↑

Properties

Label 40.0.15690141325...5625.1
Degree $40$
Signature $[0, 20]$
Discriminant $5^{30}\cdot 7^{20}\cdot 11^{32}$
Root discriminant $60.24$
Ramified primes $5, 7, 11$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_2\times C_{20}$ (as 40T2)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1048576, -1572864, -4718592, 17432576, -1048576, 86966272, -96944128, -551878656, 1464213504, 916971520, -1301196800, -994491904, 809304320, -301074432, -458037312, 551628320, 362849376, -339047952, -122648476, 108753318, 34263783, -1446413, -13472506, -4718023, 4678770, 1164448, -944653, -66478, 133166, -44916, -11046, 9239, 987, -768, -359, -41, 84, 20, -13, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - x^39 - 13*x^38 + 20*x^37 + 84*x^36 - 41*x^35 - 359*x^34 - 768*x^33 + 987*x^32 + 9239*x^31 - 11046*x^30 - 44916*x^29 + 133166*x^28 - 66478*x^27 - 944653*x^26 + 1164448*x^25 + 4678770*x^24 - 4718023*x^23 - 13472506*x^22 - 1446413*x^21 + 34263783*x^20 + 108753318*x^19 - 122648476*x^18 - 339047952*x^17 + 362849376*x^16 + 551628320*x^15 - 458037312*x^14 - 301074432*x^13 + 809304320*x^12 - 994491904*x^11 - 1301196800*x^10 + 916971520*x^9 + 1464213504*x^8 - 551878656*x^7 - 96944128*x^6 + 86966272*x^5 - 1048576*x^4 + 17432576*x^3 - 4718592*x^2 - 1572864*x + 1048576)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - x^39 - 13*x^38 + 20*x^37 + 84*x^36 - 41*x^35 - 359*x^34 - 768*x^33 + 987*x^32 + 9239*x^31 - 11046*x^30 - 44916*x^29 + 133166*x^28 - 66478*x^27 - 944653*x^26 + 1164448*x^25 + 4678770*x^24 - 4718023*x^23 - 13472506*x^22 - 1446413*x^21 + 34263783*x^20 + 108753318*x^19 - 122648476*x^18 - 339047952*x^17 + 362849376*x^16 + 551628320*x^15 - 458037312*x^14 - 301074432*x^13 + 809304320*x^12 - 994491904*x^11 - 1301196800*x^10 + 916971520*x^9 + 1464213504*x^8 - 551878656*x^7 - 96944128*x^6 + 86966272*x^5 - 1048576*x^4 + 17432576*x^3 - 4718592*x^2 - 1572864*x + 1048576, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - x^{39} - 13 x^{38} + 20 x^{37} + 84 x^{36} - 41 x^{35} - 359 x^{34} - 768 x^{33} + 987 x^{32} + 9239 x^{31} - 11046 x^{30} - 44916 x^{29} + 133166 x^{28} - 66478 x^{27} - 944653 x^{26} + 1164448 x^{25} + 4678770 x^{24} - 4718023 x^{23} - 13472506 x^{22} - 1446413 x^{21} + 34263783 x^{20} + 108753318 x^{19} - 122648476 x^{18} - 339047952 x^{17} + 362849376 x^{16} + 551628320 x^{15} - 458037312 x^{14} - 301074432 x^{13} + 809304320 x^{12} - 994491904 x^{11} - 1301196800 x^{10} + 916971520 x^{9} + 1464213504 x^{8} - 551878656 x^{7} - 96944128 x^{6} + 86966272 x^{5} - 1048576 x^{4} + 17432576 x^{3} - 4718592 x^{2} - 1572864 x + 1048576 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 20]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(156901413259422267514584360713728302021067834330649115145206451416015625=5^{30}\cdot 7^{20}\cdot 11^{32}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $60.24$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 7, 11$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(385=5\cdot 7\cdot 11\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{385}(1,·)$, $\chi_{385}(258,·)$, $\chi_{385}(267,·)$, $\chi_{385}(141,·)$, $\chi_{385}(146,·)$, $\chi_{385}(148,·)$, $\chi_{385}(174,·)$, $\chi_{385}(279,·)$, $\chi_{385}(27,·)$, $\chi_{385}(34,·)$, $\chi_{385}(36,·)$, $\chi_{385}(113,·)$, $\chi_{385}(169,·)$, $\chi_{385}(302,·)$, $\chi_{385}(48,·)$, $\chi_{385}(309,·)$, $\chi_{385}(188,·)$, $\chi_{385}(181,·)$, $\chi_{385}(64,·)$, $\chi_{385}(323,·)$, $\chi_{385}(69,·)$, $\chi_{385}(71,·)$, $\chi_{385}(328,·)$, $\chi_{385}(202,·)$, $\chi_{385}(78,·)$, $\chi_{385}(342,·)$, $\chi_{385}(344,·)$, $\chi_{385}(218,·)$, $\chi_{385}(92,·)$, $\chi_{385}(223,·)$, $\chi_{385}(97,·)$, $\chi_{385}(251,·)$, $\chi_{385}(356,·)$, $\chi_{385}(104,·)$, $\chi_{385}(111,·)$, $\chi_{385}(232,·)$, $\chi_{385}(372,·)$, $\chi_{385}(246,·)$, $\chi_{385}(377,·)$, $\chi_{385}(379,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $\frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{4} a^{22} - \frac{1}{4} a^{21} - \frac{1}{4} a^{20} - \frac{1}{4} a^{17} + \frac{1}{4} a^{16} - \frac{1}{4} a^{14} - \frac{1}{4} a^{13} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{4} a^{8} - \frac{1}{2} a^{6} + \frac{1}{4} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{4} a^{3} - \frac{1}{4} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{8} a^{23} - \frac{1}{8} a^{22} - \frac{1}{8} a^{21} - \frac{1}{8} a^{18} + \frac{1}{8} a^{17} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{8} a^{15} - \frac{1}{8} a^{14} - \frac{1}{4} a^{13} - \frac{1}{4} a^{11} + \frac{1}{4} a^{10} + \frac{3}{8} a^{9} - \frac{1}{4} a^{7} + \frac{1}{8} a^{6} - \frac{1}{4} a^{5} - \frac{1}{8} a^{4} - \frac{1}{8} a^{3} + \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{16} a^{24} - \frac{1}{16} a^{23} - \frac{1}{16} a^{22} - \frac{1}{16} a^{19} - \frac{7}{16} a^{18} + \frac{1}{4} a^{17} - \frac{1}{16} a^{16} - \frac{1}{16} a^{15} - \frac{1}{8} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{8} a^{12} + \frac{1}{8} a^{11} - \frac{5}{16} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} + \frac{3}{8} a^{8} + \frac{1}{16} a^{7} - \frac{1}{8} a^{6} - \frac{1}{16} a^{5} + \frac{7}{16} a^{4} - \frac{3}{8} a^{3}$, $\frac{1}{32} a^{25} - \frac{1}{32} a^{24} - \frac{1}{32} a^{23} + \frac{15}{32} a^{20} + \frac{9}{32} a^{19} - \frac{3}{8} a^{18} + \frac{15}{32} a^{17} + \frac{15}{32} a^{16} - \frac{1}{16} a^{15} + \frac{1}{4} a^{14} + \frac{7}{16} a^{13} - \frac{7}{16} a^{12} - \frac{5}{32} a^{11} + \frac{1}{4} a^{10} + \frac{3}{16} a^{9} + \frac{1}{32} a^{8} - \frac{1}{16} a^{7} + \frac{15}{32} a^{6} + \frac{7}{32} a^{5} - \frac{3}{16} a^{4}$, $\frac{1}{64} a^{26} - \frac{1}{64} a^{25} - \frac{1}{64} a^{24} + \frac{15}{64} a^{21} + \frac{9}{64} a^{20} + \frac{5}{16} a^{19} + \frac{15}{64} a^{18} + \frac{15}{64} a^{17} - \frac{1}{32} a^{16} - \frac{3}{8} a^{15} - \frac{9}{32} a^{14} - \frac{7}{32} a^{13} + \frac{27}{64} a^{12} + \frac{1}{8} a^{11} + \frac{3}{32} a^{10} - \frac{31}{64} a^{9} + \frac{15}{32} a^{8} - \frac{17}{64} a^{7} - \frac{25}{64} a^{6} + \frac{13}{32} a^{5} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{128} a^{27} - \frac{1}{128} a^{26} - \frac{1}{128} a^{25} + \frac{15}{128} a^{22} + \frac{9}{128} a^{21} - \frac{11}{32} a^{20} - \frac{49}{128} a^{19} + \frac{15}{128} a^{18} + \frac{31}{64} a^{17} - \frac{3}{16} a^{16} - \frac{9}{64} a^{15} + \frac{25}{64} a^{14} + \frac{27}{128} a^{13} - \frac{7}{16} a^{12} - \frac{29}{64} a^{11} - \frac{31}{128} a^{10} - \frac{17}{64} a^{9} - \frac{17}{128} a^{8} - \frac{25}{128} a^{7} - \frac{19}{64} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} + \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{256} a^{28} - \frac{1}{256} a^{27} - \frac{1}{256} a^{26} + \frac{15}{256} a^{23} + \frac{9}{256} a^{22} - \frac{11}{64} a^{21} - \frac{49}{256} a^{20} + \frac{15}{256} a^{19} + \frac{31}{128} a^{18} + \frac{13}{32} a^{17} + \frac{55}{128} a^{16} - \frac{39}{128} a^{15} - \frac{101}{256} a^{14} + \frac{9}{32} a^{13} - \frac{29}{128} a^{12} + \frac{97}{256} a^{11} + \frac{47}{128} a^{10} + \frac{111}{256} a^{9} + \frac{103}{256} a^{8} - \frac{19}{128} a^{7} + \frac{1}{4} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} + \frac{1}{8} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{512} a^{29} - \frac{1}{512} a^{28} - \frac{1}{512} a^{27} + \frac{15}{512} a^{24} + \frac{9}{512} a^{23} - \frac{11}{128} a^{22} - \frac{49}{512} a^{21} + \frac{15}{512} a^{20} - \frac{97}{256} a^{19} + \frac{13}{64} a^{18} - \frac{73}{256} a^{17} - \frac{39}{256} a^{16} - \frac{101}{512} a^{15} - \frac{23}{64} a^{14} - \frac{29}{256} a^{13} - \frac{159}{512} a^{12} - \frac{81}{256} a^{11} + \frac{111}{512} a^{10} + \frac{103}{512} a^{9} - \frac{19}{256} a^{8} + \frac{1}{8} a^{7} - \frac{1}{4} a^{6} - \frac{1}{4} a^{5} + \frac{1}{16} a^{4} + \frac{1}{4} a^{3} + \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{1024} a^{30} - \frac{1}{1024} a^{29} - \frac{1}{1024} a^{28} + \frac{15}{1024} a^{25} + \frac{9}{1024} a^{24} - \frac{11}{256} a^{23} - \frac{49}{1024} a^{22} + \frac{15}{1024} a^{21} + \frac{159}{512} a^{20} + \frac{13}{128} a^{19} + \frac{183}{512} a^{18} - \frac{39}{512} a^{17} - \frac{101}{1024} a^{16} - \frac{23}{128} a^{15} + \frac{227}{512} a^{14} - \frac{159}{1024} a^{13} + \frac{175}{512} a^{12} - \frac{401}{1024} a^{11} - \frac{409}{1024} a^{10} + \frac{237}{512} a^{9} - \frac{7}{16} a^{8} - \frac{1}{8} a^{7} - \frac{1}{8} a^{6} - \frac{15}{32} a^{5} + \frac{1}{8} a^{4} + \frac{1}{8} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2048} a^{31} - \frac{1}{2048} a^{30} - \frac{1}{2048} a^{29} + \frac{15}{2048} a^{26} + \frac{9}{2048} a^{25} - \frac{11}{512} a^{24} - \frac{49}{2048} a^{23} + \frac{15}{2048} a^{22} + \frac{159}{1024} a^{21} + \frac{13}{256} a^{20} + \frac{183}{1024} a^{19} - \frac{39}{1024} a^{18} + \frac{923}{2048} a^{17} - \frac{23}{256} a^{16} - \frac{285}{1024} a^{15} + \frac{865}{2048} a^{14} + \frac{175}{1024} a^{13} - \frac{401}{2048} a^{12} + \frac{615}{2048} a^{11} + \frac{237}{1024} a^{10} + \frac{9}{32} a^{9} + \frac{7}{16} a^{8} + \frac{7}{16} a^{7} + \frac{17}{64} a^{6} + \frac{1}{16} a^{5} + \frac{1}{16} a^{4} - \frac{1}{4} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{4096} a^{32} - \frac{1}{4096} a^{31} - \frac{1}{4096} a^{30} + \frac{15}{4096} a^{27} + \frac{9}{4096} a^{26} - \frac{11}{1024} a^{25} - \frac{49}{4096} a^{24} + \frac{15}{4096} a^{23} + \frac{159}{2048} a^{22} + \frac{13}{512} a^{21} - \frac{841}{2048} a^{20} + \frac{985}{2048} a^{19} + \frac{923}{4096} a^{18} + \frac{233}{512} a^{17} - \frac{285}{2048} a^{16} + \frac{865}{4096} a^{15} - \frac{849}{2048} a^{14} + \frac{1647}{4096} a^{13} + \frac{615}{4096} a^{12} - \frac{787}{2048} a^{11} + \frac{9}{64} a^{10} + \frac{7}{32} a^{9} - \frac{9}{32} a^{8} + \frac{17}{128} a^{7} + \frac{1}{32} a^{6} + \frac{1}{32} a^{5} + \frac{3}{8} a^{4} - \frac{1}{4} a^{3} - \frac{1}{4} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{8192} a^{33} - \frac{1}{8192} a^{32} - \frac{1}{8192} a^{31} + \frac{15}{8192} a^{28} + \frac{9}{8192} a^{27} - \frac{11}{2048} a^{26} - \frac{49}{8192} a^{25} + \frac{15}{8192} a^{24} + \frac{159}{4096} a^{23} + \frac{13}{1024} a^{22} - \frac{841}{4096} a^{21} - \frac{1063}{4096} a^{20} + \frac{923}{8192} a^{19} + \frac{233}{1024} a^{18} - \frac{285}{4096} a^{17} - \frac{3231}{8192} a^{16} + \frac{1199}{4096} a^{15} - \frac{2449}{8192} a^{14} - \frac{3481}{8192} a^{13} - \frac{787}{4096} a^{12} - \frac{55}{128} a^{11} + \frac{7}{64} a^{10} - \frac{9}{64} a^{9} + \frac{17}{256} a^{8} - \frac{31}{64} a^{7} - \frac{31}{64} a^{6} - \frac{5}{16} a^{5} - \frac{1}{8} a^{4} - \frac{1}{8} a^{3} + \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{1624047140864} a^{34} + \frac{48325965}{1624047140864} a^{33} + \frac{81310725}{1624047140864} a^{32} - \frac{193126949}{812023570432} a^{31} - \frac{50259139}{406011785216} a^{30} + \frac{497465943}{1624047140864} a^{29} + \frac{1837652539}{1624047140864} a^{28} - \frac{64984161}{812023570432} a^{27} - \frac{1722001533}{1624047140864} a^{26} - \frac{18469245271}{1624047140864} a^{25} + \frac{4194420287}{406011785216} a^{24} + \frac{1661594845}{50751473152} a^{23} + \frac{20435547647}{812023570432} a^{22} - \frac{198181451229}{812023570432} a^{21} + \frac{237206225583}{1624047140864} a^{20} + \frac{382698560285}{812023570432} a^{19} + \frac{154938119809}{812023570432} a^{18} - \frac{280235490211}{1624047140864} a^{17} + \frac{96648965377}{406011785216} a^{16} + \frac{756513212599}{1624047140864} a^{15} - \frac{80482464343}{1624047140864} a^{14} + \frac{28462302995}{203005892608} a^{13} + \frac{20813471589}{50751473152} a^{12} + \frac{33353367205}{101502946304} a^{11} - \frac{3200907839}{101502946304} a^{10} - \frac{22111562395}{50751473152} a^{9} - \frac{6846752037}{25375736576} a^{8} + \frac{6215585115}{12687868288} a^{7} - \frac{2408391671}{6343934144} a^{6} + \frac{986687961}{3171967072} a^{5} - \frac{185367673}{1585983536} a^{4} - \frac{79191149}{396495884} a^{3} - \frac{20256621}{396495884} a^{2} - \frac{32167533}{99123971} a - \frac{47409658}{99123971}$, $\frac{1}{3248094281728} a^{35} - \frac{1}{3248094281728} a^{34} - \frac{39831601}{3248094281728} a^{33} - \frac{48763213}{406011785216} a^{32} - \frac{40791269}{406011785216} a^{31} - \frac{833708041}{3248094281728} a^{30} - \frac{1169112295}{3248094281728} a^{29} + \frac{1249305161}{812023570432} a^{28} - \frac{6281832777}{3248094281728} a^{27} - \frac{6227955737}{3248094281728} a^{26} + \frac{24006175455}{1624047140864} a^{25} - \frac{2323368515}{203005892608} a^{24} - \frac{75139694869}{1624047140864} a^{23} + \frac{96054345593}{1624047140864} a^{22} + \frac{63653996347}{3248094281728} a^{21} + \frac{147106374139}{406011785216} a^{20} + \frac{264747042803}{1624047140864} a^{19} - \frac{969460174279}{3248094281728} a^{18} + \frac{246237299319}{1624047140864} a^{17} - \frac{23759115441}{3248094281728} a^{16} - \frac{760359771633}{3248094281728} a^{15} + \frac{261411613893}{1624047140864} a^{14} + \frac{180986609001}{406011785216} a^{13} - \frac{18117404091}{406011785216} a^{12} - \frac{43043330719}{101502946304} a^{11} + \frac{6961880935}{101502946304} a^{10} + \frac{24955574639}{50751473152} a^{9} + \frac{8374656159}{25375736576} a^{8} - \frac{3738597685}{12687868288} a^{7} + \frac{2381680297}{6343934144} a^{6} + \frac{348944631}{3171967072} a^{5} + \frac{194666061}{1585983536} a^{4} + \frac{36716679}{396495884} a^{3} - \frac{165164625}{396495884} a^{2} + \frac{19229215}{198247942} a - \frac{22358145}{99123971}$, $\frac{1}{10732437576136982528} a^{36} - \frac{1151291}{10732437576136982528} a^{35} + \frac{1151277}{10732437576136982528} a^{34} - \frac{540131867}{2140494131658752} a^{33} - \frac{302550544175827}{2683109394034245632} a^{32} - \frac{2505917342511433}{10732437576136982528} a^{31} - \frac{76328664200717}{10732437576136982528} a^{30} + \frac{968600716244987}{5366218788068491264} a^{29} - \frac{13797235101689869}{10732437576136982528} a^{28} + \frac{3060422724429265}{10732437576136982528} a^{27} - \frac{13181123807678451}{2683109394034245632} a^{26} - \frac{2991824639171619}{335388674254280704} a^{25} + \frac{107466555735920831}{5366218788068491264} a^{24} - \frac{65760474657219917}{5366218788068491264} a^{23} - \frac{117413581102228705}{10732437576136982528} a^{22} + \frac{870446538382114785}{5366218788068491264} a^{21} + \frac{2441125205955146801}{5366218788068491264} a^{20} - \frac{4392750582949330563}{10732437576136982528} a^{19} + \frac{1124280996889668723}{2683109394034245632} a^{18} - \frac{3826313098202915}{16285944728584192} a^{17} + \frac{185132065991213959}{466627720701607936} a^{16} + \frac{2569129766560747}{29164232543850496} a^{15} + \frac{36834241731590901}{335388674254280704} a^{14} + \frac{296906188134067957}{670777348508561408} a^{13} + \frac{23321417711428663}{335388674254280704} a^{12} - \frac{126440179664398907}{335388674254280704} a^{11} + \frac{33633577194579091}{83847168563570176} a^{10} - \frac{872001035169159}{10480896070446272} a^{9} + \frac{560500168252007}{41923584281785088} a^{8} - \frac{1899461468421841}{10480896070446272} a^{7} + \frac{570475263161695}{2620224017611568} a^{6} + \frac{2512181391563843}{5240448035223136} a^{5} + \frac{12518843869162}{163764001100723} a^{4} - \frac{583476148774465}{1310112008805784} a^{3} - \frac{236092050584987}{655056004402892} a^{2} + \frac{26356855932181}{163764001100723} a + \frac{53706576819028}{163764001100723}$, $\frac{1}{1979157457370052069697739116394392658529569079296} a^{37} - \frac{33880173635668266848347460395}{1979157457370052069697739116394392658529569079296} a^{36} - \frac{216593477048414313199949443841542635}{1979157457370052069697739116394392658529569079296} a^{35} + \frac{4708564160235765490340985232738873}{43025162116740262384733459052052014315860197376} a^{34} + \frac{12494324117494406354931865770533786875499241}{494789364342513017424434779098598164632392269824} a^{33} - \frac{70039377634280016452585617271409406198133505}{1979157457370052069697739116394392658529569079296} a^{32} + \frac{161627900783340326709797832124176329477073859}{1979157457370052069697739116394392658529569079296} a^{31} - \frac{332403228403334524506409391938811847028032329}{989578728685026034848869558197196329264784539648} a^{30} - \frac{1490236760806196943963490996414429207952891373}{1979157457370052069697739116394392658529569079296} a^{29} + \frac{2458048194329030248100669332284396517443854073}{1979157457370052069697739116394392658529569079296} a^{28} + \frac{1620276760270656508283831550088443355875075019}{494789364342513017424434779098598164632392269824} a^{27} - \frac{301301568241988260579429884176153599071582375}{123697341085628254356108694774649541158098067456} a^{26} + \frac{15054024482859129822072732774542428973598202651}{989578728685026034848869558197196329264784539648} a^{25} + \frac{22255786415118338559499439336147608485903049915}{989578728685026034848869558197196329264784539648} a^{24} - \frac{63826500776800793249746145461774489967972960017}{1979157457370052069697739116394392658529569079296} a^{23} + \frac{566484230285471442368669573911286745484165341}{9078703932890147108705225304561434213438390272} a^{22} + \frac{16109246549063399630694961440797689949750640157}{989578728685026034848869558197196329264784539648} a^{21} + \frac{426649720336872060637441292878814633855301956453}{1979157457370052069697739116394392658529569079296} a^{20} - \frac{114479064010542788719603604209794886970930272853}{494789364342513017424434779098598164632392269824} a^{19} + \frac{456853057574503608473501119002382772591294589423}{1979157457370052069697739116394392658529569079296} a^{18} - \frac{15809798229648734242911956480424817288234366097}{86050324233480524769466918104104028631720394752} a^{17} + \frac{343419527729448271178937902630604104000552157}{10756290529185065596183364763013003578965049344} a^{16} + \frac{17765227961619732201195317781428080378754360869}{123697341085628254356108694774649541158098067456} a^{15} - \frac{45312466247477919280899913947164271958260908203}{247394682171256508712217389549299082316196134912} a^{14} + \frac{8818143829174537043007990450214607846212117223}{123697341085628254356108694774649541158098067456} a^{13} - \frac{303219892014559978252218285037349533226372155}{3865541908925882948628396711707798161190564608} a^{12} - \frac{406427717725606090288450911746139081557834479}{3865541908925882948628396711707798161190564608} a^{11} - \frac{2111180104955892245904499748111536384915853325}{15462167635703531794513586846831192644762258432} a^{10} + \frac{24989974880671868712263485569167368454890215}{483192738615735368578549588963474770148820576} a^{9} - \frac{420881352029142516273826173474788077544101589}{1932770954462941474314198355853899080595282304} a^{8} - \frac{575393156960201933031920756766563186268969737}{1932770954462941474314198355853899080595282304} a^{7} + \frac{1780877689555029833015919840892954285622205}{8865921809463034285844946586485775599060928} a^{6} - \frac{96143231302801659203444128917018572082644413}{241596369307867684289274794481737385074410288} a^{5} - \frac{33647977828920405083918651779444042544164419}{120798184653933842144637397240868692537205144} a^{4} + \frac{14818746295501042418334800335956869248738315}{120798184653933842144637397240868692537205144} a^{3} - \frac{27274655944167408772368702381596842488507759}{60399092326966921072318698620434346268602572} a^{2} - \frac{3378194550036833705332311464219911476693178}{15099773081741730268079674655108586567150643} a - \frac{161553288756222539418467295726947699162008}{656511873119205663829551071961242894223941}$, $\frac{1}{3958314914740104139395478232788785317059138158592} a^{38} - \frac{1}{3958314914740104139395478232788785317059138158592} a^{37} - \frac{60095094762121217451681706561}{3958314914740104139395478232788785317059138158592} a^{36} - \frac{15430205623795294044493449351799705}{247394682171256508712217389549299082316196134912} a^{35} + \frac{15430258207003210900558719573292941}{247394682171256508712217389549299082316196134912} a^{34} + \frac{130770585068646724350303051826790396725519295}{3958314914740104139395478232788785317059138158592} a^{33} - \frac{128781172069768040316413803420111479368371927}{3958314914740104139395478232788785317059138158592} a^{32} + \frac{4670210868281338435221273904461222253305341}{989578728685026034848869558197196329264784539648} a^{31} - \frac{1203901305474803579406439566305055448957884705}{3958314914740104139395478232788785317059138158592} a^{30} - \frac{1540578164982862874760767263961934970413522689}{3958314914740104139395478232788785317059138158592} a^{29} + \frac{263550708776423258803210060045791878801098415}{1979157457370052069697739116394392658529569079296} a^{28} - \frac{1889728749142490712963069491987095458955648845}{494789364342513017424434779098598164632392269824} a^{27} + \frac{4857890327989526829578137672156506877065923327}{1979157457370052069697739116394392658529569079296} a^{26} - \frac{27127008939877319016781536433884782850555342727}{1979157457370052069697739116394392658529569079296} a^{25} - \frac{63320195394749587747280498518641005043777088261}{3958314914740104139395478232788785317059138158592} a^{24} + \frac{2246628036327271101788440672681463499288656597}{494789364342513017424434779098598164632392269824} a^{23} - \frac{85876091541248532139650174255748274519889245197}{1979157457370052069697739116394392658529569079296} a^{22} + \frac{411509203568548736652386070621886160665293976753}{3958314914740104139395478232788785317059138158592} a^{21} + \frac{253941712969174903760756137466349400333373090031}{1979157457370052069697739116394392658529569079296} a^{20} + \frac{779428159578638330217501009436144944417191983407}{3958314914740104139395478232788785317059138158592} a^{19} + \frac{799844305183858737269800059644923932810468736023}{3958314914740104139395478232788785317059138158592} a^{18} - \frac{594275767066825207942768134031370632318484312419}{1979157457370052069697739116394392658529569079296} a^{17} - \frac{118873884985927665739038664128989778588149535913}{247394682171256508712217389549299082316196134912} a^{16} + \frac{33551011490236357351476491440380768025481931661}{247394682171256508712217389549299082316196134912} a^{15} + \frac{1581742512081146853398886624576126877340241289}{15462167635703531794513586846831192644762258432} a^{14} - \frac{14310758224374156042270021355906484427321676101}{30924335271407063589027173693662385289524516864} a^{13} + \frac{2653205428553627455156132439413499893102752525}{61848670542814127178054347387324770579049033728} a^{12} + \frac{247810602675565773046136415576168137372384969}{30924335271407063589027173693662385289524516864} a^{11} - \frac{1920334383298106581728360783379259401619752439}{3865541908925882948628396711707798161190564608} a^{10} + \frac{626023769547358756763288877788432280768836549}{3865541908925882948628396711707798161190564608} a^{9} - \frac{1173500348553440930538206233690066772259223505}{3865541908925882948628396711707798161190564608} a^{8} - \frac{294878754436882554870671524413847271427761}{21008379939814581242545634302759772615166112} a^{7} + \frac{449529363449226623919412131601254433308900451}{966385477231470737157099177926949540297641152} a^{6} + \frac{104109102402045408049273805753318608143605753}{483192738615735368578549588963474770148820576} a^{5} - \frac{45006302546720450078748074938335196893628789}{241596369307867684289274794481737385074410288} a^{4} - \frac{176362140740460005310448454127722594810145}{60399092326966921072318698620434346268602572} a^{3} - \frac{5267141067022589500448087004583315087944934}{15099773081741730268079674655108586567150643} a^{2} + \frac{7902796537023364613276373782580041502824703}{30199546163483460536159349310217173134301286} a + \frac{5219363040294244829323780415437819319454971}{15099773081741730268079674655108586567150643}$, $\frac{1}{7916629829480208278790956465577570634118276317184} a^{39} - \frac{1}{7916629829480208278790956465577570634118276317184} a^{38} - \frac{1}{7916629829480208278790956465577570634118276317184} a^{37} - \frac{24889948756477691324405151911}{989578728685026034848869558197196329264784539648} a^{36} + \frac{722780649854083553232356637276365}{43025162116740262384733459052052014315860197376} a^{35} - \frac{1487535455606858455644697816951035225}{7916629829480208278790956465577570634118276317184} a^{34} - \frac{16316997988281389713448532926599914657766529}{344201296933922099077867672416416114526881579008} a^{33} - \frac{158767698688862439877782187627062417478619851}{1979157457370052069697739116394392658529569079296} a^{32} + \frac{788501537877083570439311879525054467899765511}{7916629829480208278790956465577570634118276317184} a^{31} - \frac{414830874018124765933849756743588473035536777}{7916629829480208278790956465577570634118276317184} a^{30} + \frac{409951174239108057019748689243135531542448959}{3958314914740104139395478232788785317059138158592} a^{29} - \frac{377413303755102954376282998298319889607663343}{247394682171256508712217389549299082316196134912} a^{28} + \frac{14081354616308138204583988773502130698250562627}{3958314914740104139395478232788785317059138158592} a^{27} - \frac{27908174984789294445979040453650758946183539071}{3958314914740104139395478232788785317059138158592} a^{26} - \frac{90519354752345301301344725076361124003175720677}{7916629829480208278790956465577570634118276317184} a^{25} + \frac{20829323414109821867167895957724810274743428631}{989578728685026034848869558197196329264784539648} a^{24} + \frac{230053168717072747126417254979722403843347651851}{3958314914740104139395478232788785317059138158592} a^{23} + \frac{593465251369494288767044328765083999432164653241}{7916629829480208278790956465577570634118276317184} a^{22} - \frac{832143137323909642315453861344609311532772993537}{3958314914740104139395478232788785317059138158592} a^{21} + \frac{1631258543027353471550275593178011513620600511391}{7916629829480208278790956465577570634118276317184} a^{20} + \frac{2089246639847684981742656576406196311314574051311}{7916629829480208278790956465577570634118276317184} a^{19} + \frac{1175421415473763760871937474017795818530336726261}{3958314914740104139395478232788785317059138158592} a^{18} - \frac{41636738662949044452417947513880359499838902521}{989578728685026034848869558197196329264784539648} a^{17} - \frac{227722906706529536853857079935217167855259513029}{989578728685026034848869558197196329264784539648} a^{16} + \frac{193321485952560662520060472900328900381996847803}{494789364342513017424434779098598164632392269824} a^{15} + \frac{61129569173549391637703837783164866490760421303}{247394682171256508712217389549299082316196134912} a^{14} - \frac{13115344192445683132644415564444877059744438079}{30924335271407063589027173693662385289524516864} a^{13} + \frac{2074944062636782596427464209080175172071867903}{7731083817851765897256793423415596322381129216} a^{12} + \frac{834079977390815822398258288405503829411115083}{1932770954462941474314198355853899080595282304} a^{11} + \frac{5350638639192037534239777880144062600495252705}{15462167635703531794513586846831192644762258432} a^{10} - \frac{22260878368530519196873694887245171434833983}{241596369307867684289274794481737385074410288} a^{9} + \frac{77916233292991232672697733898446669411853857}{241596369307867684289274794481737385074410288} a^{8} - \frac{291055372447163646660463547399205255792075729}{966385477231470737157099177926949540297641152} a^{7} - \frac{12745567848472812847911091368845848749357983}{966385477231470737157099177926949540297641152} a^{6} + \frac{89539961406826823526637303902794956894644105}{483192738615735368578549588963474770148820576} a^{5} + \frac{4855699590776943989106729998368028540757152}{15099773081741730268079674655108586567150643} a^{4} - \frac{14657593756086318052622577235618075673951961}{30199546163483460536159349310217173134301286} a^{3} - \frac{17807261406714348387445479194673822750210549}{60399092326966921072318698620434346268602572} a^{2} + \frac{6026672907212018897653578327633288348679008}{15099773081741730268079674655108586567150643} a - \frac{3415452671129700788181135711567059945276267}{15099773081741730268079674655108586567150643}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $19$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -\frac{58623969260150137307891722672192275}{2395910518675238400397235681087664897654784} a^{39} - \frac{773908714989889858029242423824351641}{1197955259337619200198617840543832448827392} a^{38} + \frac{1008436390183072450584331282246505787}{1197955259337619200198617840543832448827392} a^{37} + \frac{19826672427713253786467355641421987163}{2395910518675238400397235681087664897654784} a^{36} - \frac{16115660790260414619914560911735817173}{1197955259337619200198617840543832448827392} a^{35} - \frac{136513685701046743439914634808954433401}{2395910518675238400397235681087664897654784} a^{34} + \frac{26238850236393814023778196336664016209}{1197955259337619200198617840543832448827392} a^{33} + \frac{616572651312403520598370937912331861081}{2395910518675238400397235681087664897654784} a^{32} + \frac{1312808716843190451531544023525777986265}{2395910518675238400397235681087664897654784} a^{31} - \frac{443146579002191526849039198955382781417}{598977629668809600099308920271916224413696} a^{30} - \frac{14363858078856381053973962986359281507691}{2395910518675238400397235681087664897654784} a^{29} + \frac{131910108294445286619435727803673171239}{18718050927150300003103403758497382012928} a^{28} + \frac{33029448853461140327013231117797398137435}{1197955259337619200198617840543832448827392} a^{27} - \frac{47875885028653894075817611595943037214431}{598977629668809600099308920271916224413696} a^{26} + \frac{125812255843799964275960883256474533122745}{2395910518675238400397235681087664897654784} a^{25} + \frac{1440688612894604673339778826281119264731157}{2395910518675238400397235681087664897654784} a^{24} - \frac{224410620849871783875757007453197319418075}{299488814834404800049654460135958112206848} a^{23} - \frac{7427440439574186046066044048716233523951061}{2395910518675238400397235681087664897654784} a^{22} + \frac{6437201729244812479615463124881129507144557}{2395910518675238400397235681087664897654784} a^{21} + \frac{22296700224414022389240221193634484627851587}{2395910518675238400397235681087664897654784} a^{20} + \frac{777490165585073202208830510435851284518723}{299488814834404800049654460135958112206848} a^{19} - \frac{57777308473444927888381891519604380483346415}{2395910518675238400397235681087664897654784} a^{18} - \frac{44836801169769319959727397457030344393957709}{598977629668809600099308920271916224413696} a^{17} + \frac{10655358346958839640708803830362094753394201}{149744407417202400024827230067979056103424} a^{16} + \frac{16909920026562780146762042735599544800895085}{74872203708601200012413615033989528051712} a^{15} - \frac{29098293157504430963888061513714353811405405}{149744407417202400024827230067979056103424} a^{14} - \frac{28376007887470231365530497507843661510913987}{74872203708601200012413615033989528051712} a^{13} + \frac{3676456198859712865803328010663883796469523}{18718050927150300003103403758497382012928} a^{12} + \frac{918621466711344829053826268523428016363009}{4679512731787575000775850939624345503232} a^{11} - \frac{1000684331174797367486604040128532852054737}{2339756365893787500387925469812172751616} a^{10} + \frac{1423833871610748566889495571200891243139575}{2339756365893787500387925469812172751616} a^{9} + \frac{268396359439721888910063368372073732477063}{292469545736723437548490683726521593952} a^{8} - \frac{419523712568357406999548833126254561093207}{1169878182946893750193962734906086375808} a^{7} - \frac{143758161928660360200970636960345959924151}{146234772868361718774245341863260796976} a^{6} + \frac{1155309758879365353867859581566509983213}{18279346608545214846780667732907599622} a^{5} - \frac{54757254117483201633863702317978796397}{146234772868361718774245341863260796976} a^{4} + \frac{803002011098908432876223464598587489863}{73117386434180859387122670931630398488} a^{3} - \frac{111821297398172819020550095485093396045}{36558693217090429693561335465815199244} a^{2} - \frac{88389796000991557006576564208372405164}{9139673304272607423390333866453799811} a + \frac{6486806225816104843361067551693037999}{9139673304272607423390333866453799811} \) (order $10$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_2\times C_{20}$ (as 40T2):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{20}$
Character table for $C_2\times C_{20}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-35}) \), \(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\sqrt{-7}) \), \(\Q(\sqrt{5}, \sqrt{-7})\), 4.4.6125.1, \(\Q(\zeta_{5})\), \(\Q(\zeta_{11})^+\), 8.0.37515625.1, 10.0.11258530353021875.4, 10.10.669871503125.1, 10.0.3602729712967.1, 20.0.126754505709914865311944228515625.3, 20.20.396107830343483954099825714111328125.1, 20.0.1402274470934209014892578125.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $20^{2}$ $20^{2}$ R R R $20^{2}$ $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/19.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/23.4.0.1}{4} }^{10}$ ${\href{/LocalNumberField/29.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/31.10.0.1}{10} }^{4}$ $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/41.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/43.4.0.1}{4} }^{10}$ $20^{2}$ $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/59.10.0.1}{10} }^{4}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
7Data not computed
$11$11.5.4.4$x^{5} - 11$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
11.5.4.4$x^{5} - 11$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
11.5.4.4$x^{5} - 11$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
11.5.4.4$x^{5} - 11$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
11.5.4.4$x^{5} - 11$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
11.5.4.4$x^{5} - 11$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
11.5.4.4$x^{5} - 11$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$
11.5.4.4$x^{5} - 11$$5$$1$$4$$C_5$$[\ ]_{5}$