↑

Properties

Label 40.0.25709618752...0625.1
Degree $40$
Signature $[0, 20]$
Discriminant $3^{20}\cdot 5^{30}\cdot 41^{39}$
Root discriminant $216.40$
Ramified primes $3, 5, 41$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{40}$ (as 40T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![633123877320301, 2025170081972593, 3726026839013002, 2380750276136282, 3136566348555861, 1193559121738297, 993191448858927, -1688152152008229, 1677351149902602, -2123476624106486, 981457707491651, -809524141582265, 384127993592353, -198878023330753, 130851731111589, -16855830885599, 31331789305707, 6441258854089, 6863290838977, 2439729542599, 1667463255747, 374577277149, 391080209537, 20656779489, 74221479755, -2635382093, 10667680367, -708307227, 1149650661, -78880475, 92995709, -5376372, 5574976, -240097, 240097, -7012, 7012, -124, 124, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - x^39 + 124*x^38 - 124*x^37 + 7012*x^36 - 7012*x^35 + 240097*x^34 - 240097*x^33 + 5574976*x^32 - 5376372*x^31 + 92995709*x^30 - 78880475*x^29 + 1149650661*x^28 - 708307227*x^27 + 10667680367*x^26 - 2635382093*x^25 + 74221479755*x^24 + 20656779489*x^23 + 391080209537*x^22 + 374577277149*x^21 + 1667463255747*x^20 + 2439729542599*x^19 + 6863290838977*x^18 + 6441258854089*x^17 + 31331789305707*x^16 - 16855830885599*x^15 + 130851731111589*x^14 - 198878023330753*x^13 + 384127993592353*x^12 - 809524141582265*x^11 + 981457707491651*x^10 - 2123476624106486*x^9 + 1677351149902602*x^8 - 1688152152008229*x^7 + 993191448858927*x^6 + 1193559121738297*x^5 + 3136566348555861*x^4 + 2380750276136282*x^3 + 3726026839013002*x^2 + 2025170081972593*x + 633123877320301)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - x^39 + 124*x^38 - 124*x^37 + 7012*x^36 - 7012*x^35 + 240097*x^34 - 240097*x^33 + 5574976*x^32 - 5376372*x^31 + 92995709*x^30 - 78880475*x^29 + 1149650661*x^28 - 708307227*x^27 + 10667680367*x^26 - 2635382093*x^25 + 74221479755*x^24 + 20656779489*x^23 + 391080209537*x^22 + 374577277149*x^21 + 1667463255747*x^20 + 2439729542599*x^19 + 6863290838977*x^18 + 6441258854089*x^17 + 31331789305707*x^16 - 16855830885599*x^15 + 130851731111589*x^14 - 198878023330753*x^13 + 384127993592353*x^12 - 809524141582265*x^11 + 981457707491651*x^10 - 2123476624106486*x^9 + 1677351149902602*x^8 - 1688152152008229*x^7 + 993191448858927*x^6 + 1193559121738297*x^5 + 3136566348555861*x^4 + 2380750276136282*x^3 + 3726026839013002*x^2 + 2025170081972593*x + 633123877320301, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - x^{39} + 124 x^{38} - 124 x^{37} + 7012 x^{36} - 7012 x^{35} + 240097 x^{34} - 240097 x^{33} + 5574976 x^{32} - 5376372 x^{31} + 92995709 x^{30} - 78880475 x^{29} + 1149650661 x^{28} - 708307227 x^{27} + 10667680367 x^{26} - 2635382093 x^{25} + 74221479755 x^{24} + 20656779489 x^{23} + 391080209537 x^{22} + 374577277149 x^{21} + 1667463255747 x^{20} + 2439729542599 x^{19} + 6863290838977 x^{18} + 6441258854089 x^{17} + 31331789305707 x^{16} - 16855830885599 x^{15} + 130851731111589 x^{14} - 198878023330753 x^{13} + 384127993592353 x^{12} - 809524141582265 x^{11} + 981457707491651 x^{10} - 2123476624106486 x^{9} + 1677351149902602 x^{8} - 1688152152008229 x^{7} + 993191448858927 x^{6} + 1193559121738297 x^{5} + 3136566348555861 x^{4} + 2380750276136282 x^{3} + 3726026839013002 x^{2} + 2025170081972593 x + 633123877320301 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 20]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(2570961875240443110075641606889622986328510418246174699558180339089531042613089084625244140625=3^{20}\cdot 5^{30}\cdot 41^{39}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $216.40$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 5, 41$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(615=3\cdot 5\cdot 41\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{615}(256,·)$, $\chi_{615}(1,·)$, $\chi_{615}(137,·)$, $\chi_{615}(398,·)$, $\chi_{615}(271,·)$, $\chi_{615}(16,·)$, $\chi_{615}(17,·)$, $\chi_{615}(406,·)$, $\chi_{615}(346,·)$, $\chi_{615}(413,·)$, $\chi_{615}(286,·)$, $\chi_{615}(31,·)$, $\chi_{615}(289,·)$, $\chi_{615}(38,·)$, $\chi_{615}(169,·)$, $\chi_{615}(556,·)$, $\chi_{615}(557,·)$, $\chi_{615}(302,·)$, $\chi_{615}(47,·)$, $\chi_{615}(49,·)$, $\chi_{615}(563,·)$, $\chi_{615}(53,·)$, $\chi_{615}(184,·)$, $\chi_{615}(319,·)$, $\chi_{615}(437,·)$, $\chi_{615}(458,·)$, $\chi_{615}(214,·)$, $\chi_{615}(527,·)$, $\chi_{615}(218,·)$, $\chi_{615}(347,·)$, $\chi_{615}(349,·)$, $\chi_{615}(608,·)$, $\chi_{615}(272,·)$, $\chi_{615}(227,·)$, $\chi_{615}(484,·)$, $\chi_{615}(233,·)$, $\chi_{615}(364,·)$, $\chi_{615}(496,·)$, $\chi_{615}(244,·)$, $\chi_{615}(503,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $\frac{1}{73} a^{29} - \frac{8}{73} a^{28} - \frac{26}{73} a^{27} - \frac{10}{73} a^{26} + \frac{23}{73} a^{25} - \frac{3}{73} a^{24} - \frac{26}{73} a^{23} + \frac{7}{73} a^{22} - \frac{31}{73} a^{21} - \frac{31}{73} a^{20} - \frac{27}{73} a^{19} - \frac{26}{73} a^{18} - \frac{9}{73} a^{17} - \frac{2}{73} a^{16} + \frac{25}{73} a^{15} + \frac{31}{73} a^{14} - \frac{29}{73} a^{13} + \frac{6}{73} a^{12} + \frac{25}{73} a^{11} - \frac{2}{73} a^{10} + \frac{14}{73} a^{9} - \frac{24}{73} a^{8} - \frac{11}{73} a^{7} - \frac{29}{73} a^{6} - \frac{2}{73} a^{5} - \frac{35}{73} a^{4} + \frac{15}{73} a^{3} - \frac{15}{73} a^{2} - \frac{31}{73} a + \frac{11}{73}$, $\frac{1}{146} a^{30} - \frac{1}{146} a^{29} - \frac{9}{146} a^{28} + \frac{27}{146} a^{27} - \frac{47}{146} a^{26} - \frac{61}{146} a^{25} - \frac{47}{146} a^{24} - \frac{29}{146} a^{23} - \frac{55}{146} a^{22} - \frac{29}{146} a^{21} - \frac{25}{146} a^{20} - \frac{69}{146} a^{19} - \frac{45}{146} a^{18} - \frac{65}{146} a^{17} + \frac{11}{146} a^{16} - \frac{13}{146} a^{15} - \frac{31}{146} a^{14} - \frac{51}{146} a^{13} + \frac{67}{146} a^{12} + \frac{27}{146} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} + \frac{1}{146} a^{9} - \frac{33}{146} a^{8} - \frac{33}{146} a^{7} - \frac{59}{146} a^{6} - \frac{49}{146} a^{5} - \frac{11}{146} a^{4} + \frac{17}{146} a^{3} - \frac{63}{146} a^{2} + \frac{13}{146} a - \frac{69}{146}$, $\frac{1}{146} a^{31} - \frac{31}{73} a^{28} + \frac{6}{73} a^{27} - \frac{31}{73} a^{26} - \frac{12}{73} a^{25} + \frac{20}{73} a^{24} - \frac{26}{73} a^{23} - \frac{7}{73} a^{22} - \frac{36}{73} a^{21} + \frac{17}{73} a^{20} + \frac{27}{73} a^{19} + \frac{34}{73} a^{18} + \frac{1}{73} a^{17} - \frac{11}{73} a^{16} + \frac{30}{73} a^{15} - \frac{32}{73} a^{14} + \frac{9}{73} a^{13} + \frac{4}{73} a^{12} + \frac{29}{73} a^{11} + \frac{27}{73} a^{10} - \frac{19}{73} a^{9} - \frac{7}{73} a^{8} - \frac{28}{73} a^{7} + \frac{20}{73} a^{6} + \frac{33}{73} a^{5} - \frac{26}{73} a^{4} - \frac{21}{73} a^{3} - \frac{27}{73} a^{2} + \frac{36}{73} a + \frac{41}{146}$, $\frac{1}{146} a^{32} - \frac{23}{73} a^{28} - \frac{34}{73} a^{27} - \frac{30}{73} a^{26} + \frac{3}{73} a^{25} + \frac{27}{73} a^{24} - \frac{10}{73} a^{23} + \frac{35}{73} a^{22} + \frac{5}{73} a^{21} + \frac{15}{73} a^{20} - \frac{2}{73} a^{18} + \frac{2}{73} a^{17} - \frac{32}{73} a^{16} + \frac{13}{73} a^{15} + \frac{21}{73} a^{14} - \frac{19}{73} a^{13} - \frac{4}{73} a^{12} - \frac{1}{73} a^{11} - \frac{8}{73} a^{10} - \frac{11}{73} a^{9} + \frac{31}{73} a^{8} - \frac{29}{73} a^{7} + \frac{10}{73} a^{6} - \frac{15}{73} a^{5} - \frac{11}{73} a^{4} + \frac{9}{73} a^{2} + \frac{17}{146} a - \frac{24}{73}$, $\frac{1}{146} a^{33} + \frac{1}{73} a^{28} + \frac{29}{73} a^{27} - \frac{8}{73} a^{26} - \frac{28}{73} a^{25} - \frac{6}{73} a^{24} + \frac{21}{73} a^{23} + \frac{20}{73} a^{22} + \frac{32}{73} a^{21} + \frac{17}{73} a^{20} + \frac{34}{73} a^{19} - \frac{12}{73} a^{18} - \frac{20}{73} a^{17} - \frac{33}{73} a^{16} + \frac{12}{73} a^{15} - \frac{36}{73} a^{14} - \frac{14}{73} a^{13} - \frac{9}{73} a^{12} - \frac{17}{73} a^{11} + \frac{16}{73} a^{10} - \frac{12}{73} a^{9} + \frac{3}{73} a^{8} - \frac{24}{73} a^{7} - \frac{25}{73} a^{6} + \frac{16}{73} a^{5} - \frac{2}{73} a^{4} - \frac{11}{73} a^{3} + \frac{57}{146} a^{2} - \frac{7}{73} a + \frac{34}{73}$, $\frac{1}{25258} a^{34} + \frac{40}{12629} a^{33} + \frac{33}{25258} a^{32} + \frac{20}{12629} a^{31} - \frac{32}{12629} a^{30} + \frac{26}{12629} a^{29} - \frac{2641}{12629} a^{28} - \frac{493}{12629} a^{27} + \frac{6268}{12629} a^{26} - \frac{2004}{12629} a^{25} - \frac{1842}{12629} a^{24} + \frac{4141}{12629} a^{23} - \frac{2790}{12629} a^{22} - \frac{911}{12629} a^{21} + \frac{5703}{12629} a^{20} + \frac{2900}{12629} a^{19} + \frac{2155}{12629} a^{18} + \frac{6018}{12629} a^{17} - \frac{1980}{12629} a^{16} + \frac{1407}{12629} a^{15} + \frac{1090}{12629} a^{14} + \frac{3943}{12629} a^{13} - \frac{2822}{12629} a^{12} + \frac{58}{12629} a^{11} + \frac{2244}{12629} a^{10} + \frac{4652}{12629} a^{9} + \frac{2913}{12629} a^{8} + \frac{5871}{12629} a^{7} - \frac{2121}{12629} a^{6} + \frac{1422}{12629} a^{5} + \frac{1797}{12629} a^{4} - \frac{6433}{25258} a^{3} - \frac{4638}{12629} a^{2} + \frac{7977}{25258} a - \frac{596}{12629}$, $\frac{1}{50516} a^{35} + \frac{17}{25258} a^{33} - \frac{5}{50516} a^{32} - \frac{75}{25258} a^{31} + \frac{155}{50516} a^{30} + \frac{1}{692} a^{29} - \frac{20441}{50516} a^{28} - \frac{63}{692} a^{27} - \frac{4353}{50516} a^{26} - \frac{19529}{50516} a^{25} + \frac{5961}{50516} a^{24} - \frac{3647}{50516} a^{23} - \frac{15775}{50516} a^{22} + \frac{21015}{50516} a^{21} - \frac{14173}{50516} a^{20} + \frac{14849}{50516} a^{19} + \frac{607}{50516} a^{18} - \frac{11361}{50516} a^{17} - \frac{22753}{50516} a^{16} + \frac{9053}{50516} a^{15} + \frac{6659}{50516} a^{14} - \frac{403}{50516} a^{13} + \frac{6161}{50516} a^{12} - \frac{19497}{50516} a^{11} - \frac{14635}{50516} a^{10} + \frac{735}{50516} a^{9} + \frac{11551}{50516} a^{8} - \frac{19955}{50516} a^{7} + \frac{10563}{50516} a^{6} - \frac{8195}{50516} a^{5} + \frac{7945}{25258} a^{4} + \frac{13871}{50516} a^{3} - \frac{20831}{50516} a^{2} - \frac{4297}{25258} a - \frac{5153}{50516}$, $\frac{1}{50516} a^{36} + \frac{43}{50516} a^{33} + \frac{28}{12629} a^{32} - \frac{167}{50516} a^{31} - \frac{1}{292} a^{30} + \frac{281}{50516} a^{29} + \frac{14791}{50516} a^{28} - \frac{24459}{50516} a^{27} - \frac{17059}{50516} a^{26} + \frac{24247}{50516} a^{25} + \frac{5699}{50516} a^{24} - \frac{7069}{50516} a^{23} + \frac{20781}{50516} a^{22} + \frac{16289}{50516} a^{21} - \frac{5849}{50516} a^{20} - \frac{23939}{50516} a^{19} - \frac{16387}{50516} a^{18} - \frac{2591}{50516} a^{17} - \frac{15121}{50516} a^{16} + \frac{2673}{50516} a^{15} + \frac{10939}{50516} a^{14} - \frac{23569}{50516} a^{13} - \frac{23091}{50516} a^{12} - \frac{23077}{50516} a^{11} + \frac{6265}{50516} a^{10} - \frac{11031}{50516} a^{9} + \frac{23815}{50516} a^{8} + \frac{7505}{50516} a^{7} - \frac{18629}{50516} a^{6} + \frac{3067}{12629} a^{5} - \frac{20787}{50516} a^{4} - \frac{367}{50516} a^{3} - \frac{62}{173} a^{2} - \frac{11681}{50516} a - \frac{3362}{12629}$, $\frac{1}{50516} a^{37} - \frac{1}{50516} a^{34} + \frac{13}{12629} a^{33} + \frac{111}{50516} a^{32} + \frac{143}{50516} a^{31} - \frac{17}{50516} a^{30} - \frac{299}{50516} a^{29} + \frac{10383}{50516} a^{28} + \frac{9371}{50516} a^{27} - \frac{4531}{50516} a^{26} - \frac{25203}{50516} a^{25} - \frac{21087}{50516} a^{24} + \frac{11715}{50516} a^{23} - \frac{3573}{50516} a^{22} - \frac{10451}{50516} a^{21} - \frac{17529}{50516} a^{20} + \frac{13171}{50516} a^{19} + \frac{8795}{50516} a^{18} - \frac{23283}{50516} a^{17} - \frac{8197}{50516} a^{16} - \frac{15651}{50516} a^{15} - \frac{17419}{50516} a^{14} + \frac{24019}{50516} a^{13} + \frac{13161}{50516} a^{12} + \frac{23651}{50516} a^{11} - \frac{6785}{50516} a^{10} - \frac{3231}{50516} a^{9} - \frac{18749}{50516} a^{8} + \frac{16593}{50516} a^{7} - \frac{9705}{25258} a^{6} - \frac{18249}{50516} a^{5} + \frac{20379}{50516} a^{4} + \frac{6011}{25258} a^{3} - \frac{12163}{50516} a^{2} + \frac{4214}{12629} a - \frac{12009}{25258}$, $\frac{1}{3687668} a^{38} + \frac{8}{921917} a^{37} - \frac{23}{3687668} a^{36} - \frac{8}{921917} a^{35} - \frac{7}{921917} a^{34} - \frac{4649}{1843834} a^{33} - \frac{1894}{921917} a^{32} - \frac{1110}{921917} a^{31} + \frac{711}{3687668} a^{30} - \frac{20787}{3687668} a^{29} + \frac{150969}{3687668} a^{28} + \frac{818051}{3687668} a^{27} + \frac{271609}{3687668} a^{26} - \frac{1189521}{3687668} a^{25} - \frac{426349}{3687668} a^{24} + \frac{1597431}{3687668} a^{23} - \frac{636149}{3687668} a^{22} + \frac{344579}{3687668} a^{21} + \frac{1188577}{3687668} a^{20} - \frac{1211055}{3687668} a^{19} + \frac{1237685}{3687668} a^{18} - \frac{223045}{3687668} a^{17} - \frac{1103137}{3687668} a^{16} - \frac{995445}{3687668} a^{15} + \frac{455409}{3687668} a^{14} - \frac{1221979}{3687668} a^{13} - \frac{1454759}{3687668} a^{12} + \frac{922621}{3687668} a^{11} + \frac{823931}{3687668} a^{10} + \frac{483599}{3687668} a^{9} - \frac{1137745}{3687668} a^{8} + \frac{52986}{921917} a^{7} - \frac{127831}{3687668} a^{6} - \frac{348827}{921917} a^{5} + \frac{1306857}{3687668} a^{4} - \frac{412859}{3687668} a^{3} - \frac{1272081}{3687668} a^{2} - \frac{826819}{3687668} a - \frac{1716619}{3687668}$, $\frac{1}{84491574326358735418367617046134146762790716304273135301597425532793577718276289438343522301863627814761329935349500396073480401844726764014983200102163058175146392030442929330476917601749838511613065020173682147359101524535958617969183585421104305814441820384237126769995993144495236634643804619488054548854608600276} a^{39} + \frac{8365688753154437339493246237732882400935139402345633328174852814344367874708959247277673050027583340931828226373606068460649962325408778924554312476361457939820773162992532575474228196807735995129853598149524023715172038994750775751305264165337660756397225766505590431252258608799163139386276681511566537785989}{84491574326358735418367617046134146762790716304273135301597425532793577718276289438343522301863627814761329935349500396073480401844726764014983200102163058175146392030442929330476917601749838511613065020173682147359101524535958617969183585421104305814441820384237126769995993144495236634643804619488054548854608600276} a^{38} - \frac{198303005098618851855482907651771396434327312530422419624746471907737584959000795328579870954554726629278548149947844225390358335939526177016012984061802518295118353156222228092928949634704116441279018797174558100401160689110776941263168599724830904836351221478755126059077286568298373649259858711749881257589767}{21122893581589683854591904261533536690697679076068283825399356383198394429569072359585880575465906953690332483837375099018370100461181691003745800025540764543786598007610732332619229400437459627903266255043420536839775381133989654492295896355276076453610455096059281692498998286123809158660951154872013637213652150069} a^{37} - \frac{167609866247331076232302883537418909697318850211881563941476188075245530513116613450385182588059182381689886506375386259955413184045911198715775984285170047929067958205849489138644641172796555957631589380353656253740139290471661441357416012259041435841439340415800163990808446396920312067010990130940802773249458}{21122893581589683854591904261533536690697679076068283825399356383198394429569072359585880575465906953690332483837375099018370100461181691003745800025540764543786598007610732332619229400437459627903266255043420536839775381133989654492295896355276076453610455096059281692498998286123809158660951154872013637213652150069} a^{36} - \frac{281214262077266050973464724995251058919097067098580489703092214133120173441807600436707210006606951469280209909442282900266640432538419402460202795743059154082879828612088887621193577540774234042191434745416395117084168961132286803906398934499038521097872118436691479784820234395644082612205769530188248772976699}{42245787163179367709183808523067073381395358152136567650798712766396788859138144719171761150931813907380664967674750198036740200922363382007491600051081529087573196015221464665238458800874919255806532510086841073679550762267979308984591792710552152907220910192118563384997996572247618317321902309744027274427304300138} a^{35} - \frac{301089670665281577053685999409525783465037527301170291586811692455064974115361674486868519742638546846097656454533625962778464936841592542749290913270240464331055012509125906120528811216975511717001957741509882219055961829097233029205185725787579564972073248453849929041683121474148834043647153023863326977596463}{84491574326358735418367617046134146762790716304273135301597425532793577718276289438343522301863627814761329935349500396073480401844726764014983200102163058175146392030442929330476917601749838511613065020173682147359101524535958617969183585421104305814441820384237126769995993144495236634643804619488054548854608600276} a^{34} - \frac{240256782903871148482132139665372177580423487988830794478447864283778808910696908154601451567392030919324441258079612019829331413048756340225969497563990963237730860666788488884633656840913699998676603167437138845173249708034063001061454845472328910545592947022877863180318150574052589081233732905770698176337666193}{84491574326358735418367617046134146762790716304273135301597425532793577718276289438343522301863627814761329935349500396073480401844726764014983200102163058175146392030442929330476917601749838511613065020173682147359101524535958617969183585421104305814441820384237126769995993144495236634643804619488054548854608600276} a^{33} - \frac{138317061521202646819549857469830895613657790067407976620260151753363454298881835796623880137591788226412492718204230996500858898079038465853165857597621295738740519399878494179250409551789035442995078818501843083791294387896550760307255712834296041400222057547631799636679009474997765901128455246428437865988727949}{84491574326358735418367617046134146762790716304273135301597425532793577718276289438343522301863627814761329935349500396073480401844726764014983200102163058175146392030442929330476917601749838511613065020173682147359101524535958617969183585421104305814441820384237126769995993144495236634643804619488054548854608600276} a^{32} - \frac{99231994365503381206463748890035147998905725386531562602562125921580250704073909964822283124915033203897763381711136697073188250204859069541700135070080433691425829791402255589246764150221882408619156226341229833583013736053189822580221542534560354349946853913713715830938458608712211358814342314719762790603542115}{84491574326358735418367617046134146762790716304273135301597425532793577718276289438343522301863627814761329935349500396073480401844726764014983200102163058175146392030442929330476917601749838511613065020173682147359101524535958617969183585421104305814441820384237126769995993144495236634643804619488054548854608600276} a^{31} - \frac{34493954372978253835263802041742503382539776463634477009857356951706646434354629019926581561205767499000568087126878603128603310029717671731456881931991451479495029096764872620592043036258125279777102582606431448172376857135944811534181640691525388082360590767932123944541282547753633642137008306798313443521420483}{21122893581589683854591904261533536690697679076068283825399356383198394429569072359585880575465906953690332483837375099018370100461181691003745800025540764543786598007610732332619229400437459627903266255043420536839775381133989654492295896355276076453610455096059281692498998286123809158660951154872013637213652150069} a^{30} + \frac{2318372374084743141211781864200756652875051674702112057285681501740806181353521706855284664053275118134970469868821674446506691360150434878016293797416673192362075619054150163796067119100517504675041119284220168610677775736942870025941801269727948953234152657460263220962751895243314978868072409865084704544633387}{578709413194237913824435733192699635361580248659405036312311133786257381632029379714681659601805669964118698187325345178585482204415936739828652055494267521747578027605773488564910394532533140490500445343655357173692476195451771355953312228911673327496176851946829635410931459893802990648245237119781195540100058906} a^{29} - \frac{4494867409100393783073983540532873023256659428940747282503804132651657096468950671301302830818112476382444665378957338481984019023987750006997113519191442814246438022646791940129362097739692310233259296813145602999333561401057854073999726262356172550619556476062929757342824905294433806502849835309656438547408685239}{21122893581589683854591904261533536690697679076068283825399356383198394429569072359585880575465906953690332483837375099018370100461181691003745800025540764543786598007610732332619229400437459627903266255043420536839775381133989654492295896355276076453610455096059281692498998286123809158660951154872013637213652150069} a^{28} + \frac{5093658160985687093020813041950588267895902580859748755604105887587442041960509268812502543964145061611460201445382264055743836177012323568721440427292800045355187193319528226780597812443037506324297024657969665938357161310048757690323153158171363203848512967883239472776653020995540865558876666484642927950138209567}{42245787163179367709183808523067073381395358152136567650798712766396788859138144719171761150931813907380664967674750198036740200922363382007491600051081529087573196015221464665238458800874919255806532510086841073679550762267979308984591792710552152907220910192118563384997996572247618317321902309744027274427304300138} a^{27} + \frac{2742977816946431060595497014525052837423340850234463939045543428633693351881843598206793388988426851291905817773894200014356803502586884355172116812267202660374473514958467769990074657954590891071942399776540950971369043800014341843331011848738891580002104088023225126630305316865920224292905576666713013704071417212}{21122893581589683854591904261533536690697679076068283825399356383198394429569072359585880575465906953690332483837375099018370100461181691003745800025540764543786598007610732332619229400437459627903266255043420536839775381133989654492295896355276076453610455096059281692498998286123809158660951154872013637213652150069} a^{26} + \frac{7685818014910804379407882577447485118993820198551501421048881692368848294616414504669197199688090330564345360006344961546742157726182648856947910223882414086857570545408549999114612332330217449421058567732031313019125699585567250902461380875070344989982636171404366575854379079771816694690838990739544453925499205947}{21122893581589683854591904261533536690697679076068283825399356383198394429569072359585880575465906953690332483837375099018370100461181691003745800025540764543786598007610732332619229400437459627903266255043420536839775381133989654492295896355276076453610455096059281692498998286123809158660951154872013637213652150069} a^{25} + \frac{1817148061257271908951663791141766177756830927745892027039839715572275566292590329535352191436842610092241597407927096001311172990338300374912674210855226214189120859356205670293007110328661556779518094653407566437582868024932852314765798659917114401544952967985151119743159741646712137211732405521836358866712509491}{21122893581589683854591904261533536690697679076068283825399356383198394429569072359585880575465906953690332483837375099018370100461181691003745800025540764543786598007610732332619229400437459627903266255043420536839775381133989654492295896355276076453610455096059281692498998286123809158660951154872013637213652150069} a^{24} + \frac{14893450205469948480683252145806052785604124126552151382700731306662803987665573006560135583935259611056809414939005505135814979917852036361913722560167182754592129654104809591530289867045405157926784982210234654493197950790872141106298139544058520521380905205654333050172445319503759143512105436779263728595339459141}{42245787163179367709183808523067073381395358152136567650798712766396788859138144719171761150931813907380664967674750198036740200922363382007491600051081529087573196015221464665238458800874919255806532510086841073679550762267979308984591792710552152907220910192118563384997996572247618317321902309744027274427304300138} a^{23} + \frac{9892031089690797373135585360519973418719655970108527553411363786641089253450017201358437216464746264088446269111923719669615555597477544533234487464157226156257480911817549796111561662070072961017290468969134463440672798307394716821256682409931902499488475942541509731802967672574886513534452828056483634675221543619}{21122893581589683854591904261533536690697679076068283825399356383198394429569072359585880575465906953690332483837375099018370100461181691003745800025540764543786598007610732332619229400437459627903266255043420536839775381133989654492295896355276076453610455096059281692498998286123809158660951154872013637213652150069} a^{22} + \frac{1841941477615442413562016374354674373792623557934601395259254816811690964676675522675530109944555569137046048585448534794098026595676356016420927222384905099618930266605014923429876043458491534052220424979938515000592879184208946118826017607136202273601052744985042328670529550617337284373722844265748584760700777292}{21122893581589683854591904261533536690697679076068283825399356383198394429569072359585880575465906953690332483837375099018370100461181691003745800025540764543786598007610732332619229400437459627903266255043420536839775381133989654492295896355276076453610455096059281692498998286123809158660951154872013637213652150069} a^{21} + \frac{4054969110260534525674197140743227094465983250277843490313315665460013414092120023858197172136032943919079532519554285831480975512063370554447178015628527700534708073670887372992604468398331416027359889645323111753872689804088870356268213893265237100915325887018974411337759580905483201801780670390122020544063091403}{42245787163179367709183808523067073381395358152136567650798712766396788859138144719171761150931813907380664967674750198036740200922363382007491600051081529087573196015221464665238458800874919255806532510086841073679550762267979308984591792710552152907220910192118563384997996572247618317321902309744027274427304300138} a^{20} - \frac{7950193910607894549584035351487097699100572066662465105444720866639617771417261700006652935548490036772481397727391787460259145210328894968916691356003736474412676470698796159960275827565503251382450953887269186498064272632294976297814643106400092744109913689469456074770548760957171822739710043228094493525754360501}{21122893581589683854591904261533536690697679076068283825399356383198394429569072359585880575465906953690332483837375099018370100461181691003745800025540764543786598007610732332619229400437459627903266255043420536839775381133989654492295896355276076453610455096059281692498998286123809158660951154872013637213652150069} a^{19} - \frac{11311647532058069128606496442291690065444948365343818511496506912605918798676279792378028190629253508028978187916040144382003081963939940448664484087757491015955014835547892246469271128238777783509130101920876896178177219334697762487127447578111846073858153205959075665350839965428668189344771132896080860513448558971}{42245787163179367709183808523067073381395358152136567650798712766396788859138144719171761150931813907380664967674750198036740200922363382007491600051081529087573196015221464665238458800874919255806532510086841073679550762267979308984591792710552152907220910192118563384997996572247618317321902309744027274427304300138} a^{18} + \frac{14071906507027731526547171096273383550655195548190358059047288652410186613447233916812814301383169318164592206900216215236593961192382902333081652009181361030181966594728179567017341900559221845641166785843652871002112672226335180824762151884491407879012539196959786825337983140333839778301521161517904895429405872089}{42245787163179367709183808523067073381395358152136567650798712766396788859138144719171761150931813907380664967674750198036740200922363382007491600051081529087573196015221464665238458800874919255806532510086841073679550762267979308984591792710552152907220910192118563384997996572247618317321902309744027274427304300138} a^{17} - \frac{16941413266181010834042253844706165721869068421255021059414795476996534267549267228645776798105711665632661107593999441696527619013426690171834026672340216426944209512046794310552179491984354639998312641493184169109151711672368303979931673450413836055469408059387727592892725759843713991608597958485040245290878671541}{42245787163179367709183808523067073381395358152136567650798712766396788859138144719171761150931813907380664967674750198036740200922363382007491600051081529087573196015221464665238458800874919255806532510086841073679550762267979308984591792710552152907220910192118563384997996572247618317321902309744027274427304300138} a^{16} - \frac{9979832708340246480958757500294730218546258589661444077057010515518674127441471974309359076160878896485961004988606037122837822023533638463033640183487784801807774492291783247945382986441741849778130646912171811183651778227580382266889346351360021046222886344197521134149479958628158315440548118083910137391542175139}{21122893581589683854591904261533536690697679076068283825399356383198394429569072359585880575465906953690332483837375099018370100461181691003745800025540764543786598007610732332619229400437459627903266255043420536839775381133989654492295896355276076453610455096059281692498998286123809158660951154872013637213652150069} a^{15} + \frac{3885318293986347831301197490647784856502360960135549131061389997498438810924021517642392217532720541892209821870422764106749108726534050171330009859208198879228558105157864443788598307812881401596396885108048072916584739126789953749433222368823731333826371156733191796408716133970857278269334400933170369204186890590}{21122893581589683854591904261533536690697679076068283825399356383198394429569072359585880575465906953690332483837375099018370100461181691003745800025540764543786598007610732332619229400437459627903266255043420536839775381133989654492295896355276076453610455096059281692498998286123809158660951154872013637213652150069} a^{14} + \frac{5854228557016365051998197119149533004953815473010343179239799775386297220055817955381936561621416793139253040090503987534453675721052014062221482717520516292076984476170918975052616901295375234934086023813140474337447524556683015797253568401160524765061029549463134215696352560084168482829378373022097549164591251401}{42245787163179367709183808523067073381395358152136567650798712766396788859138144719171761150931813907380664967674750198036740200922363382007491600051081529087573196015221464665238458800874919255806532510086841073679550762267979308984591792710552152907220910192118563384997996572247618317321902309744027274427304300138} a^{13} - \frac{20960444832235548235944493001061331916799688640273749776302883968657352418479402168786341938407360017436786859410346299199070131670738712741426476200185947642088619064960296930473445433083223481260152534768684644945663655751055056649076185717285395565179541235875823589922131758694008724331171336836385072056081721037}{42245787163179367709183808523067073381395358152136567650798712766396788859138144719171761150931813907380664967674750198036740200922363382007491600051081529087573196015221464665238458800874919255806532510086841073679550762267979308984591792710552152907220910192118563384997996572247618317321902309744027274427304300138} a^{12} + \frac{3839102013267357247985943403966358434426916660385526481060075030083371083718978255965921439396910995532103385760794766581255704320831804670306171358820472016879960211383113358785152143988767571010186607411248973013927136242816260336703354185642607560770903957780823492619205148917783195532380559166667681120003224328}{21122893581589683854591904261533536690697679076068283825399356383198394429569072359585880575465906953690332483837375099018370100461181691003745800025540764543786598007610732332619229400437459627903266255043420536839775381133989654492295896355276076453610455096059281692498998286123809158660951154872013637213652150069} a^{11} + \frac{6178038809118848475165036711265402060316381407578725795805206431663350411311788136077607543215791373042643041452329034372107220790473856341882943993833768721236479572892049034804517083800837918061801700148398060271596172006175495781595015414396211442497150328335562675621689415309120644054885185864173203673468851939}{21122893581589683854591904261533536690697679076068283825399356383198394429569072359585880575465906953690332483837375099018370100461181691003745800025540764543786598007610732332619229400437459627903266255043420536839775381133989654492295896355276076453610455096059281692498998286123809158660951154872013637213652150069} a^{10} + \frac{19334977056425141263710841063299989280989034266112186734976028573958132678490740913984644825469272352264831409494139128089347599786618515145120886797643844143946416003808930310540356968046055665382587117595211460783242294785055507394922119071457030740661880878048350890088434208498659999662654019971331258134339648685}{42245787163179367709183808523067073381395358152136567650798712766396788859138144719171761150931813907380664967674750198036740200922363382007491600051081529087573196015221464665238458800874919255806532510086841073679550762267979308984591792710552152907220910192118563384997996572247618317321902309744027274427304300138} a^{9} + \frac{2027896595626505069677296254334116615895642292954653555164887599386790133575685218299902510975998879011057112340037900782177245436654644899151885551175963720731320968999337988244664384140330738315746132539726500815548650603729905038704524313817432392157797387068224926344434561466377348073532345670572410692766132587}{84491574326358735418367617046134146762790716304273135301597425532793577718276289438343522301863627814761329935349500396073480401844726764014983200102163058175146392030442929330476917601749838511613065020173682147359101524535958617969183585421104305814441820384237126769995993144495236634643804619488054548854608600276} a^{8} + \frac{31306002169537216251165517089593176163641226507230942080827438053711775475241746856508741112283534838991331259571068623363094235968610471246863624833126792577051536378493735942258010924446971400279229467731706894471368570671352655006865629430324565015957476599571289443921251847344382754156088546756566469240487428765}{84491574326358735418367617046134146762790716304273135301597425532793577718276289438343522301863627814761329935349500396073480401844726764014983200102163058175146392030442929330476917601749838511613065020173682147359101524535958617969183585421104305814441820384237126769995993144495236634643804619488054548854608600276} a^{7} + \frac{100355423488193919062929300522461987968239830320648003200368906454215952483338488660125706229445739746366488423346371957028727842945892722078788536806415558068156378690343149412691352913766531517485487487125894367757368931436042503358838934811742193843073166953947846691924320004735756779527439340016257476285132599}{578709413194237913824435733192699635361580248659405036312311133786257381632029379714681659601805669964118698187325345178585482204415936739828652055494267521747578027605773488564910394532533140490500445343655357173692476195451771355953312228911673327496176851946829635410931459893802990648245237119781195540100058906} a^{6} + \frac{2941527511566458697260199438645040065840411296391497154948172630693793012040315815350987440495666211104459152390481868183639184156193603479983130445559541821750968715853424355698125318951496601876818059565541470712946183846382015473056730681878560455165288829775775377479651031553500593455886323552000793756586803914}{21122893581589683854591904261533536690697679076068283825399356383198394429569072359585880575465906953690332483837375099018370100461181691003745800025540764543786598007610732332619229400437459627903266255043420536839775381133989654492295896355276076453610455096059281692498998286123809158660951154872013637213652150069} a^{5} - \frac{499107318293607548394801845423382439165727324646575548370240897610409013343443921801993914072016972885767249659004642630508567059760644382890886441410365616562476400343816011969825148344675075349859748817345000171112094371821872894452211489849903324394503847180559895233899881401246777592038289484544632921727256575}{42245787163179367709183808523067073381395358152136567650798712766396788859138144719171761150931813907380664967674750198036740200922363382007491600051081529087573196015221464665238458800874919255806532510086841073679550762267979308984591792710552152907220910192118563384997996572247618317321902309744027274427304300138} a^{4} + \frac{24560994571117574648334160336583459238103921265726826939004394368372165191147216029930551995125408224123243625536738673080328067380257089124896303105534739630115878129263823035088794666427760929364666835489433050408462257721418232501994787637406417579005048316544660348631153734410167545516158939668166299027474728061}{84491574326358735418367617046134146762790716304273135301597425532793577718276289438343522301863627814761329935349500396073480401844726764014983200102163058175146392030442929330476917601749838511613065020173682147359101524535958617969183585421104305814441820384237126769995993144495236634643804619488054548854608600276} a^{3} + \frac{22754788632054801076511792937195811049203037845358867614996318267703318974091746968770753810085852282666435627028881104241015179151390057360081928678376104588170488174587990315989928961828872234881715734730522051235644180973672918207268647952157114199786028945521160911960183617423601762823418839835683888137402105725}{84491574326358735418367617046134146762790716304273135301597425532793577718276289438343522301863627814761329935349500396073480401844726764014983200102163058175146392030442929330476917601749838511613065020173682147359101524535958617969183585421104305814441820384237126769995993144495236634643804619488054548854608600276} a^{2} + \frac{36508450731887197965781224732945564600526336392124555605548536080456609496211679506237385307557725357136091832846668679803196746732363537324929522883487491502995972812885780533696858345414535006959496211090002413325815709861342228259851880760084184606135626132282027088023835848850818259604947180625849099243149885735}{84491574326358735418367617046134146762790716304273135301597425532793577718276289438343522301863627814761329935349500396073480401844726764014983200102163058175146392030442929330476917601749838511613065020173682147359101524535958617969183585421104305814441820384237126769995993144495236634643804619488054548854608600276} a + \frac{2027109514182522947366471251433967619029104052988277097123206707610293825010712296042430468215883628480363025598923723809440869959354994061938596186384285125890011661399995763296996491761275099788099180624366769031088197945930093867226968362286849309474365180587385919646864566014909585570672797049999347637509343}{49094465035652954920608725767654937107955093727061670715628951500751643066982155397061895585045687283417391014148460427701034515888859246958154096514911713059352929709728605072909307148024310581994808262738920480743231565680394316077387324474784605354120755598045977205110978003774106121234052655135418099276355956}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $19$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{40}$ (as 40T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_{40}$
Character table for $C_{40}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{41}) \), 4.4.1723025.1, 5.5.2825761.1, 8.0.246485877880640625.2, 10.10.327381934393961.1, 20.20.42913439156921905845805508304306640625.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.5.0.1}{5} }^{8}$ R R $40$ $40$ $40$ $40$ $40$ $20^{2}$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/31.10.0.1}{10} }^{4}$ $20^{2}$ R ${\href{/LocalNumberField/43.5.0.1}{5} }^{8}$ $40$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/59.5.0.1}{5} }^{8}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$3$3.8.4.2$x^{8} - 27 x^{2} + 162$$2$$4$$4$$C_8$$[\ ]_{2}^{4}$
3.8.4.2$x^{8} - 27 x^{2} + 162$$2$$4$$4$$C_8$$[\ ]_{2}^{4}$
3.8.4.2$x^{8} - 27 x^{2} + 162$$2$$4$$4$$C_8$$[\ ]_{2}^{4}$
3.8.4.2$x^{8} - 27 x^{2} + 162$$2$$4$$4$$C_8$$[\ ]_{2}^{4}$
3.8.4.2$x^{8} - 27 x^{2} + 162$$2$$4$$4$$C_8$$[\ ]_{2}^{4}$
5Data not computed
41Data not computed