↑

Properties

Label 39.39.1087573120...6489.1
Degree $39$
Signature $[39, 0]$
Discriminant $13^{26}\cdot 53^{36}$
Root discriminant $215.91$
Ramified primes $13, 53$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{39}$ (as 39T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1788197, 15239414, -106744516, -804059407, 2704930022, 13445073140, -28423351128, -102630494231, 139924561470, 408532943088, -377238926259, -927524873227, 636966693014, 1306427105242, -732019943274, -1212025785075, 599267077900, 769896542138, -357124870516, -342706955337, 156174553989, 108120625100, -50158998143, -24197312569, 11792160578, 3799253180, -2015287011, -406156179, 247428139, 27475516, -21400660, -921080, 1262097, -10490, -47944, 2269, 1050, -81, -10, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - 10*x^38 - 81*x^37 + 1050*x^36 + 2269*x^35 - 47944*x^34 - 10490*x^33 + 1262097*x^32 - 921080*x^31 - 21400660*x^30 + 27475516*x^29 + 247428139*x^28 - 406156179*x^27 - 2015287011*x^26 + 3799253180*x^25 + 11792160578*x^24 - 24197312569*x^23 - 50158998143*x^22 + 108120625100*x^21 + 156174553989*x^20 - 342706955337*x^19 - 357124870516*x^18 + 769896542138*x^17 + 599267077900*x^16 - 1212025785075*x^15 - 732019943274*x^14 + 1306427105242*x^13 + 636966693014*x^12 - 927524873227*x^11 - 377238926259*x^10 + 408532943088*x^9 + 139924561470*x^8 - 102630494231*x^7 - 28423351128*x^6 + 13445073140*x^5 + 2704930022*x^4 - 804059407*x^3 - 106744516*x^2 + 15239414*x + 1788197)
 
gp: K = bnfinit(x^39 - 10*x^38 - 81*x^37 + 1050*x^36 + 2269*x^35 - 47944*x^34 - 10490*x^33 + 1262097*x^32 - 921080*x^31 - 21400660*x^30 + 27475516*x^29 + 247428139*x^28 - 406156179*x^27 - 2015287011*x^26 + 3799253180*x^25 + 11792160578*x^24 - 24197312569*x^23 - 50158998143*x^22 + 108120625100*x^21 + 156174553989*x^20 - 342706955337*x^19 - 357124870516*x^18 + 769896542138*x^17 + 599267077900*x^16 - 1212025785075*x^15 - 732019943274*x^14 + 1306427105242*x^13 + 636966693014*x^12 - 927524873227*x^11 - 377238926259*x^10 + 408532943088*x^9 + 139924561470*x^8 - 102630494231*x^7 - 28423351128*x^6 + 13445073140*x^5 + 2704930022*x^4 - 804059407*x^3 - 106744516*x^2 + 15239414*x + 1788197, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{39} - 10 x^{38} - 81 x^{37} + 1050 x^{36} + 2269 x^{35} - 47944 x^{34} - 10490 x^{33} + 1262097 x^{32} - 921080 x^{31} - 21400660 x^{30} + 27475516 x^{29} + 247428139 x^{28} - 406156179 x^{27} - 2015287011 x^{26} + 3799253180 x^{25} + 11792160578 x^{24} - 24197312569 x^{23} - 50158998143 x^{22} + 108120625100 x^{21} + 156174553989 x^{20} - 342706955337 x^{19} - 357124870516 x^{18} + 769896542138 x^{17} + 599267077900 x^{16} - 1212025785075 x^{15} - 732019943274 x^{14} + 1306427105242 x^{13} + 636966693014 x^{12} - 927524873227 x^{11} - 377238926259 x^{10} + 408532943088 x^{9} + 139924561470 x^{8} - 102630494231 x^{7} - 28423351128 x^{6} + 13445073140 x^{5} + 2704930022 x^{4} - 804059407 x^{3} - 106744516 x^{2} + 15239414 x + 1788197 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $39$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[39, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(10875731209963950183668965028172966310448843982174863722806229308537531743799916727046706489=13^{26}\cdot 53^{36}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $215.91$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $13, 53$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(689=13\cdot 53\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{689}(256,·)$, $\chi_{689}(1,·)$, $\chi_{689}(386,·)$, $\chi_{689}(261,·)$, $\chi_{689}(646,·)$, $\chi_{689}(521,·)$, $\chi_{689}(523,·)$, $\chi_{689}(399,·)$, $\chi_{689}(16,·)$, $\chi_{689}(152,·)$, $\chi_{689}(664,·)$, $\chi_{689}(672,·)$, $\chi_{689}(289,·)$, $\chi_{689}(425,·)$, $\chi_{689}(42,·)$, $\chi_{689}(172,·)$, $\chi_{689}(685,·)$, $\chi_{689}(183,·)$, $\chi_{689}(66,·)$, $\chi_{689}(651,·)$, $\chi_{689}(68,·)$, $\chi_{689}(417,·)$, $\chi_{689}(328,·)$, $\chi_{689}(599,·)$, $\chi_{689}(334,·)$, $\chi_{689}(81,·)$, $\chi_{689}(471,·)$, $\chi_{689}(222,·)$, $\chi_{689}(607,·)$, $\chi_{689}(354,·)$, $\chi_{689}(100,·)$, $\chi_{689}(360,·)$, $\chi_{689}(490,·)$, $\chi_{689}(107,·)$, $\chi_{689}(365,·)$, $\chi_{689}(367,·)$, $\chi_{689}(625,·)$, $\chi_{689}(627,·)$, $\chi_{689}(248,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $\frac{1}{1909} a^{33} + \frac{458}{1909} a^{32} - \frac{490}{1909} a^{31} + \frac{934}{1909} a^{30} + \frac{369}{1909} a^{29} + \frac{510}{1909} a^{28} - \frac{783}{1909} a^{27} + \frac{559}{1909} a^{26} + \frac{779}{1909} a^{25} + \frac{887}{1909} a^{24} - \frac{266}{1909} a^{23} - \frac{545}{1909} a^{22} - \frac{786}{1909} a^{21} - \frac{326}{1909} a^{20} - \frac{324}{1909} a^{19} + \frac{504}{1909} a^{18} + \frac{240}{1909} a^{17} + \frac{8}{1909} a^{16} + \frac{123}{1909} a^{15} + \frac{201}{1909} a^{14} + \frac{886}{1909} a^{13} + \frac{675}{1909} a^{12} - \frac{297}{1909} a^{11} + \frac{111}{1909} a^{10} + \frac{899}{1909} a^{9} - \frac{619}{1909} a^{8} + \frac{40}{1909} a^{7} + \frac{11}{83} a^{6} - \frac{420}{1909} a^{5} - \frac{252}{1909} a^{4} + \frac{394}{1909} a^{3} + \frac{22}{83} a^{2} + \frac{445}{1909} a + \frac{183}{1909}$, $\frac{1}{1909} a^{34} - \frac{264}{1909} a^{32} + \frac{4}{83} a^{31} + \frac{213}{1909} a^{30} - \frac{500}{1909} a^{29} + \frac{444}{1909} a^{28} + \frac{281}{1909} a^{27} + \frac{563}{1909} a^{26} - \frac{821}{1909} a^{25} + \frac{105}{1909} a^{24} - \frac{893}{1909} a^{23} + \frac{654}{1909} a^{22} + \frac{770}{1909} a^{21} + \frac{82}{1909} a^{20} - \frac{6}{1909} a^{19} + \frac{397}{1909} a^{18} + \frac{810}{1909} a^{17} + \frac{277}{1909} a^{16} - \frac{772}{1909} a^{15} + \frac{20}{83} a^{14} - \frac{405}{1909} a^{13} - \frac{189}{1909} a^{12} + \frac{26}{83} a^{11} - \frac{305}{1909} a^{10} - \frac{17}{1909} a^{9} - \frac{899}{1909} a^{8} - \frac{886}{1909} a^{7} + \frac{155}{1909} a^{6} - \frac{701}{1909} a^{5} - \frac{639}{1909} a^{4} - \frac{500}{1909} a^{3} - \frac{314}{1909} a^{2} + \frac{636}{1909} a + \frac{182}{1909}$, $\frac{1}{1909} a^{35} + \frac{737}{1909} a^{32} + \frac{665}{1909} a^{31} - \frac{185}{1909} a^{30} + \frac{501}{1909} a^{29} - \frac{618}{1909} a^{28} + \frac{1}{83} a^{27} - \frac{238}{1909} a^{26} - \frac{411}{1909} a^{25} + \frac{377}{1909} a^{24} - \frac{846}{1909} a^{23} + \frac{65}{1909} a^{22} + \frac{659}{1909} a^{21} - \frac{165}{1909} a^{20} + \frac{766}{1909} a^{19} + \frac{236}{1909} a^{18} + \frac{640}{1909} a^{17} - \frac{569}{1909} a^{16} + \frac{479}{1909} a^{15} - \frac{793}{1909} a^{14} + \frac{817}{1909} a^{13} - \frac{648}{1909} a^{12} - \frac{444}{1909} a^{11} + \frac{652}{1909} a^{10} - \frac{279}{1909} a^{9} - \frac{128}{1909} a^{8} - \frac{739}{1909} a^{7} - \frac{724}{1909} a^{6} - \frac{797}{1909} a^{5} - \frac{213}{1909} a^{4} + \frac{616}{1909} a^{3} + \frac{590}{1909} a^{2} - \frac{696}{1909} a + \frac{587}{1909}$, $\frac{1}{435105007} a^{36} - \frac{67040}{435105007} a^{35} - \frac{30345}{435105007} a^{34} + \frac{107426}{435105007} a^{33} + \frac{14787842}{435105007} a^{32} - \frac{192056280}{435105007} a^{31} - \frac{155487898}{435105007} a^{30} - \frac{101266824}{435105007} a^{29} + \frac{144968881}{435105007} a^{28} + \frac{110940851}{435105007} a^{27} + \frac{187785596}{435105007} a^{26} - \frac{127715305}{435105007} a^{25} - \frac{206542021}{435105007} a^{24} - \frac{213921366}{435105007} a^{23} - \frac{4050441}{435105007} a^{22} - \frac{5704031}{435105007} a^{21} - \frac{67628020}{435105007} a^{20} + \frac{183990767}{435105007} a^{19} + \frac{70419462}{435105007} a^{18} + \frac{49285945}{435105007} a^{17} - \frac{6942345}{18917609} a^{16} + \frac{180802917}{435105007} a^{15} - \frac{147712297}{435105007} a^{14} - \frac{202912644}{435105007} a^{13} - \frac{181298839}{435105007} a^{12} + \frac{38581767}{435105007} a^{11} + \frac{211279934}{435105007} a^{10} + \frac{3099037}{18917609} a^{9} - \frac{176235636}{435105007} a^{8} - \frac{46354611}{435105007} a^{7} + \frac{61759164}{435105007} a^{6} - \frac{52934560}{435105007} a^{5} - \frac{188547735}{435105007} a^{4} - \frac{330328}{1372571} a^{3} + \frac{158365631}{435105007} a^{2} - \frac{4845957}{435105007} a + \frac{69526}{1372571}$, $\frac{1}{461646412427} a^{37} - \frac{495}{461646412427} a^{36} - \frac{26053488}{461646412427} a^{35} - \frac{85273944}{461646412427} a^{34} + \frac{58863179}{461646412427} a^{33} + \frac{191373655611}{461646412427} a^{32} - \frac{186689691871}{461646412427} a^{31} - \frac{80652820791}{461646412427} a^{30} - \frac{152785876980}{461646412427} a^{29} + \frac{198107128519}{461646412427} a^{28} + \frac{116749056020}{461646412427} a^{27} + \frac{919667552}{5562004969} a^{26} - \frac{62087447292}{461646412427} a^{25} - \frac{122180988844}{461646412427} a^{24} + \frac{229964781395}{461646412427} a^{23} + \frac{165746868408}{461646412427} a^{22} - \frac{24168189963}{461646412427} a^{21} + \frac{47006435845}{461646412427} a^{20} + \frac{31996830735}{461646412427} a^{19} + \frac{128666642085}{461646412427} a^{18} - \frac{196429082158}{461646412427} a^{17} - \frac{157312860414}{461646412427} a^{16} + \frac{196897723558}{461646412427} a^{15} - \frac{24505356651}{461646412427} a^{14} + \frac{56523317358}{461646412427} a^{13} - \frac{30362706419}{461646412427} a^{12} + \frac{206179463469}{461646412427} a^{11} - \frac{170881782281}{461646412427} a^{10} - \frac{165307291920}{461646412427} a^{9} + \frac{75772246702}{461646412427} a^{8} - \frac{51496803339}{461646412427} a^{7} - \frac{180036582331}{461646412427} a^{6} - \frac{105347137207}{461646412427} a^{5} - \frac{103267180649}{461646412427} a^{4} + \frac{224816024077}{461646412427} a^{3} - \frac{4504465709}{461646412427} a^{2} + \frac{78349514985}{461646412427} a - \frac{355412354}{1456297831}$, $\frac{1}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{38} - \frac{1689340409606570846589877480895203730348139011827013616693946621440108898343169987945132004409659036057709163796646127684577596288597703683359931406960305}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{37} + \frac{3802024370270366553947718842198809222629331791280154878307980398727830518442155388301820395463859127979996617900050933726106403539023643778347533087414277819}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{36} - \frac{422503393442993370404794907935652483624247153820481658357804313057957480624362046681288360879689957580065553702686388678622473146224181486480008288300984272627572}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{35} + \frac{560837942066432316149963932199985448897317534799524469769635531861083425634427688096532959801523909862698325202403975605740320538115454561212797537066671040670085}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{34} + \frac{529042940719974968149829117425407522340722290598453088525125012741040611774836433023003007249646564129720145019660264792938851634791228863980976550721059023527210}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{33} - \frac{1320012110394073574579157435736076943563782120183486324458556477672458484118345789383011458445530597907943802697741000405636105466328253932971302785656602104574741181}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{32} - \frac{1124045900435766887410147205065723465362437875393652551177034742389992855938292236458158055856649071173031471458772526393171776544435554993288120136312736815736241232}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{31} + \frac{924049527319162148340186120192503618504981726225914940650535987593308000493416143206695567393408107367188163003459819950941200277494871433079340120432665808452911695}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{30} - \frac{801900677446078486018799071291698543409781559944193917603733760954342423492817855952325194512747770337697195853683178442269198519616359740128435488220022946865829302}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{29} - \frac{681624406929985509261747612745196531536406097881310167332154832880524669720113194490529794086191521342756989848075463152382591232474662338141041954120408874386460181}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{28} + \frac{1606977662924816223494882867793970451481025162966303568210013593139805611656412150015000152933719968132413194774330217585470415398895622985429277598867049100193159576}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{27} + \frac{523726804744744005084424721211112269097283033055039126442672152370418740412444867975960304514314029428073807024748510593973138404853469515452843862469592208813880232}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{26} - \frac{603279280013053034351625787544091100322137660583738637327937931329778501361368689161841103399931353702984012804454426230834054696871246996073504266682145992343829893}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{25} + \frac{1400462229799401784390741499154566666444344255078348105670940805419419647543580255387806314422806963481740683205836217282852750933565163698496221257019581809379320972}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{24} - \frac{1630504678140478746383812080986642560619945487523691869515281182217070997642728868476329577888782190947019565923445850006784557732484199847316124749256971206692237834}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{23} - \frac{815891138658424035644626471905753244142268822337857838355188195880516867313950279540606494847186236671911306548861617101578162823915203797104143067341765597817213384}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{22} + \frac{289698368949297027176853089946259687944313689404041557861845742978042288308745999779678367739499146850968630874754745947248544204318416608836867202061453102854490615}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{21} + \frac{417557243587093915337211524415613709273603965519145642058273626711986494076998615886018747519051706853234499505961974009489666660775641047512027443669908493111027644}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{20} - \frac{394143420192807938339826986707510865426034329930340634997276198840071237623555752826016929602588969458135345479329482181568260743361107772393666107545529861761675529}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{19} + \frac{637715273602393110815955512425765344451395465707973990120246836968464334525791004792711785985491381438809765184429856166655888846503239019556456830496712617648040410}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{18} + \frac{483551778263868655458863694554828079953670716857412296493546033144375366443478507719674996709978529328310348706615163537868888670781574531376582693407037985489774221}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{17} + \frac{776015401459563527603673905846184217203762595515095807992422890853102774274198650359484669721445638121507451548467604354370018985466403154103028700256262119689743426}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{16} - \frac{1656485755701977143371228991008824889919523492143558399737902285630269075295299916822137599060785013878215841022718935293951798705594845726379723256804964548859794053}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{15} + \frac{215012215484198471739952244393014260728057846059067069191780009088419781319874866152014878844879450427677490173073259146229789701590064093167271321879555572388336718}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{14} - \frac{1602212377874112656091771593591490523206413770476666614929151317003615933739915259560479769276971176275450991608141841240685625833881749211710784666606957474124865704}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{13} - \frac{114782460732690222188048204823399457197220098819444493208773306728215554460188149413880421851762264037498185524026019461894116463547090951553589671481973323134307859}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{12} + \frac{1016110259391026907223805253697255802470193968971401010731185066395285161533503555085472830881960134584917122827322630804579886532662645727889330044947680680477221148}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{11} - \frac{249288701210417130919395525230577717276817057852111373735514930706145402776588443120978655557305851253281745976395239453241969138158547557695071814863276165618639298}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{10} - \frac{1001613681279080186082187065739567869097011130687199471667578255989573334540601474427746872085873527424100181578347878208198022942935582728030126242680624725841565684}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{9} + \frac{68270288610168392293451487006207496376579950727411829763968687656831635758691468638416644474622616384935087151315028431378184245662764518525876016631493238081976575}{150934256138544685186360914281668946299640344330847917828416880094511221517406793862783254481107925755947058823838894387253170134027501732326044965925507244814646171} a^{8} + \frac{1705010049754237233891699866312423593922857066800644320573264715802150650645701734064041498031190918181946630081641916449552802965421750183749957017325327744618234766}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{7} - \frac{1478203486623653168708395907082438870682248878806173621397790290799822293677338219060595670810008994190976947485695382422789831589535871835024414151117262012782869211}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{6} - \frac{476062287538001079012540225024937064991912055533432897216219126094410333591869709253851868918797437696104672632112450257095611246501038713168782089868346051828845258}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{5} + \frac{16570755513683097664073571449342071548191483889539496689530473678066975912130684871500102357795909224137474677406983066829091614922784612629832925249536406311277149}{150934256138544685186360914281668946299640344330847917828416880094511221517406793862783254481107925755947058823838894387253170134027501732326044965925507244814646171} a^{4} - \frac{159924964722572849202967151860923897165529708239456760000553414824259342854925155978034354035751160490954840680297920170859524438310579635792407405936466132676014707}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{3} - \frac{955218302474108182079044181184019931963555788688200989190788366415211772818266207252887415589843067251467499085753691886785890355985564953816794542828012395326893118}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a^{2} + \frac{918153968270342701745986016074948782778514830859306738233610611627516429428865598452230954811424785680507755699760170058844327293355697740093957678072672799752007743}{3471487891186527759286301028478385764891727919609502110053588242173758094900356258844014853065482292386782352948294570906822913082632539843499034216286666630736861933} a + \frac{3202111875015482342326392316768931220243379433415381767739541720612742850142232576543687316891070929308548011574982180839607191305853450197732881198097864451616469}{10951065902796617537180760342203109668428163784257104448118574896447186419244026053135693542793319534343161996682317258381144836222815583102520612669674027226299249}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $38$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{39}$ (as 39T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 39
The 39 conjugacy class representatives for $C_{39}$
Character table for $C_{39}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.169.1, 13.13.491258904256726154641.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/5.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ R $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/23.3.0.1}{3} }^{13}$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/31.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/47.13.0.1}{13} }^{3}$ R $39$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
13Data not computed
$53$53.13.12.1$x^{13} - 53$$13$$1$$12$$C_{13}$$[\ ]_{13}$
53.13.12.1$x^{13} - 53$$13$$1$$12$$C_{13}$$[\ ]_{13}$
53.13.12.1$x^{13} - 53$$13$$1$$12$$C_{13}$$[\ ]_{13}$