↑

Properties

Label 39.39.1208866964...5489.2
Degree $39$
Signature $[39, 0]$
Discriminant $7^{26}\cdot 79^{38}$
Root discriminant $258.45$
Ramified primes $7, 79$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{39}$ (as 39T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![36571406327, 181524069429, -892913278781, -5057933882725, 6905591385122, 52566975147352, -10510715956375, -252040837202603, -85745300820944, 580854022082499, 343123809068303, -723715965685304, -549595953418310, 517783387282365, 489275966728363, -212548013703570, -268603953306336, 43535191283083, 95542005646477, 201147288071, -22664595762180, -2514455451909, 3652383956122, 698746620334, -404054826285, -104944361700, 30713447955, 10115860876, -1582974014, -658679661, 53273410, 29336001, -1067223, -882381, 9403, 17177, 37, -196, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - x^38 - 196*x^37 + 37*x^36 + 17177*x^35 + 9403*x^34 - 882381*x^33 - 1067223*x^32 + 29336001*x^31 + 53273410*x^30 - 658679661*x^29 - 1582974014*x^28 + 10115860876*x^27 + 30713447955*x^26 - 104944361700*x^25 - 404054826285*x^24 + 698746620334*x^23 + 3652383956122*x^22 - 2514455451909*x^21 - 22664595762180*x^20 + 201147288071*x^19 + 95542005646477*x^18 + 43535191283083*x^17 - 268603953306336*x^16 - 212548013703570*x^15 + 489275966728363*x^14 + 517783387282365*x^13 - 549595953418310*x^12 - 723715965685304*x^11 + 343123809068303*x^10 + 580854022082499*x^9 - 85745300820944*x^8 - 252040837202603*x^7 - 10510715956375*x^6 + 52566975147352*x^5 + 6905591385122*x^4 - 5057933882725*x^3 - 892913278781*x^2 + 181524069429*x + 36571406327)
 
gp: K = bnfinit(x^39 - x^38 - 196*x^37 + 37*x^36 + 17177*x^35 + 9403*x^34 - 882381*x^33 - 1067223*x^32 + 29336001*x^31 + 53273410*x^30 - 658679661*x^29 - 1582974014*x^28 + 10115860876*x^27 + 30713447955*x^26 - 104944361700*x^25 - 404054826285*x^24 + 698746620334*x^23 + 3652383956122*x^22 - 2514455451909*x^21 - 22664595762180*x^20 + 201147288071*x^19 + 95542005646477*x^18 + 43535191283083*x^17 - 268603953306336*x^16 - 212548013703570*x^15 + 489275966728363*x^14 + 517783387282365*x^13 - 549595953418310*x^12 - 723715965685304*x^11 + 343123809068303*x^10 + 580854022082499*x^9 - 85745300820944*x^8 - 252040837202603*x^7 - 10510715956375*x^6 + 52566975147352*x^5 + 6905591385122*x^4 - 5057933882725*x^3 - 892913278781*x^2 + 181524069429*x + 36571406327, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{39} - x^{38} - 196 x^{37} + 37 x^{36} + 17177 x^{35} + 9403 x^{34} - 882381 x^{33} - 1067223 x^{32} + 29336001 x^{31} + 53273410 x^{30} - 658679661 x^{29} - 1582974014 x^{28} + 10115860876 x^{27} + 30713447955 x^{26} - 104944361700 x^{25} - 404054826285 x^{24} + 698746620334 x^{23} + 3652383956122 x^{22} - 2514455451909 x^{21} - 22664595762180 x^{20} + 201147288071 x^{19} + 95542005646477 x^{18} + 43535191283083 x^{17} - 268603953306336 x^{16} - 212548013703570 x^{15} + 489275966728363 x^{14} + 517783387282365 x^{13} - 549595953418310 x^{12} - 723715965685304 x^{11} + 343123809068303 x^{10} + 580854022082499 x^{9} - 85745300820944 x^{8} - 252040837202603 x^{7} - 10510715956375 x^{6} + 52566975147352 x^{5} + 6905591385122 x^{4} - 5057933882725 x^{3} - 892913278781 x^{2} + 181524069429 x + 36571406327 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $39$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[39, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(12088669642594427834079815641631684897704150233955220736437592661471356964310045748175158745489=7^{26}\cdot 79^{38}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $258.45$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $7, 79$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(553=7\cdot 79\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{553}(512,·)$, $\chi_{553}(1,·)$, $\chi_{553}(130,·)$, $\chi_{553}(8,·)$, $\chi_{553}(9,·)$, $\chi_{553}(268,·)$, $\chi_{553}(141,·)$, $\chi_{553}(526,·)$, $\chi_{553}(529,·)$, $\chi_{553}(366,·)$, $\chi_{553}(22,·)$, $\chi_{553}(23,·)$, $\chi_{553}(25,·)$, $\chi_{553}(163,·)$, $\chi_{553}(550,·)$, $\chi_{553}(302,·)$, $\chi_{553}(431,·)$, $\chi_{553}(176,·)$, $\chi_{553}(177,·)$, $\chi_{553}(310,·)$, $\chi_{553}(184,·)$, $\chi_{553}(64,·)$, $\chi_{553}(198,·)$, $\chi_{553}(72,·)$, $\chi_{553}(204,·)$, $\chi_{553}(207,·)$, $\chi_{553}(337,·)$, $\chi_{553}(478,·)$, $\chi_{553}(95,·)$, $\chi_{553}(225,·)$, $\chi_{553}(484,·)$, $\chi_{553}(485,·)$, $\chi_{553}(81,·)$, $\chi_{553}(361,·)$, $\chi_{553}(487,·)$, $\chi_{553}(494,·)$, $\chi_{553}(506,·)$, $\chi_{553}(123,·)$, $\chi_{553}(200,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $\frac{1}{103} a^{31} + \frac{11}{103} a^{30} + \frac{40}{103} a^{29} + \frac{24}{103} a^{28} - \frac{3}{103} a^{27} + \frac{11}{103} a^{26} - \frac{21}{103} a^{25} - \frac{44}{103} a^{24} - \frac{38}{103} a^{23} + \frac{17}{103} a^{22} + \frac{42}{103} a^{21} - \frac{47}{103} a^{20} - \frac{36}{103} a^{19} - \frac{49}{103} a^{18} + \frac{10}{103} a^{17} + \frac{36}{103} a^{16} - \frac{14}{103} a^{15} + \frac{32}{103} a^{14} + \frac{43}{103} a^{13} - \frac{31}{103} a^{12} - \frac{19}{103} a^{11} + \frac{28}{103} a^{10} - \frac{8}{103} a^{9} - \frac{51}{103} a^{8} + \frac{45}{103} a^{7} + \frac{29}{103} a^{6} + \frac{16}{103} a^{5} + \frac{29}{103} a^{4} + \frac{28}{103} a^{3} - \frac{26}{103} a^{2} - \frac{31}{103} a + \frac{14}{103}$, $\frac{1}{103} a^{32} + \frac{22}{103} a^{30} - \frac{4}{103} a^{29} + \frac{42}{103} a^{28} + \frac{44}{103} a^{27} - \frac{39}{103} a^{26} - \frac{19}{103} a^{25} + \frac{34}{103} a^{24} + \frac{23}{103} a^{23} - \frac{42}{103} a^{22} + \frac{6}{103} a^{21} - \frac{34}{103} a^{20} + \frac{38}{103} a^{19} + \frac{34}{103} a^{18} + \frac{29}{103} a^{17} + \frac{2}{103} a^{16} - \frac{20}{103} a^{15} + \frac{11}{103} a^{13} + \frac{13}{103} a^{12} + \frac{31}{103} a^{11} - \frac{7}{103} a^{10} + \frac{37}{103} a^{9} - \frac{12}{103} a^{8} + \frac{49}{103} a^{7} + \frac{6}{103} a^{6} - \frac{44}{103} a^{5} + \frac{18}{103} a^{4} - \frac{25}{103} a^{3} + \frac{49}{103} a^{2} + \frac{46}{103} a - \frac{51}{103}$, $\frac{1}{103} a^{33} - \frac{40}{103} a^{30} - \frac{14}{103} a^{29} + \frac{31}{103} a^{28} + \frac{27}{103} a^{27} + \frac{48}{103} a^{26} - \frac{19}{103} a^{25} - \frac{39}{103} a^{24} - \frac{30}{103} a^{23} + \frac{44}{103} a^{22} - \frac{31}{103} a^{21} + \frac{42}{103} a^{20} + \frac{2}{103} a^{19} - \frac{26}{103} a^{18} - \frac{12}{103} a^{17} + \frac{12}{103} a^{16} - \frac{1}{103} a^{15} + \frac{28}{103} a^{14} - \frac{6}{103} a^{13} - \frac{8}{103} a^{12} - \frac{1}{103} a^{11} + \frac{39}{103} a^{10} - \frac{42}{103} a^{9} + \frac{38}{103} a^{8} + \frac{46}{103} a^{7} + \frac{39}{103} a^{6} - \frac{25}{103} a^{5} - \frac{45}{103} a^{4} + \frac{51}{103} a^{3} + \frac{13}{103} a + \frac{1}{103}$, $\frac{1}{103} a^{34} + \frac{14}{103} a^{30} - \frac{17}{103} a^{29} - \frac{43}{103} a^{28} + \frac{31}{103} a^{27} + \frac{9}{103} a^{26} + \frac{48}{103} a^{25} - \frac{39}{103} a^{24} - \frac{34}{103} a^{23} + \frac{31}{103} a^{22} - \frac{29}{103} a^{21} - \frac{24}{103} a^{20} - \frac{24}{103} a^{19} - \frac{15}{103} a^{18} - \frac{3}{103} a^{16} - \frac{17}{103} a^{15} + \frac{38}{103} a^{14} - \frac{39}{103} a^{13} - \frac{5}{103} a^{12} + \frac{48}{103} a^{10} + \frac{27}{103} a^{9} - \frac{37}{103} a^{8} - \frac{15}{103} a^{7} + \frac{2}{103} a^{6} - \frac{23}{103} a^{5} - \frac{25}{103} a^{4} - \frac{13}{103} a^{3} + \frac{3}{103} a^{2} - \frac{3}{103} a + \frac{45}{103}$, $\frac{1}{103} a^{35} + \frac{35}{103} a^{30} + \frac{15}{103} a^{29} + \frac{4}{103} a^{28} + \frac{51}{103} a^{27} - \frac{3}{103} a^{26} + \frac{49}{103} a^{25} - \frac{36}{103} a^{24} + \frac{48}{103} a^{23} + \frac{42}{103} a^{22} + \frac{6}{103} a^{21} + \frac{16}{103} a^{20} - \frac{26}{103} a^{19} - \frac{35}{103} a^{18} - \frac{40}{103} a^{17} - \frac{6}{103} a^{16} + \frac{28}{103} a^{15} + \frac{28}{103} a^{14} + \frac{11}{103} a^{13} + \frac{22}{103} a^{12} + \frac{5}{103} a^{11} + \frac{47}{103} a^{10} - \frac{28}{103} a^{9} - \frac{22}{103} a^{8} - \frac{10}{103} a^{7} - \frac{17}{103} a^{6} - \frac{43}{103} a^{5} - \frac{7}{103} a^{4} + \frac{23}{103} a^{3} - \frac{51}{103} a^{2} - \frac{36}{103} a + \frac{10}{103}$, $\frac{1}{103} a^{36} + \frac{42}{103} a^{30} + \frac{46}{103} a^{29} + \frac{35}{103} a^{28} - \frac{1}{103} a^{27} - \frac{27}{103} a^{26} - \frac{22}{103} a^{25} + \frac{43}{103} a^{24} + \frac{33}{103} a^{23} + \frac{29}{103} a^{22} - \frac{12}{103} a^{21} - \frac{29}{103} a^{20} - \frac{11}{103} a^{19} + \frac{27}{103} a^{18} - \frac{47}{103} a^{17} + \frac{4}{103} a^{16} + \frac{3}{103} a^{15} + \frac{24}{103} a^{14} - \frac{41}{103} a^{13} - \frac{43}{103} a^{12} - \frac{9}{103} a^{11} + \frac{22}{103} a^{10} - \frac{51}{103} a^{9} + \frac{24}{103} a^{8} - \frac{47}{103} a^{7} - \frac{28}{103} a^{6} + \frac{51}{103} a^{5} + \frac{38}{103} a^{4} - \frac{1}{103} a^{3} + \frac{50}{103} a^{2} - \frac{38}{103} a + \frac{25}{103}$, $\frac{1}{276761} a^{37} - \frac{1154}{276761} a^{36} - \frac{289}{276761} a^{35} + \frac{1115}{276761} a^{34} + \frac{1075}{276761} a^{33} + \frac{1039}{276761} a^{32} - \frac{728}{276761} a^{31} - \frac{101924}{276761} a^{30} - \frac{25508}{276761} a^{29} - \frac{86114}{276761} a^{28} + \frac{131685}{276761} a^{27} - \frac{131895}{276761} a^{26} - \frac{98359}{276761} a^{25} - \frac{111833}{276761} a^{24} - \frac{85923}{276761} a^{23} - \frac{104218}{276761} a^{22} + \frac{51541}{276761} a^{21} - \frac{86330}{276761} a^{20} + \frac{7413}{276761} a^{19} + \frac{69709}{276761} a^{18} - \frac{22002}{276761} a^{17} - \frac{63256}{276761} a^{16} - \frac{111600}{276761} a^{15} + \frac{108100}{276761} a^{14} + \frac{41383}{276761} a^{13} - \frac{57967}{276761} a^{12} - \frac{86795}{276761} a^{11} + \frac{68893}{276761} a^{10} + \frac{90348}{276761} a^{9} - \frac{18163}{276761} a^{8} - \frac{125664}{276761} a^{7} - \frac{97920}{276761} a^{6} - \frac{76090}{276761} a^{5} - \frac{271}{276761} a^{4} - \frac{117193}{276761} a^{3} + \frac{29217}{276761} a^{2} + \frac{77968}{276761} a - \frac{53529}{276761}$, $\frac{1}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{38} - \frac{48992259811696690128034541836234901140579385900635222427617983526642665391704602339739035284272189658238066007900909452741513101048556989651848217864069775840694168124440954578713556237040903819496537141601130450647180491711338}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{37} + \frac{103970406652887235036004575645308215972782000163895205979111701150874599666153222068502664696198302921361260455313744747324657373759744044497761062073951662751104886721898228808812187128659443939180040522754619444774025671737909596}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{36} + \frac{93792834345714630995289895516254155671103671249443894788746265626342162782749424110257828239598989947188921264242243299005989002741940597172591352061325237150287621859178435202300871906777235078971958602801449416049580164108959990}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{35} + \frac{143021462417003986734257614045791487674329579093329411394817348976736026826663986006840499177023927551917632776413995629753455059096964737521487174783101526124087342247281892972044042115263970339505576916282241014422508526530100701}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{34} + \frac{90194700481966341962312124621012270685810180389060113133412158266922452167236415025054606586837552295998310392841848292657828918781254332234859607211761308431905362091220090691818806766611783664831768436609224003393100527330380414}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{33} - \frac{114869865535004493593291850795397246163829036058956207043120293268787049208326394145734122075118699884091358438225731773284644520678481033054412704880592355710014096262188526233328165632741392879966343073071874895582377478106327962}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{32} - \frac{33805981542542737714235776689090848266372349985035753500809637126717269148173531063117417081187005409729255123943282298198100830756885722652959372868327579485854301684841352141601629556641888381154450423378502135644893226082833491}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{31} + \frac{11101841329115833328727615576051106354093827335460309746644015774438191322761471118880031282066917741478445708191471424495665510085477956726508020317387051955935272046009569335184469593478732026940012699665036793002439608636006189942}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{30} - \frac{4342014861049280209020910114593767086891675845718252157145928861455614782834588824934983065979472812160310212278107094656819415102497315883467905863535999865097489165161330920718167208770407348153073280782221989678507401494388944399}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{29} - \frac{2369431664347763733578524564035949024334520845760834324655537606361307973709549767035996234969344719789650988669306390029857799985502875670410058914182480042145570843293417320511357092929833020227696043098601822335950938318094659012}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{28} - \frac{7689328871586868149402413318137600677539794345055953043783901829117285196967153279215292514193204114261908285135783503867681892939509834331609055888136520277578334506229539205351585969059748483449973047457547754977535419826393880443}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{27} - \frac{11367929865247595883369596175476293032712249205943216084863394699935497395528920644385739605761926931606509197202650639198157064547340561099310585039354316189369920771967480129714374212415203489778729000242646391771385942213877966043}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{26} - \frac{7329299833549511050756828839881180367552356291115605830599597860626750318947123663864425853930160838085766696290567703129522681910096065436241314655625859458992542369003494586995122479599270468688130650385835595199689775788369536347}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{25} - \frac{4837207174856039106798700297212080541600123371429128531521319129126808647293090832848528793175185453316083268858207698149411323078555952774643965763434333395863209544273219678864388436578405071336536683026397644954351994512404457122}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{24} + \frac{3640877582572904433075703428471397409006789666792985452666779222071633027755374193355446927348733836780558795632418912452576890492330483278492702904304585547486701780174873038842668299927247298296974203309602890269281162226532312222}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{23} + \frac{3813229988295922883447844801532659776553475819023208058327651605299894788375803469567703536320030725181510730460151261732849515097369082629363671204663000621483576646777305167746725131475839621978064406273068919143019633115533440303}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{22} - \frac{9752454365686811978645557958599306419045010808544656920435196383146764659995204887865946892811373609651107894916876114351987571671754661202520546985764112135900704880539209580306856317276299475268723368282760405248198463486655144658}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{21} + \frac{14931349367159420206688740485793695863396418783690555944248830108892919984288184833045984860022318054725732146625489102424274399936653366091345570579301916439859312504033396178037662591627419704800431742628779984291816247872522465326}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{20} + \frac{14321384671383584956637407680344967144411841075247062452652170393695779065976142502910761284347543102176210309934250352270066582785249577690242787168586207143567223509334185311115646248593190039544478231741912421659458077097810991716}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{19} - \frac{10848170860456038455471042429863601491098118549477851477119240556348877491341590037182936256375197200607044147566557487503223861118881980594973186804103040011983001237866590585450381691566037599209370425898832221892764394327661494481}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{18} + \frac{11300285312794286996220629083596840144394481561081581877441479228549170412270186107551072812374118396403504120765221163236562704652304480478459696667989258984613092971151917299703865879727258604081219525522760009144445986420091703286}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{17} + \frac{10767628311429671115109183940526199325681890314491891599026020510168938318671871733835668455273409673256352047406679330109858059557635080728917570652353293280675786033139872039546099029396018991181538567270769271427247921268402345015}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{16} - \frac{7678879989362165140616578923919595292477536788642749989360575569028674149492390145603447040494047630885759394325336409570417309163769792876074148092884349227419158777317832042395083924452149737279231600384188344759159930673583354319}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{15} + \frac{1546689449872125542383782829749835171164275857057673438749541182215614632822694895550106699452507756475900541344506588493041022183242194920480535174873090983449852728962253631056629828927340790600720627358604378086458133569926553013}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{14} - \frac{13385844349732025660194825183446967157232080798629662651710772793645637321329524556683319708327639854917673715928938918925765408742710620397009665069074637299805932208153706320201219548356139815792684583774297667179491702953531538740}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{13} - \frac{14677803218134498494855057490885966604006187596102766879616910509052578843465250497232971180016845538131939835067865758049172152642172738522659254656257694420111780472744230240355615853260650010754963824308887850263384121673585564506}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{12} + \frac{6268856815310195223282073688783263529983245661477726374522722180015798948297729943187352024482252601840101521859816571042460036434064280236775990313298764021794745385343321909555169860438371416169143433097714793390801749072822646590}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{11} + \frac{13063722091608121694227187920454762517007596135328302570202318522573658100456636452794985893898761412034262619427704444744398300788628925377608001084080265153729291919029412564641574061536773708125159745848485792791060602104548634639}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{10} + \frac{4788229233438180357413387239187965358440984432156596772303352419751684035238869546851699676927618360024837726351658759707428252028876946401266522083920471221045797771755003409094143308710060402002327850178340397777350617486186758673}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{9} - \frac{985638022043537859435697152257749625287450944656049999866863930779739147796388354322218701907418099730023215307354739554226691864387421993689956818083933531036922923064622253507504905900582777201282358144949632645641844107366407508}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{8} + \frac{2935680859608671142263362590216183591682257590627449354003673565596183203690814952661659802540542246930403926841907404011018996625186499449800959370445101980510783258954429141313431036379395506430283349273449425351624194944507245623}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{7} - \frac{535905704881631649549159600896931036464184479478477905667572962111756990193102870608199963047750222464920996055239567434573691532101595436964216540997253294704905353500744779180417556579266006550738017238618203593170142072500840113}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{6} - \frac{4951636963276167127253370769555518318126354116261017915351288266201891265985235889882069110218250804416274269970927638192546509941414264120743978650379023338183552445467726087116010329960720562335375560363408396551026561993456736608}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{5} - \frac{14217767168793577236021611183823906633488650810303953382507374500443633761076901486788056967794233164240104816638339157580463884503112730639786695370685844931051266497652533671998750487455883526657714810402738915919044928071164254883}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{4} - \frac{6786697382735326849594553601298999839709939702699114585075262502291703638937271861739321291551713793348129310876638779210347223044577010262498117652415752765870088663987364632510250324290815163835394036667700525765617152893983535788}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{3} - \frac{3000349169450218265447381755116415554246945892295994030029252746372600365674995663678314198282382180986995062429458823329986976917039792710500362698553883036290018411677369690373438574315452627257637945120643533116043157506787770856}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a^{2} - \frac{2794562011161630123868976064738505414949237510788642656916917078694419468264188115084524256919927821542489347128699332255815004242752018082184916241963949575157049802408247480288749211230998972474224295056946974995387960933745525320}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157} a + \frac{11416526917047647904284033391533824740689463482939249262685961619305217443927049151573526076299303463114446598225521380836120736530537522961704899349193780865426592479081437131412660557570120671731589087104617968954165931430174320093}{31376262913471987123776727758512556025409671347453540274235972193139233156415253122275821735879696547269611985768961893135549644606343877458335738338449941585894243062142474618542061016821682655955073308084022335620897168385254811157}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $38$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{39}$ (as 39T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 39
The 39 conjugacy class representatives for $C_{39}$
Character table for $C_{39}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.305809.1, 13.13.59091511031674153381441.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ R ${\href{/LocalNumberField/11.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/23.3.0.1}{3} }^{13}$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/31.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/37.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/41.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/53.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
7Data not computed
79Data not computed