↑

Properties

Label 40.0.25709618752...0625.2
Degree $40$
Signature $[0, 20]$
Discriminant $3^{20}\cdot 5^{30}\cdot 41^{39}$
Root discriminant $216.40$
Ramified primes $3, 5, 41$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{40}$ (as 40T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1046897887263301, -993635057195657, 5999967247127527, -4690776216015868, 8303592867364986, -5298658022264528, 7349903670692052, -4280457210793119, 4676026596474957, -2405851443375566, 2344829538262466, -1083179630800745, 928410998409598, -420566608104163, 285666255020364, -152603475042569, 74212086326247, -42757497219236, 16094141788462, -9151786436531, 3206539430637, -1516501091706, 576840714152, -194310650766, 89224845710, -19432835273, 11422194347, -1568833062, 1172140596, -104791040, 93334574, -5720772, 5574976, -240097, 240097, -7012, 7012, -124, 124, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - x^39 + 124*x^38 - 124*x^37 + 7012*x^36 - 7012*x^35 + 240097*x^34 - 240097*x^33 + 5574976*x^32 - 5720772*x^31 + 93334574*x^30 - 104791040*x^29 + 1172140596*x^28 - 1568833062*x^27 + 11422194347*x^26 - 19432835273*x^25 + 89224845710*x^24 - 194310650766*x^23 + 576840714152*x^22 - 1516501091706*x^21 + 3206539430637*x^20 - 9151786436531*x^19 + 16094141788462*x^18 - 42757497219236*x^17 + 74212086326247*x^16 - 152603475042569*x^15 + 285666255020364*x^14 - 420566608104163*x^13 + 928410998409598*x^12 - 1083179630800745*x^11 + 2344829538262466*x^10 - 2405851443375566*x^9 + 4676026596474957*x^8 - 4280457210793119*x^7 + 7349903670692052*x^6 - 5298658022264528*x^5 + 8303592867364986*x^4 - 4690776216015868*x^3 + 5999967247127527*x^2 - 993635057195657*x + 1046897887263301)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - x^39 + 124*x^38 - 124*x^37 + 7012*x^36 - 7012*x^35 + 240097*x^34 - 240097*x^33 + 5574976*x^32 - 5720772*x^31 + 93334574*x^30 - 104791040*x^29 + 1172140596*x^28 - 1568833062*x^27 + 11422194347*x^26 - 19432835273*x^25 + 89224845710*x^24 - 194310650766*x^23 + 576840714152*x^22 - 1516501091706*x^21 + 3206539430637*x^20 - 9151786436531*x^19 + 16094141788462*x^18 - 42757497219236*x^17 + 74212086326247*x^16 - 152603475042569*x^15 + 285666255020364*x^14 - 420566608104163*x^13 + 928410998409598*x^12 - 1083179630800745*x^11 + 2344829538262466*x^10 - 2405851443375566*x^9 + 4676026596474957*x^8 - 4280457210793119*x^7 + 7349903670692052*x^6 - 5298658022264528*x^5 + 8303592867364986*x^4 - 4690776216015868*x^3 + 5999967247127527*x^2 - 993635057195657*x + 1046897887263301, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - x^{39} + 124 x^{38} - 124 x^{37} + 7012 x^{36} - 7012 x^{35} + 240097 x^{34} - 240097 x^{33} + 5574976 x^{32} - 5720772 x^{31} + 93334574 x^{30} - 104791040 x^{29} + 1172140596 x^{28} - 1568833062 x^{27} + 11422194347 x^{26} - 19432835273 x^{25} + 89224845710 x^{24} - 194310650766 x^{23} + 576840714152 x^{22} - 1516501091706 x^{21} + 3206539430637 x^{20} - 9151786436531 x^{19} + 16094141788462 x^{18} - 42757497219236 x^{17} + 74212086326247 x^{16} - 152603475042569 x^{15} + 285666255020364 x^{14} - 420566608104163 x^{13} + 928410998409598 x^{12} - 1083179630800745 x^{11} + 2344829538262466 x^{10} - 2405851443375566 x^{9} + 4676026596474957 x^{8} - 4280457210793119 x^{7} + 7349903670692052 x^{6} - 5298658022264528 x^{5} + 8303592867364986 x^{4} - 4690776216015868 x^{3} + 5999967247127527 x^{2} - 993635057195657 x + 1046897887263301 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 20]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(2570961875240443110075641606889622986328510418246174699558180339089531042613089084625244140625=3^{20}\cdot 5^{30}\cdot 41^{39}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $216.40$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 5, 41$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(615=3\cdot 5\cdot 41\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{615}(256,·)$, $\chi_{615}(1,·)$, $\chi_{615}(518,·)$, $\chi_{615}(263,·)$, $\chi_{615}(271,·)$, $\chi_{615}(16,·)$, $\chi_{615}(406,·)$, $\chi_{615}(407,·)$, $\chi_{615}(152,·)$, $\chi_{615}(602,·)$, $\chi_{615}(286,·)$, $\chi_{615}(31,·)$, $\chi_{615}(289,·)$, $\chi_{615}(548,·)$, $\chi_{615}(293,·)$, $\chi_{615}(422,·)$, $\chi_{615}(167,·)$, $\chi_{615}(169,·)$, $\chi_{615}(556,·)$, $\chi_{615}(349,·)$, $\chi_{615}(49,·)$, $\chi_{615}(158,·)$, $\chi_{615}(184,·)$, $\chi_{615}(188,·)$, $\chi_{615}(317,·)$, $\chi_{615}(319,·)$, $\chi_{615}(68,·)$, $\chi_{615}(587,·)$, $\chi_{615}(593,·)$, $\chi_{615}(212,·)$, $\chi_{615}(214,·)$, $\chi_{615}(473,·)$, $\chi_{615}(346,·)$, $\chi_{615}(257,·)$, $\chi_{615}(484,·)$, $\chi_{615}(362,·)$, $\chi_{615}(364,·)$, $\chi_{615}(496,·)$, $\chi_{615}(244,·)$, $\chi_{615}(383,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $\frac{1}{1231} a^{38} + \frac{348}{1231} a^{37} - \frac{599}{1231} a^{36} - \frac{527}{1231} a^{35} + \frac{228}{1231} a^{34} - \frac{68}{1231} a^{33} + \frac{108}{1231} a^{32} + \frac{591}{1231} a^{31} - \frac{583}{1231} a^{30} - \frac{556}{1231} a^{29} + \frac{511}{1231} a^{28} + \frac{399}{1231} a^{27} - \frac{251}{1231} a^{26} - \frac{307}{1231} a^{25} + \frac{602}{1231} a^{24} + \frac{299}{1231} a^{23} - \frac{43}{1231} a^{22} + \frac{247}{1231} a^{21} + \frac{444}{1231} a^{20} - \frac{466}{1231} a^{19} + \frac{299}{1231} a^{18} + \frac{29}{1231} a^{17} - \frac{316}{1231} a^{16} - \frac{93}{1231} a^{15} + \frac{202}{1231} a^{14} - \frac{329}{1231} a^{13} + \frac{481}{1231} a^{12} - \frac{347}{1231} a^{11} + \frac{488}{1231} a^{10} + \frac{308}{1231} a^{9} - \frac{596}{1231} a^{8} - \frac{372}{1231} a^{7} - \frac{140}{1231} a^{6} - \frac{518}{1231} a^{5} - \frac{585}{1231} a^{4} + \frac{204}{1231} a^{3} - \frac{563}{1231} a^{2} - \frac{491}{1231} a + \frac{261}{1231}$, $\frac{1}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{39} + \frac{2748923404392328134546042818662816555349433745506364655443328966975833813250538248672994855553856058483779214237521559524605550668188118187762407156086787317321632145901897869628152485866782433856346255370736611433348853339129825718547029154043343763485210339485591551560313581843330748700010990266151497108095640674330047058807533525165926595833}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{38} + \frac{7742271376957192049951837316723678485312239422467087330627945426420279474824346627625027808019372938128679089922070122091777591656962848431297015221151710736942846747347227328019115168365925343137981314772909357285514709681100420469590774267783286045296706956480092357338274962623503262590357774635743876318426200945762971149129245491895632593143323}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{37} + \frac{6220722267364835617998679848416626034712806493773491554456023792152461045202032449351109012485056635806784764405507920064353973390343079136475031986553358924628221500617932718211469330152592063284526830117245466763808317704066511992994954174911772649610062020751112805817095298471990108221061197736584749501453052496798888920089878178135813179775252}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{36} + \frac{7265855175833546934468859123974438892510024553315161319235242900823200590186283623859414804843269480014433654950133345574150913685312417811345420823007706926968916473762848513394813345405459814910269513478543804484033390362285017786253329912878247434285581007908504026433967253445048685726834099435174567850011920678970125639823457558097303887317722}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{35} - \frac{11461939237711016090604328791504833334804236461805107845022081005553670352031909556839396192787019963285477154663767917989481326083274856604018898358356632626403779033707840339518031977502206031207115608221666913258460378995227992912347969966166103832757941091551337068126011114220600680673022954367970725275121363493543563750417773006849675838269783}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{34} + \frac{1388867589640401665140532420144123474971753677804752018946334403889025093714766062932754136104274737412698602542183354327620032541276149454267274126443563703793903478683067972069986585242285036006160014919979732001016268170159168908046817012630287428147223231851298571314759735317597755509747897770599917600182121352557666563028407071316080856371973}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{33} + \frac{5542455101382223274040244431391378934342388620182049897258713214292180367217342335643305444282830467990124441516708381655618439647184892373334375489441455029473049778908693610082245522546846291942505271794410091902462301279702951271479939973526568413415034480052382965612112338100603394275248314278332585902649907247412592406365862711521439620496929}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{32} + \frac{7569801277183272567592717833952828294820532163807794898173553983309036508385070599656239571322091985138807134905502169582748559476093190012608984425650738467239637112610656775359807424239815288896833894392018931799553408848386602184784279967628092899309025253098139024697307557552872676021088669301703853347000021315874235506510433179291862781687079}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{31} + \frac{677367351088795072022780725013287442464098980573686931987558657060445623580261680355516725320452709041072832340073291370659186315045906259916084948092959927933488941792581429712781338476992296738790536354196503799736214078207875641239524759085726806831614008254472529027118163003018584012193675089916738915798883760255007904354981505753893254228569}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{30} + \frac{3820140328029650934128947948828179375506558523984369821427173092298879846981817278142275349287584403031610553201927263485024308931814699373765951428384616994057467745271502436224568977585199976188711791628597350172016608867656360883611794049174291398451100056900986865370095450645939600335390909861372912263944821477122484282690958185908282001325820}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{29} + \frac{6669165469686069127739028824590585231098671357955218378700677381188561825221059167510211609400956137244439646064881438732606361829586249517879237373215489764079916411831691130516639940245134559001031448399925800038913085066210347163905298804670119924760662325764817413294998504195650100715129143898502516084864560067612554678164091558971648897314274}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{28} - \frac{6229645167296758280222537440306636839588473488008617173078229135782304030007348783573230507006790206015438721511776656764861171497925648228624712423893216379141265282534939728780587412048165340476340713932328319497379670907315595278438824807396800327463436675832672518939272375553664652080637205103710199057532153195561650700596991051178937408320390}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{27} + \frac{6063661426110611860029592107061795471675691501300271352486666668410017890466373856120857224951894264024711649926674371748415506247396133331586665698804383754460287105545305674181754630771567554428429431785748605242820963231381343463542018145461514164091745456194999830141988156846192795705129844170413159664870375441885483408418937204770399082764589}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{26} + \frac{4599536774760856932869717259853390896859199652459882180063790635839963209332273003150462950055081115713309082930023758759331481226303967101844779546692834983590208410309431657384394802383268048659894716149090577765190448303849199864222908592931812799733450897847690857698330463671679923293504456634327766911884929392407192147819537588615895031830657}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{25} - \frac{3199513175336387963271401844664100137324547956617572604053909582422962680134773925062748578264242370954550528576562992581087505134687258790136206833135504617459214560622243820824453541178195907161981376083143623975053056881429748716018453974126395337058322384793417803790290198000274806154888209632189471560600107598355621575906727210088479505555331}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{24} + \frac{3600165206617597798671265899246303235855318157677169802314927332464624995901586307133456376984691369662613706016583635786515658870914569331138062294779386484704540071376383316111769863932235428968685777601985353103368157270273841624606603218886867274618857939311076606838805493784916255927067587406978504919039835778176762315039578320526680336706844}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{23} + \frac{1888662429318760338955596952623254762128760385291574567918450113342570878772603119774538037466502267289173813038475151642354395627555930889297911664191375590877207417105842380410298854348150232479838238588510420246525988634048384862785983912297540414926412145002200047012946717585502439261008845336799029115614360031938865950587296343092016909413873}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{22} - \frac{1869548921721448215304841634225071367612701701792284639594005263605786953198208892812284442288007575427718860343762637174754947235026946350048188527780647708117735255432936036929125049249164712088638140019279897060347489449686202990383395621977587653155087042468109011237485022866135028096173700254542882508207471810874416739427383505473137727511057}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{21} - \frac{10355774676727546677145206546324698830207325384773086316283238989817541808216665848894566621450830914902010248333157652745577464258040741454105935367024184960852253795281335138272005397731533064179418361754590197909412252694183116945719753138782790850483612599083135152521059067304771230038508341050324053444372722929636342262436860830335317097375702}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{20} + \frac{1999414046576963932438184581274465083848575553515691525680433343480367287590618496913936426113142362349314559251950506785754767752846984428263943661758350033407037967133574504897061970569077100033282508693802188365638752556190644914093040476658294585903338444809627587955952186303580698158275688998515185564549228406164876011380581226555831622374855}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{19} - \frac{4040067983238882978021619492655717515166636468749750275332353163267046679127912415017987175800694439002369155478802845258657424206196780554671021699655718108004273244223480658625751135887294825171002781088759913450451559310200729556159384688024885876688050727549229436674378773885411088197032032787943195215803184392396180550718288330009693987538542}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{18} - \frac{11155758564361996583765133852063073820702132562719419389035095868313830179767969002976878920705096519069687360890524812466293413540468269903274330421715688125125341371677851644782168687344447459121396280218909305646586977763462381103564046345230388567921737237917082683862926038022538589238236753695896955199577169575744051844418911270438379216762888}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{17} + \frac{7250010238827572378946182640653007812581379445106281647659068125918227433446500947517910568962706109667952226935074963096775985936832645400589346920078016151513888067974970874355725971361241319676947542955208935679357094002003003504865525821343249729508695083239864771023028331688918824631461837886241201469869897465539005282612589197188734359020}{61254825126185371191531982313620162940813388454692569177491924623806390058945311541306004590109066871382106985420182575656861023845274418761449237182536396626280043124552921870737647233180182112843964431223228721021707529282312445319531361879068491373552161330017186409842991713277413967720811843849115626323485841296132631699039710061231944603593} a^{16} + \frac{8486688980359540537078141398846085664697826394196696185428967298509417336078317858873896861083773503225451412182054922497456290001489953851083836458585650478044496111331288597442201967574085533323805905746332421099543288571441047997530817557003308861756697847399381794516625847337231407999906215874798355940713474899935548076287314702271050049816288}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{15} + \frac{2874495290705737009485308047947580175049795864212407801042804858010339464506146239988249910313767941412126244782569275945429602514937958188622061423265852558388003140612726955093480249544871885193267137967387934112638791834295277718732334169153732022715334872837688766576428111528745857283350046793547968247928581892407375918095456007975965096369365}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{14} + \frac{1204566632778298666919644873714003933213329835256737037823457489123929149423726958129663372989367903177820438740084765227666574384810428328141659332524800098836219641815786318954754801902463431731154464303381155922323681757630044842677425006651143572622098133493433107400606243639210391905755015891120106416083431954006180929519062326396319578442344}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{13} - \frac{8092154247679356333027565915319856359265466330959270928352708467443541209358382258384146612679928240425045757750447779061624026658282769376016487567483494690456064470708853411652113162092795590480502277785869551387957238176308749588930824378591860626179777656082067845124012103158572456168746442517131914981450283151219214352262485916603694517282574}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{12} + \frac{1642322898014250092529625813461637120542355707854358473001435083562737544264359753772140991385556339436258923792421830807887819834099690499940436973020246303434045762157811093445766820529326034445916126959847355128481945186166142205114576081140757222503574481985688679172937546466666325610557544847101853272402960906250369542556416782073073278732532}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{11} + \frac{2826646848639609722172163094621433953975511973439424523425309044270908319772897389487346289644477872222422938556971380212088686311151641290529963458333059402806255145327265768291106246510171547630081456021530970923327151607618226043255351387199430335163492978938615237633625116970610042596154441644853510691032442222699828605492446871124309549886136}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{10} - \frac{8151121445545271017706425761174469131323394915337743250945294986351027490245270697540866905214694264306785622934331790204035115031233392833576216948991159541294904200854202753189247403265864327855417251805569907447645623934294054148606048660243631874557704112839755695362191436484283110934394760496201979514048090254761858422404203780462030694985227}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{9} - \frac{10730740639478388638654628064703221367011371308591048597993014689175255742518969995924380173355295394040578464649290338425938052871234361534689215769596092499140334849431553315782835608258097211463350891958976664540417649018501161877972512322749800667980888202351119637992715944341999750559959540531020987860312064912412357369972924679405077541077467}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{8} - \frac{7899950882818853923719500916314678610266274345893752776699444613628751531746893762462062723905052718855534655101256415610661830352226797363898190284665193770360105319020524133951472708521068183726345923752241123811950198162826041179140695743659022233043722861237122826723876496304703132501036320588425470561135120185643945339961340859265862440912329}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{7} - \frac{7465508468842315429106276608668055911312704762499939294622110874809494440034636740917849951073019617930700038191701547251712281449600749170069181342917331073301570351981756239892324376694988718340676334781426678836583476183417369161710724921411817200425433498408094068001975467948539652145803487279455496339463944452504093204468231860751953685606951}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{6} + \frac{11053926361745934156281260117629810193363432346705227614266293079652815826134934378293999529894296077237435628132719525308571734419866139409545292784026935348798266546193172404504269342035013059288175631664494741260766183405416464912329595066611663431462701249088601203856702595805906738634679967759106834659181481739048400402637908321183267619171730}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{5} + \frac{5732664229971006583464428076317016938454693060001231572217216461873292947223013905996872183967686438781948964188204900218568469040688015696823081318948809118069892653751349525890754888836764693346452314029880749624855836239826042169612666126685127146570596886082402931452418296155884306718169812836257892320117244161866192979661561759326905374944852}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{4} - \frac{8528153317354445082350276488112122966953352529087824927309490970837430500084817371796847344275366169366250033655097879192547971544108701865908992332968228800685675420162985439518370017952735929023411093349576362380418206074230937667259351348919706296428388510257609928795328077656629146573183244325565772182865129398896179448928505210742184530483130}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{3} - \frac{3786132325602068620131233344729397056293231475576733686665065928041626618156212063787059360384758745051825344505870618527518579601734502355713631223104430451101235084160214559426734883623121437916391329094296018276525933874414483978413545191744508861718175159701994391431303944919674425081826163161959004503171541537704931037040873856694630832390947}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a^{2} + \frac{4138849641978686496675586627094443879647362680939430308982479506036370762689835519403033855943374527349034198917996191675509652556025855907820345950700525245220972551625892153429889935272852632085491454359745126546129055031372203850362898637964861311420648655130307077079958488141494133142344622771974518911070022208065653286490192487093475617666670}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537} a + \frac{4255454101425291288332929174435207698893990994174444992233754052262543632629805046759430663612462897087598126778031591388711299109463091496605819245994841473867774019046741966010852311767497027002717474238856526394382477432750466386336002510181036341623135270039645070405945472456692629683572036051743120315117495610552414200289324214664414475709593}{25053223476609816817336580766270646642792675877969260793594197171136813534108632420394155877354608350395281757036854673443656158752717237273432738007657386220148537637942145045131697718370694484153181452370300546897878379476465790135688327008539012971782833983977029241625783610730462312797812044134288291166305709090118246364907241415043865342869537}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $19$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{40}$ (as 40T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_{40}$
Character table for $C_{40}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{41}) \), 4.4.1723025.1, 5.5.2825761.1, 8.0.246485877880640625.1, 10.10.327381934393961.1, 20.20.42913439156921905845805508304306640625.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.10.0.1}{10} }^{4}$ R R $40$ $40$ $40$ $40$ $40$ $20^{2}$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/31.10.0.1}{10} }^{4}$ $20^{2}$ R ${\href{/LocalNumberField/43.10.0.1}{10} }^{4}$ $40$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/59.5.0.1}{5} }^{8}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$3$3.8.4.2$x^{8} - 27 x^{2} + 162$$2$$4$$4$$C_8$$[\ ]_{2}^{4}$
3.8.4.2$x^{8} - 27 x^{2} + 162$$2$$4$$4$$C_8$$[\ ]_{2}^{4}$
3.8.4.2$x^{8} - 27 x^{2} + 162$$2$$4$$4$$C_8$$[\ ]_{2}^{4}$
3.8.4.2$x^{8} - 27 x^{2} + 162$$2$$4$$4$$C_8$$[\ ]_{2}^{4}$
3.8.4.2$x^{8} - 27 x^{2} + 162$$2$$4$$4$$C_8$$[\ ]_{2}^{4}$
5Data not computed
41Data not computed