↑

Properties

Label 40.0.23566017627...5625.2
Degree $40$
Signature $[0, 20]$
Discriminant $3^{20}\cdot 5^{70}\cdot 7^{20}$
Root discriminant $76.61$
Ramified primes $3, 5, 7$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_2\times C_{20}$ (as 40T2)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![160801, 3440580, 79872000, -59831420, 964792600, -1520467971, 9859544360, -14898545200, 36511599630, -33262310400, 58711819680, -38642127260, 62111345600, -30216401600, 47090141000, -16844703909, 27443275180, -7107601600, 12597743150, -2298348800, 4665057839, -582311180, 1404165600, -115196290, 346655600, -17908429, 70128960, -2147200, 11635630, -195800, 1568160, -12760, 170000, -550, 14400, -11, 920, 0, 40, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 + 40*x^38 + 920*x^36 - 11*x^35 + 14400*x^34 - 550*x^33 + 170000*x^32 - 12760*x^31 + 1568160*x^30 - 195800*x^29 + 11635630*x^28 - 2147200*x^27 + 70128960*x^26 - 17908429*x^25 + 346655600*x^24 - 115196290*x^23 + 1404165600*x^22 - 582311180*x^21 + 4665057839*x^20 - 2298348800*x^19 + 12597743150*x^18 - 7107601600*x^17 + 27443275180*x^16 - 16844703909*x^15 + 47090141000*x^14 - 30216401600*x^13 + 62111345600*x^12 - 38642127260*x^11 + 58711819680*x^10 - 33262310400*x^9 + 36511599630*x^8 - 14898545200*x^7 + 9859544360*x^6 - 1520467971*x^5 + 964792600*x^4 - 59831420*x^3 + 79872000*x^2 + 3440580*x + 160801)
 
gp: K = bnfinit(x^40 + 40*x^38 + 920*x^36 - 11*x^35 + 14400*x^34 - 550*x^33 + 170000*x^32 - 12760*x^31 + 1568160*x^30 - 195800*x^29 + 11635630*x^28 - 2147200*x^27 + 70128960*x^26 - 17908429*x^25 + 346655600*x^24 - 115196290*x^23 + 1404165600*x^22 - 582311180*x^21 + 4665057839*x^20 - 2298348800*x^19 + 12597743150*x^18 - 7107601600*x^17 + 27443275180*x^16 - 16844703909*x^15 + 47090141000*x^14 - 30216401600*x^13 + 62111345600*x^12 - 38642127260*x^11 + 58711819680*x^10 - 33262310400*x^9 + 36511599630*x^8 - 14898545200*x^7 + 9859544360*x^6 - 1520467971*x^5 + 964792600*x^4 - 59831420*x^3 + 79872000*x^2 + 3440580*x + 160801, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} + 40 x^{38} + 920 x^{36} - 11 x^{35} + 14400 x^{34} - 550 x^{33} + 170000 x^{32} - 12760 x^{31} + 1568160 x^{30} - 195800 x^{29} + 11635630 x^{28} - 2147200 x^{27} + 70128960 x^{26} - 17908429 x^{25} + 346655600 x^{24} - 115196290 x^{23} + 1404165600 x^{22} - 582311180 x^{21} + 4665057839 x^{20} - 2298348800 x^{19} + 12597743150 x^{18} - 7107601600 x^{17} + 27443275180 x^{16} - 16844703909 x^{15} + 47090141000 x^{14} - 30216401600 x^{13} + 62111345600 x^{12} - 38642127260 x^{11} + 58711819680 x^{10} - 33262310400 x^{9} + 36511599630 x^{8} - 14898545200 x^{7} + 9859544360 x^{6} - 1520467971 x^{5} + 964792600 x^{4} - 59831420 x^{3} + 79872000 x^{2} + 3440580 x + 160801 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 20]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(2356601762749139913517942415268160462338276062155273393727838993072509765625=3^{20}\cdot 5^{70}\cdot 7^{20}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $76.61$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 5, 7$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(525=3\cdot 5^{2}\cdot 7\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{525}(1,·)$, $\chi_{525}(386,·)$, $\chi_{525}(517,·)$, $\chi_{525}(134,·)$, $\chi_{525}(13,·)$, $\chi_{525}(398,·)$, $\chi_{525}(272,·)$, $\chi_{525}(274,·)$, $\chi_{525}(281,·)$, $\chi_{525}(412,·)$, $\chi_{525}(29,·)$, $\chi_{525}(293,·)$, $\chi_{525}(167,·)$, $\chi_{525}(169,·)$, $\chi_{525}(176,·)$, $\chi_{525}(433,·)$, $\chi_{525}(307,·)$, $\chi_{525}(188,·)$, $\chi_{525}(62,·)$, $\chi_{525}(64,·)$, $\chi_{525}(449,·)$, $\chi_{525}(71,·)$, $\chi_{525}(328,·)$, $\chi_{525}(202,·)$, $\chi_{525}(83,·)$, $\chi_{525}(344,·)$, $\chi_{525}(223,·)$, $\chi_{525}(97,·)$, $\chi_{525}(482,·)$, $\chi_{525}(484,·)$, $\chi_{525}(316,·)$, $\chi_{525}(106,·)$, $\chi_{525}(491,·)$, $\chi_{525}(239,·)$, $\chi_{525}(211,·)$, $\chi_{525}(421,·)$, $\chi_{525}(118,·)$, $\chi_{525}(503,·)$, $\chi_{525}(377,·)$, $\chi_{525}(379,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $\frac{1}{4049} a^{26} + \frac{90}{4049} a^{25} + \frac{28}{4049} a^{24} + \frac{1980}{4049} a^{23} + \frac{464}{4049} a^{22} + \frac{457}{4049} a^{21} + \frac{935}{4049} a^{20} + \frac{1233}{4049} a^{19} - \frac{1466}{4049} a^{18} - \frac{1465}{4049} a^{17} + \frac{217}{4049} a^{16} - \frac{216}{4049} a^{15} - \frac{1132}{4049} a^{14} + \frac{1715}{4049} a^{13} - \frac{1261}{4049} a^{12} - \frac{1803}{4049} a^{11} - \frac{1883}{4049} a^{10} + \frac{1482}{4049} a^{9} + \frac{44}{4049} a^{8} - \frac{701}{4049} a^{7} - \frac{1683}{4049} a^{6} - \frac{1337}{4049} a^{5} - \frac{1340}{4049} a^{4} - \frac{1314}{4049} a^{3} - \frac{820}{4049} a^{2} + \frac{657}{4049} a + \frac{376}{4049}$, $\frac{1}{4049} a^{27} + \frac{26}{4049} a^{25} - \frac{540}{4049} a^{24} + \frac{420}{4049} a^{23} - \frac{813}{4049} a^{22} + \frac{295}{4049} a^{21} - \frac{1937}{4049} a^{20} + \frac{936}{4049} a^{19} + \frac{907}{4049} a^{18} - \frac{1550}{4049} a^{17} + \frac{499}{4049} a^{16} - \frac{1937}{4049} a^{15} - \frac{1679}{4049} a^{14} - \frac{1749}{4049} a^{13} - \frac{1685}{4049} a^{12} - \frac{1573}{4049} a^{11} + \frac{894}{4049} a^{10} + \frac{281}{4049} a^{9} - \frac{612}{4049} a^{8} + \frac{672}{4049} a^{7} + \frac{320}{4049} a^{6} + \frac{1569}{4049} a^{5} + \frac{1865}{4049} a^{4} + \frac{19}{4049} a^{3} + \frac{1575}{4049} a^{2} + \frac{1981}{4049} a - \frac{1448}{4049}$, $\frac{1}{4049} a^{28} + \frac{1169}{4049} a^{25} - \frac{308}{4049} a^{24} + \frac{344}{4049} a^{23} + \frac{378}{4049} a^{22} - \frac{1672}{4049} a^{21} + \frac{920}{4049} a^{20} + \frac{1241}{4049} a^{19} + \frac{125}{4049} a^{18} - \frac{1901}{4049} a^{17} + \frac{519}{4049} a^{16} - \frac{112}{4049} a^{15} - \frac{660}{4049} a^{14} - \frac{1736}{4049} a^{13} - \frac{1179}{4049} a^{12} - \frac{816}{4049} a^{11} + \frac{651}{4049} a^{10} + \frac{1346}{4049} a^{9} - \frac{472}{4049} a^{8} - \frac{1699}{4049} a^{7} + \frac{788}{4049} a^{6} + \frac{186}{4049} a^{5} - \frac{1582}{4049} a^{4} - \frac{702}{4049} a^{3} - \frac{993}{4049} a^{2} + \frac{1715}{4049} a - \frac{1678}{4049}$, $\frac{1}{4049} a^{29} - \frac{244}{4049} a^{25} + \frac{4}{4049} a^{24} + \frac{1786}{4049} a^{23} - \frac{1522}{4049} a^{22} + \frac{1155}{4049} a^{21} + \frac{1456}{4049} a^{20} + \frac{192}{4049} a^{19} - \frac{874}{4049} a^{18} + \frac{377}{4049} a^{17} + \frac{1302}{4049} a^{16} + \frac{806}{4049} a^{15} + \frac{1598}{4049} a^{14} - \frac{1759}{4049} a^{13} - \frac{543}{4049} a^{12} - \frac{1171}{4049} a^{11} - \frac{83}{4049} a^{10} + \frac{42}{4049} a^{9} - \frac{498}{4049} a^{8} - \frac{1690}{4049} a^{7} - \frac{201}{4049} a^{6} - \frac{1543}{4049} a^{5} - \frac{1205}{4049} a^{4} + \frac{502}{4049} a^{3} + \frac{682}{4049} a^{2} - \frac{401}{4049} a + \frac{1797}{4049}$, $\frac{1}{4049} a^{30} + \frac{1719}{4049} a^{25} + \frac{520}{4049} a^{24} - \frac{233}{4049} a^{23} + \frac{999}{4049} a^{22} - \frac{408}{4049} a^{21} + \frac{1588}{4049} a^{20} + \frac{352}{4049} a^{19} - \frac{1015}{4049} a^{18} + \frac{154}{4049} a^{17} + \frac{1117}{4049} a^{16} + \frac{1531}{4049} a^{15} + \frac{1414}{4049} a^{14} + \frac{870}{4049} a^{13} - \frac{1131}{4049} a^{12} + \frac{1326}{4049} a^{11} - \frac{1873}{4049} a^{10} + \frac{749}{4049} a^{9} + \frac{948}{4049} a^{8} - \frac{1187}{4049} a^{7} + \frac{803}{4049} a^{6} + \frac{536}{4049} a^{5} + \frac{1511}{4049} a^{4} - \frac{63}{4049} a^{3} + \frac{1969}{4049} a^{2} + \frac{145}{4049} a - \frac{1383}{4049}$, $\frac{1}{4049} a^{31} - \frac{328}{4049} a^{25} + \frac{223}{4049} a^{24} - \frac{1461}{4049} a^{23} - \frac{371}{4049} a^{22} + \frac{1511}{4049} a^{21} + \frac{540}{4049} a^{20} + \frac{1134}{4049} a^{19} + \frac{1730}{4049} a^{18} + \frac{974}{4049} a^{17} + \frac{1016}{4049} a^{16} + \frac{210}{4049} a^{15} - \frac{791}{4049} a^{14} - \frac{1544}{4049} a^{13} - \frac{1279}{4049} a^{12} - \frac{1}{4049} a^{11} - \frac{1574}{4049} a^{10} + \frac{211}{4049} a^{9} + \frac{108}{4049} a^{8} - \frac{780}{4049} a^{7} - \frac{1422}{4049} a^{6} - \frac{18}{4049} a^{5} - \frac{484}{4049} a^{4} + \frac{1393}{4049} a^{3} + \frac{673}{4049} a^{2} - \frac{1095}{4049} a + \frac{1496}{4049}$, $\frac{1}{4049} a^{32} + \frac{1400}{4049} a^{25} - \frac{375}{4049} a^{24} + \frac{1229}{4049} a^{23} - \frac{159}{4049} a^{22} + \frac{623}{4049} a^{21} + \frac{90}{4049} a^{20} + \frac{1254}{4049} a^{19} + \frac{1957}{4049} a^{18} - \frac{1722}{4049} a^{17} - \frac{1496}{4049} a^{16} + \frac{1243}{4049} a^{15} - \frac{332}{4049} a^{14} - \frac{1570}{4049} a^{13} - \frac{611}{4049} a^{12} - \frac{1804}{4049} a^{11} - \frac{1965}{4049} a^{10} + \frac{324}{4049} a^{9} + \frac{1505}{4049} a^{8} - \frac{557}{4049} a^{7} - \frac{1378}{4049} a^{6} - \frac{1728}{4049} a^{5} - \frac{835}{4049} a^{4} - \frac{1125}{4049} a^{3} + \frac{1228}{4049} a^{2} - \frac{1654}{4049} a + \frac{1858}{4049}$, $\frac{1}{4049} a^{33} - \frac{856}{4049} a^{25} - \frac{1530}{4049} a^{24} + \frac{1406}{4049} a^{23} - \frac{1137}{4049} a^{22} + \frac{32}{4049} a^{21} + \frac{81}{4049} a^{20} + \frac{631}{4049} a^{19} + \frac{1884}{4049} a^{18} + \frac{710}{4049} a^{17} + \frac{1118}{4049} a^{16} - \frac{1607}{4049} a^{15} + \frac{71}{4049} a^{14} - \frac{554}{4049} a^{13} - \frac{1768}{4049} a^{12} - \frac{292}{4049} a^{11} + \frac{625}{4049} a^{10} - \frac{207}{4049} a^{9} - \frac{1422}{4049} a^{8} + \frac{164}{4049} a^{7} + \frac{2003}{4049} a^{6} + \frac{327}{4049} a^{5} + \frac{188}{4049} a^{4} - \frac{1467}{4049} a^{3} + \frac{479}{4049} a^{2} + \frac{1181}{4049} a - \frac{30}{4049}$, $\frac{1}{4049} a^{34} - \frac{1421}{4049} a^{25} + \frac{1080}{4049} a^{24} + \frac{1261}{4049} a^{23} + \frac{414}{4049} a^{22} - \frac{1480}{4049} a^{21} - \frac{711}{4049} a^{20} + \frac{543}{4049} a^{19} + \frac{1004}{4049} a^{18} - \frac{1781}{4049} a^{17} + \frac{1940}{4049} a^{16} + \frac{1429}{4049} a^{15} - \frac{1835}{4049} a^{14} + \frac{534}{4049} a^{13} + \frac{1375}{4049} a^{12} - \frac{74}{4049} a^{11} - \frac{553}{4049} a^{10} - \frac{167}{4049} a^{9} + \frac{1387}{4049} a^{8} + \frac{1199}{4049} a^{7} + \frac{1123}{4049} a^{6} + \frac{1583}{4049} a^{5} + \frac{1409}{4049} a^{4} + \frac{1317}{4049} a^{3} - \frac{262}{4049} a^{2} - \frac{449}{4049} a + \frac{1985}{4049}$, $\frac{1}{4049} a^{35} - \frac{598}{4049} a^{25} + \frac{559}{4049} a^{24} - \frac{61}{4049} a^{23} + \frac{1926}{4049} a^{22} + \frac{846}{4049} a^{21} + \frac{1106}{4049} a^{20} - \frac{120}{4049} a^{19} + \frac{268}{4049} a^{18} + \frac{1361}{4049} a^{17} - \frac{1987}{4049} a^{16} - \frac{1047}{4049} a^{15} - \frac{585}{4049} a^{14} + \frac{892}{4049} a^{13} + \frac{1752}{4049} a^{12} + \frac{401}{4049} a^{11} + \frac{479}{4049} a^{10} + \frac{1829}{4049} a^{9} - \frac{1061}{4049} a^{8} + \frac{1056}{4049} a^{7} - \frac{1050}{4049} a^{6} + \frac{513}{4049} a^{5} + \frac{207}{4049} a^{4} - \frac{867}{4049} a^{3} + \frac{443}{4049} a^{2} + \frac{263}{4049} a - \frac{172}{4049}$, $\frac{1}{851678807} a^{36} + \frac{27145}{851678807} a^{35} - \frac{84740}{851678807} a^{34} + \frac{89307}{851678807} a^{33} + \frac{93871}{851678807} a^{32} + \frac{6633}{851678807} a^{31} - \frac{41800}{851678807} a^{30} + \frac{104015}{851678807} a^{29} + \frac{33162}{851678807} a^{28} - \frac{606}{851678807} a^{27} + \frac{77895}{851678807} a^{26} + \frac{320810394}{851678807} a^{25} - \frac{26192500}{851678807} a^{24} + \frac{121230812}{851678807} a^{23} - \frac{375082287}{851678807} a^{22} + \frac{240162199}{851678807} a^{21} - \frac{222614933}{851678807} a^{20} - \frac{164708771}{851678807} a^{19} - \frac{413214462}{851678807} a^{18} - \frac{29718476}{851678807} a^{17} - \frac{122893861}{851678807} a^{16} - \frac{342122325}{851678807} a^{15} - \frac{240833473}{851678807} a^{14} - \frac{297127134}{851678807} a^{13} + \frac{64393857}{851678807} a^{12} + \frac{243795764}{851678807} a^{11} - \frac{421450622}{851678807} a^{10} + \frac{275280933}{851678807} a^{9} + \frac{8197588}{121668401} a^{8} - \frac{322209518}{851678807} a^{7} + \frac{364915864}{851678807} a^{6} - \frac{78854785}{851678807} a^{5} + \frac{90399329}{851678807} a^{4} + \frac{292374143}{851678807} a^{3} + \frac{152058246}{851678807} a^{2} + \frac{233671997}{851678807} a + \frac{327533140}{851678807}$, $\frac{1}{851678807} a^{37} - \frac{104236}{851678807} a^{35} + \frac{45559}{851678807} a^{34} + \frac{58431}{851678807} a^{33} - \frac{26560}{851678807} a^{32} - \frac{40977}{851678807} a^{31} - \frac{35470}{851678807} a^{30} - \frac{19924}{851678807} a^{29} + \frac{84944}{851678807} a^{28} - \frac{89332}{851678807} a^{27} - \frac{54620}{851678807} a^{26} - \frac{207941219}{851678807} a^{25} + \frac{133955239}{851678807} a^{24} - \frac{289729373}{851678807} a^{23} - \frac{411963456}{851678807} a^{22} - \frac{156370800}{851678807} a^{21} - \frac{381632620}{851678807} a^{20} + \frac{8645155}{851678807} a^{19} - \frac{38151480}{121668401} a^{18} - \frac{73747208}{851678807} a^{17} - \frac{187823431}{851678807} a^{16} + \frac{205020202}{851678807} a^{15} - \frac{66017282}{851678807} a^{14} + \frac{45432225}{121668401} a^{13} - \frac{52882174}{851678807} a^{12} - \frac{1788802}{4279793} a^{11} - \frac{110840150}{851678807} a^{10} - \frac{19826691}{851678807} a^{9} + \frac{169054675}{851678807} a^{8} + \frac{293310854}{851678807} a^{7} - \frac{281923317}{851678807} a^{6} - \frac{329146345}{851678807} a^{5} - \frac{386564461}{851678807} a^{4} - \frac{117808185}{851678807} a^{3} - \frac{405800952}{851678807} a^{2} - \frac{214987903}{851678807} a - \frac{189301983}{851678807}$, $\frac{1}{3874286893043} a^{38} + \frac{944}{3874286893043} a^{37} + \frac{636}{3874286893043} a^{36} + \frac{68206709}{3874286893043} a^{35} + \frac{465362998}{3874286893043} a^{34} + \frac{153013085}{3874286893043} a^{33} - \frac{225393727}{3874286893043} a^{32} + \frac{358211158}{3874286893043} a^{31} + \frac{120786678}{3874286893043} a^{30} + \frac{351984497}{3874286893043} a^{29} - \frac{444543536}{3874286893043} a^{28} - \frac{29457353}{553469556149} a^{27} + \frac{82849254}{3874286893043} a^{26} + \frac{385577897338}{3874286893043} a^{25} + \frac{1910074286745}{3874286893043} a^{24} + \frac{566255440711}{3874286893043} a^{23} - \frac{695965766620}{3874286893043} a^{22} - \frac{217249419661}{3874286893043} a^{21} + \frac{1320256573023}{3874286893043} a^{20} + \frac{1598377640340}{3874286893043} a^{19} + \frac{1584232516863}{3874286893043} a^{18} + \frac{944339627132}{3874286893043} a^{17} - \frac{139724924992}{3874286893043} a^{16} + \frac{141103419528}{3874286893043} a^{15} - \frac{126661575049}{553469556149} a^{14} + \frac{531120689964}{3874286893043} a^{13} - \frac{274833001221}{553469556149} a^{12} + \frac{1423801693417}{3874286893043} a^{11} - \frac{1104167796248}{3874286893043} a^{10} + \frac{1186987636801}{3874286893043} a^{9} - \frac{327383010733}{3874286893043} a^{8} + \frac{1455820835183}{3874286893043} a^{7} - \frac{1214202977388}{3874286893043} a^{6} - \frac{1267819545184}{3874286893043} a^{5} - \frac{271772701943}{553469556149} a^{4} + \frac{1380595688792}{3874286893043} a^{3} + \frac{1384652053469}{3874286893043} a^{2} + \frac{838550100776}{3874286893043} a - \frac{1328239642854}{3874286893043}$, $\frac{1}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{39} - \frac{32787412382343371068553853715364089657865465910302805576693868766811943511047446333836336428358528510023623390317312}{5100035956690258359891476556433817041038205226126281226382019333477829587785911358280661310344909169697777664991358020444232240357} a^{38} - \frac{27035862757664293203530501391126781479453291295098486338002632843970445938290152383207807152003604895564567212100939469044}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{37} + \frac{10591463210903504799025470929436831712629470044853661742273397213622149854918925385780982941956066118828813443396622174}{5100035956690258359891476556433817041038205226126281226382019333477829587785911358280661310344909169697777664991358020444232240357} a^{36} - \frac{225883800313660113876149314271831537499403679906315447053054249838045777302372858040028162022168689907558321443809134424595443367}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{35} - \frac{70370240866658293173661295134848416085641046583156430098801473006379393219759080645177329685154142037267378245278585692504946072}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{34} - \frac{41844695334983979306329767369643607249502477481607315149353474464577096852382635945513700178363294946010406775370737683157291356}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{33} - \frac{201208712813581557091972459267601820683315450911848957820685316801312471193571958307107508961021115119601524828800603727112630926}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{32} + \frac{181018977616504106681526333057658881898578309416563474842684621225489239769209159361629178850172066116837106554841190388900489706}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{31} + \frac{513773946158650963678213397308032565153531664660311383267281589767150974947787927967663206482209657001545270085158273626660517}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{30} - \frac{107316505806248870802417791630121969337337989646677377910764831217780259872257909136191537548628955248355635299535109446840229566}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{29} + \frac{22949654395929651438677048884943398878347752062822941593908740994142578982983685746971326620811179955499272385218902822185308916}{292159202661827657473783157018565804779474327953805538825598536103515666386021493524363597921186939578401263380219223742591018340451} a^{28} + \frac{134804386588931482158522639832385010784264960077237792072915189302599083081230569844832958879245185680463579196016385051981201061}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{27} + \frac{22185508817351734548384891882708174195073654238143840569189008809236186218871275045257571489184076902653841607227856062727974068}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{26} - \frac{606368718686194074858123129127411682638540939288158730041204422191141202731517387091797976531106227532210601753615132007696481869959}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{25} - \frac{1845144785273469038775501176127034436265429956043608026492643702125783063180296017160496966671354654692413529059749667988766953442}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{24} + \frac{24893317144171779861020089161828907827467630438867951979713795424413106258395016511174006096893610510337396531028252221895884631848}{292159202661827657473783157018565804779474327953805538825598536103515666386021493524363597921186939578401263380219223742591018340451} a^{23} - \frac{992656108471198634008945409148517981655947238016619974418548409887562062584228586528695180478456994905293535569939671123494187093106}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{22} + \frac{29873588500722372788195489695430227213699637167336818857748334743962684547285960400262040642965088797664933736181075740938675213988}{292159202661827657473783157018565804779474327953805538825598536103515666386021493524363597921186939578401263380219223742591018340451} a^{21} + \frac{44077174393126164109726432016559670548176411334016106257679955704850370515186568663608106052784138378058052696374528481868234232039}{292159202661827657473783157018565804779474327953805538825598536103515666386021493524363597921186939578401263380219223742591018340451} a^{20} - \frac{760207232366443021044977674171369040278986959324245712253234439944168767058132076194639090555031357790336256095928976246764727354926}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{19} - \frac{86250613877623591062269138069474675793660183914281199617201262114864935528684783576345070936043224879054009507439727396407561938506}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{18} + \frac{235735873553968045197678165361405902569959153332149928310856733723548597256762652201996924110421028848467630076179759995429465939411}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{17} + \frac{265123417030916136927316485705965357957784634625409677355639839557551392602160522468665249387909075097955018484017034739183008792293}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{16} - \frac{570844873186112959767801109046111865324286059148267210907841791342097702919408891845115728456491136188967912897160416269130376034780}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{15} + \frac{1008079181971121685154390297635040019536581331218111620537784418373756845329595954486419973562936778891071543345664333648708966345328}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{14} - \frac{859732221373301653641623374721106129697493046898096016832434858958814029685009177181429355386652365013746706990307664513323016306374}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{13} + \frac{8514263253348732858310857824251906725687957669476616554084082440529766462575079643905847958855578742390338369979850067868339167170}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{12} - \frac{1007244544772285664341168894891418168333773778159021504827331814623472205165204178414623530685023305841416361398874557856697690104230}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{11} - \frac{896019033480515850702881556314766563781479071304034360526311119727575637121016021064994547257673679270317366199156980483591160703697}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{10} + \frac{253211497243989646409160033815421896146773246064687094434134303017066248867181836912849518004463315680240131052065660555525070378974}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{9} + \frac{508908322427869299400427377760599824748591498652396397269759294270784405988082749701028549566260170325497625761964305041140604142648}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{8} + \frac{482089369540981702382120420985069224643601162671472677393260179918552228834203458348141006329638707358098326698789432009272108331179}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{7} - \frac{948062565912199841180198483727692787520692526097044695974233946686532380000379413194083861755470470710755209949065551254890757965861}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{6} - \frac{525196108998604254695046512075821582222459877569549216384198085092485650821687651652896574191870021044938764260681705357652120399869}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{5} - \frac{517131593395717072723922162690482238489313166825229159829440823353535226585130935543444983815541225728351558997353330425312560594024}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{4} - \frac{107191632828270859598575658105991821752863571425644744292843695505574961304355224758696052329246977135997710983149543553515347979587}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{3} - \frac{666054074536144016602855859867007908346245862608009374219165839347585209647847332981593137231665749876034555900584890039245505895730}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a^{2} + \frac{32381728507741636071141720141978603510723297087306887263224972808683602945184805216872498105365075096960451546490019091668113602573}{2045114418632793602316482099129960633456320295676638771779189752724609664702150454670545185448308577048808843661534566198137128383157} a + \frac{1575956483311630742984308635957970984911593662024806886470917606640744074938039237611859941696974393499171923498645557710834762645}{5100035956690258359891476556433817041038205226126281226382019333477829587785911358280661310344909169697777664991358020444232240357}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $19$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( \frac{139290802773234642333139972003838975345013459438916045709672208114558556530036719470233073892659379398933060785294901989000}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{39} + \frac{1874127969713485871732366041646174761196257563633543207642348147594448551520549681306450564830807954864090972815301850}{1259579144650594803628420982077998775262584644634794079126208775865109801873527132200706670868093151320765044453286742515246293} a^{38} + \frac{5570305011825920584291791705256737684040465628065201789758282199220002284317576648313124265795447275580876171699229842094000}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{37} + \frac{73706476040364793563004193408201214158046233041381190772244902264574661741612056394273377625438085226381371859119574200}{1259579144650594803628420982077998775262584644634794079126208775865109801873527132200706670868093151320765044453286742515246293} a^{36} + \frac{128094634281297405834329512692159960434210467853505955325366085891071759061351990950384841319342920006550487629050393324680320}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{35} - \frac{861025663134403918944562829717336779214785322347521752156469973223569425023757043672616570924048341984462225608846139371000}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{34} + \frac{2004565495085642191448162576803733134037980008048639728138242338236055439913312016452782426484604978961011507382199783148062850}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{33} - \frac{66239310408470463608119604043277566526801616231551518614691679341412156414750223327267651573126908508179422932409269740210000}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{32} + \frac{23660081591993958098058103962115867691515307901407370279603973287812168078051333247858318862276781376608230977767454171553161900}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{31} - \frac{1656166924087304649374087699343539213134771713601280760352642627057137253457531602983103226357557099162050358538086779775812160}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{30} + \frac{218197884456283465545608938778254048216948248973057369215617820063156317294170438764310901271588591283534112307206588247805962000}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{29} - \frac{26164133335549757889070147168085598990645899964142912437498806829089684126584607866913364123945763078820918479364720562145787200}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{28} + \frac{231220602531506026796317841890736433482676804031213947887680632788764038422300475325837866142471429434593934266605699310723454000}{72155891000698359464999544830468215554328063214078917961372817017415575793040625716069053574015050525660968975109711964087680499} a^{27} - \frac{41554401744648650082320920218024843594248490508243016692154539660653904808888675913781293763893592914575108681730959250124929100}{72155891000698359464999544830468215554328063214078917961372817017415575793040625716069053574015050525660968975109711964087680499} a^{26} + \frac{9751635702661664514678963889480036882364048367618425689398695790726858198347516687931200849297664668902392658558551082429634912543}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{25} - \frac{2444888421690917024419716029990383833337687952946481008918354581265293565702104851832182991559795716218765827002224821153827475000}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{24} + \frac{242123151200258836005800404947406332506269306133538958421602144275271723022580834426666248986156783547594853363177439297591994050}{2538146919622555358065310622177273913971338907027901636832209643828688595735097386997403894563343485827270265456120521349817907} a^{23} - \frac{15797660518257796549971993108305334728686852498470186063115244663103113804988582006397401797685059250343698469015831513261196600000}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{22} + \frac{195061824212538706949985468179719683670367173433229868718509833557011652084922621401499943269710650818463336896661655696528755209100}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{21} - \frac{80082780249229696378224422935625223336018569668506225431114120598634000225323791165064878281893904949922295133020005747314081928480}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{20} + \frac{92516549500979575827874523594554839155934331965540895864783004946849633885296710782337271315967415609198110998750704462252709003000}{72155891000698359464999544830468215554328063214078917961372817017415575793040625716069053574015050525660968975109711964087680499} a^{19} - \frac{316599256552989998902312935573962669239967984821526598345673338519365052738004957222774444704026780602661945094564334989122577498650}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{18} + \frac{1747362972625212530662413833073864845001464548808086567343037436543578904304357977896697212004666570135073267414431487822503098482000}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{17} - \frac{979999538920206978780864171971903409975965503528045674342848319004169537117950913015110059761550903806918170449063754870026265411900}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{16} + \frac{543211093283176992839236553288325429986887783174836436846677023877768082785024735528894488871344400522993517353261583920068533035040}{72155891000698359464999544830468215554328063214078917961372817017415575793040625716069053574015050525660968975109711964087680499} a^{15} - \frac{331874558112161308224112985112688357318708591946273336720117242331186395432707098882726440357296201887402892534120775239015445122000}{72155891000698359464999544830468215554328063214078917961372817017415575793040625716069053574015050525660968975109711964087680499} a^{14} + \frac{930830881600135253388573443520742298031599190385862478152708383662389016985840408688042804612139649024340898400690682698002442081650}{72155891000698359464999544830468215554328063214078917961372817017415575793040625716069053574015050525660968975109711964087680499} a^{13} - \frac{595206036137323939782634303488265304883193421542205701772145468361485730783855595626575281449588333759719471239028356862350869246000}{72155891000698359464999544830468215554328063214078917961372817017415575793040625716069053574015050525660968975109711964087680499} a^{12} + \frac{8579303263097196522118418965395352744490345116475880299866759970069532363430125118907359540062569511841279960198885890953238365647800}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{11} - \frac{5322753588216540327879193557430583219713002118797067923633291485876945009649465827341397891564036846134632680241540949624907941659200}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{10} + \frac{1155607159075155059216671665951480596962093858354258948095290354457237791584277013368999612933801575741140909653100216460526258757000}{72155891000698359464999544830468215554328063214078917961372817017415575793040625716069053574015050525660968975109711964087680499} a^{9} - \frac{653509568379860574858856628306818747724744781721619731267997751919835572555985205776469169703576366622873724775368730308989195276800}{72155891000698359464999544830468215554328063214078917961372817017415575793040625716069053574015050525660968975109711964087680499} a^{8} + \frac{5011736137122611308744624393191096641262623218303391200367683645735735850839743227445622556315616801354241223976976135373759642588000}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{7} - \frac{2039767042202459398702133578252308566164706273914414422473372184502435500469948227632391515997476242177525639904652125715012897423700}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{6} + \frac{1338638349122279274010921378497486409479015956022996432863010257038503166057161399737990930717465987567244545578735140216233412341760}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{5} - \frac{207942009211671664093966007789526216050913191779179477959977553437315059941414690454944328616235304236007673324095683369463432423000}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{4} + \frac{131968230375128012633463184691222750524887187452392467227292334144260150425996699676843857455509602876937874764107140463192106095250}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{3} - \frac{12376014738004425738065693384472232614869410983307129357950847997030211224229502961305302536534906493160827397128074690387715276000}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a^{2} + \frac{10906229031259641535866076517866306004219875946948822315716926664549807513088220154882057553932885527141216912604824159285071506800}{505091237004888516254996813813277508880296442498552425729609719121909030551284380012483375018105353679626782825767983748613763493} a + \frac{1171515228342843230458163527310730232633222459633493193816115528322428056146149679055950219971883945578124970079013605116492373}{1259579144650594803628420982077998775262584644634794079126208775865109801873527132200706670868093151320765044453286742515246293} \) (order $6$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_2\times C_{20}$ (as 40T2):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{20}$
Character table for $C_2\times C_{20}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-3}) \), \(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\sqrt{-15}) \), \(\Q(\sqrt{-3}, \sqrt{5})\), 4.0.55125.1, 4.4.6125.1, 5.5.390625.1, 8.0.3038765625.1, 10.0.37078857421875.1, \(\Q(\zeta_{25})^+\), 10.0.185394287109375.1, 20.0.34371041692793369293212890625.1, 20.0.48544842802805942483246326446533203125.1, 20.20.822111175511963665485382080078125.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $20^{2}$ R R R ${\href{/LocalNumberField/11.10.0.1}{10} }^{4}$ $20^{2}$ $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/19.5.0.1}{5} }^{8}$ $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/29.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/31.10.0.1}{10} }^{4}$ $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/41.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/43.4.0.1}{4} }^{10}$ $20^{2}$ $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/59.10.0.1}{10} }^{4}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
5Data not computed
$7$7.4.2.2$x^{4} - 7 x^{2} + 147$$2$$2$$2$$C_4$$[\ ]_{2}^{2}$
7.4.2.2$x^{4} - 7 x^{2} + 147$$2$$2$$2$$C_4$$[\ ]_{2}^{2}$
7.4.2.2$x^{4} - 7 x^{2} + 147$$2$$2$$2$$C_4$$[\ ]_{2}^{2}$
7.4.2.2$x^{4} - 7 x^{2} + 147$$2$$2$$2$$C_4$$[\ ]_{2}^{2}$
7.4.2.2$x^{4} - 7 x^{2} + 147$$2$$2$$2$$C_4$$[\ ]_{2}^{2}$
7.4.2.2$x^{4} - 7 x^{2} + 147$$2$$2$$2$$C_4$$[\ ]_{2}^{2}$
7.4.2.2$x^{4} - 7 x^{2} + 147$$2$$2$$2$$C_4$$[\ ]_{2}^{2}$
7.4.2.2$x^{4} - 7 x^{2} + 147$$2$$2$$2$$C_4$$[\ ]_{2}^{2}$
7.4.2.2$x^{4} - 7 x^{2} + 147$$2$$2$$2$$C_4$$[\ ]_{2}^{2}$
7.4.2.2$x^{4} - 7 x^{2} + 147$$2$$2$$2$$C_4$$[\ ]_{2}^{2}$