↑

Properties

Label 40.0.24167043879...6448.1
Degree $40$
Signature $[0, 20]$
Discriminant $2^{155}\cdot 31^{32}$
Root discriminant $228.87$
Ramified primes $2, 31$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{40}$ (as 40T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![24016496068463, -82125219617624, 136253228465068, -172809224615584, 334575428532442, -710531819699064, 1250553242998848, -1779567362498752, 2124156178671895, -2185190349704512, 1950880152381736, -1509043223809792, 1006625975899798, -573072400349048, 271875183651800, -101291576778200, 24332138723123, 811897538352, -4458213009204, 2537026033328, -772163444220, 51159518264, 81119538408, -46323526448, 10677562784, 1246664504, -1782146352, 503554328, 25107210, -56555656, 12360692, 1709592, -1226417, 109312, 50848, -12256, -590, 480, -28, -8, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 8*x^39 - 28*x^38 + 480*x^37 - 590*x^36 - 12256*x^35 + 50848*x^34 + 109312*x^33 - 1226417*x^32 + 1709592*x^31 + 12360692*x^30 - 56555656*x^29 + 25107210*x^28 + 503554328*x^27 - 1782146352*x^26 + 1246664504*x^25 + 10677562784*x^24 - 46323526448*x^23 + 81119538408*x^22 + 51159518264*x^21 - 772163444220*x^20 + 2537026033328*x^19 - 4458213009204*x^18 + 811897538352*x^17 + 24332138723123*x^16 - 101291576778200*x^15 + 271875183651800*x^14 - 573072400349048*x^13 + 1006625975899798*x^12 - 1509043223809792*x^11 + 1950880152381736*x^10 - 2185190349704512*x^9 + 2124156178671895*x^8 - 1779567362498752*x^7 + 1250553242998848*x^6 - 710531819699064*x^5 + 334575428532442*x^4 - 172809224615584*x^3 + 136253228465068*x^2 - 82125219617624*x + 24016496068463)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - 8*x^39 - 28*x^38 + 480*x^37 - 590*x^36 - 12256*x^35 + 50848*x^34 + 109312*x^33 - 1226417*x^32 + 1709592*x^31 + 12360692*x^30 - 56555656*x^29 + 25107210*x^28 + 503554328*x^27 - 1782146352*x^26 + 1246664504*x^25 + 10677562784*x^24 - 46323526448*x^23 + 81119538408*x^22 + 51159518264*x^21 - 772163444220*x^20 + 2537026033328*x^19 - 4458213009204*x^18 + 811897538352*x^17 + 24332138723123*x^16 - 101291576778200*x^15 + 271875183651800*x^14 - 573072400349048*x^13 + 1006625975899798*x^12 - 1509043223809792*x^11 + 1950880152381736*x^10 - 2185190349704512*x^9 + 2124156178671895*x^8 - 1779567362498752*x^7 + 1250553242998848*x^6 - 710531819699064*x^5 + 334575428532442*x^4 - 172809224615584*x^3 + 136253228465068*x^2 - 82125219617624*x + 24016496068463, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - 8 x^{39} - 28 x^{38} + 480 x^{37} - 590 x^{36} - 12256 x^{35} + 50848 x^{34} + 109312 x^{33} - 1226417 x^{32} + 1709592 x^{31} + 12360692 x^{30} - 56555656 x^{29} + 25107210 x^{28} + 503554328 x^{27} - 1782146352 x^{26} + 1246664504 x^{25} + 10677562784 x^{24} - 46323526448 x^{23} + 81119538408 x^{22} + 51159518264 x^{21} - 772163444220 x^{20} + 2537026033328 x^{19} - 4458213009204 x^{18} + 811897538352 x^{17} + 24332138723123 x^{16} - 101291576778200 x^{15} + 271875183651800 x^{14} - 573072400349048 x^{13} + 1006625975899798 x^{12} - 1509043223809792 x^{11} + 1950880152381736 x^{10} - 2185190349704512 x^{9} + 2124156178671895 x^{8} - 1779567362498752 x^{7} + 1250553242998848 x^{6} - 710531819699064 x^{5} + 334575428532442 x^{4} - 172809224615584 x^{3} + 136253228465068 x^{2} - 82125219617624 x + 24016496068463 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 20]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(24167043879315228976172699291023550158269835250766566962153320455612538222913527445942276456448=2^{155}\cdot 31^{32}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $228.87$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 31$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(992=2^{5}\cdot 31\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{992}(1,·)$, $\chi_{992}(171,·)$, $\chi_{992}(97,·)$, $\chi_{992}(777,·)$, $\chi_{992}(729,·)$, $\chi_{992}(779,·)$, $\chi_{992}(529,·)$, $\chi_{992}(531,·)$, $\chi_{992}(345,·)$, $\chi_{992}(281,·)$, $\chi_{992}(667,·)$, $\chi_{992}(33,·)$, $\chi_{992}(977,·)$, $\chi_{992}(163,·)$, $\chi_{992}(35,·)$, $\chi_{992}(683,·)$, $\chi_{992}(435,·)$, $\chi_{992}(841,·)$, $\chi_{992}(283,·)$, $\chi_{992}(187,·)$, $\chi_{992}(411,·)$, $\chi_{992}(931,·)$, $\chi_{992}(907,·)$, $\chi_{992}(225,·)$, $\chi_{992}(969,·)$, $\chi_{992}(715,·)$, $\chi_{992}(721,·)$, $\chi_{992}(419,·)$, $\chi_{992}(659,·)$, $\chi_{992}(473,·)$, $\chi_{992}(219,·)$, $\chi_{992}(915,·)$, $\chi_{992}(481,·)$, $\chi_{992}(593,·)$, $\chi_{992}(233,·)$, $\chi_{992}(497,·)$, $\chi_{992}(467,·)$, $\chi_{992}(745,·)$, $\chi_{992}(249,·)$, $\chi_{992}(963,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $\frac{1}{5} a^{32} + \frac{1}{5} a^{31} + \frac{1}{5} a^{30} + \frac{1}{5} a^{28} + \frac{2}{5} a^{27} + \frac{1}{5} a^{26} - \frac{2}{5} a^{25} + \frac{1}{5} a^{24} + \frac{2}{5} a^{23} + \frac{2}{5} a^{22} + \frac{1}{5} a^{21} + \frac{2}{5} a^{19} - \frac{1}{5} a^{18} - \frac{1}{5} a^{17} + \frac{2}{5} a^{16} + \frac{1}{5} a^{14} + \frac{2}{5} a^{13} - \frac{1}{5} a^{11} + \frac{1}{5} a^{10} + \frac{2}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{6} + \frac{1}{5} a^{5} + \frac{2}{5} a^{4} - \frac{2}{5} a^{3} + \frac{1}{5} a^{2} + \frac{2}{5} a + \frac{2}{5}$, $\frac{1}{5} a^{33} - \frac{1}{5} a^{30} + \frac{1}{5} a^{29} + \frac{1}{5} a^{28} - \frac{1}{5} a^{27} + \frac{2}{5} a^{26} - \frac{2}{5} a^{25} + \frac{1}{5} a^{24} - \frac{1}{5} a^{22} - \frac{1}{5} a^{21} + \frac{2}{5} a^{20} + \frac{2}{5} a^{19} - \frac{2}{5} a^{17} - \frac{2}{5} a^{16} + \frac{1}{5} a^{15} + \frac{1}{5} a^{14} - \frac{2}{5} a^{13} - \frac{1}{5} a^{12} + \frac{2}{5} a^{11} - \frac{1}{5} a^{10} + \frac{2}{5} a^{9} + \frac{2}{5} a^{8} + \frac{2}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{5} + \frac{1}{5} a^{4} - \frac{2}{5} a^{3} + \frac{1}{5} a^{2} - \frac{2}{5}$, $\frac{1}{5} a^{34} - \frac{1}{5} a^{31} + \frac{1}{5} a^{30} + \frac{1}{5} a^{29} - \frac{1}{5} a^{28} + \frac{2}{5} a^{27} - \frac{2}{5} a^{26} + \frac{1}{5} a^{25} - \frac{1}{5} a^{23} - \frac{1}{5} a^{22} + \frac{2}{5} a^{21} + \frac{2}{5} a^{20} - \frac{2}{5} a^{18} - \frac{2}{5} a^{17} + \frac{1}{5} a^{16} + \frac{1}{5} a^{15} - \frac{2}{5} a^{14} - \frac{1}{5} a^{13} + \frac{2}{5} a^{12} - \frac{1}{5} a^{11} + \frac{2}{5} a^{10} + \frac{2}{5} a^{9} + \frac{2}{5} a^{8} + \frac{1}{5} a^{6} + \frac{1}{5} a^{5} - \frac{2}{5} a^{4} + \frac{1}{5} a^{3} - \frac{2}{5} a$, $\frac{1}{5} a^{35} + \frac{2}{5} a^{31} + \frac{2}{5} a^{30} - \frac{1}{5} a^{29} - \frac{2}{5} a^{28} + \frac{2}{5} a^{26} - \frac{2}{5} a^{25} + \frac{1}{5} a^{23} - \frac{1}{5} a^{22} - \frac{2}{5} a^{21} + \frac{2}{5} a^{18} - \frac{2}{5} a^{16} - \frac{2}{5} a^{15} - \frac{1}{5} a^{13} - \frac{1}{5} a^{12} + \frac{1}{5} a^{11} - \frac{2}{5} a^{10} + \frac{2}{5} a^{9} + \frac{2}{5} a^{8} + \frac{2}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{5} - \frac{2}{5} a^{4} - \frac{2}{5} a^{3} - \frac{1}{5} a^{2} + \frac{2}{5} a + \frac{2}{5}$, $\frac{1}{5} a^{36} + \frac{2}{5} a^{30} - \frac{2}{5} a^{29} - \frac{2}{5} a^{28} - \frac{2}{5} a^{27} + \frac{1}{5} a^{26} - \frac{1}{5} a^{25} - \frac{1}{5} a^{24} - \frac{1}{5} a^{22} - \frac{2}{5} a^{21} - \frac{2}{5} a^{19} + \frac{2}{5} a^{18} - \frac{1}{5} a^{16} + \frac{2}{5} a^{14} + \frac{1}{5} a^{12} + \frac{2}{5} a^{9} + \frac{1}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{7} + \frac{2}{5} a^{6} + \frac{1}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a^{4} - \frac{2}{5} a^{3} - \frac{2}{5} a + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{37} + \frac{2}{5} a^{31} - \frac{2}{5} a^{30} - \frac{2}{5} a^{29} - \frac{2}{5} a^{28} + \frac{1}{5} a^{27} - \frac{1}{5} a^{26} - \frac{1}{5} a^{25} - \frac{1}{5} a^{23} - \frac{2}{5} a^{22} - \frac{2}{5} a^{20} + \frac{2}{5} a^{19} - \frac{1}{5} a^{17} + \frac{2}{5} a^{15} + \frac{1}{5} a^{13} + \frac{2}{5} a^{10} + \frac{1}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a^{8} + \frac{2}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{5} - \frac{2}{5} a^{4} - \frac{2}{5} a^{2} + \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{38} + \frac{554279992471711048532852412083242258187133098630618881607877003419899429680354672245573418033283822790054222473750576341074}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{37} + \frac{146064935346993413225655677026475219354361869563881700152201357402143433496356137419644156435700636299070110798707350746803}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{36} - \frac{96454364799382685582537842950720974809486730810697057883624272963103659166793409868591149782700186578732750729901073210299}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{35} + \frac{125841763476989167248633802301526796922201051831071700152891396250115438276627349545901881138964459853549729215696589569790}{1585883944187319898053232536783837575370026477798373952499808470322294084018216020476554676611071905482146060896789981119553} a^{34} + \frac{6514183778788426094990997626431204841140419930957675859420017707025455660125917985381233229236906107425638648148557201723}{1585883944187319898053232536783837575370026477798373952499808470322294084018216020476554676611071905482146060896789981119553} a^{33} + \frac{728605966756041967452911930132737140353681071064058200974673682617766000579775600877396443581013777298664349486253995387577}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{32} + \frac{3237295199942805651213776959888426539496037222983605908749741195326667106144507745864236612578328147014557988111148633800188}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{31} + \frac{3422961726510296192201096056578144527019416072680305992865462304419824825551169713434932916762948908607078022584907384603543}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{30} - \frac{3387264381923227104632480325097208998006806090828424057760029840483938449360680125507195678407769985757183787469893540555997}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{29} - \frac{340775218814497205431498051854302133742138480902875695806685619058600864988558966982173427588132495641083918814491270893808}{1585883944187319898053232536783837575370026477798373952499808470322294084018216020476554676611071905482146060896789981119553} a^{28} - \frac{1300683690061923597162946310002757778711189637724044469147048912350814116035995720230518970742903460703394406956150847401473}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{27} - \frac{145717988101583029655492494870529055939388193510827264098689533028379674713556406840533876433338996928547552177629571651724}{1585883944187319898053232536783837575370026477798373952499808470322294084018216020476554676611071905482146060896789981119553} a^{26} + \frac{2264492345506661489743935777340105737024610708321464337828587838365643115701291782180449276719245442527407306965692784004706}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{25} - \frac{928578031278915796568415338015611194655409947149586972443913808564792474722601139678610317783920619132333758400015015531819}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{24} + \frac{140619844842656346577844711013498875904553530863306747668465444411235990310739160137411110263561538443054793887488480776883}{1585883944187319898053232536783837575370026477798373952499808470322294084018216020476554676611071905482146060896789981119553} a^{23} - \frac{2955680158725553118750524502465242659131341102867394234856398552684819383322197930801269328368617528853790447467040731649237}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{22} - \frac{258648391541016051336833203037757229551465128589700417335463554182541349350210402801591027294541362345710401277161423386580}{1585883944187319898053232536783837575370026477798373952499808470322294084018216020476554676611071905482146060896789981119553} a^{21} + \frac{2553770990483091790805755657714823309971709027352508419474227282681005465578027759323813606254099917249586579362842624174519}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{20} + \frac{2715192103185004070214847078602429061072151341997013456798444368578260667717818369334897113561554445854100294230530497367617}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{19} - \frac{1234907092614016097046774737243070212659416710900805531315797242454966210683485066857430453187059832595400104716006170307763}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{18} + \frac{2834936460578364467502971738521828724704058547358835398472363607784390855462024672393702941045663986163942748242597680283791}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{17} - \frac{3350757627978399849972601780364124018708178468487004007506535547147357424785518399495789810619615283090014194445104825592153}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{16} - \frac{842588465064304992781743546064318450037960688264272456266130430074780056151146184146655019072691443641310037191143606269524}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{15} - \frac{1752918104100832673338193133357486030433451955261883411141101367702775804332552513824533025008388149352818335673120625022308}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{14} + \frac{726278142396312974167696217421497061131311063063702112306434396576618507358193987344013403834711490831750505299783499257058}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{13} - \frac{2814820303393703901428223770124073334662650815633274191590814648227262903081539135958057200268255703926091225482769732601568}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{12} + \frac{642203571757749103880804256564597154590611699983852841535206378704797324047456746950448656139908987505567804228445453392238}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{11} + \frac{291232428251889999336349301079185023756033739504521168192205914984656339781495979267006585765614743640434277523787109538447}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{10} + \frac{1125666933717988074947543495481288673292633268534329576896206434833207810898773721836348363919490130472251857595709715646391}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{9} + \frac{364627431224353522234179655399606794829919476541993497991040616336007603352523959279743121031451236813952964819729232849223}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{8} - \frac{1373021418006972021272891598837609853554856219237980546666480588662981822325181636268868635114769465651396960785531583152999}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{7} - \frac{2360414645441512272313430875382727397933328392510954516172305241156377287206349403864320051907982950848153787062558202749419}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{6} - \frac{1152194450867744327376051201710358814199563540851302431696876934257325792341296287581408283235325714748012093957705676581004}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{5} - \frac{1791447441388108593763011730685207939061378746247835202844257291237116057718633534943623216798073195140062533360456976300813}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{4} - \frac{87246886735765537426703839062156539550643010174228965662819896865030262119671482745712416356505665268667067150857668033216}{1585883944187319898053232536783837575370026477798373952499808470322294084018216020476554676611071905482146060896789981119553} a^{3} + \frac{2854499826272889928283509078209094014023464212837760836512255327336348531906998261946164846418384609417452653433971809190147}{7929419720936599490266162683919187876850132388991869762499042351611470420091080102382773383055359527410730304483949905597765} a^{2} - \frac{687574776505421623365376362680347636246346194949721543598175999760500255433840250270257292466949361515744784594849373587936}{1585883944187319898053232536783837575370026477798373952499808470322294084018216020476554676611071905482146060896789981119553} a + \frac{177316566427308748712936050858308236502334233063905371173109298010203936348320598716129185101765645467791091857439132715672}{1585883944187319898053232536783837575370026477798373952499808470322294084018216020476554676611071905482146060896789981119553}$, $\frac{1}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{39} - \frac{7520515503229879501282818359116929458001633736}{137075125884889595330236792964086710728344101340819089715824172180549377778756535953236844017420634328149910609393408436879308367430807592061156835815936901779110477242817} a^{38} + \frac{4607647269540801627695407282369866449933692565164221384672739609509523263492892297367395015174952877672801826304156890991246197978769092836922886229158367344255531965293}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{37} + \frac{37712755389980665347708474280952938427460622033486479966864946098800744574133518041662486272010706475380116212125876542014349460248651790850213084093682415878844701509746}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{36} + \frac{27166142644332143874915797899016041484452262411518836956396719598689196982837260127820383855467155347717062561372618195722872522088687912386228706146426096202155317992688}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{35} - \frac{9841562769435401608519324639963732433097972054539297159947667181230323255770705104888636840051203321876363099636138606361358411317900036569620806661705070209938922196808}{137075125884889595330236792964086710728344101340819089715824172180549377778756535953236844017420634328149910609393408436879308367430807592061156835815936901779110477242817} a^{34} + \frac{2071478504779066304463072718149546629606220835947298070288406645588383671559434729802695388539979654147313136958629063878729397015448102292181514834318321014599327094814}{137075125884889595330236792964086710728344101340819089715824172180549377778756535953236844017420634328149910609393408436879308367430807592061156835815936901779110477242817} a^{33} - \frac{22723569287216112214974424123775136854395318844294821975390037859216952255383626401341615537720553807637517923217936649339206954103381375644141653429013039122722962102733}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{32} + \frac{56913177717420139280899992528135165221062919351832649732071226638468866339314668133276688525988991446432191754014572127581698171505603288218402139298303106392685770523319}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{31} + \frac{223833375172734191494379744055672200472173858623558576058208495997924546360525342668441438723219892691125472885213143943637695614265929773419681420015970319361546474062446}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{30} - \frac{172514524095728731194186698330827163021752433178028526397691470341638474495481843062128399241526810661071143508152761055358975673654373618048956469317988328641999019050937}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{29} - \frac{141341695214075221702766150843691274739570988165424870621125038587484636070115072021219256052660489758974257039655737652294081875899203760319456052371040986741583805047398}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{28} - \frac{20452003793238979794376957826987417705227306066649373713396927917220471923300428991972397881258285640437084918466065115448968544585060461493843442354971246774734631018307}{137075125884889595330236792964086710728344101340819089715824172180549377778756535953236844017420634328149910609393408436879308367430807592061156835815936901779110477242817} a^{27} - \frac{139735317264163304762403836462843511256931093773329609777844941666151218364104898973678150836407001926951433075042037849665721690556232125913961848363850232943226927108041}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{26} - \frac{13407958596438067585379401817871762792694237210547043331169810785507185746754940272739942146123110165069178349171490845998587294130105325215992299926065443452064585601766}{137075125884889595330236792964086710728344101340819089715824172180549377778756535953236844017420634328149910609393408436879308367430807592061156835815936901779110477242817} a^{25} + \frac{240073481874327362794804274190769462287174966907892012868896449979168160588880614292870196330129785953703497742271091312223353077020182684114000928330357607343684837183404}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{24} - \frac{79588025610757404887361052368092941566040200131825165315731402596377290901153391493774718508850383610319423986973414293683999251268600672126035624521673558223562273174187}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{23} + \frac{80498823333079286520024850614884890123909895479248644320331834950376378427894057352307195788846661517612447572370468756345177838575720083834434627918555917308835219674368}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{22} - \frac{51552566080878156174516626238739870363745373514544023565877244526094242550780244669909405097526790418531997278317121921782901114177488506118772549790527232691246091306086}{137075125884889595330236792964086710728344101340819089715824172180549377778756535953236844017420634328149910609393408436879308367430807592061156835815936901779110477242817} a^{21} - \frac{27506112811608527716469091972846177126410798524376907435339071542951232870828206248146414996678628977549974330744639398645261582349710030862164880065121351849627458772165}{137075125884889595330236792964086710728344101340819089715824172180549377778756535953236844017420634328149910609393408436879308367430807592061156835815936901779110477242817} a^{20} + \frac{210557856861768798908141931416618836036902851643106181842482658818722174055522724306887934531766220741030290891321359952283571857973585249037301786379482863122799245701717}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{19} + \frac{196572749895615329325597085171467245176156001670336733678359305429130485151955041389582840700178944508382021663194444270585195677546790921591136211448017570233260774039729}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{18} + \frac{85693238881636203371450261983732731940560491540961973426628098312319111118722191679162124978984884554865101650033390940749328790965872821035674060641074613197483785884994}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{17} - \frac{36650790365094535471282535548105680081603934791630724253202414058450331862679398471544749321305392858398276669807746844332984757397806606288779403769391221529132899226807}{137075125884889595330236792964086710728344101340819089715824172180549377778756535953236844017420634328149910609393408436879308367430807592061156835815936901779110477242817} a^{16} + \frac{192705434417577509000778339360013503635946671703536455388536550531436713874800735419609679592894071622455744658816747089435074021117983739289601041646257444061835054809984}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{15} + \frac{211990597382637315849436876737883548724917539996509442828916174062958398123406664550472150999653934952089772142729120566907686028029882700364690414671080788970376260966139}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{14} + \frac{143927847640006856151996616999030067131930044283973645651045350920811889612160995342848579778144041114032190141071202140127987429678143466290596139725010226220301711242887}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{13} + \frac{145068944533950280083705793476283020728802326986393089997456495911608290267899209221802672165988936455101295757123015572010997297883124298358306283703375276389896439132002}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{12} - \frac{121295583542608732752014080093463502234877021609179397892232401855743972018787574607746384409338534691327612713857767861541677689995721522970169962781997671555574567137759}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{11} - \frac{19590300322779125563257585668975705936850002356594002136731543012730770340767361811089441782390881079291267301984204426415027577844736357816509146449882672622438211456950}{137075125884889595330236792964086710728344101340819089715824172180549377778756535953236844017420634328149910609393408436879308367430807592061156835815936901779110477242817} a^{10} + \frac{209231069297495743306008190305332588286004581253083738281467193534742780355705880961448054595814577713147492345618209569980159247481309235062102761255553272364616143647464}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{9} - \frac{215780869853257955875616283704050134857542522478907477531153638009728838471203518330126237720051194301647190418814264312996027452207690139288071736886636542316556450501856}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{8} - \frac{48091329545817569786073126027773834270644842764664343619403631055828223613598333355351291387662217056739829786310249560150657699358408761796012714173681362476741248670094}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{7} + \frac{256446430917115042125594850853539849827641480627419015864736261914935964220848363891283375632313239862757249926423950182596799899600199675986396626231353633506440093833593}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{6} - \frac{25220126430890297468430982374175329135377332021990959298560498850506912284714708701456347121654964489229169854779137834822192577631783974739977906630911574630964309824253}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{5} + \frac{332618100703924648311257347341889146513948800591202015968473140043523101853811656663154990717837684238188787037763833796759425481869630486434474038040215287612221722605251}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{4} + \frac{49428207656067053824113755999061118483259193819627972787762849495462673213340994883047942921738068251731353945299468704608219541380795823499820290268541375936132165283119}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{3} - \frac{325954564360050042920781696979450050366732825983443309248702648147217898410605124310172422416663320486342153217767250284428831890638390093675896330134575375950873345940437}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085} a^{2} - \frac{5801989829502501709765214222039896625901854262815179786941484067609379010095289148711834174277090818035662008939414014224255799639701216130729140284189932097591336629210}{137075125884889595330236792964086710728344101340819089715824172180549377778756535953236844017420634328149910609393408436879308367430807592061156835815936901779110477242817} a + \frac{214105136343293393184622926431161499331814757683268905338126578712840135918498215313935532880433336549586942882000112947000444784027967850550808196912793029458698946350884}{685375629424447976651183964820433553641720506704095448579120860902746888893782679766184220087103171640749553046967042184396541837154037960305784179079684508895552386214085}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $19$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{40}$ (as 40T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_{40}$
Character table for $C_{40}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{2}) \), \(\Q(\zeta_{16})^+\), 5.5.923521.1, 8.0.2147483648.1, 10.10.27947533514866688.1, 20.20.26208180000330451995141510200671871172608.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R $40$ ${\href{/LocalNumberField/5.8.0.1}{8} }^{5}$ $20^{2}$ $40$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/17.10.0.1}{10} }^{4}$ $40$ $20^{2}$ $40$ R ${\href{/LocalNumberField/37.8.0.1}{8} }^{5}$ $20^{2}$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/47.5.0.1}{5} }^{8}$ $40$ $40$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
$31$31.10.8.1$x^{10} - 20491 x^{5} + 239127552$$5$$2$$8$$C_{10}$$[\ ]_{5}^{2}$
31.10.8.1$x^{10} - 20491 x^{5} + 239127552$$5$$2$$8$$C_{10}$$[\ ]_{5}^{2}$
31.10.8.1$x^{10} - 20491 x^{5} + 239127552$$5$$2$$8$$C_{10}$$[\ ]_{5}^{2}$
31.10.8.1$x^{10} - 20491 x^{5} + 239127552$$5$$2$$8$$C_{10}$$[\ ]_{5}^{2}$