↑

Properties

Label 39.39.1181290276...3449.1
Degree $39$
Signature $[39, 0]$
Discriminant $13^{26}\cdot 79^{38}$
Root discriminant $390.48$
Ramified primes $13, 79$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{39}$ (as 39T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-221647485396299581, 2837239422181036677, -4368569542269920485, -11248804489468062285, 21043564296778861782, 17045767379408771012, -38551672930076472707, -12389487729343041691, 38292325977191105354, 3789203055222994557, -23471590571480299925, 586468002053107902, 9496075566431610394, -971974365656650043, -2642936340868695765, 408676600606594002, 520414495467180616, -100210603740569843, -73899082723108593, 16422194396956823, 7659727015753552, -1895313576585435, -583064031850378, 157954520735238, 32610615529383, -9615971778232, -1332897877353, 428683737326, 39315623658, -13915010959, -818077472, 323858271, 11548919, -5247131, -103251, 56045, 511, -354, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - x^38 - 354*x^37 + 511*x^36 + 56045*x^35 - 103251*x^34 - 5247131*x^33 + 11548919*x^32 + 323858271*x^31 - 818077472*x^30 - 13915010959*x^29 + 39315623658*x^28 + 428683737326*x^27 - 1332897877353*x^26 - 9615971778232*x^25 + 32610615529383*x^24 + 157954520735238*x^23 - 583064031850378*x^22 - 1895313576585435*x^21 + 7659727015753552*x^20 + 16422194396956823*x^19 - 73899082723108593*x^18 - 100210603740569843*x^17 + 520414495467180616*x^16 + 408676600606594002*x^15 - 2642936340868695765*x^14 - 971974365656650043*x^13 + 9496075566431610394*x^12 + 586468002053107902*x^11 - 23471590571480299925*x^10 + 3789203055222994557*x^9 + 38292325977191105354*x^8 - 12389487729343041691*x^7 - 38551672930076472707*x^6 + 17045767379408771012*x^5 + 21043564296778861782*x^4 - 11248804489468062285*x^3 - 4368569542269920485*x^2 + 2837239422181036677*x - 221647485396299581)
 
gp: K = bnfinit(x^39 - x^38 - 354*x^37 + 511*x^36 + 56045*x^35 - 103251*x^34 - 5247131*x^33 + 11548919*x^32 + 323858271*x^31 - 818077472*x^30 - 13915010959*x^29 + 39315623658*x^28 + 428683737326*x^27 - 1332897877353*x^26 - 9615971778232*x^25 + 32610615529383*x^24 + 157954520735238*x^23 - 583064031850378*x^22 - 1895313576585435*x^21 + 7659727015753552*x^20 + 16422194396956823*x^19 - 73899082723108593*x^18 - 100210603740569843*x^17 + 520414495467180616*x^16 + 408676600606594002*x^15 - 2642936340868695765*x^14 - 971974365656650043*x^13 + 9496075566431610394*x^12 + 586468002053107902*x^11 - 23471590571480299925*x^10 + 3789203055222994557*x^9 + 38292325977191105354*x^8 - 12389487729343041691*x^7 - 38551672930076472707*x^6 + 17045767379408771012*x^5 + 21043564296778861782*x^4 - 11248804489468062285*x^3 - 4368569542269920485*x^2 + 2837239422181036677*x - 221647485396299581, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{39} - x^{38} - 354 x^{37} + 511 x^{36} + 56045 x^{35} - 103251 x^{34} - 5247131 x^{33} + 11548919 x^{32} + 323858271 x^{31} - 818077472 x^{30} - 13915010959 x^{29} + 39315623658 x^{28} + 428683737326 x^{27} - 1332897877353 x^{26} - 9615971778232 x^{25} + 32610615529383 x^{24} + 157954520735238 x^{23} - 583064031850378 x^{22} - 1895313576585435 x^{21} + 7659727015753552 x^{20} + 16422194396956823 x^{19} - 73899082723108593 x^{18} - 100210603740569843 x^{17} + 520414495467180616 x^{16} + 408676600606594002 x^{15} - 2642936340868695765 x^{14} - 971974365656650043 x^{13} + 9496075566431610394 x^{12} + 586468002053107902 x^{11} - 23471590571480299925 x^{10} + 3789203055222994557 x^{9} + 38292325977191105354 x^{8} - 12389487729343041691 x^{7} - 38551672930076472707 x^{6} + 17045767379408771012 x^{5} + 21043564296778861782 x^{4} - 11248804489468062285 x^{3} - 4368569542269920485 x^{2} + 2837239422181036677 x - 221647485396299581 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $39$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[39, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(118129027602237903625231846226768806470030318124152946028448455403348348206499160462586488797476753449=13^{26}\cdot 79^{38}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $390.48$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $13, 79$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1027=13\cdot 79\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1027}(256,·)$, $\chi_{1027}(1,·)$, $\chi_{1027}(131,·)$, $\chi_{1027}(9,·)$, $\chi_{1027}(523,·)$, $\chi_{1027}(269,·)$, $\chi_{1027}(399,·)$, $\chi_{1027}(16,·)$, $\chi_{1027}(913,·)$, $\chi_{1027}(919,·)$, $\chi_{1027}(152,·)$, $\chi_{1027}(367,·)$, $\chi_{1027}(672,·)$, $\chi_{1027}(417,·)$, $\chi_{1027}(347,·)$, $\chi_{1027}(42,·)$, $\chi_{1027}(55,·)$, $\chi_{1027}(321,·)$, $\chi_{1027}(835,·)$, $\chi_{1027}(196,·)$, $\chi_{1027}(326,·)$, $\chi_{1027}(971,·)$, $\chi_{1027}(81,·)$, $\chi_{1027}(341,·)$, $\chi_{1027}(599,·)$, $\chi_{1027}(729,·)$, $\chi_{1027}(731,·)$, $\chi_{1027}(378,·)$, $\chi_{1027}(222,·)$, $\chi_{1027}(471,·)$, $\chi_{1027}(737,·)$, $\chi_{1027}(482,·)$, $\chi_{1027}(230,·)$, $\chi_{1027}(144,·)$, $\chi_{1027}(495,·)$, $\chi_{1027}(880,·)$, $\chi_{1027}(1015,·)$, $\chi_{1027}(250,·)$, $\chi_{1027}(510,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $\frac{1}{157} a^{36} + \frac{26}{157} a^{35} - \frac{2}{157} a^{34} - \frac{24}{157} a^{33} - \frac{54}{157} a^{32} - \frac{36}{157} a^{31} + \frac{66}{157} a^{30} + \frac{16}{157} a^{29} - \frac{28}{157} a^{28} + \frac{40}{157} a^{27} - \frac{60}{157} a^{26} + \frac{70}{157} a^{25} + \frac{34}{157} a^{24} - \frac{38}{157} a^{23} - \frac{46}{157} a^{22} + \frac{13}{157} a^{21} - \frac{58}{157} a^{20} - \frac{57}{157} a^{19} - \frac{45}{157} a^{18} - \frac{62}{157} a^{17} + \frac{57}{157} a^{16} + \frac{30}{157} a^{15} - \frac{37}{157} a^{14} + \frac{65}{157} a^{13} - \frac{65}{157} a^{12} + \frac{45}{157} a^{11} + \frac{6}{157} a^{10} + \frac{10}{157} a^{9} + \frac{62}{157} a^{8} + \frac{15}{157} a^{7} - \frac{13}{157} a^{6} - \frac{51}{157} a^{5} + \frac{57}{157} a^{4} - \frac{32}{157} a^{3} - \frac{66}{157} a^{2} - \frac{64}{157} a + \frac{22}{157}$, $\frac{1}{19274419} a^{37} + \frac{44507}{19274419} a^{36} + \frac{3136588}{19274419} a^{35} + \frac{3112715}{19274419} a^{34} - \frac{8344548}{19274419} a^{33} + \frac{7862807}{19274419} a^{32} + \frac{7599421}{19274419} a^{31} + \frac{9412012}{19274419} a^{30} - \frac{6847097}{19274419} a^{29} - \frac{7871770}{19274419} a^{28} + \frac{8024797}{19274419} a^{27} + \frac{4137631}{19274419} a^{26} - \frac{9558551}{19274419} a^{25} + \frac{4906499}{19274419} a^{24} - \frac{3666483}{19274419} a^{23} - \frac{6222313}{19274419} a^{22} - \frac{4108412}{19274419} a^{21} + \frac{4970175}{19274419} a^{20} - \frac{9398246}{19274419} a^{19} - \frac{3195221}{19274419} a^{18} - \frac{433066}{19274419} a^{17} + \frac{5066915}{19274419} a^{16} - \frac{500309}{19274419} a^{15} - \frac{6092600}{19274419} a^{14} + \frac{9440141}{19274419} a^{13} - \frac{1756581}{19274419} a^{12} + \frac{5679062}{19274419} a^{11} - \frac{7645119}{19274419} a^{10} + \frac{4475062}{19274419} a^{9} + \frac{10758}{46001} a^{8} + \frac{8580002}{19274419} a^{7} - \frac{2512544}{19274419} a^{6} + \frac{8026173}{19274419} a^{5} + \frac{6185007}{19274419} a^{4} + \frac{5479675}{19274419} a^{3} - \frac{444377}{19274419} a^{2} + \frac{2570209}{19274419} a - \frac{7086979}{19274419}$, $\frac{1}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{38} - \frac{567067952031366972358684999646999333381845647859407264803603034111574938515282234176867168202345124401388433164602802979387766154471826229537947797105929283167109383490593407229337504755478454572078112558385540958333969677670708489912557454552005349999820453012995878978076090206186722879271506381183490892337208010137612533305430}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{37} - \frac{84747734161734702149969959509499113742222070029924637162937027612254928066825447651613906071922773975204800289571542954241724921194825123381021481515194827649057031483517991882149828985246409763205540671347916525729851547535688224852089291842075712765525654730858939382891979563453546440349244032928113342930869854422463306472133249955}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{36} - \frac{13504477433131319454916848557873607544961035213671322704731186299785656025261896022922951483509979662513204132846742136406271594936484311273896021005107638974462884184339492302966423225696561244062599492732857634463088088159269675383462600118519936140395103170219098794031451932638577720423130604817337210725747085673428047182546555366810}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{35} + \frac{15750320164679829464439100010280002076196188424291975141290478222087683355085355355237748524766433205421816995613764902315758019337519453394618542009822856490079596622172355763641370426649776699978292448275600755467016302332494376667660273668826126979712656543032135029521939113857313935822419774933039876421419646152171810000719166365206}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{34} - \frac{9181235718466746127111324019466345305095230462747675353810058778734724147469999410291804684859904351264333550502721644826829414770528271484854861281462587821641800353458012339535295503863718751135014774226068710850861853083083828533156373297369978549123936369593250344940233113067242797654743304887995794783499906556799193190473634873626}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{33} - \frac{11130871612988617149698427150592213359501652398155835158038912674503832022339381342736922836452670909886199156876889745302008052495029383442047227003957000097058577315796836451503244224435539084911353901842193500008725618987592511564335872357675290063724820892440042063972229748696778838319962334929513150245605199820214730452551371798498}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{32} + \frac{8008596761694171245344181386985745271573175501424717843651553172231127418081468024731477678199249327740240518493713243041782616187192868200684713760556608597447928269622603381003230191447524140756950876179351399808096648370653653437830080508897133982751331411108144660233492254276672806220495155098218511470378011745001477463112710115371}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{31} + \frac{1329251762506139822985255389801408919597296680017345801322472621026748623130275447409130230401607349296844462783965089912419764084131275111327423859624851822233803321298922499861834754752904446204334575224460234592077641619249999907018335151647407928062525208970467658378602599518232462042546278618793755496392102165507732854018336533953}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{30} + \frac{4554611539749640435537833689854851937565944558959127544647864493983942401867437249117639566988429203992923076548567322441915513679372228844521345308698246357432616042600701018262306666222054948639528056682685787360754211748216358873116474333876358621649195650421526458001606907494612113586120681290424367471206137002843824944849984589080}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{29} + \frac{2147029276489505391724106277176047875753940746801875920139824069453897517073347534085461551953763995952313583645849432257913368547865260396797444636124920694700219425047072491076829604632498101900455340288746039227833123581033426301647679162539329250788051045611268995618751851071800081252668599776054460151222122827177759777640535080717}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{28} + \frac{16787292775793809478217146132629395031904267033066590387066440874246856893625513958776443971460173791981419892873133707870817718094726807493753798171621672845002583157502273110194070284818595212026411568552718536306276667636757339611544164306291304843961127959602921841914732306339301057775309378948736580852379972388650400173553040211909}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{27} - \frac{10725785934013392611694630670250854018552125444710845986165157215077002305816260319226893061630638445124514531182540073615095071194813954699406812168828200014954489490417822078276961450409772297802475964237664155671889601336542792053956146867821713512411185697739834673255270296589539180602807754871942536092269598050332208633824652868470}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{26} + \frac{11097028557974351779517743013180753687036383153833369421772840689245398463771507567457607933096371685190955684030915294295191262903412976271132068400151800012982045117954261945094889630987278281094081279099092008865193019345348772859516038285453480075952354677211333167026452099713960823590015132315465249243991977884687159806746172083155}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{25} + \frac{14067563169851294011048417857064112963816098239258493534939088322926024099429400039527910973305452107156237465727466472507607173607099234164823362611680854730647040874684643651678238525340442618554692411662726786966430691826103503294597382450380109546416394045631544418382954558856070837203663563625505727757138597746322459839165069265683}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{24} + \frac{10531958882789892457360708726047997580032179624518916381950652798785029755673005986117404565466833114852875978451386952440509685810439218632844732697453787281871165460086565354943568366949179576366042561843779934751401190055741779898608498851379219967785622135752126537467744879052027390975723539692156367179456871173145786222227435992967}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{23} + \frac{7030227321203038258319301329664728901332654950981557641690888486923131258074103742134543252902673119650892125305081854897849508856990765674451216112294659676634038179898342188679889691538306179901655158369230684699361907016346233325110786037617392956379269223438949963996301917987267457394672965498185607084789516955915145511317002473287}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{22} - \frac{15510330013336277101667740682831687434542536634341614694492346823575037061064299297660282821238008491134107622505074693849414496225320312317954235076634669143606623130784840618189305561768640185308801590571797329709161032673717343397604520311050128022827299928933223189829536748342208247400327987507199678496423169493521309183400880162825}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{21} + \frac{6140032462680790521799647947111286602872848983783761385900594714809386733486480233537086401971422824755620282146852907896096016020135614319434071345641033185295330184079753899138591328354742695190753027000337696721751202762076267078778097627803384621838533371597000296329988822603017420279450061810288868986995995439075898746748498618810}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{20} + \frac{14558012784576377833096873450914910780525765994107304286954555892559689612823304679887249910371870557511109803473220677683051618300478241085069847857700861209285377459388157156191138647460422907966628038568950946616013855077213852205077720758702097451290705183175794554261028102110953157059589021681840416009802969881032905598053198988846}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{19} + \frac{8770001598225826952630422160964944436563824422042954709740009128945469010873962029567094599858574771538204903376853546983909681063967901833105471389188790574135768380170446614394925543662663821461016260993891431729045792804244466305112434501232718327922552930994421351655725221680248237113893520284336285782167771763497774519468641108972}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{18} + \frac{15605800011462597217193753395256981333441698922425103610281088415456610606945116327634745625341765278941830443146966963892234095243977067753985265267473060211272307367453009653822758125980740756058069805629288086717392678314113025966730935810443473556127556255410887016433458188647734097452841062373785108336858747374405426693868020936978}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{17} + \frac{965494424806617348186299349057847019782519911912680512405889234885875110582667174620696433584953058961971034035186035626030581300897189293819268526184815405520541511373689232604028860728016970359883337351655319657006977375403570898324556649635013905243452279231671148283492348373724201417097024925035952151922165697985079847204510745446}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{16} - \frac{13305705525438050321994057846027245429078824485518685992061146611299628178289658226529515944907568696852104988926667639295938333347927278501323792858156827353358427350136885885197571508072275676066074066613852832947912656748325490860606735716934523036392484079759163336604943417523388813454508678885864814926799792973297776291993475124331}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{15} - \frac{12090539825890691418040634702237546488508205587948743048564345777144100725369934739040818902620681188772418862429039342255512397359949165625532147931522130197793875252276996360333340477519088392509990223909022712179846620959324240544777458019223541735673701319164190669212036937956961897113813861954553518264910252696708994763511788956461}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{14} - \frac{5722210372800837533132573905588690747175656112138917853749231989909451242926239934634901973908620724072829408725499253954937346585178321953501292716285352080855656620391395141218878991918645017145756324544275883306217449880795335779050946275035466843177837720049439845121679114973236222922036345898596080572787143994002051654706513594037}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{13} + \frac{776676107577746969707930155539637827576421894986813165710396925006349234005957662528928813604392638478013402112803915819733325971728896685100220453785452787275050236145267489017214234797983718895132137637871473967103503735400645055974040148055544053302768933011942245094638678043169575244125916930359713454666932670751916186362420352342}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{12} + \frac{15178055816859212799441885626786607065813829702823964047089977249488322912411902153865203537879179453907258132820591600601196990481790040153116909918026920020730872779248274270728207735688951401245658067393872314456550770983137100214389235983415265416542032397908865504636489048153709231433405939980588310271942201983746630079177844786764}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{11} + \frac{9257013495078843757132609421077107688413632241540981314761305806467928397452442863439295404916322825011159280624788884428638130196321493230052203287480753279835293979811404860569122750378678337319219432918373026196394476404810190776515102484201949942232113410740305438832069221721719078775512069895062605794695761383587988558287108167465}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{10} - \frac{2115850826451444772745319517497161388236453279984747094204861580569108548677543369735160665305705817596318978739729551883395161875602110923631862707904390249086357128905251184529635516966529563656314029013187348016930753511013618142894746750280168775732203326318882958519496662711233879230027961191271509338653746281092335905614172077332}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{9} + \frac{12004948530478044821898978028463941184331561152715691400577325231243012872821813953181594205586673824858403611774141286509229584091728685988423131007950516597320732887467408945515347055163813725240457555355882184738431103791760498713024985356248273942113321272346333532303365719119117527299960805486630769856882755492127264376766898091434}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{8} + \frac{9869419800445021514347749760620267526770670805018304539621444827520984133482991762854852795160935902896042256408231323545240782726764149236787346412877158871957872908062622685851588393696278249402538890240101657321754178371749083018315712517188882822982788152259376503531444378185371148092227341816734241305682446030371461805161832147168}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{7} - \frac{12512262403366941936231807048859928305630367231666511914254249181154335950701985465409114269907157453549188492811376893597493360079765070266730556674706665869435772465394020036867597143993932108975077818657207422102840740570843234860662599812324765355431145470191224010764681461832773633019971495216619992163073919361560471855216459644464}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{6} + \frac{1856567054407320706540428271337308659239348540039316521884953672095024715532114536067689907871299088949286305384192177246819324904085525499107968569151145573588351352981548599061329056837312219485051284797954379086544405770906752526152721695891213307964939608410737343958171818264221700135132459411579439616842601073281970852563288893232}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{5} + \frac{11691628526466945279434178369305272514593552632507307353619699704023418033071704470454834296507326414625003186593852088948119732132822828761269217091089834315692975820015843184635034999644259093208601878224039172777635597304004879166607029522909285812397290826485867813324904768754157842293538864273670786517206388786888264869733732221048}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{4} + \frac{17094659647144968723891871235330810006115453612577338250858111765596639766102415703570659488226603686394547150230339457335509326323019259969860194940195851316896527050866305091116100882068169161597345481261130487420527913221287691326842223291664321155809213374108867412751084732598748263830731171495473473089555610007434504691105271644596}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{3} - \frac{15989076915985663557990078758437271578602992010514610394840205458855485708327301697311033703460129649908286177555513559844267777535771938013655708145311089836982559866587406084427519014097531627782460858020474619160723405734800688463513897813194308196247438524311431127589613015140122768730615954150109832194849696378386020957350234741414}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a^{2} + \frac{11748700099586884358903187207670401168058803063362369335988955379166878536306088180939868681010659119269950903725541377369672694859725598634889472627525956622146458777121940517532504348310164141230342471372129803791696342086652135208920766537494563102686200924436578462146165059231065143870835573916907151222177465970868241889799785220261}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613} a + \frac{4514127232213854113112226214450687880964722481182995563268668589751126003715701830600022863732653390559223469146140803183553715694377919204055131986054506871478185259953605906257499369714312517165692505945945421494668513351421469674072248024353468042163589915290359790197809037937580239542820197076860739895808533714687993620260084352332}{34293695080296107642558586354733292096590589664082775753873199933245068053330410579428419837296569496798334393840900248199115969430454849668891736143142797285607160644998000373516757551029200541010871613719963365401040690954197720389534402409190901585958919661445303891676865464242734061141063817100116819676906069524613795596480832168613}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $38$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{39}$ (as 39T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 39
The 39 conjugacy class representatives for $C_{39}$
Character table for $C_{39}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.1054729.1, 13.13.59091511031674153381441.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/3.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/7.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ R $39$ ${\href{/LocalNumberField/19.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/23.3.0.1}{3} }^{13}$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/37.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ $39$ $39$ $39$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
13Data not computed
79Data not computed