↑

Properties

Label 39.39.1181290276...3449.2
Degree $39$
Signature $[39, 0]$
Discriminant $13^{26}\cdot 79^{38}$
Root discriminant $390.48$
Ramified primes $13, 79$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{39}$ (as 39T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-176560760826029, 4291829198615412, 124066763635805181, 694897163472669662, 706803441870504299, -2992545959704021257, -5357278100940296591, 4690051537532888413, 11165439791508447499, -3849139231012138630, -10818653588566378140, 2334047970653280778, 5873379572582775725, -1121115212503618422, -1980375180524138330, 391057744594350035, 441371170652289465, -94298948980717131, -67699689278718824, 15740944592310945, 7341898588148461, -1851957964341868, -572661461636511, 156314779697940, 32404331102658, -9579637340859, -1330679343737, 428252335706, 39305918508, -13912915879, -818077472, 323858271, 11548919, -5247131, -103251, 56045, 511, -354, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - x^38 - 354*x^37 + 511*x^36 + 56045*x^35 - 103251*x^34 - 5247131*x^33 + 11548919*x^32 + 323858271*x^31 - 818077472*x^30 - 13912915879*x^29 + 39305918508*x^28 + 428252335706*x^27 - 1330679343737*x^26 - 9579637340859*x^25 + 32404331102658*x^24 + 156314779697940*x^23 - 572661461636511*x^22 - 1851957964341868*x^21 + 7341898588148461*x^20 + 15740944592310945*x^19 - 67699689278718824*x^18 - 94298948980717131*x^17 + 441371170652289465*x^16 + 391057744594350035*x^15 - 1980375180524138330*x^14 - 1121115212503618422*x^13 + 5873379572582775725*x^12 + 2334047970653280778*x^11 - 10818653588566378140*x^10 - 3849139231012138630*x^9 + 11165439791508447499*x^8 + 4690051537532888413*x^7 - 5357278100940296591*x^6 - 2992545959704021257*x^5 + 706803441870504299*x^4 + 694897163472669662*x^3 + 124066763635805181*x^2 + 4291829198615412*x - 176560760826029)
 
gp: K = bnfinit(x^39 - x^38 - 354*x^37 + 511*x^36 + 56045*x^35 - 103251*x^34 - 5247131*x^33 + 11548919*x^32 + 323858271*x^31 - 818077472*x^30 - 13912915879*x^29 + 39305918508*x^28 + 428252335706*x^27 - 1330679343737*x^26 - 9579637340859*x^25 + 32404331102658*x^24 + 156314779697940*x^23 - 572661461636511*x^22 - 1851957964341868*x^21 + 7341898588148461*x^20 + 15740944592310945*x^19 - 67699689278718824*x^18 - 94298948980717131*x^17 + 441371170652289465*x^16 + 391057744594350035*x^15 - 1980375180524138330*x^14 - 1121115212503618422*x^13 + 5873379572582775725*x^12 + 2334047970653280778*x^11 - 10818653588566378140*x^10 - 3849139231012138630*x^9 + 11165439791508447499*x^8 + 4690051537532888413*x^7 - 5357278100940296591*x^6 - 2992545959704021257*x^5 + 706803441870504299*x^4 + 694897163472669662*x^3 + 124066763635805181*x^2 + 4291829198615412*x - 176560760826029, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{39} - x^{38} - 354 x^{37} + 511 x^{36} + 56045 x^{35} - 103251 x^{34} - 5247131 x^{33} + 11548919 x^{32} + 323858271 x^{31} - 818077472 x^{30} - 13912915879 x^{29} + 39305918508 x^{28} + 428252335706 x^{27} - 1330679343737 x^{26} - 9579637340859 x^{25} + 32404331102658 x^{24} + 156314779697940 x^{23} - 572661461636511 x^{22} - 1851957964341868 x^{21} + 7341898588148461 x^{20} + 15740944592310945 x^{19} - 67699689278718824 x^{18} - 94298948980717131 x^{17} + 441371170652289465 x^{16} + 391057744594350035 x^{15} - 1980375180524138330 x^{14} - 1121115212503618422 x^{13} + 5873379572582775725 x^{12} + 2334047970653280778 x^{11} - 10818653588566378140 x^{10} - 3849139231012138630 x^{9} + 11165439791508447499 x^{8} + 4690051537532888413 x^{7} - 5357278100940296591 x^{6} - 2992545959704021257 x^{5} + 706803441870504299 x^{4} + 694897163472669662 x^{3} + 124066763635805181 x^{2} + 4291829198615412 x - 176560760826029 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $39$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[39, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(118129027602237903625231846226768806470030318124152946028448455403348348206499160462586488797476753449=13^{26}\cdot 79^{38}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $390.48$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $13, 79$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1027=13\cdot 79\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1027}(1,·)$, $\chi_{1027}(131,·)$, $\chi_{1027}(516,·)$, $\chi_{1027}(263,·)$, $\chi_{1027}(783,·)$, $\chi_{1027}(144,·)$, $\chi_{1027}(529,·)$, $\chi_{1027}(406,·)$, $\chi_{1027}(900,·)$, $\chi_{1027}(282,·)$, $\chi_{1027}(417,·)$, $\chi_{1027}(326,·)$, $\chi_{1027}(809,·)$, $\chi_{1027}(555,·)$, $\chi_{1027}(562,·)$, $\chi_{1027}(815,·)$, $\chi_{1027}(945,·)$, $\chi_{1027}(178,·)$, $\chi_{1027}(822,·)$, $\chi_{1027}(952,·)$, $\chi_{1027}(445,·)$, $\chi_{1027}(705,·)$, $\chi_{1027}(196,·)$, $\chi_{1027}(198,·)$, $\chi_{1027}(841,·)$, $\chi_{1027}(724,·)$, $\chi_{1027}(599,·)$, $\chi_{1027}(984,·)$, $\chi_{1027}(729,·)$, $\chi_{1027}(222,·)$, $\chi_{1027}(482,·)$, $\chi_{1027}(997,·)$, $\chi_{1027}(360,·)$, $\chi_{1027}(874,·)$, $\chi_{1027}(495,·)$, $\chi_{1027}(497,·)$, $\chi_{1027}(1015,·)$, $\chi_{1027}(378,·)$, $\chi_{1027}(490,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $\frac{1}{23} a^{19} - \frac{1}{23} a^{18} - \frac{7}{23} a^{17} + \frac{2}{23} a^{16} + \frac{11}{23} a^{15} + \frac{5}{23} a^{14} - \frac{3}{23} a^{13} + \frac{7}{23} a^{12} + \frac{3}{23} a^{11} - \frac{1}{23} a^{10} + \frac{8}{23} a^{9} + \frac{6}{23} a^{8} + \frac{5}{23} a^{7} - \frac{9}{23} a^{6} - \frac{5}{23} a^{5} - \frac{2}{23} a^{4} - \frac{6}{23} a^{3} - \frac{7}{23} a^{2} - \frac{7}{23} a$, $\frac{1}{23} a^{20} - \frac{8}{23} a^{18} - \frac{5}{23} a^{17} - \frac{10}{23} a^{16} - \frac{7}{23} a^{15} + \frac{2}{23} a^{14} + \frac{4}{23} a^{13} + \frac{10}{23} a^{12} + \frac{2}{23} a^{11} + \frac{7}{23} a^{10} - \frac{9}{23} a^{9} + \frac{11}{23} a^{8} - \frac{4}{23} a^{7} + \frac{9}{23} a^{6} - \frac{7}{23} a^{5} - \frac{8}{23} a^{4} + \frac{10}{23} a^{3} + \frac{9}{23} a^{2} - \frac{7}{23} a$, $\frac{1}{23} a^{21} + \frac{10}{23} a^{18} + \frac{3}{23} a^{17} + \frac{9}{23} a^{16} - \frac{2}{23} a^{15} - \frac{2}{23} a^{14} + \frac{9}{23} a^{13} - \frac{11}{23} a^{12} + \frac{8}{23} a^{11} + \frac{6}{23} a^{10} + \frac{6}{23} a^{9} - \frac{2}{23} a^{8} + \frac{3}{23} a^{7} - \frac{10}{23} a^{6} - \frac{2}{23} a^{5} - \frac{6}{23} a^{4} + \frac{7}{23} a^{3} + \frac{6}{23} a^{2} - \frac{10}{23} a$, $\frac{1}{23} a^{22} - \frac{10}{23} a^{18} + \frac{10}{23} a^{17} + \frac{1}{23} a^{16} + \frac{3}{23} a^{15} + \frac{5}{23} a^{14} - \frac{4}{23} a^{13} + \frac{7}{23} a^{12} - \frac{1}{23} a^{11} - \frac{7}{23} a^{10} + \frac{10}{23} a^{9} - \frac{11}{23} a^{8} + \frac{9}{23} a^{7} - \frac{4}{23} a^{6} - \frac{2}{23} a^{5} + \frac{4}{23} a^{4} - \frac{3}{23} a^{3} - \frac{9}{23} a^{2} + \frac{1}{23} a$, $\frac{1}{23} a^{23} - \frac{1}{23} a$, $\frac{1}{23} a^{24} - \frac{1}{23} a^{2}$, $\frac{1}{23} a^{25} - \frac{1}{23} a^{3}$, $\frac{1}{23} a^{26} - \frac{1}{23} a^{4}$, $\frac{1}{23} a^{27} - \frac{1}{23} a^{5}$, $\frac{1}{23} a^{28} - \frac{1}{23} a^{6}$, $\frac{1}{23} a^{29} - \frac{1}{23} a^{7}$, $\frac{1}{23} a^{30} - \frac{1}{23} a^{8}$, $\frac{1}{23} a^{31} - \frac{1}{23} a^{9}$, $\frac{1}{23} a^{32} - \frac{1}{23} a^{10}$, $\frac{1}{83053} a^{33} + \frac{800}{83053} a^{32} + \frac{911}{83053} a^{31} - \frac{842}{83053} a^{30} - \frac{1209}{83053} a^{29} - \frac{501}{83053} a^{28} + \frac{1777}{83053} a^{27} - \frac{932}{83053} a^{26} + \frac{658}{83053} a^{25} - \frac{1475}{83053} a^{24} - \frac{1053}{83053} a^{23} + \frac{539}{83053} a^{22} - \frac{1429}{83053} a^{21} + \frac{1749}{83053} a^{20} + \frac{1442}{83053} a^{19} - \frac{13655}{83053} a^{18} - \frac{25901}{83053} a^{17} + \frac{35839}{83053} a^{16} - \frac{8167}{83053} a^{15} + \frac{395}{3611} a^{14} + \frac{16449}{83053} a^{13} - \frac{33884}{83053} a^{12} + \frac{16598}{83053} a^{11} + \frac{39}{157} a^{10} + \frac{3752}{83053} a^{9} + \frac{11540}{83053} a^{8} + \frac{38097}{83053} a^{7} + \frac{31682}{83053} a^{6} + \frac{1802}{83053} a^{5} - \frac{30905}{83053} a^{4} - \frac{24048}{83053} a^{3} - \frac{37767}{83053} a^{2} + \frac{1871}{83053} a - \frac{114}{3611}$, $\frac{1}{83053} a^{34} + \frac{58}{83053} a^{32} - \frac{220}{83053} a^{31} + \frac{745}{83053} a^{30} - \frac{1049}{83053} a^{29} + \frac{1756}{83053} a^{28} + \frac{202}{83053} a^{27} - \frac{53}{3611} a^{26} - \frac{669}{83053} a^{25} + \frac{1761}{83053} a^{24} + \frac{1576}{83053} a^{23} + \frac{691}{83053} a^{22} + \frac{262}{83053} a^{21} - \frac{301}{83053} a^{20} - \frac{902}{83053} a^{19} - \frac{36009}{83053} a^{18} + \frac{25888}{83053} a^{17} - \frac{1134}{3611} a^{16} - \frac{25724}{83053} a^{15} + \frac{17392}{83053} a^{14} + \frac{34009}{83053} a^{13} + \frac{23243}{83053} a^{12} - \frac{27065}{83053} a^{11} + \frac{12055}{83053} a^{10} - \frac{32651}{83053} a^{9} - \frac{7519}{83053} a^{8} - \frac{34076}{83053} a^{7} - \frac{27077}{83053} a^{6} + \frac{22449}{83053} a^{5} + \frac{22378}{83053} a^{4} - \frac{24331}{83053} a^{3} + \frac{38344}{83053} a^{2} + \frac{2754}{83053} a + \frac{925}{3611}$, $\frac{1}{83053} a^{35} + \frac{323}{83053} a^{32} - \frac{1539}{83053} a^{31} + \frac{844}{83053} a^{30} - \frac{342}{83053} a^{29} + \frac{372}{83053} a^{28} + \frac{434}{83053} a^{27} - \frac{778}{83053} a^{26} - \frac{293}{83053} a^{25} + \frac{462}{83053} a^{24} + \frac{378}{83053} a^{23} + \frac{1499}{83053} a^{22} - \frac{472}{83053} a^{21} - \frac{1236}{83053} a^{20} - \frac{482}{83053} a^{19} - \frac{19874}{83053} a^{18} - \frac{36833}{83053} a^{17} - \frac{20839}{83053} a^{16} + \frac{28870}{83053} a^{15} - \frac{30713}{83053} a^{14} - \frac{17216}{83053} a^{13} + \frac{24377}{83053} a^{12} - \frac{8158}{83053} a^{11} - \frac{1509}{83053} a^{10} + \frac{9580}{83053} a^{9} - \frac{17306}{83053} a^{8} - \frac{19549}{83053} a^{7} - \frac{2385}{83053} a^{6} + \frac{22581}{83053} a^{5} - \frac{8453}{83053} a^{4} + \frac{17616}{83053} a^{3} - \frac{13081}{83053} a^{2} - \frac{40300}{83053} a - \frac{610}{3611}$, $\frac{1}{83053} a^{36} + \frac{53}{83053} a^{32} - \frac{918}{83053} a^{31} + \frac{799}{83053} a^{30} + \frac{891}{83053} a^{29} - \frac{238}{83053} a^{28} - \frac{600}{83053} a^{27} + \frac{1030}{83053} a^{26} + \frac{977}{83053} a^{25} + \frac{151}{83053} a^{24} - \frac{1427}{83053} a^{23} - \frac{1241}{83053} a^{22} + \frac{1734}{83053} a^{21} + \frac{66}{3611} a^{20} - \frac{1766}{83053} a^{19} + \frac{11644}{83053} a^{18} - \frac{10670}{83053} a^{17} - \frac{905}{3611} a^{16} + \frac{86}{83053} a^{15} - \frac{23150}{83053} a^{14} + \frac{8687}{83053} a^{13} + \frac{5877}{83053} a^{12} + \frac{24949}{83053} a^{11} - \frac{2771}{83053} a^{10} - \frac{33961}{83053} a^{9} + \frac{22915}{83053} a^{8} - \frac{37538}{83053} a^{7} - \frac{9630}{83053} a^{6} - \frac{5517}{83053} a^{5} + \frac{19127}{83053} a^{4} + \frac{16050}{83053} a^{3} - \frac{10629}{83053} a^{2} + \frac{35228}{83053} a + \frac{712}{3611}$, $\frac{1}{26327801} a^{37} - \frac{78}{26327801} a^{36} - \frac{47}{26327801} a^{35} + \frac{97}{26327801} a^{34} + \frac{63}{26327801} a^{33} - \frac{320764}{26327801} a^{32} + \frac{291390}{26327801} a^{31} - \frac{221415}{26327801} a^{30} - \frac{250558}{26327801} a^{29} + \frac{274132}{26327801} a^{28} - \frac{83255}{26327801} a^{27} - \frac{498961}{26327801} a^{26} + \frac{157450}{26327801} a^{25} - \frac{539665}{26327801} a^{24} + \frac{25203}{26327801} a^{23} + \frac{519372}{26327801} a^{22} - \frac{367640}{26327801} a^{21} - \frac{420441}{26327801} a^{20} + \frac{348131}{26327801} a^{19} - \frac{891553}{26327801} a^{18} + \frac{114866}{26327801} a^{17} + \frac{7891851}{26327801} a^{16} - \frac{8964881}{26327801} a^{15} - \frac{10552915}{26327801} a^{14} - \frac{6517216}{26327801} a^{13} + \frac{7558555}{26327801} a^{12} + \frac{2774821}{26327801} a^{11} + \frac{197043}{1144687} a^{10} - \frac{6656726}{26327801} a^{9} + \frac{8943928}{26327801} a^{8} + \frac{9918569}{26327801} a^{7} + \frac{2711552}{26327801} a^{6} + \frac{5848310}{26327801} a^{5} + \frac{6665370}{26327801} a^{4} - \frac{6828780}{26327801} a^{3} + \frac{8283744}{26327801} a^{2} - \frac{10521431}{26327801} a + \frac{278379}{1144687}$, $\frac{1}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{38} - \frac{3201247771030866196992263284046598420346566995980046070591700722760526328668074485353607466726040994060444034206875437671796519166895451746556212720208455973336252000391454333568695392005930615586564570719698554966008461965865670992695093585066180234232531623121064853417075869025995561908462568}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{37} + \frac{481702275945092702914540683958427553743165447268070692076253350886354849898443489524460064668589710325510590228918252582972562305783009149067084605577093870383013140357461616029022489571693884503131458027170020472704056547903159801624171502413580479374791193514877131969927161892095668061227100846}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{36} - \frac{1075147677130629575960372253861391547215241205800710271492530348294493795309573610558789674101034401681788919639569343637587188272783534618025836127841464193092395907397775536997194003863864232666260964451934614309955124833286520082674923898921260251107301072492620100005877805945062222340786670520}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{35} + \frac{718226150553271113419559988310444834951355350102899816984248533919427859413026901891774421423906890782330260791979499339864604360852595551854168304994886304791201739729442837446467889675440856022184064539289149347633053161491701660652243878573198295696676805298745452936066795717720196985882436498}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{34} + \frac{780668044313162601548175060552285606678223471329705287856601436148721741834172469276116739425080343026735674057775867817431705675920232442319636734019288395061785025328745721311705531434852984409152420702650067593624253351316258082423555251247973523902850738638594853994755574051930806159592361191}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{33} + \frac{2838646355637535839841906121478544850894275898995675672674014931958611881268293401500969511834735138845945697470001066544757222465936788256777714320409239476433306112347931722343832748130487814083430570527492815826126366759871585195021518906772618326709165677244562357537879304106430768864671164307375}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{32} - \frac{4732599944305187527403420565514289570135206459699108406613147964219042843119160513724356322948401175932862007131156354925224390620049826161197842238895041211201828105317352257137672255325328744076042178398582469369966547490575631639615116115302540003296305274384576832866660494295686330358752129120501}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{31} - \frac{3595331526996910180586655294872302667170640103144412868467951916225676068746875139580843885641583211580490254267549445996270187915742509157496068748378286702898084379296656956072766675120846612174050152601316378347820775420740890635303815055099736401433515193794515594660941407836938187873733931430892}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{30} - \frac{1507669640882557030885613599691628358571238837525484450286067604885821246836374004020292770935985954327163622345076792084984907225781753884383476571216977133078512187790577409471378066885726546937816654511247611625265941081606862183162690260148357624551545235836052787510090870929422613353103885688340}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{29} - \frac{540498812480613547779445627200058009073126086371638523476197665903091161952118292896233734176683846441571420602589820126384773245887098517497859742647332213066759218068106477365501448166648564457660755795063566851296998157219944469166032876186012247448041885100875097938178788323610489176675156922621}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{28} - \frac{1042882705706632485916208533387097109252255927550754119299287755102000369833462457178566757152925865186739548067301047847917991723958487043758984247763231633199834137712932950195762717863433862613570968974245678507823617388430081821660082288695812472480966749666082507934170705130271392249895299214839}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{27} - \frac{4154006286438870729494911636876094919420744955542910187997016014209893861062135160407613303197474763237669257185666068447702278495932080526707452821711053868748821542216403000571951709001665183003195003580079232459835930637246198075895956711457730152295431735491088943127314803868413829469883581181118}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{26} - \frac{3195370277787371999741739045610666944401746228454023268003988170711207498261065980100317016701805463127036594661531255810306455131646514514820611241276343038134355998702257798900463901785100008669361377493518004765589084472728440574116281687007556267249584637764210283762404332098834402870657440111096}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{25} + \frac{118813166758859100577780249626981984826404676466372776106998340614204139677237522190322090612612630316410732923496453791982365543863897630463746853438355887375291534426983035511749717846980718599773949525774989058186757046092501621971560298256772604294640535321358468979811503506382981956710986285035}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{24} - \frac{253293950505827465308542817380571226946128348788071404402735721811112921908443395522160465121869222799619191906396152980410121548512961522327347593625465231609107717676778165587230954849339662856107309410024045689816876409849305175388489012107277895988824246385426438462531424667788000780730479448242}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{23} + \frac{2274750259266516721944641446778890386781353812730971201741802009101959115883609665963119630397256502602040817367623381908702784395532260341889440429855946852753264678806687712014049747591627079768100128263823295306523515047215074009775407110890036040191465518443387578820220319311197412843901783598175}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{22} - \frac{2822618340629974734110327226898827182133612693325953670725596992133880096003061347123990684013383574671521561651794001643200935277770232012628940725499599141072554384760773114392776800670357666232288448988977207509838199724702797468155484905108380425947111271164876661077032313088891085740325110167920}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{21} - \frac{4722479906144147545130333406207156862018127691051517842170368173899939078955270024917936045677276063924062514813055536131464767690183735237813492354858157184515566811778358230978411484239548635415697559537614132132310066408739331065351540328404961500470791785815500367364133933210048158556478689898314}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{20} + \frac{2659785068578370165168169952109143345452162174931741834855150459072354909413398277622998815118464611810635820285733227775221010677382564134889917914738947990993661692274935789469520693182659541015664515044494996952558218773840843861896036395710642171568240399623261591690874384806052149425589011074763}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{19} + \frac{37570685624135545478720501116790209106008057457049449765075411007292639700261343119447528210309816343445653146719715763520323359277271989880902503811011202551287984978986804602504298390196801584872423173479438080463744750863504487913435190758315915342636853763898097800866091758375725774541704022427327}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{18} + \frac{66908047426208333650191085247748822313902793821091290109174573390127819927709302144222987819749067251832441207059409080345026178638957696244203030694170632518404048009167547601010280706200849863431787778956906881601216877268837940567684113140344577556937177320220353029052231726902144771775970178603969}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{17} - \frac{85113304145171370007253440365758916078052810287581460325099190376228289097130710231181799735382363108362092524255349600924366808403621088514917859526673894782591874795062181919182065227111893038852972981917630003668341196696858034308388635424656034484383659909630093201484506574287501585244691289922372}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{16} + \frac{92283203261013648311759309598584516616312503169342443346688256187405965016808045758080296169548560526734509441752747585742765331834424143626091744249492486783738189188825038640107011305459889901035652220556018142674604946927348511459216230195716413089171351504046178077811167749428302880943117667478595}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{15} - \frac{81720632578756507081108402258536016823491737335134771056111022895181835163132291254445059261072713718790886991612191860815486709862690339600585330691536566800301305397257171311784530452930278814583235091114418471565448982296969008992191347514550051726566441278150114785768808894216672961633044706952332}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{14} + \frac{88804108652444353248301643995666773492809384226978746414982854885581259056301458076884029849349271512324223887143691614933463833912254269845610689779810721559199301593703615891372503852438144462251377137725502455936258255763867504489925014428357022504628050170666395098268135951179089295232309355938230}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{13} + \frac{23330740599393094248658131456810511206150470975461251930638993259749317030799900943658551108276850929281967492644605972803084320441057878692330989175877266000964782578708232492427894062279682543603214971720835049709847856245180381475523822857265570895364308916088305883488872074037785265780142410835953}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{12} + \frac{4838289540700464557118443685758515438521886584476746867176231243032138653762332780867561791750526962409155337188470422495199405447376033066536261455084316932927534605288832912910366654761645253116761789796243994413842409022239097333793102996626761165194391839898751772758003545780637841750725033466394}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{11} - \frac{91996806753771560969485042772884221280925515798300384249377461063801577459897119511408953464305755994224873921213109033117509763510939154177177945831265882859125261329343793000084361733519166042278453787726182441913340183354680668225787500131827086216653528995664365941324716593961657910978262181517662}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{10} - \frac{67687861013961419539174392299891262355741458100298387434810442072120294984902970620636732239150318106466571279564093189477704925598764536210903908546996774648861290834698459710353589524401734202965553925956765365467128632727598863460842755114733621743418116826382907117094771029659502235295263907118895}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{9} + \frac{35809201448277082284585666887316384860170655314448565879518701210228174137799575444080725050168091952598331959590362246624736226320351476875567804322479184193793227073996477125534514069598158287301867585271031596109499617930589320475673679681193167807812570868324714672719262591156541357174101383884397}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{8} - \frac{89171290725998027237477721368197442833560946309777105222231191294987284593688368798783249378989060330434169691253746054555901555659540565871595886323596998621321845686996236220030063576613799151499504281454214483851928054873358299426572942247034832324079302492392915947244056078232441438237261417382832}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{7} - \frac{14856338857025738789819419721210270835344379894588741901744617631867685528652336175728987208482826325512220372427445296034406569682242597548356319815702093324577924272631727111072779945261674570258595029855811894597141038494741154659936019241060221196832959024833710650250764775413865579623865845006812}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{6} - \frac{28890970774111223751732950793903459541685337476824869297376868421825743507232962272656009088842052011408243641963849913352726817600798453549956264320071913219233343006378189080559400881428819579312488761328252279321742645837594471562798599417755978948043745842541344447515343750713180639018112007601147}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{5} + \frac{68375794344322554279286461757812131377175280881791458549473597679464280202146521888601864940585500647976893330234334104741138619009345017166465762121771257343537039056841397092400702474709971940542856456380198553325795503209795871324913891463007711328371212947687345592374002808258327424681581875967369}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{4} - \frac{11239057533946551035905898008268506273406489104620598038555236927914599360898097392627969147122744339545789440229427133382079985953935369775828190616240412453227142889398765863678036757214736144081857553357420100411758632782462889330682160603271071808106019284482842037625095443609428079896522624862247}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{3} - \frac{112450417352479297834236044588818739042454104676949120384566264848702587859453951335806517677990578461064175047238285250685183031746556933402299464116113994454413145302816218275163164978760056395658254334403476752114726202168144438909291151631887947803050862140783746657064116482133930510807975940859380}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a^{2} - \frac{30118409989201342506008243524589835376117421628687827882760137111844849078167748202719977594748086747659723307710742778256956386067569692361028734590268593003505365364575475723586137094591000779133785100243402358188274049437518829880697657555940490320918104709769500145794139453274646628583894875514952}{240650320906291040422840610633731131508275876653247468680521595290107406428974318983055794912574945278485873076967155523753425681913361516273166514016480970392854374403752744418923188299520383439514272973053576110386755607392778439942594806565684739682183030856914516569326269396070295714463665142735813} a + \frac{3043181556475954426621349281949753622753787748703001754601748369036721836674327663314600496988595395538187037869417101055204147885818218507162234403076100529378008273978698157407699630603618807275939196011915144452978836388341103832054494258573984028431348604578789925192927819480034999911644931086629}{10463057430708306105340896114510049196011994637097716029587895447395974192564100825350251952720649794716777090302919805380583725300580935490137674522455694364906711930597945409518399491283494932152794477089285917842902417712729497388808469850681945203573175254648457242144620408524795465846246310553731}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $38$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{39}$ (as 39T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 39
The 39 conjugacy class representatives for $C_{39}$
Character table for $C_{39}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.1054729.2, 13.13.59091511031674153381441.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $39$ $39$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/11.13.0.1}{13} }^{3}$ R $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/23.1.0.1}{1} }^{39}$ ${\href{/LocalNumberField/29.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/43.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/59.13.0.1}{13} }^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
13Data not computed
79Data not computed