Global number field 39.39.3102703142732348876192611533411048129992566358627842863317878781829081381311876192555480221743625330154958690121.1

• Label: 39.39.3102703142...0121.1
• Degree: $39$
• Signature: $[39, 0]$
• Discriminant: $859^{38}$
• Root discriminant: $722.37$
• Ramified prime: $859$
• Class number: Not computed
• Class group: Not computed
• Galois group: $C_{39}$ (as 39T1)

Normalized defining polynomial

\( x^{39} - x^{38} - 418 x^{37} + 257 x^{36} + 76656 x^{35} - 25124 x^{34} - 8202516 x^{33} + 1019926 x^{32} + 574247527 x^{31} + 5687450 x^{30} - 27929902375 x^{29} - 2377460296 x^{28} + 977447780026 x^{27} + 104572804788 x^{26} - 25143771161526 x^{25} - 1960796376209 x^{24} + 481506512358468 x^{23} - 367850835644 x^{22} - 6909840978182031 x^{21} + 881254692222165 x^{20} + 74394563155392672 x^{19} - 22215332285440559 x^{18} - 597860125935944916 x^{17} + 304123644173622296 x^{16} + 3535952790750419585 x^{15} - 2666822697362825632 x^{14} - 14955842277567387623 x^{13} + 15573247852725031688 x^{12} + 42764798476196161371 x^{11} - 60196114411581821386 x^{10} - 72785367486446956468 x^{9} + 147412192602412912773 x^{8} + 44677485895471467253 x^{7} - 205734048952896741833 x^{6} + 58393246255856725398 x^{5} + 122604532156110799892 x^{4} - 93030852218962216732 x^{3} + 3463394079889685056 x^{2} + 14915576173796699171 x - 3730889337449273077 \)

Invariants

Degree:		$39$
Signature:		$[39, 0]$
Discriminant:		\(3102703142732348876192611533411048129992566358627842863317878781829081381311876192555480221743625330154958690121=859^{38}\)
Root discriminant:		$722.37$
Ramified primes:		$859$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:		\(859\)
Dirichlet character group:		$\lbrace$$\chi_{859}(1,·)$, $\chi_{859}(260,·)$, $\chi_{859}(773,·)$, $\chi_{859}(518,·)$, $\chi_{859}(524,·)$, $\chi_{859}(144,·)$, $\chi_{859}(529,·)$, $\chi_{859}(276,·)$, $\chi_{859}(277,·)$, $\chi_{859}(278,·)$, $\chi_{859}(666,·)$, $\chi_{859}(33,·)$, $\chi_{859}(676,·)$, $\chi_{859}(551,·)$, $\chi_{859}(555,·)$, $\chi_{859}(173,·)$, $\chi_{859}(312,·)$, $\chi_{859}(316,·)$, $\chi_{859}(833,·)$, $\chi_{859}(836,·)$, $\chi_{859}(584,·)$, $\chi_{859}(457,·)$, $\chi_{859}(718,·)$, $\chi_{859}(463,·)$, $\chi_{859}(849,·)$, $\chi_{859}(723,·)$, $\chi_{859}(212,·)$, $\chi_{859}(598,·)$, $\chi_{859}(847,·)$, $\chi_{859}(478,·)$, $\chi_{859}(656,·)$, $\chi_{859}(100,·)$, $\chi_{859}(230,·)$, $\chi_{859}(112,·)$, $\chi_{859}(501,·)$, $\chi_{859}(374,·)$, $\chi_{859}(503,·)$, $\chi_{859}(120,·)$, $\chi_{859}(124,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $\frac{1}{13} a^{13} - \frac{1}{13} a$, $\frac{1}{13} a^{14} - \frac{1}{13} a^{2}$, $\frac{1}{13} a^{15} - \frac{1}{13} a^{3}$, $\frac{1}{13} a^{16} - \frac{1}{13} a^{4}$, $\frac{1}{13} a^{17} - \frac{1}{13} a^{5}$, $\frac{1}{13} a^{18} - \frac{1}{13} a^{6}$, $\frac{1}{13} a^{19} - \frac{1}{13} a^{7}$, $\frac{1}{13} a^{20} - \frac{1}{13} a^{8}$, $\frac{1}{169} a^{21} + \frac{6}{169} a^{19} - \frac{2}{169} a^{17} - \frac{6}{169} a^{15} + \frac{1}{169} a^{13} + \frac{4}{13} a^{12} - \frac{1}{13} a^{11} - \frac{5}{13} a^{10} + \frac{64}{169} a^{9} + \frac{3}{13} a^{8} + \frac{33}{169} a^{7} - \frac{37}{169} a^{5} + \frac{3}{13} a^{4} - \frac{20}{169} a^{3} + \frac{5}{13} a^{2} - \frac{27}{169} a + \frac{3}{13}$, $\frac{1}{169} a^{22} + \frac{6}{169} a^{20} - \frac{2}{169} a^{18} - \frac{6}{169} a^{16} + \frac{1}{169} a^{14} - \frac{1}{13} a^{12} - \frac{5}{13} a^{11} + \frac{64}{169} a^{10} + \frac{3}{13} a^{9} + \frac{33}{169} a^{8} - \frac{37}{169} a^{6} + \frac{3}{13} a^{5} - \frac{20}{169} a^{4} + \frac{5}{13} a^{3} - \frac{27}{169} a^{2} - \frac{6}{13} a$, $\frac{1}{169} a^{23} + \frac{1}{169} a^{19} + \frac{6}{169} a^{17} - \frac{2}{169} a^{15} - \frac{6}{169} a^{13} - \frac{3}{13} a^{12} - \frac{27}{169} a^{11} - \frac{6}{13} a^{10} - \frac{1}{13} a^{9} - \frac{5}{13} a^{8} + \frac{64}{169} a^{7} + \frac{3}{13} a^{6} + \frac{33}{169} a^{5} - \frac{37}{169} a^{3} + \frac{3}{13} a^{2} - \frac{20}{169} a - \frac{5}{13}$, $\frac{1}{169} a^{24} + \frac{1}{169} a^{20} + \frac{6}{169} a^{18} - \frac{2}{169} a^{16} - \frac{6}{169} a^{14} - \frac{27}{169} a^{12} - \frac{6}{13} a^{11} - \frac{1}{13} a^{10} - \frac{5}{13} a^{9} + \frac{64}{169} a^{8} + \frac{3}{13} a^{7} + \frac{33}{169} a^{6} - \frac{37}{169} a^{4} + \frac{3}{13} a^{3} - \frac{20}{169} a^{2} + \frac{5}{13} a$, $\frac{1}{169} a^{25} - \frac{2}{169} a^{13} + \frac{3}{13} a^{12} + \frac{1}{169} a - \frac{3}{13}$, $\frac{1}{2197} a^{26} + \frac{1}{2197} a^{25} + \frac{3}{2197} a^{24} + \frac{3}{2197} a^{23} + \frac{2}{2197} a^{22} + \frac{2}{2197} a^{21} + \frac{67}{2197} a^{20} + \frac{28}{2197} a^{19} + \frac{27}{2197} a^{18} + \frac{66}{2197} a^{17} - \frac{83}{2197} a^{16} + \frac{21}{2197} a^{15} - \frac{31}{2197} a^{14} + \frac{60}{2197} a^{13} - \frac{757}{2197} a^{12} - \frac{302}{2197} a^{11} - \frac{275}{2197} a^{10} - \frac{1042}{2197} a^{9} + \frac{427}{2197} a^{8} + \frac{193}{2197} a^{7} + \frac{129}{2197} a^{6} - \frac{287}{2197} a^{5} - \frac{177}{2197} a^{4} + \frac{733}{2197} a^{3} + \frac{823}{2197} a^{2} - \frac{321}{2197} a - \frac{77}{169}$, $\frac{1}{2197} a^{27} + \frac{2}{2197} a^{25} - \frac{1}{2197} a^{23} - \frac{3}{169} a^{20} - \frac{53}{2197} a^{19} + \frac{3}{169} a^{18} - \frac{19}{2197} a^{17} - \frac{5}{169} a^{16} - \frac{6}{169} a^{14} - \frac{37}{2197} a^{13} - \frac{56}{169} a^{12} + \frac{872}{2197} a^{11} - \frac{72}{169} a^{10} - \frac{38}{169} a^{9} - \frac{44}{169} a^{8} - \frac{350}{2197} a^{7} - \frac{32}{169} a^{6} + \frac{318}{2197} a^{5} + \frac{57}{169} a^{4} - \frac{469}{2197} a^{3} - \frac{62}{169} a^{2} + \frac{230}{2197} a + \frac{51}{169}$, $\frac{1}{2197} a^{28} - \frac{2}{2197} a^{25} + \frac{6}{2197} a^{24} - \frac{6}{2197} a^{23} - \frac{4}{2197} a^{22} - \frac{4}{2197} a^{21} - \frac{5}{2197} a^{20} + \frac{48}{2197} a^{19} + \frac{5}{2197} a^{18} + \frac{63}{2197} a^{17} - \frac{29}{2197} a^{16} - \frac{16}{2197} a^{15} - \frac{53}{2197} a^{14} + \frac{36}{2197} a^{13} - \frac{331}{2197} a^{12} + \frac{344}{2197} a^{11} - \frac{451}{2197} a^{10} + \frac{966}{2197} a^{9} + \frac{980}{2197} a^{8} - \frac{1036}{2197} a^{7} + \frac{489}{2197} a^{6} - \frac{466}{2197} a^{5} + \frac{1094}{2197} a^{4} - \frac{686}{2197} a^{3} + \frac{859}{2197} a^{2} + \frac{252}{2197} a - \frac{67}{169}$, $\frac{1}{2197} a^{29} - \frac{5}{2197} a^{25} + \frac{2}{2197} a^{23} - \frac{1}{2197} a^{21} + \frac{1}{169} a^{20} + \frac{61}{2197} a^{19} - \frac{4}{169} a^{18} - \frac{66}{2197} a^{17} - \frac{1}{169} a^{16} - \frac{11}{2197} a^{15} - \frac{2}{169} a^{14} - \frac{16}{2197} a^{13} + \frac{40}{169} a^{12} - \frac{1055}{2197} a^{11} + \frac{32}{169} a^{10} + \frac{1093}{2197} a^{9} - \frac{1}{169} a^{8} + \frac{875}{2197} a^{7} - \frac{3}{169} a^{6} + \frac{53}{169} a^{5} + \frac{76}{169} a^{4} + \frac{128}{2197} a^{3} - \frac{23}{169} a^{2} + \frac{502}{2197} a + \frac{54}{169}$, $\frac{1}{134017} a^{30} - \frac{18}{134017} a^{29} + \frac{17}{134017} a^{28} - \frac{1}{134017} a^{27} - \frac{2}{134017} a^{26} - \frac{47}{134017} a^{25} + \frac{243}{134017} a^{24} - \frac{323}{134017} a^{23} + \frac{288}{134017} a^{22} + \frac{86}{134017} a^{21} - \frac{1331}{134017} a^{20} - \frac{4422}{134017} a^{19} - \frac{3995}{134017} a^{18} - \frac{1645}{134017} a^{17} - \frac{4172}{134017} a^{16} + \frac{3707}{134017} a^{15} + \frac{5022}{134017} a^{14} + \frac{3808}{134017} a^{13} - \frac{9434}{134017} a^{12} - \frac{54069}{134017} a^{11} + \frac{25413}{134017} a^{10} + \frac{62093}{134017} a^{9} - \frac{16583}{134017} a^{8} - \frac{64244}{134017} a^{7} - \frac{42468}{134017} a^{6} - \frac{65417}{134017} a^{5} - \frac{30412}{134017} a^{4} + \frac{34683}{134017} a^{3} + \frac{65089}{134017} a^{2} + \frac{50488}{134017} a - \frac{29}{169}$, $\frac{1}{1742221} a^{31} + \frac{2}{1742221} a^{30} - \frac{38}{1742221} a^{29} + \frac{12}{134017} a^{28} - \frac{388}{1742221} a^{27} - \frac{87}{1742221} a^{26} - \frac{2588}{1742221} a^{25} + \frac{5025}{1742221} a^{24} - \frac{4891}{1742221} a^{23} - \frac{165}{134017} a^{22} - \frac{2356}{1742221} a^{21} + \frac{40450}{1742221} a^{20} + \frac{50976}{1742221} a^{19} - \frac{44396}{1742221} a^{18} + \frac{42899}{1742221} a^{17} + \frac{66728}{1742221} a^{16} + \frac{47808}{1742221} a^{15} + \frac{54472}{1742221} a^{14} + \frac{39459}{1742221} a^{13} + \frac{313449}{1742221} a^{12} - \frac{583827}{1742221} a^{11} - \frac{30359}{134017} a^{10} - \frac{413488}{1742221} a^{9} - \frac{731465}{1742221} a^{8} - \frac{702342}{1742221} a^{7} + \frac{243125}{1742221} a^{6} - \frac{2894}{134017} a^{5} + \frac{114401}{1742221} a^{4} + \frac{466132}{1742221} a^{3} - \frac{582835}{1742221} a^{2} - \frac{352797}{1742221} a - \frac{675}{2197}$, $\frac{1}{1742221} a^{32} - \frac{3}{1742221} a^{30} + \frac{323}{1742221} a^{29} - \frac{37}{1742221} a^{28} - \frac{11}{134017} a^{27} - \frac{113}{1742221} a^{26} - \frac{5113}{1742221} a^{25} + \frac{1673}{1742221} a^{24} + \frac{4556}{1742221} a^{23} - \frac{2694}{1742221} a^{22} + \frac{72}{134017} a^{21} - \frac{4912}{1742221} a^{20} + \frac{65006}{1742221} a^{19} + \frac{9192}{1742221} a^{18} + \frac{5591}{1742221} a^{17} - \frac{12835}{1742221} a^{16} + \frac{51884}{1742221} a^{15} - \frac{4675}{134017} a^{14} - \frac{24559}{1742221} a^{13} + \frac{22416}{1742221} a^{12} + \frac{170203}{1742221} a^{11} + \frac{331295}{1742221} a^{10} + \frac{52167}{134017} a^{9} + \frac{624543}{1742221} a^{8} + \frac{78033}{1742221} a^{7} - \frac{811406}{1742221} a^{6} + \frac{229113}{1742221} a^{5} + \frac{444563}{1742221} a^{4} + \frac{405326}{1742221} a^{3} - \frac{432852}{1742221} a^{2} - \frac{109597}{1742221} a - \frac{379}{2197}$, $\frac{1}{1742221} a^{33} + \frac{4}{1742221} a^{30} + \frac{148}{1742221} a^{29} + \frac{27}{134017} a^{28} - \frac{159}{1742221} a^{27} + \frac{34}{1742221} a^{26} + \frac{1254}{1742221} a^{25} - \frac{1455}{1742221} a^{24} + \frac{5136}{1742221} a^{23} + \frac{124}{134017} a^{22} + \frac{4478}{1742221} a^{21} + \frac{23388}{1742221} a^{20} - \frac{211}{1742221} a^{19} + \frac{7447}{1742221} a^{18} + \frac{47014}{1742221} a^{17} - \frac{30370}{1742221} a^{16} - \frac{49990}{1742221} a^{15} - \frac{58756}{1742221} a^{14} + \frac{4670}{1742221} a^{13} + \frac{489943}{1742221} a^{12} + \frac{39272}{1742221} a^{11} - \frac{66614}{134017} a^{10} + \frac{35171}{1742221} a^{9} + \frac{693484}{1742221} a^{8} - \frac{37060}{1742221} a^{7} - \frac{353992}{1742221} a^{6} + \frac{408020}{1742221} a^{5} + \frac{275849}{1742221} a^{4} - \frac{781708}{1742221} a^{3} + \frac{444913}{1742221} a^{2} + \frac{416745}{1742221} a - \frac{673}{2197}$, $\frac{1}{22648873} a^{34} - \frac{3}{22648873} a^{33} - \frac{5}{22648873} a^{32} + \frac{2}{1742221} a^{30} + \frac{2136}{22648873} a^{29} - \frac{97}{1742221} a^{28} + \frac{2895}{22648873} a^{27} - \frac{4838}{22648873} a^{26} - \frac{66098}{22648873} a^{25} - \frac{2987}{22648873} a^{24} - \frac{42661}{22648873} a^{23} - \frac{46103}{22648873} a^{22} + \frac{1012}{371293} a^{21} - \frac{129602}{22648873} a^{20} - \frac{734626}{22648873} a^{19} - \frac{247795}{22648873} a^{18} + \frac{385325}{22648873} a^{17} - \frac{820171}{22648873} a^{16} + \frac{444716}{22648873} a^{15} + \frac{753866}{22648873} a^{14} + \frac{462433}{22648873} a^{13} + \frac{9994579}{22648873} a^{12} + \frac{9766219}{22648873} a^{11} + \frac{9048823}{22648873} a^{10} + \frac{3240115}{22648873} a^{9} + \frac{6672442}{22648873} a^{8} + \frac{11197260}{22648873} a^{7} + \frac{9776249}{22648873} a^{6} + \frac{1928684}{22648873} a^{5} + \frac{9567221}{22648873} a^{4} + \frac{1077120}{22648873} a^{3} + \frac{2430694}{22648873} a^{2} - \frac{6952274}{22648873} a - \frac{4501}{28561}$, $\frac{1}{22648873} a^{35} - \frac{1}{22648873} a^{33} - \frac{2}{22648873} a^{32} - \frac{22}{22648873} a^{30} + \frac{259}{22648873} a^{29} + \frac{3025}{22648873} a^{28} + \frac{1897}{22648873} a^{27} - \frac{2820}{22648873} a^{26} + \frac{11880}{22648873} a^{25} + \frac{18630}{22648873} a^{24} - \frac{5086}{22648873} a^{23} - \frac{18142}{22648873} a^{22} + \frac{29217}{22648873} a^{21} - \frac{814812}{22648873} a^{20} + \frac{543475}{22648873} a^{19} + \frac{552694}{22648873} a^{18} + \frac{2991}{22648873} a^{17} - \frac{321624}{22648873} a^{16} + \frac{714824}{22648873} a^{15} - \frac{558118}{22648873} a^{14} + \frac{844637}{22648873} a^{13} - \frac{980006}{22648873} a^{12} + \frac{7910242}{22648873} a^{11} - \frac{3352368}{22648873} a^{10} - \frac{10642988}{22648873} a^{9} + \frac{236996}{1742221} a^{8} - \frac{5688719}{22648873} a^{7} - \frac{2527502}{22648873} a^{6} - \frac{54170}{134017} a^{5} + \frac{2915414}{22648873} a^{4} + \frac{8871182}{22648873} a^{3} - \frac{4394779}{22648873} a^{2} + \frac{8607678}{22648873} a + \frac{10651}{28561}$, $\frac{1}{294435349} a^{36} - \frac{6}{294435349} a^{35} - \frac{6}{294435349} a^{34} - \frac{7}{294435349} a^{33} - \frac{15}{294435349} a^{32} + \frac{69}{294435349} a^{31} - \frac{688}{294435349} a^{30} - \frac{1042}{4826809} a^{29} + \frac{38789}{294435349} a^{28} - \frac{51232}{294435349} a^{27} + \frac{62740}{294435349} a^{26} + \frac{207497}{294435349} a^{25} + \frac{688794}{294435349} a^{24} - \frac{785045}{294435349} a^{23} - \frac{563971}{294435349} a^{22} + \frac{189011}{294435349} a^{21} + \frac{5869952}{294435349} a^{20} + \frac{8109657}{294435349} a^{19} - \frac{7100856}{294435349} a^{18} - \frac{2011811}{294435349} a^{17} - \frac{7830320}{294435349} a^{16} - \frac{2143070}{294435349} a^{15} + \frac{1736209}{294435349} a^{14} + \frac{11231553}{294435349} a^{13} - \frac{144151452}{294435349} a^{12} + \frac{36717233}{294435349} a^{11} + \frac{132128787}{294435349} a^{10} - \frac{128647308}{294435349} a^{9} + \frac{105426586}{294435349} a^{8} + \frac{75496030}{294435349} a^{7} - \frac{42725259}{294435349} a^{6} - \frac{100197278}{294435349} a^{5} + \frac{34463852}{294435349} a^{4} + \frac{35934632}{294435349} a^{3} - \frac{88800799}{294435349} a^{2} - \frac{35109541}{294435349} a - \frac{28271}{371293}$, $\frac{1}{59479237879473451} a^{37} - \frac{15665772}{59479237879473451} a^{36} + \frac{1065800334}{59479237879473451} a^{35} - \frac{2505274}{351948153132979} a^{34} + \frac{4336553004}{59479237879473451} a^{33} + \frac{5656455742}{59479237879473451} a^{32} + \frac{9173132571}{59479237879473451} a^{31} - \frac{80282163173}{59479237879473451} a^{30} + \frac{10425834442106}{59479237879473451} a^{29} - \frac{3123554549780}{59479237879473451} a^{28} + \frac{1136985462707}{59479237879473451} a^{27} + \frac{8970193481385}{59479237879473451} a^{26} - \frac{164909509194853}{59479237879473451} a^{25} - \frac{126817999152207}{59479237879473451} a^{24} - \frac{171159630712570}{59479237879473451} a^{23} + \frac{122583654843792}{59479237879473451} a^{22} - \frac{31799676451035}{59479237879473451} a^{21} + \frac{795092577615005}{59479237879473451} a^{20} - \frac{394174528764054}{59479237879473451} a^{19} - \frac{1964997588598842}{59479237879473451} a^{18} + \frac{5249285140221}{351948153132979} a^{17} - \frac{1049865444653855}{59479237879473451} a^{16} - \frac{71710329436024}{4575325990728727} a^{15} - \frac{2112760067005261}{59479237879473451} a^{14} + \frac{1993549972163326}{59479237879473451} a^{13} - \frac{21964723641424079}{59479237879473451} a^{12} + \frac{13053020540877712}{59479237879473451} a^{11} - \frac{17978754097174207}{59479237879473451} a^{10} + \frac{24455284505542275}{59479237879473451} a^{9} - \frac{3468512369223729}{59479237879473451} a^{8} - \frac{15844036495285667}{59479237879473451} a^{7} - \frac{13574690638299509}{59479237879473451} a^{6} - \frac{3873588551157096}{59479237879473451} a^{5} + \frac{1365602634843576}{4575325990728727} a^{4} - \frac{2204746125561125}{59479237879473451} a^{3} - \frac{5183196988199407}{59479237879473451} a^{2} + \frac{41597191985222}{975069473433991} a + \frac{188960198634}{1229595805087}$, $\frac{1}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{38} - \frac{551167603815534618925767087073989929866069530535187067087786145177881069145065995214741702450220613633212658314775999104789678904064913018944516955834047553960263985929321821251902971958879685970418719814321701344176852191153625390277600559197816033}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{37} - \frac{109579276819590775615892433643768768163508872842618654925932268430127709900178342799726926742689514711702668230503026161140545299431885627078654605725043635448253629946560981208592093529675983735324858213505486433333578218180506260755769739768338634658873949}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{36} - \frac{611648358737085650399851113604951591047235162675907696166021987708524818377553020638567551549681210315963922922448350348788396915925814289703313427467170039014099961338087299720284012182575152726449325393063479683656775076594738683095014097016371654557446046}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{35} + \frac{1897297310104626257959341869385022037657586100900351137370535741958513283959671623271452992723007902624530722441599962636883425667791347294362625847108311318405462909465532382289762677880669856729753593410706696231733510285777584184697617659667926799870369258}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{34} + \frac{9807066823868907656923305953457360639890133293060913856881148409940215344495467591505296594226900870053564249573629258333949921230481957610705339432644594724104627042565161703235899736280502701397851891462116119752988671901820619511364149232557446670552689185}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{33} + \frac{14004288492949503073861358406061096357313578619699190929636543794191214929195339737493396161011738383306216620374591575515980982427639433739595707213576519730765817231605956324340268744914538665951322710517407444184985427584815939442453335202533617635561141728}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{32} - \frac{10385970439310769324695787798286017076229003719408380690933832258347399785855449960327790797623500926500620737187465462977111589958432675253071647298682952007941539620443694331398212681786391231525636275785739647046031368483612887940524305312303341415226033144}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{31} + \frac{316023123806482625306435751287048583588056174970773272693723870876905656894052108396824820918046156511606587947106202306686166669427135789978104427176754785256564195082180890656629653131502231053066220920613936209659070961740581859567641473568452597803978186845}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{30} + \frac{6857030930338665784133426569466738711513199143764028632620626723879567204316174126787708373673830370965429218843375793064788434068360548706734073338305237870426577950835493058872744977002381654037354630204713402548405889977423575318041024661036760621256499890021}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{29} + \frac{19111633312822922122245807489690266037847122193724913339883293160447464101429066614497407257752914810049696417801705869770333815776054414908526992907812911361126920142846478053475130353989449749489381199228122903468060560280280168034464487148909082841123582410860}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{28} - \frac{14428747488319728552773513991127065897318009579519872540498565952386583638314937086742623497092569968675403899710069176549039449114878237919924485695992841017221053462556628116062695838570440661754329958763410159996101379440051263717606294321181725680783395705452}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{27} - \frac{15845586931306723598996033190772766410044995428264117547128598603607816554224142135713968917748884959158350016390544948500265548978721548662325971526412246181355292505223022199083992076701105346290467075062591015198158992929192445086765651698948662702224998233540}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{26} - \frac{7112030146189234852164505785702740013413768742280793362731537444215686272295151719382347543032385426863417334728064564492511873011736881309770234408784832932502255700715877172777090948861129538921745459853489040778269684299120549153375408571875276602618460420377}{7028837437379916679656718777318324020356067966521127162207634653672309965735920796793839819476472704845676286396216628439024819301537509401914433826576939943841354726406349610700755899259983237863268489696109998714173071297197301959477059204551492539627755692411031} a^{25} - \frac{209996959322668905180735685519870682748731809895050875438076404641324029252779714271107033935364379582653611115545949993464394252580207939267304354533872631617431923179886336470442156398303225678315933686780611010774555574980874690310706101153663957854692139910194}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{24} - \frac{1436309809902681287646751174022281820609329191475885252312276718876830918937128886814416021807206912148744805053685881649762925395607512992446429801517928210739627530659197822787782379210107381120220656576748093058589175908666405697165336617295064843415895202387}{540679802875378206127439905947563386181235997424702089400587281051716151210455445907218447652036361911205868184324356033771139946272116107839571832813610764910873440492796123900058146096921787527943729976623846054936390099784407843036696861888576349202135053262387} a^{23} - \frac{29919597831802946689217552317008287539821393202157889840067158592625181504137538964232228134644203051436360554488610670776290497492427414743466712388587989149350515462228759334387188936309160854039535112823856004644985372164210952540370198033095857074023442734641}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{22} + \frac{253980981723444690109484362335982076290846771946126088978895794498074101661764561929740811564931124532163243536016160685248684542040742600537368886587110839938903518689574721029268166157078901191607715330606271655123195025835762012576966199155908693754866815629351}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{21} + \frac{3511971444161773345699134330293250196685770489732038874286988136473267486770431689584020935730004171934754757124955097871975693817949529233355366136046752844676261418147334060168122701135661964720125342877567076494169328011736048299712009040008101769578577862595084}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{20} - \frac{1674159639328273834291816246502740431106319342641540027682301427384417962372337719293617981889707081932569752943631498415527825000371154903454899318964000469813696630091713385856712310026127299140339229257770356385256712060658275269792864131942218954566179341085420}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{19} - \frac{2025162420553840278111582768978931796563212869889157509041372335264419334809931541998915421260623143587322295094690549043488620532142718475598863259593406485754715480378439786926788808396009580014738443193673576723191433020494868417944923338415231310106494930968216}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{18} - \frac{2526804551864906044736095512202501298135467732222902715740659203454478987767630352871072750184579699824647287019642346384351953700963964833806397860596003754273585877999974275638552969147012632346118444182111833722432289217402276175240791619366905911643286016590075}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{17} - \frac{1907749571158538537602065390297376852876707496361404960437550539059820931875200387250093690831351670014953401507201114485978741275342474886087392828957419966949072510475565005205301921665240592453876902026820212552479857173129473047567971585064062378182689263136911}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{16} + \frac{1471631085339873470225497326654429722419352048455286141199698924508530293951909397359664653141145179151649738818393877586067050437433090426590150900417327764292154788436115078456270577404845828158490963570688809832082750485955509682676728733650823327100346588670793}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{15} - \frac{1322921539891368839813174508800911009495778417196364784079811314678996188762621604763583980217886714123182394486695141983758810660884142949132298660802478775773228023563883787520208435615727166006049665280987936468690185559211746099556007282195008275720995060679690}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{14} + \frac{21576274445020242064657234231844163172374856856556422050265931922566185867197270974353782663130266723993481378933076744535741233538947323763413605335601446522856042671954453027592591139799837023097622567987111891254924257407106450655640526216096628211365300957460}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{13} - \frac{424792853460442845162336074206528155747142811123497397892451284060519800450637079677768375967603811981263644068108486888671357079707163004125835793492630928363209619293126527723431863364007590838388476694186000302747195861422194680023213367961163656925460261196126}{7028837437379916679656718777318324020356067966521127162207634653672309965735920796793839819476472704845676286396216628439024819301537509401914433826576939943841354726406349610700755899259983237863268489696109998714173071297197301959477059204551492539627755692411031} a^{12} + \frac{8445064511347931073827404254417944636220515316386806497450147728147701349253219596040030969137517674886115996360406651841805352039097164409921432156588664357903261427248603523143854405201453764054940825707943138730579613177329979792438037932108357859677427312196252}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{11} + \frac{27091596461459085384235167275177936334584969469728598526303404470237268543880092901809064349496346172102693409182754440784814942291934889470741463816097319847221488628063559770714617601671955936570244248310159859623207837029562340839459656130585814914363358993579484}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{10} - \frac{37876776900390970357897158464802966331724546588366336772588781210277492122770210065667810654251720065032334725380639957992761227050241564839062975910161989810238528088615504327788452323603624764031293581729616064118414270758660860345779498571976281256026852634593404}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{9} + \frac{21015615485077010099212818246420231081435402846687114360181560333880132840468574199706843538553125410385567597006593298725980912897411529257128115291576239776733468573087717199770315465099761564311777309031502575486446620260700777713785878616460893568137522129814634}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{8} - \frac{9935914952091382591625016591639202898083506683705798015240542062804273784637262405011562216052541213979214420561796642153248862618056969554230921043254186425345311944910847995584633487869540890295588928638757633581031852219739252508233684638629023047523770058815326}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{7} + \frac{77707119604779486459143997494439307898051499521462697889385857024513672576800472248659637148387478570188796338996745875815294804255349092972139115142066471144120156021436668194356149581054385060989769267531858476315353592538317423099917663745537184286519701835448}{7028837437379916679656718777318324020356067966521127162207634653672309965735920796793839819476472704845676286396216628439024819301537509401914433826576939943841354726406349610700755899259983237863268489696109998714173071297197301959477059204551492539627755692411031} a^{6} + \frac{10316679732333197449009648299592377050272594141761109630809452271031890002134354485466056812756192212128127666966129792941581189286711923194855728421636845997828478759923946204339707450645900092216117774316334751232210764485312457117522579286911212404831549893773404}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{5} + \frac{36899597327457679770510980965685156840767046822768256856053270032341159397750597945453733702921466874634755676728260850021069486196642952652198446605913901191687519414661725747878439842296904602262989535789261098331727649119176948185554164679816808567956927056789574}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{4} - \frac{19892152932779604774634424078500867454691749738380722095806819331228696617018208750385831038817846985795323332308060178342886193081704040281360749515943189826861514009200083771589249222091467956970600388095723095930870629041721245717819398376526482972601494965484947}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{3} - \frac{4424711270118367114903453800478115117817707005786987554365367112004326758213644113288259265160319279996063454720087751687736831656244414116576909302652935579944443361049428399048311376302091917113114441192863661467071618952975476978368450106297676211534874586240539}{91374886685938916835537344105138212264628883564774653108699250497740029554566970358319917653194145162993791723150816169707322650919987622224887639745500219269937611443282544939109826690379782092222490366049429983284249926863564925473201769659169403015160824001343403} a^{2} - \frac{434144885584969616919090249335894068583979573491057776954056889558716315881995026411675987043855911431306379068321933402770334832661640382688888816042866502752141330187666908956893035582493928708629651528478960027893329366854478452030538491603842626843932126862276}{1497948962064572407139956460739970692862768583029092673913102467176066058271589678005244551691707297753996585625423215896841354933114551184014551471237708512621928056447254835067374208039012821183975251902449671857118851260058441401200029010806055787133784000022023} a - \frac{922837526572555483048989047846501481608969892192543426395995878875649873956822634129307108105442725428214827266448161292447087326159452783979316201594232861450761562214251658543222471581817252929626961992755078831200226721293019605260258550394213850004125749371}{1888964643208792442799440681891514114581044871411213964581465910688607891893555709968782536811736819361912466110243651824516210508341174254747227580375420570771662114057067887852930905471642901871343318918599838407463872963503709207061827251962239328037558638111}$

Class group and class number

Not computed

Unit group

Rank:		$38$
Torsion generator:		\( -1 \) (order $2$)
Fundamental units:		Not computed
Regulator:		Not computed

Galois group

$C_{39}$ (as 39T1):

A cyclic group of order 39

The 39 conjugacy class representatives for $C_{39}$

Character table for $C_{39}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.737881.1, 13.13.161405364891475526005003176560483281.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59
Cycle type	$39$	$39$	$39$	$39$	${\href{/LocalNumberField/11.13.0.1}{13} }^{3}$	${\href{/LocalNumberField/13.1.0.1}{1} }^{39}$	$39$	${\href{/LocalNumberField/19.3.0.1}{3} }^{13}$	$39$	$39$	$39$	$39$	$39$	${\href{/LocalNumberField/43.3.0.1}{3} }^{13}$	$39$	$39$	${\href{/LocalNumberField/59.13.0.1}{13} }^{3}$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
859	Data not computed