↑

Properties

Label 39.39.1033300433...4321.1
Degree $39$
Signature $[39, 0]$
Discriminant $3^{52}\cdot 13^{72}$
Root discriminant $492.80$
Ramified primes $3, 13$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{39}$ (as 39T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-74582793628487, 508628454555390, 3902254369099281, -12581772617130626, -31218629333468928, 69192173959102974, 112906095976866894, -145266045302980407, -222021635494235226, 133821224934649850, 236344730286375750, -58889345017035585, -150278137860645691, 8390784874919109, 61790220910015260, 3760495385256844, -17327097772488816, -2392139407741278, 3429684774229909, 664421816490900, -489362521182600, -116266057517948, 50874859479912, 14025312563028, -3860615205330, -1206809157840, 212338381011, 74929320141, -8318087427, -3349110687, 224718143, 106181673, -3952806, -2316834, 40482, 32916, -182, -273, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^39 - 273*x^37 - 182*x^36 + 32916*x^35 + 40482*x^34 - 2316834*x^33 - 3952806*x^32 + 106181673*x^31 + 224718143*x^30 - 3349110687*x^29 - 8318087427*x^28 + 74929320141*x^27 + 212338381011*x^26 - 1206809157840*x^25 - 3860615205330*x^24 + 14025312563028*x^23 + 50874859479912*x^22 - 116266057517948*x^21 - 489362521182600*x^20 + 664421816490900*x^19 + 3429684774229909*x^18 - 2392139407741278*x^17 - 17327097772488816*x^16 + 3760495385256844*x^15 + 61790220910015260*x^14 + 8390784874919109*x^13 - 150278137860645691*x^12 - 58889345017035585*x^11 + 236344730286375750*x^10 + 133821224934649850*x^9 - 222021635494235226*x^8 - 145266045302980407*x^7 + 112906095976866894*x^6 + 69192173959102974*x^5 - 31218629333468928*x^4 - 12581772617130626*x^3 + 3902254369099281*x^2 + 508628454555390*x - 74582793628487)
 
gp: K = bnfinit(x^39 - 273*x^37 - 182*x^36 + 32916*x^35 + 40482*x^34 - 2316834*x^33 - 3952806*x^32 + 106181673*x^31 + 224718143*x^30 - 3349110687*x^29 - 8318087427*x^28 + 74929320141*x^27 + 212338381011*x^26 - 1206809157840*x^25 - 3860615205330*x^24 + 14025312563028*x^23 + 50874859479912*x^22 - 116266057517948*x^21 - 489362521182600*x^20 + 664421816490900*x^19 + 3429684774229909*x^18 - 2392139407741278*x^17 - 17327097772488816*x^16 + 3760495385256844*x^15 + 61790220910015260*x^14 + 8390784874919109*x^13 - 150278137860645691*x^12 - 58889345017035585*x^11 + 236344730286375750*x^10 + 133821224934649850*x^9 - 222021635494235226*x^8 - 145266045302980407*x^7 + 112906095976866894*x^6 + 69192173959102974*x^5 - 31218629333468928*x^4 - 12581772617130626*x^3 + 3902254369099281*x^2 + 508628454555390*x - 74582793628487, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{39} - 273 x^{37} - 182 x^{36} + 32916 x^{35} + 40482 x^{34} - 2316834 x^{33} - 3952806 x^{32} + 106181673 x^{31} + 224718143 x^{30} - 3349110687 x^{29} - 8318087427 x^{28} + 74929320141 x^{27} + 212338381011 x^{26} - 1206809157840 x^{25} - 3860615205330 x^{24} + 14025312563028 x^{23} + 50874859479912 x^{22} - 116266057517948 x^{21} - 489362521182600 x^{20} + 664421816490900 x^{19} + 3429684774229909 x^{18} - 2392139407741278 x^{17} - 17327097772488816 x^{16} + 3760495385256844 x^{15} + 61790220910015260 x^{14} + 8390784874919109 x^{13} - 150278137860645691 x^{12} - 58889345017035585 x^{11} + 236344730286375750 x^{10} + 133821224934649850 x^{9} - 222021635494235226 x^{8} - 145266045302980407 x^{7} + 112906095976866894 x^{6} + 69192173959102974 x^{5} - 31218629333468928 x^{4} - 12581772617130626 x^{3} + 3902254369099281 x^{2} + 508628454555390 x - 74582793628487 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $39$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[39, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(1033300433324138148710963475443415998216221242750432363477115375081339504335205439697398730730047864534321=3^{52}\cdot 13^{72}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $492.80$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 13$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1521=3^{2}\cdot 13^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1521}(1,·)$, $\chi_{1521}(898,·)$, $\chi_{1521}(391,·)$, $\chi_{1521}(1288,·)$, $\chi_{1521}(781,·)$, $\chi_{1521}(274,·)$, $\chi_{1521}(1171,·)$, $\chi_{1521}(664,·)$, $\chi_{1521}(157,·)$, $\chi_{1521}(1054,·)$, $\chi_{1521}(547,·)$, $\chi_{1521}(1444,·)$, $\chi_{1521}(40,·)$, $\chi_{1521}(937,·)$, $\chi_{1521}(430,·)$, $\chi_{1521}(1327,·)$, $\chi_{1521}(820,·)$, $\chi_{1521}(313,·)$, $\chi_{1521}(1210,·)$, $\chi_{1521}(703,·)$, $\chi_{1521}(196,·)$, $\chi_{1521}(1093,·)$, $\chi_{1521}(586,·)$, $\chi_{1521}(1483,·)$, $\chi_{1521}(79,·)$, $\chi_{1521}(976,·)$, $\chi_{1521}(469,·)$, $\chi_{1521}(1366,·)$, $\chi_{1521}(859,·)$, $\chi_{1521}(352,·)$, $\chi_{1521}(1249,·)$, $\chi_{1521}(742,·)$, $\chi_{1521}(235,·)$, $\chi_{1521}(1132,·)$, $\chi_{1521}(625,·)$, $\chi_{1521}(118,·)$, $\chi_{1521}(1015,·)$, $\chi_{1521}(508,·)$, $\chi_{1521}(1405,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $\frac{1}{19} a^{17} + \frac{3}{19} a^{16} + \frac{7}{19} a^{15} - \frac{4}{19} a^{14} - \frac{7}{19} a^{13} + \frac{6}{19} a^{12} - \frac{6}{19} a^{11} + \frac{8}{19} a^{10} - \frac{2}{19} a^{9} - \frac{3}{19} a^{8} - \frac{5}{19} a^{7} - \frac{9}{19} a^{6} + \frac{2}{19} a^{5} + \frac{5}{19} a^{4} - \frac{8}{19} a^{3} + \frac{4}{19} a^{2} + \frac{9}{19} a$, $\frac{1}{19} a^{18} - \frac{2}{19} a^{16} - \frac{6}{19} a^{15} + \frac{5}{19} a^{14} + \frac{8}{19} a^{13} - \frac{5}{19} a^{12} + \frac{7}{19} a^{11} - \frac{7}{19} a^{10} + \frac{3}{19} a^{9} + \frac{4}{19} a^{8} + \frac{6}{19} a^{7} - \frac{9}{19} a^{6} - \frac{1}{19} a^{5} - \frac{4}{19} a^{4} + \frac{9}{19} a^{3} - \frac{3}{19} a^{2} - \frac{8}{19} a$, $\frac{1}{19} a^{19} - \frac{1}{19} a$, $\frac{1}{19} a^{20} - \frac{1}{19} a^{2}$, $\frac{1}{19} a^{21} - \frac{1}{19} a^{3}$, $\frac{1}{19} a^{22} - \frac{1}{19} a^{4}$, $\frac{1}{19} a^{23} - \frac{1}{19} a^{5}$, $\frac{1}{19} a^{24} - \frac{1}{19} a^{6}$, $\frac{1}{19} a^{25} - \frac{1}{19} a^{7}$, $\frac{1}{19} a^{26} - \frac{1}{19} a^{8}$, $\frac{1}{437} a^{27} + \frac{7}{437} a^{26} - \frac{6}{437} a^{25} + \frac{10}{437} a^{24} - \frac{6}{437} a^{23} + \frac{6}{437} a^{22} + \frac{2}{437} a^{21} + \frac{7}{437} a^{20} - \frac{10}{437} a^{19} + \frac{1}{437} a^{17} + \frac{193}{437} a^{16} + \frac{159}{437} a^{15} - \frac{42}{437} a^{14} - \frac{64}{437} a^{13} + \frac{120}{437} a^{12} + \frac{51}{437} a^{11} + \frac{217}{437} a^{10} - \frac{155}{437} a^{9} - \frac{29}{437} a^{8} + \frac{210}{437} a^{7} - \frac{10}{23} a^{6} + \frac{84}{437} a^{5} + \frac{56}{437} a^{4} + \frac{47}{437} a^{3} + \frac{16}{437} a^{2} + \frac{8}{23}$, $\frac{1}{437} a^{28} - \frac{9}{437} a^{26} + \frac{6}{437} a^{25} - \frac{7}{437} a^{24} + \frac{2}{437} a^{23} + \frac{6}{437} a^{22} - \frac{7}{437} a^{21} + \frac{10}{437} a^{20} + \frac{1}{437} a^{19} + \frac{1}{437} a^{18} + \frac{2}{437} a^{17} + \frac{4}{437} a^{16} + \frac{179}{437} a^{15} + \frac{4}{19} a^{14} + \frac{108}{437} a^{13} - \frac{145}{437} a^{12} + \frac{90}{437} a^{11} - \frac{87}{437} a^{10} + \frac{113}{437} a^{9} + \frac{45}{437} a^{8} + \frac{180}{437} a^{7} - \frac{58}{437} a^{6} + \frac{20}{437} a^{5} - \frac{8}{23} a^{3} - \frac{43}{437} a^{2} - \frac{124}{437} a - \frac{10}{23}$, $\frac{1}{437} a^{29} + \frac{8}{437} a^{25} - \frac{2}{437} a^{23} + \frac{1}{437} a^{22} + \frac{5}{437} a^{21} - \frac{5}{437} a^{20} + \frac{3}{437} a^{19} + \frac{2}{437} a^{18} - \frac{10}{437} a^{17} + \frac{99}{437} a^{16} + \frac{51}{437} a^{15} - \frac{178}{437} a^{14} - \frac{123}{437} a^{13} + \frac{158}{437} a^{12} + \frac{73}{437} a^{11} + \frac{134}{437} a^{10} + \frac{7}{437} a^{9} + \frac{3}{23} a^{8} + \frac{130}{437} a^{7} - \frac{80}{437} a^{6} - \frac{210}{437} a^{5} - \frac{154}{437} a^{4} + \frac{150}{437} a^{3} - \frac{3}{437} a^{2} - \frac{52}{437} a + \frac{3}{23}$, $\frac{1}{437} a^{30} + \frac{8}{437} a^{26} - \frac{2}{437} a^{24} + \frac{1}{437} a^{23} + \frac{5}{437} a^{22} - \frac{5}{437} a^{21} + \frac{3}{437} a^{20} + \frac{2}{437} a^{19} - \frac{10}{437} a^{18} + \frac{7}{437} a^{17} + \frac{212}{437} a^{16} + \frac{52}{437} a^{15} - \frac{192}{437} a^{14} - \frac{72}{437} a^{13} - \frac{42}{437} a^{12} - \frac{188}{437} a^{11} + \frac{145}{437} a^{10} - \frac{196}{437} a^{9} - \frac{31}{437} a^{8} - \frac{3}{23} a^{7} + \frac{181}{437} a^{6} + \frac{99}{437} a^{5} + \frac{127}{437} a^{4} - \frac{141}{437} a^{3} + \frac{17}{437} a^{2} + \frac{103}{437} a$, $\frac{1}{8303} a^{31} + \frac{4}{8303} a^{30} + \frac{4}{8303} a^{29} + \frac{3}{8303} a^{28} + \frac{7}{8303} a^{27} - \frac{163}{8303} a^{26} - \frac{107}{8303} a^{25} + \frac{146}{8303} a^{24} + \frac{197}{8303} a^{23} - \frac{199}{8303} a^{22} - \frac{204}{8303} a^{21} - \frac{98}{8303} a^{20} + \frac{4}{361} a^{19} + \frac{116}{8303} a^{18} - \frac{140}{8303} a^{17} + \frac{3300}{8303} a^{16} - \frac{172}{361} a^{15} - \frac{117}{437} a^{14} + \frac{3522}{8303} a^{13} - \frac{2165}{8303} a^{12} + \frac{2503}{8303} a^{11} + \frac{1960}{8303} a^{10} + \frac{2996}{8303} a^{9} - \frac{1974}{8303} a^{8} + \frac{2206}{8303} a^{7} - \frac{424}{8303} a^{6} - \frac{916}{8303} a^{5} - \frac{167}{8303} a^{4} - \frac{3693}{8303} a^{3} + \frac{3579}{8303} a^{2} - \frac{119}{437} a - \frac{5}{23}$, $\frac{1}{8303} a^{32} + \frac{7}{8303} a^{30} + \frac{6}{8303} a^{29} - \frac{5}{8303} a^{28} - \frac{1}{8303} a^{27} - \frac{158}{8303} a^{26} + \frac{1}{361} a^{25} + \frac{164}{8303} a^{24} + \frac{39}{8303} a^{23} + \frac{98}{8303} a^{22} - \frac{213}{8303} a^{21} + \frac{28}{8303} a^{20} + \frac{128}{8303} a^{19} + \frac{118}{8303} a^{18} + \frac{60}{8303} a^{17} + \frac{3573}{8303} a^{16} - \frac{3613}{8303} a^{15} + \frac{900}{8303} a^{14} + \frac{2405}{8303} a^{13} - \frac{104}{8303} a^{12} - \frac{4043}{8303} a^{11} + \frac{4105}{8303} a^{10} - \frac{3299}{8303} a^{9} - \frac{2343}{8303} a^{8} - \frac{70}{361} a^{7} + \frac{3744}{8303} a^{6} - \frac{1880}{8303} a^{5} + \frac{2295}{8303} a^{4} + \frac{1669}{8303} a^{3} + \frac{145}{361} a^{2} - \frac{166}{437} a + \frac{11}{23}$, $\frac{1}{738967} a^{33} - \frac{22}{738967} a^{32} - \frac{3}{738967} a^{31} - \frac{188}{738967} a^{30} + \frac{27}{32129} a^{29} - \frac{282}{738967} a^{28} - \frac{605}{738967} a^{27} - \frac{14954}{738967} a^{26} - \frac{526}{738967} a^{25} + \frac{8803}{738967} a^{24} + \frac{10456}{738967} a^{23} - \frac{10259}{738967} a^{22} - \frac{200}{738967} a^{21} - \frac{10338}{738967} a^{20} - \frac{1528}{738967} a^{19} - \frac{411}{32129} a^{18} - \frac{1078}{738967} a^{17} - \frac{320058}{738967} a^{16} - \frac{52631}{738967} a^{15} - \frac{4268}{32129} a^{14} - \frac{87094}{738967} a^{13} - \frac{95587}{738967} a^{12} + \frac{222453}{738967} a^{11} + \frac{238329}{738967} a^{10} + \frac{145136}{738967} a^{9} - \frac{208959}{738967} a^{8} - \frac{266528}{738967} a^{7} + \frac{343141}{738967} a^{6} - \frac{219303}{738967} a^{5} - \frac{352329}{738967} a^{4} - \frac{183242}{738967} a^{3} + \frac{57869}{738967} a^{2} + \frac{11318}{38893} a - \frac{366}{2047}$, $\frac{1}{738967} a^{34} - \frac{42}{738967} a^{32} + \frac{13}{738967} a^{31} + \frac{668}{738967} a^{30} + \frac{208}{738967} a^{29} + \frac{222}{738967} a^{28} + \frac{216}{738967} a^{27} - \frac{18904}{738967} a^{26} + \frac{4262}{738967} a^{25} - \frac{39}{1691} a^{24} - \frac{16344}{738967} a^{23} - \frac{372}{738967} a^{22} + \frac{18637}{738967} a^{21} - \frac{857}{738967} a^{20} - \frac{2129}{738967} a^{19} + \frac{4645}{738967} a^{18} + \frac{14184}{738967} a^{17} - \frac{146745}{738967} a^{16} - \frac{289506}{738967} a^{15} + \frac{367317}{738967} a^{14} - \frac{61932}{738967} a^{13} - \frac{44391}{738967} a^{12} - \frac{109360}{738967} a^{11} - \frac{320887}{738967} a^{10} - \frac{7694}{38893} a^{9} + \frac{171727}{738967} a^{8} - \frac{20275}{738967} a^{7} + \frac{6934}{38893} a^{6} + \frac{84774}{738967} a^{5} + \frac{234029}{738967} a^{4} - \frac{232785}{738967} a^{3} - \frac{113662}{738967} a^{2} + \frac{4679}{38893} a - \frac{220}{2047}$, $\frac{1}{738967} a^{35} - \frac{21}{738967} a^{32} + \frac{8}{738967} a^{31} - \frac{212}{738967} a^{30} + \frac{761}{738967} a^{29} - \frac{770}{738967} a^{28} + \frac{97}{738967} a^{27} + \frac{7471}{738967} a^{26} + \frac{4653}{738967} a^{25} + \frac{8774}{738967} a^{24} + \frac{13182}{738967} a^{23} + \frac{9530}{738967} a^{22} + \frac{1423}{738967} a^{21} - \frac{3963}{738967} a^{20} - \frac{3194}{738967} a^{19} + \frac{13653}{738967} a^{18} + \frac{826}{32129} a^{17} - \frac{49349}{738967} a^{16} + \frac{364727}{738967} a^{15} - \frac{22112}{738967} a^{14} - \frac{295686}{738967} a^{13} - \frac{189146}{738967} a^{12} - \frac{108104}{738967} a^{11} + \frac{232675}{738967} a^{10} + \frac{38774}{738967} a^{9} + \frac{291237}{738967} a^{8} + \frac{211467}{738967} a^{7} + \frac{51195}{738967} a^{6} - \frac{226128}{738967} a^{5} - \frac{278942}{738967} a^{4} + \frac{355390}{738967} a^{3} + \frac{82757}{738967} a^{2} + \frac{17454}{38893} a + \frac{203}{2047}$, $\frac{1}{13595753708320793921753} a^{36} - \frac{8768502067491632}{13595753708320793921753} a^{35} - \frac{2123455413441465}{13595753708320793921753} a^{34} + \frac{167631772787683}{13595753708320793921753} a^{33} - \frac{140657168938573784}{13595753708320793921753} a^{32} - \frac{693434692189803443}{13595753708320793921753} a^{31} + \frac{12101136416525807630}{13595753708320793921753} a^{30} - \frac{6810982390264323680}{13595753708320793921753} a^{29} + \frac{8331107424532119432}{13595753708320793921753} a^{28} - \frac{15008525927683110377}{13595753708320793921753} a^{27} - \frac{255384134475324849672}{13595753708320793921753} a^{26} - \frac{51191521514958829}{40343482814008290569} a^{25} - \frac{339812409242732756594}{13595753708320793921753} a^{24} + \frac{89014481247377594065}{13595753708320793921753} a^{23} + \frac{35331998492742079909}{13595753708320793921753} a^{22} - \frac{24019232349927362085}{13595753708320793921753} a^{21} + \frac{8476085517117784308}{715565984648462837987} a^{20} - \frac{23360842014200843040}{13595753708320793921753} a^{19} + \frac{22779620217795022352}{13595753708320793921753} a^{18} - \frac{73487935668890366218}{13595753708320793921753} a^{17} - \frac{706088086958861721202}{13595753708320793921753} a^{16} + \frac{6797649813526857313391}{13595753708320793921753} a^{15} - \frac{1775384802494101114370}{13595753708320793921753} a^{14} - \frac{164306704469609543340}{13595753708320793921753} a^{13} + \frac{4824744997083305085419}{13595753708320793921753} a^{12} - \frac{6584464176301503367145}{13595753708320793921753} a^{11} - \frac{1714683758745082001273}{13595753708320793921753} a^{10} - \frac{2949091550176219075369}{13595753708320793921753} a^{9} + \frac{4460267218156012495757}{13595753708320793921753} a^{8} - \frac{176584798910379398631}{13595753708320793921753} a^{7} + \frac{1552988027298734698776}{13595753708320793921753} a^{6} + \frac{34263216892445760887}{152761277621581954177} a^{5} + \frac{608382451762659600455}{13595753708320793921753} a^{4} - \frac{205956400044933065835}{13595753708320793921753} a^{3} - \frac{4699891367768251343553}{13595753708320793921753} a^{2} - \frac{346943261022957299645}{715565984648462837987} a - \frac{7426103673625657897}{37661367613076991473}$, $\frac{1}{13595753708320793921753} a^{37} + \frac{7355890910510224}{13595753708320793921753} a^{35} - \frac{776574604817203}{13595753708320793921753} a^{34} + \frac{141605153655477}{591119726448730170511} a^{33} + \frac{107642767290811345}{13595753708320793921753} a^{32} - \frac{20004906624797633}{715565984648462837987} a^{31} - \frac{15236276183162960072}{13595753708320793921753} a^{30} + \frac{13117060838608160504}{13595753708320793921753} a^{29} + \frac{13354047520983499937}{13595753708320793921753} a^{28} + \frac{12148532481927825693}{13595753708320793921753} a^{27} + \frac{303703413237879445612}{13595753708320793921753} a^{26} - \frac{83777095234761267919}{13595753708320793921753} a^{25} + \frac{99419601462271161838}{13595753708320793921753} a^{24} - \frac{131176129459225423613}{13595753708320793921753} a^{23} + \frac{228743813489819297376}{13595753708320793921753} a^{22} - \frac{149581872804542357712}{13595753708320793921753} a^{21} - \frac{120397427457435326002}{13595753708320793921753} a^{20} + \frac{15003410603176152666}{591119726448730170511} a^{19} + \frac{125706152698974315148}{13595753708320793921753} a^{18} + \frac{17011429105447169691}{13595753708320793921753} a^{17} - \frac{2792663843979930233721}{13595753708320793921753} a^{16} + \frac{195355768150802980411}{591119726448730170511} a^{15} + \frac{1365123382304304339369}{13595753708320793921753} a^{14} + \frac{1787204820094473221006}{13595753708320793921753} a^{13} - \frac{642538833931268344826}{13595753708320793921753} a^{12} - \frac{548970458064011157640}{13595753708320793921753} a^{11} + \frac{6778848278800253070711}{13595753708320793921753} a^{10} + \frac{5933479238054119963690}{13595753708320793921753} a^{9} + \frac{3440762403680611383403}{13595753708320793921753} a^{8} - \frac{3539856948690162665803}{13595753708320793921753} a^{7} - \frac{1221705257152371768734}{13595753708320793921753} a^{6} - \frac{272034269896138021226}{591119726448730170511} a^{5} + \frac{4126786353978301433121}{13595753708320793921753} a^{4} - \frac{6343330442877261266765}{13595753708320793921753} a^{3} - \frac{3807578254335163255555}{13595753708320793921753} a^{2} + \frac{74036962609774611408}{715565984648462837987} a + \frac{12373124672674267739}{37661367613076991473}$, $\frac{1}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{38} - \frac{13958104116334467250261550444744532031212605720510615803135230679142234623559321097185422037152814437105441052746519253613584916699516063684302133914930770409861653551111236828292718172430}{755713977320500952616775685129938076331891706946347655454289626965003759577706227767555333008411718667133519663596673272630721986503155387255445334179711308429085238462203055792244553797052201041328569003207703} a^{37} - \frac{1567861397929508804354797846991874638716699697128084423879670922362333335896016169229825224409804777773324278968531766218302948492077569548240512081550922607443020320434693702979030553846335}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{36} + \frac{23825949328861907095586729235372939157074958294301088332027568076879033023334247494931292572561866059792315874654025271266912382647195980100598883585846630242513942142640989548282832074890655695712996397233}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{35} + \frac{34123851486102653865242945421013882117385662209126117172216775894393845382717320450916796484040263749760683931180314649059728221528711065360999496531579610612998789958892852199931467055418372148498309484859}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{34} + \frac{13926784596757036616153487783225264471425832289268000153786262071399436185595167205068696356228075166158118573230548566931603039748868681551141659191621368122055758650279629389287836101843134424408367598222}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{33} - \frac{1253212360855568918884449269981232903349576979943194058918047338087114599622721910812566229980919987958960266748511107100944133214471671946795749701014193347620807731264398317219260226073840075116179682304157}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{32} + \frac{3306232657397308221442814207988620592105145123741200150679408112442954241584046913740698406298144718482860521062007566202820923969071221615094725894704732023558025050274748514639464226388876566903493184251633}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{31} + \frac{846798250281733721598075061948348039394337171426338088056004097310507438028432442176991092295774340965914176445306695783969925713481619897828392537892546224560628155476558713622582358851255520192849422359493}{3539923367448662356994370314556025725975703258853944280812198778941333400127150224805917086197296997967099118424215995856007066147304254182407086039052331918430978222270319577132092909891455046983065402172920293} a^{30} - \frac{4139980441749620338316835162748804807753414875915575455265015847776307193655161334946399061190357951860801492843364797922419698027447339134665786068128670950718023485483165096042519784135067410292057705814371}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{29} - \frac{70472415332063958994306883227674394399673550967157821320720111479103307019273594953656776303489624753496784086140406736216775773670321822451334637825470947003377542996699408536516771873139801641907747966613967}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{28} + \frac{42352289177317663008180637733617220214547567514674473502850527745244056966458770962471094410494594063210715936791904782044209971833032012372731034900498899126934362612733791435754348922988574967020588254251771}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{27} - \frac{649891867251197361650283528193925789439515183911448313931734594486743405900146323387919589922880389269212147838803273371075160398636678773318722929378122304841815281697725407997973932498061881401590967208242375}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{26} + \frac{1606584838740851754525371405624484054502508060981124852422307263063568363644528705122616759092810594273816256886837943490307331769697530709437642186979036644956562384648438812859050311612639430900783627007033528}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{25} - \frac{67135625501761496510060552075979394208991304949758702728423371844005752158792059241433146119770708964610366277748070146568870402851987798923974372848865732801729651210810645669234103665362920216381173943504264}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{24} - \frac{190667810498304093406386779552692596259047442935089722864410085657606020711411524149520006057131581422876594184858984746953448200498270426221228372464877050479432016683835981648049269933330464455519950154498605}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{23} + \frac{1365048400292647266224364401059346164608657389804347690208807040488563280330833521760569558685816689341858670216940296562475581909223395104792941003509944311695888417340038225448101632472169888394970028531487686}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{22} + \frac{115258177775095669058250894159545474614698233523563418742855827126220724479289440462897883609619874574109722200926114867254198649768295745771762475176823469251273973351738360376012828752647820090805293742681967}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{21} - \frac{94250145778871622816469187440261029162255598352009419230394804007448543401813661005587504146236295965703334721721250867558125279307425509396876690958720577554030352554225633306871548461996178157002795222317939}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{20} + \frac{1011096423192454096497067716616235177264380613572989093844788732316837736652732171641255303097464917631579289803262242943702762021658681622755008184342396269705330251739249506737096463964088463010214567464588577}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{19} - \frac{484821673818747271341634425674724224460997892157291127426813652682062198040459469659460529381653006528313680564289015156256974935140524366391740926047119515239832501531230112448370485800994646908269607799474839}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{18} - \frac{1385351101076023758892431181818223539238293846994646700109165487268980018331956211530655658384176795082094286241354569014755363208338724552959852998180761076955947718045283752869105929031422079188567656010703834}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{17} - \frac{15538197711316423288249691358679222437749928126148907189861666922821679191735239558399695014869103555325689569121598587526454098971939814262161035428783262462015155382145350326063739789244825644572386422111431248}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{16} + \frac{11068986440288111567128254359016487028523865363689853773284225481822451426034690435714610363107555157272239731026918003793948169112848338574237443468133753267397990581371375409672698541470623685491639195175063515}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{15} + \frac{26268122864368238891606363122096044936605165604608421914966077008846228795299408207134615304170129094522180240456168293632339050146550125122075948804036651126069093486794760116358450460528465815591490667628600326}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{14} - \frac{10534291531037253660934489057892158762596321187006183172797634254167855652156707221178550498704916403775875039887988872452078171255992670724493149428855022869763345773305811298413411831087711358377066014046486010}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{13} - \frac{24190176385413231387507095885359371254817182108665928672305665834753070629602870239132417135598724395942746675402351079746345431337965996263831586803714744801049895335622717699066066634274973880135986341259372458}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{12} + \frac{74607839655136939219559348058703747190210420237363178303130513757421631771582072890944816892528001329009489237195730705331469287729833039093483930917875961536962645183592211117960213591634458125899252747145402}{199580249203337046833510492512060797606938759401260953517601711572360043330610843535051705156524163090133184718279240122445502245693711660135711082320457882641509157932154516218129867323257109473822678460787791} a^{11} + \frac{14188645522492222945631937725762692392130400667488890464582862814730797542184488209399555368042786341144328019082714104743584707124737319718212510725964968742743905235858059088442447142579359098688838111672282302}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{10} + \frac{2310894139923700481897288871567943811321112376031153855998522883485765837274815414521786747509063331084001521367628469240811454438246371466681490678068976462000016430008585810271869052599662787601136310924805959}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{9} - \frac{18711405607306585498392035424055026790791984494579568198084705131040484334144878477921735856115719602955743251970787603948466397348005127665195522876144405138024781245889174442912356731181709551866176987857305604}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{8} + \frac{5665648111947536364274950724241894004395309719856178994962795642250041034040102600297295367551363493856822636435778024408364819537603471913161147847562212893406880117885591985152159606381204593494489883833334612}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{7} - \frac{3883937066763911614087546884430003907030795485763152956201383252667926655333806560699094393232468808324705081515373174773600444305473242861898452845612801362211517496954552789839971793253883890891395500865246028}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{6} - \frac{11105289264494155116890909162526647000617595113142745548555111585480827165233903821386662570893506422422912623721644688451291813298392932946567027902359849834679708837948469675974074294176912531902676047760280372}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{5} - \frac{20620852719172988949114356922108463717234412827261602902222683710852395152642663171480429511589590709569708881232046819536977884685345741446593291936300806156397890771215647710031592479428037619632291811429370082}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{4} + \frac{29845006924682405545081138010087258253287306243373097809452669915926308064908675065806626550629820253804307602068188992989393616691666792689748752859014327143866755225493736608675502101636107425400883747098139930}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{3} + \frac{12341513939302584322299253937555696769427104171571682132089179273195460721457600993435973248088331837552029931369567009459551130233505506870140179904210486592993658854682382487783889689466308502691610776917858953}{67258543981524584782893035976564488793538361918224941335431776799885334602415854271312424637748642961374883250060103921264134256798780829465734634741994306450188586223136071965509765287937645892678242641285485567} a^{2} + \frac{1456631582959702494809747205663721232203790034815627764259623541817527781676403145160222094347272723640165694416481957397102443404333043107878674754155906707821420431750959685526984557989724354343270579372674178}{3539923367448662356994370314556025725975703258853944280812198778941333400127150224805917086197296997967099118424215995856007066147304254182407086039052331918430978222270319577132092909891455046983065402172920293} a + \frac{69418610940173521595341771549055044648899569541688626954889206596845753069320000521888222066043020320853815584238164730880891131187181990370787357524970911626899391593529414849474465006952440497134592677500538}{186311756181508545104966858660843459261879118887049698990115725207438600006692117095048267694594578840373637811800841887158266639331802851705636107318543785180577801172122083006952258415339739314898179061732647}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $38$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{39}$ (as 39T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 39
The 39 conjugacy class representatives for $C_{39}$
Character table for $C_{39}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 13.13.542800770374370512771595361.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $39$ R $39$ $39$ $39$ R ${\href{/LocalNumberField/17.13.0.1}{13} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/19.1.0.1}{1} }^{39}$ ${\href{/LocalNumberField/23.3.0.1}{3} }^{13}$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/37.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$ $39$ $39$ ${\href{/LocalNumberField/53.13.0.1}{13} }^{3}$ $39$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
13Data not computed