↑

Properties

Label 39.39.1208866964...5489.1
Degree $39$
Signature $[39, 0]$
Discriminant $7^{26}\cdot 79^{38}$
Root discriminant $258.45$
Ramified primes $7, 79$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{39}$ (as 39T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-116423735903, 789598736860, 2244998319481, -19527462450618, -4445757797975, 135236928048853, 4041363119341, -469190872234743, -86249482058917, 916306649955834, 359936453258218, -1028790083129260, -600819998721797, 679366178486570, 535079835460586, -262264312267859, -288162921569191, 52233018535617, 100148494787668, -582451600575, -23296951876563, -2495293357664, 3703719049533, 701275142050, -406462457224, -105181421187, 30773254905, 10123695780, -1583577890, -658772565, 53273410, 29336001, -1067223, -882381, 9403, 17177, 37, -196, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - x^38 - 196*x^37 + 37*x^36 + 17177*x^35 + 9403*x^34 - 882381*x^33 - 1067223*x^32 + 29336001*x^31 + 53273410*x^30 - 658772565*x^29 - 1583577890*x^28 + 10123695780*x^27 + 30773254905*x^26 - 105181421187*x^25 - 406462457224*x^24 + 701275142050*x^23 + 3703719049533*x^22 - 2495293357664*x^21 - 23296951876563*x^20 - 582451600575*x^19 + 100148494787668*x^18 + 52233018535617*x^17 - 288162921569191*x^16 - 262264312267859*x^15 + 535079835460586*x^14 + 679366178486570*x^13 - 600819998721797*x^12 - 1028790083129260*x^11 + 359936453258218*x^10 + 916306649955834*x^9 - 86249482058917*x^8 - 469190872234743*x^7 + 4041363119341*x^6 + 135236928048853*x^5 - 4445757797975*x^4 - 19527462450618*x^3 + 2244998319481*x^2 + 789598736860*x - 116423735903)
 
gp: K = bnfinit(x^39 - x^38 - 196*x^37 + 37*x^36 + 17177*x^35 + 9403*x^34 - 882381*x^33 - 1067223*x^32 + 29336001*x^31 + 53273410*x^30 - 658772565*x^29 - 1583577890*x^28 + 10123695780*x^27 + 30773254905*x^26 - 105181421187*x^25 - 406462457224*x^24 + 701275142050*x^23 + 3703719049533*x^22 - 2495293357664*x^21 - 23296951876563*x^20 - 582451600575*x^19 + 100148494787668*x^18 + 52233018535617*x^17 - 288162921569191*x^16 - 262264312267859*x^15 + 535079835460586*x^14 + 679366178486570*x^13 - 600819998721797*x^12 - 1028790083129260*x^11 + 359936453258218*x^10 + 916306649955834*x^9 - 86249482058917*x^8 - 469190872234743*x^7 + 4041363119341*x^6 + 135236928048853*x^5 - 4445757797975*x^4 - 19527462450618*x^3 + 2244998319481*x^2 + 789598736860*x - 116423735903, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{39} - x^{38} - 196 x^{37} + 37 x^{36} + 17177 x^{35} + 9403 x^{34} - 882381 x^{33} - 1067223 x^{32} + 29336001 x^{31} + 53273410 x^{30} - 658772565 x^{29} - 1583577890 x^{28} + 10123695780 x^{27} + 30773254905 x^{26} - 105181421187 x^{25} - 406462457224 x^{24} + 701275142050 x^{23} + 3703719049533 x^{22} - 2495293357664 x^{21} - 23296951876563 x^{20} - 582451600575 x^{19} + 100148494787668 x^{18} + 52233018535617 x^{17} - 288162921569191 x^{16} - 262264312267859 x^{15} + 535079835460586 x^{14} + 679366178486570 x^{13} - 600819998721797 x^{12} - 1028790083129260 x^{11} + 359936453258218 x^{10} + 916306649955834 x^{9} - 86249482058917 x^{8} - 469190872234743 x^{7} + 4041363119341 x^{6} + 135236928048853 x^{5} - 4445757797975 x^{4} - 19527462450618 x^{3} + 2244998319481 x^{2} + 789598736860 x - 116423735903 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $39$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[39, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(12088669642594427834079815641631684897704150233955220736437592661471356964310045748175158745489=7^{26}\cdot 79^{38}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $258.45$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $7, 79$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(553=7\cdot 79\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{553}(512,·)$, $\chi_{553}(1,·)$, $\chi_{553}(2,·)$, $\chi_{553}(4,·)$, $\chi_{553}(389,·)$, $\chi_{553}(263,·)$, $\chi_{553}(8,·)$, $\chi_{553}(128,·)$, $\chi_{553}(11,·)$, $\chi_{553}(141,·)$, $\chi_{553}(526,·)$, $\chi_{553}(16,·)$, $\chi_{553}(277,·)$, $\chi_{553}(22,·)$, $\chi_{553}(151,·)$, $\chi_{553}(408,·)$, $\chi_{553}(282,·)$, $\chi_{553}(415,·)$, $\chi_{553}(32,·)$, $\chi_{553}(44,·)$, $\chi_{553}(302,·)$, $\chi_{553}(176,·)$, $\chi_{553}(51,·)$, $\chi_{553}(445,·)$, $\chi_{553}(64,·)$, $\chi_{553}(450,·)$, $\chi_{553}(256,·)$, $\chi_{553}(204,·)$, $\chi_{553}(337,·)$, $\chi_{553}(471,·)$, $\chi_{553}(88,·)$, $\chi_{553}(347,·)$, $\chi_{553}(352,·)$, $\chi_{553}(225,·)$, $\chi_{553}(484,·)$, $\chi_{553}(102,·)$, $\chi_{553}(242,·)$, $\chi_{553}(499,·)$, $\chi_{553}(121,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $\frac{1}{23} a^{21} + \frac{9}{23} a^{20} - \frac{2}{23} a^{19} - \frac{6}{23} a^{18} - \frac{3}{23} a^{17} + \frac{11}{23} a^{16} + \frac{3}{23} a^{15} + \frac{11}{23} a^{14} + \frac{11}{23} a^{13} - \frac{9}{23} a^{12} - \frac{5}{23} a^{11} - \frac{11}{23} a^{10} - \frac{6}{23} a^{9} + \frac{8}{23} a^{8} - \frac{5}{23} a^{7} + \frac{4}{23} a^{6} - \frac{9}{23} a^{5} + \frac{1}{23} a^{4} - \frac{3}{23} a^{3} + \frac{5}{23} a^{2} - \frac{5}{23} a$, $\frac{1}{23} a^{22} + \frac{9}{23} a^{20} - \frac{11}{23} a^{19} + \frac{5}{23} a^{18} - \frac{8}{23} a^{17} - \frac{4}{23} a^{16} + \frac{7}{23} a^{15} + \frac{4}{23} a^{14} + \frac{7}{23} a^{13} + \frac{7}{23} a^{12} + \frac{11}{23} a^{11} + \frac{1}{23} a^{10} - \frac{7}{23} a^{9} - \frac{8}{23} a^{8} + \frac{3}{23} a^{7} + \frac{1}{23} a^{6} - \frac{10}{23} a^{5} + \frac{11}{23} a^{4} + \frac{9}{23} a^{3} - \frac{4}{23} a^{2} - \frac{1}{23} a$, $\frac{1}{23} a^{23} - \frac{1}{23} a$, $\frac{1}{23} a^{24} - \frac{1}{23} a^{2}$, $\frac{1}{23} a^{25} - \frac{1}{23} a^{3}$, $\frac{1}{23} a^{26} - \frac{1}{23} a^{4}$, $\frac{1}{23} a^{27} - \frac{1}{23} a^{5}$, $\frac{1}{23} a^{28} - \frac{1}{23} a^{6}$, $\frac{1}{23} a^{29} - \frac{1}{23} a^{7}$, $\frac{1}{23} a^{30} - \frac{1}{23} a^{8}$, $\frac{1}{23} a^{31} - \frac{1}{23} a^{9}$, $\frac{1}{23} a^{32} - \frac{1}{23} a^{10}$, $\frac{1}{529} a^{33} + \frac{1}{529} a^{32} - \frac{6}{529} a^{31} - \frac{2}{529} a^{30} - \frac{5}{529} a^{29} - \frac{6}{529} a^{28} - \frac{5}{529} a^{27} - \frac{9}{529} a^{26} + \frac{11}{529} a^{25} - \frac{1}{529} a^{24} - \frac{4}{529} a^{23} + \frac{10}{529} a^{22} + \frac{251}{529} a^{20} + \frac{212}{529} a^{19} + \frac{4}{529} a^{18} - \frac{11}{529} a^{17} - \frac{224}{529} a^{16} + \frac{70}{529} a^{15} + \frac{201}{529} a^{14} - \frac{206}{529} a^{13} + \frac{254}{529} a^{12} + \frac{201}{529} a^{11} - \frac{14}{529} a^{10} + \frac{74}{529} a^{9} + \frac{14}{529} a^{8} + \frac{127}{529} a^{7} + \frac{246}{529} a^{6} + \frac{20}{529} a^{5} + \frac{188}{529} a^{4} - \frac{174}{529} a^{3} - \frac{108}{529} a^{2} - \frac{167}{529} a + \frac{5}{23}$, $\frac{1}{529} a^{34} - \frac{7}{529} a^{32} + \frac{4}{529} a^{31} - \frac{3}{529} a^{30} - \frac{1}{529} a^{29} + \frac{1}{529} a^{28} - \frac{4}{529} a^{27} - \frac{3}{529} a^{26} + \frac{11}{529} a^{25} - \frac{3}{529} a^{24} - \frac{9}{529} a^{23} - \frac{10}{529} a^{22} - \frac{2}{529} a^{21} - \frac{200}{529} a^{20} - \frac{231}{529} a^{19} - \frac{84}{529} a^{18} + \frac{17}{529} a^{17} + \frac{156}{529} a^{16} - \frac{99}{529} a^{15} - \frac{16}{529} a^{14} - \frac{9}{23} a^{13} + \frac{108}{529} a^{12} - \frac{8}{529} a^{11} + \frac{226}{529} a^{10} - \frac{129}{529} a^{9} + \frac{205}{529} a^{8} - \frac{203}{529} a^{7} - \frac{180}{529} a^{6} - \frac{200}{529} a^{5} - \frac{63}{529} a^{4} - \frac{256}{529} a^{3} + \frac{263}{529} a^{2} - \frac{17}{529} a - \frac{5}{23}$, $\frac{1}{529} a^{35} + \frac{11}{529} a^{32} + \frac{1}{529} a^{31} + \frac{8}{529} a^{30} - \frac{11}{529} a^{29} + \frac{8}{529} a^{27} - \frac{6}{529} a^{26} + \frac{5}{529} a^{25} + \frac{7}{529} a^{24} + \frac{8}{529} a^{23} - \frac{1}{529} a^{22} + \frac{7}{529} a^{21} + \frac{123}{529} a^{20} + \frac{158}{529} a^{19} + \frac{45}{529} a^{18} + \frac{10}{529} a^{17} - \frac{172}{529} a^{16} + \frac{83}{529} a^{15} + \frac{27}{529} a^{14} - \frac{3}{23} a^{13} - \frac{47}{529} a^{12} - \frac{7}{23} a^{11} + \frac{72}{529} a^{10} - \frac{82}{529} a^{9} - \frac{36}{529} a^{8} - \frac{27}{529} a^{7} + \frac{119}{529} a^{6} - \frac{84}{529} a^{5} - \frac{67}{529} a^{4} - \frac{12}{529} a^{3} - \frac{14}{529} a^{2} - \frac{180}{529} a - \frac{11}{23}$, $\frac{1}{12167} a^{36} + \frac{5}{12167} a^{35} - \frac{6}{12167} a^{34} - \frac{5}{12167} a^{33} + \frac{59}{12167} a^{32} - \frac{122}{12167} a^{31} - \frac{243}{12167} a^{30} + \frac{31}{12167} a^{29} + \frac{190}{12167} a^{28} - \frac{8}{529} a^{27} - \frac{70}{12167} a^{26} - \frac{49}{12167} a^{25} - \frac{199}{12167} a^{24} - \frac{27}{12167} a^{23} - \frac{75}{12167} a^{22} - \frac{14}{12167} a^{21} - \frac{4550}{12167} a^{20} + \frac{5292}{12167} a^{19} + \frac{2423}{12167} a^{18} - \frac{738}{12167} a^{17} + \frac{5045}{12167} a^{16} + \frac{4286}{12167} a^{15} + \frac{4536}{12167} a^{14} + \frac{4928}{12167} a^{13} + \frac{4644}{12167} a^{12} + \frac{3620}{12167} a^{11} + \frac{2803}{12167} a^{10} - \frac{3938}{12167} a^{9} - \frac{879}{12167} a^{8} + \frac{159}{12167} a^{7} - \frac{1034}{12167} a^{6} - \frac{5794}{12167} a^{5} + \frac{5234}{12167} a^{4} + \frac{4844}{12167} a^{3} + \frac{3396}{12167} a^{2} + \frac{1644}{12167} a + \frac{125}{529}$, $\frac{1}{12167} a^{37} - \frac{8}{12167} a^{35} + \frac{2}{12167} a^{34} - \frac{8}{12167} a^{33} - \frac{95}{12167} a^{32} - \frac{208}{12167} a^{31} + \frac{96}{12167} a^{30} - \frac{264}{12167} a^{29} - \frac{76}{12167} a^{28} - \frac{1}{12167} a^{27} + \frac{2}{12167} a^{26} - \frac{2}{529} a^{25} + \frac{232}{12167} a^{24} - \frac{239}{12167} a^{23} + \frac{177}{12167} a^{22} - \frac{41}{12167} a^{21} - \frac{5607}{12167} a^{20} - \frac{209}{12167} a^{19} + \frac{3500}{12167} a^{18} + \frac{4825}{12167} a^{17} + \frac{60}{12167} a^{16} - \frac{2749}{12167} a^{15} + \frac{1246}{12167} a^{14} + \frac{3717}{12167} a^{13} + \frac{4251}{12167} a^{12} - \frac{3981}{12167} a^{11} - \frac{5395}{12167} a^{10} - \frac{2786}{12167} a^{9} + \frac{200}{529} a^{8} - \frac{4175}{12167} a^{7} + \frac{549}{12167} a^{6} + \frac{5408}{12167} a^{5} - \frac{3271}{12167} a^{4} + \frac{3970}{12167} a^{3} - \frac{3836}{12167} a^{2} - \frac{2194}{12167} a - \frac{165}{529}$, $\frac{1}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{38} + \frac{3906144461425822920688359717865175885339767607506926347023557949482332257190120019584807665821119625717985647195038047825752018237309127862611539901304681640292802683714024118595648201774031412125060459115182931325434223}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{37} + \frac{4030627020172847880767826912311034431409561865412887615457466610221660803125600348375439221039797342396767708852347594180926679723265034314548903095851235662075466919859486463025296659696325245374412160949462959803415197}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{36} - \frac{366065795458420195862647132887773773132452033573158917440834471387898040316053013787544604154855552732896505791469530296909660639939356307288358510065127167511682022503546896714842504502854069481889437696126440033577079822}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{35} - \frac{21990218215586807740724590620624519090257255364604321971899589299400957318407793035572945488157455260437740588762210570956617835803173432865210122698219985805167584305276422111635067491110267750515782628000260962880235866}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{34} - \frac{213318008105784624418467147914212857790976559600606932415256854677647427957305238592132942054557728815374033579399286705428818184095356478176300471724821796177928616222103963028998158123597809815989186288773138071333984536}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{33} + \frac{10122912399843309059452242405169785237727062629563593681970609195106904280284518815667707047455671224251854656252908239974018042080682315856496264127816928705960585053847958996022179537681447421077962690763715886888373980110}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{32} - \frac{10642468455835633342306395290964025667638301128464327169203211513319661890738718824295432742459445646508599134976805660747923495079059288917668423270284431487322599248715026679834069139505295563483488975783653251128058009763}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{31} + \frac{6866178331012890652723667316029644023992300574575834597516797773815183251171562005751047952712304923396435573055193940147059847407417660040330902063744400317917253071429033513186697997262000918651243186034133809410297888346}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{30} - \frac{6247950205415559870897062066045194851016356155052457233759555851615290166231048796590550963953417167969457911486225965699961728427014997289736101157813004854585619825506607953900458168374765382634314337084647658273696245171}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{29} + \frac{2604351649439599544854764520682648574674303024735101671631561952213416671625787157533303040664999736931366434344424476257563568569889921128842249550778070847269214018183326738858182516242769457557257658911906306330266643325}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{28} + \frac{8522052041761927349219975784341925737836264324300564884515472771489071014313261314439530092675334233726158549858502154899256206941439896959816046744276623938964204335123612600545423145453331008083613254643730272267315150888}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{27} + \frac{6557107309753530349061783273044701635000585920256200204677755310712456996644089710969873948261945629810869584962310936238622672689570553511682134580679827603587624735254787493375246424119940130775508335667624843305722062880}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{26} + \frac{610134509817420602988598418464644046007184502846150990001982808660711280585637162391455205909700758143962732215897890435867204489238528799175567746140129405748977337635689732773541330287393019578993469376060439727202702145}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{25} - \frac{10584714111288537288161493240343602729775890727405279832897807177086710191193545428870949835151967601895899496334800769253294969402057149603672282922848335579388781635791546092428781861978523138453473656843675992440895434835}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{24} - \frac{1917650110509296020626678180686195682443605780832455668312927438802908398905792567667071848956409017597829489069260809037691177781608725271138664911396147804046317314675515186969520155865114338017436694450847663996419435678}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{23} - \frac{5039304720358239370529852074997468170853784527339725825110562789166779766498817527927949259607699801705055614014319010296565487101177286204730720973352937360810959835441733640193135123317938698526663475137021941254712453504}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{22} + \frac{658249050733447168411848399047021942458598022590035952644444630219023588650223306130593019188031120056319689771380490238241428874941956750963565785459210719213914007181530823934782906992732778974978170833924721023507653596}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{21} - \frac{96592513804683349332316857919087013797854583926995732850203269117561479680156624894109079811412388284556463386861282229010624456754521440073757067026484191326212926296301008526755363670335426687394788851987696999892328154197}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{20} - \frac{105763116071848412631923562403500088657726237599635871492279907260229615171385304843556772988425349109114754109896219843766458130997602921654289875401796953521401985144230377612054172116273741182040238860568595578203615909539}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{19} + \frac{98190019559060773048486015445416898651767568692529932335606544513835362370908452589192496146478371633882212843299459036357518827126708892425310227825642098507681696085747444281883344753114286804355533454327978985787086227739}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{18} - \frac{203062023724387512607794893824696667283203426169797113063212518725020529482503453414420821348286195261125428203369751080902078046542526963704231746560506395162592601311409204327263903620223013664416087216625040785776125017138}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{17} + \frac{97297698599144030441431274330065647328605396384269435752841160997036044117851255606805840824614535568410931830660127872939606411602299994295674797671441289516701304374089049046294982656545139486884422144627549100120490933012}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{16} + \frac{202885911444996473341667772150987652765072065360181716652087006840021302591685860243464932786416688945981074432156776124759707180004244824751248029962469418943272635505878539126404078279231597655064220600803797259926053897666}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{15} - \frac{150470272040048473240526959945022539902316852703984662674964333997871941192258010368242480895556343593365354150640011518259930171074045110834485736909328988275786684269097530680565717915379680847286441249288077268721315981844}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{14} + \frac{20637564813644796224191281801296690492968708811975046309358515293201340985821181293714883483842310389635045126013975013543563070737717012088264124922643570460926365559924970719804386459891723134538939993289229648637884637195}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{13} - \frac{109795157189763648133672048571475542585869385396967209820500639216313814866150925110669963286172102833587666646561517818591832051533903611681950666157155884329486197403456237076979778698826744189458234928708965473853558015399}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{12} - \frac{64141599094317040543300669872426118565886029742584218414767488283006860082964368004969350527403026205924490213624181182796592814526601994941668048299967372939458657567832122313312326956264157307372568805455652859511192636244}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{11} + \frac{90353635303418431014904445965245945862021583995084891717095748412079971102510722343183391688649616162352712475504950397871310580826924443591617947995630871853653992693113855999721885766544237736411232783452290033753099067386}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{10} + \frac{89639993925928847891233183932970876219144528489867722885331557656542226269061066842217592490029990727433963369354142225250398339760970975663414661775890756740166205100946404089288282266675583945855861856485618603957409335183}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{9} - \frac{82480819831532593502832964949386626875828507826001852488260285733950808303024030294983159723302277187666944853862220866697385788825468992880466353304112685880259802028345488341485177601709473874000395195824562045548132757013}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{8} + \frac{180383429251187214581842112404544833069382348381954515663581822417310463344686039024331895986776386445723034555451308257068432820986708626894399916522618546158381403422861986069271467299451176488380233530714178529107221549866}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{7} - \frac{233109282141994698592309017488000074234460133803537773991056532851371148289323718406534720083959927549578950456441424351712763613506049857014299603709288618962058514191567724754111840616726401442722679162808500943928765029531}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{6} + \frac{84231867298091344514932518136182138661183904491605377965939155484593174082021517127778481932189677777948685491568592643320997481582872066221393377168444496585525870892209924262835957048594117478250919024953503305641931826134}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{5} + \frac{163538208664143605784237977856818255851968372175320476710995928733825520525222994112252941369309932567930924358314305275851365700691490670104112609510953698637221953939789078248539549327120703791416855767252707303692686250976}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{4} - \frac{246528709610074937754587213844022590948928639172434619672088276627522137479536805858293511408458925654736232120024720956437689696949212107849581966349479988829393113182412342347372821306686411680822662043571014210065837809392}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{3} - \frac{174201040916428843275247449806506372280936853425444092138519691038077125887494824750842342509117207912593527446983017735975386216901219885541407285896678764113187735348595099677541349469582015246991996251161499108617666448206}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a^{2} + \frac{197008605585878972933257037010546389712344679071819292413693208843979011195169518269674484166114513614005492132191308765140441358089477855006842995406840178229754915751784578484040043041377099848323117005644767745875891468131}{497777394015817434998920585499780050632786950911069020690727481641726318635685113440165176831466873236461446798990424218810656231972124404882125699008525459036019510454070904278174501345804121299576143754242953196958607264577} a - \frac{5100815241791114696086086649548704909576878394973264200914906347634303689613345135699634242139421182232872307531647750242625640655244077865812196567317596957045439091642727397364918921146307934703714311976849995677113413}{34298724868450178116097332426085581935698129326195067917779058888012562436138986663003181756457443205158233776544506595384183575551031792522712443947393747608076862843937911133340763546186461882421011765606211892576214929}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $38$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{39}$ (as 39T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 39
The 39 conjugacy class representatives for $C_{39}$
Character table for $C_{39}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.305809.2, 13.13.59091511031674153381441.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $39$ ${\href{/LocalNumberField/3.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/5.13.0.1}{13} }^{3}$ R $39$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/19.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/23.1.0.1}{1} }^{39}$ $39$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/41.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/47.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/59.13.0.1}{13} }^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
7Data not computed
79Data not computed