↑

Properties

Label 39.39.1501310100...6769.1
Degree $39$
Signature $[39, 0]$
Discriminant $7^{26}\cdot 13^{72}$
Root discriminant $416.78$
Ramified primes $7, 13$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{39}$ (as 39T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-141031288821697, 2629380133737812, -9750856549065099, -2939818026931279, 55032005931718101, -19036514040517506, -136584375299797074, 52833922982995011, 192451677172291043, -60718951748161707, -170232014288977485, 39971524926664279, 100344648053329030, -16875632381268701, -41087556662763260, 4853248692356259, 12045290627585839, -990752940639891, -2584439781741701, 148945309469346, 412126532724114, -17208326212714, -49312156872550, 1611389606593, 4444891875554, -128531515099, -301252971368, 8836227920, 15217824882, -502430448, -562769506, 22070763, 14757002, -697762, -259233, 14677, 2730, -182, -13, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - 13*x^38 - 182*x^37 + 2730*x^36 + 14677*x^35 - 259233*x^34 - 697762*x^33 + 14757002*x^32 + 22070763*x^31 - 562769506*x^30 - 502430448*x^29 + 15217824882*x^28 + 8836227920*x^27 - 301252971368*x^26 - 128531515099*x^25 + 4444891875554*x^24 + 1611389606593*x^23 - 49312156872550*x^22 - 17208326212714*x^21 + 412126532724114*x^20 + 148945309469346*x^19 - 2584439781741701*x^18 - 990752940639891*x^17 + 12045290627585839*x^16 + 4853248692356259*x^15 - 41087556662763260*x^14 - 16875632381268701*x^13 + 100344648053329030*x^12 + 39971524926664279*x^11 - 170232014288977485*x^10 - 60718951748161707*x^9 + 192451677172291043*x^8 + 52833922982995011*x^7 - 136584375299797074*x^6 - 19036514040517506*x^5 + 55032005931718101*x^4 - 2939818026931279*x^3 - 9750856549065099*x^2 + 2629380133737812*x - 141031288821697)
 
gp: K = bnfinit(x^39 - 13*x^38 - 182*x^37 + 2730*x^36 + 14677*x^35 - 259233*x^34 - 697762*x^33 + 14757002*x^32 + 22070763*x^31 - 562769506*x^30 - 502430448*x^29 + 15217824882*x^28 + 8836227920*x^27 - 301252971368*x^26 - 128531515099*x^25 + 4444891875554*x^24 + 1611389606593*x^23 - 49312156872550*x^22 - 17208326212714*x^21 + 412126532724114*x^20 + 148945309469346*x^19 - 2584439781741701*x^18 - 990752940639891*x^17 + 12045290627585839*x^16 + 4853248692356259*x^15 - 41087556662763260*x^14 - 16875632381268701*x^13 + 100344648053329030*x^12 + 39971524926664279*x^11 - 170232014288977485*x^10 - 60718951748161707*x^9 + 192451677172291043*x^8 + 52833922982995011*x^7 - 136584375299797074*x^6 - 19036514040517506*x^5 + 55032005931718101*x^4 - 2939818026931279*x^3 - 9750856549065099*x^2 + 2629380133737812*x - 141031288821697, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{39} - 13 x^{38} - 182 x^{37} + 2730 x^{36} + 14677 x^{35} - 259233 x^{34} - 697762 x^{33} + 14757002 x^{32} + 22070763 x^{31} - 562769506 x^{30} - 502430448 x^{29} + 15217824882 x^{28} + 8836227920 x^{27} - 301252971368 x^{26} - 128531515099 x^{25} + 4444891875554 x^{24} + 1611389606593 x^{23} - 49312156872550 x^{22} - 17208326212714 x^{21} + 412126532724114 x^{20} + 148945309469346 x^{19} - 2584439781741701 x^{18} - 990752940639891 x^{17} + 12045290627585839 x^{16} + 4853248692356259 x^{15} - 41087556662763260 x^{14} - 16875632381268701 x^{13} + 100344648053329030 x^{12} + 39971524926664279 x^{11} - 170232014288977485 x^{10} - 60718951748161707 x^{9} + 192451677172291043 x^{8} + 52833922982995011 x^{7} - 136584375299797074 x^{6} - 19036514040517506 x^{5} + 55032005931718101 x^{4} - 2939818026931279 x^{3} - 9750856549065099 x^{2} + 2629380133737812 x - 141031288821697 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $39$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[39, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(1501310100540182816122902385277086845494955654696971364374430555896401217548869308777432830007194746769=7^{26}\cdot 13^{72}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $416.78$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $7, 13$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1183=7\cdot 13^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1183}(1,·)$, $\chi_{1183}(898,·)$, $\chi_{1183}(261,·)$, $\chi_{1183}(781,·)$, $\chi_{1183}(911,·)$, $\chi_{1183}(144,·)$, $\chi_{1183}(274,·)$, $\chi_{1183}(1171,·)$, $\chi_{1183}(534,·)$, $\chi_{1183}(1054,·)$, $\chi_{1183}(417,·)$, $\chi_{1183}(547,·)$, $\chi_{1183}(807,·)$, $\chi_{1183}(170,·)$, $\chi_{1183}(690,·)$, $\chi_{1183}(820,·)$, $\chi_{1183}(53,·)$, $\chi_{1183}(183,·)$, $\chi_{1183}(1080,·)$, $\chi_{1183}(443,·)$, $\chi_{1183}(963,·)$, $\chi_{1183}(1093,·)$, $\chi_{1183}(326,·)$, $\chi_{1183}(456,·)$, $\chi_{1183}(716,·)$, $\chi_{1183}(79,·)$, $\chi_{1183}(599,·)$, $\chi_{1183}(729,·)$, $\chi_{1183}(92,·)$, $\chi_{1183}(989,·)$, $\chi_{1183}(352,·)$, $\chi_{1183}(872,·)$, $\chi_{1183}(1002,·)$, $\chi_{1183}(235,·)$, $\chi_{1183}(365,·)$, $\chi_{1183}(625,·)$, $\chi_{1183}(1145,·)$, $\chi_{1183}(508,·)$, $\chi_{1183}(638,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $\frac{1}{23} a^{27} - \frac{2}{23} a^{26} + \frac{9}{23} a^{25} - \frac{5}{23} a^{24} + \frac{2}{23} a^{23} + \frac{1}{23} a^{22} - \frac{10}{23} a^{21} - \frac{9}{23} a^{20} - \frac{11}{23} a^{19} - \frac{2}{23} a^{18} - \frac{8}{23} a^{17} - \frac{10}{23} a^{15} + \frac{6}{23} a^{14} + \frac{11}{23} a^{13} + \frac{11}{23} a^{12} - \frac{3}{23} a^{11} - \frac{4}{23} a^{10} - \frac{7}{23} a^{9} - \frac{5}{23} a^{8} - \frac{9}{23} a^{7} - \frac{7}{23} a^{6} - \frac{9}{23} a^{5} - \frac{6}{23} a^{4} + \frac{1}{23} a^{2} - \frac{4}{23} a + \frac{9}{23}$, $\frac{1}{23} a^{28} + \frac{5}{23} a^{26} - \frac{10}{23} a^{25} - \frac{8}{23} a^{24} + \frac{5}{23} a^{23} - \frac{8}{23} a^{22} - \frac{6}{23} a^{21} - \frac{6}{23} a^{20} - \frac{1}{23} a^{19} + \frac{11}{23} a^{18} + \frac{7}{23} a^{17} - \frac{10}{23} a^{16} + \frac{9}{23} a^{15} + \frac{10}{23} a^{13} - \frac{4}{23} a^{12} - \frac{10}{23} a^{11} + \frac{8}{23} a^{10} + \frac{4}{23} a^{9} + \frac{4}{23} a^{8} - \frac{2}{23} a^{7} - \frac{1}{23} a^{5} + \frac{11}{23} a^{4} + \frac{1}{23} a^{3} - \frac{2}{23} a^{2} + \frac{1}{23} a - \frac{5}{23}$, $\frac{1}{23} a^{29} - \frac{7}{23} a^{25} + \frac{7}{23} a^{24} + \frac{5}{23} a^{23} - \frac{11}{23} a^{22} - \frac{2}{23} a^{21} - \frac{2}{23} a^{20} - \frac{3}{23} a^{19} - \frac{6}{23} a^{18} + \frac{7}{23} a^{17} + \frac{9}{23} a^{16} + \frac{4}{23} a^{15} + \frac{3}{23} a^{14} + \frac{10}{23} a^{13} + \frac{4}{23} a^{12} + \frac{1}{23} a^{10} - \frac{7}{23} a^{9} - \frac{1}{23} a^{7} + \frac{11}{23} a^{6} + \frac{10}{23} a^{5} + \frac{8}{23} a^{4} - \frac{2}{23} a^{3} - \frac{4}{23} a^{2} - \frac{8}{23} a + \frac{1}{23}$, $\frac{1}{437} a^{30} + \frac{6}{437} a^{29} - \frac{2}{437} a^{28} + \frac{4}{437} a^{27} + \frac{205}{437} a^{26} - \frac{140}{437} a^{25} - \frac{26}{437} a^{24} - \frac{167}{437} a^{23} - \frac{25}{437} a^{22} - \frac{1}{23} a^{21} - \frac{39}{437} a^{20} - \frac{158}{437} a^{19} + \frac{9}{23} a^{18} - \frac{156}{437} a^{17} + \frac{55}{437} a^{16} + \frac{199}{437} a^{15} + \frac{75}{437} a^{14} + \frac{1}{23} a^{13} - \frac{177}{437} a^{12} + \frac{55}{437} a^{11} - \frac{194}{437} a^{10} - \frac{9}{437} a^{9} + \frac{201}{437} a^{8} - \frac{27}{437} a^{7} + \frac{94}{437} a^{6} + \frac{34}{437} a^{5} + \frac{2}{19} a^{4} - \frac{41}{437} a^{3} + \frac{45}{437} a^{2} + \frac{211}{437} a - \frac{109}{437}$, $\frac{1}{437} a^{31} - \frac{3}{437} a^{28} - \frac{9}{437} a^{27} - \frac{211}{437} a^{26} - \frac{98}{437} a^{25} + \frac{2}{19} a^{24} - \frac{182}{437} a^{23} + \frac{112}{437} a^{22} - \frac{172}{437} a^{21} + \frac{4}{23} a^{20} + \frac{55}{437} a^{19} + \frac{72}{437} a^{18} + \frac{22}{437} a^{17} - \frac{36}{437} a^{16} - \frac{112}{437} a^{15} - \frac{146}{437} a^{14} - \frac{6}{437} a^{13} + \frac{129}{437} a^{12} - \frac{201}{437} a^{11} + \frac{53}{437} a^{10} - \frac{68}{437} a^{9} + \frac{78}{437} a^{8} + \frac{218}{437} a^{7} - \frac{93}{437} a^{6} + \frac{203}{437} a^{5} + \frac{44}{437} a^{4} + \frac{196}{437} a^{3} + \frac{74}{437} a^{2} - \frac{64}{437} a - \frac{49}{437}$, $\frac{1}{437} a^{32} - \frac{3}{437} a^{29} - \frac{9}{437} a^{28} - \frac{2}{437} a^{27} - \frac{79}{437} a^{26} + \frac{179}{437} a^{25} + \frac{84}{437} a^{24} + \frac{93}{437} a^{23} + \frac{37}{437} a^{22} + \frac{9}{23} a^{21} - \frac{78}{437} a^{20} - \frac{42}{437} a^{19} + \frac{41}{437} a^{18} + \frac{40}{437} a^{17} - \frac{112}{437} a^{16} - \frac{51}{437} a^{15} - \frac{63}{437} a^{14} - \frac{194}{437} a^{13} - \frac{87}{437} a^{12} - \frac{137}{437} a^{11} - \frac{30}{437} a^{10} - \frac{74}{437} a^{9} + \frac{47}{437} a^{8} + \frac{211}{437} a^{7} + \frac{51}{437} a^{6} - \frac{89}{437} a^{5} - \frac{8}{19} a^{4} + \frac{74}{437} a^{3} + \frac{145}{437} a^{2} - \frac{11}{437} a + \frac{7}{23}$, $\frac{1}{147269} a^{33} - \frac{42}{147269} a^{32} + \frac{35}{147269} a^{31} + \frac{58}{147269} a^{30} - \frac{619}{147269} a^{29} - \frac{1713}{147269} a^{28} - \frac{64}{6403} a^{27} + \frac{28339}{147269} a^{26} - \frac{43}{147269} a^{25} + \frac{50131}{147269} a^{24} - \frac{43302}{147269} a^{23} + \frac{53718}{147269} a^{22} - \frac{36384}{147269} a^{21} - \frac{2217}{7751} a^{20} + \frac{63670}{147269} a^{19} + \frac{18565}{147269} a^{18} + \frac{2686}{147269} a^{17} + \frac{67453}{147269} a^{16} - \frac{1442}{7751} a^{15} + \frac{2411}{147269} a^{14} - \frac{30415}{147269} a^{13} + \frac{39871}{147269} a^{12} - \frac{7893}{147269} a^{11} - \frac{59808}{147269} a^{10} + \frac{34369}{147269} a^{9} - \frac{14721}{147269} a^{8} - \frac{71874}{147269} a^{7} - \frac{54909}{147269} a^{6} + \frac{42886}{147269} a^{5} - \frac{35371}{147269} a^{4} - \frac{30600}{147269} a^{3} + \frac{42668}{147269} a^{2} + \frac{19871}{147269} a + \frac{149}{437}$, $\frac{1}{147269} a^{34} - \frac{44}{147269} a^{32} - \frac{157}{147269} a^{31} + \frac{132}{147269} a^{30} + \frac{1945}{147269} a^{29} + \frac{3081}{147269} a^{28} - \frac{2818}{147269} a^{27} - \frac{40529}{147269} a^{26} - \frac{17390}{147269} a^{25} + \frac{69856}{147269} a^{24} - \frac{34134}{147269} a^{23} - \frac{28692}{147269} a^{22} - \frac{1663}{6403} a^{21} - \frac{68013}{147269} a^{20} - \frac{60248}{147269} a^{19} + \frac{6642}{147269} a^{18} - \frac{13173}{147269} a^{17} - \frac{2797}{7751} a^{16} + \frac{27825}{147269} a^{15} - \frac{3015}{6403} a^{14} - \frac{24022}{147269} a^{13} - \frac{38194}{147269} a^{12} + \frac{40046}{147269} a^{11} - \frac{62288}{147269} a^{10} - \frac{51664}{147269} a^{9} + \frac{7434}{147269} a^{8} + \frac{52732}{147269} a^{7} + \frac{146}{437} a^{6} + \frac{25573}{147269} a^{5} + \frac{26267}{147269} a^{4} - \frac{59999}{147269} a^{3} + \frac{62897}{147269} a^{2} - \frac{53750}{147269} a - \frac{134}{437}$, $\frac{1}{147269} a^{35} + \frac{17}{147269} a^{32} - \frac{13}{147269} a^{31} + \frac{116}{147269} a^{30} + \frac{1120}{147269} a^{29} + \frac{668}{147269} a^{28} - \frac{2849}{147269} a^{27} - \frac{10634}{147269} a^{26} + \frac{68638}{147269} a^{25} - \frac{48863}{147269} a^{24} + \frac{67126}{147269} a^{23} - \frac{48148}{147269} a^{22} - \frac{2444}{147269} a^{21} + \frac{58801}{147269} a^{20} - \frac{45257}{147269} a^{19} - \frac{73524}{147269} a^{18} + \frac{71}{437} a^{17} + \frac{66216}{147269} a^{16} + \frac{39106}{147269} a^{15} - \frac{2013}{7751} a^{14} + \frac{27825}{147269} a^{13} + \frac{31523}{147269} a^{12} + \frac{19421}{147269} a^{11} + \frac{72096}{147269} a^{10} - \frac{44684}{147269} a^{9} + \frac{43960}{147269} a^{8} - \frac{15887}{147269} a^{7} - \frac{19628}{147269} a^{6} + \frac{19311}{147269} a^{5} - \frac{67808}{147269} a^{4} + \frac{468}{7751} a^{3} + \frac{34172}{147269} a^{2} + \frac{60806}{147269} a - \frac{66}{437}$, $\frac{1}{423161433854797657} a^{36} + \frac{1087568649312}{423161433854797657} a^{35} - \frac{1214127307988}{423161433854797657} a^{34} - \frac{1058136306229}{423161433854797657} a^{33} + \frac{288911904896648}{423161433854797657} a^{32} + \frac{469680673386463}{423161433854797657} a^{31} - \frac{6915905769921}{22271654413410403} a^{30} - \frac{4461701617876984}{423161433854797657} a^{29} - \frac{2242924729336624}{423161433854797657} a^{28} - \frac{9138821352560698}{423161433854797657} a^{27} + \frac{24961264293420552}{423161433854797657} a^{26} + \frac{6603915729478641}{18398323211078159} a^{25} - \frac{206389953483297}{799927096133833} a^{24} - \frac{52015044151446986}{423161433854797657} a^{23} - \frac{14952945799141678}{423161433854797657} a^{22} - \frac{204740253487882744}{423161433854797657} a^{21} + \frac{46771153255424268}{423161433854797657} a^{20} + \frac{198918646061839619}{423161433854797657} a^{19} + \frac{184330233003184842}{423161433854797657} a^{18} + \frac{6739418312746434}{22271654413410403} a^{17} + \frac{4386398266141732}{423161433854797657} a^{16} - \frac{6704099348613504}{18398323211078159} a^{15} + \frac{127032923287953016}{423161433854797657} a^{14} + \frac{62476143768428129}{423161433854797657} a^{13} + \frac{206687767098177024}{423161433854797657} a^{12} - \frac{175872067542652610}{423161433854797657} a^{11} + \frac{4424713577898279}{18398323211078159} a^{10} - \frac{92529193567769183}{423161433854797657} a^{9} + \frac{53697075645692606}{423161433854797657} a^{8} + \frac{144500202361461116}{423161433854797657} a^{7} + \frac{33947453517080807}{423161433854797657} a^{6} - \frac{50354390549755827}{423161433854797657} a^{5} - \frac{65794912495279818}{423161433854797657} a^{4} + \frac{161508236234827100}{423161433854797657} a^{3} + \frac{24339947441600819}{423161433854797657} a^{2} + \frac{141208348360061011}{423161433854797657} a - \frac{286561281911546}{1255671910548361}$, $\frac{1}{423161433854797657} a^{37} - \frac{943913424791}{423161433854797657} a^{35} + \frac{910625060959}{423161433854797657} a^{34} - \frac{1181360461090}{423161433854797657} a^{33} - \frac{119968711332825}{423161433854797657} a^{32} + \frac{480260706087899}{423161433854797657} a^{31} + \frac{89555518031962}{423161433854797657} a^{30} - \frac{5203026618713310}{423161433854797657} a^{29} + \frac{6918818877482228}{423161433854797657} a^{28} - \frac{5658929056176257}{423161433854797657} a^{27} - \frac{19718533578494451}{423161433854797657} a^{26} + \frac{4730148918516373}{18398323211078159} a^{25} + \frac{29064765846804793}{423161433854797657} a^{24} + \frac{181059150678656366}{423161433854797657} a^{23} - \frac{10840325757012016}{22271654413410403} a^{22} + \frac{13050624580612982}{423161433854797657} a^{21} - \frac{201492027608053490}{423161433854797657} a^{20} + \frac{206680338497262198}{423161433854797657} a^{19} + \frac{156658186645169876}{423161433854797657} a^{18} - \frac{103636601731864302}{423161433854797657} a^{17} - \frac{13533533355720523}{423161433854797657} a^{16} + \frac{103471862817975875}{423161433854797657} a^{15} - \frac{152248854177720583}{423161433854797657} a^{14} + \frac{62476550587520311}{423161433854797657} a^{13} - \frac{7091904027867060}{423161433854797657} a^{12} - \frac{162569092776880013}{423161433854797657} a^{11} - \frac{30865458715844589}{423161433854797657} a^{10} - \frac{32384041712635364}{423161433854797657} a^{9} + \frac{170365606726489407}{423161433854797657} a^{8} - \frac{2483967845244286}{22271654413410403} a^{7} - \frac{98321226434287210}{423161433854797657} a^{6} + \frac{150824766691631005}{423161433854797657} a^{5} + \frac{33551754343221311}{423161433854797657} a^{4} - \frac{96075102298234795}{423161433854797657} a^{3} - \frac{150455364247005455}{423161433854797657} a^{2} - \frac{87065062357696341}{423161433854797657} a - \frac{34570282741654}{1255671910548361}$, $\frac{1}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{38} + \frac{66379273715874256311683144818439195043121812788278959753874411525718851347278333006793945036643265815058504598021086846200014768906801644862673425626796227134715437526132774884346946618571710668381166659735255661294612718}{318365920306473593768841839346542455912304252932172835859225226178213399131502092532862626563362741113844538486919111672089240977624958450846704976187886782798089529486275652407721802510943917148710067703390184873085524925314267033681328567} a^{37} - \frac{2425037020554008989694075315267480454113020125380949025541149917414570351338271642556842966413515054128905950664070090936302237619824050835752399618732955997440068475700476074725558909662862739413932470273044696021106240641}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{36} + \frac{3371025025193271185244862665719531745685480015310112092719094439309373624599660348242125397094833136778724431339078994723151260306373966709018113616101236211164491539800359199636293430740419973315602550412514821195616582627901047660799}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{35} + \frac{4604882806468650886238700664224062163501523199853501695157992386347389739269748628173328023757675300602377483273510057565922195143231576351328205659141803648381421197632560164784995623101471663766939814043082586853575827571735586718463}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{34} + \frac{23413764305418222213047827080409345453829216575584846472058358123625895361039145520516571626259514377621951217723123664193069246383639865026378827540687189834432453036307297227708944956853520025045351277611370392108175699284114025681441}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{33} - \frac{78460732077393386442987673004042753443483522882293505946669563918487668441269032254745962975315701949129440375192779699697147972255141638379331244884003003003807502328314510421768139640315104093247693056811729288450463338802800128489975}{318365920306473593768841839346542455912304252932172835859225226178213399131502092532862626563362741113844538486919111672089240977624958450846704976187886782798089529486275652407721802510943917148710067703390184873085524925314267033681328567} a^{32} + \frac{5509854146582723157588374987092102402239563938179140891324809733959868992059558075946649257694774001766723712506978060945550322667768762525814221111127187115808603949772310010629601168753176346190289705153484621581372746370023960883506947}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{31} - \frac{5483792441507773887866285162379923583496062393295865107764227230188168640030850401139197131013459561485531710474734954978246679905811783054441509896565331726178694974680312507726919167698095674394577626323451923282122176482502559512878103}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{30} - \frac{28144935064308558203333267588022320985349256697523204234202353975276033476935857144753807429832566001755898904184949642926120717005921265027775426441349143225003446239751610842564875189690895589206434419646147606661065884042899720136940480}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{29} - \frac{135009852869887983555352353493635067294311485686408986391016620536556502648761997316567135258020146120238032346814938919210514044886371382382104482516573611684319611417862570105882773411925524276747854638782464569496855480195296806077934278}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{28} - \frac{118005748043163730181830892534759878936681993947618069597757305363847997909423686827742359444104467711483774643990813901285671225004518830499347311216911692210207277099495478523020586954190520023760646383391050843347440874359450665257649651}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{27} + \frac{2123224739649182670720162360215656917859023925212714762834083631244976591981542919183426891597893814980719126545253943783803975722834485622087521532437983423733243444533046337180414018786110671170437568253182598479317624563831930730714289815}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{26} + \frac{2604722747794826336398031404364667310351173710854593828133058878414986630015923484955773230940896797573549885875997268271944987636244750371018658115606680994386823567048676625845753171427860032657546409935861950470397037962580058389663216563}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{25} - \frac{1691586920217055407205552030090215844767467997817414139416228409649576361135481297481102186656296663780717765224280579900899590977925710595601511356298069301255578338748831327891412073789545181319504949127489343194671245726582752605320622510}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{24} - \frac{3581005508395685577925359743716811742361125240884907686415355894468830716179939744590377385977086197099791785392121203912498490444155255937257723949298301429817621456011723056000603185593169347929870663771377658042749675247408824241398329830}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{23} + \frac{2861250059468652891428047607770142021286363048412483486225106141270191670584539542529325191041288925712489989650401772541838440287369074000668310032813726013276288775758214826715316786723996775962435710385930433170540129073865699921808656503}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{22} + \frac{2606968496787281666059038558264109942584702176013488873294568010287928440132905436457904920195764715763264592623515994376535941593716430267198566252909633393657060558687239703095776692363878319842697435076091131659038404885788424605559175685}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{21} + \frac{87482271347650812015849801439615931524163905751018729821650813564493890493405612999478546664660185732311536333907026592000736739619866863882061892389306969615256298642962104620593908003668491495395875050128412051961408274582097600170805748}{318365920306473593768841839346542455912304252932172835859225226178213399131502092532862626563362741113844538486919111672089240977624958450846704976187886782798089529486275652407721802510943917148710067703390184873085524925314267033681328567} a^{20} - \frac{3595764971061494987534188671153568673180847602326127238802910513640237045193375916501745841901435842162707269342675083455572666458418178740909272342456763848681476112077519342011743258108569457709578189390734069825838851455376736638822158712}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{19} + \frac{477037024327351083812125963785212885713699754116317850675945326870164261821509851200574921423180482317199712851658067524143962478284261545387315686775876488114109557174518572301720788691442344573844423592399449750926127825028678381795140279}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{18} + \frac{3134687962542645412312250371498959613466203754457594074139845388886913364582298203796934796142181674183549522252169520782460586486175196106951205264257108632095080827984325719952527980743100782217117982004440050774576123445985446180526258251}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{17} - \frac{273363133693347979439788399656386611885621444907594340396884110741963673848169599494293279996048344007093353030964113623145929445670507561712860159292605495128486117312897076587924965392973474139872854084593333823100467378763179971475285159}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{16} - \frac{2117273987879450387723853578061127665643081524411604196510421466056127808502439150751733726097131249863279115415430330912636081839054571008066610059463884996967928250658864140208951248296384328384689546877453269997429527455803381145158560974}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{15} - \frac{1533117297229124607255850858056346271023889003359997433001824020680548765087182230596695906924808445549913913511678241540982775385790900428247753806057341155639181797911443512331565489074905523449372752972973132163701989084829218888949247728}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{14} + \frac{3638455387663773106701041273259161117115933529612992479629039578440126117360250190710878619204010328089858940023278370674498785405914143204051471216879395226479535280934394129916687184003170543513815495832372698876135546557744235882869730}{385390324581520666141229594998446130841210411444209222355904221163100430527607796223991600576702265558864441326270503603055396972914423387867063918543231368650318904114965263440926392513247899706333239851472329056893003856959375882877397739} a^{13} + \frac{1210627732354389610728249247265622028288046269548636572371462512404120822388979730918661252663937495314505647547871624436342828523016822224570443886221750926456057744179977429512088408449953887706510142119034599238170770086726686486655398358}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{12} - \frac{147642316825006587381032362918073738178982185375648437476003542100707053168393964722478844365283023311806874494478588122849381590131623317222612135132362804733449743857181217114118674942183182226202987179017901614560076102348851948387521206}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{11} - \frac{1508798774659357993142798846581646721891106323095421087408945150472367272422692120324493343520739370018243383646905992010780941525657469498599516157722717726313023964103734293942702279055516380470446244161338681016498339345022165956375003417}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{10} - \frac{2774744027487447560371628161942361462557730485039102768737817491647020607615738704673093704631854985851423341279657747751471810858722604155714192448331309631718768057878173548993329596850005389786474978697935371959089566690048031781782711771}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{9} - \frac{3543677670162197968210042260826044149548260512118675845636356973291413565407286273581263815710401454418944476372587639214221335451392617410877873139675095107622861044259055604465323532175966978988101071867782258132106805462054215695127622019}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{8} + \frac{1359412901166527765993941273600193915447433329748811549415859308463577680033974634145108059738963772976969216957112370256019792011203065769430971976874840773665990045726427730278155337847466464880534245125391641391158024277071390719106570191}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{7} + \frac{528647808984004568851194663378380462700975596932782972813381583483536579868770579227712659241533388996758689655197781955585754120772929627647187167971802909994794866752679706130993772524379077248167452672709501482993189347124601609853526239}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{6} - \frac{266768937800644149834992640164818417775267505178123851421132372459683151029316744585245479265839743014705085999512187579756335046062718623309640708708145284319536246827903080328501153837463063653769931511597519155860892074200857316875420460}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{5} - \frac{196280001232782642866537234469118813454608887832034870444862436447061033031666327701979683040914885994284704159912057283061633048612259121694746884138048290582515265294418912667942369564209806415280219451197535698798946791239435605292382076}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{4} + \frac{824186513466798696184719063397305792009546960496747749166666809002461325413131387797043907475607516611233061904037432725228623147507151703995232289627676146777243077202088485147954098682695181665461140224941756046527656384922309661873353557}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{3} + \frac{3462985037322294597222651804242900562580745237985479651618995437292969575518645850336168581224190109299709784266036308777544722842802826927199075536562186154208347498724947898373610769354545104974007256895083369881458358207897106188100615315}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a^{2} + \frac{2248725528343624034631275165074735063132070072638128325622554410108706053606452053871860482963101287828310110302902208208445212557097665415920726725172113873913925815637064292986840676035241039875789709891814203215741550393824145458181671899}{7322416167048892656683362304970476485982997817439975224762180202098908180024548128255840410957343045618424385199139568458052542485374044369474214452321396004356059178184340005377601457751710094420331557177974252080967073282228141774670557041} a - \frac{5199788193340645977097669714926479175338101233855089760299917319656760578369654607260700853711624997502390953709879542422205743300192501558412288624351274415241408291799007037356627495608768550028260036893942365535334365088045122345546070}{21728237884418079099950629985075597881255186401899036275258694961717828427372546374646410715006952657621437344804568452397782025179151466971733574042496724048534300232001008918034425690657893455253209368480635762851534342083763031972316193}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $38$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{39}$ (as 39T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 39
The 39 conjugacy class representatives for $C_{39}$
Character table for $C_{39}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{7})^+\), 13.13.542800770374370512771595361.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $39$ $39$ $39$ R $39$ R $39$ ${\href{/LocalNumberField/19.3.0.1}{3} }^{13}$ ${\href{/LocalNumberField/23.3.0.1}{3} }^{13}$ ${\href{/LocalNumberField/29.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/41.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/43.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ $39$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
7Data not computed
$13$13.13.24.1$x^{13} - 13 x^{12} + 13$$13$$1$$24$$C_{13}$$[2]$
13.13.24.1$x^{13} - 13 x^{12} + 13$$13$$1$$24$$C_{13}$$[2]$
13.13.24.1$x^{13} - 13 x^{12} + 13$$13$$1$$24$$C_{13}$$[2]$