↑

Properties

Label 40.0.23566017627...5625.3
Degree $40$
Signature $[0, 20]$
Discriminant $3^{20}\cdot 5^{70}\cdot 7^{20}$
Root discriminant $76.61$
Ramified primes $3, 5, 7$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_2\times C_{20}$ (as 40T2)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1048576, 10485760, 288358400, -429260800, 3815833600, -3369566208, 18835046400, -11098112000, 53124833280, -21629696000, 95896866816, -28074777600, 119352953600, -25427153280, 107073932800, -16477469024, 71660476320, -7836540800, 36699315280, -2789292800, 14652746289, -753390260, 4619721900, -155450395, 1159115225, -24470367, 232121040, -2905350, 37017890, -253575, 4661804, -15470, 455875, -595, 33600, -11, 1770, 0, 60, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 + 60*x^38 + 1770*x^36 - 11*x^35 + 33600*x^34 - 595*x^33 + 455875*x^32 - 15470*x^31 + 4661804*x^30 - 253575*x^29 + 37017890*x^28 - 2905350*x^27 + 232121040*x^26 - 24470367*x^25 + 1159115225*x^24 - 155450395*x^23 + 4619721900*x^22 - 753390260*x^21 + 14652746289*x^20 - 2789292800*x^19 + 36699315280*x^18 - 7836540800*x^17 + 71660476320*x^16 - 16477469024*x^15 + 107073932800*x^14 - 25427153280*x^13 + 119352953600*x^12 - 28074777600*x^11 + 95896866816*x^10 - 21629696000*x^9 + 53124833280*x^8 - 11098112000*x^7 + 18835046400*x^6 - 3369566208*x^5 + 3815833600*x^4 - 429260800*x^3 + 288358400*x^2 + 10485760*x + 1048576)
 
gp: K = bnfinit(x^40 + 60*x^38 + 1770*x^36 - 11*x^35 + 33600*x^34 - 595*x^33 + 455875*x^32 - 15470*x^31 + 4661804*x^30 - 253575*x^29 + 37017890*x^28 - 2905350*x^27 + 232121040*x^26 - 24470367*x^25 + 1159115225*x^24 - 155450395*x^23 + 4619721900*x^22 - 753390260*x^21 + 14652746289*x^20 - 2789292800*x^19 + 36699315280*x^18 - 7836540800*x^17 + 71660476320*x^16 - 16477469024*x^15 + 107073932800*x^14 - 25427153280*x^13 + 119352953600*x^12 - 28074777600*x^11 + 95896866816*x^10 - 21629696000*x^9 + 53124833280*x^8 - 11098112000*x^7 + 18835046400*x^6 - 3369566208*x^5 + 3815833600*x^4 - 429260800*x^3 + 288358400*x^2 + 10485760*x + 1048576, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} + 60 x^{38} + 1770 x^{36} - 11 x^{35} + 33600 x^{34} - 595 x^{33} + 455875 x^{32} - 15470 x^{31} + 4661804 x^{30} - 253575 x^{29} + 37017890 x^{28} - 2905350 x^{27} + 232121040 x^{26} - 24470367 x^{25} + 1159115225 x^{24} - 155450395 x^{23} + 4619721900 x^{22} - 753390260 x^{21} + 14652746289 x^{20} - 2789292800 x^{19} + 36699315280 x^{18} - 7836540800 x^{17} + 71660476320 x^{16} - 16477469024 x^{15} + 107073932800 x^{14} - 25427153280 x^{13} + 119352953600 x^{12} - 28074777600 x^{11} + 95896866816 x^{10} - 21629696000 x^{9} + 53124833280 x^{8} - 11098112000 x^{7} + 18835046400 x^{6} - 3369566208 x^{5} + 3815833600 x^{4} - 429260800 x^{3} + 288358400 x^{2} + 10485760 x + 1048576 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 20]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(2356601762749139913517942415268160462338276062155273393727838993072509765625=3^{20}\cdot 5^{70}\cdot 7^{20}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $76.61$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 5, 7$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(525=3\cdot 5^{2}\cdot 7\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{525}(512,·)$, $\chi_{525}(1,·)$, $\chi_{525}(391,·)$, $\chi_{525}(8,·)$, $\chi_{525}(139,·)$, $\chi_{525}(398,·)$, $\chi_{525}(272,·)$, $\chi_{525}(274,·)$, $\chi_{525}(407,·)$, $\chi_{525}(286,·)$, $\chi_{525}(34,·)$, $\chi_{525}(293,·)$, $\chi_{525}(167,·)$, $\chi_{525}(169,·)$, $\chi_{525}(428,·)$, $\chi_{525}(302,·)$, $\chi_{525}(181,·)$, $\chi_{525}(316,·)$, $\chi_{525}(62,·)$, $\chi_{525}(64,·)$, $\chi_{525}(323,·)$, $\chi_{525}(197,·)$, $\chi_{525}(454,·)$, $\chi_{525}(76,·)$, $\chi_{525}(83,·)$, $\chi_{525}(218,·)$, $\chi_{525}(92,·)$, $\chi_{525}(349,·)$, $\chi_{525}(421,·)$, $\chi_{525}(482,·)$, $\chi_{525}(484,·)$, $\chi_{525}(188,·)$, $\chi_{525}(106,·)$, $\chi_{525}(496,·)$, $\chi_{525}(113,·)$, $\chi_{525}(211,·)$, $\chi_{525}(244,·)$, $\chi_{525}(503,·)$, $\chi_{525}(377,·)$, $\chi_{525}(379,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $\frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{4} a^{22} - \frac{1}{2} a^{18} + \frac{1}{4} a^{17} + \frac{1}{4} a^{15} - \frac{1}{4} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} + \frac{1}{4} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} + \frac{1}{4} a^{7} + \frac{1}{4} a^{6} + \frac{1}{4} a^{5} + \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{8} a^{23} + \frac{1}{4} a^{19} - \frac{3}{8} a^{18} + \frac{1}{8} a^{16} + \frac{3}{8} a^{15} - \frac{1}{4} a^{14} + \frac{1}{8} a^{12} + \frac{1}{4} a^{11} - \frac{1}{4} a^{10} + \frac{1}{8} a^{8} + \frac{1}{8} a^{7} + \frac{1}{8} a^{6} + \frac{1}{8} a^{3} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{16} a^{24} - \frac{3}{8} a^{20} + \frac{5}{16} a^{19} - \frac{1}{2} a^{18} + \frac{1}{16} a^{17} + \frac{3}{16} a^{16} + \frac{3}{8} a^{15} - \frac{1}{2} a^{14} + \frac{1}{16} a^{13} + \frac{1}{8} a^{12} - \frac{1}{8} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{7}{16} a^{9} - \frac{7}{16} a^{8} - \frac{7}{16} a^{7} + \frac{1}{16} a^{4} + \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{32} a^{25} - \frac{3}{16} a^{21} - \frac{11}{32} a^{20} + \frac{1}{4} a^{19} + \frac{1}{32} a^{18} + \frac{3}{32} a^{17} + \frac{3}{16} a^{16} - \frac{1}{4} a^{15} + \frac{1}{32} a^{14} - \frac{7}{16} a^{13} - \frac{1}{16} a^{12} - \frac{1}{4} a^{11} + \frac{9}{32} a^{10} - \frac{7}{32} a^{9} + \frac{9}{32} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} + \frac{1}{32} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{3}{8} a^{3}$, $\frac{1}{64} a^{26} - \frac{3}{32} a^{22} - \frac{11}{64} a^{21} - \frac{3}{8} a^{20} + \frac{1}{64} a^{19} + \frac{3}{64} a^{18} - \frac{13}{32} a^{17} - \frac{1}{8} a^{16} - \frac{31}{64} a^{15} - \frac{7}{32} a^{14} + \frac{15}{32} a^{13} + \frac{3}{8} a^{12} - \frac{23}{64} a^{11} + \frac{25}{64} a^{10} - \frac{23}{64} a^{9} + \frac{1}{4} a^{8} + \frac{1}{64} a^{6} + \frac{1}{4} a^{5} + \frac{5}{16} a^{4} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{128} a^{27} - \frac{3}{64} a^{23} - \frac{11}{128} a^{22} - \frac{3}{16} a^{21} - \frac{63}{128} a^{20} + \frac{3}{128} a^{19} + \frac{19}{64} a^{18} - \frac{1}{16} a^{17} - \frac{31}{128} a^{16} + \frac{25}{64} a^{15} - \frac{17}{64} a^{14} - \frac{5}{16} a^{13} + \frac{41}{128} a^{12} - \frac{39}{128} a^{11} - \frac{23}{128} a^{10} - \frac{3}{8} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} + \frac{1}{128} a^{7} - \frac{3}{8} a^{6} - \frac{11}{32} a^{5} + \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{256} a^{28} - \frac{3}{128} a^{24} - \frac{11}{256} a^{23} - \frac{3}{32} a^{22} - \frac{63}{256} a^{21} + \frac{3}{256} a^{20} - \frac{45}{128} a^{19} + \frac{15}{32} a^{18} - \frac{31}{256} a^{17} - \frac{39}{128} a^{16} - \frac{17}{128} a^{15} - \frac{5}{32} a^{14} - \frac{87}{256} a^{13} + \frac{89}{256} a^{12} + \frac{105}{256} a^{11} + \frac{5}{16} a^{10} - \frac{1}{4} a^{9} + \frac{1}{256} a^{8} - \frac{3}{16} a^{7} - \frac{11}{64} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{3}{8} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{512} a^{29} - \frac{3}{256} a^{25} - \frac{11}{512} a^{24} - \frac{3}{64} a^{23} - \frac{63}{512} a^{22} + \frac{3}{512} a^{21} + \frac{83}{256} a^{20} + \frac{15}{64} a^{19} + \frac{225}{512} a^{18} - \frac{39}{256} a^{17} - \frac{17}{256} a^{16} - \frac{5}{64} a^{15} - \frac{87}{512} a^{14} - \frac{167}{512} a^{13} - \frac{151}{512} a^{12} - \frac{11}{32} a^{11} + \frac{3}{8} a^{10} - \frac{255}{512} a^{9} + \frac{13}{32} a^{8} - \frac{11}{128} a^{7} + \frac{1}{4} a^{6} + \frac{1}{4} a^{5} - \frac{3}{16} a^{4} + \frac{1}{4} a^{3} + \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{1024} a^{30} - \frac{3}{512} a^{26} - \frac{11}{1024} a^{25} - \frac{3}{128} a^{24} - \frac{63}{1024} a^{23} + \frac{3}{1024} a^{22} + \frac{83}{512} a^{21} + \frac{15}{128} a^{20} - \frac{287}{1024} a^{19} - \frac{39}{512} a^{18} + \frac{239}{512} a^{17} - \frac{5}{128} a^{16} + \frac{425}{1024} a^{15} + \frac{345}{1024} a^{14} + \frac{361}{1024} a^{13} - \frac{11}{64} a^{12} + \frac{3}{16} a^{11} - \frac{255}{1024} a^{10} + \frac{13}{64} a^{9} + \frac{117}{256} a^{8} + \frac{1}{8} a^{7} + \frac{1}{8} a^{6} - \frac{3}{32} a^{5} - \frac{3}{8} a^{4} + \frac{1}{8} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2048} a^{31} - \frac{3}{1024} a^{27} - \frac{11}{2048} a^{26} - \frac{3}{256} a^{25} - \frac{63}{2048} a^{24} + \frac{3}{2048} a^{23} + \frac{83}{1024} a^{22} + \frac{15}{256} a^{21} - \frac{287}{2048} a^{20} - \frac{39}{1024} a^{19} - \frac{273}{1024} a^{18} - \frac{5}{256} a^{17} - \frac{599}{2048} a^{16} + \frac{345}{2048} a^{15} - \frac{663}{2048} a^{14} + \frac{53}{128} a^{13} + \frac{3}{32} a^{12} + \frac{769}{2048} a^{11} + \frac{13}{128} a^{10} - \frac{139}{512} a^{9} + \frac{1}{16} a^{8} + \frac{1}{16} a^{7} - \frac{3}{64} a^{6} + \frac{5}{16} a^{5} - \frac{7}{16} a^{4} + \frac{1}{4} a^{3} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{4096} a^{32} - \frac{3}{2048} a^{28} - \frac{11}{4096} a^{27} - \frac{3}{512} a^{26} - \frac{63}{4096} a^{25} + \frac{3}{4096} a^{24} + \frac{83}{2048} a^{23} + \frac{15}{512} a^{22} - \frac{287}{4096} a^{21} + \frac{985}{2048} a^{20} + \frac{751}{2048} a^{19} + \frac{251}{512} a^{18} + \frac{1449}{4096} a^{17} - \frac{1703}{4096} a^{16} - \frac{663}{4096} a^{15} - \frac{75}{256} a^{14} - \frac{29}{64} a^{13} + \frac{769}{4096} a^{12} - \frac{115}{256} a^{11} - \frac{139}{1024} a^{10} + \frac{1}{32} a^{9} + \frac{1}{32} a^{8} + \frac{61}{128} a^{7} + \frac{5}{32} a^{6} + \frac{9}{32} a^{5} - \frac{3}{8} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{4} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{8192} a^{33} - \frac{3}{4096} a^{29} - \frac{11}{8192} a^{28} - \frac{3}{1024} a^{27} - \frac{63}{8192} a^{26} + \frac{3}{8192} a^{25} + \frac{83}{4096} a^{24} + \frac{15}{1024} a^{23} - \frac{287}{8192} a^{22} + \frac{985}{4096} a^{21} + \frac{751}{4096} a^{20} + \frac{251}{1024} a^{19} - \frac{2647}{8192} a^{18} - \frac{1703}{8192} a^{17} + \frac{3433}{8192} a^{16} - \frac{75}{512} a^{15} - \frac{29}{128} a^{14} - \frac{3327}{8192} a^{13} + \frac{141}{512} a^{12} - \frac{139}{2048} a^{11} - \frac{31}{64} a^{10} - \frac{31}{64} a^{9} - \frac{67}{256} a^{8} + \frac{5}{64} a^{7} - \frac{23}{64} a^{6} + \frac{5}{16} a^{5} - \frac{1}{4} a^{4} + \frac{3}{8} a^{3} - \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{16384} a^{34} - \frac{3}{8192} a^{30} - \frac{11}{16384} a^{29} - \frac{3}{2048} a^{28} - \frac{63}{16384} a^{27} + \frac{3}{16384} a^{26} + \frac{83}{8192} a^{25} + \frac{15}{2048} a^{24} - \frac{287}{16384} a^{23} + \frac{985}{8192} a^{22} + \frac{751}{8192} a^{21} - \frac{773}{2048} a^{20} + \frac{5545}{16384} a^{19} + \frac{6489}{16384} a^{18} + \frac{3433}{16384} a^{17} - \frac{75}{1024} a^{16} + \frac{99}{256} a^{15} + \frac{4865}{16384} a^{14} - \frac{371}{1024} a^{13} + \frac{1909}{4096} a^{12} - \frac{31}{128} a^{11} - \frac{31}{128} a^{10} - \frac{67}{512} a^{9} - \frac{59}{128} a^{8} + \frac{41}{128} a^{7} + \frac{5}{32} a^{6} - \frac{1}{8} a^{5} + \frac{3}{16} a^{4} - \frac{1}{8} a^{3}$, $\frac{1}{32768} a^{35} - \frac{3}{16384} a^{31} - \frac{11}{32768} a^{30} - \frac{3}{4096} a^{29} - \frac{63}{32768} a^{28} + \frac{3}{32768} a^{27} + \frac{83}{16384} a^{26} + \frac{15}{4096} a^{25} - \frac{287}{32768} a^{24} + \frac{985}{16384} a^{23} + \frac{751}{16384} a^{22} - \frac{773}{4096} a^{21} - \frac{10839}{32768} a^{20} - \frac{9895}{32768} a^{19} + \frac{3433}{32768} a^{18} + \frac{949}{2048} a^{17} - \frac{157}{512} a^{16} - \frac{11519}{32768} a^{15} + \frac{653}{2048} a^{14} - \frac{2187}{8192} a^{13} + \frac{97}{256} a^{12} + \frac{97}{256} a^{11} + \frac{445}{1024} a^{10} - \frac{59}{256} a^{9} + \frac{41}{256} a^{8} + \frac{5}{64} a^{7} + \frac{7}{16} a^{6} - \frac{13}{32} a^{5} + \frac{7}{16} a^{4}$, $\frac{1}{65536} a^{36} - \frac{3}{32768} a^{32} - \frac{11}{65536} a^{31} - \frac{3}{8192} a^{30} - \frac{63}{65536} a^{29} + \frac{3}{65536} a^{28} + \frac{83}{32768} a^{27} + \frac{15}{8192} a^{26} - \frac{287}{65536} a^{25} + \frac{985}{32768} a^{24} + \frac{751}{32768} a^{23} - \frac{773}{8192} a^{22} - \frac{10839}{65536} a^{21} - \frac{9895}{65536} a^{20} - \frac{29335}{65536} a^{19} + \frac{949}{4096} a^{18} - \frac{157}{1024} a^{17} + \frac{21249}{65536} a^{16} + \frac{653}{4096} a^{15} - \frac{2187}{16384} a^{14} - \frac{159}{512} a^{13} - \frac{159}{512} a^{12} + \frac{445}{2048} a^{11} - \frac{59}{512} a^{10} + \frac{41}{512} a^{9} - \frac{59}{128} a^{8} - \frac{9}{32} a^{7} - \frac{13}{64} a^{6} + \frac{7}{32} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4}$, $\frac{1}{131072} a^{37} - \frac{3}{65536} a^{33} - \frac{11}{131072} a^{32} - \frac{3}{16384} a^{31} - \frac{63}{131072} a^{30} + \frac{3}{131072} a^{29} + \frac{83}{65536} a^{28} + \frac{15}{16384} a^{27} - \frac{287}{131072} a^{26} + \frac{985}{65536} a^{25} + \frac{751}{65536} a^{24} - \frac{773}{16384} a^{23} - \frac{10839}{131072} a^{22} - \frac{9895}{131072} a^{21} - \frac{29335}{131072} a^{20} - \frac{3147}{8192} a^{19} + \frac{867}{2048} a^{18} + \frac{21249}{131072} a^{17} + \frac{653}{8192} a^{16} - \frac{2187}{32768} a^{15} + \frac{353}{1024} a^{14} + \frac{353}{1024} a^{13} - \frac{1603}{4096} a^{12} - \frac{59}{1024} a^{11} + \frac{41}{1024} a^{10} + \frac{69}{256} a^{9} + \frac{23}{64} a^{8} - \frac{13}{128} a^{7} - \frac{25}{64} a^{6} + \frac{1}{4} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{58550124544} a^{38} + \frac{13613}{3659382784} a^{37} - \frac{40633}{7318765568} a^{36} + \frac{86337}{7318765568} a^{35} - \frac{438267}{29275062272} a^{34} - \frac{1646635}{58550124544} a^{33} + \frac{513493}{7318765568} a^{32} - \frac{9491287}{58550124544} a^{31} - \frac{5583653}{58550124544} a^{30} - \frac{18568785}{29275062272} a^{29} - \frac{11614391}{7318765568} a^{28} - \frac{78874151}{58550124544} a^{27} + \frac{177124593}{29275062272} a^{26} - \frac{171924085}{29275062272} a^{25} - \frac{25281885}{3659382784} a^{24} - \frac{1408902567}{58550124544} a^{23} - \frac{5741894983}{58550124544} a^{22} - \frac{7412193327}{58550124544} a^{21} - \frac{279831981}{1829691392} a^{20} - \frac{842565983}{3659382784} a^{19} + \frac{7406053401}{58550124544} a^{18} - \frac{34175929}{3659382784} a^{17} - \frac{6711714637}{14637531136} a^{16} - \frac{735580727}{7318765568} a^{15} - \frac{692078969}{3659382784} a^{14} - \frac{54618263}{114355712} a^{13} - \frac{401696829}{914845696} a^{12} + \frac{125898919}{457422848} a^{11} - \frac{111287847}{228711424} a^{10} + \frac{47001389}{114355712} a^{9} + \frac{18819465}{57177856} a^{8} + \frac{8552687}{28588928} a^{7} - \frac{1533307}{14294464} a^{6} + \frac{1202559}{3573616} a^{5} + \frac{1231249}{3573616} a^{4} - \frac{415647}{1786808} a^{3} - \frac{44209}{223351} a^{2} - \frac{16015}{223351} a - \frac{85625}{223351}$, $\frac{1}{4018305370507225954724660629529655725722374554109899624359602494067163084739543508193516354178173269835889776627571783752074604838912} a^{39} - \frac{1977692013651202433310749623709808082308069473074708699699326951085625928165910497930889679803649168497587354421929473769}{1004576342626806488681165157382413931430593638527474906089900623516790771184885877048379088544543317458972444156892945938018651209728} a^{38} + \frac{410088646063665333791452022164200028131276067717683895045211929872282119188043851438631518247175891474429548762949509869121329}{251144085656701622170291289345603482857648409631868726522475155879197692796221469262094772136135829364743111039223236484504662802432} a^{37} + \frac{518785033418656262475601387650522192167259366303904441102477881584812432694103502278062359973556953864768356952919762820274627}{251144085656701622170291289345603482857648409631868726522475155879197692796221469262094772136135829364743111039223236484504662802432} a^{36} - \frac{7728544047549636369332726421382621151283430549629863921500681768427932219157070499073462110695662168507321353069864076533564331}{2009152685253612977362330314764827862861187277054949812179801247033581542369771754096758177089086634917944888313785891876037302419456} a^{35} + \frac{34793729265307318097340351658839660113893198303453219479048364584401376630211785700772503463511502071768100495035574962673204301}{4018305370507225954724660629529655725722374554109899624359602494067163084739543508193516354178173269835889776627571783752074604838912} a^{34} - \frac{58392354458641661202266220203444897654529638762897751009114126827648190704648204990729393039658659195181634021246427982060536075}{1004576342626806488681165157382413931430593638527474906089900623516790771184885877048379088544543317458972444156892945938018651209728} a^{33} - \frac{207212665188620204701014138010114573924135977460887107086588532373896160275723070800749766766758738136404096164806339323170067631}{4018305370507225954724660629529655725722374554109899624359602494067163084739543508193516354178173269835889776627571783752074604838912} a^{32} + \frac{488440824328788798325595738515485209385834253087509775998520296070379404145040768924961920395487162812819992685062836430566961327}{4018305370507225954724660629529655725722374554109899624359602494067163084739543508193516354178173269835889776627571783752074604838912} a^{31} + \frac{172956842499368720015322307467387098604046182156740172383717105005807468321255929240610992276025764130645451933365119239334130397}{2009152685253612977362330314764827862861187277054949812179801247033581542369771754096758177089086634917944888313785891876037302419456} a^{30} - \frac{539944031321392031986049155640776011447233843928159794781654946444511837875669219851587890775827211760063234582975820492053737}{1962063169192981423205400698012527209825378200248974425956837155306231974970480228610115407313561166912055554993931535035192678144} a^{29} - \frac{1590146785044840703938574492091653147647567656469396110711721805499122355540743990249244972709910028982676021148381202879640122143}{4018305370507225954724660629529655725722374554109899624359602494067163084739543508193516354178173269835889776627571783752074604838912} a^{28} - \frac{6801873071211002329753891872163487867767909493341263631533886626209873176663216726761304976908898219679622279401085604522701872289}{2009152685253612977362330314764827862861187277054949812179801247033581542369771754096758177089086634917944888313785891876037302419456} a^{27} - \frac{8630232546134041020969707900083692593722103923894029018550419121689539170653665926691616533965415394879822464951538844505006551005}{2009152685253612977362330314764827862861187277054949812179801247033581542369771754096758177089086634917944888313785891876037302419456} a^{26} - \frac{2217631388226997359355517001908846687684096393936237215486479272631631915972514042962258411672652419525113744041658382105205080541}{251144085656701622170291289345603482857648409631868726522475155879197692796221469262094772136135829364743111039223236484504662802432} a^{25} + \frac{99704701531574583566405683917554704319226384543141760460544278839537749871075085980142016096909646524088470798085711123313176883385}{4018305370507225954724660629529655725722374554109899624359602494067163084739543508193516354178173269835889776627571783752074604838912} a^{24} + \frac{127364477194824145018019900227566606535456498100182409240191981386497557371002280918950550639560884232049981628720336144679802005269}{4018305370507225954724660629529655725722374554109899624359602494067163084739543508193516354178173269835889776627571783752074604838912} a^{23} + \frac{83863669871174861870823312666722038452688316127807478153587284718495213177268101291942604383790309757919590357554649524729793897813}{4018305370507225954724660629529655725722374554109899624359602494067163084739543508193516354178173269835889776627571783752074604838912} a^{22} + \frac{179238210084148861103590277102030715990519873353153605867812368013460308321626048502351094186213954017952504781529185910448468088595}{1004576342626806488681165157382413931430593638527474906089900623516790771184885877048379088544543317458972444156892945938018651209728} a^{21} - \frac{48806891377222133593862002304752166014586277996692553356015500617355948159613696625199529957335648584078227024563958145052260116601}{251144085656701622170291289345603482857648409631868726522475155879197692796221469262094772136135829364743111039223236484504662802432} a^{20} + \frac{353970602118369805625242400582521544181697356741322992094461458015282744363890539357289943594746104473813685970622186762071690651233}{4018305370507225954724660629529655725722374554109899624359602494067163084739543508193516354178173269835889776627571783752074604838912} a^{19} + \frac{129209952380441759125132940498015938125587724150896991483344603242005934234246168410998194418189772909872160846966175533225495533639}{1004576342626806488681165157382413931430593638527474906089900623516790771184885877048379088544543317458972444156892945938018651209728} a^{18} - \frac{482028663455404967076782721107106930982763391040707705873740478927667284028214548880230129941741291195912318573983591980730513859303}{1004576342626806488681165157382413931430593638527474906089900623516790771184885877048379088544543317458972444156892945938018651209728} a^{17} + \frac{59092003971114545289394421266110973841765977159952796325733035917280158568354914173836833074690707098633149800004446880701057600353}{125572042828350811085145644672801741428824204815934363261237577939598846398110734631047386068067914682371555519611618242252331401216} a^{16} + \frac{48831032913537132745992385756732236452744103493548612515761975347834712888125396067586774333443562178754885013156678468239893328727}{251144085656701622170291289345603482857648409631868726522475155879197692796221469262094772136135829364743111039223236484504662802432} a^{15} - \frac{10620344963559341694358287319230748325744054429777553503583898063923970994193947778247615253592003084128212704851074465467895293137}{125572042828350811085145644672801741428824204815934363261237577939598846398110734631047386068067914682371555519611618242252331401216} a^{14} - \frac{1555611433528026898348563374345127839771672765461788615673045927219542373836031163085767366158614616053102945972064637933017967569}{3924126338385962846410801396025054419650756400497948851913674310612463949940960457220230814627122333824111109987863070070385356288} a^{13} + \frac{11272101452980654800819745159271740634293027391943651374391552801847562218887506137309035029562057834333521924777509345562993782067}{31393010707087702771286411168200435357206051203983590815309394484899711599527683657761846517016978670592888879902904560563082850304} a^{12} + \frac{3048106654431438979166906903016004559437796471207706828858054765560098780438023529917438928144757428199273928244011402104469516897}{7848252676771925692821602792050108839301512800995897703827348621224927899881920914440461629254244667648222219975726140140770712576} a^{11} + \frac{3555948319821640508471667091154011548974323389833614148694424343435103328248137875598974260612313445079655932637871538747961812703}{7848252676771925692821602792050108839301512800995897703827348621224927899881920914440461629254244667648222219975726140140770712576} a^{10} - \frac{444781943635235123665004156619623315063433236205538051144847356794630887707466301615004209530131252622795280946550533478483905087}{981031584596490711602700349006263604912689100124487212978418577653115987485240114305057703656780583456027777496965767517596339072} a^{9} - \frac{195818689821641077468785100854182393612277833371294759496106610776726464956048618875786273447098017504536494053028412485544195489}{490515792298245355801350174503131802456344550062243606489209288826557993742620057152528851828390291728013888748482883758798169536} a^{8} - \frac{9231507291349286119718437216151284964017007835034999410845316714780049746377162873968544116895068848290824980934538627845072061}{981031584596490711602700349006263604912689100124487212978418577653115987485240114305057703656780583456027777496965767517596339072} a^{7} + \frac{215482646267056179068930845097871213847654993679523510784622244967542631211891759170339850646697863377426730678475061453631280957}{490515792298245355801350174503131802456344550062243606489209288826557993742620057152528851828390291728013888748482883758798169536} a^{6} + \frac{49854586760113614170674663983808520691992847411968039936241480847413426389724726613730886426087796939227982248371355691827150853}{245257896149122677900675087251565901228172275031121803244604644413278996871310028576264425914195145864006944374241441879399084768} a^{5} - \frac{4293614091199153176776443577652637194512423809434612991867089020744488347567613022317468065514175805056639745069362883037963789}{122628948074561338950337543625782950614086137515560901622302322206639498435655014288132212957097572932003472187120720939699542384} a^{4} + \frac{24427806226062518427878622229760219757279272395192444135976499129418655508310556129721524767048674994150730789134820730245752017}{61314474037280669475168771812891475307043068757780450811151161103319749217827507144066106478548786466001736093560360469849771192} a^{3} + \frac{472792497548527108817633988467159638596938123243310788159194056351974602267735363162787843745003030581166597116101254146522429}{15328618509320167368792192953222868826760767189445112702787790275829937304456876786016526619637196616500434023390090117462442798} a^{2} - \frac{222281179879988463540309246466609152472478648388827062025344038302191663396151262267006873809440680330415358419734209706831930}{7664309254660083684396096476611434413380383594722556351393895137914968652228438393008263309818598308250217011695045058731221399} a - \frac{1469785018324932131590323890930955086237509195066370681763181775707633324106379784927745419222274181336234691889437266372045371}{7664309254660083684396096476611434413380383594722556351393895137914968652228438393008263309818598308250217011695045058731221399}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $19$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_2\times C_{20}$ (as 40T2):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{20}$
Character table for $C_2\times C_{20}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-35}) \), \(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\sqrt{-7}) \), \(\Q(\sqrt{5}, \sqrt{-7})\), \(\Q(\zeta_{15})^+\), 4.0.55125.1, 5.5.390625.1, 8.0.3038765625.2, 10.0.12822723388671875.1, \(\Q(\zeta_{25})^+\), 10.0.2564544677734375.1, 20.0.164422235102392733097076416015625.1, \(\Q(\zeta_{75})^+\), 20.0.48544842802805942483246326446533203125.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $20^{2}$ R R R ${\href{/LocalNumberField/11.10.0.1}{10} }^{4}$ $20^{2}$ $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/19.10.0.1}{10} }^{4}$ $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/29.5.0.1}{5} }^{8}$ ${\href{/LocalNumberField/31.10.0.1}{10} }^{4}$ $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/41.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/43.4.0.1}{4} }^{10}$ $20^{2}$ $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/59.10.0.1}{10} }^{4}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
5Data not computed
$7$7.8.4.1$x^{8} + 14 x^{6} + 539 x^{4} + 343 x^{2} + 60025$$2$$4$$4$$C_4\times C_2$$[\ ]_{2}^{4}$
7.8.4.1$x^{8} + 14 x^{6} + 539 x^{4} + 343 x^{2} + 60025$$2$$4$$4$$C_4\times C_2$$[\ ]_{2}^{4}$
7.8.4.1$x^{8} + 14 x^{6} + 539 x^{4} + 343 x^{2} + 60025$$2$$4$$4$$C_4\times C_2$$[\ ]_{2}^{4}$
7.8.4.1$x^{8} + 14 x^{6} + 539 x^{4} + 343 x^{2} + 60025$$2$$4$$4$$C_4\times C_2$$[\ ]_{2}^{4}$
7.8.4.1$x^{8} + 14 x^{6} + 539 x^{4} + 343 x^{2} + 60025$$2$$4$$4$$C_4\times C_2$$[\ ]_{2}^{4}$