↑

Properties

Label 39.39.2537214069...3961.2
Degree $39$
Signature $[39, 0]$
Discriminant $7^{26}\cdot 13^{74}$
Root discriminant $475.37$
Ramified primes $7, 13$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{39}$ (as 39T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-653320975578181, 30401302690706818, -225397097195334857, -1935220066468897533, -1374497594327824447, 7359453991472534068, 9804310922264413685, -7224331708988341766, -15095999493316201044, 2391742500244971471, 11554845389791749045, 500544557333199483, -5396067856183792892, -734434831693408538, 1681821358187714354, 311465144437682807, -366959544536418691, -78681583686823273, 57595923527804103, 13495970265024962, -6598530446060852, -1650975560722670, 554786638604653, 147079561332782, -34139726254127, -9602929351899, 1520603688668, 457822132534, -47974546815, -15735345587, 1033279390, 380924713, -14263418, -6254079, 112125, 65455, -377, -390, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - 390*x^37 - 377*x^36 + 65455*x^35 + 112125*x^34 - 6254079*x^33 - 14263418*x^32 + 380924713*x^31 + 1033279390*x^30 - 15735345587*x^29 - 47974546815*x^28 + 457822132534*x^27 + 1520603688668*x^26 - 9602929351899*x^25 - 34139726254127*x^24 + 147079561332782*x^23 + 554786638604653*x^22 - 1650975560722670*x^21 - 6598530446060852*x^20 + 13495970265024962*x^19 + 57595923527804103*x^18 - 78681583686823273*x^17 - 366959544536418691*x^16 + 311465144437682807*x^15 + 1681821358187714354*x^14 - 734434831693408538*x^13 - 5396067856183792892*x^12 + 500544557333199483*x^11 + 11554845389791749045*x^10 + 2391742500244971471*x^9 - 15095999493316201044*x^8 - 7224331708988341766*x^7 + 9804310922264413685*x^6 + 7359453991472534068*x^5 - 1374497594327824447*x^4 - 1935220066468897533*x^3 - 225397097195334857*x^2 + 30401302690706818*x - 653320975578181)
 
gp: K = bnfinit(x^39 - 390*x^37 - 377*x^36 + 65455*x^35 + 112125*x^34 - 6254079*x^33 - 14263418*x^32 + 380924713*x^31 + 1033279390*x^30 - 15735345587*x^29 - 47974546815*x^28 + 457822132534*x^27 + 1520603688668*x^26 - 9602929351899*x^25 - 34139726254127*x^24 + 147079561332782*x^23 + 554786638604653*x^22 - 1650975560722670*x^21 - 6598530446060852*x^20 + 13495970265024962*x^19 + 57595923527804103*x^18 - 78681583686823273*x^17 - 366959544536418691*x^16 + 311465144437682807*x^15 + 1681821358187714354*x^14 - 734434831693408538*x^13 - 5396067856183792892*x^12 + 500544557333199483*x^11 + 11554845389791749045*x^10 + 2391742500244971471*x^9 - 15095999493316201044*x^8 - 7224331708988341766*x^7 + 9804310922264413685*x^6 + 7359453991472534068*x^5 - 1374497594327824447*x^4 - 1935220066468897533*x^3 - 225397097195334857*x^2 + 30401302690706818*x - 653320975578181, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{39} - 390 x^{37} - 377 x^{36} + 65455 x^{35} + 112125 x^{34} - 6254079 x^{33} - 14263418 x^{32} + 380924713 x^{31} + 1033279390 x^{30} - 15735345587 x^{29} - 47974546815 x^{28} + 457822132534 x^{27} + 1520603688668 x^{26} - 9602929351899 x^{25} - 34139726254127 x^{24} + 147079561332782 x^{23} + 554786638604653 x^{22} - 1650975560722670 x^{21} - 6598530446060852 x^{20} + 13495970265024962 x^{19} + 57595923527804103 x^{18} - 78681583686823273 x^{17} - 366959544536418691 x^{16} + 311465144437682807 x^{15} + 1681821358187714354 x^{14} - 734434831693408538 x^{13} - 5396067856183792892 x^{12} + 500544557333199483 x^{11} + 11554845389791749045 x^{10} + 2391742500244971471 x^{9} - 15095999493316201044 x^{8} - 7224331708988341766 x^{7} + 9804310922264413685 x^{6} + 7359453991472534068 x^{5} - 1374497594327824447 x^{4} - 1935220066468897533 x^{3} - 225397097195334857 x^{2} + 30401302690706818 x - 653320975578181 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $39$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[39, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(253721406991290895924770503111827676888647505643788160579278763946491805765758913183386148271215912203961=7^{26}\cdot 13^{74}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $475.37$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $7, 13$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1183=7\cdot 13^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1183}(256,·)$, $\chi_{1183}(1,·)$, $\chi_{1183}(653,·)$, $\chi_{1183}(1166,·)$, $\chi_{1183}(911,·)$, $\chi_{1183}(16,·)$, $\chi_{1183}(529,·)$, $\chi_{1183}(274,·)$, $\chi_{1183}(926,·)$, $\chi_{1183}(289,·)$, $\chi_{1183}(802,·)$, $\chi_{1183}(547,·)$, $\chi_{1183}(165,·)$, $\chi_{1183}(562,·)$, $\chi_{1183}(1075,·)$, $\chi_{1183}(820,·)$, $\chi_{1183}(438,·)$, $\chi_{1183}(183,·)$, $\chi_{1183}(835,·)$, $\chi_{1183}(1093,·)$, $\chi_{1183}(198,·)$, $\chi_{1183}(711,·)$, $\chi_{1183}(456,·)$, $\chi_{1183}(74,·)$, $\chi_{1183}(1108,·)$, $\chi_{1183}(471,·)$, $\chi_{1183}(984,·)$, $\chi_{1183}(729,·)$, $\chi_{1183}(347,·)$, $\chi_{1183}(92,·)$, $\chi_{1183}(744,·)$, $\chi_{1183}(1002,·)$, $\chi_{1183}(107,·)$, $\chi_{1183}(620,·)$, $\chi_{1183}(365,·)$, $\chi_{1183}(1017,·)$, $\chi_{1183}(380,·)$, $\chi_{1183}(893,·)$, $\chi_{1183}(638,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $\frac{1}{23} a^{20} - \frac{4}{23} a^{19} - \frac{10}{23} a^{18} + \frac{8}{23} a^{17} - \frac{10}{23} a^{16} - \frac{4}{23} a^{15} - \frac{7}{23} a^{14} - \frac{3}{23} a^{13} + \frac{2}{23} a^{12} + \frac{10}{23} a^{11} - \frac{6}{23} a^{10} - \frac{2}{23} a^{9} - \frac{6}{23} a^{7} - \frac{3}{23} a^{6} + \frac{7}{23} a^{5} - \frac{8}{23} a^{4} + \frac{5}{23} a^{3} - \frac{5}{23} a^{2} - \frac{11}{23} a$, $\frac{1}{23} a^{21} - \frac{3}{23} a^{19} - \frac{9}{23} a^{18} - \frac{1}{23} a^{17} + \frac{2}{23} a^{16} - \frac{8}{23} a^{14} - \frac{10}{23} a^{13} - \frac{5}{23} a^{12} + \frac{11}{23} a^{11} - \frac{3}{23} a^{10} - \frac{8}{23} a^{9} - \frac{6}{23} a^{8} - \frac{4}{23} a^{7} - \frac{5}{23} a^{6} - \frac{3}{23} a^{5} - \frac{4}{23} a^{4} - \frac{8}{23} a^{3} - \frac{8}{23} a^{2} + \frac{2}{23} a$, $\frac{1}{23} a^{22} + \frac{2}{23} a^{19} - \frac{8}{23} a^{18} + \frac{3}{23} a^{17} - \frac{7}{23} a^{16} + \frac{3}{23} a^{15} - \frac{8}{23} a^{14} + \frac{9}{23} a^{13} - \frac{6}{23} a^{12} + \frac{4}{23} a^{11} - \frac{3}{23} a^{10} + \frac{11}{23} a^{9} - \frac{4}{23} a^{8} + \frac{11}{23} a^{6} - \frac{6}{23} a^{5} - \frac{9}{23} a^{4} + \frac{7}{23} a^{3} + \frac{10}{23} a^{2} - \frac{10}{23} a$, $\frac{1}{23} a^{23} - \frac{1}{23} a$, $\frac{1}{23} a^{24} - \frac{1}{23} a^{2}$, $\frac{1}{23} a^{25} - \frac{1}{23} a^{3}$, $\frac{1}{23} a^{26} - \frac{1}{23} a^{4}$, $\frac{1}{23} a^{27} - \frac{1}{23} a^{5}$, $\frac{1}{23} a^{28} - \frac{1}{23} a^{6}$, $\frac{1}{2047} a^{29} - \frac{24}{2047} a^{28} - \frac{8}{2047} a^{27} - \frac{14}{2047} a^{26} - \frac{13}{2047} a^{25} + \frac{22}{2047} a^{24} - \frac{36}{2047} a^{23} - \frac{19}{2047} a^{22} + \frac{16}{2047} a^{21} + \frac{28}{2047} a^{20} + \frac{331}{2047} a^{19} + \frac{924}{2047} a^{18} + \frac{450}{2047} a^{17} - \frac{24}{89} a^{16} - \frac{560}{2047} a^{15} - \frac{609}{2047} a^{14} - \frac{438}{2047} a^{13} - \frac{324}{2047} a^{12} - \frac{4}{23} a^{11} - \frac{481}{2047} a^{10} + \frac{44}{2047} a^{9} + \frac{440}{2047} a^{8} - \frac{670}{2047} a^{7} - \frac{280}{2047} a^{6} + \frac{500}{2047} a^{5} + \frac{702}{2047} a^{4} - \frac{798}{2047} a^{3} - \frac{641}{2047} a^{2} - \frac{73}{2047} a - \frac{31}{89}$, $\frac{1}{2047} a^{30} + \frac{39}{2047} a^{28} - \frac{28}{2047} a^{27} + \frac{7}{2047} a^{26} - \frac{1}{89} a^{25} - \frac{42}{2047} a^{24} + \frac{7}{2047} a^{23} + \frac{5}{2047} a^{22} - \frac{33}{2047} a^{21} + \frac{24}{2047} a^{20} + \frac{680}{2047} a^{19} + \frac{109}{2047} a^{18} + \frac{102}{2047} a^{17} + \frac{165}{2047} a^{16} - \frac{610}{2047} a^{15} - \frac{13}{2047} a^{14} + \frac{556}{2047} a^{13} - \frac{300}{2047} a^{12} + \frac{587}{2047} a^{11} + \frac{515}{2047} a^{10} - \frac{373}{2047} a^{9} + \frac{545}{2047} a^{8} - \frac{518}{2047} a^{7} - \frac{880}{2047} a^{6} + \frac{242}{2047} a^{5} + \frac{831}{2047} a^{4} + \frac{143}{2047} a^{3} + \frac{29}{2047} a^{2} + \frac{27}{2047} a - \frac{32}{89}$, $\frac{1}{47081} a^{31} - \frac{4}{47081} a^{30} - \frac{8}{47081} a^{29} + \frac{677}{47081} a^{28} + \frac{50}{47081} a^{27} - \frac{995}{47081} a^{26} + \frac{394}{47081} a^{25} + \frac{565}{47081} a^{24} - \frac{556}{47081} a^{23} + \frac{217}{47081} a^{22} - \frac{418}{47081} a^{21} - \frac{643}{47081} a^{20} - \frac{5975}{47081} a^{19} - \frac{330}{47081} a^{18} - \frac{22728}{47081} a^{17} + \frac{12125}{47081} a^{16} + \frac{252}{529} a^{15} - \frac{10819}{47081} a^{14} + \frac{2220}{47081} a^{13} - \frac{8617}{47081} a^{12} + \frac{23443}{47081} a^{11} - \frac{11777}{47081} a^{10} - \frac{4392}{47081} a^{9} + \frac{6704}{47081} a^{8} - \frac{11551}{47081} a^{7} + \frac{21461}{47081} a^{6} + \frac{5199}{47081} a^{5} - \frac{11967}{47081} a^{4} - \frac{21332}{47081} a^{3} + \frac{10280}{47081} a^{2} - \frac{19}{89} a + \frac{7}{89}$, $\frac{1}{47081} a^{32} - \frac{1}{47081} a^{30} + \frac{1}{47081} a^{29} + \frac{688}{47081} a^{28} - \frac{381}{47081} a^{27} - \frac{550}{47081} a^{26} - \frac{251}{47081} a^{25} + \frac{899}{47081} a^{24} + \frac{868}{47081} a^{23} + \frac{519}{47081} a^{22} + \frac{951}{47081} a^{21} + \frac{584}{47081} a^{20} - \frac{19101}{47081} a^{19} - \frac{18873}{47081} a^{18} - \frac{16204}{47081} a^{17} - \frac{3753}{47081} a^{16} - \frac{273}{47081} a^{15} + \frac{6945}{47081} a^{14} + \frac{8543}{47081} a^{13} + \frac{10595}{47081} a^{12} - \frac{298}{2047} a^{11} + \frac{10140}{47081} a^{10} - \frac{21168}{47081} a^{9} - \frac{9920}{47081} a^{8} - \frac{10483}{47081} a^{7} - \frac{17034}{47081} a^{6} + \frac{7633}{47081} a^{5} + \frac{3434}{47081} a^{4} + \frac{8189}{47081} a^{3} + \frac{12623}{47081} a^{2} - \frac{673}{2047} a - \frac{26}{89}$, $\frac{1}{47081} a^{33} - \frac{3}{47081} a^{30} - \frac{10}{47081} a^{29} + \frac{480}{47081} a^{28} + \frac{926}{47081} a^{27} + \frac{226}{47081} a^{26} + \frac{28}{47081} a^{25} + \frac{582}{47081} a^{24} + \frac{239}{47081} a^{23} - \frac{51}{47081} a^{22} - \frac{639}{47081} a^{21} - \frac{171}{47081} a^{20} + \frac{2637}{47081} a^{19} + \frac{15275}{47081} a^{18} + \frac{15103}{47081} a^{17} - \frac{16668}{47081} a^{16} - \frac{18191}{47081} a^{15} - \frac{9889}{47081} a^{14} + \frac{14126}{47081} a^{13} - \frac{8893}{47081} a^{12} + \frac{17207}{47081} a^{11} - \frac{16293}{47081} a^{10} + \frac{14691}{47081} a^{9} + \frac{18094}{47081} a^{8} + \frac{18174}{47081} a^{7} + \frac{7359}{47081} a^{6} - \frac{4753}{47081} a^{5} + \frac{3122}{47081} a^{4} - \frac{544}{47081} a^{3} + \frac{3127}{47081} a^{2} + \frac{977}{2047} a - \frac{42}{89}$, $\frac{1}{47081} a^{34} + \frac{1}{47081} a^{30} - \frac{4}{47081} a^{29} + \frac{565}{47081} a^{28} - \frac{682}{47081} a^{27} - \frac{450}{47081} a^{26} - \frac{973}{47081} a^{25} - \frac{964}{47081} a^{24} + \frac{673}{47081} a^{23} + \frac{679}{47081} a^{22} + \frac{691}{47081} a^{21} + \frac{662}{47081} a^{20} - \frac{74}{47081} a^{19} + \frac{7121}{47081} a^{18} + \frac{9356}{47081} a^{17} - \frac{4540}{47081} a^{16} - \frac{8132}{47081} a^{15} + \frac{779}{2047} a^{14} - \frac{853}{47081} a^{13} + \frac{14770}{47081} a^{12} + \frac{10221}{47081} a^{11} - \frac{8611}{47081} a^{10} + \frac{14992}{47081} a^{9} + \frac{8087}{47081} a^{8} + \frac{13117}{47081} a^{7} + \frac{4430}{47081} a^{6} - \frac{3062}{47081} a^{5} + \frac{22067}{47081} a^{4} + \frac{4497}{47081} a^{3} + \frac{21318}{47081} a^{2} + \frac{456}{2047} a - \frac{14}{89}$, $\frac{1}{47081} a^{35} - \frac{2}{47081} a^{29} + \frac{159}{47081} a^{28} + \frac{6}{47081} a^{27} - \frac{116}{47081} a^{26} - \frac{24}{47081} a^{25} - \frac{260}{47081} a^{24} - \frac{582}{47081} a^{23} - \frac{883}{47081} a^{22} + \frac{68}{47081} a^{21} + \frac{845}{47081} a^{20} - \frac{9375}{47081} a^{19} - \frac{1676}{47081} a^{18} - \frac{13345}{47081} a^{17} + \frac{328}{47081} a^{16} - \frac{20266}{47081} a^{15} - \frac{4225}{47081} a^{14} + \frac{22854}{47081} a^{13} - \frac{11844}{47081} a^{12} + \frac{698}{47081} a^{11} - \frac{18035}{47081} a^{10} - \frac{10774}{47081} a^{9} - \frac{11182}{47081} a^{8} - \frac{12263}{47081} a^{7} + \frac{17751}{47081} a^{6} - \frac{8616}{47081} a^{5} - \frac{8491}{47081} a^{4} + \frac{14314}{47081} a^{3} - \frac{7865}{47081} a^{2} - \frac{908}{2047} a - \frac{33}{89}$, $\frac{1}{1082863} a^{36} + \frac{9}{1082863} a^{35} - \frac{5}{1082863} a^{34} - \frac{5}{1082863} a^{33} + \frac{9}{1082863} a^{32} - \frac{10}{1082863} a^{31} - \frac{122}{1082863} a^{30} + \frac{47}{1082863} a^{29} - \frac{16855}{1082863} a^{28} + \frac{17697}{1082863} a^{27} + \frac{7467}{1082863} a^{26} + \frac{11183}{1082863} a^{25} + \frac{12860}{1082863} a^{24} + \frac{197}{47081} a^{23} - \frac{6563}{1082863} a^{22} + \frac{23389}{1082863} a^{21} - \frac{19863}{1082863} a^{20} - \frac{3692}{47081} a^{19} + \frac{536858}{1082863} a^{18} + \frac{505383}{1082863} a^{17} + \frac{5850}{1082863} a^{16} + \frac{17512}{1082863} a^{15} + \frac{337058}{1082863} a^{14} - \frac{83118}{1082863} a^{13} - \frac{167382}{1082863} a^{12} + \frac{127806}{1082863} a^{11} + \frac{514477}{1082863} a^{10} - \frac{409503}{1082863} a^{9} + \frac{442732}{1082863} a^{8} - \frac{286144}{1082863} a^{7} - \frac{112326}{1082863} a^{6} - \frac{480248}{1082863} a^{5} + \frac{474023}{1082863} a^{4} - \frac{5159}{47081} a^{3} - \frac{436560}{1082863} a^{2} + \frac{15049}{47081} a + \frac{511}{2047}$, $\frac{1}{51997774244359} a^{37} - \frac{719319}{2260772793233} a^{36} + \frac{177480587}{51997774244359} a^{35} + \frac{270721310}{51997774244359} a^{34} + \frac{432126952}{51997774244359} a^{33} - \frac{179891716}{51997774244359} a^{32} + \frac{17216825}{51997774244359} a^{31} - \frac{5189092956}{51997774244359} a^{30} - \frac{11018072794}{51997774244359} a^{29} + \frac{886906918024}{51997774244359} a^{28} + \frac{201032318380}{51997774244359} a^{27} - \frac{263070078101}{51997774244359} a^{26} + \frac{713826664486}{51997774244359} a^{25} + \frac{1003435242608}{51997774244359} a^{24} + \frac{1025063981868}{51997774244359} a^{23} + \frac{1111886766402}{51997774244359} a^{22} - \frac{35683993375}{51997774244359} a^{21} + \frac{605660059253}{51997774244359} a^{20} - \frac{20918806661584}{51997774244359} a^{19} + \frac{643045260117}{51997774244359} a^{18} + \frac{19269075968727}{51997774244359} a^{17} + \frac{1445454416652}{51997774244359} a^{16} - \frac{21664884090504}{51997774244359} a^{15} - \frac{12156277842729}{51997774244359} a^{14} + \frac{10865746076349}{51997774244359} a^{13} - \frac{8227741041485}{51997774244359} a^{12} - \frac{15206300397040}{51997774244359} a^{11} - \frac{17407011849440}{51997774244359} a^{10} + \frac{6630531051216}{51997774244359} a^{9} - \frac{9515784753}{25401941497} a^{8} - \frac{17754999733941}{51997774244359} a^{7} + \frac{25389765751326}{51997774244359} a^{6} + \frac{2071667073001}{51997774244359} a^{5} + \frac{4180687598063}{51997774244359} a^{4} - \frac{19249899705596}{51997774244359} a^{3} - \frac{23046370926409}{51997774244359} a^{2} - \frac{21289128342}{2260772793233} a + \frac{43128020315}{98294469271}$, $\frac{1}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{38} + \frac{1064419511609585024566867967745533070376798525150524713272671299291310515865366668615829603475527683976448556904591410053726367398126106517052975340372123649839132102515920367535005995710037534744614105285076239816950983996796070001611466999030743721652019691754537182944653}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{37} - \frac{78760047755844849841760419886620338136802876451684159011991979037206151599027281485703659800155125042863404926313015159582409390381188969193512114022586550682208919038238662616387030909837453190841836885968493477568237333832322320146080108676874637586166632056201139700584575299402}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{36} - \frac{482319454445232694932037333429530619014691283850056543881196799026065702794826524021265147499932902412757035728798005043477103801276391940619191222947358831992145441014032227895867286762086670163148157946921119185119263246863832982764038594094373212960915014120106229701066557723268}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{35} - \frac{1719767316136849689139220747412049023501476961941096499451200553863219089974162496091877962135677762838029435313926679082065675431507746511578315860025504127122096762408161241096271108765251088929301197260477528190075706221062309418195819763883830574981743715785743778192967238547040}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{34} + \frac{373129591513502718277245270201743736245759031357069112410146517662451828578077453658280901465673667656123399391928678160206689440406104360049103044103315547763509386843108261098491152665067423369861713540109123708612121864255888281200273998322076093956488959915892465627531054532390}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{33} + \frac{588577331790319645957357697998794172301981226148464962910732083913921507996342269793294794456517453355532831288317436079060342553626142270233166050101893625304478873280580798366940266351837584834146444857980142860662181720304378613033035661288928606047384193088109724838348537677450}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{32} - \frac{1596937220290551731317224130732332100863190303929558977687796777199438134733172012053193288094961733789145542712458158212632162252698712346282862727729140717724543634359091266085760468825843041357242536497461702090331890417857248119292974904673020264562068436582164973763848065935744}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{31} - \frac{16879293463926998512235153762059028382861827004498378509661161698206744139592911769092305360720810339329599466400635366103735033748443360275738018241148739535698486634639370053621512917903475329403736203053933605750170867913497683562298379351762752723508966740974444993446624314800286}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{30} - \frac{5180802011714023108071165862597883913834657699579109436094133136877385169775280543908645616517503176783524776271256163933799872897794487125068754872721978323872830402154765804689390510512873058181368326692002214960401009427832270358815569335664653153537247416024963574396890766649575}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{29} + \frac{1663163373530182727703521563078470636858118790171889057497064653490077036708871039694608451275423842609206375937353132324894989916459036579121901981831624494587074806423508759670939134639474484851622723397812711145833000700616762072749943251832483422748924676176504159451499824694603702}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{28} + \frac{156248410037877411420808506149020293970727666025540191823159818900916601064518147344504114824881507760854693362320889844431197037343522832203866812116862371951406489316599783564539845509107999280127811699164772848400382494342499707702418152722657519092285688988383807976297673852906469}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{27} + \frac{3862689391912328382030737535417712418086026409165701138398350773114336971759308999542390025142829201824043754618729822587345050981719127848915786720317502292652571094718585452973031167724904959893416511076796991939118684605912392699585836016135945920925057785876393297190521631853617644}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{26} + \frac{1424459628227007678144345517080975267539533045117527650376359280385236975415602445742268618893499290171219689682188346242311026096570522017550571421126844926748168426977407245426359649808644943644262899802101115022797142377227738922460683515720094840285676889652932968812785369366393492}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{25} - \frac{3022297183107882042666291649263907702490705786295418913885081208509437647158330170544566105978317025100046737568278280295948781888529678154801746964962182067876393712219149219556962678343299896353396796768047693025340687229416630526868321939698081499461679010699881649236386642196838942}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{24} + \frac{531118582243605355873705007461535152470023370845788347636904837935312845250038179500214350481427855079815053137881265729010832218032331337013984036853883031116748725675011391914572481637538745468493538646560654787114853567351135261005807768940079818329127807868942110977080268850895606}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{23} + \frac{574164620073956065547623773612630291072035341161510367873976875663895592858483922537958023030026803151455868175585817050910352035058530780104851755692382206734746669716583852755892051145762161930701736626403628298955724979987692942740069943820158781350594408663702941147721190395095928}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{22} + \frac{2329176723392639820035765297124056971332744800867482071625577990541113072070774890566934178102277849288832481564077718179647932759711773434524183112676847140388352217635203197076222890223922426852648632973754419953851657186837680071088469844677234445229004902916022163229540095932645170}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{21} + \frac{134689412198080089365661448705445890627660977705521339799111219336450049664007341772605245330753342467633813621143750065524793946992460078943531871893658642518539643851614931777996585925804234701252977350085092275068883407777977577847977932828877361302842673311247189480920933048125118}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{20} + \frac{2922251761531390511291474326852767263098701352057910572663643041708883565626585608747334115540373108392273240290715697733255554666850593321473074925994472397596361797465920436375581146986370495173980931984336914940292590732473202973138255408689868109609137397625200655154744893696778861}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{19} - \frac{86109968473340719893053218416526946576099975021637166354767556119302154674582688244200710113509425822795521105407879360276637306144918732013806293318570926601061952524816275019093775001269351929607320717639702366348686686024291985886868469459028281525848884061936294875942544216068151823}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{18} - \frac{28629199594543393935264260839335716986156583154648919322362353382692763518539027508178852338845356534421286236706551619338575745568013042525908938697058535626578526326178373856447670832196919814618267874384799873442958400967491748630039973206909609939314136437856079927095119577816512391}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{17} - \frac{39377153788117198169563113891473210270193871464658701980113374306144352644189312835556312387453718459576274218609012054146344881360092559773479785870114093075452200425804127665236566353437787196575774100908972566759966632047163104086604775951882108127687094565886319084987366099168777104}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{16} + \frac{54643945073126268829326075508374776898007149697506660409417758020636989777862949092061027742326193451245823875912349153567039695972884946597822067230279835685249584930852474758776165383155916411852201753132112928318632216250950563907664679493930449093288165639372601321144656881000653862}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{15} - \frac{45830111534796367015035790951065570421109676823352920337864954350321850265836177134041123214149121763949337110888423764365545417786647489187038142560751436367168454075557409141761565703260800222172679176702426979110072899623501840797916153421551975427688962773023585506054632816606597596}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{14} - \frac{19317557275565243701039411105644342231427817349801397105712903101762478107241242397913140898697579036623538082253440417698132569838124857915507520734968237815814505312194868357950963349810538417122348448994012896654485558076794717950319150960490040587679963906066775697311804009325675003}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{13} + \frac{805427974357477271362744545685352650759065308316224830815582348498506105640024329981367043372478220092892352740559660085804001847223839060672921771509938863766251932260248813538753043602754998010315716530551513239879379284956224145424211194652138298188516652852892950427179899716513734}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{12} - \frac{1919456371757517714157517574552671882716955954511266075527772903131310035404533029685993593717094767388449399487120736868463995135879517895128419444851395745452574411779420954403755709338027442806293211895307943834907164474788857615559573261024282485086192426729367163411130353364701091}{7923679276519322599940276161469894161206696562166583331618917770983120072732323865600692773935481748953230275718441649707189303770112673102387222483174328485495738298033575577144683400053916366534430752952269293183089893945409643679640962176621268444475012552159968821826569805029355487} a^{11} + \frac{4125360970503040960537592541583992693858252332137831997046135725668061488266759394686457660867563627152619459324540566342389489600587470621083492446019034597492339424184187586177255355371368235533028166505491862144679270706010326905491630665724831574776295616842877700153946130306036359}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{10} - \frac{70763655840419366439545717402299373556670663085360105470817720657848666086448802875856123278833754268416402795441145627199692699222319127892451099937655910811533548359556555127755144650570688208811611652866360929937003239790382334980271643862408254072574631738366918617403388086686067783}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{9} + \frac{40135566761665058947093100671098548053914231368920763924024986526754573766687233391236484583235437831522360218866490779079408145862479485249581170489128207231559468966357433058086744784510980457938750551467710369902860101667519385804549636281860222482085880181691360020320078752674416885}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{8} - \frac{64825165342480171428559640458602056456253402421221344683564042753281667903996535486881783783557530077959692901654529595230896165249056949006485249570121488010502704597859492394348077219267457135965505446267253268354575009716112667274345203180416951885900216757583536374767537600987232799}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{7} - \frac{3266277527247899927430540128144223063897126905826339193078406580583592681166800075762959046286964075221190552392650267222303606558757772445769855049810305743047325774599991640947706473090259510100619060227817307731799495783406601254238969550978339227930544561457658832899891253184941541}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{6} + \frac{4775636437976360435265043163219580566501354800216059307622920470003584207887144839316744363506747357936524322470836995734873080223952956600297459987151931767589368569981402260666188213137810256183518518876720594108679764503692740549402910102605782758285294775090599641662103446331613476}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{5} + \frac{10501404521648340350194514942506857244850056255848747800727391575384981962115311985204555440746045593628512438874459016345607787060078999906012448924452603278839759689578688588170433251833166948229964161194182270591884950163387422368409761864629345572137470934877346644908419950167006482}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{4} - \frac{69723799188542592079801272513148146516576875351608072856914903273561633087190498459706540281816193420742688434849162855498963907815739379426826772248691963678931616386082041540349030348554342501667913926479572818102127483439929157519808599674433268785919754773387007332226853534012256062}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{3} - \frac{71768653733672879826739583382946832926531866511206957746209170143705600159913060021346330026719560113595242463899644827246835382391413362278518761337742948822240388513599547390634166441290786163966042502008308796352982320238384690297417671615709216915277365034674285497061158320525428689}{182244623359944419798626351713807565707754020929831416627235108732611761672843448908815933800516080225924296341524157943265353986712591481354906117113009555166401980854772238274327718201240076430291907317902193743211067560744421804631742130062289174222925288699679282902011105515675176201} a^{2} - \frac{3362605525093344808008278704369527723282016357244951329195886633828652884060492949946024357047789714895131055307304116236172838448707346765240070904152839586044254664625868671078853700814776778614943909208597178804098692405844384214690840963944213523901739314299474198944523834839280686}{7923679276519322599940276161469894161206696562166583331618917770983120072732323865600692773935481748953230275718441649707189303770112673102387222483174328485495738298033575577144683400053916366534430752952269293183089893945409643679640962176621268444475012552159968821826569805029355487} a + \frac{80102094980555190493219460130294238543190040589035190843473507906956524625973792326328247999449523674647281357456289488906383734048152270470868051272472320278348481297259864920285987884059188699253410672832541034096433163567856834251741927018175498304053572045111568484245097297283801}{344507794631274895649577224411734528748117241833329710070387729173179133597057559373943164084151380389270881552975723900312578424787507526190748803616275151543292969479720677267160147828431146371062206650098664921003908432409114942593085312027011671498913589224346470514198687175189369}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $38$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{39}$ (as 39T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 39
The 39 conjugacy class representatives for $C_{39}$
Character table for $C_{39}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.8281.1, 13.13.542800770374370512771595361.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ R $39$ R ${\href{/LocalNumberField/17.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/19.3.0.1}{3} }^{13}$ ${\href{/LocalNumberField/23.1.0.1}{1} }^{39}$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/37.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/59.13.0.1}{13} }^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
7Data not computed
13Data not computed