↑

Properties

Label 39.39.8435376156...4529.1
Degree $39$
Signature $[39, 0]$
Discriminant $937^{38}$
Root discriminant $786.21$
Ramified prime $937$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{39}$ (as 39T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-143456380943806673, 1568527642769879023, -1795725529019100898, -13137613446326251666, 15065589607445769980, 42835827891298341241, -40617153217434411375, -70426823322220439228, 55701401545562743601, 64085787618282944397, -46331426122390477259, -34615393263055948671, 24991289927843292457, 11514879338270450671, -9001671285085868002, -2354043730739816544, 2201019540853979395, 273182269941204948, -369187803799463938, -10554063966988809, 42720685818403975, -1675569173908960, -3415756724968728, 304007530489979, 188571229295629, -24081982466754, -7173288778188, 1153888467019, 186756003421, -36099160776, -3270550490, 753123799, 37136294, -10385180, -253868, 90828, 889, -456, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - x^38 - 456*x^37 + 889*x^36 + 90828*x^35 - 253868*x^34 - 10385180*x^33 + 37136294*x^32 + 753123799*x^31 - 3270550490*x^30 - 36099160776*x^29 + 186756003421*x^28 + 1153888467019*x^27 - 7173288778188*x^26 - 24081982466754*x^25 + 188571229295629*x^24 + 304007530489979*x^23 - 3415756724968728*x^22 - 1675569173908960*x^21 + 42720685818403975*x^20 - 10554063966988809*x^19 - 369187803799463938*x^18 + 273182269941204948*x^17 + 2201019540853979395*x^16 - 2354043730739816544*x^15 - 9001671285085868002*x^14 + 11514879338270450671*x^13 + 24991289927843292457*x^12 - 34615393263055948671*x^11 - 46331426122390477259*x^10 + 64085787618282944397*x^9 + 55701401545562743601*x^8 - 70426823322220439228*x^7 - 40617153217434411375*x^6 + 42835827891298341241*x^5 + 15065589607445769980*x^4 - 13137613446326251666*x^3 - 1795725529019100898*x^2 + 1568527642769879023*x - 143456380943806673)
 
gp: K = bnfinit(x^39 - x^38 - 456*x^37 + 889*x^36 + 90828*x^35 - 253868*x^34 - 10385180*x^33 + 37136294*x^32 + 753123799*x^31 - 3270550490*x^30 - 36099160776*x^29 + 186756003421*x^28 + 1153888467019*x^27 - 7173288778188*x^26 - 24081982466754*x^25 + 188571229295629*x^24 + 304007530489979*x^23 - 3415756724968728*x^22 - 1675569173908960*x^21 + 42720685818403975*x^20 - 10554063966988809*x^19 - 369187803799463938*x^18 + 273182269941204948*x^17 + 2201019540853979395*x^16 - 2354043730739816544*x^15 - 9001671285085868002*x^14 + 11514879338270450671*x^13 + 24991289927843292457*x^12 - 34615393263055948671*x^11 - 46331426122390477259*x^10 + 64085787618282944397*x^9 + 55701401545562743601*x^8 - 70426823322220439228*x^7 - 40617153217434411375*x^6 + 42835827891298341241*x^5 + 15065589607445769980*x^4 - 13137613446326251666*x^3 - 1795725529019100898*x^2 + 1568527642769879023*x - 143456380943806673, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{39} - x^{38} - 456 x^{37} + 889 x^{36} + 90828 x^{35} - 253868 x^{34} - 10385180 x^{33} + 37136294 x^{32} + 753123799 x^{31} - 3270550490 x^{30} - 36099160776 x^{29} + 186756003421 x^{28} + 1153888467019 x^{27} - 7173288778188 x^{26} - 24081982466754 x^{25} + 188571229295629 x^{24} + 304007530489979 x^{23} - 3415756724968728 x^{22} - 1675569173908960 x^{21} + 42720685818403975 x^{20} - 10554063966988809 x^{19} - 369187803799463938 x^{18} + 273182269941204948 x^{17} + 2201019540853979395 x^{16} - 2354043730739816544 x^{15} - 9001671285085868002 x^{14} + 11514879338270450671 x^{13} + 24991289927843292457 x^{12} - 34615393263055948671 x^{11} - 46331426122390477259 x^{10} + 64085787618282944397 x^{9} + 55701401545562743601 x^{8} - 70426823322220439228 x^{7} - 40617153217434411375 x^{6} + 42835827891298341241 x^{5} + 15065589607445769980 x^{4} - 13137613446326251666 x^{3} - 1795725529019100898 x^{2} + 1568527642769879023 x - 143456380943806673 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $39$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[39, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(84353761564911199847976291343170613314905394740747695535193786145446555993900393805995656806508650256842842084529=937^{38}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $786.21$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $937$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(937\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{937}(512,·)$, $\chi_{937}(1,·)$, $\chi_{937}(902,·)$, $\chi_{937}(8,·)$, $\chi_{937}(910,·)$, $\chi_{937}(911,·)$, $\chi_{937}(657,·)$, $\chi_{937}(146,·)$, $\chi_{937}(473,·)$, $\chi_{937}(156,·)$, $\chi_{937}(288,·)$, $\chi_{937}(162,·)$, $\chi_{937}(931,·)$, $\chi_{937}(36,·)$, $\chi_{937}(553,·)$, $\chi_{937}(430,·)$, $\chi_{937}(743,·)$, $\chi_{937}(820,·)$, $\chi_{937}(311,·)$, $\chi_{937}(571,·)$, $\chi_{937}(61,·)$, $\chi_{937}(702,·)$, $\chi_{937}(64,·)$, $\chi_{937}(322,·)$, $\chi_{937}(721,·)$, $\chi_{937}(210,·)$, $\chi_{937}(676,·)$, $\chi_{937}(729,·)$, $\chi_{937}(347,·)$, $\chi_{937}(348,·)$, $\chi_{937}(227,·)$, $\chi_{937}(614,·)$, $\chi_{937}(231,·)$, $\chi_{937}(488,·)$, $\chi_{937}(359,·)$, $\chi_{937}(879,·)$, $\chi_{937}(723,·)$, $\chi_{937}(629,·)$, $\chi_{937}(889,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $\frac{1}{23} a^{17} - \frac{9}{23} a^{16} - \frac{2}{23} a^{15} - \frac{10}{23} a^{14} + \frac{11}{23} a^{13} + \frac{1}{23} a^{12} - \frac{1}{23} a^{11} - \frac{5}{23} a^{10} + \frac{1}{23} a^{9} + \frac{7}{23} a^{8} + \frac{3}{23} a^{7} - \frac{2}{23} a^{6} - \frac{5}{23} a^{5} - \frac{7}{23} a^{4} + \frac{3}{23} a^{3} + \frac{6}{23} a^{2} + \frac{8}{23} a$, $\frac{1}{23} a^{18} + \frac{9}{23} a^{16} - \frac{5}{23} a^{15} - \frac{10}{23} a^{14} + \frac{8}{23} a^{13} + \frac{8}{23} a^{12} + \frac{9}{23} a^{11} + \frac{2}{23} a^{10} - \frac{7}{23} a^{9} - \frac{3}{23} a^{8} + \frac{2}{23} a^{7} - \frac{6}{23} a^{5} + \frac{9}{23} a^{4} + \frac{10}{23} a^{3} - \frac{7}{23} a^{2} + \frac{3}{23} a$, $\frac{1}{23} a^{19} + \frac{7}{23} a^{16} + \frac{8}{23} a^{15} + \frac{6}{23} a^{14} + \frac{1}{23} a^{13} + \frac{11}{23} a^{11} - \frac{8}{23} a^{10} + \frac{11}{23} a^{9} + \frac{8}{23} a^{8} - \frac{4}{23} a^{7} - \frac{11}{23} a^{6} + \frac{8}{23} a^{5} + \frac{4}{23} a^{4} - \frac{11}{23} a^{3} - \frac{5}{23} a^{2} - \frac{3}{23} a$, $\frac{1}{23} a^{20} + \frac{2}{23} a^{16} - \frac{3}{23} a^{15} + \frac{2}{23} a^{14} - \frac{8}{23} a^{13} + \frac{4}{23} a^{12} - \frac{1}{23} a^{11} + \frac{1}{23} a^{9} - \frac{7}{23} a^{8} - \frac{9}{23} a^{7} - \frac{1}{23} a^{6} - \frac{7}{23} a^{5} - \frac{8}{23} a^{4} - \frac{3}{23} a^{3} + \frac{1}{23} a^{2} - \frac{10}{23} a$, $\frac{1}{23} a^{21} - \frac{8}{23} a^{16} + \frac{6}{23} a^{15} - \frac{11}{23} a^{14} + \frac{5}{23} a^{13} - \frac{3}{23} a^{12} + \frac{2}{23} a^{11} + \frac{11}{23} a^{10} - \frac{9}{23} a^{9} - \frac{7}{23} a^{7} - \frac{3}{23} a^{6} + \frac{2}{23} a^{5} + \frac{11}{23} a^{4} - \frac{5}{23} a^{3} + \frac{1}{23} a^{2} + \frac{7}{23} a$, $\frac{1}{23} a^{22} + \frac{3}{23} a^{16} - \frac{4}{23} a^{15} - \frac{6}{23} a^{14} - \frac{7}{23} a^{13} + \frac{10}{23} a^{12} + \frac{3}{23} a^{11} - \frac{3}{23} a^{10} + \frac{8}{23} a^{9} + \frac{3}{23} a^{8} - \frac{2}{23} a^{7} + \frac{9}{23} a^{6} - \frac{6}{23} a^{5} + \frac{8}{23} a^{4} + \frac{2}{23} a^{3} + \frac{9}{23} a^{2} - \frac{5}{23} a$, $\frac{1}{23} a^{23} - \frac{1}{23} a$, $\frac{1}{23} a^{24} - \frac{1}{23} a^{2}$, $\frac{1}{23} a^{25} - \frac{1}{23} a^{3}$, $\frac{1}{1541} a^{26} + \frac{15}{1541} a^{25} - \frac{29}{1541} a^{24} + \frac{12}{1541} a^{23} + \frac{2}{1541} a^{22} + \frac{25}{1541} a^{21} + \frac{19}{1541} a^{20} - \frac{8}{1541} a^{19} - \frac{2}{1541} a^{18} - \frac{7}{1541} a^{17} + \frac{454}{1541} a^{16} - \frac{116}{1541} a^{15} - \frac{5}{67} a^{14} - \frac{579}{1541} a^{13} - \frac{186}{1541} a^{12} - \frac{591}{1541} a^{11} + \frac{42}{1541} a^{10} + \frac{51}{1541} a^{9} - \frac{142}{1541} a^{8} - \frac{734}{1541} a^{7} + \frac{164}{1541} a^{6} - \frac{687}{1541} a^{5} + \frac{91}{1541} a^{4} + \frac{567}{1541} a^{3} - \frac{748}{1541} a^{2} + \frac{109}{1541} a - \frac{30}{67}$, $\frac{1}{1541} a^{27} + \frac{14}{1541} a^{25} - \frac{22}{1541} a^{24} + \frac{1}{67} a^{23} - \frac{5}{1541} a^{22} - \frac{21}{1541} a^{21} - \frac{25}{1541} a^{20} - \frac{16}{1541} a^{19} + \frac{1}{67} a^{18} + \frac{1}{67} a^{17} - \frac{561}{1541} a^{16} - \frac{251}{1541} a^{15} - \frac{23}{67} a^{14} + \frac{459}{1541} a^{13} + \frac{189}{1541} a^{12} + \frac{666}{1541} a^{11} + \frac{694}{1541} a^{10} + \frac{500}{1541} a^{9} - \frac{681}{1541} a^{8} + \frac{722}{1541} a^{7} - \frac{333}{1541} a^{6} + \frac{11}{1541} a^{5} - \frac{664}{1541} a^{4} + \frac{194}{1541} a^{3} + \frac{609}{1541} a^{2} - \frac{583}{1541} a - \frac{19}{67}$, $\frac{1}{35443} a^{28} + \frac{3}{35443} a^{27} - \frac{1}{35443} a^{26} - \frac{272}{35443} a^{25} - \frac{15}{1541} a^{24} + \frac{554}{35443} a^{23} + \frac{403}{35443} a^{22} - \frac{61}{35443} a^{21} - \frac{28}{1541} a^{20} + \frac{95}{35443} a^{19} + \frac{457}{35443} a^{18} + \frac{417}{35443} a^{17} + \frac{7805}{35443} a^{16} + \frac{10843}{35443} a^{15} - \frac{4696}{35443} a^{14} - \frac{99}{529} a^{13} - \frac{868}{35443} a^{12} - \frac{6868}{35443} a^{11} - \frac{7629}{35443} a^{10} + \frac{16871}{35443} a^{9} - \frac{9777}{35443} a^{8} + \frac{5339}{35443} a^{7} - \frac{15642}{35443} a^{6} + \frac{8133}{35443} a^{5} + \frac{6083}{35443} a^{4} - \frac{12540}{35443} a^{3} - \frac{15408}{35443} a^{2} + \frac{600}{1541} a + \frac{20}{67}$, $\frac{1}{35443} a^{29} - \frac{10}{35443} a^{27} + \frac{7}{35443} a^{26} - \frac{12}{35443} a^{25} - \frac{251}{35443} a^{24} + \frac{512}{35443} a^{23} - \frac{718}{35443} a^{22} + \frac{275}{35443} a^{21} - \frac{434}{35443} a^{20} - \frac{495}{35443} a^{19} + \frac{35}{35443} a^{18} - \frac{1}{35443} a^{17} + \frac{239}{35443} a^{16} + \frac{1645}{35443} a^{15} - \frac{2711}{35443} a^{14} - \frac{5165}{35443} a^{13} + \frac{10663}{35443} a^{12} - \frac{12992}{35443} a^{11} - \frac{2585}{35443} a^{10} + \frac{2998}{35443} a^{9} - \frac{10686}{35443} a^{8} + \frac{3071}{35443} a^{7} + \frac{12486}{35443} a^{6} + \frac{1648}{35443} a^{5} + \frac{5114}{35443} a^{4} + \frac{9194}{35443} a^{3} - \frac{29}{35443} a^{2} - \frac{99}{1541} a - \frac{18}{67}$, $\frac{1}{35443} a^{30} - \frac{9}{35443} a^{27} + \frac{1}{35443} a^{26} - \frac{188}{35443} a^{25} + \frac{489}{35443} a^{24} - \frac{583}{35443} a^{23} - \frac{42}{35443} a^{22} + \frac{497}{35443} a^{21} - \frac{725}{35443} a^{20} - \frac{4}{35443} a^{19} + \frac{383}{35443} a^{18} + \frac{108}{35443} a^{17} - \frac{252}{1541} a^{16} - \frac{13306}{35443} a^{15} - \frac{11944}{35443} a^{14} - \frac{13048}{35443} a^{13} + \frac{16209}{35443} a^{12} + \frac{1622}{35443} a^{11} + \frac{2079}{35443} a^{10} - \frac{952}{35443} a^{9} + \frac{4247}{35443} a^{8} + \frac{9618}{35443} a^{7} - \frac{17025}{35443} a^{6} + \frac{16202}{35443} a^{5} + \frac{16365}{35443} a^{4} + \frac{6591}{35443} a^{3} + \frac{17247}{35443} a^{2} + \frac{7}{67} a + \frac{7}{67}$, $\frac{1}{35443} a^{31} + \frac{5}{35443} a^{27} + \frac{10}{35443} a^{26} - \frac{717}{35443} a^{25} + \frac{61}{35443} a^{24} + \frac{735}{35443} a^{23} + \frac{30}{35443} a^{22} - \frac{239}{35443} a^{21} + \frac{249}{35443} a^{20} - \frac{50}{35443} a^{19} + \frac{196}{35443} a^{18} + \frac{602}{35443} a^{17} + \frac{14343}{35443} a^{16} - \frac{11187}{35443} a^{15} - \frac{687}{35443} a^{14} - \frac{9011}{35443} a^{13} + \frac{11060}{35443} a^{12} - \frac{6304}{35443} a^{11} - \frac{1372}{35443} a^{10} + \frac{10289}{35443} a^{9} - \frac{4269}{35443} a^{8} + \frac{4254}{35443} a^{7} - \frac{15165}{35443} a^{6} - \frac{625}{1541} a^{5} + \frac{6069}{35443} a^{4} + \frac{11130}{35443} a^{3} + \frac{10552}{35443} a^{2} - \frac{178}{1541} a - \frac{4}{67}$, $\frac{1}{35443} a^{32} - \frac{5}{35443} a^{27} + \frac{1}{35443} a^{26} - \frac{212}{35443} a^{25} + \frac{275}{35443} a^{24} - \frac{348}{35443} a^{23} + \frac{31}{1541} a^{22} - \frac{113}{35443} a^{21} - \frac{234}{35443} a^{20} + \frac{181}{35443} a^{19} - \frac{27}{35443} a^{18} - \frac{438}{35443} a^{17} + \frac{733}{35443} a^{16} - \frac{12789}{35443} a^{15} - \frac{1263}{35443} a^{14} - \frac{303}{35443} a^{13} - \frac{8220}{35443} a^{12} - \frac{17034}{35443} a^{11} + \frac{7494}{35443} a^{10} + \frac{6297}{35443} a^{9} - \frac{9582}{35443} a^{8} - \frac{387}{1541} a^{7} + \frac{2011}{35443} a^{6} + \frac{7218}{35443} a^{5} - \frac{9878}{35443} a^{4} + \frac{9059}{35443} a^{3} + \frac{3463}{35443} a^{2} + \frac{421}{1541} a - \frac{25}{67}$, $\frac{1}{35443} a^{33} - \frac{7}{35443} a^{27} - \frac{10}{35443} a^{26} + \frac{157}{35443} a^{25} + \frac{135}{35443} a^{24} - \frac{726}{35443} a^{23} - \frac{651}{35443} a^{22} + \frac{496}{35443} a^{21} - \frac{72}{35443} a^{20} + \frac{701}{35443} a^{19} - \frac{637}{35443} a^{18} - \frac{701}{35443} a^{17} - \frac{8655}{35443} a^{16} + \frac{11598}{35443} a^{15} + \frac{22}{35443} a^{14} - \frac{11531}{35443} a^{13} + \frac{5122}{35443} a^{12} + \frac{386}{35443} a^{11} - \frac{17542}{35443} a^{10} + \frac{396}{1541} a^{9} + \frac{7074}{35443} a^{8} + \frac{5016}{35443} a^{7} + \frac{15304}{35443} a^{6} + \frac{8523}{35443} a^{5} + \frac{13484}{35443} a^{4} + \frac{4358}{35443} a^{3} - \frac{427}{35443} a^{2} + \frac{170}{1541} a - \frac{17}{67}$, $\frac{1}{54617663} a^{34} + \frac{6}{815189} a^{33} + \frac{24}{2374681} a^{32} + \frac{504}{54617663} a^{31} + \frac{382}{54617663} a^{30} - \frac{10}{815189} a^{29} - \frac{732}{54617663} a^{28} - \frac{896}{54617663} a^{27} + \frac{237}{815189} a^{26} - \frac{256396}{54617663} a^{25} - \frac{379521}{54617663} a^{24} + \frac{512184}{54617663} a^{23} + \frac{757216}{54617663} a^{22} + \frac{126347}{54617663} a^{21} + \frac{658552}{54617663} a^{20} + \frac{750754}{54617663} a^{19} + \frac{27185}{54617663} a^{18} - \frac{417441}{54617663} a^{17} - \frac{24032807}{54617663} a^{16} + \frac{16343352}{54617663} a^{15} + \frac{17644343}{54617663} a^{14} - \frac{9645819}{54617663} a^{13} - \frac{12675068}{54617663} a^{12} - \frac{17880124}{54617663} a^{11} + \frac{7765252}{54617663} a^{10} + \frac{16767853}{54617663} a^{9} + \frac{19210095}{54617663} a^{8} + \frac{6385116}{54617663} a^{7} - \frac{16127946}{54617663} a^{6} - \frac{12889331}{54617663} a^{5} - \frac{24055490}{54617663} a^{4} - \frac{25217219}{54617663} a^{3} + \frac{198707}{815189} a^{2} - \frac{425620}{2374681} a + \frac{9439}{103247}$, $\frac{1}{68763637717} a^{35} + \frac{535}{68763637717} a^{34} - \frac{238772}{68763637717} a^{33} - \frac{627235}{68763637717} a^{32} + \frac{144464}{68763637717} a^{31} + \frac{709684}{68763637717} a^{30} + \frac{649838}{68763637717} a^{29} + \frac{311654}{68763637717} a^{28} + \frac{5926644}{68763637717} a^{27} + \frac{923206}{68763637717} a^{26} - \frac{1293427877}{68763637717} a^{25} + \frac{751563926}{68763637717} a^{24} - \frac{1258319349}{68763637717} a^{23} - \frac{560710602}{68763637717} a^{22} - \frac{1252295100}{68763637717} a^{21} - \frac{8847000}{2989723379} a^{20} + \frac{216187524}{68763637717} a^{19} + \frac{1216669401}{68763637717} a^{18} - \frac{317909717}{68763637717} a^{17} - \frac{25117927129}{68763637717} a^{16} + \frac{15009676392}{68763637717} a^{15} - \frac{16352633844}{68763637717} a^{14} - \frac{32128057259}{68763637717} a^{13} + \frac{29155643660}{68763637717} a^{12} + \frac{20333321859}{68763637717} a^{11} + \frac{11637621761}{68763637717} a^{10} - \frac{31983089758}{68763637717} a^{9} - \frac{20280942987}{68763637717} a^{8} - \frac{33793659851}{68763637717} a^{7} + \frac{886245350}{68763637717} a^{6} + \frac{28128408592}{68763637717} a^{5} - \frac{16357930153}{68763637717} a^{4} + \frac{15276284308}{68763637717} a^{3} - \frac{30515299166}{68763637717} a^{2} - \frac{1346920846}{2989723379} a + \frac{21989542}{129987973}$, $\frac{1}{68763637717} a^{36} + \frac{6}{68763637717} a^{34} + \frac{586285}{68763637717} a^{33} + \frac{798527}{68763637717} a^{32} - \frac{168587}{68763637717} a^{31} + \frac{10992}{68763637717} a^{30} - \frac{660846}{68763637717} a^{29} + \frac{2739}{2989723379} a^{28} + \frac{18830412}{68763637717} a^{27} - \frac{18123265}{68763637717} a^{26} + \frac{528847857}{68763637717} a^{25} - \frac{333242747}{68763637717} a^{24} - \frac{17693822}{2989723379} a^{23} - \frac{1149908550}{68763637717} a^{22} + \frac{162470}{129987973} a^{21} - \frac{1111547058}{68763637717} a^{20} - \frac{906605361}{68763637717} a^{19} + \frac{722240699}{68763637717} a^{18} - \frac{283232433}{68763637717} a^{17} - \frac{26550816848}{68763637717} a^{16} + \frac{1182722386}{2989723379} a^{15} + \frac{9127676248}{68763637717} a^{14} + \frac{6648635050}{68763637717} a^{13} - \frac{15212919133}{68763637717} a^{12} - \frac{25956888704}{68763637717} a^{11} - \frac{429490539}{1026322951} a^{10} - \frac{27007986853}{68763637717} a^{9} + \frac{22136935007}{68763637717} a^{8} - \frac{17023528737}{68763637717} a^{7} - \frac{11074460756}{68763637717} a^{6} + \frac{19603189395}{68763637717} a^{5} + \frac{14158956211}{68763637717} a^{4} - \frac{12453131232}{68763637717} a^{3} - \frac{193926419}{68763637717} a^{2} - \frac{971408855}{2989723379} a - \frac{10724677}{129987973}$, $\frac{1}{257794877801033} a^{37} - \frac{81}{11208472947871} a^{36} - \frac{219}{257794877801033} a^{35} - \frac{1505531}{257794877801033} a^{34} + \frac{3513455034}{257794877801033} a^{33} - \frac{2279372526}{257794877801033} a^{32} + \frac{2326017618}{257794877801033} a^{31} + \frac{583654512}{257794877801033} a^{30} - \frac{2684730025}{257794877801033} a^{29} + \frac{2044245086}{257794877801033} a^{28} - \frac{47559071}{167290641013} a^{27} + \frac{44567485218}{257794877801033} a^{26} + \frac{1958010335175}{257794877801033} a^{25} + \frac{3429931835818}{257794877801033} a^{24} - \frac{146308170369}{11208472947871} a^{23} + \frac{2005800222581}{257794877801033} a^{22} + \frac{3342581449686}{257794877801033} a^{21} + \frac{2668570982714}{257794877801033} a^{20} - \frac{2353919865074}{257794877801033} a^{19} - \frac{677231631368}{257794877801033} a^{18} + \frac{2229223596778}{257794877801033} a^{17} + \frac{32852369534568}{257794877801033} a^{16} + \frac{127202290858423}{257794877801033} a^{15} + \frac{12761849613770}{257794877801033} a^{14} - \frac{115056003518572}{257794877801033} a^{13} - \frac{119271229508279}{257794877801033} a^{12} + \frac{91189012777523}{257794877801033} a^{11} - \frac{94973303809530}{257794877801033} a^{10} - \frac{58287894031500}{257794877801033} a^{9} - \frac{89583337160481}{257794877801033} a^{8} - \frac{4267073883913}{257794877801033} a^{7} + \frac{38384353583035}{257794877801033} a^{6} - \frac{78450357212001}{257794877801033} a^{5} + \frac{118259502491922}{257794877801033} a^{4} - \frac{24525686988250}{257794877801033} a^{3} - \frac{78985149998597}{257794877801033} a^{2} + \frac{4538325398}{11208472947871} a + \frac{139309997}{2989723379}$, $\frac{1}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{38} + \frac{3037819582888935637821097192626390158261092523367180742717586274950675281593537141373747422088053222510701467777223359436189077413312822244965706034172520178281171895469032137314315442914192362477333285148149874131233282889725719092323410900809503193207837086261696133083746}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{37} + \frac{15575359667451164653785795232476170575789678779508896188177567164524498067821326305680385355506016778461080297793536533121155800576480802388202615254563753876952299306387622318433417930253113768424358015984425605149565416325620535519781152422608646857611867180094374178717183441}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{36} - \frac{1610706390029107790409521473965481855510992584619743894977476969903686943843766745796610743058250578415784268916230783164859487229120911905846320159968003795907017448761597416001413613267700363043825913338768400530124504527975168203686408051458921829541769042255024719069311366}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{35} - \frac{11586421076065362585333377659064943829456521173618783244096375632199393174889544969250849280189919447101664011777900784796189088526016297695158444878109930209603076811233495216146823057903869395446226052323097049008692335618152782179585954458508159315748012695723624120654695150260}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{34} + \frac{21037593200011973974312593136521515930752968894044545077057449543990549144726796542726261252061656129024369349155489321017425475451277962679435798636278854108156909466175644712430553065711122249216633374846711115292356628655257852240869071903310293624724093072930358881468979957324584}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{33} - \frac{19397848095171894177860498825327161678138094125737011347832373360792219446095524511400560048825170375230881708384586754782581096103612046847741816289875275161225562670148030729653989463903870979696644240709386627207798111286694405090721391034444070603597274601903251807554698669985530}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{32} - \frac{23554480381501804598654852654963853066338823547543120310806051006009837132295403253261801584585327507549245675429194514751958335863856121891389955987988027105076964383571350702647534484485047812136268083501654932127413467674629739093949758932212720785362058801444210213267774554452244}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{31} + \frac{16597727674861121406088413026077803660582995021620469648864543747794308195872640148967919649717173932419183517985064840993368544950466630809259020526582213166157149969758143125687429161773811159904374851559952130877796626216054116756727071600914019922806303337941692533759356091339884}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{30} - \frac{36708326938457467183162658777441422748713308184474671869517204756790661577029007520489852894658945733188484996897096233338226243427709382740614864031290004221619256279302525067503696015119306504805295056095936436616981486080233965194447626281169810018603260875466501682475517211008543}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{29} + \frac{18325270332260090274401938732391914263382437522594364708551143065120632225883787881715380218617438820256783906843527952644615811703284344729621150807842327561936351905236742337582382063093185576843057564585718631326827664107463267448227019311818145088018518245560747825358299547070473}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{28} + \frac{95660927066476631356215382632183009451776052386703753710807773130496072881415491157169169227822349483038147591445404979322964279206018331359637510364491921123655866661848528746230930060372405692739571374064895749480331639140803547511994018660786197985535559294685257258823728739934588}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{27} + \frac{81997049443675149776389852933136246751331669120582296451341927459890795945658700032492247994871905485538726446926535269511648686596355439774978880439965089396745825728424701142833569314486222479051819492744500002764089933890803824925570321746434228261967923759053280438994952513140962}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{26} - \frac{40226301065326594584439010093705658764434950490143972711020496968660215010461815437155143910965370731690633050176685865554177627885914515890553017850872004824981654111720990394380243841229283387545258995967395334272510944249295591365622342445430069846704536842636537682974627744672387903}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{25} + \frac{41472018092062111863900175592651314803991326725175282236701082797973638072582464812530102577836354916519017839237189143914255831189443107692526251081949609636453114763940640635499838821280825384831605581169969007195624336611409781975566537167759817893884708431211071171760801715448494592}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{24} - \frac{18434826370157327225305768255752660153502140819414510665908117387178113162890333552824584257081183855077322516839393749801181007545908606096883732091626257936020614721396165872624967189811161105617282328409537494682249042348899995397081487988171970863020000032965251306919462839034819142}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{23} - \frac{13114005368711158142248066817893897019537614605134856031231702441026475111360892237612543450854971098555447393635125405033713426019287614356578000812001941201596644514908929662640762995204830165510761278870171418964711192096967555449097266565307129546546033447964155773667093739347355157}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{22} - \frac{52010206069186018930889909856396819868330993960992970458906898422265052980478458424189664527844885571001720116790832200373861623260722095109228205575473005677094021161568799949236533327524699580993992539297296002028085872782134617449422678828265086597437329586993680015652279667234050338}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{21} - \frac{7633293721898737664133583517217958361272934971956456511173852815896393381934959322288452196612687433689613885932689309512921755870798241687867727957435414097554898146257208587230436016692697469526134856418478831730321820512604524082512251279109730890563973012586917086877213605027231009}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{20} - \frac{24834249433003945560001928628645978154851191982735301973999681427261575323284541492973836738987463839898780653090696631015850078644290822550075675785345349441378518563995644271786145836901274567859818971672379868854882779573434391605685550553707500184694402975355564496515757748571895125}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{19} - \frac{56431638039452857419016163285376542470198188846044178276410453583452729382452070037401473047673536935206414148938676165461986812216739508315305465810358366446890752720991248074112106784928989661345379849204650138492732100651960270871999945776434286119109217910828317157939623977593386559}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{18} + \frac{51162652991953643535512665401298312743034180610115196395577406351079859712126498061183814185210261227105750360657357150442897413642544807178663494638277217456136885224606555975076534647344559685628544376534646097013860814013009278618100124353384534734110398923220024481756562921480325823}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{17} + \frac{1265740724205375427307933729881483611679886845012176812454080494754910069520996411133243820011014410587770254629448130453453310397266126017068393286331672652336238744042164544863963547789240766314194459628947137739198186925598422729029205470197804742597845593366866427794822863360195354105}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{16} + \frac{1067966281363661280197644231769731467160743917321637470226593358490931971263367706428495232566366873971031824538132227993769840758463062037885726481646276802683078099547039869879464525606550097177789929043866393384924544281884780769204363982801462405325937372555420047312110158874061891996}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{15} - \frac{1056324894679674102453759356874514707358320315066477562735329198933073707192914061408591470162743787276612973905191412681957844893255910537152041024831749590276490763929909296452892314138504878141049287360410063620642893256765462076503953387461151077203790144886637436426617355240567419976}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{14} + \frac{13349692120216138005534596366892481619202335693613731652811101839091383933508041500039111807758851092083482329087477084410521854751276765046741307555715254745979030931927786419898587821186029922641527391072553498838918381244059454735434446127397844412747748670887473010931488144444069595}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{13} + \frac{289182199730449020533042619073859529736870359822074361705988298876092650812384292759818783529046449701562912302157417187882752059287159870754327184714150140862949927961079290569442010018207387358957323921946981502721727830822097627230093828387732399659283075444389219795204971415329456961}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{12} - \frac{777085770717238120898469546935754291687201019553796704183407076507393244153121189747339848319497593050524808275398808232970852934149584783568169471348107070541710524252097350964636014020768613576833793292340280219211283858501870128968764618993772687177358348618652356716281816263947641457}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{11} + \frac{470439090020662999299942900231954110220221839837619179112146143107713683007572152354463874428145040968060163102667302467598402484720278237183281292860342960717172448025707412165120274325944208811798911505744310403928479239608379814073421355056427895612723269746615470242236873346300015117}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{10} + \frac{1302196748768086459089559129104447836788963380048502231544040691704769666644299352458245298185096836998019949534505994596122735236553433856841112173327211216116426646410618823057612585053315038560800886942670018400342038100159345706583299313320201976582429235029915554437281849921111289215}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{9} + \frac{94350526093702501846231504936028403394848676444072863351804659839372258768257456707446484410037741395537754451978054050700942198178645740309595054996283670298456340679366968916573219586992733141290730226627299311823875502594723031785474983965613823711989516235621876650744127375008156532}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{8} - \frac{799871806064174457029981862377918414174484006492152422158837415252455766664641530251335901814558761616261470431384021440406039060169140910529668846374096403643880708741932513501620303736509671086010248099796907760132074009710915341626479769220344253182057976885623737339173807491364285283}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{7} + \frac{358685009862660476079856357897335192069913940417166066094133154306694032503219544854952369172151717617052143255342549941513849919417290908090957219788109821554003597747693345262043365124822229930655489923481057544290192750203058759076641308346265476817823533368360619714604832241939096839}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{6} + \frac{555393673106549607451102199546489249549433617821309230692899613853813738418239793596595581473640112140824497950628975077397360481372322107170181885530066976823482835453126065673663903607780056325328569989461542693982880572860528397707232333132541163376137906442685281188272304649378930596}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{5} + \frac{120938614443182573871368393083246603986995489173738692389832957532860846762187337657930055019848385340925713409062270504496669418983229091440567619617798801826171588157059434626730397388911001317100244207322638831478558625826696958154421870816500122842546925068286864365281499461084176443}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{4} - \frac{1027691920904309586215177159965536263157843048483845453690658507020305902739486683874341519327612704248094547408850919684184902545840422260059634894262474491571011539076406903506596204793352858124622252758658702659125552438733096809240286092613142387335434627242933302733322534096515466403}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{3} - \frac{309987985588914211624373291223338013115790072107936414624168118522313919318065688624418034909338464003455298902022534015543049012786974433587341537649688039528569275211071025592660181337663564749390767997915659642176476333649618922688819326315945838204934158115955541782271280105552409858}{2609359703070305542869104271377550557283016198689929423872621855725809340367001428224011113272452915463766682344102605947055126814418455786653720245302613527788245307455680527984808581783518184825694306036364448594933952268256420736072808790317481786174716521405611958033753272512768424943} a^{2} + \frac{30764589280953843624346111101875597886825990696571354154719402256610910642158467674423671252195316669101659019069861094388237855396886310216603464884743392096083516308862551663525201002239757789554997773567336831803483417480506609850554177624425312728268801333041879322857315860806184350}{113450421872621980124743663972936980751435486899562148864027037205469971320304409922783091881410996324511594884526200258567614209322541555941466097621852762077749795976333935999339503555805138470682361132015845591084084881228540032003165599579020947224987674843722259044945794457076888041} a - \frac{1860002583116867225435842601890887754595813266429991342539268866770031155055990023893346241247846325346715018106928671196571134391524798402805880112974127684688045113350457004489835170314219915872016504155311761542258514827056181260962511941916272228006400454153768402072872472120370}{30261515570184577253866007994915172246315147212473232559089633823811675465538652953529765772582287629904399809156095027625397228413588038394629527239758005355494744192140287009693119113311586681963819987200812374255557450314361171513247692605767123826350406733454857040529686438270709}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $38$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{39}$ (as 39T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 39
The 39 conjugacy class representatives for $C_{39}$
Character table for $C_{39}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.877969.1, 13.13.458010137458255714802917980980035681.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $39$ $39$ $39$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/13.3.0.1}{3} }^{13}$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/23.1.0.1}{1} }^{39}$ $39$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/41.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ $39$ $39$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
937Data not computed