↑

Properties

Label 40.0.24758800785...0000.1
Degree $40$
Signature $[0, 20]$
Discriminant $2^{155}\cdot 5^{64}$
Root discriminant $192.68$
Ramified primes $2, 5$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{40}$ (as 40T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1366145797057, -2465305466960, 9788898037200, -4366092477120, 2661174194900, 4230971709432, -354140085200, 5724743244360, 7771368207770, 6325901267000, 7027301397004, 6270629134200, 4374222306100, 2936143110440, 1776800162220, 814589947504, 311962861885, 98298463440, 7164633700, -14408043720, -8350542790, -2886776160, -784035060, 147441800, 250735080, 69800656, -1770600, -2972280, -2560530, -1961800, -78724, 379800, 81930, -33920, -11700, 1672, 900, -40, -40, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 40*x^38 - 40*x^37 + 900*x^36 + 1672*x^35 - 11700*x^34 - 33920*x^33 + 81930*x^32 + 379800*x^31 - 78724*x^30 - 1961800*x^29 - 2560530*x^28 - 2972280*x^27 - 1770600*x^26 + 69800656*x^25 + 250735080*x^24 + 147441800*x^23 - 784035060*x^22 - 2886776160*x^21 - 8350542790*x^20 - 14408043720*x^19 + 7164633700*x^18 + 98298463440*x^17 + 311962861885*x^16 + 814589947504*x^15 + 1776800162220*x^14 + 2936143110440*x^13 + 4374222306100*x^12 + 6270629134200*x^11 + 7027301397004*x^10 + 6325901267000*x^9 + 7771368207770*x^8 + 5724743244360*x^7 - 354140085200*x^6 + 4230971709432*x^5 + 2661174194900*x^4 - 4366092477120*x^3 + 9788898037200*x^2 - 2465305466960*x + 1366145797057)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - 40*x^38 - 40*x^37 + 900*x^36 + 1672*x^35 - 11700*x^34 - 33920*x^33 + 81930*x^32 + 379800*x^31 - 78724*x^30 - 1961800*x^29 - 2560530*x^28 - 2972280*x^27 - 1770600*x^26 + 69800656*x^25 + 250735080*x^24 + 147441800*x^23 - 784035060*x^22 - 2886776160*x^21 - 8350542790*x^20 - 14408043720*x^19 + 7164633700*x^18 + 98298463440*x^17 + 311962861885*x^16 + 814589947504*x^15 + 1776800162220*x^14 + 2936143110440*x^13 + 4374222306100*x^12 + 6270629134200*x^11 + 7027301397004*x^10 + 6325901267000*x^9 + 7771368207770*x^8 + 5724743244360*x^7 - 354140085200*x^6 + 4230971709432*x^5 + 2661174194900*x^4 - 4366092477120*x^3 + 9788898037200*x^2 - 2465305466960*x + 1366145797057, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - 40 x^{38} - 40 x^{37} + 900 x^{36} + 1672 x^{35} - 11700 x^{34} - 33920 x^{33} + 81930 x^{32} + 379800 x^{31} - 78724 x^{30} - 1961800 x^{29} - 2560530 x^{28} - 2972280 x^{27} - 1770600 x^{26} + 69800656 x^{25} + 250735080 x^{24} + 147441800 x^{23} - 784035060 x^{22} - 2886776160 x^{21} - 8350542790 x^{20} - 14408043720 x^{19} + 7164633700 x^{18} + 98298463440 x^{17} + 311962861885 x^{16} + 814589947504 x^{15} + 1776800162220 x^{14} + 2936143110440 x^{13} + 4374222306100 x^{12} + 6270629134200 x^{11} + 7027301397004 x^{10} + 6325901267000 x^{9} + 7771368207770 x^{8} + 5724743244360 x^{7} - 354140085200 x^{6} + 4230971709432 x^{5} + 2661174194900 x^{4} - 4366092477120 x^{3} + 9788898037200 x^{2} - 2465305466960 x + 1366145797057 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 20]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(24758800785707605497982484480000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000=2^{155}\cdot 5^{64}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $192.68$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 5$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(800=2^{5}\cdot 5^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{800}(1,·)$, $\chi_{800}(771,·)$, $\chi_{800}(51,·)$, $\chi_{800}(641,·)$, $\chi_{800}(521,·)$, $\chi_{800}(11,·)$, $\chi_{800}(401,·)$, $\chi_{800}(131,·)$, $\chi_{800}(281,·)$, $\chi_{800}(411,·)$, $\chi_{800}(161,·)$, $\chi_{800}(291,·)$, $\chi_{800}(41,·)$, $\chi_{800}(171,·)$, $\chi_{800}(561,·)$, $\chi_{800}(91,·)$, $\chi_{800}(691,·)$, $\chi_{800}(441,·)$, $\chi_{800}(571,·)$, $\chi_{800}(321,·)$, $\chi_{800}(651,·)$, $\chi_{800}(201,·)$, $\chi_{800}(331,·)$, $\chi_{800}(531,·)$, $\chi_{800}(81,·)$, $\chi_{800}(211,·)$, $\chi_{800}(121,·)$, $\chi_{800}(601,·)$, $\chi_{800}(731,·)$, $\chi_{800}(481,·)$, $\chi_{800}(611,·)$, $\chi_{800}(721,·)$, $\chi_{800}(361,·)$, $\chi_{800}(491,·)$, $\chi_{800}(451,·)$, $\chi_{800}(241,·)$, $\chi_{800}(371,·)$, $\chi_{800}(681,·)$, $\chi_{800}(761,·)$, $\chi_{800}(251,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $\frac{1}{7} a^{32} - \frac{3}{7} a^{31} + \frac{3}{7} a^{30} - \frac{1}{7} a^{29} + \frac{1}{7} a^{28} - \frac{1}{7} a^{27} + \frac{1}{7} a^{26} - \frac{2}{7} a^{25} - \frac{2}{7} a^{24} - \frac{2}{7} a^{23} + \frac{3}{7} a^{20} + \frac{3}{7} a^{19} - \frac{1}{7} a^{18} + \frac{2}{7} a^{17} - \frac{2}{7} a^{16} + \frac{1}{7} a^{15} - \frac{3}{7} a^{14} - \frac{2}{7} a^{13} - \frac{1}{7} a^{12} - \frac{2}{7} a^{11} + \frac{1}{7} a^{10} - \frac{2}{7} a^{9} + \frac{1}{7} a^{8} + \frac{1}{7} a^{7} + \frac{3}{7} a^{6} - \frac{2}{7} a^{5} - \frac{3}{7} a^{4} - \frac{3}{7} a^{3} + \frac{1}{7} a^{2} - \frac{3}{7}$, $\frac{1}{7} a^{33} + \frac{1}{7} a^{31} + \frac{1}{7} a^{30} - \frac{2}{7} a^{29} + \frac{2}{7} a^{28} - \frac{2}{7} a^{27} + \frac{1}{7} a^{26} - \frac{1}{7} a^{25} - \frac{1}{7} a^{24} + \frac{1}{7} a^{23} + \frac{3}{7} a^{21} - \frac{2}{7} a^{20} + \frac{1}{7} a^{19} - \frac{1}{7} a^{18} - \frac{3}{7} a^{17} + \frac{2}{7} a^{16} + \frac{3}{7} a^{14} + \frac{2}{7} a^{12} + \frac{2}{7} a^{11} + \frac{1}{7} a^{10} + \frac{2}{7} a^{9} - \frac{3}{7} a^{8} - \frac{1}{7} a^{7} - \frac{2}{7} a^{5} + \frac{2}{7} a^{4} - \frac{1}{7} a^{3} + \frac{3}{7} a^{2} - \frac{3}{7} a - \frac{2}{7}$, $\frac{1}{7} a^{34} - \frac{3}{7} a^{31} + \frac{2}{7} a^{30} + \frac{3}{7} a^{29} - \frac{3}{7} a^{28} + \frac{2}{7} a^{27} - \frac{2}{7} a^{26} + \frac{1}{7} a^{25} + \frac{3}{7} a^{24} + \frac{2}{7} a^{23} + \frac{3}{7} a^{22} - \frac{2}{7} a^{21} - \frac{2}{7} a^{20} + \frac{3}{7} a^{19} - \frac{2}{7} a^{18} + \frac{2}{7} a^{16} + \frac{2}{7} a^{15} + \frac{3}{7} a^{14} - \frac{3}{7} a^{13} + \frac{3}{7} a^{12} + \frac{3}{7} a^{11} + \frac{1}{7} a^{10} - \frac{1}{7} a^{9} - \frac{2}{7} a^{8} - \frac{1}{7} a^{7} + \frac{2}{7} a^{6} - \frac{3}{7} a^{5} + \frac{2}{7} a^{4} - \frac{1}{7} a^{3} + \frac{3}{7} a^{2} - \frac{2}{7} a + \frac{3}{7}$, $\frac{1}{7} a^{35} - \frac{2}{7} a^{30} + \frac{1}{7} a^{29} - \frac{2}{7} a^{28} + \frac{2}{7} a^{27} - \frac{3}{7} a^{26} - \frac{3}{7} a^{25} + \frac{3}{7} a^{24} - \frac{3}{7} a^{23} - \frac{2}{7} a^{22} - \frac{2}{7} a^{21} - \frac{2}{7} a^{20} - \frac{3}{7} a^{18} + \frac{1}{7} a^{17} + \frac{3}{7} a^{16} - \frac{1}{7} a^{15} + \frac{2}{7} a^{14} - \frac{3}{7} a^{13} + \frac{2}{7} a^{11} + \frac{2}{7} a^{10} - \frac{1}{7} a^{9} + \frac{2}{7} a^{8} - \frac{2}{7} a^{7} - \frac{1}{7} a^{6} + \frac{3}{7} a^{5} - \frac{3}{7} a^{4} + \frac{1}{7} a^{3} + \frac{1}{7} a^{2} + \frac{3}{7} a - \frac{2}{7}$, $\frac{1}{7} a^{36} - \frac{2}{7} a^{31} + \frac{1}{7} a^{30} - \frac{2}{7} a^{29} + \frac{2}{7} a^{28} - \frac{3}{7} a^{27} - \frac{3}{7} a^{26} + \frac{3}{7} a^{25} - \frac{3}{7} a^{24} - \frac{2}{7} a^{23} - \frac{2}{7} a^{22} - \frac{2}{7} a^{21} - \frac{3}{7} a^{19} + \frac{1}{7} a^{18} + \frac{3}{7} a^{17} - \frac{1}{7} a^{16} + \frac{2}{7} a^{15} - \frac{3}{7} a^{14} + \frac{2}{7} a^{12} + \frac{2}{7} a^{11} - \frac{1}{7} a^{10} + \frac{2}{7} a^{9} - \frac{2}{7} a^{8} - \frac{1}{7} a^{7} + \frac{3}{7} a^{6} - \frac{3}{7} a^{5} + \frac{1}{7} a^{4} + \frac{1}{7} a^{3} + \frac{3}{7} a^{2} - \frac{2}{7} a$, $\frac{1}{7} a^{37} + \frac{2}{7} a^{31} - \frac{3}{7} a^{30} - \frac{1}{7} a^{28} + \frac{2}{7} a^{27} - \frac{2}{7} a^{26} + \frac{1}{7} a^{24} + \frac{1}{7} a^{23} - \frac{2}{7} a^{22} + \frac{3}{7} a^{20} + \frac{1}{7} a^{18} + \frac{3}{7} a^{17} - \frac{2}{7} a^{16} - \frac{1}{7} a^{15} + \frac{1}{7} a^{14} - \frac{2}{7} a^{13} + \frac{2}{7} a^{11} - \frac{3}{7} a^{10} + \frac{1}{7} a^{9} + \frac{1}{7} a^{8} - \frac{2}{7} a^{7} + \frac{3}{7} a^{6} - \frac{3}{7} a^{5} + \frac{2}{7} a^{4} - \frac{3}{7} a^{3} + \frac{1}{7}$, $\frac{1}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{38} + \frac{126583401563277157778453070935148791545792949078212846401687838967529314428536504861571148412375742863132610099315896502}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{37} + \frac{106398053408868299741808581304512525653893037186009102692641300392080011118793322485233673678686960607193817336141044383}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{36} - \frac{59662540658755413536709391855427704620438639749760106191523764046393578195812791227006304023784558126212854160779869569}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{35} + \frac{55680994090028434083020448337755043893803768700368443287068175778134590206060258149475602345386136877329409596982084930}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{34} + \frac{97275282329424775289297728973488062084081869520954402530679947070254998007950332231909484640649750014043295705999300708}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{33} - \frac{10456655813412152207179203534347642903910479465595593324203550060269110314572527324436253476973620583652000321027122372}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{32} - \frac{52161011410851523215543511591797296992873998860301967046912723768401728443490805647998200685101344275301539498092463579}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{31} - \frac{34893599941168130332258526509942873346770211082013075671075620541823927139403642288502065452003098585710118448501883461}{264092620203988590053247249402737670964955459428988954519345401029659659050733425682323772122621444045817798967231391649} a^{30} + \frac{683896250479255870505573690299817272846842134085289275730197640501025576271243032809836459343973759388148526658194492711}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{29} - \frac{487855742458984655224238200858986862681104792831977175778937509928426091051661665336573930045704400381531253079900113154}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{28} + \frac{319068983330310845264321800684128596472034838603452008570700609131586722134717681510896251986701223883245705723264456155}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{27} + \frac{256414346476430063231100675728614439345619649680414977792967478743389175366750444627466799365957642364029350287971077276}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{26} - \frac{473105043149229813993905621495514267935600830074223158445856775152817734873398116361003553859798741430985382469523044192}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{25} - \frac{475790999280081645918433755324323014444884097121124767600023945697061986626956404907639563538254236681951665389527536207}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{24} - \frac{600922271690220499668852569856039152932651925511770434495007313175005489562707946206389618163787837413982844414170406934}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{23} - \frac{92487437644825930566591381711610027078810452311708792419747212293682401799597049654723695294221229324211351658706528473}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{22} - \frac{30771749229311984348183795996310092782021320753705474255193292566503049605200623619398731729724161351750575357528807125}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{21} - \frac{324598697194275739237661524970037817517226882915101647341237950069899853670183330789314181347135844250906569607385949797}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{20} - \frac{763800553782983907319372835337020072571996248272307226730569140804661903796930564158237397530227487923788138440201959810}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{19} + \frac{846263383760552825974550399460083414135751608030292017742762134909821624034321959339521584500429692216581071629210824377}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{18} - \frac{755484961281545107599133232966213165642966408699352982345632200784847683186010776809790313343816500449915999031769524967}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{17} + \frac{675136354799278160719828029133715578147930552675808100025734331051904370799864633990626099780091444236270890080888322809}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{16} + \frac{30710359764668089852523254915753125450212374213687280768920390351051796293040615589372169158332659330430508820833883726}{264092620203988590053247249402737670964955459428988954519345401029659659050733425682323772122621444045817798967231391649} a^{15} + \frac{662189047158068350717590086939214617450138759411419132431507721051440438682176848133210653038333441857482683516392952627}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{14} + \frac{401403714971307674535434698112077127800355820400044295945218786481936849344340905126897163536740732659153920881377254232}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{13} + \frac{795749619997817344800251438118549114005997548096731912729234773425174993953811786103495941740972467683294169487606486861}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{12} - \frac{458563903880030195112964394277144274407186143008368973712215304326927075270232459537506984786717556913447569562776708166}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{11} + \frac{381994523773018439306200899475788455149530227628133315576876250980769138935245138243557135624566378159001485877608830473}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{10} - \frac{670316384241081756350677432137965547077368864105274513781621003541092736219689435576844862296097324883782567072398916416}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{9} + \frac{529667913420028417594979425191872648661882154330332973007634915669077845412665457057917708259867573129171317040568986616}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{8} - \frac{913999311918838298696555364603113257502975945642955166278514461418898639367377631002711192309484434829205252591363042522}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{7} - \frac{845147756830180566177431307945447247983678205715254163397760881629315237228513978973545316885754078589105125912143139516}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{6} + \frac{309630920490102551014329034131145076458404908621836427919100122850104310645094007095379764714187832472443455514715604917}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{5} + \frac{473464929742381406073465771931996946107927090377808084143966708568725038166909673842509608704638258548254590625581394531}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{4} + \frac{825964367702272774361680693131517983537065074191376477293440667540967788994471920369091045833540133589942841451594236968}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{3} + \frac{351987220970252217579586580016772712566202021282289280378932419211928086909112220862080969350734955056471494895549183323}{1848648341427920130372730745819163696754688216002922681635417807207617613355133979776266404858350108320724592770619741543} a^{2} - \frac{58909447763312674372345112783135137714414061225564395647621551052544413271081042820922185739277696988315556399014690730}{264092620203988590053247249402737670964955459428988954519345401029659659050733425682323772122621444045817798967231391649} a - \frac{2827932115035482502332510010369443379598527634895444270786519037828045687519517104397144117701938633344366903218229448}{7193184207890739806897785003187407380368436638143668021927695747889562697879898753993254493612257230819940049691127399}$, $\frac{1}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{39} - \frac{2382947286739478583807437712642973632162032960}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{38} - \frac{611568158480580454231411761265611653400951983902219715624358267095851008162820918787587330479848526402194394711480461723565428853990129576835536590224359932615257248}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{37} + \frac{58900012873974218995132599469372575977945408262553794396967254460805845752100146820219081699818645156812101219138111654513531160243919230840232211338786141664642336}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{36} + \frac{59034361826534875819332569156266220733504719002495200667065208614256586328208937727697729465128901155984501573855390016754781755062527005831027733848979635885800729}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{35} - \frac{158511598406656125635240074060944163912248353905087787983980918514326627919719209283941307872449194053377918905894476165618930940717589822918135954956430056024429887}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{34} + \frac{19546623653650151054542643332401788356926108788743696683288835402118880555590033488800318911966645352195507109726385663694808594352790391700291112639668865241222499}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{33} - \frac{7142665879526512001813712822699696297162744959156130632625686464528719891059847346466024443023926202957288208330172607179631138135187775296815807775036726340840130}{1353777443633931243784409889627031833223094463993367169844387417873730648627251938683753519738341005890689124335069015380527006146253074201152904382246133888405267201} a^{32} - \frac{494867600443348208635703415374357097743193700605101464408651214555734414275905331133362012399198082399985763370276062954460297773178469715400459154712921865944527361}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{31} + \frac{4315443021870781468623600126537063532455722670579896099335484637711099682382205171919831664848095922792486648427766170187786540704223180961508124293403780889969605633}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{30} - \frac{3269205288114255572266650421942059900463907104071901617984855761060574389565509139548008531020141548909074049288102963496277353152467394851964457173381277140180730602}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{29} + \frac{1422911664941625838831025742401369206897152099388075852396694849032226856122779776650513503009102590840140952726142016994489913480979775794907951123224296757451464621}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{28} + \frac{3891721787004476699523558915995357899391473046711348359920144845903453287739208260222523804998367522329153285444676611655336332169036802528218237984834550565997675656}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{27} + \frac{3987428907856373921026568761605511222994021471189835858718326279604829085820538614091174025732326643167330231773276676427361240783262146701656834576595644174359643668}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{26} + \frac{652946796973589554705557007950201284591781421551696575196315787794025680573045532299862415918159117311287302089706885271485987351045983732407787314191341813052942933}{1353777443633931243784409889627031833223094463993367169844387417873730648627251938683753519738341005890689124335069015380527006146253074201152904382246133888405267201} a^{25} - \frac{879158530042452866247169533977252510966114452940234153428997399566440356561349608343970767928057138406197446014481260759335465437125040632779068482736997755792105100}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{24} - \frac{688601679227818434300067509073827245813223634228213024253027930130895965097241474990964373357519401847126635187589622277271839290596370473607056238865335930669950129}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{23} - \frac{22174887299011934605733035791884294726473748405021176714763219670739974367446230232393609011998219417373045133867497163413585293471850494149599869054647679572846238}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{22} - \frac{603937932528961343736531033935510851654900811517122119897285224088906025124516112295878026671434415106273275698220459426170820483055322087491528892669651303642943206}{1353777443633931243784409889627031833223094463993367169844387417873730648627251938683753519738341005890689124335069015380527006146253074201152904382246133888405267201} a^{21} + \frac{4080961862226267197897096805794668031247772228489983380082815332306263121067272120612284885495134895471196699616147334463209086780559309429432170233548838756354486802}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{20} + \frac{421391979506532149447960671816511002882049335172308035258571033302561408807012580960686861437773400878573204314536005885664188372183212903717617824261730958576542840}{1353777443633931243784409889627031833223094463993367169844387417873730648627251938683753519738341005890689124335069015380527006146253074201152904382246133888405267201} a^{19} + \frac{4650641502262663675310366227874082892963805702009286190534702095524260029773292662014908572109823525858080819857947200851403028558990052480050134564611412066942574045}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{18} + \frac{1474641816574935440758080102664319213542757554191610870837219171967150016697462362603089520768256954800225703734242775276483987643644913254811038050092825845257522657}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{17} + \frac{3225645226162699482783197623811111577543459330947257137543522668947134007995800004483129239507511508269355779896087893108201705239189717272566416150679780957444306869}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{16} + \frac{1970666490666135097782580773255856226444516047543462193281264083785780379520987689737731820565017445721356084220579963766495771284369464539404576947387329513686506237}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{15} - \frac{241342950907213522887512235227466393900475972105256538460930789187620721855450507429190491623396711120039636090032059740572354248144476300414231194349593674425043797}{1353777443633931243784409889627031833223094463993367169844387417873730648627251938683753519738341005890689124335069015380527006146253074201152904382246133888405267201} a^{14} - \frac{4181912139636041377439278207072731447968474553414118353677219577872704667624969702636007307979681518000506703573021583957680854399988855024481439656720954074723426697}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{13} + \frac{2129009890870795141718135883873203754722207102065764334577311365184424820969380027850943640500209138414784081354098623787654368920062988066280059631462058873176470623}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{12} + \frac{2731301279348477937328621969304031920910667267818948216248401082758009679458902338469208906389833107362123893919384928958103867516714353003539327390978607969540125811}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{11} + \frac{66680239670045973728735708821020816433191432027292983678924541241228585595216146677343025943642229569398460316235385781101178578524611715047896396021277869726974999}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{10} + \frac{1274696577690151899439359685834268761039406458362703326653586929871648142364158905972145829282523708657633036734579109834150681982491918789452977626656174925756764896}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{9} - \frac{3987709354076269644561110364339530595271961446311081284415417978459379750498638386854819950833285821271937459251710202314442539307750803497262640617411039570694484587}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{8} + \frac{3370100391291757953565377921697346414408157761426984271047103089920564451703665478916497090721197885192185082990212823851710840485335359316095069483072726107806868578}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{7} + \frac{4703471617185487780660495865723534841533509322248504822256727953152172311763842072303676275996921058794854690533675004902968986471320050666644899931427205046723186481}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{6} + \frac{3570471388193229766600640521018211507522309750622826636504299891021330247004864254484923011708530377208198934318380599641022137274232165648141021222156013886907741274}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{5} + \frac{2722186753345436499644097198943162943887660378794141573352277658110318061633890157520097479822659813067025617248390597167970097554635108612502202792772038816066489050}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{4} + \frac{3279911262332907872849693476296241558488739489403824741497839430712781257390827748670141126626723025110122586979900744607329904644799306863495956547255159342252509697}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{3} + \frac{112735108500754687704340155625647066107116501546539523956949245761420810950858178395381980918450683536191002321196741465806517489495845324858764318677066564461474476}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a^{2} - \frac{4594369369107044918983148130723658272080316593212266542922923558338969669654684087384300211079823742494223286205188095828032345026443172756314332534469355521026348453}{9476442105437518706490869227389222832561661247953570188910711925116114540390763570786274638168387041234823870345483107663689043023771519408070330675722937218836870407} a - \frac{16144990666865024981557730636060805390356041663084184044902465183557202996907147317615997348048754376139396976449901705341116185530557405545421697153717732598498022}{36873315585359994966890541740814096624753545711881596065800435506288383425644994438857099759410066308306707666713942053166105225773430036607277551267404424976018951}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $19$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{40}$ (as 40T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_{40}$
Character table for $C_{40}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{2}) \), \(\Q(\zeta_{16})^+\), 5.5.390625.1, 8.0.2147483648.1, 10.10.5000000000000000.1, 20.20.838860800000000000000000000000000000000.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R $40$ R ${\href{/LocalNumberField/7.4.0.1}{4} }^{10}$ $40$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/17.10.0.1}{10} }^{4}$ $40$ $20^{2}$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/31.10.0.1}{10} }^{4}$ $40$ $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/43.8.0.1}{8} }^{5}$ ${\href{/LocalNumberField/47.5.0.1}{5} }^{8}$ $40$ $40$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
5Data not computed