↑

Properties

Label 39.39.1746277732...0249.2
Degree $39$
Signature $[39, 0]$
Discriminant $3^{52}\cdot 13^{74}$
Root discriminant $562.08$
Ramified primes $3, 13$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{39}$ (as 39T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1727305433480995147, 10712801222330860887, -3866411569558451472, -89715453239778791906, -26149175806607388015, 247052928867978365847, 126091751205245716982, -299712026978452810761, -199867410901172997567, 183666623582194428403, 155603230401068027877, -59318124902891828415, -69386406134656900614, 8850830449501775865, 19350977144085682407, 223936776371258899, -3583579320625784766, -350556005056037274, 459027912672556227, 72335202029643423, -41760228787431102, -8508852916909748, 2739095618686947, 667319579204967, -130171431648258, -36740305683120, 4459027282749, 1446005621320, -108237264603, -40680500211, 1800372886, 805821744, -19307574, -10878699, 118638, 94302, -312, -468, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - 468*x^37 - 312*x^36 + 94302*x^35 + 118638*x^34 - 10878699*x^33 - 19307574*x^32 + 805821744*x^31 + 1800372886*x^30 - 40680500211*x^29 - 108237264603*x^28 + 1446005621320*x^27 + 4459027282749*x^26 - 36740305683120*x^25 - 130171431648258*x^24 + 667319579204967*x^23 + 2739095618686947*x^22 - 8508852916909748*x^21 - 41760228787431102*x^20 + 72335202029643423*x^19 + 459027912672556227*x^18 - 350556005056037274*x^17 - 3583579320625784766*x^16 + 223936776371258899*x^15 + 19350977144085682407*x^14 + 8850830449501775865*x^13 - 69386406134656900614*x^12 - 59318124902891828415*x^11 + 155603230401068027877*x^10 + 183666623582194428403*x^9 - 199867410901172997567*x^8 - 299712026978452810761*x^7 + 126091751205245716982*x^6 + 247052928867978365847*x^5 - 26149175806607388015*x^4 - 89715453239778791906*x^3 - 3866411569558451472*x^2 + 10712801222330860887*x + 1727305433480995147)
 
gp: K = bnfinit(x^39 - 468*x^37 - 312*x^36 + 94302*x^35 + 118638*x^34 - 10878699*x^33 - 19307574*x^32 + 805821744*x^31 + 1800372886*x^30 - 40680500211*x^29 - 108237264603*x^28 + 1446005621320*x^27 + 4459027282749*x^26 - 36740305683120*x^25 - 130171431648258*x^24 + 667319579204967*x^23 + 2739095618686947*x^22 - 8508852916909748*x^21 - 41760228787431102*x^20 + 72335202029643423*x^19 + 459027912672556227*x^18 - 350556005056037274*x^17 - 3583579320625784766*x^16 + 223936776371258899*x^15 + 19350977144085682407*x^14 + 8850830449501775865*x^13 - 69386406134656900614*x^12 - 59318124902891828415*x^11 + 155603230401068027877*x^10 + 183666623582194428403*x^9 - 199867410901172997567*x^8 - 299712026978452810761*x^7 + 126091751205245716982*x^6 + 247052928867978365847*x^5 - 26149175806607388015*x^4 - 89715453239778791906*x^3 - 3866411569558451472*x^2 + 10712801222330860887*x + 1727305433480995147, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{39} - 468 x^{37} - 312 x^{36} + 94302 x^{35} + 118638 x^{34} - 10878699 x^{33} - 19307574 x^{32} + 805821744 x^{31} + 1800372886 x^{30} - 40680500211 x^{29} - 108237264603 x^{28} + 1446005621320 x^{27} + 4459027282749 x^{26} - 36740305683120 x^{25} - 130171431648258 x^{24} + 667319579204967 x^{23} + 2739095618686947 x^{22} - 8508852916909748 x^{21} - 41760228787431102 x^{20} + 72335202029643423 x^{19} + 459027912672556227 x^{18} - 350556005056037274 x^{17} - 3583579320625784766 x^{16} + 223936776371258899 x^{15} + 19350977144085682407 x^{14} + 8850830449501775865 x^{13} - 69386406134656900614 x^{12} - 59318124902891828415 x^{11} + 155603230401068027877 x^{10} + 183666623582194428403 x^{9} - 199867410901172997567 x^{8} - 299712026978452810761 x^{7} + 126091751205245716982 x^{6} + 247052928867978365847 x^{5} - 26149175806607388015 x^{4} - 89715453239778791906 x^{3} - 3866411569558451472 x^{2} + 10712801222330860887 x + 1727305433480995147 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $39$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[39, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(174627773231779347132152827349937303698541390024823069427632498388746376232649719308860385493378089106300249=3^{52}\cdot 13^{74}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $562.08$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 13$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1521=3^{2}\cdot 13^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1521}(256,·)$, $\chi_{1521}(1,·)$, $\chi_{1521}(133,·)$, $\chi_{1521}(1288,·)$, $\chi_{1521}(139,·)$, $\chi_{1521}(1420,·)$, $\chi_{1521}(16,·)$, $\chi_{1521}(1426,·)$, $\chi_{1521}(1171,·)$, $\chi_{1521}(22,·)$, $\chi_{1521}(1303,·)$, $\chi_{1521}(1309,·)$, $\chi_{1521}(1054,·)$, $\chi_{1521}(1186,·)$, $\chi_{1521}(1192,·)$, $\chi_{1521}(937,·)$, $\chi_{1521}(1069,·)$, $\chi_{1521}(1075,·)$, $\chi_{1521}(820,·)$, $\chi_{1521}(952,·)$, $\chi_{1521}(958,·)$, $\chi_{1521}(703,·)$, $\chi_{1521}(835,·)$, $\chi_{1521}(841,·)$, $\chi_{1521}(586,·)$, $\chi_{1521}(718,·)$, $\chi_{1521}(724,·)$, $\chi_{1521}(469,·)$, $\chi_{1521}(601,·)$, $\chi_{1521}(607,·)$, $\chi_{1521}(352,·)$, $\chi_{1521}(484,·)$, $\chi_{1521}(490,·)$, $\chi_{1521}(235,·)$, $\chi_{1521}(367,·)$, $\chi_{1521}(373,·)$, $\chi_{1521}(118,·)$, $\chi_{1521}(250,·)$, $\chi_{1521}(1405,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $\frac{1}{19} a^{36} - \frac{1}{19} a^{34} + \frac{3}{19} a^{33} - \frac{6}{19} a^{32} + \frac{5}{19} a^{31} + \frac{3}{19} a^{30} + \frac{6}{19} a^{29} + \frac{7}{19} a^{28} - \frac{2}{19} a^{27} + \frac{1}{19} a^{26} - \frac{2}{19} a^{25} + \frac{5}{19} a^{24} - \frac{2}{19} a^{23} + \frac{3}{19} a^{22} + \frac{9}{19} a^{21} + \frac{9}{19} a^{20} - \frac{1}{19} a^{19} - \frac{1}{19} a^{18} + \frac{3}{19} a^{17} + \frac{2}{19} a^{16} - \frac{9}{19} a^{15} - \frac{5}{19} a^{14} - \frac{9}{19} a^{13} - \frac{3}{19} a^{12} - \frac{8}{19} a^{10} + \frac{1}{19} a^{9} - \frac{9}{19} a^{8} + \frac{4}{19} a^{7} + \frac{3}{19} a^{6} - \frac{3}{19} a^{5} + \frac{2}{19} a^{4} - \frac{8}{19} a^{3} - \frac{2}{19} a^{2} + \frac{2}{19} a + \frac{9}{19}$, $\frac{1}{19} a^{37} - \frac{1}{19} a^{35} + \frac{3}{19} a^{34} - \frac{6}{19} a^{33} + \frac{5}{19} a^{32} + \frac{3}{19} a^{31} + \frac{6}{19} a^{30} + \frac{7}{19} a^{29} - \frac{2}{19} a^{28} + \frac{1}{19} a^{27} - \frac{2}{19} a^{26} + \frac{5}{19} a^{25} - \frac{2}{19} a^{24} + \frac{3}{19} a^{23} + \frac{9}{19} a^{22} + \frac{9}{19} a^{21} - \frac{1}{19} a^{20} - \frac{1}{19} a^{19} + \frac{3}{19} a^{18} + \frac{2}{19} a^{17} - \frac{9}{19} a^{16} - \frac{5}{19} a^{15} - \frac{9}{19} a^{14} - \frac{3}{19} a^{13} - \frac{8}{19} a^{11} + \frac{1}{19} a^{10} - \frac{9}{19} a^{9} + \frac{4}{19} a^{8} + \frac{3}{19} a^{7} - \frac{3}{19} a^{6} + \frac{2}{19} a^{5} - \frac{8}{19} a^{4} - \frac{2}{19} a^{3} + \frac{2}{19} a^{2} + \frac{9}{19} a$, $\frac{1}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{38} - \frac{6627361178768719070644800052410202700265302195302428624661048298429050404673661167875965653142462809990415858700253882301580134105342836825339236546338471963086664758404194036695953470826982017511122421327661103780578580778958050275558476174884560062923444810539700581405479389948275804672908959016616650657342169269702553670974567134832588457875353754974577968859911979245707672}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{37} - \frac{38436975147401968180513200063259941996702531235966198784647171223514901372154808343003778997973985160274158249585813332203911857693584840068610160963326680498052695610642416318399801471205368825489403972510851059833762863102395493187181679805847397425266839528872798013270319405037511252859734541768373588006404441812820766937821455094369950131876163202025240133211357701833519426}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{36} - \frac{191900124301176022633665420533384964353446460082146226544483820098790020466478830255047126876326103858124670658263947824417738202214374239969987670115892080930677803452751565516724306886814480978072153988505078928688199310174003916236649478791550891198421269105572072368841105072183442176141879167932692893683755573616110208059420241055081255547043492011300687642450063367564637088}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{35} - \frac{510496510735756024979099858054732299506874368567509728906300526102312731722528676162995371765661442751873084831269284801580442098385630925262049725960550885286924435392109031419617084096474931629627518914716761616628379621420988707527537146055369836273577683359527775206291833926879157208482674824298802852339270129403962293665203865811112586265206548927089202604242431724496328641}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{34} - \frac{529317298533296332272121385194189799377673098105766998465139936145158053512100968828558691667204996185683022993769791125622098976640279251487711746110874403003280331276203557702680473188777543654229346092598491129061165264945949014855648793609612212306558156015322699665602300235460952722773905057014110198453558642780017334682828641408938653240334901340359115764147082542238069609}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{33} + \frac{14313327494437999355073369421062326097692399176177470345085324442173245484524794462933055031684728144269031402330325480846893153923188050311104506501181460315937760946984467572261693455443252369022862733659993323833312986827884645539667874804290039762863797509258014342351079205328068589313069140778322763728641221924684682838029903081173498695101388062232116536075854758877760129}{85489050916894905027958305832230288266548700618759047909152891602908427277538818737567036064731452176530498180932190737791634085233653749860001378626430799859541114295327977304855360986353940418244233099811187247338357360754693351147038774886926425607974693131001033251662711593450093147792632845505037651894834517214310402582784133381009572734092617646329465175964908632067401117} a^{32} - \frac{761751319799789575403161209640261428895085265023798975309552602584876295908593534724233458338566222774091382125580624899179155338950869810109691210565923470811547075291249420698021066736960302326008832951080848317684717314421028264992318462369608783158441849172856939740997910196232992723296550626901000816821628773116519451564497239082697891893141813310995881563370848814921826184}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{31} - \frac{19682629725928797349222707275331941032081396882027460789186876440987864508548894004277912037932261523073465236663495836358098856673568903043433980220581546382294111771902312025198282414566267479585325065675469538070263519886859822093198413457438896413730096331884512552415538683311839883147121778290244806769299611411208462717799721514299402697219612139132076724137786860154700314}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{30} - \frac{802031727841506363551763083334027643978254317572236693658761205221730889534278366617529870178044441023276997951846386895084270273494968271185827276292009171809090316406133012925121814908761736977444661796966884968650098696925223544649593175737426600922295589922199562549423188088008348217702334701497834509771412389732959748855941741747108748651482088570455766505271948013101364456}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{29} - \frac{102173746229330857249436435046771608909170174529544354367606851964176332398197255180181367500015641431002291436847097014222508190279546717017499557562120070509300864075522717296254730364724743493092458123268094486738883884983495291856991228003105601642847968722757358325326789001493812755685952015212080632497893954533669540779263995555288933323753214492184748824783970272645784998}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{28} - \frac{288928285842885391805444090021335705767987398189452989520086094180141954022687535431011314389081634097502606458878394372400957728429767187905011919003175882760031676352362344593834818306968063287921105559431561296385819465382941320441130453584645484942333579110395470639322585041596137757011526931326673302914452353752709286674089792925605124339991610391165369373699112178583005629}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{27} - \frac{714917194778992610884893375918508882355109575575479032316218758181710482523037830485043512015313108863722660433024857285383965572239072463198970792642102921120628711406600510292489453930037545105014397023794621428036119216224338397157688841530039770975649900819989101367384806626571266693510950325356122566753462803107295433309625314396358108043063945528535663513957092241278387333}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{26} + \frac{478487057807891766832232060394825706098039044249274426577885666971111940842013023857326105042735407456232641512996965522529164901199769252428231619377190525306130601863351227039340887407740634307150770702933827664427991909026354025021308473328467921999939006457930833365481128796339732392301951766005933387752784414564247973944417626014431311480357706023227238817372715960455363841}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{25} + \frac{31774829506701719853872477975638194494423670432811122590756832462465322222711975897095560585762490676285291759544524914356163417557609941860953213052633368892915855445137634466767689768595706291376260133707533605438172366589641871700801971345092442756530163319036553933492316650962529696789917957934051114485246946451461285738475886588683658670768478670896953525332892579587737914}{85489050916894905027958305832230288266548700618759047909152891602908427277538818737567036064731452176530498180932190737791634085233653749860001378626430799859541114295327977304855360986353940418244233099811187247338357360754693351147038774886926425607974693131001033251662711593450093147792632845505037651894834517214310402582784133381009572734092617646329465175964908632067401117} a^{24} - \frac{81751532234120819916475308556896030841898585494887438864216662791885313380405771159306260857132912332742246166080741624090201276817736197269145387937900128632693101543353216432029176407458691385872865429872603731510590189111020521097049579678297762053413278012777166284339255586659996084942739424313179989723694304700392144633690464829795271484909647445692824623593344934082935901}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{23} + \frac{84050084833295755450755720477478833317369897349745134212752562629192819534510172194412840536643341294663353085003289869349235084544774870657808708868417004158300618792991027934683911457254109615634524343229398299613590841821374048284718326836746420945720903907165708401555312637085934024776585755802248153583276569897952104973015434166008975488394516080041108582287820600177654}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{22} + \frac{450298880014694460377266802991972888426388617395609953875874041659887101112696870110361411703805192018940789360609744773827099322682388878629285928253454937246629454644632151748075075416827406502816512222583395824656457089876034500282938999195232800289491401012443383110126105006200144873098563184023982297170142290301947614804970410644427261190096415302221881835849726367553592172}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{21} - \frac{421717633052622807449906885373902755700429925619422029514990860088589549874729910027323238645299478729796483389096143698160011332055096858040678265202235447531528748840548782591818604016376912037358029227592454167065214982293203574406182571831390712969005159734302841240601976957131881017334803220904734670433125760779730055353985702315462311268473806922109361541906880853957098724}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{20} - \frac{46767579949894939798375916311220183258028215488260005794853652694867900407533512697421308096373545865656424184272977898037126501615616654420983363176055722352313588855557787245627824647648844298100566894048580844933291375652843539043498730903874669746745812584024177458548549884463498884058143161872262559238004601763630167343288566955546728870913832009689169733191893385833821369}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{19} + \frac{105893714186370676492605198776814265150066490259558348733277870009443141454595466425005353260546309651474959872101642721953526002965673037839522715589322328422141995416818024352420882378061013261850952426732615795354194319776616439109756433184598108241664769145366358543291585323418267194534917518624499226048735085163541772991219288828570847277109163417761662640002841999876682655}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{18} - \frac{782602233870781940793616437545137493263906698556301319843244496548591214452030311481992670855795077113447428172805562444684707417798131430440932082498955989174939984586949309726181228206369113969018972254263007927084949158138503623648079760088939721249379842570635104478847963131400462976747013393370779449420196860294569270756765517941205802013198397495944302490723951057117520112}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{17} + \frac{8568421620269031958897735679977023444115550890219662509392054703232837811652389343962572527270861603597646271004772814126099661412140822102321910311131833128743195088770201992851002679005874563516321698103168453192878726506896493445737635467668657424998129718640302472570251636378975571402359037065245295008514171823484863834795184404053560736401869941043376871503317352936465033}{85489050916894905027958305832230288266548700618759047909152891602908427277538818737567036064731452176530498180932190737791634085233653749860001378626430799859541114295327977304855360986353940418244233099811187247338357360754693351147038774886926425607974693131001033251662711593450093147792632845505037651894834517214310402582784133381009572734092617646329465175964908632067401117} a^{16} + \frac{315872740925979435702391182884488015067909419399124172462324730678943731480005915895575965650703858267631301748944162351363204739787398204604678414286029804813222044561697764971472095943424504337852434225830125408151552788979639365318821785611843716922517556281686507101404340020043875951795045141714041487642916148963742424367057896219619715134271370481961321750183358497960952969}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{15} - \frac{766630694205730463492411985717356823496744655277369967766580754785464877941907002857707429096081372998496569055893023101260442743002773498206117490231440630864452082425748235729352052088663749781204081189302519506791436859279704627612943331955317391547639741224085525879457220676791258552959557567053938681615349888270807471404958842367389231258900335800134823896415149621036938618}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{14} - \frac{213573384310457167852673795330224147737767495256411146438777025048419736153181712597790028148610193140922187807700421079198794174008941596331159739344294822926266783327358913481155275557759726016386429219565858467508389433972277667450260230240002191727722862529411169085235849564361669114241473067690720645188975865493876219992504610402070825389671852425269503862185713296067966334}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{13} + \frac{395357197304544413485344905988283440975923006985209619445075370785707573934154176559287331272071458769371296065110505604787910201284856847233343751857852973852285260208025521306642501792313619786705316167866550142464798797220620023379156964684428572180723743774407353226329041290142454346071958651927928447710268075465248998892192094644464583164111457440062751252571731950291270510}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{12} + \frac{386212220904029966768635328342191723191512576112915927037822299374124659242189150447603412060844017381667963107830342647972734749698860741211173369316607003774416476904467752298559758805927904307252202249698377516016245156827773718170215951301576232793914163932334804922767221036750242687065381481148636062863037284685054092015657234747895522088390456910993670506669952261375574469}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{11} + \frac{257973747734685631258810063884871543417940938058832757938932083499657385226433657507917245533248591922631739540674302639738705878292167063004092128052616016320753943099128874752940012736910937023643390302628950958516552840874258871480439415206742242419638572413805212876085193269783674309772503418475607891686766218316690625695256254003291053982239706520984532976069803441441941923}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{10} - \frac{193414696298113496225684524250100833309361698312387262795662434359880677061101127623853139503183024908465729757234420089324973778071204368797993689119037452479751463268635823838709764460340835176725587287912488867587497355027984843314942569880164311732351838433063402031201743759065585520721230678781386701030123917783202270842935876851112179366730779905568477613048386027504241504}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{9} - \frac{118295722116705260211962456084529988914629201402471102089044731136670310384349611208425445388418778529870551910402311726752732177613809023600400389618890905693493269334042128883926429901544217178510876962728441661490910866405213456352279127423116547127665561545196714802009360331904362830734818093853928377060736874166570845846356255588305279202302455449424254189112043285146549409}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{8} - \frac{276866562238409664141907399103935045343598102760512496468091294256914749015922227373893869766031376020001820799184970107037006636345980284187969988803781158347649282472691779862779608468914756861414903899013444454060919345742445628438674564189343455300981194200672882676440401477415652230474664851778964209718396469442524860863777532753984088639644263732934850140194770938706526550}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{7} - \frac{308650313253343053005529901978258542748282033294886640184670575931919159646006466751451272369805347438187163984314780402703608421233092819903555631091960672398997314769929343560513135530238032342244158349010616591505168481161077162010700166357205510450026518832529080825871839435383691908688723030692451787657182133235990152592182137831222971426183779784701993597149836205348772599}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{6} - \frac{218918855551560090897311086910359931927974157509158350263818325090108981211572247143682404647848384536509832998679408809200057017670905883278317456321059626910628453760182006279611214971183032905616618456820895214960531398791211179427446901761253169905307474421658870113982238479158551081467751835402478438824672093481462013123921139107823481564304351699472903911271467978259271590}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{5} + \frac{251181802669775588496538141428971127133757220194774944773738994810592113554642193716844850700171083412792453857218646812348715028188128783875885087019070755747572527322978558976897307762248158798260996995545486393136610522204231284408168259002193643337203303769291884142958417303661775763793206086651512403332595847240340458092247529822486347616225248184853620492182097611543717752}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{4} - \frac{232227616634225099176115189732636176263466003579744659824549600343140837144490466415579926175444768820153472754361312884627651429059412049698769022622667191908230634183705495544033853180079316088957774412421628535913404964683767447853157294072031854956335541258627710349771669474692441856420613982873560312468050149377037324925888050816332060022377996513116128644338252333775721224}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{3} - \frac{598355331520752260073867215342512351718098967523848156466434333203222727744957384535094351496187748814800391551567481683322795922852086237512051739691617344241146209021749921837776019888436363174383717422596703788666182395172298905047286647971905832935825225934810258085600971195724334560183597485377899517812891547111813891831560796077185815703247281477933400404140584756738117684}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a^{2} + \frac{622341130302411269688369651998846525346334112526522769386189087977815678338627046006589247111990933579280568483473384038792616945137705291801800909808992949396953296647134264693819836115845702272946830281018987116838998357900256685766541856920397850331130129478258008540976422489810020310545399569521668637992676101545263147370580293510168719678349447188510033059939670932502360453}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223} a + \frac{291404431726916654956705281261857546687938007750021885880092155514551118263493786752751185539793615326131549964363194872852780338084134984595102643531836847449304188984946879545515034441198987300228585719171600142895124793424125286130397774056345040429469122580113247867887521015135484176273379787235090019923434513702680803993831806073134004272390860818338362561554823188195074501}{1624291967421003195531207810812375477064425311756421910273904940455260118273237556013773685229897591354079465437711624018041047619439421247340026193902185197331281171611231568792251858740724867946640428896412557699428789854339173671793736722851602086551519169489019631781591520275551769808060024064595715386001855827071897649072898534239181881947759735280259838343333264009280621223}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $38$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{39}$ (as 39T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 39
The 39 conjugacy class representatives for $C_{39}$
Character table for $C_{39}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.13689.1, 13.13.542800770374370512771595361.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.13.0.1}{13} }^{3}$ R $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/11.13.0.1}{13} }^{3}$ R $39$ ${\href{/LocalNumberField/19.3.0.1}{3} }^{13}$ ${\href{/LocalNumberField/23.3.0.1}{3} }^{13}$ ${\href{/LocalNumberField/29.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ $39$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/53.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/59.13.0.1}{13} }^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
13Data not computed