↑

Properties

Label 39.39.6771499126...4529.1
Degree $39$
Signature $[39, 0]$
Discriminant $313^{38}$
Root discriminant $270.12$
Ramified prime $313$
Class number $7$ (GRH)
Class group $[7]$ (GRH)
Galois group $C_{39}$ (as 39T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-9765625, -13984375, 2855312500, 4180068750, -71168573750, -97379198250, 645145821500, 842025983515, -2593891521982, -3522617600307, 5300624795924, 7867872784032, -6090366989496, -10349426133993, 4202789024049, 8684112089102, -1782021019971, -4917326782303, 442964945371, 1952302482609, -45743080985, -557397698695, -7694298355, 116209225455, 3767883715, -17813421285, -697581260, 2005287415, 77293037, -164185853, -5543314, 9584688, 259301, -385412, -7664, 10058, 131, -152, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - x^38 - 152*x^37 + 131*x^36 + 10058*x^35 - 7664*x^34 - 385412*x^33 + 259301*x^32 + 9584688*x^31 - 5543314*x^30 - 164185853*x^29 + 77293037*x^28 + 2005287415*x^27 - 697581260*x^26 - 17813421285*x^25 + 3767883715*x^24 + 116209225455*x^23 - 7694298355*x^22 - 557397698695*x^21 - 45743080985*x^20 + 1952302482609*x^19 + 442964945371*x^18 - 4917326782303*x^17 - 1782021019971*x^16 + 8684112089102*x^15 + 4202789024049*x^14 - 10349426133993*x^13 - 6090366989496*x^12 + 7867872784032*x^11 + 5300624795924*x^10 - 3522617600307*x^9 - 2593891521982*x^8 + 842025983515*x^7 + 645145821500*x^6 - 97379198250*x^5 - 71168573750*x^4 + 4180068750*x^3 + 2855312500*x^2 - 13984375*x - 9765625)
 
gp: K = bnfinit(x^39 - x^38 - 152*x^37 + 131*x^36 + 10058*x^35 - 7664*x^34 - 385412*x^33 + 259301*x^32 + 9584688*x^31 - 5543314*x^30 - 164185853*x^29 + 77293037*x^28 + 2005287415*x^27 - 697581260*x^26 - 17813421285*x^25 + 3767883715*x^24 + 116209225455*x^23 - 7694298355*x^22 - 557397698695*x^21 - 45743080985*x^20 + 1952302482609*x^19 + 442964945371*x^18 - 4917326782303*x^17 - 1782021019971*x^16 + 8684112089102*x^15 + 4202789024049*x^14 - 10349426133993*x^13 - 6090366989496*x^12 + 7867872784032*x^11 + 5300624795924*x^10 - 3522617600307*x^9 - 2593891521982*x^8 + 842025983515*x^7 + 645145821500*x^6 - 97379198250*x^5 - 71168573750*x^4 + 4180068750*x^3 + 2855312500*x^2 - 13984375*x - 9765625, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{39} - x^{38} - 152 x^{37} + 131 x^{36} + 10058 x^{35} - 7664 x^{34} - 385412 x^{33} + 259301 x^{32} + 9584688 x^{31} - 5543314 x^{30} - 164185853 x^{29} + 77293037 x^{28} + 2005287415 x^{27} - 697581260 x^{26} - 17813421285 x^{25} + 3767883715 x^{24} + 116209225455 x^{23} - 7694298355 x^{22} - 557397698695 x^{21} - 45743080985 x^{20} + 1952302482609 x^{19} + 442964945371 x^{18} - 4917326782303 x^{17} - 1782021019971 x^{16} + 8684112089102 x^{15} + 4202789024049 x^{14} - 10349426133993 x^{13} - 6090366989496 x^{12} + 7867872784032 x^{11} + 5300624795924 x^{10} - 3522617600307 x^{9} - 2593891521982 x^{8} + 842025983515 x^{7} + 645145821500 x^{6} - 97379198250 x^{5} - 71168573750 x^{4} + 4180068750 x^{3} + 2855312500 x^{2} - 13984375 x - 9765625 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $39$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[39, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(67714991262885724764382982352806307530105400259949891343634847772804609517807540244019550464529=313^{38}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $270.12$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $313$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(313\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{313}(256,·)$, $\chi_{313}(1,·)$, $\chi_{313}(3,·)$, $\chi_{313}(132,·)$, $\chi_{313}(9,·)$, $\chi_{313}(142,·)$, $\chi_{313}(16,·)$, $\chi_{313}(277,·)$, $\chi_{313}(150,·)$, $\chi_{313}(280,·)$, $\chi_{313}(26,·)$, $\chi_{313}(27,·)$, $\chi_{313}(294,·)$, $\chi_{313}(44,·)$, $\chi_{313}(301,·)$, $\chi_{313}(174,·)$, $\chi_{313}(48,·)$, $\chi_{313}(50,·)$, $\chi_{313}(243,·)$, $\chi_{313}(309,·)$, $\chi_{313}(137,·)$, $\chi_{313}(58,·)$, $\chi_{313}(76,·)$, $\chi_{313}(205,·)$, $\chi_{313}(78,·)$, $\chi_{313}(209,·)$, $\chi_{313}(83,·)$, $\chi_{313}(214,·)$, $\chi_{313}(121,·)$, $\chi_{313}(144,·)$, $\chi_{313}(98,·)$, $\chi_{313}(228,·)$, $\chi_{313}(81,·)$, $\chi_{313}(234,·)$, $\chi_{313}(103,·)$, $\chi_{313}(113,·)$, $\chi_{313}(302,·)$, $\chi_{313}(119,·)$, $\chi_{313}(249,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $\frac{1}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{2}$, $\frac{1}{5} a^{7} - \frac{1}{5} a^{3}$, $\frac{1}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{4}$, $\frac{1}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{25} a^{10} - \frac{2}{25} a^{6} + \frac{1}{25} a^{2}$, $\frac{1}{25} a^{11} - \frac{2}{25} a^{7} + \frac{1}{25} a^{3}$, $\frac{1}{25} a^{12} - \frac{2}{25} a^{8} + \frac{1}{25} a^{4}$, $\frac{1}{25} a^{13} - \frac{2}{25} a^{9} + \frac{1}{25} a^{5}$, $\frac{1}{25} a^{14} + \frac{2}{25} a^{6} - \frac{3}{25} a^{2}$, $\frac{1}{125} a^{15} + \frac{2}{125} a^{11} - \frac{7}{125} a^{7} + \frac{4}{125} a^{3}$, $\frac{1}{125} a^{16} + \frac{2}{125} a^{12} - \frac{7}{125} a^{8} + \frac{4}{125} a^{4}$, $\frac{1}{125} a^{17} + \frac{2}{125} a^{13} - \frac{7}{125} a^{9} + \frac{4}{125} a^{5}$, $\frac{1}{125} a^{18} + \frac{2}{125} a^{14} - \frac{2}{125} a^{10} - \frac{6}{125} a^{6} + \frac{1}{25} a^{2}$, $\frac{1}{625} a^{19} - \frac{2}{625} a^{18} - \frac{1}{625} a^{17} + \frac{2}{625} a^{16} + \frac{2}{625} a^{15} - \frac{9}{625} a^{14} + \frac{8}{625} a^{13} + \frac{9}{625} a^{12} + \frac{8}{625} a^{11} - \frac{1}{625} a^{10} + \frac{37}{625} a^{9} + \frac{1}{625} a^{8} + \frac{49}{625} a^{7} + \frac{12}{625} a^{6} - \frac{44}{625} a^{5} - \frac{12}{625} a^{4} - \frac{12}{125} a^{3}$, $\frac{1}{625} a^{20} + \frac{1}{625} a^{16} - \frac{9}{625} a^{12} + \frac{11}{625} a^{8} - \frac{4}{625} a^{4}$, $\frac{1}{625} a^{21} + \frac{1}{625} a^{17} - \frac{9}{625} a^{13} + \frac{11}{625} a^{9} - \frac{4}{625} a^{5}$, $\frac{1}{3125} a^{22} + \frac{1}{3125} a^{21} + \frac{6}{3125} a^{18} - \frac{4}{3125} a^{17} - \frac{2}{625} a^{16} - \frac{49}{3125} a^{14} + \frac{31}{3125} a^{13} + \frac{11}{625} a^{12} - \frac{1}{125} a^{11} - \frac{49}{3125} a^{10} - \frac{179}{3125} a^{9} - \frac{16}{625} a^{8} + \frac{7}{125} a^{7} + \frac{216}{3125} a^{6} + \frac{151}{3125} a^{5} + \frac{257}{625} a^{4} + \frac{44}{125} a^{3} + \frac{9}{25} a^{2} + \frac{2}{5} a$, $\frac{1}{3125} a^{23} - \frac{1}{3125} a^{21} + \frac{1}{3125} a^{19} - \frac{1}{3125} a^{17} - \frac{9}{3125} a^{15} - \frac{16}{3125} a^{13} + \frac{36}{3125} a^{11} - \frac{86}{3125} a^{9} + \frac{71}{3125} a^{7} + \frac{104}{3125} a^{5} - \frac{4}{125} a^{3}$, $\frac{1}{15625} a^{24} - \frac{2}{15625} a^{23} - \frac{1}{15625} a^{22} - \frac{8}{15625} a^{21} + \frac{6}{15625} a^{20} - \frac{12}{15625} a^{19} + \frac{44}{15625} a^{18} + \frac{52}{15625} a^{17} + \frac{51}{15625} a^{16} + \frac{48}{15625} a^{15} - \frac{126}{15625} a^{14} - \frac{233}{15625} a^{13} + \frac{51}{15625} a^{12} + \frac{198}{15625} a^{11} + \frac{249}{15625} a^{10} - \frac{1158}{15625} a^{9} - \frac{409}{15625} a^{8} + \frac{393}{15625} a^{7} + \frac{1084}{15625} a^{6} - \frac{528}{15625} a^{5} - \frac{238}{625} a^{4} - \frac{1}{25} a^{3} + \frac{3}{25} a^{2} - \frac{2}{25} a$, $\frac{1}{15625} a^{25} - \frac{1}{3125} a^{21} + \frac{2}{3125} a^{17} - \frac{2}{3125} a^{13} + \frac{1}{3125} a^{9} - \frac{626}{15625} a^{5} + \frac{1}{25} a$, $\frac{1}{15625} a^{26} + \frac{1}{3125} a^{21} + \frac{8}{3125} a^{18} - \frac{4}{3125} a^{17} - \frac{2}{625} a^{16} - \frac{51}{3125} a^{14} + \frac{31}{3125} a^{13} + \frac{11}{625} a^{12} - \frac{1}{125} a^{11} - \frac{48}{3125} a^{10} - \frac{179}{3125} a^{9} - \frac{16}{625} a^{8} + \frac{7}{125} a^{7} + \frac{454}{15625} a^{6} + \frac{151}{3125} a^{5} + \frac{257}{625} a^{4} + \frac{44}{125} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2} + \frac{2}{5} a$, $\frac{1}{15625} a^{27} - \frac{1}{3125} a^{21} - \frac{2}{3125} a^{19} + \frac{2}{625} a^{18} + \frac{4}{3125} a^{17} - \frac{2}{625} a^{16} + \frac{4}{3125} a^{15} + \frac{9}{625} a^{14} - \frac{56}{3125} a^{13} - \frac{9}{625} a^{12} + \frac{47}{3125} a^{11} + \frac{1}{625} a^{10} - \frac{271}{3125} a^{9} - \frac{1}{625} a^{8} + \frac{754}{15625} a^{7} - \frac{12}{625} a^{6} - \frac{301}{3125} a^{5} + \frac{12}{625} a^{4} - \frac{8}{125} a^{3} + \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{15625} a^{28} + \frac{1}{3125} a^{21} - \frac{2}{3125} a^{20} + \frac{1}{625} a^{18} - \frac{4}{3125} a^{17} - \frac{1}{3125} a^{16} + \frac{12}{625} a^{14} + \frac{31}{3125} a^{13} + \frac{62}{3125} a^{12} - \frac{1}{125} a^{11} - \frac{2}{625} a^{10} - \frac{179}{3125} a^{9} - \frac{571}{15625} a^{8} + \frac{7}{125} a^{7} - \frac{61}{625} a^{6} + \frac{151}{3125} a^{5} + \frac{261}{625} a^{4} + \frac{44}{125} a^{3} + \frac{12}{25} a^{2} + \frac{2}{5} a$, $\frac{1}{78125} a^{29} - \frac{2}{78125} a^{28} - \frac{1}{78125} a^{27} + \frac{2}{78125} a^{26} + \frac{3}{15625} a^{21} - \frac{1}{15625} a^{20} + \frac{12}{15625} a^{19} + \frac{26}{15625} a^{18} + \frac{24}{15625} a^{17} + \frac{7}{15625} a^{16} - \frac{9}{15625} a^{15} - \frac{257}{15625} a^{14} + \frac{132}{15625} a^{13} - \frac{84}{15625} a^{12} + \frac{233}{15625} a^{11} + \frac{309}{15625} a^{10} - \frac{1121}{78125} a^{9} - \frac{6733}{78125} a^{8} + \frac{3196}{78125} a^{7} - \frac{4767}{78125} a^{6} + \frac{13}{3125} a^{5} + \frac{182}{625} a^{4} - \frac{7}{125} a^{3} + \frac{57}{125} a^{2} - \frac{2}{5} a$, $\frac{1}{78125} a^{30} - \frac{1}{78125} a^{26} - \frac{2}{15625} a^{22} + \frac{6}{15625} a^{18} - \frac{7}{15625} a^{14} - \frac{606}{78125} a^{10} - \frac{1879}{78125} a^{6} + \frac{4}{125} a^{2}$, $\frac{1}{390625} a^{31} - \frac{2}{390625} a^{30} - \frac{2}{390625} a^{29} - \frac{1}{390625} a^{28} + \frac{11}{390625} a^{27} - \frac{12}{390625} a^{26} - \frac{1}{78125} a^{25} + \frac{1}{78125} a^{24} - \frac{9}{78125} a^{23} + \frac{8}{78125} a^{22} + \frac{51}{78125} a^{21} - \frac{32}{78125} a^{20} + \frac{9}{15625} a^{19} + \frac{36}{15625} a^{18} - \frac{71}{78125} a^{17} - \frac{233}{78125} a^{16} - \frac{156}{78125} a^{15} - \frac{583}{78125} a^{14} - \frac{1402}{78125} a^{13} - \frac{841}{78125} a^{12} - \frac{3371}{390625} a^{11} + \frac{3042}{390625} a^{10} + \frac{5352}{390625} a^{9} + \frac{17526}{390625} a^{8} + \frac{23334}{390625} a^{7} - \frac{37303}{390625} a^{6} - \frac{7147}{78125} a^{5} + \frac{154}{3125} a^{4} - \frac{6}{625} a^{3} + \frac{133}{625} a^{2} + \frac{32}{125} a$, $\frac{1}{390625} a^{32} - \frac{1}{390625} a^{30} - \frac{1}{390625} a^{28} + \frac{1}{78125} a^{27} + \frac{1}{390625} a^{26} - \frac{1}{78125} a^{25} - \frac{2}{78125} a^{24} + \frac{1}{15625} a^{23} + \frac{2}{78125} a^{22} - \frac{1}{15625} a^{21} + \frac{6}{78125} a^{20} + \frac{9}{15625} a^{19} - \frac{181}{78125} a^{18} - \frac{59}{15625} a^{17} + \frac{43}{78125} a^{16} - \frac{7}{3125} a^{15} - \frac{468}{78125} a^{14} + \frac{32}{3125} a^{13} + \frac{6769}{390625} a^{12} + \frac{63}{15625} a^{11} - \frac{4519}{390625} a^{10} - \frac{1388}{15625} a^{9} + \frac{16996}{390625} a^{8} + \frac{5309}{78125} a^{7} - \frac{11621}{390625} a^{6} + \frac{3941}{78125} a^{5} - \frac{1442}{3125} a^{4} - \frac{169}{625} a^{3} - \frac{219}{625} a^{2} + \frac{54}{125} a$, $\frac{1}{390625} a^{33} - \frac{2}{390625} a^{30} + \frac{2}{390625} a^{29} - \frac{6}{390625} a^{28} + \frac{7}{390625} a^{27} - \frac{7}{390625} a^{26} + \frac{2}{78125} a^{25} + \frac{1}{78125} a^{24} + \frac{3}{78125} a^{23} + \frac{8}{78125} a^{22} - \frac{38}{78125} a^{21} - \frac{22}{78125} a^{20} - \frac{16}{78125} a^{19} - \frac{41}{15625} a^{18} - \frac{243}{78125} a^{17} - \frac{3}{78125} a^{16} - \frac{284}{78125} a^{15} - \frac{438}{78125} a^{14} - \frac{1366}{390625} a^{13} + \frac{49}{78125} a^{12} - \frac{153}{78125} a^{11} + \frac{1092}{390625} a^{10} - \frac{7932}{390625} a^{9} - \frac{1244}{390625} a^{8} - \frac{4007}{390625} a^{7} + \frac{25217}{390625} a^{6} + \frac{888}{78125} a^{5} + \frac{1509}{3125} a^{4} - \frac{43}{125} a^{3} - \frac{212}{625} a^{2} - \frac{53}{125} a$, $\frac{1}{1953125} a^{34} + \frac{2}{1953125} a^{33} - \frac{2}{1953125} a^{32} + \frac{1}{1953125} a^{30} - \frac{11}{1953125} a^{29} + \frac{6}{390625} a^{28} + \frac{49}{1953125} a^{27} - \frac{4}{390625} a^{26} + \frac{2}{78125} a^{25} + \frac{11}{390625} a^{24} + \frac{36}{390625} a^{23} - \frac{4}{78125} a^{22} - \frac{51}{390625} a^{21} - \frac{306}{390625} a^{20} + \frac{203}{390625} a^{19} + \frac{1419}{390625} a^{18} - \frac{136}{390625} a^{17} + \frac{1348}{390625} a^{16} + \frac{352}{390625} a^{15} + \frac{2354}{1953125} a^{14} + \frac{10568}{1953125} a^{13} + \frac{4502}{1953125} a^{12} - \frac{2506}{390625} a^{11} + \frac{1994}{1953125} a^{10} + \frac{86101}{1953125} a^{9} - \frac{16459}{390625} a^{8} + \frac{160151}{1953125} a^{7} - \frac{7328}{78125} a^{6} + \frac{3669}{78125} a^{5} + \frac{216}{3125} a^{4} - \frac{691}{3125} a^{3} - \frac{28}{125} a^{2} - \frac{29}{125} a$, $\frac{1}{6162109375} a^{35} - \frac{339}{6162109375} a^{34} + \frac{1891}{6162109375} a^{33} + \frac{5422}{6162109375} a^{32} - \frac{7624}{6162109375} a^{31} + \frac{358}{6162109375} a^{30} + \frac{5131}{6162109375} a^{29} - \frac{74521}{6162109375} a^{28} - \frac{46329}{6162109375} a^{27} + \frac{13002}{1232421875} a^{26} - \frac{31764}{1232421875} a^{25} - \frac{229}{246484375} a^{24} - \frac{61446}{1232421875} a^{23} - \frac{159951}{1232421875} a^{22} - \frac{101158}{246484375} a^{21} - \frac{538261}{1232421875} a^{20} - \frac{65254}{1232421875} a^{19} + \frac{961049}{246484375} a^{18} + \frac{713199}{1232421875} a^{17} + \frac{2374529}{1232421875} a^{16} + \frac{19786319}{6162109375} a^{15} + \frac{109128504}{6162109375} a^{14} + \frac{77464489}{6162109375} a^{13} + \frac{52419098}{6162109375} a^{12} - \frac{91236276}{6162109375} a^{11} + \frac{24509137}{6162109375} a^{10} + \frac{609322664}{6162109375} a^{9} + \frac{132395011}{6162109375} a^{8} + \frac{315061784}{6162109375} a^{7} - \frac{53200203}{1232421875} a^{6} + \frac{3514979}{246484375} a^{5} - \frac{4886698}{9859375} a^{4} - \frac{3493704}{9859375} a^{3} - \frac{58562}{1971875} a^{2} + \frac{118316}{394375} a + \frac{1284}{3155}$, $\frac{1}{4627744140625} a^{36} - \frac{214}{4627744140625} a^{35} + \frac{126731}{4627744140625} a^{34} - \frac{5260523}{4627744140625} a^{33} + \frac{3380271}{4627744140625} a^{32} + \frac{5089183}{4627744140625} a^{31} - \frac{22719754}{4627744140625} a^{30} - \frac{1682661}{4627744140625} a^{29} + \frac{52192596}{4627744140625} a^{28} - \frac{4450401}{925548828125} a^{27} + \frac{19561211}{925548828125} a^{26} - \frac{3144804}{185109765625} a^{25} - \frac{13083281}{925548828125} a^{24} - \frac{129945511}{925548828125} a^{23} - \frac{11331193}{185109765625} a^{22} + \frac{416703474}{925548828125} a^{21} + \frac{420232131}{925548828125} a^{20} + \frac{106352978}{185109765625} a^{19} + \frac{1670967459}{925548828125} a^{18} + \frac{2904055464}{925548828125} a^{17} + \frac{14388792294}{4627744140625} a^{16} + \frac{9423893904}{4627744140625} a^{15} - \frac{84478285651}{4627744140625} a^{14} + \frac{62010845593}{4627744140625} a^{13} + \frac{62167774454}{4627744140625} a^{12} - \frac{72235416388}{4627744140625} a^{11} - \frac{70488064526}{4627744140625} a^{10} + \frac{87788578751}{4627744140625} a^{9} - \frac{320908300116}{4627744140625} a^{8} - \frac{2600736791}{37021953125} a^{7} + \frac{9194925687}{185109765625} a^{6} + \frac{417131629}{37021953125} a^{5} + \frac{1998636891}{7404390625} a^{4} + \frac{15041522}{59235125} a^{3} + \frac{131739738}{296175625} a^{2} + \frac{17194441}{59235125} a + \frac{165241}{473881}$, $\frac{1}{4627744140625} a^{37} - \frac{173}{4627744140625} a^{35} - \frac{401982}{4627744140625} a^{34} - \frac{1006989}{4627744140625} a^{33} - \frac{2737214}{4627744140625} a^{32} + \frac{19642}{37021953125} a^{31} - \frac{25988811}{4627744140625} a^{30} + \frac{12822949}{4627744140625} a^{29} + \frac{48567632}{4627744140625} a^{28} + \frac{31813897}{4627744140625} a^{27} + \frac{7149558}{925548828125} a^{26} + \frac{27582701}{925548828125} a^{25} - \frac{1565883}{185109765625} a^{24} - \frac{137314556}{925548828125} a^{23} + \frac{140165297}{925548828125} a^{22} - \frac{63772483}{925548828125} a^{21} - \frac{354497258}{925548828125} a^{20} - \frac{61793814}{925548828125} a^{19} - \frac{736894083}{185109765625} a^{18} + \frac{1958815214}{4627744140625} a^{17} + \frac{1036728692}{925548828125} a^{16} - \frac{3445618822}{4627744140625} a^{15} - \frac{52409574548}{4627744140625} a^{14} - \frac{90958905696}{4627744140625} a^{13} - \frac{87716792751}{4627744140625} a^{12} + \frac{2719934823}{185109765625} a^{11} - \frac{50641349704}{4627744140625} a^{10} - \frac{326628305269}{4627744140625} a^{9} + \frac{104373584738}{4627744140625} a^{8} + \frac{125087826123}{4627744140625} a^{7} - \frac{34080207056}{925548828125} a^{6} - \frac{16105020102}{185109765625} a^{5} - \frac{3658616937}{7404390625} a^{4} - \frac{3600549213}{7404390625} a^{3} - \frac{29736474}{1480878125} a^{2} + \frac{138154867}{296175625} a - \frac{786357}{2369405}$, $\frac{1}{11690426235554660109933639616227132753626392382030755961571323855434193093429801685302734375} a^{38} - \frac{10005249169288678109793940850459025567710867400235695892996957508768118907333}{2338085247110932021986727923245426550725278476406151192314264771086838618685960337060546875} a^{37} + \frac{453554673487828420503626836040353669269470903559585797164582884215826382824258}{11690426235554660109933639616227132753626392382030755961571323855434193093429801685302734375} a^{36} - \frac{471862739493982645557578795482741174166308751269997212637174749440346468611602931}{11690426235554660109933639616227132753626392382030755961571323855434193093429801685302734375} a^{35} + \frac{2679003147575086236448700514922162679449350024919420668979944961656662728703861165067}{11690426235554660109933639616227132753626392382030755961571323855434193093429801685302734375} a^{34} + \frac{1122368215750985925215190318140254545091029943841195868500051459418865424631033661648}{11690426235554660109933639616227132753626392382030755961571323855434193093429801685302734375} a^{33} - \frac{11254468404496399527940255049583466506264337160739334374272070901145581927016166100209}{11690426235554660109933639616227132753626392382030755961571323855434193093429801685302734375} a^{32} + \frac{3203838058628768674127518097105509952239116692914106948177396397516073439582641960927}{11690426235554660109933639616227132753626392382030755961571323855434193093429801685302734375} a^{31} - \frac{2651642705246918425640948837112620270894484254290596930607590756113705377424490310893}{2338085247110932021986727923245426550725278476406151192314264771086838618685960337060546875} a^{30} - \frac{67547260191378768413947345142147868396416850176153878568174387906866332448343272146154}{11690426235554660109933639616227132753626392382030755961571323855434193093429801685302734375} a^{29} + \frac{314161795667927393674461409599997344012717747410797574249245411927094882132111655907303}{11690426235554660109933639616227132753626392382030755961571323855434193093429801685302734375} a^{28} + \frac{50974494938580603335444599412963552782097274388245183868690256490914562410329116962559}{2338085247110932021986727923245426550725278476406151192314264771086838618685960337060546875} a^{27} + \frac{65572569573133851566979871091873403955900414058258002889636078644959207100829046189922}{2338085247110932021986727923245426550725278476406151192314264771086838618685960337060546875} a^{26} + \frac{2452407157902409807149048436912268306285630223299068232159417281201672466970207388293}{467617049422186404397345584649085310145055695281230238462852954217367723737192067412109375} a^{25} + \frac{48335195608815251233288913605124720947521588864386229726696761180266980146031520955958}{2338085247110932021986727923245426550725278476406151192314264771086838618685960337060546875} a^{24} + \frac{183332310386293043539587552967792151364642631243972377567998003695504536224429511868381}{2338085247110932021986727923245426550725278476406151192314264771086838618685960337060546875} a^{23} - \frac{36295715954331236365820728136729352438853280064766820623185525567330545624344713156493}{2338085247110932021986727923245426550725278476406151192314264771086838618685960337060546875} a^{22} - \frac{296838097820240781076529923236480730126413883990907495279077781663564579615979445166619}{2338085247110932021986727923245426550725278476406151192314264771086838618685960337060546875} a^{21} + \frac{524166727877853037566945112807404710039336001096079471781884732519341203920989080366727}{2338085247110932021986727923245426550725278476406151192314264771086838618685960337060546875} a^{20} - \frac{73028525803513717033985213791334380169411643144453114380337779650914484483744764350259}{93523409884437280879469116929817062029011139056246047692570590843473544747438413482421875} a^{19} - \frac{34779567601916811588555482383114782178445831787124084874138487420434647209343630573901766}{11690426235554660109933639616227132753626392382030755961571323855434193093429801685302734375} a^{18} + \frac{1015351609211291699193848396935946186015178596754669020251264565273013175494010725101174}{2338085247110932021986727923245426550725278476406151192314264771086838618685960337060546875} a^{17} - \frac{21785152065616441937360205021943976439233794404818429504031112683677462372771614868102958}{11690426235554660109933639616227132753626392382030755961571323855434193093429801685302734375} a^{16} + \frac{13274046444046070819985620950071498810451647551497368160788499714387530783251457042893391}{11690426235554660109933639616227132753626392382030755961571323855434193093429801685302734375} a^{15} + \frac{222966883468750427835437527889237798320231692291869664493136825092353284603143869381448528}{11690426235554660109933639616227132753626392382030755961571323855434193093429801685302734375} a^{14} + \frac{128711074816829171481260854636453248632787062161301538869112588942628477846064667889603407}{11690426235554660109933639616227132753626392382030755961571323855434193093429801685302734375} a^{13} - \frac{12459919786920731648883761609389798029646216964910017192536689080039553347932012978264841}{11690426235554660109933639616227132753626392382030755961571323855434193093429801685302734375} a^{12} + \frac{4423665328324232522537173687815372157163840778470715963634667914643382520801018861766203}{11690426235554660109933639616227132753626392382030755961571323855434193093429801685302734375} a^{11} + \frac{44886533307830256310834778719964047216675490044315630892304168675177768062320835382133023}{2338085247110932021986727923245426550725278476406151192314264771086838618685960337060546875} a^{10} - \frac{703037762116721850147655975367369370813550785542313689179581708245163751298156799372641211}{11690426235554660109933639616227132753626392382030755961571323855434193093429801685302734375} a^{9} - \frac{201941680493413258475820219868152092475907335522223468649529237796926659585142714657441353}{11690426235554660109933639616227132753626392382030755961571323855434193093429801685302734375} a^{8} + \frac{15932644355252415184589762797157686577445167468711447725772950196282468695756357731551392}{2338085247110932021986727923245426550725278476406151192314264771086838618685960337060546875} a^{7} - \frac{9344206903409485056089349948829052926074630595900911182455322024847028281972802594766542}{93523409884437280879469116929817062029011139056246047692570590843473544747438413482421875} a^{6} + \frac{652564918757316903430240459785108693612231007511257302963429895775289395860964020969306}{93523409884437280879469116929817062029011139056246047692570590843473544747438413482421875} a^{5} + \frac{1743156241426333884820337498485797181504532081390622399372464997629262665490980434500453}{18704681976887456175893823385963412405802227811249209538514118168694708949487682696484375} a^{4} + \frac{1849079424168945620004752599257810486723608671822051726799662171055091329788897329841833}{3740936395377491235178764677192682481160445562249841907702823633738941789897536539296875} a^{3} - \frac{43818084367995745097564877051213664789564598877891841011656726364559585805964049997678}{149637455815099649407150587087707299246417822489993676308112945349557671595901461571875} a^{2} - \frac{2682052261239509216520207295542811495474819627524654403476461754488479772617657221626}{149637455815099649407150587087707299246417822489993676308112945349557671595901461571875} a + \frac{381338520407865427946606786760200434815004598745023859533013856541906855484345123781}{1197099646520797195257204696701658393971342579919949410464903562796461372767211692575}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

$C_{7}$, which has order $7$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $38$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 77156139939904980000000000000000000000 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{39}$ (as 39T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 39
The 39 conjugacy class representatives for $C_{39}$
Character table for $C_{39}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.97969.1, 13.13.884162417215006648162206715681.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/5.1.0.1}{1} }^{39}$ ${\href{/LocalNumberField/7.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/19.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/23.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/29.3.0.1}{3} }^{13}$ $39$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/43.3.0.1}{3} }^{13}$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/53.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
313Data not computed