↑

Properties

Label 40.0.27007102944...1728.1
Degree $40$
Signature $[0, 20]$
Discriminant $2^{40}\cdot 11^{32}\cdot 17^{35}$
Root discriminant $162.48$
Ramified primes $2, 11, 17$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{40}$ (as 40T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![3628584369937, -7055343934776, 12397651013143, -2505536851550, 1607344773987, -4559521282816, 8433409097319, -10142784370356, 9047878512315, -6336623254368, 4545984492009, -2671218205910, 1440254211391, -595112355756, 268482814901, -123303398832, 78918556883, -49494225514, 33125100001, -22717103912, 15448166026, -9076857412, 4973214309, -2619859530, 1384198966, -660339502, 298767088, -123767000, 50793319, -19092008, 7091042, -2344388, 754326, -208476, 56478, -12440, 2779, -454, 81, -8, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 8*x^39 + 81*x^38 - 454*x^37 + 2779*x^36 - 12440*x^35 + 56478*x^34 - 208476*x^33 + 754326*x^32 - 2344388*x^31 + 7091042*x^30 - 19092008*x^29 + 50793319*x^28 - 123767000*x^27 + 298767088*x^26 - 660339502*x^25 + 1384198966*x^24 - 2619859530*x^23 + 4973214309*x^22 - 9076857412*x^21 + 15448166026*x^20 - 22717103912*x^19 + 33125100001*x^18 - 49494225514*x^17 + 78918556883*x^16 - 123303398832*x^15 + 268482814901*x^14 - 595112355756*x^13 + 1440254211391*x^12 - 2671218205910*x^11 + 4545984492009*x^10 - 6336623254368*x^9 + 9047878512315*x^8 - 10142784370356*x^7 + 8433409097319*x^6 - 4559521282816*x^5 + 1607344773987*x^4 - 2505536851550*x^3 + 12397651013143*x^2 - 7055343934776*x + 3628584369937)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - 8*x^39 + 81*x^38 - 454*x^37 + 2779*x^36 - 12440*x^35 + 56478*x^34 - 208476*x^33 + 754326*x^32 - 2344388*x^31 + 7091042*x^30 - 19092008*x^29 + 50793319*x^28 - 123767000*x^27 + 298767088*x^26 - 660339502*x^25 + 1384198966*x^24 - 2619859530*x^23 + 4973214309*x^22 - 9076857412*x^21 + 15448166026*x^20 - 22717103912*x^19 + 33125100001*x^18 - 49494225514*x^17 + 78918556883*x^16 - 123303398832*x^15 + 268482814901*x^14 - 595112355756*x^13 + 1440254211391*x^12 - 2671218205910*x^11 + 4545984492009*x^10 - 6336623254368*x^9 + 9047878512315*x^8 - 10142784370356*x^7 + 8433409097319*x^6 - 4559521282816*x^5 + 1607344773987*x^4 - 2505536851550*x^3 + 12397651013143*x^2 - 7055343934776*x + 3628584369937, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - 8 x^{39} + 81 x^{38} - 454 x^{37} + 2779 x^{36} - 12440 x^{35} + 56478 x^{34} - 208476 x^{33} + 754326 x^{32} - 2344388 x^{31} + 7091042 x^{30} - 19092008 x^{29} + 50793319 x^{28} - 123767000 x^{27} + 298767088 x^{26} - 660339502 x^{25} + 1384198966 x^{24} - 2619859530 x^{23} + 4973214309 x^{22} - 9076857412 x^{21} + 15448166026 x^{20} - 22717103912 x^{19} + 33125100001 x^{18} - 49494225514 x^{17} + 78918556883 x^{16} - 123303398832 x^{15} + 268482814901 x^{14} - 595112355756 x^{13} + 1440254211391 x^{12} - 2671218205910 x^{11} + 4545984492009 x^{10} - 6336623254368 x^{9} + 9047878512315 x^{8} - 10142784370356 x^{7} + 8433409097319 x^{6} - 4559521282816 x^{5} + 1607344773987 x^{4} - 2505536851550 x^{3} + 12397651013143 x^{2} - 7055343934776 x + 3628584369937 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 20]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(27007102944656272698827615986090315374383591277311834999324013469474405554004168936521728=2^{40}\cdot 11^{32}\cdot 17^{35}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $162.48$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 11, 17$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(748=2^{2}\cdot 11\cdot 17\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{748}(1,·)$, $\chi_{748}(137,·)$, $\chi_{748}(631,·)$, $\chi_{748}(399,·)$, $\chi_{748}(273,·)$, $\chi_{748}(155,·)$, $\chi_{748}(157,·)$, $\chi_{748}(287,·)$, $\chi_{748}(291,·)$, $\chi_{748}(421,·)$, $\chi_{748}(423,·)$, $\chi_{748}(169,·)$, $\chi_{748}(427,·)$, $\chi_{748}(559,·)$, $\chi_{748}(179,·)$, $\chi_{748}(565,·)$, $\chi_{748}(441,·)$, $\chi_{748}(59,·)$, $\chi_{748}(577,·)$, $\chi_{748}(603,·)$, $\chi_{748}(331,·)$, $\chi_{748}(69,·)$, $\chi_{748}(353,·)$, $\chi_{748}(713,·)$, $\chi_{748}(587,·)$, $\chi_{748}(81,·)$, $\chi_{748}(467,·)$, $\chi_{748}(89,·)$, $\chi_{748}(15,·)$, $\chi_{748}(477,·)$, $\chi_{748}(223,·)$, $\chi_{748}(225,·)$, $\chi_{748}(355,·)$, $\chi_{748}(361,·)$, $\chi_{748}(111,·)$, $\chi_{748}(625,·)$, $\chi_{748}(489,·)$, $\chi_{748}(247,·)$, $\chi_{748}(509,·)$, $\chi_{748}(383,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $\frac{1}{52} a^{30} - \frac{3}{26} a^{29} + \frac{15}{52} a^{28} - \frac{3}{26} a^{27} - \frac{17}{52} a^{26} - \frac{9}{26} a^{25} - \frac{25}{52} a^{24} + \frac{11}{52} a^{22} + \frac{5}{13} a^{21} + \frac{7}{26} a^{20} - \frac{5}{13} a^{19} - \frac{9}{52} a^{18} - \frac{3}{26} a^{17} - \frac{2}{13} a^{16} - \frac{11}{26} a^{15} + \frac{21}{52} a^{14} + \frac{1}{26} a^{13} - \frac{25}{52} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{26} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} + \frac{9}{52} a^{8} + \frac{3}{26} a^{7} - \frac{9}{26} a^{6} + \frac{3}{26} a^{5} - \frac{7}{26} a^{4} + \frac{7}{26} a^{3} - \frac{19}{52} a^{2} - \frac{6}{13} a - \frac{7}{52}$, $\frac{1}{52} a^{31} - \frac{21}{52} a^{29} - \frac{5}{13} a^{28} - \frac{1}{52} a^{27} - \frac{4}{13} a^{26} + \frac{23}{52} a^{25} + \frac{3}{26} a^{24} + \frac{11}{52} a^{23} - \frac{9}{26} a^{22} - \frac{11}{26} a^{21} + \frac{3}{13} a^{20} - \frac{25}{52} a^{19} - \frac{2}{13} a^{18} + \frac{2}{13} a^{17} - \frac{9}{26} a^{16} - \frac{7}{52} a^{15} + \frac{6}{13} a^{14} - \frac{1}{4} a^{13} - \frac{5}{13} a^{12} - \frac{1}{26} a^{11} + \frac{7}{26} a^{10} + \frac{9}{52} a^{9} + \frac{2}{13} a^{8} + \frac{9}{26} a^{7} + \frac{1}{26} a^{6} + \frac{11}{26} a^{5} - \frac{9}{26} a^{4} + \frac{1}{4} a^{3} + \frac{9}{26} a^{2} + \frac{5}{52} a + \frac{5}{26}$, $\frac{1}{52} a^{32} + \frac{5}{26} a^{29} + \frac{1}{26} a^{28} + \frac{7}{26} a^{27} - \frac{11}{26} a^{26} - \frac{2}{13} a^{25} + \frac{3}{26} a^{24} - \frac{9}{26} a^{23} + \frac{1}{52} a^{22} + \frac{4}{13} a^{21} + \frac{9}{52} a^{20} - \frac{3}{13} a^{19} - \frac{25}{52} a^{18} + \frac{3}{13} a^{17} - \frac{19}{52} a^{16} - \frac{11}{26} a^{15} + \frac{3}{13} a^{14} + \frac{11}{26} a^{13} - \frac{7}{52} a^{12} - \frac{3}{13} a^{11} + \frac{19}{52} a^{10} - \frac{9}{26} a^{9} - \frac{1}{52} a^{8} + \frac{6}{13} a^{7} + \frac{2}{13} a^{6} + \frac{1}{13} a^{5} - \frac{21}{52} a^{4} + \frac{11}{26} a^{2} - \frac{1}{2} a + \frac{9}{52}$, $\frac{1}{52} a^{33} + \frac{5}{26} a^{29} + \frac{5}{13} a^{28} - \frac{7}{26} a^{27} + \frac{3}{26} a^{26} - \frac{11}{26} a^{25} + \frac{6}{13} a^{24} + \frac{1}{52} a^{23} + \frac{5}{26} a^{22} + \frac{17}{52} a^{21} + \frac{1}{13} a^{20} + \frac{19}{52} a^{19} - \frac{1}{26} a^{18} - \frac{11}{52} a^{17} + \frac{3}{26} a^{16} + \frac{6}{13} a^{15} + \frac{5}{13} a^{14} + \frac{25}{52} a^{13} - \frac{11}{26} a^{12} + \frac{19}{52} a^{11} + \frac{1}{26} a^{10} - \frac{1}{52} a^{9} - \frac{7}{26} a^{8} - \frac{6}{13} a^{6} + \frac{23}{52} a^{5} - \frac{4}{13} a^{4} - \frac{7}{26} a^{3} + \frac{2}{13} a^{2} - \frac{11}{52} a + \frac{9}{26}$, $\frac{1}{52} a^{34} - \frac{6}{13} a^{29} - \frac{2}{13} a^{28} + \frac{7}{26} a^{27} - \frac{2}{13} a^{26} - \frac{1}{13} a^{25} - \frac{9}{52} a^{24} + \frac{5}{26} a^{23} + \frac{11}{52} a^{22} + \frac{3}{13} a^{21} - \frac{17}{52} a^{20} - \frac{5}{26} a^{19} - \frac{25}{52} a^{18} + \frac{7}{26} a^{17} - \frac{5}{13} a^{15} + \frac{23}{52} a^{14} + \frac{5}{26} a^{13} + \frac{9}{52} a^{12} + \frac{1}{26} a^{11} + \frac{19}{52} a^{10} - \frac{7}{26} a^{9} + \frac{7}{26} a^{8} + \frac{5}{13} a^{7} - \frac{5}{52} a^{6} - \frac{6}{13} a^{5} + \frac{11}{26} a^{4} + \frac{6}{13} a^{3} + \frac{23}{52} a^{2} - \frac{1}{26} a + \frac{9}{26}$, $\frac{1}{52} a^{35} + \frac{1}{13} a^{29} + \frac{5}{26} a^{28} + \frac{1}{13} a^{27} + \frac{1}{13} a^{26} - \frac{25}{52} a^{25} - \frac{9}{26} a^{24} + \frac{11}{52} a^{23} + \frac{4}{13} a^{22} - \frac{5}{52} a^{21} + \frac{7}{26} a^{20} + \frac{15}{52} a^{19} + \frac{3}{26} a^{18} + \frac{3}{13} a^{17} - \frac{1}{13} a^{16} + \frac{15}{52} a^{15} - \frac{3}{26} a^{14} + \frac{5}{52} a^{13} - \frac{1}{2} a^{12} + \frac{19}{52} a^{11} - \frac{5}{26} a^{10} + \frac{7}{26} a^{9} - \frac{6}{13} a^{8} - \frac{17}{52} a^{7} + \frac{3}{13} a^{6} + \frac{5}{26} a^{5} - \frac{5}{52} a^{3} + \frac{5}{26} a^{2} + \frac{7}{26} a - \frac{3}{13}$, $\frac{1}{52} a^{36} - \frac{9}{26} a^{29} - \frac{1}{13} a^{28} - \frac{6}{13} a^{27} - \frac{9}{52} a^{26} + \frac{1}{26} a^{25} + \frac{7}{52} a^{24} + \frac{4}{13} a^{23} + \frac{3}{52} a^{22} - \frac{7}{26} a^{21} + \frac{11}{52} a^{20} - \frac{9}{26} a^{19} - \frac{1}{13} a^{18} + \frac{5}{13} a^{17} - \frac{5}{52} a^{16} - \frac{11}{26} a^{15} + \frac{25}{52} a^{14} + \frac{9}{26} a^{13} + \frac{15}{52} a^{12} - \frac{5}{26} a^{11} + \frac{11}{26} a^{10} - \frac{6}{13} a^{9} - \frac{1}{52} a^{8} - \frac{3}{13} a^{7} - \frac{11}{26} a^{6} - \frac{6}{13} a^{5} - \frac{1}{52} a^{4} + \frac{3}{26} a^{3} - \frac{7}{26} a^{2} - \frac{5}{13} a - \frac{6}{13}$, $\frac{1}{52} a^{37} - \frac{2}{13} a^{29} - \frac{7}{26} a^{28} - \frac{1}{4} a^{27} + \frac{2}{13} a^{26} - \frac{5}{52} a^{25} - \frac{9}{26} a^{24} + \frac{3}{52} a^{23} - \frac{6}{13} a^{22} + \frac{7}{52} a^{21} - \frac{1}{2} a^{20} + \frac{7}{26} a^{18} - \frac{9}{52} a^{17} - \frac{5}{26} a^{16} - \frac{7}{52} a^{15} - \frac{5}{13} a^{14} - \frac{1}{52} a^{13} + \frac{2}{13} a^{12} + \frac{11}{26} a^{11} - \frac{2}{13} a^{10} - \frac{1}{52} a^{9} - \frac{3}{26} a^{8} - \frac{9}{26} a^{7} + \frac{4}{13} a^{6} + \frac{3}{52} a^{5} + \frac{7}{26} a^{4} - \frac{11}{26} a^{3} + \frac{1}{26} a^{2} + \frac{3}{13} a - \frac{11}{26}$, $\frac{1}{11020934206569060250417635596457431540731784628442590511732141988151048265271246986817068128058038293583913875625874356} a^{38} - \frac{13109945811857138623421086242937784452285634900656805002787175872106300073813170895073494252293719253901566070558168}{2755233551642265062604408899114357885182946157110647627933035497037762066317811746704267032014509573395978468906468589} a^{37} + \frac{19746285330188248357906469902791801144580621846856772433967949379397372319025388438912157319572646409575941932938583}{11020934206569060250417635596457431540731784628442590511732141988151048265271246986817068128058038293583913875625874356} a^{36} - \frac{26297521036519083874922853900645428484133219007168217114249403359312334559761287954112014754871250369706787397993572}{2755233551642265062604408899114357885182946157110647627933035497037762066317811746704267032014509573395978468906468589} a^{35} - \frac{7076474125552931567605611343157324172299761398294473415940269592849909713101949783764762352433233058411162556507000}{2755233551642265062604408899114357885182946157110647627933035497037762066317811746704267032014509573395978468906468589} a^{34} + \frac{18895507344114656291280115127418701674870979622002077864462561757858623469688890730801102459659492045388971962167235}{2755233551642265062604408899114357885182946157110647627933035497037762066317811746704267032014509573395978468906468589} a^{33} + \frac{47472666665019052200186079788564855127026697687829497679724224225248117337717535293742335117029961865718079505306393}{5510467103284530125208817798228715770365892314221295255866070994075524132635623493408534064029019146791956937812937178} a^{32} - \frac{57505140911895252781189908079679676498679140225693281366732507823416494485017711176299539146240234560560533488504021}{11020934206569060250417635596457431540731784628442590511732141988151048265271246986817068128058038293583913875625874356} a^{31} - \frac{10054795613913250978714136989139843313330758996711347521763562397572423914205923845255379827000511602803838184401536}{2755233551642265062604408899114357885182946157110647627933035497037762066317811746704267032014509573395978468906468589} a^{30} + \frac{5250866395500246948534304952175416236187641930648970697850039593894552271477360441329564995852250944254351896252281885}{11020934206569060250417635596457431540731784628442590511732141988151048265271246986817068128058038293583913875625874356} a^{29} - \frac{5315547820019964462146142560806982472134178787052722612171708067846632078020967027738974184884803183185090207783168757}{11020934206569060250417635596457431540731784628442590511732141988151048265271246986817068128058038293583913875625874356} a^{28} + \frac{4121147193019673038671838873424968222464703837743266118240879336299340598395317534964783727652337783546418564919773161}{11020934206569060250417635596457431540731784628442590511732141988151048265271246986817068128058038293583913875625874356} a^{27} - \frac{65705518107765431938264501840596912412287612353785590769912998674072885809817796364559879812028046184143873954474059}{2755233551642265062604408899114357885182946157110647627933035497037762066317811746704267032014509573395978468906468589} a^{26} - \frac{1359100251837898541417829905172313552174148691912115185698383351225380586365155079109272768876295969320571939083364859}{11020934206569060250417635596457431540731784628442590511732141988151048265271246986817068128058038293583913875625874356} a^{25} + \frac{2452225747087615733059491875066881428959398344481315573798281670277427703529200568040601813037771086279638629721650347}{5510467103284530125208817798228715770365892314221295255866070994075524132635623493408534064029019146791956937812937178} a^{24} + \frac{478700322591350399818289540314838894736305712227126214208917140151068290600916812934207955721422295723002820014453181}{11020934206569060250417635596457431540731784628442590511732141988151048265271246986817068128058038293583913875625874356} a^{23} + \frac{72475930244909488962121301272194158731766279764743755975099207016186725191238833476616362467888226450706303886356965}{211941042434020389431108376854950606552534319777742125225618115156750928178293211284943617847269967184306036069728353} a^{22} + \frac{588741872560114189052101811658826172318613975973348261311865496394153552682659224131839095142886103043598605446404049}{5510467103284530125208817798228715770365892314221295255866070994075524132635623493408534064029019146791956937812937178} a^{21} - \frac{4358280884838609739491610006275385401346586880597512274730511521286225440943529612772016238121951270981257590344518253}{11020934206569060250417635596457431540731784628442590511732141988151048265271246986817068128058038293583913875625874356} a^{20} + \frac{2781930816256004825157266095563744675042804766836232066240830346514921379248186100868999548339907626203434203698932373}{11020934206569060250417635596457431540731784628442590511732141988151048265271246986817068128058038293583913875625874356} a^{19} + \frac{4972602027653823413823033731018743091254540594178846023172503278549996545230882024221982244912392689001454037831566285}{11020934206569060250417635596457431540731784628442590511732141988151048265271246986817068128058038293583913875625874356} a^{18} + \frac{97473062259677015539954971586432971037171361253250604411651079919048018818071247310926229095307046630324908238896243}{423882084868040778862216753709901213105068639555484250451236230313501856356586422569887235694539934368612072139456706} a^{17} - \frac{141761157913295459199269640889838469919887306101453324727009856936403187420002245742332870235324433700051638893931757}{5510467103284530125208817798228715770365892314221295255866070994075524132635623493408534064029019146791956937812937178} a^{16} + \frac{3378590632159665344086977570988241968952987295753276462433777019006599506892352469588917167390888598317947939355730945}{11020934206569060250417635596457431540731784628442590511732141988151048265271246986817068128058038293583913875625874356} a^{15} + \frac{878840820699038045517612175935561499178447333912524182404745635820316202651186514541428950207561758428643605796638781}{5510467103284530125208817798228715770365892314221295255866070994075524132635623493408534064029019146791956937812937178} a^{14} + \frac{2004797250818307197432668762524308352415177543172777825497658823466768880853781040552813455501394034631536566203963923}{11020934206569060250417635596457431540731784628442590511732141988151048265271246986817068128058038293583913875625874356} a^{13} + \frac{1368437791770824660483910150969740019738374180277972446671272294722301859090593447145696681337330593814174967273859249}{11020934206569060250417635596457431540731784628442590511732141988151048265271246986817068128058038293583913875625874356} a^{12} - \frac{46314132385144229033513115575621552181636738660694531732185940537383964867885875104432829053206448202659180196147805}{2755233551642265062604408899114357885182946157110647627933035497037762066317811746704267032014509573395978468906468589} a^{11} + \frac{1672332798058739900439208268636915406995914646378529836422341538906912098348791545646612214311950562822226870987392945}{11020934206569060250417635596457431540731784628442590511732141988151048265271246986817068128058038293583913875625874356} a^{10} - \frac{2598643007199040169107890928786734482881872207274936294609719646630510454208456629656701000059163795922093279027225043}{11020934206569060250417635596457431540731784628442590511732141988151048265271246986817068128058038293583913875625874356} a^{9} + \frac{4871172825570327913670156112008301214173880443075567513590527711837277137519799175277747934964446368522611365652898101}{11020934206569060250417635596457431540731784628442590511732141988151048265271246986817068128058038293583913875625874356} a^{8} - \frac{1943541562268245131850593666707477071710015149628216627440951124878455680208136024853315267690413161492218764373418117}{5510467103284530125208817798228715770365892314221295255866070994075524132635623493408534064029019146791956937812937178} a^{7} + \frac{286668607255161438286734024382606399772672119278889941482397262696675755502323511905290533285318353714631431255930383}{11020934206569060250417635596457431540731784628442590511732141988151048265271246986817068128058038293583913875625874356} a^{6} - \frac{388250615793813096771872367422010399722851146450895399753228842027674899904393211346237526090187940594304420605009841}{2755233551642265062604408899114357885182946157110647627933035497037762066317811746704267032014509573395978468906468589} a^{5} + \frac{217745747002034500661649811179934298961486934141183065090699190897000099762285994441227831176137432656961248466335163}{847764169736081557724433507419802426210137279110968500902472460627003712713172845139774471389079868737224144278913412} a^{4} - \frac{2010358396097848850667167130498646792482264207098957618086670925719005154865572207989299609856905096181853129289012949}{11020934206569060250417635596457431540731784628442590511732141988151048265271246986817068128058038293583913875625874356} a^{3} - \frac{657458499464371513089094590458492228187563900253965858298426505925901294184214050860787087399738498998444956364449796}{2755233551642265062604408899114357885182946157110647627933035497037762066317811746704267032014509573395978468906468589} a^{2} - \frac{881429025750211389406275855200999549437869882787162820352995951757270503342386144589131740348288797446607491241978595}{11020934206569060250417635596457431540731784628442590511732141988151048265271246986817068128058038293583913875625874356} a - \frac{509192921662456196975203406036274315443850122237946057899085226845300127327982730827507168918950688677725330747113014}{2755233551642265062604408899114357885182946157110647627933035497037762066317811746704267032014509573395978468906468589}$, $\frac{1}{85017959149996507275047757714408464617916692081671042698066069710417562869576676731323281874664122173371397861753969522725449161247000806786423477440308329391160868} a^{39} + \frac{2997541037941349571167046024106555866464624585}{85017959149996507275047757714408464617916692081671042698066069710417562869576676731323281874664122173371397861753969522725449161247000806786423477440308329391160868} a^{38} + \frac{107727411538549563264684307518442084615109314666483965477660367512553982633409182234630005229626715978668002072507013683835443889499311404374145077386554045865039}{42508979574998253637523878857204232308958346040835521349033034855208781434788338365661640937332061086685698930876984761362724580623500403393211738720154164695580434} a^{37} - \frac{46083332427519033469422344242545506311503213395231913361002772958874856308787370090047943516658904344804502714959738354622007833440768855193676802157960518072699}{6539843011538192867311365978031420355224360929359310976774313054647504836121282825486406298051086321028569066288766886363496089326692369752801805956946794568550836} a^{36} + \frac{30175324303290334101050155934104112914901680537024380767492065427321202293190030595852587346629928461782238813994667900455764891838490422122598166393752618521883}{85017959149996507275047757714408464617916692081671042698066069710417562869576676731323281874664122173371397861753969522725449161247000806786423477440308329391160868} a^{35} - \frac{27481264963386880819098924651766415076193592378326142069794021622658270494158652582135314070927338500133139280278568137024378635794260752499450773313171763177991}{42508979574998253637523878857204232308958346040835521349033034855208781434788338365661640937332061086685698930876984761362724580623500403393211738720154164695580434} a^{34} - \frac{2960397830613661824237829287571400762638698677269944286584917229259251148152167559657609462661465472381092414624955410507727256929340861964925284760907488288849}{1634960752884548216827841494507855088806090232339827744193578263661876209030320706371601574512771580257142266572191721590874022331673092438200451489236698642137709} a^{33} - \frac{1535453399347044539664166558047338749768489881459443568133099569253908061694533827954429647404739318612159596227219438649408430365810582029428222366721203769201}{21254489787499126818761939428602116154479173020417760674516517427604390717394169182830820468666030543342849465438492380681362290311750201696605869360077082347790217} a^{32} - \frac{467531556017737809985633833916606434474063592075537193883362554061896825493691631350062477074796855791899125904847083535472294607833796028876195319227228243026991}{85017959149996507275047757714408464617916692081671042698066069710417562869576676731323281874664122173371397861753969522725449161247000806786423477440308329391160868} a^{31} - \frac{236017108730424753986046173665230296339075255721527863296134314175024398025970970838782442355023555203545311962339329145181732273060302994776480367977927254457929}{42508979574998253637523878857204232308958346040835521349033034855208781434788338365661640937332061086685698930876984761362724580623500403393211738720154164695580434} a^{30} - \frac{10907562275127976138733486417546513007331298977506534477867972064179023227970285990867564435392630572786291178035864141103272903827550809294973613770661172873208691}{42508979574998253637523878857204232308958346040835521349033034855208781434788338365661640937332061086685698930876984761362724580623500403393211738720154164695580434} a^{29} - \frac{488440238963876994639246283606259924699903077000291495576720977440569214499711151364313339453056722987354035675704774646498430816381248955620152545443084968519851}{85017959149996507275047757714408464617916692081671042698066069710417562869576676731323281874664122173371397861753969522725449161247000806786423477440308329391160868} a^{28} + \frac{4542712446262964703766595335221926304178937773412120307442168178214953762499678738583009168536473843988670563920529136943173172604162424679653159300559619537214282}{21254489787499126818761939428602116154479173020417760674516517427604390717394169182830820468666030543342849465438492380681362290311750201696605869360077082347790217} a^{27} - \frac{601117362052688927375708528688589844772806164908987859955402110094541027279963298745082441919944109512341859945413112151364042620436761558337399436980182507434061}{1634960752884548216827841494507855088806090232339827744193578263661876209030320706371601574512771580257142266572191721590874022331673092438200451489236698642137709} a^{26} - \frac{9412148251855851455180486259430620643076090478975604299678743707927068960553625053130968066866778254412771220980584663185435413259117866200044500682752018742594215}{85017959149996507275047757714408464617916692081671042698066069710417562869576676731323281874664122173371397861753969522725449161247000806786423477440308329391160868} a^{25} - \frac{7688489309808799499348919149727888686036664583098895701280558976278535469214678302698536115509321840296316249378449455302711366320273908164842038939052026412207737}{21254489787499126818761939428602116154479173020417760674516517427604390717394169182830820468666030543342849465438492380681362290311750201696605869360077082347790217} a^{24} - \frac{188819146656209816574574143764958773948998248525801239871946171386783027465866867991128830092062266304663533264412138498366134717081838829923249509962761616966135}{6539843011538192867311365978031420355224360929359310976774313054647504836121282825486406298051086321028569066288766886363496089326692369752801805956946794568550836} a^{23} + \frac{7949265708648551407593503113893785362793869020486809107993454337134034398429595099607603149713620231336319655837596683365908256022987011086120728077538298466162536}{21254489787499126818761939428602116154479173020417760674516517427604390717394169182830820468666030543342849465438492380681362290311750201696605869360077082347790217} a^{22} - \frac{5064929677523250440170534425275434872091672882413124399971394633463074757047169570641794659655993943056427726882760114678570257829414487175678914546947728230842955}{85017959149996507275047757714408464617916692081671042698066069710417562869576676731323281874664122173371397861753969522725449161247000806786423477440308329391160868} a^{21} - \frac{7696528885296915794520635442271856453862961788725290620257806467652133303634438536185399956244364841114596160329702472178595853106706151464663186103296238873277163}{85017959149996507275047757714408464617916692081671042698066069710417562869576676731323281874664122173371397861753969522725449161247000806786423477440308329391160868} a^{20} + \frac{31152922068416572054979113378372082483581860900806930031223802006942095649780585247052409208156389541260064328287295197790577892277465161076904253749084379668932959}{85017959149996507275047757714408464617916692081671042698066069710417562869576676731323281874664122173371397861753969522725449161247000806786423477440308329391160868} a^{19} - \frac{26710796340900446991445390897280549609878134345415086421536906758165704569606295784898003252330428230367744884992176238316534070450321365575619647161500724730487803}{85017959149996507275047757714408464617916692081671042698066069710417562869576676731323281874664122173371397861753969522725449161247000806786423477440308329391160868} a^{18} - \frac{40596359480997272692613090628625388781673239811135503184453520036626425353711541437548403635260882386825366198285967041421811821962495762020614311119266286796400179}{85017959149996507275047757714408464617916692081671042698066069710417562869576676731323281874664122173371397861753969522725449161247000806786423477440308329391160868} a^{17} - \frac{5379600847748655607643273581900747368892836722891132931427638032170135829985093283119557923983162033476439249443553454019893121994225460452912210785297612941144643}{42508979574998253637523878857204232308958346040835521349033034855208781434788338365661640937332061086685698930876984761362724580623500403393211738720154164695580434} a^{16} - \frac{10922656993121380863720349061374980949679680712142285117481025134290891155635975611005488186321840802109542002671419709887471969524351443054141089532914887850650115}{85017959149996507275047757714408464617916692081671042698066069710417562869576676731323281874664122173371397861753969522725449161247000806786423477440308329391160868} a^{15} + \frac{2790408925628691601351309133526276099598043201045395162350467045877820994655154913588079896396353953985018547557077314623560830321315708799516858988050650974961490}{21254489787499126818761939428602116154479173020417760674516517427604390717394169182830820468666030543342849465438492380681362290311750201696605869360077082347790217} a^{14} - \frac{476981194813503884609829576355735788662381022077331094518918205942626618768698220163632598032883700871042335397052889173773317200444865574452228042952390413921361}{21254489787499126818761939428602116154479173020417760674516517427604390717394169182830820468666030543342849465438492380681362290311750201696605869360077082347790217} a^{13} + \frac{25314417492390344455192518727975395671583221057502161942462871148022448501306094959214363684660732809482293574526251502081228239553470580437347955507880981478778941}{85017959149996507275047757714408464617916692081671042698066069710417562869576676731323281874664122173371397861753969522725449161247000806786423477440308329391160868} a^{12} + \frac{1634812209200282735887523503688212516556509098243583192535683863171931325781309928631374487692199328013285333017368054587105826546874678808712936148418889098556145}{21254489787499126818761939428602116154479173020417760674516517427604390717394169182830820468666030543342849465438492380681362290311750201696605869360077082347790217} a^{11} - \frac{9665742369867859628603551545777359332750220645482583158473704483178792271661909351735040500008625875389067864835792631753023849308904043378590921990332476415879491}{85017959149996507275047757714408464617916692081671042698066069710417562869576676731323281874664122173371397861753969522725449161247000806786423477440308329391160868} a^{10} - \frac{16911918055082819493466789787309475489175176958535416480829403873344322202542747786226596812167121251054867476212381324805505538013655541077400354251825793593786383}{85017959149996507275047757714408464617916692081671042698066069710417562869576676731323281874664122173371397861753969522725449161247000806786423477440308329391160868} a^{9} - \frac{39399280145096437066298098559124460107144187964467455807137420050528396791927483801592600560366197084434155532723755101408393815434649052517259721262215585087638087}{85017959149996507275047757714408464617916692081671042698066069710417562869576676731323281874664122173371397861753969522725449161247000806786423477440308329391160868} a^{8} - \frac{5310549159761247990051076764742807557536374527346084304253257332859250087299179256251237133974873313374397701216502582883678494462773929390247462732362596526186335}{42508979574998253637523878857204232308958346040835521349033034855208781434788338365661640937332061086685698930876984761362724580623500403393211738720154164695580434} a^{7} - \frac{35857265423161990538606656259165282521758236260250412370770180380330165209685148805749798797371276964283806069568083086000735020437998885628698015407497353545456161}{85017959149996507275047757714408464617916692081671042698066069710417562869576676731323281874664122173371397861753969522725449161247000806786423477440308329391160868} a^{6} - \frac{2071464141469017796038644375047887380457605797503908722485927907046484477321382915007315697836513077202718866194113099738106221603391060306155758696397063588791079}{42508979574998253637523878857204232308958346040835521349033034855208781434788338365661640937332061086685698930876984761362724580623500403393211738720154164695580434} a^{5} + \frac{1240070328934941114057635966823342564134091785462026248111983695537504341758426601923854113900885375804768488467732285919258037273176681587316752065624249996377677}{6539843011538192867311365978031420355224360929359310976774313054647504836121282825486406298051086321028569066288766886363496089326692369752801805956946794568550836} a^{4} - \frac{18312552742240768771412408200680437045037470578881574047735676873814341248385615227641956253256754525689000061727016852375968432698959123603916547418738720771707805}{42508979574998253637523878857204232308958346040835521349033034855208781434788338365661640937332061086685698930876984761362724580623500403393211738720154164695580434} a^{3} - \frac{12074445376986641522021778326146595321017642448866095187048432399181534376936500043832737208019096161109477520642511919598233276903375669636611589104496232883247339}{42508979574998253637523878857204232308958346040835521349033034855208781434788338365661640937332061086685698930876984761362724580623500403393211738720154164695580434} a^{2} - \frac{40311872163271575239718435688306262699241800280206868383838903229428311163089969070744343887270955123269264953146605036084222916821842762371463710784113351698610035}{85017959149996507275047757714408464617916692081671042698066069710417562869576676731323281874664122173371397861753969522725449161247000806786423477440308329391160868} a + \frac{2808064965386772408038871149959378699066551853527709231786992148020205055669805100251425745280625258410229960221306745076268736079357611903761966289759037205105815}{42508979574998253637523878857204232308958346040835521349033034855208781434788338365661640937332061086685698930876984761362724580623500403393211738720154164695580434}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $19$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{40}$ (as 40T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_{40}$
Character table for $C_{40}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{17}) \), 4.4.4913.1, \(\Q(\zeta_{11})^+\), 8.0.105046700288.1, 10.10.304358957700017.1, 20.20.131527565972137936816816034072938673.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R $40$ $40$ $40$ R ${\href{/LocalNumberField/13.10.0.1}{10} }^{4}$ R $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/23.8.0.1}{8} }^{5}$ $40$ $40$ $40$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/43.4.0.1}{4} }^{10}$ ${\href{/LocalNumberField/47.5.0.1}{5} }^{8}$ $20^{2}$ $20^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
11Data not computed
17Data not computed