Properties

Label 39.39.677...529.1
Degree $39$
Signature $[39, 0]$
Discriminant $6.771\times 10^{94}$
Root discriminant \(270.12\)
Ramified prime $313$
Class number $7$ (GRH)
Class group [7] (GRH)
Galois group $C_{39}$ (as 39T1)

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Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - x^38 - 152*x^37 + 131*x^36 + 10058*x^35 - 7664*x^34 - 385412*x^33 + 259301*x^32 + 9584688*x^31 - 5543314*x^30 - 164185853*x^29 + 77293037*x^28 + 2005287415*x^27 - 697581260*x^26 - 17813421285*x^25 + 3767883715*x^24 + 116209225455*x^23 - 7694298355*x^22 - 557397698695*x^21 - 45743080985*x^20 + 1952302482609*x^19 + 442964945371*x^18 - 4917326782303*x^17 - 1782021019971*x^16 + 8684112089102*x^15 + 4202789024049*x^14 - 10349426133993*x^13 - 6090366989496*x^12 + 7867872784032*x^11 + 5300624795924*x^10 - 3522617600307*x^9 - 2593891521982*x^8 + 842025983515*x^7 + 645145821500*x^6 - 97379198250*x^5 - 71168573750*x^4 + 4180068750*x^3 + 2855312500*x^2 - 13984375*x - 9765625)
 
gp: K = bnfinit(y^39 - y^38 - 152*y^37 + 131*y^36 + 10058*y^35 - 7664*y^34 - 385412*y^33 + 259301*y^32 + 9584688*y^31 - 5543314*y^30 - 164185853*y^29 + 77293037*y^28 + 2005287415*y^27 - 697581260*y^26 - 17813421285*y^25 + 3767883715*y^24 + 116209225455*y^23 - 7694298355*y^22 - 557397698695*y^21 - 45743080985*y^20 + 1952302482609*y^19 + 442964945371*y^18 - 4917326782303*y^17 - 1782021019971*y^16 + 8684112089102*y^15 + 4202789024049*y^14 - 10349426133993*y^13 - 6090366989496*y^12 + 7867872784032*y^11 + 5300624795924*y^10 - 3522617600307*y^9 - 2593891521982*y^8 + 842025983515*y^7 + 645145821500*y^6 - 97379198250*y^5 - 71168573750*y^4 + 4180068750*y^3 + 2855312500*y^2 - 13984375*y - 9765625, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^39 - x^38 - 152*x^37 + 131*x^36 + 10058*x^35 - 7664*x^34 - 385412*x^33 + 259301*x^32 + 9584688*x^31 - 5543314*x^30 - 164185853*x^29 + 77293037*x^28 + 2005287415*x^27 - 697581260*x^26 - 17813421285*x^25 + 3767883715*x^24 + 116209225455*x^23 - 7694298355*x^22 - 557397698695*x^21 - 45743080985*x^20 + 1952302482609*x^19 + 442964945371*x^18 - 4917326782303*x^17 - 1782021019971*x^16 + 8684112089102*x^15 + 4202789024049*x^14 - 10349426133993*x^13 - 6090366989496*x^12 + 7867872784032*x^11 + 5300624795924*x^10 - 3522617600307*x^9 - 2593891521982*x^8 + 842025983515*x^7 + 645145821500*x^6 - 97379198250*x^5 - 71168573750*x^4 + 4180068750*x^3 + 2855312500*x^2 - 13984375*x - 9765625);
 
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^39 - x^38 - 152*x^37 + 131*x^36 + 10058*x^35 - 7664*x^34 - 385412*x^33 + 259301*x^32 + 9584688*x^31 - 5543314*x^30 - 164185853*x^29 + 77293037*x^28 + 2005287415*x^27 - 697581260*x^26 - 17813421285*x^25 + 3767883715*x^24 + 116209225455*x^23 - 7694298355*x^22 - 557397698695*x^21 - 45743080985*x^20 + 1952302482609*x^19 + 442964945371*x^18 - 4917326782303*x^17 - 1782021019971*x^16 + 8684112089102*x^15 + 4202789024049*x^14 - 10349426133993*x^13 - 6090366989496*x^12 + 7867872784032*x^11 + 5300624795924*x^10 - 3522617600307*x^9 - 2593891521982*x^8 + 842025983515*x^7 + 645145821500*x^6 - 97379198250*x^5 - 71168573750*x^4 + 4180068750*x^3 + 2855312500*x^2 - 13984375*x - 9765625)
 

\( x^{39} - x^{38} - 152 x^{37} + 131 x^{36} + 10058 x^{35} - 7664 x^{34} - 385412 x^{33} + 259301 x^{32} + 9584688 x^{31} - 5543314 x^{30} - 164185853 x^{29} + \cdots - 9765625 \) Copy content Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 
oscar: defining_polynomial(K)
 

Invariants

Degree:  $39$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
oscar: degree(K)
 
Signature:  $[39, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
oscar: signature(K)
 
Discriminant:   \(677\!\cdots\!529\) \(\medspace = 313^{38}\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
 
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
 
Root discriminant:  \(270.12\)
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
 
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
 
Galois root discriminant:  $313^{38/39}\approx 270.11955227277815$
Ramified primes:   \(313\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
 
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
 
Discriminant root field:  \(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:  $39$
sage: K.automorphisms()
 
magma: Automorphisms(K);
 
oscar: automorphisms(K)
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(313\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{313}(256,·)$, $\chi_{313}(1,·)$, $\chi_{313}(3,·)$, $\chi_{313}(132,·)$, $\chi_{313}(9,·)$, $\chi_{313}(142,·)$, $\chi_{313}(16,·)$, $\chi_{313}(277,·)$, $\chi_{313}(150,·)$, $\chi_{313}(280,·)$, $\chi_{313}(26,·)$, $\chi_{313}(27,·)$, $\chi_{313}(294,·)$, $\chi_{313}(44,·)$, $\chi_{313}(301,·)$, $\chi_{313}(174,·)$, $\chi_{313}(48,·)$, $\chi_{313}(50,·)$, $\chi_{313}(243,·)$, $\chi_{313}(309,·)$, $\chi_{313}(137,·)$, $\chi_{313}(58,·)$, $\chi_{313}(76,·)$, $\chi_{313}(205,·)$, $\chi_{313}(78,·)$, $\chi_{313}(209,·)$, $\chi_{313}(83,·)$, $\chi_{313}(214,·)$, $\chi_{313}(121,·)$, $\chi_{313}(144,·)$, $\chi_{313}(98,·)$, $\chi_{313}(228,·)$, $\chi_{313}(81,·)$, $\chi_{313}(234,·)$, $\chi_{313}(103,·)$, $\chi_{313}(113,·)$, $\chi_{313}(302,·)$, $\chi_{313}(119,·)$, $\chi_{313}(249,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $\frac{1}{5}a^{5}-\frac{1}{5}a$, $\frac{1}{5}a^{6}-\frac{1}{5}a^{2}$, $\frac{1}{5}a^{7}-\frac{1}{5}a^{3}$, $\frac{1}{5}a^{8}-\frac{1}{5}a^{4}$, $\frac{1}{5}a^{9}-\frac{1}{5}a$, $\frac{1}{25}a^{10}-\frac{2}{25}a^{6}+\frac{1}{25}a^{2}$, $\frac{1}{25}a^{11}-\frac{2}{25}a^{7}+\frac{1}{25}a^{3}$, $\frac{1}{25}a^{12}-\frac{2}{25}a^{8}+\frac{1}{25}a^{4}$, $\frac{1}{25}a^{13}-\frac{2}{25}a^{9}+\frac{1}{25}a^{5}$, $\frac{1}{25}a^{14}+\frac{2}{25}a^{6}-\frac{3}{25}a^{2}$, $\frac{1}{125}a^{15}+\frac{2}{125}a^{11}-\frac{7}{125}a^{7}+\frac{4}{125}a^{3}$, $\frac{1}{125}a^{16}+\frac{2}{125}a^{12}-\frac{7}{125}a^{8}+\frac{4}{125}a^{4}$, $\frac{1}{125}a^{17}+\frac{2}{125}a^{13}-\frac{7}{125}a^{9}+\frac{4}{125}a^{5}$, $\frac{1}{125}a^{18}+\frac{2}{125}a^{14}-\frac{2}{125}a^{10}-\frac{6}{125}a^{6}+\frac{1}{25}a^{2}$, $\frac{1}{625}a^{19}-\frac{2}{625}a^{18}-\frac{1}{625}a^{17}+\frac{2}{625}a^{16}+\frac{2}{625}a^{15}-\frac{9}{625}a^{14}+\frac{8}{625}a^{13}+\frac{9}{625}a^{12}+\frac{8}{625}a^{11}-\frac{1}{625}a^{10}+\frac{37}{625}a^{9}+\frac{1}{625}a^{8}+\frac{49}{625}a^{7}+\frac{12}{625}a^{6}-\frac{44}{625}a^{5}-\frac{12}{625}a^{4}-\frac{12}{125}a^{3}$, $\frac{1}{625}a^{20}+\frac{1}{625}a^{16}-\frac{9}{625}a^{12}+\frac{11}{625}a^{8}-\frac{4}{625}a^{4}$, $\frac{1}{625}a^{21}+\frac{1}{625}a^{17}-\frac{9}{625}a^{13}+\frac{11}{625}a^{9}-\frac{4}{625}a^{5}$, $\frac{1}{3125}a^{22}+\frac{1}{3125}a^{21}+\frac{6}{3125}a^{18}-\frac{4}{3125}a^{17}-\frac{2}{625}a^{16}-\frac{49}{3125}a^{14}+\frac{31}{3125}a^{13}+\frac{11}{625}a^{12}-\frac{1}{125}a^{11}-\frac{49}{3125}a^{10}-\frac{179}{3125}a^{9}-\frac{16}{625}a^{8}+\frac{7}{125}a^{7}+\frac{216}{3125}a^{6}+\frac{151}{3125}a^{5}+\frac{257}{625}a^{4}+\frac{44}{125}a^{3}+\frac{9}{25}a^{2}+\frac{2}{5}a$, $\frac{1}{3125}a^{23}-\frac{1}{3125}a^{21}+\frac{1}{3125}a^{19}-\frac{1}{3125}a^{17}-\frac{9}{3125}a^{15}-\frac{16}{3125}a^{13}+\frac{36}{3125}a^{11}-\frac{86}{3125}a^{9}+\frac{71}{3125}a^{7}+\frac{104}{3125}a^{5}-\frac{4}{125}a^{3}$, $\frac{1}{15625}a^{24}-\frac{2}{15625}a^{23}-\frac{1}{15625}a^{22}-\frac{8}{15625}a^{21}+\frac{6}{15625}a^{20}-\frac{12}{15625}a^{19}+\frac{44}{15625}a^{18}+\frac{52}{15625}a^{17}+\frac{51}{15625}a^{16}+\frac{48}{15625}a^{15}-\frac{126}{15625}a^{14}-\frac{233}{15625}a^{13}+\frac{51}{15625}a^{12}+\frac{198}{15625}a^{11}+\frac{249}{15625}a^{10}-\frac{1158}{15625}a^{9}-\frac{409}{15625}a^{8}+\frac{393}{15625}a^{7}+\frac{1084}{15625}a^{6}-\frac{528}{15625}a^{5}-\frac{238}{625}a^{4}-\frac{1}{25}a^{3}+\frac{3}{25}a^{2}-\frac{2}{25}a$, $\frac{1}{15625}a^{25}-\frac{1}{3125}a^{21}+\frac{2}{3125}a^{17}-\frac{2}{3125}a^{13}+\frac{1}{3125}a^{9}-\frac{626}{15625}a^{5}+\frac{1}{25}a$, $\frac{1}{15625}a^{26}+\frac{1}{3125}a^{21}+\frac{8}{3125}a^{18}-\frac{4}{3125}a^{17}-\frac{2}{625}a^{16}-\frac{51}{3125}a^{14}+\frac{31}{3125}a^{13}+\frac{11}{625}a^{12}-\frac{1}{125}a^{11}-\frac{48}{3125}a^{10}-\frac{179}{3125}a^{9}-\frac{16}{625}a^{8}+\frac{7}{125}a^{7}+\frac{454}{15625}a^{6}+\frac{151}{3125}a^{5}+\frac{257}{625}a^{4}+\frac{44}{125}a^{3}+\frac{2}{5}a^{2}+\frac{2}{5}a$, $\frac{1}{15625}a^{27}-\frac{1}{3125}a^{21}-\frac{2}{3125}a^{19}+\frac{2}{625}a^{18}+\frac{4}{3125}a^{17}-\frac{2}{625}a^{16}+\frac{4}{3125}a^{15}+\frac{9}{625}a^{14}-\frac{56}{3125}a^{13}-\frac{9}{625}a^{12}+\frac{47}{3125}a^{11}+\frac{1}{625}a^{10}-\frac{271}{3125}a^{9}-\frac{1}{625}a^{8}+\frac{754}{15625}a^{7}-\frac{12}{625}a^{6}-\frac{301}{3125}a^{5}+\frac{12}{625}a^{4}-\frac{8}{125}a^{3}+\frac{1}{5}a$, $\frac{1}{15625}a^{28}+\frac{1}{3125}a^{21}-\frac{2}{3125}a^{20}+\frac{1}{625}a^{18}-\frac{4}{3125}a^{17}-\frac{1}{3125}a^{16}+\frac{12}{625}a^{14}+\frac{31}{3125}a^{13}+\frac{62}{3125}a^{12}-\frac{1}{125}a^{11}-\frac{2}{625}a^{10}-\frac{179}{3125}a^{9}-\frac{571}{15625}a^{8}+\frac{7}{125}a^{7}-\frac{61}{625}a^{6}+\frac{151}{3125}a^{5}+\frac{261}{625}a^{4}+\frac{44}{125}a^{3}+\frac{12}{25}a^{2}+\frac{2}{5}a$, $\frac{1}{78125}a^{29}-\frac{2}{78125}a^{28}-\frac{1}{78125}a^{27}+\frac{2}{78125}a^{26}+\frac{3}{15625}a^{21}-\frac{1}{15625}a^{20}+\frac{12}{15625}a^{19}+\frac{26}{15625}a^{18}+\frac{24}{15625}a^{17}+\frac{7}{15625}a^{16}-\frac{9}{15625}a^{15}-\frac{257}{15625}a^{14}+\frac{132}{15625}a^{13}-\frac{84}{15625}a^{12}+\frac{233}{15625}a^{11}+\frac{309}{15625}a^{10}-\frac{1121}{78125}a^{9}-\frac{6733}{78125}a^{8}+\frac{3196}{78125}a^{7}-\frac{4767}{78125}a^{6}+\frac{13}{3125}a^{5}+\frac{182}{625}a^{4}-\frac{7}{125}a^{3}+\frac{57}{125}a^{2}-\frac{2}{5}a$, $\frac{1}{78125}a^{30}-\frac{1}{78125}a^{26}-\frac{2}{15625}a^{22}+\frac{6}{15625}a^{18}-\frac{7}{15625}a^{14}-\frac{606}{78125}a^{10}-\frac{1879}{78125}a^{6}+\frac{4}{125}a^{2}$, $\frac{1}{390625}a^{31}-\frac{2}{390625}a^{30}-\frac{2}{390625}a^{29}-\frac{1}{390625}a^{28}+\frac{11}{390625}a^{27}-\frac{12}{390625}a^{26}-\frac{1}{78125}a^{25}+\frac{1}{78125}a^{24}-\frac{9}{78125}a^{23}+\frac{8}{78125}a^{22}+\frac{51}{78125}a^{21}-\frac{32}{78125}a^{20}+\frac{9}{15625}a^{19}+\frac{36}{15625}a^{18}-\frac{71}{78125}a^{17}-\frac{233}{78125}a^{16}-\frac{156}{78125}a^{15}-\frac{583}{78125}a^{14}-\frac{1402}{78125}a^{13}-\frac{841}{78125}a^{12}-\frac{3371}{390625}a^{11}+\frac{3042}{390625}a^{10}+\frac{5352}{390625}a^{9}+\frac{17526}{390625}a^{8}+\frac{23334}{390625}a^{7}-\frac{37303}{390625}a^{6}-\frac{7147}{78125}a^{5}+\frac{154}{3125}a^{4}-\frac{6}{625}a^{3}+\frac{133}{625}a^{2}+\frac{32}{125}a$, $\frac{1}{390625}a^{32}-\frac{1}{390625}a^{30}-\frac{1}{390625}a^{28}+\frac{1}{78125}a^{27}+\frac{1}{390625}a^{26}-\frac{1}{78125}a^{25}-\frac{2}{78125}a^{24}+\frac{1}{15625}a^{23}+\frac{2}{78125}a^{22}-\frac{1}{15625}a^{21}+\frac{6}{78125}a^{20}+\frac{9}{15625}a^{19}-\frac{181}{78125}a^{18}-\frac{59}{15625}a^{17}+\frac{43}{78125}a^{16}-\frac{7}{3125}a^{15}-\frac{468}{78125}a^{14}+\frac{32}{3125}a^{13}+\frac{6769}{390625}a^{12}+\frac{63}{15625}a^{11}-\frac{4519}{390625}a^{10}-\frac{1388}{15625}a^{9}+\frac{16996}{390625}a^{8}+\frac{5309}{78125}a^{7}-\frac{11621}{390625}a^{6}+\frac{3941}{78125}a^{5}-\frac{1442}{3125}a^{4}-\frac{169}{625}a^{3}-\frac{219}{625}a^{2}+\frac{54}{125}a$, $\frac{1}{390625}a^{33}-\frac{2}{390625}a^{30}+\frac{2}{390625}a^{29}-\frac{6}{390625}a^{28}+\frac{7}{390625}a^{27}-\frac{7}{390625}a^{26}+\frac{2}{78125}a^{25}+\frac{1}{78125}a^{24}+\frac{3}{78125}a^{23}+\frac{8}{78125}a^{22}-\frac{38}{78125}a^{21}-\frac{22}{78125}a^{20}-\frac{16}{78125}a^{19}-\frac{41}{15625}a^{18}-\frac{243}{78125}a^{17}-\frac{3}{78125}a^{16}-\frac{284}{78125}a^{15}-\frac{438}{78125}a^{14}-\frac{1366}{390625}a^{13}+\frac{49}{78125}a^{12}-\frac{153}{78125}a^{11}+\frac{1092}{390625}a^{10}-\frac{7932}{390625}a^{9}-\frac{1244}{390625}a^{8}-\frac{4007}{390625}a^{7}+\frac{25217}{390625}a^{6}+\frac{888}{78125}a^{5}+\frac{1509}{3125}a^{4}-\frac{43}{125}a^{3}-\frac{212}{625}a^{2}-\frac{53}{125}a$, $\frac{1}{1953125}a^{34}+\frac{2}{1953125}a^{33}-\frac{2}{1953125}a^{32}+\frac{1}{1953125}a^{30}-\frac{11}{1953125}a^{29}+\frac{6}{390625}a^{28}+\frac{49}{1953125}a^{27}-\frac{4}{390625}a^{26}+\frac{2}{78125}a^{25}+\frac{11}{390625}a^{24}+\frac{36}{390625}a^{23}-\frac{4}{78125}a^{22}-\frac{51}{390625}a^{21}-\frac{306}{390625}a^{20}+\frac{203}{390625}a^{19}+\frac{1419}{390625}a^{18}-\frac{136}{390625}a^{17}+\frac{1348}{390625}a^{16}+\frac{352}{390625}a^{15}+\frac{2354}{1953125}a^{14}+\frac{10568}{1953125}a^{13}+\frac{4502}{1953125}a^{12}-\frac{2506}{390625}a^{11}+\frac{1994}{1953125}a^{10}+\frac{86101}{1953125}a^{9}-\frac{16459}{390625}a^{8}+\frac{160151}{1953125}a^{7}-\frac{7328}{78125}a^{6}+\frac{3669}{78125}a^{5}+\frac{216}{3125}a^{4}-\frac{691}{3125}a^{3}-\frac{28}{125}a^{2}-\frac{29}{125}a$, $\frac{1}{6162109375}a^{35}-\frac{339}{6162109375}a^{34}+\frac{1891}{6162109375}a^{33}+\frac{5422}{6162109375}a^{32}-\frac{7624}{6162109375}a^{31}+\frac{358}{6162109375}a^{30}+\frac{5131}{6162109375}a^{29}-\frac{74521}{6162109375}a^{28}-\frac{46329}{6162109375}a^{27}+\frac{13002}{1232421875}a^{26}-\frac{31764}{1232421875}a^{25}-\frac{229}{246484375}a^{24}-\frac{61446}{1232421875}a^{23}-\frac{159951}{1232421875}a^{22}-\frac{101158}{246484375}a^{21}-\frac{538261}{1232421875}a^{20}-\frac{65254}{1232421875}a^{19}+\frac{961049}{246484375}a^{18}+\frac{713199}{1232421875}a^{17}+\frac{2374529}{1232421875}a^{16}+\frac{19786319}{6162109375}a^{15}+\frac{109128504}{6162109375}a^{14}+\frac{77464489}{6162109375}a^{13}+\frac{52419098}{6162109375}a^{12}-\frac{91236276}{6162109375}a^{11}+\frac{24509137}{6162109375}a^{10}+\frac{609322664}{6162109375}a^{9}+\frac{132395011}{6162109375}a^{8}+\frac{315061784}{6162109375}a^{7}-\frac{53200203}{1232421875}a^{6}+\frac{3514979}{246484375}a^{5}-\frac{4886698}{9859375}a^{4}-\frac{3493704}{9859375}a^{3}-\frac{58562}{1971875}a^{2}+\frac{118316}{394375}a+\frac{1284}{3155}$, $\frac{1}{4627744140625}a^{36}-\frac{214}{4627744140625}a^{35}+\frac{126731}{4627744140625}a^{34}-\frac{5260523}{4627744140625}a^{33}+\frac{3380271}{4627744140625}a^{32}+\frac{5089183}{4627744140625}a^{31}-\frac{22719754}{4627744140625}a^{30}-\frac{1682661}{4627744140625}a^{29}+\frac{52192596}{4627744140625}a^{28}-\frac{4450401}{925548828125}a^{27}+\frac{19561211}{925548828125}a^{26}-\frac{3144804}{185109765625}a^{25}-\frac{13083281}{925548828125}a^{24}-\frac{129945511}{925548828125}a^{23}-\frac{11331193}{185109765625}a^{22}+\frac{416703474}{925548828125}a^{21}+\frac{420232131}{925548828125}a^{20}+\frac{106352978}{185109765625}a^{19}+\frac{1670967459}{925548828125}a^{18}+\frac{2904055464}{925548828125}a^{17}+\frac{14388792294}{4627744140625}a^{16}+\frac{9423893904}{4627744140625}a^{15}-\frac{84478285651}{4627744140625}a^{14}+\frac{62010845593}{4627744140625}a^{13}+\frac{62167774454}{4627744140625}a^{12}-\frac{72235416388}{4627744140625}a^{11}-\frac{70488064526}{4627744140625}a^{10}+\frac{87788578751}{4627744140625}a^{9}-\frac{320908300116}{4627744140625}a^{8}-\frac{2600736791}{37021953125}a^{7}+\frac{9194925687}{185109765625}a^{6}+\frac{417131629}{37021953125}a^{5}+\frac{1998636891}{7404390625}a^{4}+\frac{15041522}{59235125}a^{3}+\frac{131739738}{296175625}a^{2}+\frac{17194441}{59235125}a+\frac{165241}{473881}$, $\frac{1}{4627744140625}a^{37}-\frac{173}{4627744140625}a^{35}-\frac{401982}{4627744140625}a^{34}-\frac{1006989}{4627744140625}a^{33}-\frac{2737214}{4627744140625}a^{32}+\frac{19642}{37021953125}a^{31}-\frac{25988811}{4627744140625}a^{30}+\frac{12822949}{4627744140625}a^{29}+\frac{48567632}{4627744140625}a^{28}+\frac{31813897}{4627744140625}a^{27}+\frac{7149558}{925548828125}a^{26}+\frac{27582701}{925548828125}a^{25}-\frac{1565883}{185109765625}a^{24}-\frac{137314556}{925548828125}a^{23}+\frac{140165297}{925548828125}a^{22}-\frac{63772483}{925548828125}a^{21}-\frac{354497258}{925548828125}a^{20}-\frac{61793814}{925548828125}a^{19}-\frac{736894083}{185109765625}a^{18}+\frac{1958815214}{4627744140625}a^{17}+\frac{1036728692}{925548828125}a^{16}-\frac{3445618822}{4627744140625}a^{15}-\frac{52409574548}{4627744140625}a^{14}-\frac{90958905696}{4627744140625}a^{13}-\frac{87716792751}{4627744140625}a^{12}+\frac{2719934823}{185109765625}a^{11}-\frac{50641349704}{4627744140625}a^{10}-\frac{326628305269}{4627744140625}a^{9}+\frac{104373584738}{4627744140625}a^{8}+\frac{125087826123}{4627744140625}a^{7}-\frac{34080207056}{925548828125}a^{6}-\frac{16105020102}{185109765625}a^{5}-\frac{3658616937}{7404390625}a^{4}-\frac{3600549213}{7404390625}a^{3}-\frac{29736474}{1480878125}a^{2}+\frac{138154867}{296175625}a-\frac{786357}{2369405}$, $\frac{1}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{10\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!75}a^{37}+\frac{45\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!75}a^{36}-\frac{47\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{26\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!75}a^{34}+\frac{11\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{11\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{32\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!75}a^{31}-\frac{26\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{67\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!75}a^{29}+\frac{31\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{50\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{65\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!75}a^{26}+\frac{24\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!75}a^{25}+\frac{48\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{36\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{29\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!75}a^{21}+\frac{52\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!75}a^{20}-\frac{73\!\cdots\!59}{93\!\cdots\!75}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!74}{23\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{44\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{70\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{93\!\cdots\!42}{93\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{65\!\cdots\!06}{93\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!53}{18\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!33}{37\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!78}{14\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!26}{14\!\cdots\!75}a+\frac{38\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!75}$ Copy content Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 
oscar: basis(OK)
 

Monogenic:  No
Index:  Not computed
Inessential primes:  $5$

Class group and class number

$C_{7}$, which has order $7$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 
oscar: class_group(K)
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
 
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
 
Rank:  $38$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
oscar: rank(UK)
 
Torsion generator:   \( -1 \)  (order $2$) Copy content Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
oscar: torsion_units_generator(OK)
 
Fundamental units:   $\frac{18\!\cdots\!19}{37\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{80\!\cdots\!97}{75\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{27\!\cdots\!23}{37\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{56\!\cdots\!61}{37\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{18\!\cdots\!23}{37\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{35\!\cdots\!88}{37\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{67\!\cdots\!46}{37\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{12\!\cdots\!38}{37\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{32\!\cdots\!53}{75\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{29\!\cdots\!26}{37\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{27\!\cdots\!68}{37\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{91\!\cdots\!31}{75\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{64\!\cdots\!93}{75\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!78}{15\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{54\!\cdots\!98}{75\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{76\!\cdots\!64}{75\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{34\!\cdots\!33}{75\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{42\!\cdots\!61}{75\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!12}{75\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!83}{60\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!46}{37\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{44\!\cdots\!49}{75\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{65\!\cdots\!77}{37\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{41\!\cdots\!04}{37\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!32}{37\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{51\!\cdots\!92}{37\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!29}{37\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!32}{37\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!42}{75\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!34}{37\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{45\!\cdots\!07}{37\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{76\!\cdots\!63}{75\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{87\!\cdots\!41}{30\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!46}{30\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!68}{60\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{69\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{60\!\cdots\!24}{48\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{47\!\cdots\!09}{48\!\cdots\!75}a-\frac{16\!\cdots\!96}{38\!\cdots\!75}$, 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$\frac{56\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{26\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{84\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{18\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{54\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{11\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{20\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{42\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{98\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{98\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{80\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{30\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{18\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{68\!\cdots\!56}{46\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{99\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{45\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{94\!\cdots\!87}{37\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{76\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!73}{37\!\cdots\!25}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{31\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{36\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{54\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{69\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!18}{93\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{50\!\cdots\!57}{93\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{42\!\cdots\!86}{18\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!39}{37\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!67}{14\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{55\!\cdots\!03}{14\!\cdots\!75}a-\frac{72\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{55\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{10\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{84\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{65\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{55\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{37\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{21\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{12\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{10\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{26\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{91\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{70\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{22\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{19\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!75}a^{22}+\frac{18\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{62\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!75}a^{20}-\frac{39\!\cdots\!97}{93\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{65\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!75}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{47\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{56\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!75}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{83\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{31\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{61\!\cdots\!09}{18\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{30\!\cdots\!31}{93\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{52\!\cdots\!07}{18\!\cdots\!75}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!47}{37\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!41}{29\!\cdots\!75}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!99}{14\!\cdots\!75}a+\frac{89\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{21\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{89\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{32\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{62\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{20\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{39\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{78\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{14\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{38\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{32\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{31\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{10\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{75\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{22\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{64\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{84\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{40\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{46\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{71\!\cdots\!17}{93\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{47\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{78\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{51\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{35\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{56\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!72}{93\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{37\!\cdots\!84}{93\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{25\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!75}a^{4}-\frac{56\!\cdots\!88}{37\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{83\!\cdots\!23}{14\!\cdots\!75}a^{2}+\frac{86\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!75}a-\frac{17\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{30\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{12\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{45\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{90\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{29\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{56\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{11\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{20\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{53\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{46\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{44\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{14\!\cdots\!54}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{10\!\cdots\!87}{23\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{31\!\cdots\!02}{46\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{90\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{56\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{67\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{41\!\cdots\!62}{37\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{44\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{70\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{65\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{78\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{57\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{77\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{87\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!39}{93\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!14}{93\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!08}{37\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!96}{14\!\cdots\!75}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!44}{14\!\cdots\!75}a-\frac{38\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{14\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{61\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{21\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{43\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{13\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{26\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{51\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{96\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{25\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{22\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{20\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{70\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{48\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!01}{46\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{41\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{59\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{26\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!12}{23\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!97}{18\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{85\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{39\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{34\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{63\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{65\!\cdots\!49}{93\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!12}{93\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!81}{18\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{65\!\cdots\!09}{37\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{44\!\cdots\!66}{14\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{82\!\cdots\!73}{14\!\cdots\!75}a-\frac{12\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{13\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{53\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{20\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{37\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{13\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{23\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{49\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{83\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{23\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{19\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{20\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{59\!\cdots\!64}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{47\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!57}{46\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{40\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{49\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{81\!\cdots\!78}{18\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{50\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{88\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{76\!\cdots\!94}{93\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{36\!\cdots\!26}{93\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!17}{18\!\cdots\!75}a^{4}-\frac{83\!\cdots\!47}{37\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{67\!\cdots\!16}{14\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{53\!\cdots\!46}{14\!\cdots\!75}a-\frac{17\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{60\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{24\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{90\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{17\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{59\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{10\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{22\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{38\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{10\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{89\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{91\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{28\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{21\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{62\!\cdots\!66}{46\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{19\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{58\!\cdots\!74}{23\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!53}{93\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{49\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{63\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{92\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{62\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!33}{18\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{56\!\cdots\!62}{93\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!61}{18\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!69}{37\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!76}{29\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{37\!\cdots\!98}{14\!\cdots\!75}a-\frac{75\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{50\!\cdots\!24}{46\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{76\!\cdots\!74}{46\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{15\!\cdots\!23}{93\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{10\!\cdots\!98}{46\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{49\!\cdots\!81}{46\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{64\!\cdots\!14}{46\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{25\!\cdots\!08}{62\!\cdots\!25}a^{32}+\frac{22\!\cdots\!64}{46\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{46\!\cdots\!73}{46\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{51\!\cdots\!23}{46\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{15\!\cdots\!12}{93\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{78\!\cdots\!44}{46\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{19\!\cdots\!88}{93\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!72}{93\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!46}{93\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!93}{93\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!93}{93\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{60\!\cdots\!17}{93\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{51\!\cdots\!74}{93\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!53}{93\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{89\!\cdots\!01}{46\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!41}{46\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{72\!\cdots\!54}{14\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!32}{46\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!39}{46\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!94}{46\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{49\!\cdots\!17}{46\!\cdots\!75}a^{12}-\frac{76\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!12}{46\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{86\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{75\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{44\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!93}{93\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{39\!\cdots\!26}{18\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!88}{74\!\cdots\!75}a^{4}-\frac{99\!\cdots\!46}{74\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!22}{14\!\cdots\!75}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!04}{29\!\cdots\!75}a-\frac{65\!\cdots\!64}{23\!\cdots\!15}$, $\frac{47\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{14\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{71\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{96\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{46\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{58\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{17\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{20\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{88\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{46\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{74\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{14\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{18\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{29\!\cdots\!56}{46\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{53\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{48\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{70\!\cdots\!81}{93\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{85\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{38\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!75}a^{12}-\frac{85\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{74\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{91\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{93\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!13}{93\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{82\!\cdots\!33}{93\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!66}{18\!\cdots\!75}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!16}{37\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{42\!\cdots\!72}{14\!\cdots\!75}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!82}{14\!\cdots\!75}a-\frac{10\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{98\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{49\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{14\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{35\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{94\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{22\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{35\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{79\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{16\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{18\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{13\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{58\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{31\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!06}{46\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{26\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{50\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{28\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{74\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{46\!\cdots\!66}{93\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{48\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{55\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{80\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{26\!\cdots\!28}{93\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!92}{93\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!16}{18\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!34}{37\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!93}{14\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!68}{14\!\cdots\!75}a+\frac{36\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{10\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{50\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{16\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{35\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{10\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{22\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{39\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{80\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{19\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{18\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{15\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{58\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{36\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{31\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{50\!\cdots\!64}{23\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{27\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{88\!\cdots\!87}{23\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{44\!\cdots\!33}{93\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{36\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{61\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{39\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{71\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{33\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{43\!\cdots\!62}{93\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{84\!\cdots\!61}{93\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{81\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!52}{37\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!58}{14\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!75}a-\frac{13\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{53\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{23\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{79\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{16\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{51\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{10\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{19\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{36\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{93\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{84\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{77\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{26\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{18\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{57\!\cdots\!34}{46\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{98\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{45\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!23}{93\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{76\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{32\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{37\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{57\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{51\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!76}{93\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!38}{93\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{54\!\cdots\!19}{18\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!91}{37\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!59}{14\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!02}{14\!\cdots\!75}a-\frac{45\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{13\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{59\!\cdots\!74}{23\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{20\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{42\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{13\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{26\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{50\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{94\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{24\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{21\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{20\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{68\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{47\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!31}{46\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{40\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{57\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{31\!\cdots\!47}{23\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!74}{23\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{99\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{48\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{84\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{98\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!74}{23\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{33\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{63\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!62}{93\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{79\!\cdots\!44}{37\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{37\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!73}{14\!\cdots\!75}a-\frac{11\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{17\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{72\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{25\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{50\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{16\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{31\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{63\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{11\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{30\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{26\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{25\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{81\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{60\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!66}{46\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{51\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{68\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{32\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{37\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{57\!\cdots\!33}{93\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{38\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{63\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{39\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{69\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{49\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!33}{18\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{79\!\cdots\!13}{93\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{25\!\cdots\!36}{18\!\cdots\!75}a^{4}-\frac{59\!\cdots\!56}{37\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!11}{29\!\cdots\!75}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!02}{14\!\cdots\!75}a-\frac{48\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{86\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{32\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{13\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{22\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{85\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{14\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{32\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{50\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{15\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{11\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{13\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{36\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{31\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{78\!\cdots\!63}{46\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{27\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{29\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{80\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{48\!\cdots\!26}{18\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!64}{23\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{34\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{60\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{72\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{57\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!87}{23\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{37\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{45\!\cdots\!28}{74\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{39\!\cdots\!24}{93\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!78}{18\!\cdots\!75}a^{4}-\frac{84\!\cdots\!63}{37\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!87}{29\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{40\!\cdots\!54}{14\!\cdots\!75}a-\frac{11\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{52\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{17\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{78\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{12\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{51\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{76\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{19\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{27\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{95\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{62\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{80\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{19\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{19\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{41\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{80\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{51\!\cdots\!12}{23\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!52}{93\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{89\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{70\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{48\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!75}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{77\!\cdots\!87}{23\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!25}a^{8}-\frac{56\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!51}{93\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{52\!\cdots\!04}{93\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!93}{18\!\cdots\!75}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!13}{37\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{47\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!75}a^{2}+\frac{51\!\cdots\!16}{14\!\cdots\!75}a-\frac{11\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{21\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{93\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{32\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{65\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{20\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{41\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{77\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{14\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{37\!\cdots\!64}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{34\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{31\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{10\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{73\!\cdots\!74}{23\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{23\!\cdots\!69}{46\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{62\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{90\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{39\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{49\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{78\!\cdots\!52}{93\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{53\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{74\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{62\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{48\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{51\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{97\!\cdots\!37}{93\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{65\!\cdots\!88}{93\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!26}{37\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{63\!\cdots\!28}{14\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!27}{14\!\cdots\!75}a-\frac{17\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{29\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{12\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{44\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{87\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{28\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{54\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{10\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{19\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{52\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{45\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{43\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{14\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{10\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{30\!\cdots\!03}{46\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{87\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!64}{23\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{55\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{65\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{43\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{69\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{64\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{77\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{57\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{75\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{97\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!96}{93\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{43\!\cdots\!46}{93\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{33\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{79\!\cdots\!12}{37\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{53\!\cdots\!59}{14\!\cdots\!75}a-\frac{30\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{16\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{71\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{24\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{50\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{15\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{31\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{58\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{11\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{28\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{26\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{23\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{82\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{55\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!88}{46\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{47\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{69\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{38\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{60\!\cdots\!69}{93\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!74}{23\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{55\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{39\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{95\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{49\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{73\!\cdots\!83}{93\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{70\!\cdots\!36}{93\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!73}{18\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!87}{37\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{49\!\cdots\!17}{14\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!94}{14\!\cdots\!75}a-\frac{19\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{24\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{10\!\cdots\!22}{46\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{37\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{76\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{24\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{47\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{90\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{17\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{43\!\cdots\!39}{46\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{39\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{36\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{12\!\cdots\!48}{46\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{85\!\cdots\!98}{46\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!81}{93\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{73\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!09}{46\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{45\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{57\!\cdots\!31}{46\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!87}{46\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{45\!\cdots\!62}{93\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{35\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{62\!\cdots\!79}{46\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{87\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{58\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{73\!\cdots\!17}{23\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{57\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!21}{46\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{61\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{60\!\cdots\!09}{93\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{88\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!33}{37\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!99}{74\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{44\!\cdots\!61}{14\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!77}{29\!\cdots\!75}a-\frac{40\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!15}$, $\frac{35\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{14\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{53\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{10\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{34\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{65\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{13\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{23\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{63\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{53\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{52\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{16\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{12\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{36\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{66\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{77\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{30\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!02}{93\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{51\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{80\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{72\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{21\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{85\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{60\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{84\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{75\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!14}{93\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!69}{93\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!68}{37\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{90\!\cdots\!46}{14\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!76}{14\!\cdots\!75}a-\frac{93\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{50\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{22\!\cdots\!02}{46\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{75\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{15\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{49\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{96\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{18\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{34\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{89\!\cdots\!51}{46\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{80\!\cdots\!54}{23\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{73\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{25\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{17\!\cdots\!82}{46\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{54\!\cdots\!09}{93\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!17}{46\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{92\!\cdots\!87}{46\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!39}{46\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{42\!\cdots\!23}{46\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{90\!\cdots\!08}{93\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{71\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!82}{46\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{52\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!38}{46\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!83}{93\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{52\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{45\!\cdots\!97}{37\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{48\!\cdots\!82}{74\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{68\!\cdots\!57}{14\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{48\!\cdots\!57}{29\!\cdots\!75}a-\frac{32\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!15}$, $\frac{90\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{37\!\cdots\!19}{46\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{13\!\cdots\!64}{23\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{26\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{88\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{16\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{33\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{59\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{32\!\cdots\!37}{93\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{13\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{13\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{42\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{31\!\cdots\!09}{46\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{93\!\cdots\!22}{93\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{27\!\cdots\!19}{46\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!97}{46\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!04}{46\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!73}{46\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{79\!\cdots\!16}{46\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!72}{93\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!74}{46\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{32\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{56\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{66\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!06}{93\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{58\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!71}{93\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!08}{93\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{28\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{91\!\cdots\!19}{37\!\cdots\!75}a^{4}-\frac{43\!\cdots\!92}{14\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!57}{14\!\cdots\!75}a^{2}+\frac{69\!\cdots\!02}{29\!\cdots\!75}a-\frac{49\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!15}$, $\frac{17\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{73\!\cdots\!42}{46\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{26\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{51\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{17\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{32\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{64\!\cdots\!74}{23\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{11\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{31\!\cdots\!51}{46\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{26\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{25\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{83\!\cdots\!72}{46\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{61\!\cdots\!77}{46\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{36\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{52\!\cdots\!22}{46\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{70\!\cdots\!96}{46\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{33\!\cdots\!32}{46\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{38\!\cdots\!84}{46\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!88}{46\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{29\!\cdots\!17}{93\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!57}{46\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{63\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!24}{46\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{44\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!79}{46\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{42\!\cdots\!86}{93\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!12}{18\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!57}{37\!\cdots\!75}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!14}{74\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!75}a^{2}+\frac{88\!\cdots\!52}{29\!\cdots\!75}a-\frac{12\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!15}$, $\frac{41\!\cdots\!17}{23\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{24\!\cdots\!33}{46\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{61\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{17\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{39\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{10\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{14\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{39\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{13\!\cdots\!72}{93\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{92\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{55\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{29\!\cdots\!48}{46\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{12\!\cdots\!94}{46\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{65\!\cdots\!77}{93\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!99}{46\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!57}{46\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{61\!\cdots\!79}{46\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!21}{46\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!32}{93\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{41\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{35\!\cdots\!76}{93\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{94\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!87}{23\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!12}{23\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{75\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!14}{46\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!99}{18\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{92\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!71}{37\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!61}{74\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!36}{29\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{74\!\cdots\!12}{29\!\cdots\!75}a+\frac{54\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!15}$, $\frac{13\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{62\!\cdots\!91}{46\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{20\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{43\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{13\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{27\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{49\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{98\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{48\!\cdots\!76}{93\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{22\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{19\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{71\!\cdots\!99}{46\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{46\!\cdots\!18}{46\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!01}{14\!\cdots\!25}a^{25}-\frac{39\!\cdots\!48}{46\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{60\!\cdots\!54}{46\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{24\!\cdots\!88}{46\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{33\!\cdots\!76}{46\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!32}{46\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!87}{93\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{73\!\cdots\!74}{93\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!52}{23\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{35\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{78\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{91\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!09}{93\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!89}{93\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{26\!\cdots\!41}{93\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{71\!\cdots\!14}{18\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{99\!\cdots\!68}{37\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{32\!\cdots\!29}{14\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!39}{14\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!81}{29\!\cdots\!75}a-\frac{67\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!15}$, $\frac{23\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{12\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{34\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{89\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{22\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{56\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{82\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{20\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{39\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{47\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{32\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{15\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{74\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{33\!\cdots\!31}{46\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{61\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{37\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{76\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!47}{93\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{91\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{65\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{94\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{81\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{42\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{60\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!48}{37\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{46\!\cdots\!57}{93\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!59}{37\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{49\!\cdots\!64}{29\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{96\!\cdots\!28}{14\!\cdots\!75}a-\frac{17\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{13\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{57\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{20\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{40\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{13\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{25\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{50\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{90\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{24\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{20\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{20\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{65\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{48\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!92}{46\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{41\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{54\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{26\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{29\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{92\!\cdots\!89}{18\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{50\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{87\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{33\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{86\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{36\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{71\!\cdots\!41}{93\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!74}{93\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!52}{18\!\cdots\!75}a^{4}-\frac{89\!\cdots\!02}{37\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{55\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{87\!\cdots\!21}{14\!\cdots\!75}a-\frac{17\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{12\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{54\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{19\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{38\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{12\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{23\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{46\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{86\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{22\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{19\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{18\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{62\!\cdots\!54}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{44\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!42}{46\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{37\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{52\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{23\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{28\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{44\!\cdots\!96}{93\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{30\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{78\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{33\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{91\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{96\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{35\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{58\!\cdots\!28}{93\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{88\!\cdots\!14}{93\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!57}{18\!\cdots\!75}a^{4}-\frac{38\!\cdots\!52}{37\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{37\!\cdots\!02}{14\!\cdots\!75}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!44}{14\!\cdots\!75}a-\frac{12\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!75}$, $\frac{16\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{14\!\cdots\!04}{93\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{24\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{51\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{16\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{32\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{60\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{11\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{29\!\cdots\!79}{46\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{26\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{24\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{84\!\cdots\!56}{46\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{56\!\cdots\!26}{46\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!01}{93\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{48\!\cdots\!66}{46\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{71\!\cdots\!33}{46\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!76}{46\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{39\!\cdots\!77}{46\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!69}{46\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!22}{37\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!17}{23\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{42\!\cdots\!12}{46\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{57\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{40\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{98\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{51\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{40\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!51}{46\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{36\!\cdots\!48}{93\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{62\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!21}{37\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!48}{74\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!67}{14\!\cdots\!75}a^{2}+\frac{32\!\cdots\!56}{29\!\cdots\!75}a-\frac{19\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!15}$, $\frac{12\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!75}a^{38}-\frac{53\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!75}a^{37}-\frac{18\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!75}a^{36}+\frac{37\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!75}a^{35}+\frac{12\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!75}a^{34}-\frac{23\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!75}a^{33}-\frac{45\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!75}a^{32}+\frac{84\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!75}a^{31}+\frac{21\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!75}a^{30}-\frac{19\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{18\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{61\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{42\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!82}{46\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{36\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{52\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{28\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{90\!\cdots\!78}{18\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{30\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{43\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{75\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{36\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{89\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{41\!\cdots\!58}{15\!\cdots\!25}a^{8}+\frac{72\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!09}{18\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{43\!\cdots\!64}{93\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!42}{18\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{87\!\cdots\!93}{37\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{84\!\cdots\!39}{29\!\cdots\!75}a^{2}+\frac{66\!\cdots\!94}{14\!\cdots\!75}a-\frac{96\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!75}$ Copy content Toggle raw display (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
 
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
 
Regulator:  \( 77156139939904980000000000000000000000 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 
oscar: regulator(K)
 

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{39}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 77156139939904980000000000000000000000 \cdot 7}{2\cdot\sqrt{67714991262885724764382982352806307530105400259949891343634847772804609517807540244019550464529}}\cr\approx \mathstrut & 570.513537350294 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
 
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - x^38 - 152*x^37 + 131*x^36 + 10058*x^35 - 7664*x^34 - 385412*x^33 + 259301*x^32 + 9584688*x^31 - 5543314*x^30 - 164185853*x^29 + 77293037*x^28 + 2005287415*x^27 - 697581260*x^26 - 17813421285*x^25 + 3767883715*x^24 + 116209225455*x^23 - 7694298355*x^22 - 557397698695*x^21 - 45743080985*x^20 + 1952302482609*x^19 + 442964945371*x^18 - 4917326782303*x^17 - 1782021019971*x^16 + 8684112089102*x^15 + 4202789024049*x^14 - 10349426133993*x^13 - 6090366989496*x^12 + 7867872784032*x^11 + 5300624795924*x^10 - 3522617600307*x^9 - 2593891521982*x^8 + 842025983515*x^7 + 645145821500*x^6 - 97379198250*x^5 - 71168573750*x^4 + 4180068750*x^3 + 2855312500*x^2 - 13984375*x - 9765625)
 
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
 
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
 
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
 
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
 
K = bnfinit(x^39 - x^38 - 152*x^37 + 131*x^36 + 10058*x^35 - 7664*x^34 - 385412*x^33 + 259301*x^32 + 9584688*x^31 - 5543314*x^30 - 164185853*x^29 + 77293037*x^28 + 2005287415*x^27 - 697581260*x^26 - 17813421285*x^25 + 3767883715*x^24 + 116209225455*x^23 - 7694298355*x^22 - 557397698695*x^21 - 45743080985*x^20 + 1952302482609*x^19 + 442964945371*x^18 - 4917326782303*x^17 - 1782021019971*x^16 + 8684112089102*x^15 + 4202789024049*x^14 - 10349426133993*x^13 - 6090366989496*x^12 + 7867872784032*x^11 + 5300624795924*x^10 - 3522617600307*x^9 - 2593891521982*x^8 + 842025983515*x^7 + 645145821500*x^6 - 97379198250*x^5 - 71168573750*x^4 + 4180068750*x^3 + 2855312500*x^2 - 13984375*x - 9765625, 1);
 
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
 
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
 
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^39 - x^38 - 152*x^37 + 131*x^36 + 10058*x^35 - 7664*x^34 - 385412*x^33 + 259301*x^32 + 9584688*x^31 - 5543314*x^30 - 164185853*x^29 + 77293037*x^28 + 2005287415*x^27 - 697581260*x^26 - 17813421285*x^25 + 3767883715*x^24 + 116209225455*x^23 - 7694298355*x^22 - 557397698695*x^21 - 45743080985*x^20 + 1952302482609*x^19 + 442964945371*x^18 - 4917326782303*x^17 - 1782021019971*x^16 + 8684112089102*x^15 + 4202789024049*x^14 - 10349426133993*x^13 - 6090366989496*x^12 + 7867872784032*x^11 + 5300624795924*x^10 - 3522617600307*x^9 - 2593891521982*x^8 + 842025983515*x^7 + 645145821500*x^6 - 97379198250*x^5 - 71168573750*x^4 + 4180068750*x^3 + 2855312500*x^2 - 13984375*x - 9765625);
 
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
 
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
 
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
 
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
 
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
 
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
 
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^39 - x^38 - 152*x^37 + 131*x^36 + 10058*x^35 - 7664*x^34 - 385412*x^33 + 259301*x^32 + 9584688*x^31 - 5543314*x^30 - 164185853*x^29 + 77293037*x^28 + 2005287415*x^27 - 697581260*x^26 - 17813421285*x^25 + 3767883715*x^24 + 116209225455*x^23 - 7694298355*x^22 - 557397698695*x^21 - 45743080985*x^20 + 1952302482609*x^19 + 442964945371*x^18 - 4917326782303*x^17 - 1782021019971*x^16 + 8684112089102*x^15 + 4202789024049*x^14 - 10349426133993*x^13 - 6090366989496*x^12 + 7867872784032*x^11 + 5300624795924*x^10 - 3522617600307*x^9 - 2593891521982*x^8 + 842025983515*x^7 + 645145821500*x^6 - 97379198250*x^5 - 71168573750*x^4 + 4180068750*x^3 + 2855312500*x^2 - 13984375*x - 9765625);
 
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
 
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
 
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
 
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
 
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
 

Galois group

$C_{39}$ (as 39T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: G = GaloisGroup(K);
 
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
 
A cyclic group of order 39
The 39 conjugacy class representatives for $C_{39}$
Character table for $C_{39}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.97969.1, 13.13.884162417215006648162206715681.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]
 
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
 
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
 
oscar: subfields(K)[2:end-1]
 

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $39$ $39$ ${\href{/padicField/5.1.0.1}{1} }^{39}$ ${\href{/padicField/7.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ $39$ ${\href{/padicField/19.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/padicField/23.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }^{13}$ $39$ $39$ $39$ ${\href{/padicField/43.3.0.1}{3} }^{13}$ $39$ ${\href{/padicField/53.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
 
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
 
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
 
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
 
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
 
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
 
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
\(313\) Copy content Toggle raw display Deg $39$$39$$1$$38$