↑

Properties

Label 39.39.1333154650...0161.1
Degree $39$
Signature $[39, 0]$
Discriminant $3^{52}\cdot 79^{36}$
Root discriminant $244.24$
Ramified primes $3, 79$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{39}$ (as 39T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![17616187, -474072537, -2992803492, 13836139901, 49542152886, -212099031525, -178984846489, 1408564281330, -703907774076, -3609335878022, 4466815249788, 3464219056332, -8608241123601, 524362618785, 8158071470571, -3908165428785, -4051561096485, 3624110595294, 841783459401, -1717086418740, 133680753126, 478911168431, -129404499477, -80182575711, 36650142262, 7401235119, -5865182265, -186548878, 590401068, -36770526, -38339003, 4768863, 1586748, -273219, -39873, 8607, 544, -144, -3, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - 3*x^38 - 144*x^37 + 544*x^36 + 8607*x^35 - 39873*x^34 - 273219*x^33 + 1586748*x^32 + 4768863*x^31 - 38339003*x^30 - 36770526*x^29 + 590401068*x^28 - 186548878*x^27 - 5865182265*x^26 + 7401235119*x^25 + 36650142262*x^24 - 80182575711*x^23 - 129404499477*x^22 + 478911168431*x^21 + 133680753126*x^20 - 1717086418740*x^19 + 841783459401*x^18 + 3624110595294*x^17 - 4051561096485*x^16 - 3908165428785*x^15 + 8158071470571*x^14 + 524362618785*x^13 - 8608241123601*x^12 + 3464219056332*x^11 + 4466815249788*x^10 - 3609335878022*x^9 - 703907774076*x^8 + 1408564281330*x^7 - 178984846489*x^6 - 212099031525*x^5 + 49542152886*x^4 + 13836139901*x^3 - 2992803492*x^2 - 474072537*x + 17616187)
 
gp: K = bnfinit(x^39 - 3*x^38 - 144*x^37 + 544*x^36 + 8607*x^35 - 39873*x^34 - 273219*x^33 + 1586748*x^32 + 4768863*x^31 - 38339003*x^30 - 36770526*x^29 + 590401068*x^28 - 186548878*x^27 - 5865182265*x^26 + 7401235119*x^25 + 36650142262*x^24 - 80182575711*x^23 - 129404499477*x^22 + 478911168431*x^21 + 133680753126*x^20 - 1717086418740*x^19 + 841783459401*x^18 + 3624110595294*x^17 - 4051561096485*x^16 - 3908165428785*x^15 + 8158071470571*x^14 + 524362618785*x^13 - 8608241123601*x^12 + 3464219056332*x^11 + 4466815249788*x^10 - 3609335878022*x^9 - 703907774076*x^8 + 1408564281330*x^7 - 178984846489*x^6 - 212099031525*x^5 + 49542152886*x^4 + 13836139901*x^3 - 2992803492*x^2 - 474072537*x + 17616187, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{39} - 3 x^{38} - 144 x^{37} + 544 x^{36} + 8607 x^{35} - 39873 x^{34} - 273219 x^{33} + 1586748 x^{32} + 4768863 x^{31} - 38339003 x^{30} - 36770526 x^{29} + 590401068 x^{28} - 186548878 x^{27} - 5865182265 x^{26} + 7401235119 x^{25} + 36650142262 x^{24} - 80182575711 x^{23} - 129404499477 x^{22} + 478911168431 x^{21} + 133680753126 x^{20} - 1717086418740 x^{19} + 841783459401 x^{18} + 3624110595294 x^{17} - 4051561096485 x^{16} - 3908165428785 x^{15} + 8158071470571 x^{14} + 524362618785 x^{13} - 8608241123601 x^{12} + 3464219056332 x^{11} + 4466815249788 x^{10} - 3609335878022 x^{9} - 703907774076 x^{8} + 1408564281330 x^{7} - 178984846489 x^{6} - 212099031525 x^{5} + 49542152886 x^{4} + 13836139901 x^{3} - 2992803492 x^{2} - 474072537 x + 17616187 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $39$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[39, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(1333154650182543026449283712690240384443280847870204673583412479894814975705256486667290110161=3^{52}\cdot 79^{36}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $244.24$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 79$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(711=3^{2}\cdot 79\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{711}(640,·)$, $\chi_{711}(1,·)$, $\chi_{711}(259,·)$, $\chi_{711}(520,·)$, $\chi_{711}(10,·)$, $\chi_{711}(526,·)$, $\chi_{711}(403,·)$, $\chi_{711}(22,·)$, $\chi_{711}(538,·)$, $\chi_{711}(283,·)$, $\chi_{711}(541,·)$, $\chi_{711}(670,·)$, $\chi_{711}(289,·)$, $\chi_{711}(166,·)$, $\chi_{711}(301,·)$, $\chi_{711}(46,·)$, $\chi_{711}(304,·)$, $\chi_{711}(433,·)$, $\chi_{711}(52,·)$, $\chi_{711}(694,·)$, $\chi_{711}(697,·)$, $\chi_{711}(571,·)$, $\chi_{711}(574,·)$, $\chi_{711}(64,·)$, $\chi_{711}(67,·)$, $\chi_{711}(196,·)$, $\chi_{711}(457,·)$, $\chi_{711}(460,·)$, $\chi_{711}(334,·)$, $\chi_{711}(337,·)$, $\chi_{711}(100,·)$, $\chi_{711}(475,·)$, $\chi_{711}(220,·)$, $\chi_{711}(223,·)$, $\chi_{711}(97,·)$, $\chi_{711}(484,·)$, $\chi_{711}(238,·)$, $\chi_{711}(496,·)$, $\chi_{711}(247,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $\frac{1}{23} a^{30} - \frac{10}{23} a^{29} + \frac{4}{23} a^{28} - \frac{9}{23} a^{27} - \frac{2}{23} a^{26} - \frac{9}{23} a^{25} + \frac{9}{23} a^{24} - \frac{5}{23} a^{23} - \frac{1}{23} a^{21} - \frac{7}{23} a^{20} - \frac{2}{23} a^{19} + \frac{9}{23} a^{18} - \frac{1}{23} a^{17} + \frac{4}{23} a^{16} - \frac{8}{23} a^{15} - \frac{4}{23} a^{14} + \frac{8}{23} a^{13} + \frac{8}{23} a^{12} - \frac{11}{23} a^{11} + \frac{2}{23} a^{10} - \frac{8}{23} a^{9} + \frac{7}{23} a^{8} + \frac{6}{23} a^{7} - \frac{2}{23} a^{6} - \frac{11}{23} a^{5} + \frac{7}{23} a^{4} + \frac{9}{23} a^{3} - \frac{3}{23} a^{2} + \frac{6}{23} a + \frac{4}{23}$, $\frac{1}{23} a^{31} - \frac{4}{23} a^{29} + \frac{8}{23} a^{28} - \frac{6}{23} a^{26} + \frac{11}{23} a^{25} - \frac{7}{23} a^{24} - \frac{4}{23} a^{23} - \frac{1}{23} a^{22} + \frac{6}{23} a^{21} - \frac{3}{23} a^{20} - \frac{11}{23} a^{19} - \frac{3}{23} a^{18} - \frac{6}{23} a^{17} + \frac{9}{23} a^{16} + \frac{8}{23} a^{15} - \frac{9}{23} a^{14} - \frac{4}{23} a^{13} + \frac{7}{23} a^{11} - \frac{11}{23} a^{10} - \frac{4}{23} a^{9} + \frac{7}{23} a^{8} - \frac{11}{23} a^{7} - \frac{8}{23} a^{6} - \frac{11}{23} a^{5} + \frac{10}{23} a^{4} - \frac{5}{23} a^{3} - \frac{1}{23} a^{2} - \frac{5}{23} a - \frac{6}{23}$, $\frac{1}{23} a^{32} - \frac{9}{23} a^{29} - \frac{7}{23} a^{28} + \frac{4}{23} a^{27} + \frac{3}{23} a^{26} + \frac{3}{23} a^{25} + \frac{9}{23} a^{24} + \frac{2}{23} a^{23} + \frac{6}{23} a^{22} - \frac{7}{23} a^{21} + \frac{7}{23} a^{20} - \frac{11}{23} a^{19} + \frac{7}{23} a^{18} + \frac{5}{23} a^{17} + \frac{1}{23} a^{16} + \frac{5}{23} a^{15} + \frac{3}{23} a^{14} + \frac{9}{23} a^{13} - \frac{7}{23} a^{12} - \frac{9}{23} a^{11} + \frac{4}{23} a^{10} - \frac{2}{23} a^{9} - \frac{6}{23} a^{8} - \frac{7}{23} a^{7} + \frac{4}{23} a^{6} - \frac{11}{23} a^{5} - \frac{11}{23} a^{3} + \frac{6}{23} a^{2} - \frac{5}{23} a - \frac{7}{23}$, $\frac{1}{23} a^{33} - \frac{5}{23} a^{29} - \frac{6}{23} a^{28} - \frac{9}{23} a^{27} + \frac{8}{23} a^{26} - \frac{3}{23} a^{25} - \frac{9}{23} a^{24} + \frac{7}{23} a^{23} - \frac{7}{23} a^{22} - \frac{2}{23} a^{21} - \frac{5}{23} a^{20} - \frac{11}{23} a^{19} - \frac{6}{23} a^{18} - \frac{8}{23} a^{17} - \frac{5}{23} a^{16} - \frac{4}{23} a^{14} - \frac{4}{23} a^{13} - \frac{6}{23} a^{12} - \frac{3}{23} a^{11} - \frac{7}{23} a^{10} - \frac{9}{23} a^{9} + \frac{10}{23} a^{8} - \frac{11}{23} a^{7} - \frac{6}{23} a^{6} - \frac{7}{23} a^{5} + \frac{6}{23} a^{4} - \frac{5}{23} a^{3} - \frac{9}{23} a^{2} + \frac{1}{23} a - \frac{10}{23}$, $\frac{1}{23} a^{34} - \frac{10}{23} a^{29} + \frac{11}{23} a^{28} + \frac{9}{23} a^{27} + \frac{10}{23} a^{26} - \frac{8}{23} a^{25} + \frac{6}{23} a^{24} - \frac{9}{23} a^{23} - \frac{2}{23} a^{22} - \frac{10}{23} a^{21} + \frac{7}{23} a^{19} - \frac{9}{23} a^{18} - \frac{10}{23} a^{17} - \frac{3}{23} a^{16} + \frac{2}{23} a^{15} - \frac{1}{23} a^{14} + \frac{11}{23} a^{13} - \frac{9}{23} a^{12} + \frac{7}{23} a^{11} + \frac{1}{23} a^{10} - \frac{7}{23} a^{9} + \frac{1}{23} a^{8} + \frac{1}{23} a^{7} + \frac{6}{23} a^{6} - \frac{3}{23} a^{5} + \frac{7}{23} a^{4} - \frac{10}{23} a^{3} + \frac{9}{23} a^{2} - \frac{3}{23} a - \frac{3}{23}$, $\frac{1}{23} a^{35} + \frac{3}{23} a^{29} + \frac{3}{23} a^{28} - \frac{11}{23} a^{27} - \frac{5}{23} a^{26} + \frac{8}{23} a^{25} - \frac{11}{23} a^{24} - \frac{6}{23} a^{23} - \frac{10}{23} a^{22} - \frac{10}{23} a^{21} + \frac{6}{23} a^{20} - \frac{6}{23} a^{19} + \frac{11}{23} a^{18} + \frac{10}{23} a^{17} - \frac{4}{23} a^{16} + \frac{11}{23} a^{15} - \frac{6}{23} a^{14} + \frac{2}{23} a^{13} - \frac{5}{23} a^{12} + \frac{6}{23} a^{11} - \frac{10}{23} a^{10} - \frac{10}{23} a^{9} + \frac{2}{23} a^{8} - \frac{3}{23} a^{7} - \frac{11}{23} a^{5} - \frac{9}{23} a^{4} + \frac{7}{23} a^{3} - \frac{10}{23} a^{2} + \frac{11}{23} a - \frac{6}{23}$, $\frac{1}{226829381} a^{36} + \frac{321116}{226829381} a^{35} - \frac{4540249}{226829381} a^{34} + \frac{155999}{226829381} a^{33} - \frac{3016489}{226829381} a^{32} + \frac{3645587}{226829381} a^{31} - \frac{3407166}{226829381} a^{30} + \frac{10916726}{226829381} a^{29} - \frac{80722263}{226829381} a^{28} + \frac{78202635}{226829381} a^{27} - \frac{56544752}{226829381} a^{26} + \frac{22074893}{226829381} a^{25} - \frac{34370444}{226829381} a^{24} + \frac{103568165}{226829381} a^{23} + \frac{66446868}{226829381} a^{22} - \frac{25242543}{226829381} a^{21} - \frac{52245798}{226829381} a^{20} + \frac{30088866}{226829381} a^{19} + \frac{8901809}{226829381} a^{18} + \frac{20742133}{226829381} a^{17} - \frac{4688348}{9862147} a^{16} - \frac{95233438}{226829381} a^{15} - \frac{75260794}{226829381} a^{14} - \frac{107180447}{226829381} a^{13} + \frac{14559111}{226829381} a^{12} + \frac{90706519}{226829381} a^{11} - \frac{240298}{2202227} a^{10} + \frac{103434284}{226829381} a^{9} + \frac{68540936}{226829381} a^{8} + \frac{66836954}{226829381} a^{7} + \frac{574362}{2202227} a^{6} - \frac{95560780}{226829381} a^{5} + \frac{7339899}{226829381} a^{4} + \frac{59312784}{226829381} a^{3} + \frac{34709851}{226829381} a^{2} + \frac{26816937}{226829381} a - \frac{307237}{1253201}$, $\frac{1}{226829381} a^{37} - \frac{1416673}{226829381} a^{35} - \frac{4023568}{226829381} a^{34} + \frac{2915387}{226829381} a^{33} - \frac{3688882}{226829381} a^{32} - \frac{3149064}{226829381} a^{31} - \frac{154198}{226829381} a^{30} + \frac{135016}{428789} a^{29} - \frac{13867218}{226829381} a^{28} - \frac{1598519}{226829381} a^{27} - \frac{77634426}{226829381} a^{26} + \frac{28998893}{226829381} a^{25} - \frac{100405617}{226829381} a^{24} - \frac{77966108}{226829381} a^{23} + \frac{109883207}{226829381} a^{22} + \frac{63159331}{226829381} a^{21} + \frac{20114678}{226829381} a^{20} - \frac{12666012}{226829381} a^{19} + \frac{70475533}{226829381} a^{18} - \frac{91082307}{226829381} a^{17} + \frac{93960146}{226829381} a^{16} + \frac{34547563}{226829381} a^{15} - \frac{80107224}{226829381} a^{14} + \frac{55891483}{226829381} a^{13} - \frac{40341771}{226829381} a^{12} + \frac{18751252}{226829381} a^{11} - \frac{95048570}{226829381} a^{10} - \frac{44053176}{226829381} a^{9} - \frac{22975517}{226829381} a^{8} + \frac{111660931}{226829381} a^{7} - \frac{39425883}{226829381} a^{6} - \frac{95828032}{226829381} a^{5} - \frac{73390881}{226829381} a^{4} + \frac{12294510}{226829381} a^{3} - \frac{28056818}{226829381} a^{2} + \frac{46090165}{226829381} a - \frac{404025}{1253201}$, $\frac{1}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{38} + \frac{6644361728821942617283230502540176904683410648920464146041715633348450137926119118257168836363235934402120410331848096456379411579345900162471664535796318691946221618791}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{37} + \frac{8426976055685845987867645943156435835071001123920401091649530672576937802980822793576262183854958713280819644721701839498234565998571011781454541338383840368328746066442}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{36} + \frac{23863429571748570725033393989424572364538177848224813501940972715617055833298056643345238892824199269295914462620236514423487172416379146291374168729541367678499693551913812912}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{35} + \frac{57778257651762352778738609307950558032593090788993771724752240166697599592818010372213191923922101158773239590618261367577697756887207992634545809408151959537585410760177480373}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{34} - \frac{130143866299094192333698028643158865342993137113889344406803008751138352270531224694305551885394326030466703318157163362215489062350680447646342535912805670475078333631075241925}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{33} + \frac{50654838861253893761312334668437971203344262478770973722772911670150180508669799574060388562648029659030018520396310433492147772746556352890170106464553350655527016080671014941}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{32} + \frac{121759825455305045977326605474791839669396973789034391434426251020256383208192983830150144870645285212659419689876702312364560247071491210897516979172235109027280727940667273795}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{31} - \frac{115543926169514533223763879729819423999245674591424727912663032128717093977779717374834975803455363478791246202996578188534759852072929852812020689324072144164634847245257290157}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{30} - \frac{1610406561240753353399691892075072670497958321357569830549218253905782391397355744684956659149053892922830377641396851926348612766307167367172879593191814437982512016203709536011}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{29} - \frac{2359310416659539052397954221468442384900487235711764865196748440204849095232373513208697490387957516902093488124365627627408259441165330343175865288707083062926110850979083200683}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{28} - \frac{2042701931737220959713209390817422945817316306126315804725089045928746187394179948892756575007006831721071365688591947042745077190854215119439458224587971114181983313966299040147}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{27} - \frac{825691917729871460252780927068817365176043166281143179733165139764099887340664235867402665269161801826629092897708924347493955038881332405038023192026999939096877962667406782903}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{26} - \frac{1045133844388536710462738558317365881657075486453576012600183924484256712738217678213028266669269649462085639627629168878094795673871895621313427370870775876791581093623207565685}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{25} - \frac{1038248095026471513722653684110174259815572069642129929670287527786438592764390891009082357424757795417662593326536465312115859320211276507467330975232284410995382756460375052159}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{24} - \frac{2349382838675844972577254750982955291387397501891875169414921746084426060157243453157143141808378103637592512092414639974138494633198626853791731829681277331411958223583695643495}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{23} - \frac{1485809419024067130817609807193858586821345365395273367456405323512627543671173429242688111804326797387523348877450895482654370100239718624659537635959463966706675379255193272384}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{22} + \frac{1104299078620997135228593053036076431037263829279585867327593944203386472214275868372167608801421934072852255541263838587988124339811141514768281067446082221065816211463245236055}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{21} + \frac{1691508379832514901858659587735584211464334759367093233386063652647652451742090906829074567210428155146140129099264467842805401346153987709040887543301056986839894426766772122327}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{20} - \frac{34632748980288552976272112348368590982175801787186009126794590709462027009463855501397674315633309742153423297076787680960672400946235923989910209734052722609264957624341174929}{278462460478387496276172391461328843793820641062097724490350892887576067129485680154182843547800609610097450793515453539471496995500243728257110465362842741719571972798612803417} a^{19} + \frac{396028380666073253964936444503372484747361498746491968064860655058246104817079320811177353570644059514373043428653431348928267898033340274897452319006707567131300969196797609137}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{18} + \frac{1543599396907697625504193071436981777556551124178970050399657421608227569762084545725594119163446343856843710270539425766789004306577883369802811396434632985607482227159834304041}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{17} + \frac{1431543453071941665852537361190981213223804612411488237777286938378686780678426857694092320326842106970844502888351369414449967278896679679090525656943345224759447366125855972030}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{16} - \frac{3121796473571452324050685328784421630147819908260417614058017150923275540970176385448844621736849884965292828389803088793083911055921111864981718567204350822033409057583922382359}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{15} + \frac{2257377473957669914051229684643995540834813878417973420044214695245033220253896049672999542869899514126072803609110614624292890834170334925236528834452340049003386813701914030358}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{14} + \frac{2874172127661532108615519522547738658342830687995790134859355573444428675473668085921124548858583200436285759225082544608117121673507472786554934492488833990748909699989908378418}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{13} - \frac{1312517619097330175186613201043696310595733036080190006126013252975278210162564318468962592474564335700747996544746289437789038394099186074353916036075947838530176096074194458117}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{12} - \frac{2193883482384478186630821697318406978449009916992550045748327597697793297721549698943945699259026432324066543157089836248904287456100324425816228789202570328163855419495991891705}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{11} + \frac{1539381258367213132508186653549945124445559699269773545045035294389701586638811876119927216615561322641786341544457186609614890720876444751922777621232377789488419799516284739393}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{10} + \frac{1750870202168886397519088754997339981333195546448090864449937181222122694847336768218883556100763613600950995254048389936442741355135742276781991087605733560022981051357155211045}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{9} + \frac{615965573376586621722888340004711946223795444344617475444259774081797177447397820538469965322791335749151253873580790916579727158102138247853059201360884991727630215834099950203}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{8} + \frac{18713305815628057822011159619607941192756543204306266964237709847186647996089546156282282086379570721277209803598811322045287994643504411342815140061269745673454849547111365576}{278462460478387496276172391461328843793820641062097724490350892887576067129485680154182843547800609610097450793515453539471496995500243728257110465362842741719571972798612803417} a^{7} - \frac{369258149386415262575310225656757584299930463670309326907238815760500379906249420023760555216330156233903964688657800358170421089882750011006417901662430734383792844958319633170}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{6} + \frac{942820235300019116038035780094236815535186395309827069563501028763426958057855044870876922287950247381603595576260798486031271365190393431951359513314043667598703754915216333353}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{5} + \frac{2023515838166478668005849537989477565168988171518840845235585309760865087864267461221242382288039703524248651376115615063698494187205289462283215944704330185462188638869502662545}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{4} + \frac{340104708249237134021786080133499632718499691085056544261544025268619213923117690302191837899544938261979431996644856319539024296488487874239728994828970378756954001560316017044}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{3} + \frac{2683076579301398210703166679411269894135374712577175070540461137604656838476501770526549955965786960023850868792545481147011595497295401067883856297597630179268952188812600431763}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a^{2} - \frac{2247528791773981466977882067792232533450519385931041208573778333350521249505018238028478412367291456076681606516087180979349595006419684036626723624343285428867562990758662459411}{6404636591002912414351965003610563407257874744428247663278070536414249543978170643546205401599414021032241368250855431407844430896505605749913540703345383059550155374368094478591} a + \frac{2683779398819190650048196040365958702381594207691629094926174405299442335477282554524321624069900042384560244840533485750028447877843793504737610749956362870214270938072575970}{35384732546977416653878259688456151421314225107338384879989339980189223999879395820697267412151458679736140156082074206673173651361909424032671495598593276572100305935735328611}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $38$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{39}$ (as 39T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 39
The 39 conjugacy class representatives for $C_{39}$
Character table for $C_{39}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 13.13.59091511031674153381441.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $39$ R $39$ $39$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/17.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/19.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/23.3.0.1}{3} }^{13}$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/37.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/53.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
79Data not computed