↑

Properties

Label 39.39.2537214069...3961.1
Degree $39$
Signature $[39, 0]$
Discriminant $7^{26}\cdot 13^{74}$
Root discriminant $475.37$
Ramified primes $7, 13$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{39}$ (as 39T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-1643796985453897, 14411976246188482, -28407282472861357, -78098712119608596, 330848508619272800, -96010311784372778, -985117898592833785, 1120784114904201293, 914796793672703903, -1979883098807303638, -107016937117947402, 1664092769802147698, -347469449614272362, -832291995419335689, 271196926808388100, 276580892395972736, -101594264051122518, -65107276882797305, 23164264288822098, 11204722304355203, -3471118652598805, -1423517779177858, 353619732471278, 133188687315944, -24822667931009, -9100383506097, 1199990267358, 448686972500, -39435109363, -15717114465, 856590241, 382930899, -11653265, -6280378, 88920, 65546, -286, -390, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - 390*x^37 - 286*x^36 + 65546*x^35 + 88920*x^34 - 6280378*x^33 - 11653265*x^32 + 382930899*x^31 + 856590241*x^30 - 15717114465*x^29 - 39435109363*x^28 + 448686972500*x^27 + 1199990267358*x^26 - 9100383506097*x^25 - 24822667931009*x^24 + 133188687315944*x^23 + 353619732471278*x^22 - 1423517779177858*x^21 - 3471118652598805*x^20 + 11204722304355203*x^19 + 23164264288822098*x^18 - 65107276882797305*x^17 - 101594264051122518*x^16 + 276580892395972736*x^15 + 271196926808388100*x^14 - 832291995419335689*x^13 - 347469449614272362*x^12 + 1664092769802147698*x^11 - 107016937117947402*x^10 - 1979883098807303638*x^9 + 914796793672703903*x^8 + 1120784114904201293*x^7 - 985117898592833785*x^6 - 96010311784372778*x^5 + 330848508619272800*x^4 - 78098712119608596*x^3 - 28407282472861357*x^2 + 14411976246188482*x - 1643796985453897)
 
gp: K = bnfinit(x^39 - 390*x^37 - 286*x^36 + 65546*x^35 + 88920*x^34 - 6280378*x^33 - 11653265*x^32 + 382930899*x^31 + 856590241*x^30 - 15717114465*x^29 - 39435109363*x^28 + 448686972500*x^27 + 1199990267358*x^26 - 9100383506097*x^25 - 24822667931009*x^24 + 133188687315944*x^23 + 353619732471278*x^22 - 1423517779177858*x^21 - 3471118652598805*x^20 + 11204722304355203*x^19 + 23164264288822098*x^18 - 65107276882797305*x^17 - 101594264051122518*x^16 + 276580892395972736*x^15 + 271196926808388100*x^14 - 832291995419335689*x^13 - 347469449614272362*x^12 + 1664092769802147698*x^11 - 107016937117947402*x^10 - 1979883098807303638*x^9 + 914796793672703903*x^8 + 1120784114904201293*x^7 - 985117898592833785*x^6 - 96010311784372778*x^5 + 330848508619272800*x^4 - 78098712119608596*x^3 - 28407282472861357*x^2 + 14411976246188482*x - 1643796985453897, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{39} - 390 x^{37} - 286 x^{36} + 65546 x^{35} + 88920 x^{34} - 6280378 x^{33} - 11653265 x^{32} + 382930899 x^{31} + 856590241 x^{30} - 15717114465 x^{29} - 39435109363 x^{28} + 448686972500 x^{27} + 1199990267358 x^{26} - 9100383506097 x^{25} - 24822667931009 x^{24} + 133188687315944 x^{23} + 353619732471278 x^{22} - 1423517779177858 x^{21} - 3471118652598805 x^{20} + 11204722304355203 x^{19} + 23164264288822098 x^{18} - 65107276882797305 x^{17} - 101594264051122518 x^{16} + 276580892395972736 x^{15} + 271196926808388100 x^{14} - 832291995419335689 x^{13} - 347469449614272362 x^{12} + 1664092769802147698 x^{11} - 107016937117947402 x^{10} - 1979883098807303638 x^{9} + 914796793672703903 x^{8} + 1120784114904201293 x^{7} - 985117898592833785 x^{6} - 96010311784372778 x^{5} + 330848508619272800 x^{4} - 78098712119608596 x^{3} - 28407282472861357 x^{2} + 14411976246188482 x - 1643796985453897 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $39$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[39, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(253721406991290895924770503111827676888647505643788160579278763946491805765758913183386148271215912203961=7^{26}\cdot 13^{74}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $475.37$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $7, 13$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1183=7\cdot 13^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1183}(1,·)$, $\chi_{1183}(900,·)$, $\chi_{1183}(646,·)$, $\chi_{1183}(263,·)$, $\chi_{1183}(9,·)$, $\chi_{1183}(911,·)$, $\chi_{1183}(274,·)$, $\chi_{1183}(1173,·)$, $\chi_{1183}(919,·)$, $\chi_{1183}(536,·)$, $\chi_{1183}(282,·)$, $\chi_{1183}(547,·)$, $\chi_{1183}(809,·)$, $\chi_{1183}(555,·)$, $\chi_{1183}(172,·)$, $\chi_{1183}(820,·)$, $\chi_{1183}(183,·)$, $\chi_{1183}(1082,·)$, $\chi_{1183}(828,·)$, $\chi_{1183}(445,·)$, $\chi_{1183}(191,·)$, $\chi_{1183}(1093,·)$, $\chi_{1183}(456,·)$, $\chi_{1183}(1101,·)$, $\chi_{1183}(718,·)$, $\chi_{1183}(464,·)$, $\chi_{1183}(81,·)$, $\chi_{1183}(729,·)$, $\chi_{1183}(92,·)$, $\chi_{1183}(991,·)$, $\chi_{1183}(737,·)$, $\chi_{1183}(354,·)$, $\chi_{1183}(100,·)$, $\chi_{1183}(1002,·)$, $\chi_{1183}(365,·)$, $\chi_{1183}(1010,·)$, $\chi_{1183}(627,·)$, $\chi_{1183}(373,·)$, $\chi_{1183}(638,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $\frac{1}{19} a^{17} - \frac{2}{19} a^{16} + \frac{7}{19} a^{15} - \frac{1}{19} a^{14} + \frac{4}{19} a^{13} + \frac{8}{19} a^{12} - \frac{4}{19} a^{11} - \frac{6}{19} a^{10} + \frac{1}{19} a^{8} - \frac{2}{19} a^{7} + \frac{7}{19} a^{6} - \frac{1}{19} a^{5} + \frac{4}{19} a^{4} + \frac{8}{19} a^{3} - \frac{4}{19} a^{2} - \frac{6}{19} a$, $\frac{1}{19} a^{18} + \frac{3}{19} a^{16} - \frac{6}{19} a^{15} + \frac{2}{19} a^{14} - \frac{3}{19} a^{13} - \frac{7}{19} a^{12} + \frac{5}{19} a^{11} + \frac{7}{19} a^{10} + \frac{1}{19} a^{9} + \frac{3}{19} a^{7} - \frac{6}{19} a^{6} + \frac{2}{19} a^{5} - \frac{3}{19} a^{4} - \frac{7}{19} a^{3} + \frac{5}{19} a^{2} + \frac{7}{19} a$, $\frac{1}{19} a^{19} - \frac{1}{19} a$, $\frac{1}{19} a^{20} - \frac{1}{19} a^{2}$, $\frac{1}{19} a^{21} - \frac{1}{19} a^{3}$, $\frac{1}{19} a^{22} - \frac{1}{19} a^{4}$, $\frac{1}{19} a^{23} - \frac{1}{19} a^{5}$, $\frac{1}{19} a^{24} - \frac{1}{19} a^{6}$, $\frac{1}{19} a^{25} - \frac{1}{19} a^{7}$, $\frac{1}{19} a^{26} - \frac{1}{19} a^{8}$, $\frac{1}{19} a^{27} - \frac{1}{19} a^{9}$, $\frac{1}{361} a^{28} + \frac{2}{361} a^{27} + \frac{4}{361} a^{26} - \frac{6}{361} a^{25} - \frac{1}{361} a^{24} - \frac{9}{361} a^{23} - \frac{3}{361} a^{22} + \frac{3}{361} a^{21} + \frac{3}{361} a^{20} + \frac{5}{361} a^{19} + \frac{5}{361} a^{18} + \frac{7}{361} a^{17} + \frac{20}{361} a^{16} - \frac{7}{19} a^{15} + \frac{41}{361} a^{14} - \frac{82}{361} a^{13} + \frac{97}{361} a^{12} + \frac{73}{361} a^{11} + \frac{163}{361} a^{10} + \frac{79}{361} a^{9} - \frac{111}{361} a^{8} + \frac{83}{361} a^{7} + \frac{20}{361} a^{6} - \frac{64}{361} a^{5} + \frac{149}{361} a^{4} + \frac{37}{361} a^{3} - \frac{25}{361} a^{2} + \frac{102}{361} a - \frac{9}{19}$, $\frac{1}{361} a^{29} + \frac{5}{361} a^{26} - \frac{8}{361} a^{25} - \frac{7}{361} a^{24} - \frac{4}{361} a^{23} + \frac{9}{361} a^{22} - \frac{3}{361} a^{21} - \frac{1}{361} a^{20} - \frac{5}{361} a^{19} - \frac{3}{361} a^{18} + \frac{6}{361} a^{17} - \frac{173}{361} a^{16} - \frac{54}{361} a^{15} - \frac{164}{361} a^{14} - \frac{100}{361} a^{13} - \frac{121}{361} a^{12} + \frac{17}{361} a^{11} + \frac{6}{19} a^{10} + \frac{92}{361} a^{9} - \frac{75}{361} a^{8} - \frac{127}{361} a^{7} - \frac{104}{361} a^{6} - \frac{65}{361} a^{5} + \frac{100}{361} a^{4} - \frac{99}{361} a^{3} + \frac{8}{19} a^{2} - \frac{14}{361} a - \frac{1}{19}$, $\frac{1}{361} a^{30} + \frac{5}{361} a^{27} - \frac{8}{361} a^{26} - \frac{7}{361} a^{25} - \frac{4}{361} a^{24} + \frac{9}{361} a^{23} - \frac{3}{361} a^{22} - \frac{1}{361} a^{21} - \frac{5}{361} a^{20} - \frac{3}{361} a^{19} + \frac{6}{361} a^{18} - \frac{2}{361} a^{17} - \frac{35}{361} a^{16} - \frac{50}{361} a^{15} + \frac{90}{361} a^{14} - \frac{159}{361} a^{13} - \frac{59}{361} a^{12} + \frac{8}{19} a^{11} + \frac{149}{361} a^{10} - \frac{75}{361} a^{9} + \frac{44}{361} a^{8} - \frac{85}{361} a^{7} + \frac{49}{361} a^{6} - \frac{71}{361} a^{5} - \frac{137}{361} a^{4} + \frac{4}{19} a^{3} + \frac{24}{361} a^{2} + \frac{2}{19} a$, $\frac{1}{68951} a^{31} + \frac{32}{68951} a^{30} - \frac{89}{68951} a^{29} - \frac{87}{68951} a^{28} + \frac{367}{68951} a^{27} - \frac{962}{68951} a^{26} - \frac{1567}{68951} a^{25} - \frac{886}{68951} a^{24} - \frac{1514}{68951} a^{23} - \frac{603}{68951} a^{22} - \frac{1623}{68951} a^{21} - \frac{1243}{68951} a^{20} + \frac{1111}{68951} a^{19} + \frac{16}{68951} a^{18} - \frac{897}{68951} a^{17} - \frac{26943}{68951} a^{16} - \frac{12607}{68951} a^{15} + \frac{27643}{68951} a^{14} - \frac{4929}{68951} a^{13} - \frac{13951}{68951} a^{12} + \frac{7994}{68951} a^{11} - \frac{25845}{68951} a^{10} - \frac{22524}{68951} a^{9} + \frac{30028}{68951} a^{8} - \frac{14432}{68951} a^{7} - \frac{21715}{68951} a^{6} - \frac{18419}{68951} a^{5} + \frac{31927}{68951} a^{4} + \frac{9459}{68951} a^{3} + \frac{7818}{68951} a^{2} - \frac{27252}{68951} a - \frac{1306}{3629}$, $\frac{1}{68951} a^{32} + \frac{33}{68951} a^{30} + \frac{87}{68951} a^{29} + \frac{5}{3629} a^{28} + \frac{1428}{68951} a^{27} + \frac{1713}{68951} a^{26} + \frac{1126}{68951} a^{25} + \frac{480}{68951} a^{24} - \frac{1624}{68951} a^{23} - \frac{663}{68951} a^{22} + \frac{1224}{68951} a^{21} - \frac{369}{68951} a^{20} - \frac{965}{68951} a^{19} - \frac{1791}{68951} a^{18} - \frac{1677}{68951} a^{17} - \frac{33806}{68951} a^{16} + \frac{6474}{68951} a^{15} - \frac{26758}{68951} a^{14} + \frac{4156}{68951} a^{13} + \frac{776}{3629} a^{12} + \frac{30441}{68951} a^{11} + \frac{23517}{68951} a^{10} + \frac{24996}{68951} a^{9} - \frac{11351}{68951} a^{8} + \frac{22201}{68951} a^{7} + \frac{6051}{68951} a^{6} + \frac{5742}{68951} a^{5} - \frac{23016}{68951} a^{4} + \frac{5573}{68951} a^{3} - \frac{6590}{68951} a^{2} + \frac{14108}{68951} a - \frac{610}{3629}$, $\frac{1}{68951} a^{33} - \frac{14}{68951} a^{30} - \frac{24}{68951} a^{29} - \frac{94}{68951} a^{28} + \frac{107}{68951} a^{27} - \frac{362}{68951} a^{26} - \frac{1671}{68951} a^{25} - \frac{1227}{68951} a^{24} + \frac{785}{68951} a^{23} + \frac{16}{3629} a^{22} + \frac{1047}{68951} a^{21} - \frac{13}{3629} a^{20} - \frac{827}{68951} a^{19} + \frac{85}{3629} a^{18} - \frac{767}{68951} a^{17} - \frac{14331}{68951} a^{16} + \frac{27519}{68951} a^{15} + \frac{17905}{68951} a^{14} - \frac{19902}{68951} a^{13} - \frac{21056}{68951} a^{12} - \frac{10512}{68951} a^{11} - \frac{18864}{68951} a^{10} + \frac{28488}{68951} a^{9} - \frac{24801}{68951} a^{8} + \frac{32693}{68951} a^{7} - \frac{705}{3629} a^{6} - \frac{30209}{68951} a^{5} - \frac{19674}{68951} a^{4} + \frac{24490}{68951} a^{3} - \frac{24045}{68951} a^{2} + \frac{14283}{68951} a - \frac{1405}{3629}$, $\frac{1}{68951} a^{34} + \frac{42}{68951} a^{30} - \frac{3}{68951} a^{29} + \frac{35}{68951} a^{28} + \frac{1529}{68951} a^{27} - \frac{814}{68951} a^{26} - \frac{1773}{68951} a^{25} + \frac{62}{3629} a^{24} - \frac{73}{68951} a^{23} - \frac{1283}{68951} a^{22} - \frac{1386}{68951} a^{21} + \frac{298}{68951} a^{20} - \frac{785}{68951} a^{19} - \frac{1116}{68951} a^{18} + \frac{806}{68951} a^{17} - \frac{14860}{68951} a^{16} - \frac{12096}{68951} a^{15} + \frac{11649}{68951} a^{14} - \frac{6595}{68951} a^{13} - \frac{8905}{68951} a^{12} + \frac{28876}{68951} a^{11} + \frac{21536}{68951} a^{10} - \frac{25369}{68951} a^{9} + \frac{12830}{68951} a^{8} + \frac{29037}{68951} a^{7} - \frac{924}{68951} a^{6} + \frac{21184}{68951} a^{5} - \frac{20930}{68951} a^{4} - \frac{14241}{68951} a^{3} + \frac{24224}{68951} a^{2} - \frac{26987}{68951} a - \frac{903}{3629}$, $\frac{1}{68951} a^{35} - \frac{10}{68951} a^{30} - \frac{47}{68951} a^{29} + \frac{26}{68951} a^{28} - \frac{1712}{68951} a^{27} - \frac{906}{68951} a^{26} - \frac{622}{68951} a^{25} - \frac{86}{3629} a^{24} + \frac{1758}{68951} a^{23} + \frac{1020}{68951} a^{22} + \frac{1423}{68951} a^{21} + \frac{424}{68951} a^{20} - \frac{410}{68951} a^{19} + \frac{1089}{68951} a^{18} + \frac{1040}{68951} a^{17} - \frac{13502}{68951} a^{16} + \frac{16466}{68951} a^{15} + \frac{31879}{68951} a^{14} + \frac{31943}{68951} a^{13} + \frac{8011}{68951} a^{12} + \frac{13735}{68951} a^{11} + \frac{1408}{68951} a^{10} + \frac{19882}{68951} a^{9} - \frac{9548}{68951} a^{8} - \frac{10182}{68951} a^{7} + \frac{8201}{68951} a^{6} - \frac{34061}{68951} a^{5} + \frac{352}{68951} a^{4} - \frac{29636}{68951} a^{3} + \frac{30668}{68951} a^{2} - \frac{23730}{68951} a - \frac{156}{3629}$, $\frac{1}{16479289} a^{36} - \frac{78}{16479289} a^{35} - \frac{119}{16479289} a^{34} + \frac{43}{16479289} a^{33} - \frac{102}{16479289} a^{32} - \frac{74}{16479289} a^{31} + \frac{5954}{16479289} a^{30} + \frac{1037}{867331} a^{29} + \frac{1312}{16479289} a^{28} + \frac{290376}{16479289} a^{27} - \frac{351070}{16479289} a^{26} - \frac{71118}{16479289} a^{25} - \frac{110424}{16479289} a^{24} + \frac{35564}{16479289} a^{23} - \frac{116545}{16479289} a^{22} + \frac{254320}{16479289} a^{21} + \frac{228243}{16479289} a^{20} + \frac{129709}{16479289} a^{19} - \frac{297443}{16479289} a^{18} + \frac{122601}{16479289} a^{17} - \frac{6177212}{16479289} a^{16} + \frac{2535566}{16479289} a^{15} - \frac{1031812}{16479289} a^{14} - \frac{233078}{16479289} a^{13} - \frac{4343701}{16479289} a^{12} + \frac{1559871}{16479289} a^{11} - \frac{720108}{16479289} a^{10} + \frac{1068963}{16479289} a^{9} - \frac{3610875}{16479289} a^{8} - \frac{410279}{16479289} a^{7} - \frac{2585484}{16479289} a^{6} - \frac{885173}{16479289} a^{5} + \frac{2919289}{16479289} a^{4} - \frac{7764402}{16479289} a^{3} + \frac{14624}{16479289} a^{2} + \frac{5023901}{16479289} a + \frac{322670}{867331}$, $\frac{1}{59803339781} a^{37} - \frac{43}{3147544199} a^{36} - \frac{321531}{59803339781} a^{35} + \frac{249070}{59803339781} a^{34} - \frac{418820}{59803339781} a^{33} - \frac{31290}{59803339781} a^{32} + \frac{173209}{59803339781} a^{31} - \frac{62775890}{59803339781} a^{30} + \frac{41840015}{59803339781} a^{29} + \frac{32326230}{59803339781} a^{28} - \frac{774141813}{59803339781} a^{27} - \frac{700496452}{59803339781} a^{26} + \frac{957801678}{59803339781} a^{25} - \frac{1497176697}{59803339781} a^{24} - \frac{1377186906}{59803339781} a^{23} + \frac{327871455}{59803339781} a^{22} + \frac{259360119}{59803339781} a^{21} - \frac{108926425}{59803339781} a^{20} + \frac{772477571}{59803339781} a^{19} - \frac{744160040}{59803339781} a^{18} - \frac{1118642254}{59803339781} a^{17} - \frac{29730647652}{59803339781} a^{16} + \frac{315781510}{3147544199} a^{15} + \frac{13534343736}{59803339781} a^{14} + \frac{11156636966}{59803339781} a^{13} + \frac{27133009701}{59803339781} a^{12} + \frac{17905624161}{59803339781} a^{11} - \frac{11321809833}{59803339781} a^{10} + \frac{22392629741}{59803339781} a^{9} + \frac{89250762}{59803339781} a^{8} + \frac{11165363799}{59803339781} a^{7} + \frac{28252906926}{59803339781} a^{6} - \frac{28011139151}{59803339781} a^{5} - \frac{12105734838}{59803339781} a^{4} - \frac{24921511569}{59803339781} a^{3} - \frac{1734471669}{59803339781} a^{2} + \frac{27458656572}{59803339781} a + \frac{1312887505}{3147544199}$, $\frac{1}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{38} - \frac{357989773318429264772954501751733517231075138925803198109083176073842383885567852722048194452550868370793608653846208174272062373671984944929205880480232046203408414866394712542545183935638375070957203283314674906521333861216879973406235398501344173136642875081}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{37} + \frac{1117269766695981352438051392849650892119260447008969498530014881513174187894683413267596245541313602989442523697636695888500542392767376956277905726306176275804604512606283629097286005471415406471519258010688964509424073883418272919298789376942053264092680262406918}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{36} - \frac{97164134243905147042566349174041731285643624694472438768580613397199602182304248287041795666566248561831888175619938425142624916646655780517267880391758411308521437362096031630442146771480344937255515795917506977984001277960851752781874540090006929100558855831849563}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{35} - \frac{258407458301764822724493675733814641873971795621117200619981810606799953266198195428786275872042234348805627938307293086508587778633656027487665655040503292033455649060308194811030668190403094619458816052252641757050120541840417480293967865339758050283214910527801940}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{34} - \frac{332673672793310674431473371778329562817429936697974585505978540029687244873734562844941677962706695189962074012524658057331928769483676546806691462082060144602857573614439217164193593333883208171193379965068902059786985282911395742264438658439824649150372000276359940}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{33} + \frac{58076028716314884950387108349614739253448788741087007052758158876215017018670360048005268539266708913410774336993350364326996029709273400728445075169055109424008481539183075686329090870100419968718094055078682900495706567784647874348372362631843231204014717881987374}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{32} - \frac{370440157008649906640720384905895025345883518346358334600523941739050029792301445854020229342910051297847692235674902214872117048525119609895292376521030201793984957654298909207668007690147782417414406777130997462790918626611490208880562785512624912336261401133057828}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{31} + \frac{53040409112293723856793449935626988220271962484711836066430085358999569992082436240804813512188974355543267705246651650337442778208681496905610238990106438945935715242196753192849992329782649574376278718559443314679257815233706785114503768255889853098721743976634353713}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{30} - \frac{25225299174658230767544994958982162131229813882235694356267011264676471714867303617816182763767310370201129549870135772728136041702808243052058590174068116853845513902828102428453947983137905968946747162289016815494469060114529406269379346546197465543874140046900114420}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{29} - \frac{3154660341585063417074423083100226960354523246592652063642096312196989712882807609785336422148365705932616046708126445804491589297682037308684696570449215503033097928356958204417996280169557118611957721291635131925589802030308525880725142593105022357392671099876299969}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{28} - \frac{978269722885924897464108330696381453253999812609183913868444117878615949109594223978732561025265387499905542359015458492625009640454302018543581600137422523003319431532672364546128640447797131785262004977302933183599239295338931376756546848808128052107824389000569223214}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{27} - \frac{237604557222741421031884870703561129617906508689319673316881067055298339448173520488782140934760054101724087389776857555329678599973796683572259850007116944561045776883031026117885382612468938303110805790730694824802120209556253564767797330596815291267210047364537581572}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{26} - \frac{1451532122674073047079661198708423605376155473315945503912848140937341314759063748744693540503412316172855193432090044263326332718357363068217122373935287356830938705799717338687106110213240494400113769926949521661047154789271831896251317576888227939437809080639015592664}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{25} - \frac{299593848796725030526261752893235434895872116506133375438099420715064418327372177261815602301965172201942531795881603701123495249402274037633143547206122892083179912278556380265130293627753955917775011312739915870744825147579608988280407287624954087605113857258545678865}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{24} + \frac{681839956008698037643519836514348282746903144475241123418097827770857109901526181309825144020071036880190641861229258182940918077540095946913946342540420348216922607326157425266347276753948516384136736905101720367458170058061729452947566815042760734987571897839296383}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{23} - \frac{37029611826202746213266893884374334092507332907416573541717337215483243213132961489863026331267024293510645317275582991295915394780513824332834134188033743275895068519717561619338020849810914421870470586679331429605612139990345608414764504457603633311728950733346406517}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{22} - \frac{420687969645806316070608358465351429520602412833074055780206238487766436256315448603898251018279660705044076304033326387193651213825162754325670587524398937623771719391445402476415397720050634253410719837904346590118695077715393490027336450517864426386343828814236999720}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{21} - \frac{746705399183190041324360140441734364370643064179951042469319171517313529479734013306963703580740161679159720860583713943923591583589230338503172334111844178898729144464152056523915223883972223973450359096594844110007583892794114272398763382597795329680112661992905585401}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{20} + \frac{1102142692591588349060469547978127439331615073716169674644342204457490029535304104132821208010143295592520521578721565732027584478310925829089837691755802871024386286075747595464476826909095387034854094684107052783318211717646367169483022750764496941989775977614806506628}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{19} + \frac{214817424524804825193694101682604595870867442060753254721350650047364304108345649251509089302964530273046119341808503928074076009261915311601696258098377894524631415372061475451521288166063694030851569043932580153867800971031346623001420170237664493085596370627898102201}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{18} + \frac{1352670631178211365337751725952695348500442988214156429521551727049097004398589677697128990721514923067863028058828538687494752629388753449241920104992438144245911947112492619980175274436031357584614034749236144382712588096378456393229951030924078948198209928748076845603}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{17} + \frac{4133256254642271085912709223314525405218048379220791181810896709023114956896715055919820000511295988336852507104446018667110473159225326643838367724869388424678605383341301596061182286478182981463529693364041382449433522474953109562595871179187731793643960735195167491330}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{16} + \frac{28120129755290874729850047964801352889154850286276656523456654274140098762124111804004548436568712037338817936052558622422187837921653470611647424932659601568972091579347709431440672150196449253097696403308711944259426018850688119025628955097637024592478354107700042558963}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{15} - \frac{395759636791636373564242464197525487999114682047235193943483201886620110480365119413249764366397661316043241154161732771781950202033471041145715529015562232125150309240363910212838793057183187068437014876797681700649594933931202934678153420841450056182433919334159593215}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{14} + \frac{13071620608171538608952642184899985039985831775822430558560360900265472472706248975091752309056733315641353495796643099300013246215692486787381805034775640986464306600765259190267265631866294176957764533381700238511740233377138744865044656313266449858069140978906465253448}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{13} - \frac{1275428505030752418476703524339914974385770940524094915664987790665421448456579305370018951138392938458262552213111606807490565834267967363134404449693552978432305390720826749328739222899594068784191579853691736495288745921779530527406047687132498486142097479522112251070}{3080734796539518104187984176156561298155592370238909834133980402191523769103833061991707365088236966068466326308220624196474131189721848436898084536892688976088105414256019040505910436159507414389858932866791527205239112974024637657660654771580993261286165989788753985793} a^{12} - \frac{2646119556016759236407998961949293504933132121144359927479927888843715602277446491079747419938448515289607539591886132237494291638399316439874600285526220022593144776677068808273137347567520974424649997984104049432111375563545580977030544746584177198376880466502831025147}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{11} - \frac{27889102567331801002139776913151741497835239820243992555616481421099510994559507289586325024300116463857704257054081831493370490998818377911413473105318400092826418708372242504405141299504537431184134187378452905151303720530392062064940799913354169507475235966302357500091}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{10} - \frac{17676585016572115900550886091558280042226390878059030765030897888360399700742535821214073748369975361157643312113103450127116046975338093878149110311080694791762424497289711640127534412583174921604452251332706927549838826932874229908193209587025841661080012945846277324953}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{9} + \frac{18741864171967452804422378656865058382565629720597343043024650124801628566597610256092793293382706688846794048459298523277292079036655383311002267631119760431745421612515066846820400736962948843751089152460629690961849750130218967358077956345691524854551375871660582826698}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{8} + \frac{11879294135013497182926129552759309350155532209840378279622394060192156214944491691048050729631472297803126293683587460118247342266269715709489376051827155550879431341718586741243296316634924684105220080258327546506154044131765828640229935955873245357145740953023713710075}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{7} - \frac{17027793430242822260050526780465459388199710031257693310171038382199873564570172499877175995587548554939697816303726406415221118138528945010149871086258335373047291806939016582907122901096194612375218454154933547152211469354445144061116494467659022748196397639029946179997}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{6} - \frac{16883116864612324885241452785750630493915265268712329315775979909880730054308075151522217474786580609548485920107311869865411375749620335856204817839708470195634874023991150505765722116186556814467752215864826865417723156923287382060833853913375623711646726857470677572190}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{5} + \frac{11238871471175114117042574749074069498314832760249043990075613190113949406742219803797929578978934124701479205321014292936094972881394295363325428760088412439498438762757505469730129243475281880567707521350488280392585056560995199466003926495267752938373518913189562800684}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{4} - \frac{10748946213723818523433421233072658470175112932814444877658572910694261594311359388088094964650088737194060540294661386604907705760885799431736572564508440051242865089435439513566798558848877029019639362775455365781367890394784110503361870107821494660613717427925851890418}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{3} - \frac{7468279015469813572784217559288525166878339636785356120982542442629540907547969348497318550255108310442922421276273896438514155462076162249673118111440666084062051358362640472207409236152120970686328052779389348710842958518533431720148450788765697216524553339049436317124}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a^{2} - \frac{3445064701065015285350223275647151828594135024745065580296047342717878279817908714054556953192871675237446776185070689519585032574271927371417714041543905856749666918560890923475082373951110870735095567715450902070403809663054722506546677060651085090939541183634807691762}{58533961134250843979571699346974664664956255034539286848545627641638951612972828177842439936676502355300860199856191859733008492604715120301063606200961090545674002870864361769612298287030640873407319724469039016899543146506468115495552440660038871964437153805986325730067} a - \frac{508828609359053469459241791809195654144688721598315182730051543999210901796470861116221121660997146443087682577433061300720395788900123383385708711247301536252818811170535844625600301669350496530760078801301201659752771758024606369073974476183548518962145943358542056}{1518351304356588518574659524966269737878557107066983654082789749724752966537128172494680810787696878298899125829581382058390404726329151521388903172445879239077429972526377052984677395840072653716046788007290057765026669775270890910626246807087724623600870374464639717}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $38$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{39}$ (as 39T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 39
The 39 conjugacy class representatives for $C_{39}$
Character table for $C_{39}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.8281.2, 13.13.542800770374370512771595361.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $39$ ${\href{/LocalNumberField/3.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ R ${\href{/LocalNumberField/11.13.0.1}{13} }^{3}$ R $39$ ${\href{/LocalNumberField/19.1.0.1}{1} }^{39}$ ${\href{/LocalNumberField/23.3.0.1}{3} }^{13}$ $39$ $39$ $39$ $39$ $39$ $39$ $39$ $39$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
7Data not computed
13Data not computed