↑

Properties

Label 39.39.8320218171...4801.2
Degree $39$
Signature $[39, 0]$
Discriminant $3^{52}\cdot 79^{38}$
Root discriminant $305.58$
Ramified primes $3, 79$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{39}$ (as 39T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1075512295747, -5146532589771, -73740757923315, -59632171643934, 698944716032751, 1157156267855625, -2202937031211426, -5293388896015467, 2159465693586741, 10558980638642454, 1465701883750416, -10914822027031086, -4725650025499719, 6285983642002179, 4196664129873231, -2057859861184228, -2017784741258409, 341698986985275, 605746157617644, -1823113254630, -120635759398347, -11967377146298, 16432247086167, 2810177785458, -1553454595933, -355443646614, 102241716102, 28932877445, -4645709076, -1593173961, 142319290, 59981382, -2797074, -1521777, 31758, 24885, -158, -237, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - 237*x^37 - 158*x^36 + 24885*x^35 + 31758*x^34 - 1521777*x^33 - 2797074*x^32 + 59981382*x^31 + 142319290*x^30 - 1593173961*x^29 - 4645709076*x^28 + 28932877445*x^27 + 102241716102*x^26 - 355443646614*x^25 - 1553454595933*x^24 + 2810177785458*x^23 + 16432247086167*x^22 - 11967377146298*x^21 - 120635759398347*x^20 - 1823113254630*x^19 + 605746157617644*x^18 + 341698986985275*x^17 - 2017784741258409*x^16 - 2057859861184228*x^15 + 4196664129873231*x^14 + 6285983642002179*x^13 - 4725650025499719*x^12 - 10914822027031086*x^11 + 1465701883750416*x^10 + 10558980638642454*x^9 + 2159465693586741*x^8 - 5293388896015467*x^7 - 2202937031211426*x^6 + 1157156267855625*x^5 + 698944716032751*x^4 - 59632171643934*x^3 - 73740757923315*x^2 - 5146532589771*x + 1075512295747)
 
gp: K = bnfinit(x^39 - 237*x^37 - 158*x^36 + 24885*x^35 + 31758*x^34 - 1521777*x^33 - 2797074*x^32 + 59981382*x^31 + 142319290*x^30 - 1593173961*x^29 - 4645709076*x^28 + 28932877445*x^27 + 102241716102*x^26 - 355443646614*x^25 - 1553454595933*x^24 + 2810177785458*x^23 + 16432247086167*x^22 - 11967377146298*x^21 - 120635759398347*x^20 - 1823113254630*x^19 + 605746157617644*x^18 + 341698986985275*x^17 - 2017784741258409*x^16 - 2057859861184228*x^15 + 4196664129873231*x^14 + 6285983642002179*x^13 - 4725650025499719*x^12 - 10914822027031086*x^11 + 1465701883750416*x^10 + 10558980638642454*x^9 + 2159465693586741*x^8 - 5293388896015467*x^7 - 2202937031211426*x^6 + 1157156267855625*x^5 + 698944716032751*x^4 - 59632171643934*x^3 - 73740757923315*x^2 - 5146532589771*x + 1075512295747, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{39} - 237 x^{37} - 158 x^{36} + 24885 x^{35} + 31758 x^{34} - 1521777 x^{33} - 2797074 x^{32} + 59981382 x^{31} + 142319290 x^{30} - 1593173961 x^{29} - 4645709076 x^{28} + 28932877445 x^{27} + 102241716102 x^{26} - 355443646614 x^{25} - 1553454595933 x^{24} + 2810177785458 x^{23} + 16432247086167 x^{22} - 11967377146298 x^{21} - 120635759398347 x^{20} - 1823113254630 x^{19} + 605746157617644 x^{18} + 341698986985275 x^{17} - 2017784741258409 x^{16} - 2057859861184228 x^{15} + 4196664129873231 x^{14} + 6285983642002179 x^{13} - 4725650025499719 x^{12} - 10914822027031086 x^{11} + 1465701883750416 x^{10} + 10558980638642454 x^{9} + 2159465693586741 x^{8} - 5293388896015467 x^{7} - 2202937031211426 x^{6} + 1157156267855625 x^{5} + 698944716032751 x^{4} - 59632171643934 x^{3} - 73740757923315 x^{2} - 5146532589771 x + 1075512295747 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $39$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[39, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(8320218171789251028069979650899790239310515771557947367834077287023540263376505733290557577514801=3^{52}\cdot 79^{38}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $305.58$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 79$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(711=3^{2}\cdot 79\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{711}(256,·)$, $\chi_{711}(1,·)$, $\chi_{711}(643,·)$, $\chi_{711}(4,·)$, $\chi_{711}(10,·)$, $\chi_{711}(16,·)$, $\chi_{711}(529,·)$, $\chi_{711}(25,·)$, $\chi_{711}(640,·)$, $\chi_{711}(541,·)$, $\chi_{711}(286,·)$, $\chi_{711}(31,·)$, $\chi_{711}(160,·)$, $\chi_{711}(289,·)$, $\chi_{711}(418,·)$, $\chi_{711}(40,·)$, $\chi_{711}(427,·)$, $\chi_{711}(562,·)$, $\chi_{711}(46,·)$, $\chi_{711}(433,·)$, $\chi_{711}(178,·)$, $\chi_{711}(310,·)$, $\chi_{711}(439,·)$, $\chi_{711}(184,·)$, $\chi_{711}(313,·)$, $\chi_{711}(445,·)$, $\chi_{711}(64,·)$, $\chi_{711}(694,·)$, $\chi_{711}(460,·)$, $\chi_{711}(334,·)$, $\chi_{711}(400,·)$, $\chi_{711}(100,·)$, $\chi_{711}(358,·)$, $\chi_{711}(367,·)$, $\chi_{711}(496,·)$, $\chi_{711}(625,·)$, $\chi_{711}(115,·)$, $\chi_{711}(250,·)$, $\chi_{711}(124,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $\frac{1}{103} a^{32} + \frac{2}{103} a^{31} - \frac{1}{103} a^{30} - \frac{10}{103} a^{29} - \frac{33}{103} a^{28} + \frac{3}{103} a^{27} + \frac{25}{103} a^{26} + \frac{43}{103} a^{25} - \frac{8}{103} a^{24} + \frac{41}{103} a^{23} - \frac{10}{103} a^{22} - \frac{13}{103} a^{21} - \frac{36}{103} a^{20} - \frac{3}{103} a^{19} - \frac{38}{103} a^{18} - \frac{35}{103} a^{17} + \frac{7}{103} a^{16} + \frac{11}{103} a^{15} - \frac{44}{103} a^{14} + \frac{23}{103} a^{13} - \frac{12}{103} a^{12} + \frac{27}{103} a^{11} - \frac{37}{103} a^{10} - \frac{11}{103} a^{9} - \frac{5}{103} a^{8} - \frac{44}{103} a^{7} - \frac{36}{103} a^{6} - \frac{36}{103} a^{5} - \frac{1}{103} a^{4} + \frac{7}{103} a^{3} + \frac{14}{103} a^{2} + \frac{3}{103} a$, $\frac{1}{103} a^{33} - \frac{5}{103} a^{31} - \frac{8}{103} a^{30} - \frac{13}{103} a^{29} - \frac{34}{103} a^{28} + \frac{19}{103} a^{27} - \frac{7}{103} a^{26} + \frac{9}{103} a^{25} - \frac{46}{103} a^{24} + \frac{11}{103} a^{23} + \frac{7}{103} a^{22} - \frac{10}{103} a^{21} - \frac{34}{103} a^{20} - \frac{32}{103} a^{19} + \frac{41}{103} a^{18} - \frac{26}{103} a^{17} - \frac{3}{103} a^{16} + \frac{37}{103} a^{15} + \frac{8}{103} a^{14} + \frac{45}{103} a^{13} + \frac{51}{103} a^{12} + \frac{12}{103} a^{11} - \frac{40}{103} a^{10} + \frac{17}{103} a^{9} - \frac{34}{103} a^{8} - \frac{51}{103} a^{7} + \frac{36}{103} a^{6} - \frac{32}{103} a^{5} + \frac{9}{103} a^{4} - \frac{25}{103} a^{2} - \frac{6}{103} a$, $\frac{1}{103} a^{34} + \frac{2}{103} a^{31} - \frac{18}{103} a^{30} + \frac{19}{103} a^{29} - \frac{43}{103} a^{28} + \frac{8}{103} a^{27} + \frac{31}{103} a^{26} - \frac{37}{103} a^{25} - \frac{29}{103} a^{24} + \frac{6}{103} a^{23} + \frac{43}{103} a^{22} + \frac{4}{103} a^{21} - \frac{6}{103} a^{20} + \frac{26}{103} a^{19} - \frac{10}{103} a^{18} + \frac{28}{103} a^{17} - \frac{31}{103} a^{16} - \frac{40}{103} a^{15} + \frac{31}{103} a^{14} - \frac{40}{103} a^{13} - \frac{48}{103} a^{12} - \frac{8}{103} a^{11} + \frac{38}{103} a^{10} + \frac{14}{103} a^{9} + \frac{27}{103} a^{8} + \frac{22}{103} a^{7} - \frac{6}{103} a^{6} + \frac{35}{103} a^{5} - \frac{5}{103} a^{4} + \frac{10}{103} a^{3} - \frac{39}{103} a^{2} + \frac{15}{103} a$, $\frac{1}{103} a^{35} - \frac{22}{103} a^{31} + \frac{21}{103} a^{30} - \frac{23}{103} a^{29} - \frac{29}{103} a^{28} + \frac{25}{103} a^{27} + \frac{16}{103} a^{26} - \frac{12}{103} a^{25} + \frac{22}{103} a^{24} - \frac{39}{103} a^{23} + \frac{24}{103} a^{22} + \frac{20}{103} a^{21} - \frac{5}{103} a^{20} - \frac{4}{103} a^{19} + \frac{1}{103} a^{18} + \frac{39}{103} a^{17} + \frac{49}{103} a^{16} + \frac{9}{103} a^{15} + \frac{48}{103} a^{14} + \frac{9}{103} a^{13} + \frac{16}{103} a^{12} - \frac{16}{103} a^{11} - \frac{15}{103} a^{10} + \frac{49}{103} a^{9} + \frac{32}{103} a^{8} - \frac{21}{103} a^{7} + \frac{4}{103} a^{6} - \frac{36}{103} a^{5} + \frac{12}{103} a^{4} + \frac{50}{103} a^{3} - \frac{13}{103} a^{2} - \frac{6}{103} a$, $\frac{1}{2369} a^{36} + \frac{8}{2369} a^{34} - \frac{7}{2369} a^{33} + \frac{4}{2369} a^{32} + \frac{845}{2369} a^{31} + \frac{378}{2369} a^{30} + \frac{263}{2369} a^{29} + \frac{812}{2369} a^{28} + \frac{952}{2369} a^{27} + \frac{1038}{2369} a^{26} - \frac{352}{2369} a^{25} - \frac{775}{2369} a^{24} - \frac{999}{2369} a^{23} + \frac{982}{2369} a^{22} + \frac{171}{2369} a^{21} - \frac{235}{2369} a^{20} - \frac{366}{2369} a^{19} - \frac{801}{2369} a^{18} + \frac{369}{2369} a^{17} - \frac{1169}{2369} a^{16} + \frac{888}{2369} a^{15} + \frac{808}{2369} a^{14} - \frac{227}{2369} a^{13} + \frac{270}{2369} a^{12} + \frac{642}{2369} a^{11} - \frac{226}{2369} a^{10} + \frac{20}{103} a^{9} - \frac{315}{2369} a^{8} - \frac{4}{103} a^{7} - \frac{448}{2369} a^{6} - \frac{1038}{2369} a^{5} + \frac{127}{2369} a^{4} - \frac{163}{2369} a^{3} + \frac{839}{2369} a^{2} - \frac{584}{2369} a + \frac{5}{23}$, $\frac{1}{626337541} a^{37} + \frac{124070}{626337541} a^{36} - \frac{1510448}{626337541} a^{35} + \frac{1265655}{626337541} a^{34} - \frac{2428070}{626337541} a^{33} + \frac{2726538}{626337541} a^{32} - \frac{258575974}{626337541} a^{31} - \frac{47913257}{626337541} a^{30} + \frac{55869893}{626337541} a^{29} + \frac{284906470}{626337541} a^{28} + \frac{292579280}{626337541} a^{27} + \frac{54730564}{626337541} a^{26} + \frac{94932175}{626337541} a^{25} - \frac{8605505}{27232067} a^{24} - \frac{188643902}{626337541} a^{23} + \frac{5949948}{27232067} a^{22} + \frac{224001123}{626337541} a^{21} - \frac{220560884}{626337541} a^{20} + \frac{40868605}{626337541} a^{19} + \frac{1307790}{626337541} a^{18} + \frac{214746389}{626337541} a^{17} - \frac{13289685}{27232067} a^{16} - \frac{111192}{264389} a^{15} - \frac{231505852}{626337541} a^{14} - \frac{290024968}{626337541} a^{13} + \frac{290475023}{626337541} a^{12} - \frac{203918104}{626337541} a^{11} - \frac{270748355}{626337541} a^{10} - \frac{130082772}{626337541} a^{9} + \frac{85395744}{626337541} a^{8} - \frac{33493853}{626337541} a^{7} + \frac{8812750}{626337541} a^{6} + \frac{113502435}{626337541} a^{5} - \frac{25737642}{626337541} a^{4} + \frac{129459727}{626337541} a^{3} + \frac{280264969}{626337541} a^{2} + \frac{101141563}{626337541} a - \frac{1798583}{6080947}$, $\frac{1}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{38} - \frac{21629655719834678536102964284972134966160171305189279268640854702041322750230541581958433410606040619538552313218328452074591459325818492951075911825015906282881944728631994120712952922683094198994400547360397955656935117315990798230506516429873346701137334}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{37} + \frac{51513111465309642497424056122627570069680336192914510789914009337364780006171202081683986790463040274802392372643938311658230459183150278855625336079489642901985970906742289084769105420011196131366288695937902523960244429117748365770158362278079122048873946502924}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{36} - \frac{1053277935377657462620147215174617001072138589120053378053283077056559684910275245872706611978198646033659576995911923285987134774332351905858688643905168684226032983721831796762263512025351092859780988729038628655186568862878503628896297207243697006885531502220325}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{35} + \frac{430320883265026575383879222050519097184976741320293586390085034437103676483659126238960114145029552809865218624665931378415988769934137931658369844205820664582494641135172190133614925229614444064024747788989319435206946005841047105394034043125253591776798051446040}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{34} - \frac{1157253307940157747798526237908308938022497747110869627949923694085273591140756883264154031951262605015307306787282287231516976526233887418056011921444244692536509252763235173445797596599197837327906785493350274901488138446074027023685699603785920201309361612261186}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{33} - \frac{1090583729767620955172930101578491095160682417529617476463372487951837524280151079958102785598537142882726574261554274649978874781366606313350432124820712376024993520721009431346957676117881078916240822092260967659196111780844126416751335927011216840270881677134070}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{32} - \frac{104180080964730933349881784596644586004435182039675265500420725846389301707474080824851011894318467131098654584425918460050398085348552229099082215339199022552413184893330756199771470514858589349779524354663158722791683811918099996610130966734529170755982197717919176}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{31} + \frac{4045844727262275449586232473691720956990249160951754042854835343198367098747261772696788966969995652698112814731987405073850956473736315709794322551199073265315277459395076636618200121289056753067008720996707826958724001967677576961088979073013407753887027624375290}{12106370399805832644165027839717980042309733986203937928584010131101428374819281138710453124581361759675466300845215982444186276813769608831395128235606131045319952757806297082172736949707433441332631243344019903410198523631991165293561037505453291981804357841624201} a^{30} - \frac{108268770089765497275982160930343881518244658712532260526913877938633500547734247245023810258989246172663967625472021863356434020025874113350978370619347606692609008945709863613608879959929058040032815998782310514988857631739807811260404757905200668563836008835435172}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{29} - \frac{1874111442950967632668332223469682163172086518381723507928428952293111355608995122477981340580701131104832892032872939779146182915107396507517953639360648414682849828881289702771725498528458498664816241722720137943778366737176882835630373352942556332436469988812680}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{28} + \frac{37457081317993606818845302703309139584325691000319633391651198204697933947857574383781807430961683873014538078437330530826550539997593005882617470827866005920864577409068725092476180842266982814033634271503010494074176416472360480906054785748595951395202002276332045}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{27} + \frac{112691840213119238755152620775503839306860371616509470072813184070656477440746885650968071996675485960893376340464172264932442477103581445221705053939006452119153696391977051901721218922041628257659606408764878637990935488410155356341739439073263878543909758255928310}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{26} - \frac{31096418436476333397974271151597879714586271185420432333248824133570620214184390839886627227204872688705896767532699230168310269895056045077124727126380410291256202775198492924362200345223786735148574761182724447091472149240955169221423741523833320685397133828854940}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{25} - \frac{137344340431005062776545114869193445665769313047604463262981226355343816972693135552800391236073461193861752251357269698338216265111523918098905845660847455861347396379077791134719004441464806626786926196517950872459296352195143622737194071014199612145225021165935832}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{24} - \frac{105203815125697895407480763877454762049718402803190690129070085830208890421518711255905411781295893886045203524315150378406055746545749232754925394064367769325711979938179309252408222823541967908253906391911874978900417284529250654344083023920509604315992643628102476}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{23} - \frac{107084743518910445136565039114943474255142851344397225082807684815017536713154681874571454273257759332568332098609050289335007082959289472559699620975684478391095897313566361267481771556196204095684044460150741736925432358890757150705473382636510465752404571279451104}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{22} - \frac{89645421792755556019264146799335981337178411492212375603818597922043186827229434315664049857858352583759616384297688806047570532807529055430245319664973851938295770239293960765427626205432035425109400522072197985743078120284297528130974235632929523228617384807688}{441278160373271237425983582113333662397977625487623727983252350262017199082160802203392110721666118023036014135404069090675569519360857374202991995909573714805640116370118594120400871383947653170603040565629885544270310687061484630351670146791482909003962330201833} a^{21} - \frac{70381641317406570028740384808930164901853061015765339204890068467105063173258722692772626341296589604136630211581594905023677299131878311227858824135888565303355378895942016817490717803534326853183740716345817282339170807353208339466033967025655627384792581413188138}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{20} - \frac{98918887679775255063122492847768533472608056181319215396504225820858455199303760282189398556638552190347630671038294389203069436314685447998583626622323987252252364593575844391496667211602181037256795422544779600487906069324131606044474457626949574685313698802487288}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{19} - \frac{3435749579370681122415863816503825381798373300324600544063412744576176144571153423597836894262551484759264179286815562254472359650737058389596993751989197892330372734655711245095172736407115151199494547638348259732611106117693181371189133533062345408745540867956794}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{18} - \frac{2863557325030974418962007299978111072142399635600175814058115871128206223214066104049081648526925558802075007474148391388491664520136063259800307257928488652884659208220563449557316892841231464519386574505530449459847958185992777217771555934616804750295578212668524}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{17} + \frac{48611018478903769633292865178150324760613430765708899537870581091610985101524998749834231540929057210302540857413376009442771427212095119903918964792547411130776978017990612428079536187986571542171984020818633789166996970130238634183574782377871949822113755035030997}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{16} + \frac{49463026221317419323279992822765896159193137978614358749581781755351362660780098309378644792024713069567660732813528467553670799028619413982026076006499391077533564878781958255390643151356085347489829654078900856277046553032822961864743144850102355869642174362846507}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{15} + \frac{49673840169881717034645336864731801259423876713570223484431810236253778849062934547905596549608958490080809308219037206171636794072424963576109335833783501648701015490067649722091587389370786873300283295307652162668732070534145343758417321902382138738614409400570457}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{14} - \frac{55786883994385101860391826914786493124595419245138153618253482347656842090572080926179562061062506632443264558047861245546695909883549649457961480186894369787706639574804571135416401698269872949848957385261655428318415155785091001235164514272614296478672036939921830}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{13} + \frac{102357500831777267547060198977838837448624062698635483015990099259062745840545277191610805773129306533398164311826280748953420951111678183487256394791125407920758813232335678094475374401660299644846104454217925388767412694506061318046827299931669743149864164567333678}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{12} + \frac{52327876146129945808123133558702992474802318716237808340389390953710787289918731165067556728758712145485052912464370706152709146419205148226622765946090807798486342561255333956850279967459372418567095130457218313088615736661356086597118427864180804667385250545133865}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{11} - \frac{9007285898581388114632750082967735121239726207558079992289168296778783240858008092645213349945496144890983260653734682103285988044087580407747782392694551020047364475134710051771229391810835582425562702353777501022894448072347773297671369796823301951181209542269176}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{10} - \frac{67485204650982222331470257598345570453571820151684588285420045421517195385718326374113196167781068828041968544041371329222156321493820901478661509339637630769805619936166792600073740773104294964610673163602097153591036813494155294275260639666083730388316080176000211}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{9} - \frac{50446749832671582207127933652107740662432102480438134306363415978269268922003172076710931598057676745079784408187727522396263373721752853417547899102262670834662956106393518711253928906270834174868378586949527472236857113180504228381825468512859789207840290662333652}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{8} - \frac{64538397750111299846292181081304919477533925016783233735809004624647983028012696204584600104431004874670751330180286288964410154788528847078633913395064507381164280890759479396840410579315887616842231498437233939627885476591334871795665965003090837962318289239863657}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{7} - \frac{135727321100455416025783895246722089863001845910179000155348100907119953614558439813322094248143288650090652470267163885551605998712399733409003060703734802851242679610294166077603025647101672318198031434987296855589119256459967158155313306209683097452336730904098455}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{6} - \frac{74987540613859236056948626749607932235813366147642029076764885452734525025271342044811082553329115313646777835415708401122579996632698867754132687432808715768178785353542011308821046733878022455391249039219856501167128142807847085467356875923888382920680198185097117}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{5} + \frac{5551164011842407249940904550166441414635922045386966368539512305342497004407914013791867830358790179054799979473608416889671866225065001304450975365764966983501380135880474200633636053972657154479923817604025182473429295472903923092473701100769980576439625044003797}{12106370399805832644165027839717980042309733986203937928584010131101428374819281138710453124581361759675466300845215982444186276813769608831395128235606131045319952757806297082172736949707433441332631243344019903410198523631991165293561037505453291981804357841624201} a^{4} + \frac{55040766577042582307017855013027376534790285289568052848559733647931557559679341496687190005823935421093071250056295405218808012406923072559953515758287973217835562296519578606386056925662295492147502928429750955456289911246137745301511154062865788990978443815838675}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{3} - \frac{91088942572747146951552499904366892805839117961831409224617684037380075283730675572293157799717781532844541155725156872255839875948290060199988099043232096715836397171697631386228740110423042433975674513747031464701114600509672770622378174530827032431351602116732913}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a^{2} - \frac{15318505765911494757098199421027086812908987554112218505743908844691335184690996410759871048837694748902373213339026874363570386577364534381686999277011277068441435871531735683705919178240620035204529004680305917923503024781618987953488434549785612966761804296298141}{278446519195534150815795640313513540973123881682690572357432233015332852620843466190340421865371320472535724919439967596216284366716701003122087949418941014042358913429544832889972949843270969150650518596912457778434566043535796801751903862625425715581500230357356623} a - \frac{3698554876011402067193540387135431713696501324442625449323888820630063512192169037021824684917304405495831270556877930992684758969564171299450633901572835016929944393144259570013724259902419681317151008299353805140401873512304707079771973579073108443729061}{20452834526795372918476689301506760393335379433399249777509895248953340515812967497247073876473694920990626297448100856817592331594756810795325785039015271029702126001029633673819346419722105350147557608902889046606271106946707132203644568648363186541360011}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $38$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{39}$ (as 39T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 39
The 39 conjugacy class representatives for $C_{39}$
Character table for $C_{39}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.505521.2, 13.13.59091511031674153381441.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $39$ R $39$ ${\href{/LocalNumberField/7.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/11.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/13.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/17.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/23.3.0.1}{3} }^{13}$ ${\href{/LocalNumberField/29.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/47.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/59.13.0.1}{13} }^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
79Data not computed