↑

Properties

Label 39.39.1936976388...4529.1
Degree $39$
Signature $[39, 0]$
Discriminant $7^{26}\cdot 79^{36}$
Root discriminant $206.56$
Ramified primes $7, 79$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{39}$ (as 39T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![14066053, 87223662, -345469686, -3173168574, -296394467, 37303198473, 56100044133, -160917420416, -429221222404, 171082251210, 1295640832119, 509773426670, -1887910006886, -1609144180429, 1427263115288, 1979142956060, -483581361681, -1388110537758, -54324200102, 618742359228, 124709319279, -184436616929, -57546616634, 37876474410, 15078823676, -5471311188, -2578642861, 566666743, 301161228, -43149237, -24308912, 2502275, 1340155, -113775, -48394, 3946, 1036, -91, -10, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - 10*x^38 - 91*x^37 + 1036*x^36 + 3946*x^35 - 48394*x^34 - 113775*x^33 + 1340155*x^32 + 2502275*x^31 - 24308912*x^30 - 43149237*x^29 + 301161228*x^28 + 566666743*x^27 - 2578642861*x^26 - 5471311188*x^25 + 15078823676*x^24 + 37876474410*x^23 - 57546616634*x^22 - 184436616929*x^21 + 124709319279*x^20 + 618742359228*x^19 - 54324200102*x^18 - 1388110537758*x^17 - 483581361681*x^16 + 1979142956060*x^15 + 1427263115288*x^14 - 1609144180429*x^13 - 1887910006886*x^12 + 509773426670*x^11 + 1295640832119*x^10 + 171082251210*x^9 - 429221222404*x^8 - 160917420416*x^7 + 56100044133*x^6 + 37303198473*x^5 - 296394467*x^4 - 3173168574*x^3 - 345469686*x^2 + 87223662*x + 14066053)
 
gp: K = bnfinit(x^39 - 10*x^38 - 91*x^37 + 1036*x^36 + 3946*x^35 - 48394*x^34 - 113775*x^33 + 1340155*x^32 + 2502275*x^31 - 24308912*x^30 - 43149237*x^29 + 301161228*x^28 + 566666743*x^27 - 2578642861*x^26 - 5471311188*x^25 + 15078823676*x^24 + 37876474410*x^23 - 57546616634*x^22 - 184436616929*x^21 + 124709319279*x^20 + 618742359228*x^19 - 54324200102*x^18 - 1388110537758*x^17 - 483581361681*x^16 + 1979142956060*x^15 + 1427263115288*x^14 - 1609144180429*x^13 - 1887910006886*x^12 + 509773426670*x^11 + 1295640832119*x^10 + 171082251210*x^9 - 429221222404*x^8 - 160917420416*x^7 + 56100044133*x^6 + 37303198473*x^5 - 296394467*x^4 - 3173168574*x^3 - 345469686*x^2 + 87223662*x + 14066053, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{39} - 10 x^{38} - 91 x^{37} + 1036 x^{36} + 3946 x^{35} - 48394 x^{34} - 113775 x^{33} + 1340155 x^{32} + 2502275 x^{31} - 24308912 x^{30} - 43149237 x^{29} + 301161228 x^{28} + 566666743 x^{27} - 2578642861 x^{26} - 5471311188 x^{25} + 15078823676 x^{24} + 37876474410 x^{23} - 57546616634 x^{22} - 184436616929 x^{21} + 124709319279 x^{20} + 618742359228 x^{19} - 54324200102 x^{18} - 1388110537758 x^{17} - 483581361681 x^{16} + 1979142956060 x^{15} + 1427263115288 x^{14} - 1609144180429 x^{13} - 1887910006886 x^{12} + 509773426670 x^{11} + 1295640832119 x^{10} + 171082251210 x^{9} - 429221222404 x^{8} - 160917420416 x^{7} + 56100044133 x^{6} + 37303198473 x^{5} - 296394467 x^{4} - 3173168574 x^{3} - 345469686 x^{2} + 87223662 x + 14066053 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $39$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[39, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(1936976388815002056414006672269137141115870891516619249549365912749776792871342052263284529=7^{26}\cdot 79^{36}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $206.56$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $7, 79$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(553=7\cdot 79\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{553}(512,·)$, $\chi_{553}(1,·)$, $\chi_{553}(520,·)$, $\chi_{553}(396,·)$, $\chi_{553}(141,·)$, $\chi_{553}(526,·)$, $\chi_{553}(144,·)$, $\chi_{553}(18,·)$, $\chi_{553}(275,·)$, $\chi_{553}(46,·)$, $\chi_{553}(22,·)$, $\chi_{553}(536,·)$, $\chi_{553}(541,·)$, $\chi_{553}(289,·)$, $\chi_{553}(302,·)$, $\chi_{553}(176,·)$, $\chi_{553}(8,·)$, $\chi_{553}(179,·)$, $\chi_{553}(317,·)$, $\chi_{553}(64,·)$, $\chi_{553}(65,·)$, $\chi_{553}(67,·)$, $\chi_{553}(324,·)$, $\chi_{553}(326,·)$, $\chi_{553}(417,·)$, $\chi_{553}(457,·)$, $\chi_{553}(459,·)$, $\chi_{553}(204,·)$, $\chi_{553}(337,·)$, $\chi_{553}(338,·)$, $\chi_{553}(100,·)$, $\chi_{553}(225,·)$, $\chi_{553}(354,·)$, $\chi_{553}(484,·)$, $\chi_{553}(492,·)$, $\chi_{553}(368,·)$, $\chi_{553}(403,·)$, $\chi_{553}(247,·)$, $\chi_{553}(380,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $\frac{1}{23} a^{30} - \frac{7}{23} a^{28} - \frac{11}{23} a^{27} + \frac{4}{23} a^{26} - \frac{6}{23} a^{25} - \frac{11}{23} a^{24} + \frac{7}{23} a^{23} - \frac{6}{23} a^{22} - \frac{11}{23} a^{21} - \frac{2}{23} a^{20} + \frac{9}{23} a^{19} - \frac{11}{23} a^{18} - \frac{11}{23} a^{17} - \frac{10}{23} a^{16} + \frac{5}{23} a^{14} - \frac{9}{23} a^{13} - \frac{8}{23} a^{12} - \frac{7}{23} a^{11} + \frac{8}{23} a^{10} - \frac{9}{23} a^{9} + \frac{11}{23} a^{7} + \frac{4}{23} a^{6} + \frac{5}{23} a^{5} - \frac{7}{23} a^{4} - \frac{6}{23} a^{3} + \frac{4}{23} a^{2} - \frac{1}{23} a + \frac{7}{23}$, $\frac{1}{23} a^{31} - \frac{7}{23} a^{29} - \frac{11}{23} a^{28} + \frac{4}{23} a^{27} - \frac{6}{23} a^{26} - \frac{11}{23} a^{25} + \frac{7}{23} a^{24} - \frac{6}{23} a^{23} - \frac{11}{23} a^{22} - \frac{2}{23} a^{21} + \frac{9}{23} a^{20} - \frac{11}{23} a^{19} - \frac{11}{23} a^{18} - \frac{10}{23} a^{17} + \frac{5}{23} a^{15} - \frac{9}{23} a^{14} - \frac{8}{23} a^{13} - \frac{7}{23} a^{12} + \frac{8}{23} a^{11} - \frac{9}{23} a^{10} + \frac{11}{23} a^{8} + \frac{4}{23} a^{7} + \frac{5}{23} a^{6} - \frac{7}{23} a^{5} - \frac{6}{23} a^{4} + \frac{4}{23} a^{3} - \frac{1}{23} a^{2} + \frac{7}{23} a$, $\frac{1}{23} a^{32} - \frac{11}{23} a^{29} + \frac{1}{23} a^{28} + \frac{9}{23} a^{27} - \frac{6}{23} a^{26} + \frac{11}{23} a^{25} + \frac{9}{23} a^{24} - \frac{8}{23} a^{23} + \frac{2}{23} a^{22} + \frac{1}{23} a^{21} - \frac{2}{23} a^{20} + \frac{6}{23} a^{19} + \frac{5}{23} a^{18} - \frac{8}{23} a^{17} + \frac{4}{23} a^{16} - \frac{9}{23} a^{15} + \frac{4}{23} a^{14} - \frac{1}{23} a^{13} - \frac{2}{23} a^{12} + \frac{11}{23} a^{11} + \frac{10}{23} a^{10} - \frac{6}{23} a^{9} + \frac{4}{23} a^{8} - \frac{10}{23} a^{7} - \frac{2}{23} a^{6} + \frac{6}{23} a^{5} + \frac{1}{23} a^{4} + \frac{3}{23} a^{3} - \frac{11}{23} a^{2} - \frac{7}{23} a + \frac{3}{23}$, $\frac{1}{23} a^{33} + \frac{1}{23} a^{29} + \frac{1}{23} a^{28} + \frac{11}{23} a^{27} + \frac{9}{23} a^{26} - \frac{11}{23} a^{25} + \frac{9}{23} a^{24} + \frac{10}{23} a^{23} + \frac{4}{23} a^{22} - \frac{8}{23} a^{21} + \frac{7}{23} a^{20} - \frac{11}{23} a^{19} + \frac{9}{23} a^{18} - \frac{2}{23} a^{17} - \frac{4}{23} a^{16} + \frac{4}{23} a^{15} + \frac{8}{23} a^{14} - \frac{9}{23} a^{13} - \frac{8}{23} a^{12} + \frac{2}{23} a^{11} - \frac{10}{23} a^{10} - \frac{3}{23} a^{9} - \frac{10}{23} a^{8} + \frac{4}{23} a^{7} + \frac{4}{23} a^{6} + \frac{10}{23} a^{5} - \frac{5}{23} a^{4} - \frac{8}{23} a^{3} - \frac{9}{23} a^{2} - \frac{8}{23} a + \frac{8}{23}$, $\frac{1}{23} a^{34} + \frac{1}{23} a^{29} - \frac{5}{23} a^{28} - \frac{3}{23} a^{27} + \frac{8}{23} a^{26} - \frac{8}{23} a^{25} - \frac{2}{23} a^{24} - \frac{3}{23} a^{23} - \frac{2}{23} a^{22} - \frac{5}{23} a^{21} - \frac{9}{23} a^{20} + \frac{9}{23} a^{18} + \frac{7}{23} a^{17} - \frac{9}{23} a^{16} + \frac{8}{23} a^{15} + \frac{9}{23} a^{14} + \frac{1}{23} a^{13} + \frac{10}{23} a^{12} - \frac{3}{23} a^{11} - \frac{11}{23} a^{10} - \frac{1}{23} a^{9} + \frac{4}{23} a^{8} - \frac{7}{23} a^{7} + \frac{6}{23} a^{6} - \frac{10}{23} a^{5} - \frac{1}{23} a^{4} - \frac{3}{23} a^{3} + \frac{11}{23} a^{2} + \frac{9}{23} a - \frac{7}{23}$, $\frac{1}{4163} a^{35} - \frac{53}{4163} a^{34} + \frac{28}{4163} a^{33} + \frac{68}{4163} a^{32} + \frac{86}{4163} a^{31} + \frac{37}{4163} a^{30} - \frac{19}{181} a^{29} - \frac{1484}{4163} a^{28} + \frac{80}{181} a^{27} + \frac{765}{4163} a^{26} + \frac{1816}{4163} a^{25} - \frac{1}{181} a^{24} - \frac{877}{4163} a^{23} - \frac{2032}{4163} a^{22} + \frac{912}{4163} a^{21} + \frac{1538}{4163} a^{20} - \frac{2031}{4163} a^{19} + \frac{1816}{4163} a^{18} + \frac{1053}{4163} a^{17} - \frac{842}{4163} a^{16} - \frac{1727}{4163} a^{15} - \frac{1609}{4163} a^{14} + \frac{166}{4163} a^{13} + \frac{356}{4163} a^{12} - \frac{107}{4163} a^{11} + \frac{565}{4163} a^{10} - \frac{2}{181} a^{9} - \frac{1259}{4163} a^{8} + \frac{1193}{4163} a^{7} + \frac{153}{4163} a^{6} - \frac{1114}{4163} a^{5} - \frac{1687}{4163} a^{4} - \frac{1539}{4163} a^{3} + \frac{439}{4163} a^{2} - \frac{1308}{4163} a + \frac{10}{23}$, $\frac{1}{66461008633} a^{36} - \frac{5715341}{66461008633} a^{35} - \frac{987680524}{66461008633} a^{34} + \frac{1089105494}{66461008633} a^{33} - \frac{966819925}{66461008633} a^{32} + \frac{6939409}{367187893} a^{31} - \frac{200769355}{66461008633} a^{30} + \frac{25444747788}{66461008633} a^{29} + \frac{21204731649}{66461008633} a^{28} - \frac{11240756320}{66461008633} a^{27} + \frac{30179681312}{66461008633} a^{26} - \frac{1232286949}{66461008633} a^{25} - \frac{18021002148}{66461008633} a^{24} - \frac{240604411}{2889609071} a^{23} + \frac{11658439379}{66461008633} a^{22} - \frac{9018339614}{66461008633} a^{21} - \frac{13363574286}{66461008633} a^{20} + \frac{5258001330}{66461008633} a^{19} - \frac{28794846413}{66461008633} a^{18} + \frac{3990368025}{66461008633} a^{17} - \frac{15609345460}{66461008633} a^{16} - \frac{29623183016}{66461008633} a^{15} + \frac{19487216287}{66461008633} a^{14} + \frac{22969978329}{66461008633} a^{13} + \frac{33157487463}{66461008633} a^{12} - \frac{24516973264}{66461008633} a^{11} - \frac{358039729}{2889609071} a^{10} - \frac{10729311452}{66461008633} a^{9} + \frac{28684351874}{66461008633} a^{8} + \frac{25785160075}{66461008633} a^{7} - \frac{1569049217}{66461008633} a^{6} + \frac{26714874304}{66461008633} a^{5} - \frac{27677915143}{66461008633} a^{4} - \frac{1281928813}{2889609071} a^{3} - \frac{13928141288}{66461008633} a^{2} - \frac{9008082708}{66461008633} a - \frac{22057646}{367187893}$, $\frac{1}{66461008633} a^{37} - \frac{5831228}{66461008633} a^{35} - \frac{612863846}{66461008633} a^{34} + \frac{360028399}{66461008633} a^{33} + \frac{375095819}{66461008633} a^{32} - \frac{24360459}{2889609071} a^{31} + \frac{1178876231}{66461008633} a^{30} - \frac{19505380840}{66461008633} a^{29} + \frac{3545556535}{66461008633} a^{28} - \frac{13908252657}{66461008633} a^{27} + \frac{31302011613}{66461008633} a^{26} + \frac{10521057270}{66461008633} a^{25} + \frac{28792902313}{66461008633} a^{24} + \frac{27499594228}{66461008633} a^{23} + \frac{1612386824}{66461008633} a^{22} - \frac{1201854918}{66461008633} a^{21} - \frac{23090557611}{66461008633} a^{20} + \frac{3315108425}{66461008633} a^{19} + \frac{11458284368}{66461008633} a^{18} - \frac{1015746810}{2889609071} a^{17} - \frac{32285159427}{66461008633} a^{16} + \frac{24555295407}{66461008633} a^{15} + \frac{10002446486}{66461008633} a^{14} + \frac{5834518551}{66461008633} a^{13} + \frac{946732442}{66461008633} a^{12} - \frac{19065687634}{66461008633} a^{11} - \frac{22764104554}{66461008633} a^{10} - \frac{23529827560}{66461008633} a^{9} + \frac{27005795175}{66461008633} a^{8} - \frac{27354168791}{66461008633} a^{7} - \frac{9005336677}{66461008633} a^{6} - \frac{25624969708}{66461008633} a^{5} + \frac{19537846068}{66461008633} a^{4} + \frac{19041122623}{66461008633} a^{3} - \frac{1608601315}{66461008633} a^{2} + \frac{3707802548}{66461008633} a + \frac{65838370}{367187893}$, $\frac{1}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{38} + \frac{56932599550961294490364537411578042836315320482701900374980203658014374841969773445297420190572390806833476612727706636156704699186586869333297530512607}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{37} + \frac{44940278147412246914116936266928969856694757667909517097109234921915796993955174700201928605874251554021167655363828696519229402664834540859450905644529}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{36} - \frac{229122793633096617443347783583512221287920748238728235192353875984702196229030893085669096391962821785917579758628347100069771091029812570298312562736573057083}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{35} + \frac{120855623498085807650683686277232883367381505021364172282819173196535042251426331187898288600666416367356869611087403506726098939027813427040819138651458045799053}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{34} + \frac{100712271407624142869731581652527558068413233020337164493092162715750299288112234781196247184008864104771429002093182101364517775359410354706047942934523160228300}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{33} - \frac{98526258669374676058574028327039771502960993963244624966831658293274929665278041964045756035425834653105536300672364822087507085505195731322439924853821421186471}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{32} + \frac{196461780877161769670127427718851243482466352529427452909485297926183065070877690433658295389230920168394641197060523046174944874227940114050956924700882750839586}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{31} - \frac{148509573885203344882277259519731494601302234495841050572284143643603357576641102543027084734887117008998408822738538406175213018290751717355156957587458409246048}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{30} + \frac{2451010698758488663549754697196909694955432918867795669139233978827595171173916036486934072368808319011083858026092480873914015618839320518076119358989976156854687}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{29} + \frac{2923125248708156078078489315881879656876145690251588292654220861126754977011535157771260724636186495171534936137797326227498987593652280474544790754802929890262730}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{28} + \frac{556281507497678810801379597742535365093226215648716729885896108898649247079149857454867715925928727487774847864996521054155046081200911912879720595064494064283073}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{27} - \frac{821716508957023840974688542326346395172865132073824668867606514403649221858236033089295477964752219752440973744615531313405189569762401750049578807691275176021114}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{26} + \frac{3016567185141439417420504163045092874032767271297892534291970460167252251277018965870595598172399314884560819158028486749054453132712849419229187898660374710904883}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{25} + \frac{3577480997220137766343175725019554844438163262295346157553440986239354189574118619663722458759245731170829422755954964337361234295486667141547201105573857371927696}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{24} + \frac{2663221312721359334293206406957103684214597416310609736892804823671730508476226628406928983613309109470498793126338851036232306727269005932930050196410488512409574}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{23} - \frac{4155919169731011673399443113211006191558419937859750655057638799607279191811927999944222014418434321824050077601501413303246201673032759217295004088116283497989859}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{22} - \frac{1659580647554179831973689872692706131320509095849290405367633129865766531478408010361082716045969997145166968922062739754187458698343085188722814111129904574515826}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{21} + \frac{3328951390822669442441682824196756964114805863933015365155443389021360443094466668770686192540209464744676913699725329828555522229631993170345826238668248703549697}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{20} - \frac{3922746561886182349640307491253201691603843859854527106387443167257602799310012948575148958086042696644296537128403374260478765873349709882722364069591964347564144}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{19} - \frac{4244396775364862726016805879403612971009453722543069335574459303394806276658702368026631155695473788146798422918685745348456149483451348040502723928483879048417813}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{18} + \frac{326589726244711483031385965917904722141058498371976901115514185984853912686869225176068033560836470007524959834543096452465441187956372650656011273706616071759445}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{17} - \frac{2850000572953546480545445407624515110087375067976647782115907082864868017480982479308839417474782335087133215743180901533416900256052855420950945104302960956649968}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{16} - \frac{4080552171192828307443156194889051366299231649190874703617952470176179285308188877239533212477116250413269734265614004947061083477786467564554373323359932255336297}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{15} + \frac{3117863257675876001633731402707294782515437529976927164891616450204993179065541444825721635060125768440091504701592277556920830966916329423823626953355602644941160}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{14} + \frac{2401798953855050461341244686377479698024247146018769422590634373378356126752263737595377666031455487677967157917506638156527847251813485434241449761483264989146533}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{13} + \frac{2106653391781052213398220614145223219767492385366523864565098551265655176372450353178025777572317174967543348297452529865724794591559703167684360569656007220230619}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{12} + \frac{3932033008964065352381871296309911687665492021308416936940467172778009060375525133179299985632528217648484771032153143950155889952541539222438672225250930647349881}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{11} - \frac{430334761001425569135894130283245622865454554529671006403403502402219445472436856265337147576339811770004008111610636529207120309815801823458368422891115826834613}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{10} - \frac{3395572708594659729886842125978130301927259762190637035751705929511598600784301789978442740016938719177854854292063336914174654149417113444378987430132930976208842}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{9} - \frac{1046521954119607252917563657711180809883263109914745906850284684577019348256915362454852234425905696723360821958913972236268416815120589876248841702564871786618912}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{8} - \frac{3845561221581780230970291119177645389209333196194599206506947632711168199335723287561774470644365439149666012810629125980083554087815118131550830446486271242031729}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{7} - \frac{1946889348640179038236103532756142400592490530876930313332610614261712311377772773484089992426613187215761666679380909620621413063492928584287238710291862114956642}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{6} + \frac{4005686952844099514686148125176992097192071982519840431664598901970337833330784650818684469511674778662613439284773074105035895461340216960141895377965104128928491}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{5} + \frac{4186213360620262265149122532344803753342990492736002459498242989719514989308388099990019369776912623864616989508390552482621996302863155815100473108712433755887942}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{4} - \frac{1650930694309654817481885761255989751792419656958663339506139250451881913736412870791554281934001622609601162256160548366072092048485858726221241342911935133386249}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{3} + \frac{1849234226458082602163761211783076722298489583189646017596219029475492599688266258561002515069897112088066850722451329695435679300764233621983780006450943354218543}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a^{2} + \frac{1378100361027037196044551620225967892328024434962526879394640711755403335516783265045847712036351969009403411317130695263475248822892044771880187266651841497819291}{9100853089749640331600247310838256193625116115839074687579392849225194635911192976364965893661627175571095015701637071821260105605364444827637618003427962007141707} a + \frac{2985383627146402386053548882712941801863218027093314843314172237567047642153084077393572372895281680707545876631027461193238785737839251295192060895889919642360}{50280956296959338848620150888609150241022740971486600483864048890746931690117088267209756318572525831884502849180315313929613843123560468660981314936066088437247}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $38$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{39}$ (as 39T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 39
The 39 conjugacy class representatives for $C_{39}$
Character table for $C_{39}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{7})^+\), 13.13.59091511031674153381441.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $39$ $39$ $39$ R $39$ ${\href{/LocalNumberField/13.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/23.3.0.1}{3} }^{13}$ ${\href{/LocalNumberField/29.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/41.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/43.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ $39$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
7Data not computed
79Data not computed