↑

Properties

Label 39.39.2780909089...5849.1
Degree $39$
Signature $[39, 0]$
Discriminant $157^{38}$
Root discriminant $137.91$
Ramified prime $157$
Class number $1$ (GRH)
Class group Trivial (GRH)
Galois group $C_{39}$ (as 39T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-1, -49, -272, 11826, 67036, -599706, -1639529, 10935603, 15992102, -93357668, -84841877, 434291871, 280758113, -1211061590, -603623323, 2164301236, 861831376, -2594978102, -835520674, 2154121978, 562372122, -1265136580, -267613697, 533275855, 91086546, -162617513, -22265255, 35931891, 3892342, -5720417, -479776, 646279, 40520, -50313, -2222, 2556, 71, -76, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - x^38 - 76*x^37 + 71*x^36 + 2556*x^35 - 2222*x^34 - 50313*x^33 + 40520*x^32 + 646279*x^31 - 479776*x^30 - 5720417*x^29 + 3892342*x^28 + 35931891*x^27 - 22265255*x^26 - 162617513*x^25 + 91086546*x^24 + 533275855*x^23 - 267613697*x^22 - 1265136580*x^21 + 562372122*x^20 + 2154121978*x^19 - 835520674*x^18 - 2594978102*x^17 + 861831376*x^16 + 2164301236*x^15 - 603623323*x^14 - 1211061590*x^13 + 280758113*x^12 + 434291871*x^11 - 84841877*x^10 - 93357668*x^9 + 15992102*x^8 + 10935603*x^7 - 1639529*x^6 - 599706*x^5 + 67036*x^4 + 11826*x^3 - 272*x^2 - 49*x - 1)
 
gp: K = bnfinit(x^39 - x^38 - 76*x^37 + 71*x^36 + 2556*x^35 - 2222*x^34 - 50313*x^33 + 40520*x^32 + 646279*x^31 - 479776*x^30 - 5720417*x^29 + 3892342*x^28 + 35931891*x^27 - 22265255*x^26 - 162617513*x^25 + 91086546*x^24 + 533275855*x^23 - 267613697*x^22 - 1265136580*x^21 + 562372122*x^20 + 2154121978*x^19 - 835520674*x^18 - 2594978102*x^17 + 861831376*x^16 + 2164301236*x^15 - 603623323*x^14 - 1211061590*x^13 + 280758113*x^12 + 434291871*x^11 - 84841877*x^10 - 93357668*x^9 + 15992102*x^8 + 10935603*x^7 - 1639529*x^6 - 599706*x^5 + 67036*x^4 + 11826*x^3 - 272*x^2 - 49*x - 1, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{39} - x^{38} - 76 x^{37} + 71 x^{36} + 2556 x^{35} - 2222 x^{34} - 50313 x^{33} + 40520 x^{32} + 646279 x^{31} - 479776 x^{30} - 5720417 x^{29} + 3892342 x^{28} + 35931891 x^{27} - 22265255 x^{26} - 162617513 x^{25} + 91086546 x^{24} + 533275855 x^{23} - 267613697 x^{22} - 1265136580 x^{21} + 562372122 x^{20} + 2154121978 x^{19} - 835520674 x^{18} - 2594978102 x^{17} + 861831376 x^{16} + 2164301236 x^{15} - 603623323 x^{14} - 1211061590 x^{13} + 280758113 x^{12} + 434291871 x^{11} - 84841877 x^{10} - 93357668 x^{9} + 15992102 x^{8} + 10935603 x^{7} - 1639529 x^{6} - 599706 x^{5} + 67036 x^{4} + 11826 x^{3} - 272 x^{2} - 49 x - 1 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $39$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[39, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(278090908914452863097910228358710837623601476936566848265511419948413237663013645849=157^{38}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $137.91$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $157$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(157\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{157}(1,·)$, $\chi_{157}(130,·)$, $\chi_{157}(132,·)$, $\chi_{157}(9,·)$, $\chi_{157}(11,·)$, $\chi_{157}(12,·)$, $\chi_{157}(14,·)$, $\chi_{157}(16,·)$, $\chi_{157}(17,·)$, $\chi_{157}(19,·)$, $\chi_{157}(153,·)$, $\chi_{157}(154,·)$, $\chi_{157}(30,·)$, $\chi_{157}(35,·)$, $\chi_{157}(37,·)$, $\chi_{157}(39,·)$, $\chi_{157}(40,·)$, $\chi_{157}(46,·)$, $\chi_{157}(47,·)$, $\chi_{157}(115,·)$, $\chi_{157}(52,·)$, $\chi_{157}(67,·)$, $\chi_{157}(71,·)$, $\chi_{157}(75,·)$, $\chi_{157}(81,·)$, $\chi_{157}(89,·)$, $\chi_{157}(93,·)$, $\chi_{157}(144,·)$, $\chi_{157}(99,·)$, $\chi_{157}(100,·)$, $\chi_{157}(101,·)$, $\chi_{157}(106,·)$, $\chi_{157}(108,·)$, $\chi_{157}(109,·)$, $\chi_{157}(113,·)$, $\chi_{157}(147,·)$, $\chi_{157}(121,·)$, $\chi_{157}(124,·)$, $\chi_{157}(126,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $\frac{1}{81953} a^{37} - \frac{15158}{81953} a^{36} + \frac{40973}{81953} a^{35} - \frac{40971}{81953} a^{34} + \frac{22865}{81953} a^{33} - \frac{39482}{81953} a^{32} - \frac{37070}{81953} a^{31} - \frac{13772}{81953} a^{30} + \frac{20445}{81953} a^{29} + \frac{24351}{81953} a^{28} + \frac{11419}{81953} a^{27} + \frac{33551}{81953} a^{26} - \frac{8278}{81953} a^{25} - \frac{16943}{81953} a^{24} - \frac{38100}{81953} a^{23} + \frac{37800}{81953} a^{22} + \frac{16081}{81953} a^{21} + \frac{12192}{81953} a^{20} + \frac{32127}{81953} a^{19} - \frac{12700}{81953} a^{18} - \frac{36191}{81953} a^{17} - \frac{25725}{81953} a^{16} - \frac{13951}{81953} a^{15} + \frac{24076}{81953} a^{14} - \frac{29158}{81953} a^{13} - \frac{34097}{81953} a^{12} + \frac{7160}{81953} a^{11} + \frac{39463}{81953} a^{10} + \frac{32107}{81953} a^{9} + \frac{2522}{81953} a^{8} - \frac{5058}{81953} a^{7} - \frac{6648}{81953} a^{6} + \frac{32304}{81953} a^{5} + \frac{10720}{81953} a^{4} - \frac{15725}{81953} a^{3} - \frac{15136}{81953} a^{2} - \frac{16804}{81953} a - \frac{25992}{81953}$, $\frac{1}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{38} - \frac{8427817706741720097871837953996113032784206790655482188502393113728685114191000432290643181338156281580}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{37} + \frac{407703344163880332149961738682552367290498280686761534298338976561898612019922811622016529913570685824018360}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{36} - \frac{1011838573939572540665901518954821767207950081654650943246081457362093935823566778970083704048295014124297958}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{35} + \frac{64141397407328552394296933002695323019003635762756987923967617976123491919086071218665290663050384956053861}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{34} - \frac{718537275678818610323394575684472902579079488392571130412520437567251323375325800574874550118152261168349610}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{33} + \frac{149379247531366301990101246821688804050972896914816451879979852982774686080430623388762319972576138296474752}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{32} + \frac{278944058990852464282912251100722006250470549862302369132360152639281267878730059589362599855322035926042059}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{31} + \frac{459367921381603117755928061250777303562852575874369828705675777042263272475476822341795278753859737212922303}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{30} + \frac{26846495280570888168059667455675504368777365086547457180141205653441822247937046731510878031185336727518386}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{29} + \frac{402072940475304091425568292919357447201394379846589757806353976612934717283792699955108622064295357808712694}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{28} - \frac{378185307104840513669509471387248995052738551647946536603661456876651385954881693697932653288350463966510787}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{27} + \frac{181357840307866201044351451884478137167580536683621466912417792721020974602072533026791805356985875937596221}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{26} + \frac{657965035156538619850836514141141810691037372122679238190974397486082480077070686790295109794900425923767277}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{25} + \frac{877667733337687040940618296604732443912321912427889384420302490327335895046769109380945193851720218159970979}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{24} + \frac{863344522392533198571744703042219622735128289889801914567077246869366186216965677114861472314066773953021435}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{23} - \frac{174783718584389421969834093930549885486666255316776004080765236326206725212814962244771509014398810080093884}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{22} - \frac{108703919321383244509770855177130842962637416513881514467307164950944368705002725931165498114862731227862007}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{21} - \frac{755677223604786590116971631263491215874708813091724938576008296009842903725931807449310399048983567927751172}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{20} - \frac{403899961292854967131155579630758422556646022719666860326386336365839715788790620418391570536394759022696034}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{19} - \frac{102254297439830752599790105341620930538009345998836271583080066204262692541701318386876179119492761445008466}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{18} - \frac{268947162036330878512154665114171812832965888284928989149705940900055917278515528243535846878616827461686013}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{17} - \frac{251514485926059744984732594682033968125213475486285004099304242672307125187341389257812077477771703174356376}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{16} + \frac{814309375856953713829300446563796055306766961759538236337633857829076931555508398748506738936095595975551470}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{15} + \frac{659707305515742256141781388721139098618039714607138687291160950119287129464455831513214968290854457965879447}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{14} - \frac{663025747057785410309423105611685538512313170867165223824291719094244785420155952197847208762076126596069152}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{13} + \frac{537246474626077564397660459928498908364176294348782296108299837725525314588015344793177029000511308054255015}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{12} - \frac{370953646984884915026964795401791850455344202763175255507353870285392105378911413002859174297474537175297343}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{11} + \frac{484444417194990757846053724174385491410635908748487795665071857380101810242520219299965829621595147594291504}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{10} + \frac{523218043570611323962415332373787514505597437980229168144523903195816274111751184907185971754577842560396678}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{9} - \frac{989049588599744356215885442199515492061017622069826375085890076906098271085723139203370672769492287096972726}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{8} + \frac{695022859361899351417176872486410368743966650702338399827356659930440704244095591060836177915514476810454817}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{7} + \frac{3242132853258205818375953589310835577358341594003533187624761815259172152269045479845311902496808559824043}{6736547767689005642464124090463858861496601256935287301485396764640795213245502823288643932574273904467881} a^{6} + \frac{64194967501864306123737903325594135407928686994475451106711936198774962269453718541675584310682658866867906}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{5} + \frac{61855567529761678207438014147899946589999382020604101023868118169767432873596143249403984411883389885733001}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{4} - \frac{152269602923601053677936195712196886224942541087401153935304746693109922316273793669568267398639983595185020}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{3} + \frac{668997608471519513320639777907266431629957353435712797331404150367254523664318780673021268334106866435298063}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a^{2} + \frac{1028889475076000574550292565643467711005273024923622772132703616672863553237663742146705723553254815829559232}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753} a + \frac{1032099767666858388757358785683899571382597532598650615086902099034500325081283309283304078367312413224300541}{2108539451286658766091270840315187823648436193420744925364929187332568901745842383689345550895747732098446753}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $38$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 216984792046842040000000000000 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{39}$ (as 39T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 39
The 39 conjugacy class representatives for $C_{39}$
Character table for $C_{39}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.24649.1, 13.13.224282727500720205065439601.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/7.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/13.3.0.1}{3} }^{13}$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/23.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/29.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/41.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/59.13.0.1}{13} }^{3}$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
157Data not computed