↑

Properties

Label 39.39.7660137248...1761.1
Degree $39$
Signature $[39, 0]$
Discriminant $3^{52}\cdot 53^{36}$
Root discriminant $168.97$
Ramified primes $3, 53$
Class number $1$ (GRH)
Class group Trivial (GRH)
Galois group $C_{39}$ (as 39T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-430019, -14496000, -11643372, 422630171, 488059458, -4581690405, -4940743725, 25531114500, 23987475126, -84005722509, -68071818495, 176350634529, 124178901378, -248180206443, -153550437819, 242513964655, 132746230803, -168975543573, -81805437661, 85660814031, 36413436990, -32037019809, -11806339326, 8906870079, 2798088433, -1843142403, -483720000, 282448421, 60457005, -31665816, -5364720, 2542896, 327258, -141273, -12960, 5118, 298, -108, -3, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - 3*x^38 - 108*x^37 + 298*x^36 + 5118*x^35 - 12960*x^34 - 141273*x^33 + 327258*x^32 + 2542896*x^31 - 5364720*x^30 - 31665816*x^29 + 60457005*x^28 + 282448421*x^27 - 483720000*x^26 - 1843142403*x^25 + 2798088433*x^24 + 8906870079*x^23 - 11806339326*x^22 - 32037019809*x^21 + 36413436990*x^20 + 85660814031*x^19 - 81805437661*x^18 - 168975543573*x^17 + 132746230803*x^16 + 242513964655*x^15 - 153550437819*x^14 - 248180206443*x^13 + 124178901378*x^12 + 176350634529*x^11 - 68071818495*x^10 - 84005722509*x^9 + 23987475126*x^8 + 25531114500*x^7 - 4940743725*x^6 - 4581690405*x^5 + 488059458*x^4 + 422630171*x^3 - 11643372*x^2 - 14496000*x - 430019)
 
gp: K = bnfinit(x^39 - 3*x^38 - 108*x^37 + 298*x^36 + 5118*x^35 - 12960*x^34 - 141273*x^33 + 327258*x^32 + 2542896*x^31 - 5364720*x^30 - 31665816*x^29 + 60457005*x^28 + 282448421*x^27 - 483720000*x^26 - 1843142403*x^25 + 2798088433*x^24 + 8906870079*x^23 - 11806339326*x^22 - 32037019809*x^21 + 36413436990*x^20 + 85660814031*x^19 - 81805437661*x^18 - 168975543573*x^17 + 132746230803*x^16 + 242513964655*x^15 - 153550437819*x^14 - 248180206443*x^13 + 124178901378*x^12 + 176350634529*x^11 - 68071818495*x^10 - 84005722509*x^9 + 23987475126*x^8 + 25531114500*x^7 - 4940743725*x^6 - 4581690405*x^5 + 488059458*x^4 + 422630171*x^3 - 11643372*x^2 - 14496000*x - 430019, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{39} - 3 x^{38} - 108 x^{37} + 298 x^{36} + 5118 x^{35} - 12960 x^{34} - 141273 x^{33} + 327258 x^{32} + 2542896 x^{31} - 5364720 x^{30} - 31665816 x^{29} + 60457005 x^{28} + 282448421 x^{27} - 483720000 x^{26} - 1843142403 x^{25} + 2798088433 x^{24} + 8906870079 x^{23} - 11806339326 x^{22} - 32037019809 x^{21} + 36413436990 x^{20} + 85660814031 x^{19} - 81805437661 x^{18} - 168975543573 x^{17} + 132746230803 x^{16} + 242513964655 x^{15} - 153550437819 x^{14} - 248180206443 x^{13} + 124178901378 x^{12} + 176350634529 x^{11} - 68071818495 x^{10} - 84005722509 x^{9} + 23987475126 x^{8} + 25531114500 x^{7} - 4940743725 x^{6} - 4581690405 x^{5} + 488059458 x^{4} + 422630171 x^{3} - 11643372 x^{2} - 14496000 x - 430019 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $39$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[39, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(766013724834244650294524354961642632236263716231977842808077352289863965488994713581761=3^{52}\cdot 53^{36}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $168.97$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 53$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(477=3^{2}\cdot 53\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{477}(256,·)$, $\chi_{477}(1,·)$, $\chi_{477}(130,·)$, $\chi_{477}(259,·)$, $\chi_{477}(10,·)$, $\chi_{477}(13,·)$, $\chi_{477}(142,·)$, $\chi_{477}(16,·)$, $\chi_{477}(148,·)$, $\chi_{477}(280,·)$, $\chi_{477}(28,·)$, $\chi_{477}(415,·)$, $\chi_{477}(160,·)$, $\chi_{477}(289,·)$, $\chi_{477}(418,·)$, $\chi_{477}(169,·)$, $\chi_{477}(172,·)$, $\chi_{477}(301,·)$, $\chi_{477}(46,·)$, $\chi_{477}(175,·)$, $\chi_{477}(49,·)$, $\chi_{477}(307,·)$, $\chi_{477}(439,·)$, $\chi_{477}(187,·)$, $\chi_{477}(319,·)$, $\chi_{477}(448,·)$, $\chi_{477}(328,·)$, $\chi_{477}(331,·)$, $\chi_{477}(460,·)$, $\chi_{477}(205,·)$, $\chi_{477}(334,·)$, $\chi_{477}(208,·)$, $\chi_{477}(466,·)$, $\chi_{477}(346,·)$, $\chi_{477}(97,·)$, $\chi_{477}(100,·)$, $\chi_{477}(364,·)$, $\chi_{477}(367,·)$, $\chi_{477}(121,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $\frac{1}{2461} a^{33} - \frac{952}{2461} a^{32} - \frac{415}{2461} a^{31} - \frac{356}{2461} a^{30} + \frac{1210}{2461} a^{29} - \frac{38}{2461} a^{28} + \frac{250}{2461} a^{27} + \frac{454}{2461} a^{26} + \frac{330}{2461} a^{25} - \frac{1061}{2461} a^{24} + \frac{408}{2461} a^{23} - \frac{780}{2461} a^{22} - \frac{186}{2461} a^{21} - \frac{7}{23} a^{20} - \frac{200}{2461} a^{19} + \frac{684}{2461} a^{18} + \frac{1225}{2461} a^{17} - \frac{895}{2461} a^{16} + \frac{649}{2461} a^{15} + \frac{346}{2461} a^{14} - \frac{776}{2461} a^{13} - \frac{6}{23} a^{12} - \frac{573}{2461} a^{11} - \frac{1073}{2461} a^{10} + \frac{1123}{2461} a^{9} - \frac{645}{2461} a^{8} - \frac{436}{2461} a^{7} + \frac{16}{2461} a^{6} + \frac{1059}{2461} a^{5} - \frac{290}{2461} a^{4} - \frac{9}{107} a^{3} + \frac{125}{2461} a^{2} - \frac{1063}{2461} a - \frac{1061}{2461}$, $\frac{1}{2461} a^{34} - \frac{1071}{2461} a^{32} + \frac{785}{2461} a^{31} - \frac{545}{2461} a^{30} + \frac{134}{2461} a^{29} + \frac{43}{107} a^{28} - \frac{263}{2461} a^{27} - \frac{26}{107} a^{26} + \frac{24}{107} a^{25} - \frac{654}{2461} a^{24} - \frac{1202}{2461} a^{23} + \frac{476}{2461} a^{22} - \frac{629}{2461} a^{21} + \frac{442}{2461} a^{20} - \frac{219}{2461} a^{19} + \frac{228}{2461} a^{18} - \frac{1209}{2461} a^{17} + \frac{5}{107} a^{16} + \frac{21}{107} a^{15} - \frac{1158}{2461} a^{14} - \frac{1094}{2461} a^{13} + \frac{1032}{2461} a^{12} - \frac{227}{2461} a^{11} + \frac{942}{2461} a^{10} + \frac{377}{2461} a^{9} + \frac{774}{2461} a^{8} + \frac{853}{2461} a^{7} - \frac{936}{2461} a^{6} - \frac{1132}{2461} a^{5} - \frac{655}{2461} a^{4} - \frac{59}{2461} a^{3} - \frac{191}{2461} a^{2} + \frac{895}{2461} a - \frac{1062}{2461}$, $\frac{1}{1769459} a^{35} + \frac{128}{1769459} a^{34} - \frac{72}{1769459} a^{33} - \frac{486867}{1769459} a^{32} - \frac{723176}{1769459} a^{31} - \frac{12070}{76933} a^{30} + \frac{230226}{1769459} a^{29} + \frac{19459}{1769459} a^{28} + \frac{852887}{1769459} a^{27} + \frac{387398}{1769459} a^{26} - \frac{242649}{1769459} a^{25} + \frac{614762}{1769459} a^{24} + \frac{790710}{1769459} a^{23} - \frac{64295}{1769459} a^{22} - \frac{327409}{1769459} a^{21} - \frac{175084}{1769459} a^{20} - \frac{136547}{1769459} a^{19} + \frac{418432}{1769459} a^{18} + \frac{621236}{1769459} a^{17} - \frac{795228}{1769459} a^{16} + \frac{743471}{1769459} a^{15} + \frac{319386}{1769459} a^{14} - \frac{212839}{1769459} a^{13} + \frac{307563}{1769459} a^{12} + \frac{652108}{1769459} a^{11} - \frac{626122}{1769459} a^{10} - \frac{8048}{76933} a^{9} + \frac{479346}{1769459} a^{8} - \frac{730920}{1769459} a^{7} - \frac{784192}{1769459} a^{6} - \frac{876757}{1769459} a^{5} - \frac{383453}{1769459} a^{4} + \frac{533608}{1769459} a^{3} - \frac{656666}{1769459} a^{2} - \frac{822928}{1769459} a + \frac{425924}{1769459}$, $\frac{1}{72953621418683} a^{36} + \frac{13222845}{72953621418683} a^{35} - \frac{9351000118}{72953621418683} a^{34} + \frac{2195265261}{72953621418683} a^{33} - \frac{22462561014962}{72953621418683} a^{32} - \frac{31209068664940}{72953621418683} a^{31} - \frac{25556211314709}{72953621418683} a^{30} + \frac{5894258987003}{72953621418683} a^{29} + \frac{30243092004367}{72953621418683} a^{28} - \frac{215006713718}{3171896583421} a^{27} + \frac{17101236043388}{72953621418683} a^{26} - \frac{21071800342052}{72953621418683} a^{25} - \frac{17175348488027}{72953621418683} a^{24} - \frac{23457116889461}{72953621418683} a^{23} + \frac{28448169704192}{72953621418683} a^{22} + \frac{36380708400203}{72953621418683} a^{21} - \frac{9200604604572}{72953621418683} a^{20} + \frac{10189371521690}{72953621418683} a^{19} - \frac{15069617194344}{72953621418683} a^{18} + \frac{6187489496938}{72953621418683} a^{17} + \frac{12735728591442}{72953621418683} a^{16} + \frac{29177262034729}{72953621418683} a^{15} - \frac{28171218358168}{72953621418683} a^{14} - \frac{29545589905769}{72953621418683} a^{13} - \frac{29940558979291}{72953621418683} a^{12} + \frac{8133787204810}{72953621418683} a^{11} - \frac{20850884459734}{72953621418683} a^{10} + \frac{2901954465324}{72953621418683} a^{9} - \frac{29620734877058}{72953621418683} a^{8} - \frac{1688531867494}{72953621418683} a^{7} + \frac{35398108073775}{72953621418683} a^{6} + \frac{23864236999132}{72953621418683} a^{5} + \frac{27397641311219}{72953621418683} a^{4} + \frac{10925047353256}{72953621418683} a^{3} - \frac{11697730951444}{72953621418683} a^{2} - \frac{323061366876}{72953621418683} a + \frac{26311253964761}{72953621418683}$, $\frac{1}{375905279892812565463} a^{37} - \frac{1978636}{375905279892812565463} a^{36} + \frac{100930458438256}{375905279892812565463} a^{35} + \frac{8313272607969353}{375905279892812565463} a^{34} - \frac{534905447984706}{4528979275817018861} a^{33} + \frac{111094147298711089868}{375905279892812565463} a^{32} - \frac{3649923010033588298}{375905279892812565463} a^{31} - \frac{76658010139184937092}{375905279892812565463} a^{30} - \frac{33023649910327070331}{375905279892812565463} a^{29} - \frac{45697293831970247125}{375905279892812565463} a^{28} + \frac{108594585649155872531}{375905279892812565463} a^{27} + \frac{61757255038570352053}{375905279892812565463} a^{26} + \frac{93085132629269567112}{375905279892812565463} a^{25} + \frac{59931663785156369124}{375905279892812565463} a^{24} + \frac{21980510307568452024}{375905279892812565463} a^{23} - \frac{38338047029344122942}{375905279892812565463} a^{22} - \frac{148243074758920836515}{375905279892812565463} a^{21} + \frac{31452839463322598684}{375905279892812565463} a^{20} - \frac{21154824642894531350}{375905279892812565463} a^{19} - \frac{212801940710963173}{16343707821426633281} a^{18} - \frac{55066692493732929785}{375905279892812565463} a^{17} - \frac{79030499218333290007}{375905279892812565463} a^{16} + \frac{155892599856903193992}{375905279892812565463} a^{15} - \frac{94186664259937585658}{375905279892812565463} a^{14} + \frac{150849538958298959273}{375905279892812565463} a^{13} + \frac{1283588637471451602}{16343707821426633281} a^{12} + \frac{60682085667692381067}{375905279892812565463} a^{11} - \frac{89049961639572381324}{375905279892812565463} a^{10} - \frac{165063361854189880862}{375905279892812565463} a^{9} - \frac{160730004685477297371}{375905279892812565463} a^{8} + \frac{59235573170681915675}{375905279892812565463} a^{7} - \frac{142934653174190223694}{375905279892812565463} a^{6} - \frac{98094103536273352069}{375905279892812565463} a^{5} - \frac{112909370839558630265}{375905279892812565463} a^{4} + \frac{2192478919226456682}{16343707821426633281} a^{3} + \frac{2723910172803333312}{375905279892812565463} a^{2} - \frac{134098036992188095961}{375905279892812565463} a - \frac{10393646538197949848}{375905279892812565463}$, $\frac{1}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{38} - \frac{3500390623510755393496540202258844265078989574272937656705412399470017784900946164161083808393801956820}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{37} + \frac{121746395443203929288882784715710686791069803978711568087806411950486746377522851903346297742629090004343438676}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{36} - \frac{147740089230546884579607531840438087640933205062506497998206852223826353227167998221504296744885788050440962916976605}{3198067137655585050420269775288381813850160226888203765467609313603170178511882181437847843360161867165936240846660274948001} a^{35} - \frac{934510980389540548270867581583780738431377256800420396053791081551949658330207587423087647745049549656679478077263489066}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{34} - \frac{29699188231164631407871691543019381877939400207169869036750901731893353308953200716264346542554620292600950325719657860298}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{33} + \frac{98376761755362035278459960695933068276545992447480848771006290896942161969146220721066261065560453298399902009578323928823524}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{32} + \frac{113398567214254536874929397824210630684657227553737205092328401162583192041985418585318327011281465968546745316463572567434328}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{31} + \frac{88463248045557136198478171293553667140423587947674739772662789340511828942204315417072248155586821716483604117572174494354749}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{30} - \frac{13552357593393761449493862761820269585003346877796714672461179854381482857829295972492565418755886490403133726729445174460484}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{29} + \frac{41423894173700103592192092110538252703013134125533550271657581615114261483937376296505223388587400953507619482466288026598682}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{28} - \frac{28389083317395676157155677011970598577494706202008159912877310263686011185736071578669509476712423935587973323303215821353754}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{27} + \frac{108935383109447886865115234518011868581947936335034783189870118859846967784315463384139863368912214605855780793693991185335404}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{26} - \frac{123361981635788260021953235380580782118112542345306921140375818859070108740761096740056569669141452187626184805006762135675519}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{25} - \frac{64754993461287974896445632836510124513836323686317968962578241391187682014035949582907836433922319156947774197462802890447588}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{24} - \frac{94533325815840114838196798799300097577291346119953140258713915503988035041507685925310042519419697210257984096200237353006020}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{23} + \frac{20692220969164537265866272743186123287250238823727420769488646949244451277307677008531480168075893680555461546023044742702250}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{22} - \frac{52275185239347515162740689703132662053455751395170732560833092050025417237990777704054483018852075252048138796442765655030495}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{21} - \frac{51843458824683793799495474649473280218838128179167078668408983247037004393671517873813002441962778294515850881709356196834594}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{20} - \frac{49726184232964627418603524272607915559342485183324603115432801373528902199393844234201788227344252627424522784455036968452408}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{19} - \frac{37533860052884012064822469564646067118240066882725342510236687728313068200447321322071271725938922479417632380611098845831561}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{18} - \frac{30259028559342972428225524451344289860107465954131886958613995186858317705614100684036131507853408039686857042234337211882491}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{17} + \frac{74296692116813965400154196994849155429245334872779040081555152559704626488025880579678062306890642182230039840131935901450725}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{16} + \frac{1640984101983821765064801864097424399872622297404216334387898087492618459662502273829917479765452555036411765075084403040730}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{15} - \frac{54634717158268079433797622534007456144924593387739592412943533536402511165595776399710747927206576974994478692360338498394075}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{14} - \frac{49405913462783078173945574194284408284827187925554037190218922327101725481710058802884675054118805495768413943067874931445840}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{13} - \frac{77018825876474975986608803395817017520654460908337339223203542076380682080358855880459973873100170263915838244307633533403170}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{12} + \frac{51419033165159138840100890323517776831427532207450314588022032322070726266564702348215988314083655390564782162189089908326893}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{11} - \frac{91457733650881720763448084142519564711996653811365841286437661813471513847008011335675370306092565425348281976528901097359446}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{10} - \frac{3962555159957476655427972678289920263290529932270126471633777602974837383532754219954808923060504634750347630071341079131663}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{9} - \frac{37328513094547476753738604660978515529368161391470407225021414420070335660517577217152350288514639505473800698232847752097322}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{8} + \frac{34389560272064482281549415071881957176995262170399396886285793119037719296651932062693503113548088172506506702009818981861553}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{7} - \frac{15532402873698208161310515824674512167691961763270690064121793351225182503865818974497253923349373056852432602459246183553286}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{6} + \frac{74422469515071323343409431870001591001407578844570584644279669284921341718886470669090213274312595893587404795306919313241161}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{5} + \frac{95550240331446231880888208851072660851634300930380559504815157382915275511218554618248639420523134098076541490137043666582429}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{4} + \frac{3078730415591370630922081115095249395583008984178058358510523073163442446208628420916255453578197900403270519939029473169159}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{3} - \frac{1298789316344713575951748799964585092588830208385306992304386637107209831855960280338663113550643189287898276040663272227195}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a^{2} + \frac{114386798905515896025352332622276006857443813633450050265553331814977516940190597152685111644662431890238613460012644553936827}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083} a - \frac{110743979087645780653989341531764703271340323092276865061343297194049782255425313181177865637030748376929981785577824716461180}{265439572425413559184882391348935690549563298831720912533811573029063124816486221059341370998893434974772707990272802820684083}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $38$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 14858926187187562000000000000000 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{39}$ (as 39T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 39
The 39 conjugacy class representatives for $C_{39}$
Character table for $C_{39}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 13.13.491258904256726154641.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $39$ R $39$ $39$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/17.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/19.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/23.3.0.1}{3} }^{13}$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/37.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ $39$ R $39$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
$53$53.13.12.1$x^{13} - 53$$13$$1$$12$$C_{13}$$[\ ]_{13}$
53.13.12.1$x^{13} - 53$$13$$1$$12$$C_{13}$$[\ ]_{13}$
53.13.12.1$x^{13} - 53$$13$$1$$12$$C_{13}$$[\ ]_{13}$