - 174207264*x^29 + 453277478*x^28 - 1086128128*x^27 + 2402433828*x^26 - 4913327328*x^25 + 9300148725*x^24 - 16301626740*x^23 + 26468749370*x^22 - 39824889160*x^21 + 55573165179*x^20 - 72059216200*x^19 + 87116562190*x^18 - 98665586280*x^17 + 105104472084*x^16 - 105116990208*x^15 + 97114298392*x^14 - 79416402656*x^13 + 55222821968*x^12 - 38173429376*x^11 + 36542373728*x^10 - 33447633536*x^9 + 14972299072*x^8 + 1667546112*x^7 - 2576594560*x^6 - 1340352000*x^5 + 1398502656*x^4 - 272152576*x^3 - 20025856*x^2 + 5699584*x + 541696, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - 20 x^{39} + 234 x^{38} - 1976 x^{37} + 13279 x^{36} - 74520 x^{35} + 360238 x^{34} - 1530680 x^{33} + 5800422 x^{32} - 19809432 x^{31} + 61453956 x^{30} - 174207264 x^{29} + 453277478 x^{28} - 1086128128 x^{27} + 2402433828 x^{26} - 4913327328 x^{25} + 9300148725 x^{24} - 16301626740 x^{23} + 26468749370 x^{22} - 39824889160 x^{21} + 55573165179 x^{20} - 72059216200 x^{19} + 87116562190 x^{18} - 98665586280 x^{17} + 105104472084 x^{16} - 105116990208 x^{15} + 97114298392 x^{14} - 79416402656 x^{13} + 55222821968 x^{12} - 38173429376 x^{11} + 36542373728 x^{10} - 33447633536 x^{9} + 14972299072 x^{8} + 1667546112 x^{7} - 2576594560 x^{6} - 1340352000 x^{5} + 1398502656 x^{4} - 272152576 x^{3} - 20025856 x^{2} + 5699584 x + 541696 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 20]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(2843787924946259292606529888567891936342075788742277722133996384693518336=2^{60}\cdot 7^{20}\cdot 11^{36}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $64.77$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 7, 11$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(616=2^{3}\cdot 7\cdot 11\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{616}(1,·)$, $\chi_{616}(321,·)$, $\chi_{616}(393,·)$, $\chi_{616}(13,·)$, $\chi_{616}(237,·)$, $\chi_{616}(141,·)$, $\chi_{616}(405,·)$, $\chi_{616}(281,·)$, $\chi_{616}(153,·)$, $\chi_{616}(29,·)$, $\chi_{616}(197,·)$, $\chi_{616}(545,·)$, $\chi_{616}(293,·)$, $\chi_{616}(41,·)$, $\chi_{616}(349,·)$, $\chi_{616}(433,·)$, $\chi_{616}(309,·)$, $\chi_{616}(265,·)$, $\chi_{616}(57,·)$, $\chi_{616}(573,·)$, $\chi_{616}(181,·)$, $\chi_{616}(449,·)$, $\chi_{616}(69,·)$, $\chi_{616}(97,·)$, $\chi_{616}(461,·)$, $\chi_{616}(589,·)$, $\chi_{616}(337,·)$, $\chi_{616}(85,·)$, $\chi_{616}(377,·)$, $\chi_{616}(601,·)$, $\chi_{616}(477,·)$, $\chi_{616}(421,·)$, $\chi_{616}(225,·)$, $\chi_{616}(489,·)$, $\chi_{616}(365,·)$, $\chi_{616}(113,·)$, $\chi_{616}(169,·)$, $\chi_{616}(505,·)$, $\chi_{616}(125,·)$, $\chi_{616}(533,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $\frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3}$, $\frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{3}$, $\frac{1}{4} a^{8} - \frac{1}{4} a^{4}$, $\frac{1}{4} a^{9} - \frac{1}{4} a^{5}$, $\frac{1}{4} a^{10} - \frac{1}{4} a^{6}$, $\frac{1}{4} a^{11} - \frac{1}{4} a^{7}$, $\frac{1}{8} a^{12} - \frac{1}{8} a^{10} - \frac{1}{8} a^{8} + \frac{1}{8} a^{6}$, $\frac{1}{8} a^{13} - \frac{1}{8} a^{11} - \frac{1}{8} a^{9} + \frac{1}{8} a^{7}$, $\frac{1}{8} a^{14} - \frac{1}{8} a^{6}$, $\frac{1}{8} a^{15} - \frac{1}{8} a^{7}$, $\frac{1}{16} a^{16} - \frac{1}{8} a^{10} - \frac{1}{16} a^{8} + \frac{1}{8} a^{6}$, $\frac{1}{16} a^{17} - \frac{1}{8} a^{11} - \frac{1}{16} a^{9} + \frac{1}{8} a^{7}$, $\frac{1}{16} a^{18} + \frac{1}{16} a^{10} - \frac{1}{8} a^{6}$, $\frac{1}{16} a^{19} + \frac{1}{16} a^{11} - \frac{1}{8} a^{7}$, $\frac{1}{32} a^{20} - \frac{1}{32} a^{18} - \frac{1}{16} a^{14} + \frac{1}{32} a^{12} + \frac{3}{32} a^{10} - \frac{1}{16} a^{8}$, $\frac{1}{32} a^{21} - \frac{1}{32} a^{19} - \frac{1}{16} a^{15} + \frac{1}{32} a^{13} + \frac{3}{32} a^{11} - \frac{1}{16} a^{9}$, $\frac{1}{32} a^{22} - \frac{1}{32} a^{18} - \frac{1}{32} a^{14} + \frac{1}{32} a^{10}$, $\frac{1}{736} a^{23} - \frac{1}{32} a^{19} + \frac{1}{32} a^{15} - \frac{3}{32} a^{11} - \frac{1}{8} a^{7} + \frac{5}{23} a$, $\frac{1}{1472} a^{24} - \frac{1}{64} a^{20} + \frac{1}{64} a^{16} - \frac{3}{64} a^{12} - \frac{1}{8} a^{10} - \frac{1}{16} a^{8} + \frac{1}{8} a^{6} + \frac{5}{46} a^{2}$, $\frac{1}{1472} a^{25} - \frac{1}{64} a^{21} + \frac{1}{64} a^{17} - \frac{3}{64} a^{13} - \frac{1}{8} a^{11} - \frac{1}{16} a^{9} + \frac{1}{8} a^{7} + \frac{5}{46} a^{3}$, $\frac{1}{1472} a^{26} - \frac{1}{64} a^{22} + \frac{1}{64} a^{18} - \frac{3}{64} a^{14} + \frac{1}{16} a^{10} - \frac{1}{8} a^{6} + \frac{5}{46} a^{4}$, $\frac{1}{1472} a^{27} - \frac{1}{1472} a^{23} - \frac{1}{64} a^{19} + \frac{3}{64} a^{15} + \frac{3}{32} a^{11} - \frac{1}{8} a^{7} + \frac{5}{46} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3} + \frac{9}{23} a$, $\frac{1}{2944} a^{28} - \frac{1}{2944} a^{26} - \frac{1}{2944} a^{24} + \frac{1}{128} a^{22} - \frac{1}{128} a^{20} + \frac{3}{128} a^{18} + \frac{3}{128} a^{16} + \frac{3}{128} a^{14} + \frac{3}{64} a^{12} - \frac{1}{16} a^{8} + \frac{5}{92} a^{6} + \frac{9}{46} a^{4} - \frac{7}{23} a^{2}$, $\frac{1}{2944} a^{29} - \frac{1}{2944} a^{27} - \frac{1}{2944} a^{25} - \frac{1}{2944} a^{23} - \frac{1}{128} a^{21} + \frac{3}{128} a^{19} + \frac{3}{128} a^{17} - \frac{5}{128} a^{15} + \frac{3}{64} a^{13} - \frac{1}{8} a^{11} - \frac{1}{16} a^{9} + \frac{5}{92} a^{7} + \frac{9}{46} a^{5} + \frac{9}{46} a^{3} - \frac{7}{23} a$, $\frac{1}{2944} a^{30} - \frac{1}{64} a^{22} + \frac{3}{128} a^{14} - \frac{1}{16} a^{10} + \frac{5}{92} a^{8} - \frac{1}{4} a^{6} - \frac{1}{4} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2944} a^{31} - \frac{1}{1472} a^{23} - \frac{1}{32} a^{19} - \frac{1}{128} a^{15} - \frac{1}{32} a^{11} + \frac{5}{92} a^{9} - \frac{1}{8} a^{7} - \frac{1}{4} a^{5} + \frac{9}{23} a$, $\frac{1}{5888} a^{32} - \frac{1}{2944} a^{24} - \frac{1}{64} a^{20} - \frac{1}{32} a^{18} - \frac{1}{256} a^{16} - \frac{1}{16} a^{14} - \frac{1}{64} a^{12} - \frac{3}{736} a^{10} - \frac{1}{16} a^{8} - \frac{1}{4} a^{6} - \frac{1}{4} a^{4} - \frac{7}{23} a^{2}$, $\frac{1}{5888} a^{33} - \frac{1}{2944} a^{25} - \frac{1}{64} a^{21} - \frac{1}{32} a^{19} - \frac{1}{256} a^{17} - \frac{1}{16} a^{15} - \frac{1}{64} a^{13} - \frac{3}{736} a^{11} - \frac{1}{16} a^{9} - \frac{1}{4} a^{7} - \frac{1}{4} a^{5} - \frac{7}{23} a^{3}$, $\frac{1}{5888} a^{34} - \frac{1}{2944} a^{26} - \frac{1}{64} a^{22} + \frac{7}{256} a^{18} + \frac{3}{64} a^{14} + \frac{5}{184} a^{12} - \frac{1}{32} a^{10} - \frac{1}{8} a^{8} + \frac{1}{8} a^{6} - \frac{5}{92} a^{4}$, $\frac{1}{5888} a^{35} - \frac{1}{2944} a^{27} - \frac{1}{1472} a^{23} - \frac{1}{256} a^{19} + \frac{1}{64} a^{15} + \frac{5}{184} a^{13} - \frac{1}{8} a^{9} - \frac{1}{4} a^{7} - \frac{5}{92} a^{5} + \frac{9}{23} a$, $\frac{1}{11776} a^{36} - \frac{1}{11776} a^{34} - \frac{1}{5888} a^{28} + \frac{1}{5888} a^{26} - \frac{1}{2944} a^{24} - \frac{1}{128} a^{22} - \frac{1}{512} a^{20} + \frac{1}{512} a^{18} + \frac{1}{128} a^{16} - \frac{167}{2944} a^{14} - \frac{5}{368} a^{12} - \frac{1}{16} a^{10} + \frac{1}{16} a^{8} - \frac{5}{184} a^{6} - \frac{9}{92} a^{4} + \frac{9}{46} a^{2}$, $\frac{1}{11776} a^{37} - \frac{1}{11776} a^{35} - \frac{1}{5888} a^{29} + \frac{1}{5888} a^{27} - \frac{1}{2944} a^{25} + \frac{1}{2944} a^{23} - \frac{1}{512} a^{21} + \frac{1}{512} a^{19} + \frac{1}{128} a^{17} + \frac{17}{2944} a^{15} - \frac{5}{368} a^{13} + \frac{1}{16} a^{11} + \frac{1}{16} a^{9} - \frac{5}{184} a^{7} - \frac{9}{92} a^{5} - \frac{7}{23} a^{3} + \frac{7}{23} a$, $\frac{1}{49648390291342237038180103685652778429692593009038230306528697147904} a^{38} - \frac{19}{49648390291342237038180103685652778429692593009038230306528697147904} a^{37} + \frac{261103973627080876037362088349803592540714958879378547052814321}{6206048786417779629772512960706597303711574126129778788316087143488} a^{36} - \frac{3870446189159539465833874631574992849169616436620843447800438683}{49648390291342237038180103685652778429692593009038230306528697147904} a^{35} + \frac{2501101544135177759465562495975332251444590221306416365433534319}{49648390291342237038180103685652778429692593009038230306528697147904} a^{34} + \frac{150568776107529090648311098009063016013055205720052267392678505}{6206048786417779629772512960706597303711574126129778788316087143488} a^{33} - \frac{1891229502407370578461148033582660132353790667931660645408959533}{24824195145671118519090051842826389214846296504519115153264348573952} a^{32} + \frac{304897383535169710196715519512502752812410075816789488728857487}{12412097572835559259545025921413194607423148252259557576632174286976} a^{31} + \frac{1001555951293818256625414205610463285469446950666207094783492967}{24824195145671118519090051842826389214846296504519115153264348573952} a^{30} + \frac{55111652077122190543508385868327433467006735620574711376937693}{24824195145671118519090051842826389214846296504519115153264348573952} a^{29} - \frac{1634469129107170594432027198535787386379002884192386605592323715}{12412097572835559259545025921413194607423148252259557576632174286976} a^{28} + \frac{316547616637368281729386856025414242007226090402319804826428237}{24824195145671118519090051842826389214846296504519115153264348573952} a^{27} - \frac{3228411412367911014502849015646881109044063248933691878547070503}{24824195145671118519090051842826389214846296504519115153264348573952} a^{26} - \frac{2078860250259924722001830018569372060850830009527122053241181833}{6206048786417779629772512960706597303711574126129778788316087143488} a^{25} + \frac{1299365620230007597456087367303743200481858357004510503365322141}{6206048786417779629772512960706597303711574126129778788316087143488} a^{24} - \frac{1656039264909168961895413623870257342042528594182269129865996275}{6206048786417779629772512960706597303711574126129778788316087143488} a^{23} + \frac{21659395380162877201048789186431787066987034727715702153120531751}{2158625664840966827746961029810990366508373609088618708979508571648} a^{22} - \frac{4532882903434354358230037266808024375320722701068789895312277169}{2158625664840966827746961029810990366508373609088618708979508571648} a^{21} - \frac{5195244336317072260869038188789687943653777529669350673437444603}{539656416210241706936740257452747591627093402272154677244877142912} a^{20} + \frac{24371398483848954642033788169203830007734490035048464517273276399}{2158625664840966827746961029810990366508373609088618708979508571648} a^{19} - \frac{21968422750451824126594154546181056343345448918826702478288439527}{2158625664840966827746961029810990366508373609088618708979508571648} a^{18} + \frac{4054414622134663511253051509745443241636240643354884406351825299}{269828208105120853468370128726373795813546701136077338622438571456} a^{17} - \frac{47622464422224244940823856179912021912970640307843476754002768487}{24824195145671118519090051842826389214846296504519115153264348573952} a^{16} - \frac{713367982403679964198338300733554629000261459869424471885476167143}{12412097572835559259545025921413194607423148252259557576632174286976} a^{15} + \frac{53327376336133354080455213658764844414590743999117047590591478857}{3103024393208889814886256480353298651855787063064889394158043571744} a^{14} + \frac{148348446751251146240661642921646653363703497075540091923916240039}{6206048786417779629772512960706597303711574126129778788316087143488} a^{13} + \frac{60453751175070609981504201032661805225946185323736915855340639687}{6206048786417779629772512960706597303711574126129778788316087143488} a^{12} + \frac{22023248408960383842575605863581608145121540693877600139692958363}{193939024575555613430391030022081165740986691441555587134877723234} a^{11} + \frac{38851636291639338624377092156450047546719989200617788492618416617}{775756098302222453721564120088324662963946765766222348539510892936} a^{10} - \frac{8732915577970571733344550715062491386757867505445005228305001529}{1551512196604444907443128240176649325927893531532444697079021785872} a^{9} - \frac{89035458099092630102008773729545440355922139615896092804950834707}{775756098302222453721564120088324662963946765766222348539510892936} a^{8} - \frac{79480070256525564903934511176406321632030140221377021332949863637}{387878049151111226860782060044162331481973382883111174269755446468} a^{7} + \frac{81588978631607476681332601694584466464485284867892075146308132705}{387878049151111226860782060044162331481973382883111174269755446468} a^{6} + \frac{53982740072736720782067468788516141294989362672857630378668666757}{387878049151111226860782060044162331481973382883111174269755446468} a^{5} + \frac{94481239301681033352685533497579858584141871983848323638078506789}{387878049151111226860782060044162331481973382883111174269755446468} a^{4} + \frac{8252592489092216338762653141830125710216609297659728395255971406}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{3} - \frac{17722788839113486007803037754558391365149723851768469813950064485}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{2} - \frac{32877184011254709362580550981968142425111955966061750844380261845}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a + \frac{204050938334667692032162228659758778444656121124516984932532217}{4216065751642513335443283261349590559586667205251208415975602679}$, $\frac{1}{1520717434987507845524537763604897390537427692870437671463785215765132508672} a^{39} + \frac{3828713}{380179358746876961381134440901224347634356923217609417865946303941283127168} a^{38} + \frac{41330752358440603476077843262095513590184134458881286325350101387786943}{1520717434987507845524537763604897390537427692870437671463785215765132508672} a^{37} + \frac{42193334466225964017720280535662863113783593757856519889406385225853501}{1520717434987507845524537763604897390537427692870437671463785215765132508672} a^{36} + \frac{15662055336914372626652001965276265477557722765981856386783032297049879}{760358717493753922762268881802448695268713846435218835731892607882566254336} a^{35} - \frac{35777058156829078815504061149740796077201438125270085884214470799714245}{1520717434987507845524537763604897390537427692870437671463785215765132508672} a^{34} - \frac{130123822995005551529213125992461836370521070469066492548030493312131}{11880604960839905043160451278163260863573653850550294308310821998165097724} a^{33} - \frac{11127126609071993704516948497034522222043343250327548657052946869458271}{190089679373438480690567220450612173817178461608804708932973151970641563584} a^{32} - \frac{5611779616027315085830396949524970168488768513307405223442824411805591}{760358717493753922762268881802448695268713846435218835731892607882566254336} a^{31} + \frac{45534511210251055955142450107502542417901486016015473645457783304502615}{380179358746876961381134440901224347634356923217609417865946303941283127168} a^{30} - \frac{49467839553326965891682080332987580239140109499639764206707123831607699}{760358717493753922762268881802448695268713846435218835731892607882566254336} a^{29} - \frac{75811825358978905882610618071259581241910054588765695758277011840156389}{760358717493753922762268881802448695268713846435218835731892607882566254336} a^{28} - \frac{34506496215821022391175590830752173677157063796645530943568634317125729}{190089679373438480690567220450612173817178461608804708932973151970641563584} a^{27} - \frac{218499301328374667998374314478711533296985270092843548570739352830717739}{760358717493753922762268881802448695268713846435218835731892607882566254336} a^{26} - \frac{101819168782842828097232035455748297518068696666718891695335109511480775}{380179358746876961381134440901224347634356923217609417865946303941283127168} a^{25} - \frac{1116786885784292489053792119256335007020714136881384612047263458303899}{16529537336820737451353671343531493375406822748591713820258534953968831616} a^{24} + \frac{366020627459422669103221752380400122957671994922083729549132766834324689}{1520717434987507845524537763604897390537427692870437671463785215765132508672} a^{23} + \frac{6359592044637756424259083508726988547139913329370973587022055499075729}{1033096083551296090709604458970718335962926421786982113766158434623051976} a^{22} + \frac{934071967971594060130426023360916684463001737889833567687829427835694817}{66118149347282949805414685374125973501627290994366855281034139815875326464} a^{21} + \frac{949178387887019573726791785194172388218756075632442914952938728556784675}{66118149347282949805414685374125973501627290994366855281034139815875326464} a^{20} - \frac{982977268737960468138444395353869456061544116515351823155743507659856049}{33059074673641474902707342687062986750813645497183427640517069907937663232} a^{19} - \frac{1314045148660860716251427716940193853549202209010128136319578980572301979}{66118149347282949805414685374125973501627290994366855281034139815875326464} a^{18} - \frac{983450067219716358669932186143348206391602106068250568767940166708270399}{380179358746876961381134440901224347634356923217609417865946303941283127168} a^{17} + \frac{7912869717556981625979417806124793129872770967147739957243768701431556529}{380179358746876961381134440901224347634356923217609417865946303941283127168} a^{16} - \frac{4576569950450107664010582232363644084024171720806206259651698293334786075}{380179358746876961381134440901224347634356923217609417865946303941283127168} a^{15} - \frac{2664824058614304793602825060087693009920402852402585327413995749938657735}{190089679373438480690567220450612173817178461608804708932973151970641563584} a^{14} + \frac{254659469375013864762861779770483200157929848568249901983781298525868113}{190089679373438480690567220450612173817178461608804708932973151970641563584} a^{13} + \frac{4857731572772213076343059681360486857469683747010641956154592729624243131}{95044839686719240345283610225306086908589230804402354466486575985320781792} a^{12} + \frac{1878819730136845746367247826435859410022744541701621178024727930096574123}{95044839686719240345283610225306086908589230804402354466486575985320781792} a^{11} - \frac{154510582888982461720363240442671765907164593617877054516576891527345009}{23761209921679810086320902556326521727147307701100588616621643996330195448} a^{10} - \frac{2782969043355821131130679487306970066764309619425878796032990519300563191}{23761209921679810086320902556326521727147307701100588616621643996330195448} a^{9} - \frac{1256092802329024529214692839152121097582773788764228231501939258778480415}{47522419843359620172641805112653043454294615402201177233243287992660390896} a^{8} + \frac{2526087512237189556580250764538432192291947108214120514735070102606143143}{23761209921679810086320902556326521727147307701100588616621643996330195448} a^{7} + \frac{2043296412639449680706291608116952909951634345858240603819608283889662959}{23761209921679810086320902556326521727147307701100588616621643996330195448} a^{6} - \frac{181517416854905958282639361288086066248623538936486531494373587770884747}{5940302480419952521580225639081630431786826925275147154155410999082548862} a^{5} - \frac{2286280184163032100156326481279367513955400962562390733263530359332482941}{11880604960839905043160451278163260863573653850550294308310821998165097724} a^{4} + \frac{2362433464799583044219214608805823432965136345289303417740287227361733731}{5940302480419952521580225639081630431786826925275147154155410999082548862} a^{3} - \frac{34967113692951015744720905801619905118984924936555977963760947192372061}{258274020887824022677401114742679583990731605446745528441539608655762994} a^{2} + \frac{1173933748980493464786841409224870186110190024522153066894479816731582670}{2970151240209976260790112819540815215893413462637573577077705499541274431} a - \frac{30811507602907247905096732644215436594362497147531177882247887207866779}{129137010443912011338700557371339791995365802723372764220769804327881497}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $19$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( \frac{15041490416277220308715037744496914119905014927547888601830}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{38} - \frac{285788317909267185865585717145441368278195283623409883434770}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{37} + \frac{3236868595667634317862414339534700504295561515362787074414765}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{36} - \frac{26541131434088760090443443508480617198440430794331670278206300}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{35} + \frac{173828646740518385726063441927098406984786359642476106328063610}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{34} - \frac{952254442585595558057190654465367552160472310381140030036602775}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{33} + \frac{9000427524898886345944057545667161645242458600532452283097794895}{193939024575555613430391030022081165740986691441555587134877723234} a^{32} - \frac{18709195675041173664341738893751981838561472031303186945909321520}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{31} + \frac{69413859066306772756798689560973042545573935668170485838931269100}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{30} - \frac{232184724496490881834907707690682242689982304326106724489085624980}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{29} + \frac{30679715143774017168094092888493037406115000751715043647392313270}{4216065751642513335443283261349590559586667205251208415975602679} a^{28} - \frac{85200940005550570850807205121537352018338900489140094644375339240}{4216065751642513335443283261349590559586667205251208415975602679} a^{27} + \frac{4994523884744218620301895303030823118383933253660407005964470221980}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{26} - \frac{11719634330889640607991927913552529407776183440223836135420265368820}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{25} + \frac{25375077676436008690105392309295738302376668423442259965303985348282}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{24} - \frac{50770777958717102328896528995269421696802973122193517551518667065184}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{23} + \frac{4085004519735512952394429493759333403225808005927547408616783795786}{4216065751642513335443283261349590559586667205251208415975602679} a^{22} - \frac{6995154640473396039026660016877742802276149955113691568744746099542}{4216065751642513335443283261349590559586667205251208415975602679} a^{21} + \frac{11087460052230055671095732578012365440266301365000692788571904633519}{4216065751642513335443283261349590559586667205251208415975602679} a^{20} - \frac{16274144928807593905612695568397579492160016954548741491224945602548}{4216065751642513335443283261349590559586667205251208415975602679} a^{19} + \frac{22146461695800234917300233992972743486256279353402467156902737349126}{4216065751642513335443283261349590559586667205251208415975602679} a^{18} - \frac{28010536150937654430162927356593495145327889995943649485220373634192}{4216065751642513335443283261349590559586667205251208415975602679} a^{17} + \frac{760455948701635293639139826283856977228334230785137147039545841929692}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{16} - \frac{842199190329141675405573618934073543404578758188901487910593306743184}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{15} + \frac{877827306918883358224698292420744439910847807177128627770719870521928}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{14} - \frac{856416085009785779306800405338308526969204417433912776068173488597376}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{13} + \frac{762999578334689248439377356015126339472940786776955953970564291253872}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{12} - \frac{585311118074001816285396738889471603178545201015008072042111213790144}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{11} + \frac{380941114221563055029551878707849208358103031418329752537266680380448}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{10} - \frac{295256581183384722912558339946109959743904504782638442833497262896896}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{9} + \frac{318952686561887837766903402161859451557199578488868283256433751136192}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{8} - \frac{235959032667300740916413344231610517992847338178508680939723691762944}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{7} + \frac{2115023443667562235546037960102072688274914892452790526005398759296}{4216065751642513335443283261349590559586667205251208415975602679} a^{6} + \frac{1395623727336515195815806936019026131610477882219984070234736386048}{4216065751642513335443283261349590559586667205251208415975602679} a^{5} - \frac{2780056187717305487724500388166859713316716926487802218305293003008}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{4} - \frac{15794979047191414193304232521883266685784185402301348433772426415104}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a^{3} + \frac{13836534115153001991692990196134657239350001406176267515173337607887}{193939024575555613430391030022081165740986691441555587134877723234} a^{2} - \frac{469246075994618134753986003585689648856601890114751787470310925114}{96969512287777806715195515011040582870493345720777793567438861617} a - \frac{1148884082162065052949607959839741037932899797609469154890297758}{4216065751642513335443283261349590559586667205251208415975602679} \) (order $22$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_2^2\times C_{10}$ (as 40T7):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_2^2\times C_{10}$
Character table for $C_2^2\times C_{10}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{77}) \), \(\Q(\sqrt{-22}) \), \(\Q(\sqrt{-14}) \), \(\Q(\sqrt{-11}) \), \(\Q(\sqrt{-7}) \), \(\Q(\sqrt{2}) \), \(\Q(\sqrt{154}) \), \(\Q(\sqrt{-14}, \sqrt{-22})\), \(\Q(\sqrt{-7}, \sqrt{-11})\), \(\Q(\sqrt{2}, \sqrt{77})\), \(\Q(\sqrt{2}, \sqrt{-11})\), \(\Q(\sqrt{-7}, \sqrt{-22})\), \(\Q(\sqrt{-11}, \sqrt{-14})\), \(\Q(\sqrt{2}, \sqrt{-7})\), \(\Q(\zeta_{11})^+\), 8.0.143986855936.2, 10.10.39630026842637.1, 10.0.77265229938688.1, 10.0.118054247234502656.1, \(\Q(\zeta_{11})\), 10.0.3602729712967.1, 10.10.7024111812608.1, 10.10.1298596719579529216.1, 20.0.1686353440102714438260338720197574656.2, 20.0.1570539027548129147161113769.2, 20.20.1686353440102714438260338720197574656.1, 20.0.5969915757478328440239161344.6, 20.0.1686353440102714438260338720197574656.1, 20.0.1686353440102714438260338720197574656.8, 20.0.13936805290105078002151559671054336.6

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R ${\href{/LocalNumberField/3.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/5.10.0.1}{10} }^{4}$ R R ${\href{/LocalNumberField/13.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/17.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/19.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/23.1.0.1}{1} }^{40}$ ${\href{/LocalNumberField/29.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/31.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/37.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/41.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/43.2.0.1}{2} }^{20}$ ${\href{/LocalNumberField/47.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/53.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/59.10.0.1}{10} }^{4}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
7Data not computed
11Data not computed