↑

Properties

Label 39.39.1564284290...5969.1
Degree $39$
Signature $[39, 0]$
Discriminant $7^{26}\cdot 131^{36}$
Root discriminant $329.46$
Ramified primes $7, 131$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{39}$ (as 39T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![27293535527, -388373575025, 124863566729, 9851455470329, -18496135085754, -72017807491341, 191800233365760, 182503268720113, -755859394498746, -50123800376408, 1418910665071105, -462194605752742, -1416423805872644, 805762979991898, 788875500248585, -630941672277082, -243663734729882, 286106777644803, 33701919033939, -82489984035674, 2821647348255, 15813321949956, -2151039397974, -2052054489049, 446153115950, 179337849315, -53678089242, -10153118781, 4189088926, 326735317, -217511108, -2389017, 7427095, -244026, -159252, 10036, 1930, -163, -10, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - 10*x^38 - 163*x^37 + 1930*x^36 + 10036*x^35 - 159252*x^34 - 244026*x^33 + 7427095*x^32 - 2389017*x^31 - 217511108*x^30 + 326735317*x^29 + 4189088926*x^28 - 10153118781*x^27 - 53678089242*x^26 + 179337849315*x^25 + 446153115950*x^24 - 2052054489049*x^23 - 2151039397974*x^22 + 15813321949956*x^21 + 2821647348255*x^20 - 82489984035674*x^19 + 33701919033939*x^18 + 286106777644803*x^17 - 243663734729882*x^16 - 630941672277082*x^15 + 788875500248585*x^14 + 805762979991898*x^13 - 1416423805872644*x^12 - 462194605752742*x^11 + 1418910665071105*x^10 - 50123800376408*x^9 - 755859394498746*x^8 + 182503268720113*x^7 + 191800233365760*x^6 - 72017807491341*x^5 - 18496135085754*x^4 + 9851455470329*x^3 + 124863566729*x^2 - 388373575025*x + 27293535527)
 
gp: K = bnfinit(x^39 - 10*x^38 - 163*x^37 + 1930*x^36 + 10036*x^35 - 159252*x^34 - 244026*x^33 + 7427095*x^32 - 2389017*x^31 - 217511108*x^30 + 326735317*x^29 + 4189088926*x^28 - 10153118781*x^27 - 53678089242*x^26 + 179337849315*x^25 + 446153115950*x^24 - 2052054489049*x^23 - 2151039397974*x^22 + 15813321949956*x^21 + 2821647348255*x^20 - 82489984035674*x^19 + 33701919033939*x^18 + 286106777644803*x^17 - 243663734729882*x^16 - 630941672277082*x^15 + 788875500248585*x^14 + 805762979991898*x^13 - 1416423805872644*x^12 - 462194605752742*x^11 + 1418910665071105*x^10 - 50123800376408*x^9 - 755859394498746*x^8 + 182503268720113*x^7 + 191800233365760*x^6 - 72017807491341*x^5 - 18496135085754*x^4 + 9851455470329*x^3 + 124863566729*x^2 - 388373575025*x + 27293535527, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{39} - 10 x^{38} - 163 x^{37} + 1930 x^{36} + 10036 x^{35} - 159252 x^{34} - 244026 x^{33} + 7427095 x^{32} - 2389017 x^{31} - 217511108 x^{30} + 326735317 x^{29} + 4189088926 x^{28} - 10153118781 x^{27} - 53678089242 x^{26} + 179337849315 x^{25} + 446153115950 x^{24} - 2052054489049 x^{23} - 2151039397974 x^{22} + 15813321949956 x^{21} + 2821647348255 x^{20} - 82489984035674 x^{19} + 33701919033939 x^{18} + 286106777644803 x^{17} - 243663734729882 x^{16} - 630941672277082 x^{15} + 788875500248585 x^{14} + 805762979991898 x^{13} - 1416423805872644 x^{12} - 462194605752742 x^{11} + 1418910665071105 x^{10} - 50123800376408 x^{9} - 755859394498746 x^{8} + 182503268720113 x^{7} + 191800233365760 x^{6} - 72017807491341 x^{5} - 18496135085754 x^{4} + 9851455470329 x^{3} + 124863566729 x^{2} - 388373575025 x + 27293535527 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $39$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[39, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(156428429087384921728870222525148611738414909735182186340401656558510812088760819892280320561915969=7^{26}\cdot 131^{36}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $329.46$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $7, 131$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(917=7\cdot 131\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{917}(1,·)$, $\chi_{917}(898,·)$, $\chi_{917}(375,·)$, $\chi_{917}(263,·)$, $\chi_{917}(394,·)$, $\chi_{917}(99,·)$, $\chi_{917}(39,·)$, $\chi_{917}(170,·)$, $\chi_{917}(176,·)$, $\chi_{917}(694,·)$, $\chi_{917}(183,·)$, $\chi_{917}(569,·)$, $\chi_{917}(60,·)$, $\chi_{917}(445,·)$, $\chi_{917}(191,·)$, $\chi_{917}(576,·)$, $\chi_{917}(193,·)$, $\chi_{917}(324,·)$, $\chi_{917}(438,·)$, $\chi_{917}(456,·)$, $\chi_{917}(715,·)$, $\chi_{917}(718,·)$, $\chi_{917}(848,·)$, $\chi_{917}(849,·)$, $\chi_{917}(211,·)$, $\chi_{917}(473,·)$, $\chi_{917}(604,·)$, $\chi_{917}(477,·)$, $\chi_{917}(739,·)$, $\chi_{917}(870,·)$, $\chi_{917}(361,·)$, $\chi_{917}(107,·)$, $\chi_{917}(492,·)$, $\chi_{917}(113,·)$, $\chi_{917}(631,·)$, $\chi_{917}(505,·)$, $\chi_{917}(506,·)$, $\chi_{917}(893,·)$, $\chi_{917}(767,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $\frac{1}{5737727} a^{33} + \frac{149395}{5737727} a^{32} + \frac{356080}{5737727} a^{31} + \frac{2754262}{5737727} a^{30} + \frac{2229349}{5737727} a^{29} - \frac{2103741}{5737727} a^{28} - \frac{1169040}{5737727} a^{27} + \frac{1262892}{5737727} a^{26} - \frac{2722691}{5737727} a^{25} - \frac{1452528}{5737727} a^{24} - \frac{1647051}{5737727} a^{23} - \frac{2537819}{5737727} a^{22} + \frac{1319740}{5737727} a^{21} + \frac{2058212}{5737727} a^{20} + \frac{310529}{5737727} a^{19} - \frac{453193}{5737727} a^{18} - \frac{1996259}{5737727} a^{17} - \frac{629131}{5737727} a^{16} - \frac{2593685}{5737727} a^{15} + \frac{2687784}{5737727} a^{14} + \frac{2604605}{5737727} a^{13} + \frac{2017555}{5737727} a^{12} + \frac{11870}{78599} a^{11} - \frac{2793164}{5737727} a^{10} - \frac{1052838}{5737727} a^{9} - \frac{1807200}{5737727} a^{8} - \frac{428865}{5737727} a^{7} - \frac{697793}{5737727} a^{6} + \frac{823084}{5737727} a^{5} + \frac{1233456}{5737727} a^{4} - \frac{1698445}{5737727} a^{3} + \frac{1341394}{5737727} a^{2} - \frac{143744}{5737727} a - \frac{468226}{5737727}$, $\frac{1}{5737727} a^{34} + \frac{1248085}{5737727} a^{32} + \frac{649679}{5737727} a^{31} - \frac{1125790}{5737727} a^{30} + \frac{2141573}{5737727} a^{29} - \frac{2516497}{5737727} a^{28} - \frac{678461}{5737727} a^{27} + \frac{1203910}{5737727} a^{26} + \frac{1764660}{5737727} a^{25} - \frac{2061631}{5737727} a^{24} + \frac{1961658}{5737727} a^{23} + \frac{1264539}{5737727} a^{22} - \frac{723914}{5737727} a^{21} - \frac{1481281}{5737727} a^{20} - \frac{2410353}{5737727} a^{19} - \frac{45408}{108259} a^{18} + \frac{647895}{5737727} a^{17} + \frac{2463800}{5737727} a^{16} + \frac{340868}{5737727} a^{15} - \frac{1275161}{5737727} a^{14} + \frac{2485539}{5737727} a^{13} + \frac{2512049}{5737727} a^{12} - \frac{458040}{5737727} a^{11} + \frac{1749140}{5737727} a^{10} - \frac{1384441}{5737727} a^{9} - \frac{2528850}{5737727} a^{8} + \frac{2129200}{5737727} a^{7} - \frac{1153544}{5737727} a^{6} + \frac{1826613}{5737727} a^{5} - \frac{1017233}{5737727} a^{4} + \frac{1031048}{5737727} a^{3} - \frac{1847172}{5737727} a^{2} - \frac{2145507}{5737727} a + \frac{1993413}{5737727}$, $\frac{1}{5737727} a^{35} + \frac{1905423}{5737727} a^{32} + \frac{2149922}{5737727} a^{31} + \frac{1627181}{5737727} a^{30} - \frac{658144}{5737727} a^{29} - \frac{82673}{5737727} a^{28} - \frac{1319701}{5737727} a^{27} - \frac{1026171}{5737727} a^{26} + \frac{1870262}{5737727} a^{25} - \frac{376928}{5737727} a^{24} - \frac{278143}{5737727} a^{23} - \frac{1546290}{5737727} a^{22} - \frac{2676110}{5737727} a^{21} + \frac{345343}{5737727} a^{20} - \frac{2747920}{5737727} a^{19} - \frac{1094360}{5737727} a^{18} - \frac{1292849}{5737727} a^{17} + \frac{1365053}{5737727} a^{16} - \frac{1439431}{5737727} a^{15} - \frac{1104370}{5737727} a^{14} + \frac{689744}{5737727} a^{13} + \frac{1231913}{5737727} a^{12} - \frac{910615}{5737727} a^{11} - \frac{513253}{5737727} a^{10} - \frac{2500252}{5737727} a^{9} + \frac{693411}{5737727} a^{8} - \frac{2256395}{5737727} a^{7} + \frac{172596}{5737727} a^{6} + \frac{2830707}{5737727} a^{5} - \frac{1795704}{5737727} a^{4} - \frac{1359497}{5737727} a^{3} + \frac{1058971}{5737727} a^{2} - \frac{524183}{5737727} a - \frac{1647740}{5737727}$, $\frac{1}{29655505980893777} a^{36} - \frac{2274626859}{29655505980893777} a^{35} - \frac{596189750}{29655505980893777} a^{34} - \frac{163735443}{29655505980893777} a^{33} + \frac{14555496513345664}{29655505980893777} a^{32} + \frac{106768340929779}{559537848696109} a^{31} - \frac{7527168509976204}{29655505980893777} a^{30} - \frac{4127000635107694}{29655505980893777} a^{29} + \frac{11828840471618925}{29655505980893777} a^{28} - \frac{2276302245215561}{29655505980893777} a^{27} + \frac{12870197992672300}{29655505980893777} a^{26} - \frac{1760492432728143}{29655505980893777} a^{25} + \frac{8217430772451694}{29655505980893777} a^{24} - \frac{908448520328916}{29655505980893777} a^{23} + \frac{5249720056062798}{29655505980893777} a^{22} - \frac{3739720476436144}{29655505980893777} a^{21} - \frac{5706534846671780}{29655505980893777} a^{20} - \frac{3710492825569175}{29655505980893777} a^{19} + \frac{136813646936267}{406239807957449} a^{18} - \frac{14821553845334869}{29655505980893777} a^{17} + \frac{9212597769003285}{29655505980893777} a^{16} + \frac{909146947841258}{29655505980893777} a^{15} - \frac{7294133332868235}{29655505980893777} a^{14} + \frac{12277662549926830}{29655505980893777} a^{13} - \frac{6555919627854002}{29655505980893777} a^{12} + \frac{10630451749180007}{29655505980893777} a^{11} + \frac{109403544311628}{486155835752357} a^{10} + \frac{3595668329215092}{29655505980893777} a^{9} + \frac{7566282733242195}{29655505980893777} a^{8} + \frac{12845484650689812}{29655505980893777} a^{7} - \frac{5761343144910131}{29655505980893777} a^{6} + \frac{7894003932690329}{29655505980893777} a^{5} + \frac{11264392321409809}{29655505980893777} a^{4} + \frac{4958744103463089}{29655505980893777} a^{3} - \frac{11595905926272075}{29655505980893777} a^{2} - \frac{7355702434961335}{29655505980893777} a + \frac{14584032517500564}{29655505980893777}$, $\frac{1}{29655505980893777} a^{37} - \frac{738017409}{29655505980893777} a^{35} - \frac{2299576160}{29655505980893777} a^{34} - \frac{2042148948}{29655505980893777} a^{33} - \frac{11941624146552166}{29655505980893777} a^{32} + \frac{133984210184873}{29655505980893777} a^{31} - \frac{2706549590462003}{29655505980893777} a^{30} + \frac{10175226579063510}{29655505980893777} a^{29} + \frac{5444908127433118}{29655505980893777} a^{28} - \frac{6693461765104960}{29655505980893777} a^{27} - \frac{8246742576256948}{29655505980893777} a^{26} + \frac{3019066780590901}{29655505980893777} a^{25} + \frac{13651387311830533}{29655505980893777} a^{24} - \frac{4819542629465148}{29655505980893777} a^{23} - \frac{11255524288026211}{29655505980893777} a^{22} - \frac{13868630620661487}{29655505980893777} a^{21} - \frac{10240245423694486}{29655505980893777} a^{20} - \frac{9501261798843613}{29655505980893777} a^{19} + \frac{12224563718628032}{29655505980893777} a^{18} - \frac{14026405405787607}{29655505980893777} a^{17} + \frac{230893444525255}{559537848696109} a^{16} - \frac{13754139394668928}{29655505980893777} a^{15} + \frac{5817471549092468}{29655505980893777} a^{14} - \frac{9433297151229847}{29655505980893777} a^{13} - \frac{12918753026467691}{29655505980893777} a^{12} + \frac{1942760591387395}{29655505980893777} a^{11} - \frac{2282126273744862}{29655505980893777} a^{10} - \frac{12954363407607296}{29655505980893777} a^{9} - \frac{1331867363646073}{29655505980893777} a^{8} - \frac{8005763166295635}{29655505980893777} a^{7} - \frac{13969576529140143}{29655505980893777} a^{6} - \frac{7352232893967978}{29655505980893777} a^{5} - \frac{3593191340718173}{29655505980893777} a^{4} - \frac{11748881488151994}{29655505980893777} a^{3} - \frac{13244944887433961}{29655505980893777} a^{2} - \frac{3890706753478365}{29655505980893777} a - \frac{14236879342921474}{29655505980893777}$, $\frac{1}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{38} - \frac{584979239736553496471147144798734665853517323312993759670286503319124491596185427011905496914039382454174061777137888031338344825283453234787445999038584826034321903255892725609308725089455671316064}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{37} + \frac{817033589225210923283414933908577709246150389795370413703286766845196241947690761628707708595583986035130086149448565395208002846122413303874476364047992497904323360538652335270622658956089283767395}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{36} + \frac{10546123582074799627408637250531920147818112573460268196938697738366182532451308494805327115057183326210329183352113855955120688299319299982423206120156140725690872263494445381597612137976018043078989345921}{598382834159801608518993613247758859025327698643184977218180320367814581414460810264348506167348944154502390465670417629341462036649367465154289258005127022312557887691769582509163620560574024352393963162599064917} a^{35} + \frac{2172524757613852843109389861297777035560529454117035473982365232844255908386721344802755603263803957334412166576321087585821071729845192202746251931848841745313109370555228374302818155376962870010247230851228}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{34} + \frac{3433837337320957086361254895243202151435293252221594044396883763132333798750690218133926688336520859957285411646574283284723146696079448424185202062733377223749573620479422588573602795382662988626653120198283}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{33} - \frac{138822246534602842424518051648379293262500117631471178911854082660882832529861849397163936461689962501941902116138412086777224208681053873588893212846396969896346129542468286670604179464870954170544760691602215932}{307838567862556896868152783693933748284706157105453543193167910478239871363508740540618595658347144680639958100836226410470463128680888464732553433308995982576980647425245623371766255664110336227532154459371773281} a^{32} - \frac{26182513117425885458011608327352979278295335350217306290043889646831010813553334813203205349432038629795723317744749782358644120453457717700274318335622287748626106178255916508155145563441335509190047029724623258698}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{31} + \frac{114522305398551318469813638403188665206375325525713551690112064303659768355974439159331129180742073776976883459350117153442984191816105389272702875212456374781206957777090465052936328610054514527155823932095363348}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{30} - \frac{12679122116441424705649125895021410715494979160175599587181170766208133969794841300458426108475057545541751774881779379016669900236204935954959652549366526133478717057317895825857348876637136524151481410511396978876}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{29} - \frac{4075356129056983392380103847787313628032368306648072524789387008131562937969830491722536789999563486790134941960764245924807668942081593846386632708038719470091476843933655785364398393278730146001891993208209800076}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{28} + \frac{798331915199403310842568841940670678672772047127350318626410565656027051901692123987363544234868998285312215802092157485646874140471114294920331098215869607665931112511750049729298211006620975804439632672905263658}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{27} + \frac{4709879660058751140985114023883447324504766398215802079969391239881444892947896893802517096290695754469204737285783384251993317999873385713636694194459834733357568150761667954675482442547018410379256233454240171184}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{26} + \frac{24115714469304135048152179908753122617904471410969388768601232940827429704633918845084384635665494455983164147658663108397500352021974309300753581489322491171648694937282621674807001947180508750991730739276292422759}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{25} + \frac{21655387737469551526865819486988573609438593373984292222180492601348235957165471864152864837374515196795660248294847441226741349413591918773671887740199797258016307927993928807971669894944199767768684110769693784460}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{24} - \frac{19315755733591222123634412566382161192286491826220700871187599210586580993214326623902391193807908006473987236214393807192855894642323247468224479592767428310410528104175313979644029353381563348915620042123579011062}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{23} - \frac{13855256295054732520491868368108488997029645122310402357090294845446761606712288826204882292113802015087116549510402968634872096476648223127605808260151497309163895339934456757194582106998229662318618350152978223632}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{22} - \frac{20260882404970055564350591795484371654165123833903746051840749872891312115930713272550170475934981034538951652819386912233633038988686851343202986092367413495824314830151297570906926762682016369756372324332669962524}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{21} + \frac{8733491513548625881233086495205256778088544477827585618099297971266617015595046756898061177061451910015587179725046130737393595598139994308262455361715539473622261290476543397004909019294797886011165569648170205236}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{20} + \frac{20052212049534195519116741500923713487076141914083285082348286953122938239042778251710895797907914334618182188033271258521408835145915699364605913800899980837852848174467464911505175455824594821442688571938946064709}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{19} + \frac{4763776689678015891547056237326857055010567079181266120657642610333329788199807224960056120940950502717370815738676739224621428484373443519328902748094912093434052002038274547247266610403109199750797738261080473399}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{18} + \frac{12111394042053508908508918508232020078033554962627806110799682221750901732633759279267477406275220268544536709768918314675557061523513092366287988719791382952785294435940756548093463174146046753069568374324832934082}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{17} + \frac{24163351956595097621114003932111532750784116062725415011201188785370910242625325123233766818422649597521075987597495439509219208498451692074069431897165906563635037397279298771040999323544518057149076938186486375120}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{16} + \frac{2164308518987868731531023500035968612011798257381415014149824917946005004712463383177216432927803662104087013887291395301252724624150421790508641648954569602026479659194751898512083755753872801578135086324816214426}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{15} - \frac{26322569903486505838022832380295847584898301349545666503672915861288117231609937194945858248002218492207655987019785962357623069262801293017459243823078126792746819604369643059475698387620117590231870371906451001758}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{14} + \frac{10130925172035317537804938025946941164109458524141054350982385944858180564617383572228434488109338168518261655698628089044152855831681044977545765462474951792759212372712332177376795592340244003602583131311589607042}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{13} - \frac{26078497116671310438670097685940393806537364452547261175064165250703396389458576250762162853750377201805487290822703370785263890060732657361065944558443763829562682976258988539663768477088907189231729522146170255116}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{12} + \frac{24227988227583556757980641490493702266624235309275771647334691651930401593686089583009214934345868189841050543546464895799675064045488568087900455778655398390643321731783859552883466004927916710164696740908871327284}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{11} - \frac{6093110953054707384987053250122379754673199529094061240135191918036865277616501783057211875951781347876698406842111931168907555760334454294982461113126492357945617917390413759036567406296962536056853668500594166098}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{10} - \frac{23176141346960672686404696120186536670026401562188714534904191481978707796475052868450117812791563040031461095793075433310998866522955486405530719133664374961063823764883259702519855864594959972202478297289042063119}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{9} - \frac{24711383757984937877478333902907266167888453639197594448686091879563318899650986321970709580021040755274424779266044003369309721213909761646810083404517025892936328231967147442714035078933351747600512978498167190616}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{8} + \frac{22193348901402725626651615112473882783392739503396447086356163262091772670800655456111992388631390939185482787760924372603641592958773279754192532833040246283339924179416633382638224183629198203175177337041128838382}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{7} - \frac{22878103239666160574002977384989952905728917621310174017412215680789979441124329879491797555977575928103174510472202859249033969537605503546332598790161061987989800784092839277996043129187509160769665505130298771545}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{6} + \frac{19932392762303461514167311627653854199901700774053427225333835096437452955808012932683719945272965447169470553240121897118371576639407291191084612884823474189808823711399907630527906134813510838203241232971246287484}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{5} - \frac{23199041612851329937590018905473910867741407710804754468591722190622363435854131481391158760114348131928790700202704106162285012177903778602379400412547755535537797092552403839084797232519905303603562264579155207975}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{4} - \frac{13566027858878283467049124302859313869763091102452489293860397548686842112646855051418290259059699157973752077282036122916490124912972575771175012305742242519891895290712279143046820407047233517887960658745869231861}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a^{3} + \frac{95914575321448078562212818264876445838558910594992234673264715883733048598138251693560782262530705575484067086735442338908326571736611658952320173067228394851538427505355722062000860152253881719253340404017915433}{307838567862556896868152783693933748284706157105453543193167910478239871363508740540618595658347144680639958100836226410470463128680888464732553433308995982576980647425245623371766255664110336227532154459371773281} a^{2} + \frac{7222363915390978232298672082638525804764334883890356515915893371764529872551965753827689418865196659435631314972574162054956743258787444187984503567996254003056548300232223392234207269282969372746670028463310437445}{53256072240222343158190431579050538453254165179243462972418048512735497745887012113527017048894056029750712751444667169011390121261793704398731743962456304985817652004567492843315562229891088167363062721471316777613} a - \frac{21892415507377252740424329471706900894197385598878601616920240958170999135173023267522594956454105664913811501596774682728947916359083386395071844859194831856570492803337878382465910186186795833430592123797931597}{50768419676093749435834539160200703959250872430165360316890418029299807193409925751694010532787469999762357246372418654920295635139936801142737601489472168718605959966222586123275083155282257547533901545730521237}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $38$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{39}$ (as 39T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 39
The 39 conjugacy class representatives for $C_{39}$
Character table for $C_{39}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{7})^+\), 13.13.25542038069936263923006961.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $39$ $39$ $39$ R $39$ ${\href{/LocalNumberField/13.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/29.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/41.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/43.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/53.3.0.1}{3} }^{13}$ $39$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
7Data not computed
131Data not computed