↑

Properties

Label 38.38.4085378514...9721.1
Degree $38$
Signature $[38, 0]$
Discriminant $761^{37}$
Root discriminant $639.09$
Ramified prime $761$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![3982698853424371, 22676005466862230, -70397321789549937, -263743626557925763, 792835816599885131, 149010153465744057, -1870498674916885790, 828006009049982590, 1777610773293950943, -1397056980898431787, -802580113540061439, 993501780393456457, 145474235510190184, -404067216333505704, 20376056557184568, 104832501140747015, -17463010883221388, -18344021577226452, 4567783324513705, 2234014705617187, -710984118696534, -192469399431009, 74385427596421, 11784752012571, -5467346355894, -509646442363, 286866065564, 15301945009, -10737363543, -310329000, 282309033, 4130346, -5041755, -36460, 57456, 237, -370, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 - x^37 - 370*x^36 + 237*x^35 + 57456*x^34 - 36460*x^33 - 5041755*x^32 + 4130346*x^31 + 282309033*x^30 - 310329000*x^29 - 10737363543*x^28 + 15301945009*x^27 + 286866065564*x^26 - 509646442363*x^25 - 5467346355894*x^24 + 11784752012571*x^23 + 74385427596421*x^22 - 192469399431009*x^21 - 710984118696534*x^20 + 2234014705617187*x^19 + 4567783324513705*x^18 - 18344021577226452*x^17 - 17463010883221388*x^16 + 104832501140747015*x^15 + 20376056557184568*x^14 - 404067216333505704*x^13 + 145474235510190184*x^12 + 993501780393456457*x^11 - 802580113540061439*x^10 - 1397056980898431787*x^9 + 1777610773293950943*x^8 + 828006009049982590*x^7 - 1870498674916885790*x^6 + 149010153465744057*x^5 + 792835816599885131*x^4 - 263743626557925763*x^3 - 70397321789549937*x^2 + 22676005466862230*x + 3982698853424371)
 
gp: K = bnfinit(x^38 - x^37 - 370*x^36 + 237*x^35 + 57456*x^34 - 36460*x^33 - 5041755*x^32 + 4130346*x^31 + 282309033*x^30 - 310329000*x^29 - 10737363543*x^28 + 15301945009*x^27 + 286866065564*x^26 - 509646442363*x^25 - 5467346355894*x^24 + 11784752012571*x^23 + 74385427596421*x^22 - 192469399431009*x^21 - 710984118696534*x^20 + 2234014705617187*x^19 + 4567783324513705*x^18 - 18344021577226452*x^17 - 17463010883221388*x^16 + 104832501140747015*x^15 + 20376056557184568*x^14 - 404067216333505704*x^13 + 145474235510190184*x^12 + 993501780393456457*x^11 - 802580113540061439*x^10 - 1397056980898431787*x^9 + 1777610773293950943*x^8 + 828006009049982590*x^7 - 1870498674916885790*x^6 + 149010153465744057*x^5 + 792835816599885131*x^4 - 263743626557925763*x^3 - 70397321789549937*x^2 + 22676005466862230*x + 3982698853424371, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{38} - x^{37} - 370 x^{36} + 237 x^{35} + 57456 x^{34} - 36460 x^{33} - 5041755 x^{32} + 4130346 x^{31} + 282309033 x^{30} - 310329000 x^{29} - 10737363543 x^{28} + 15301945009 x^{27} + 286866065564 x^{26} - 509646442363 x^{25} - 5467346355894 x^{24} + 11784752012571 x^{23} + 74385427596421 x^{22} - 192469399431009 x^{21} - 710984118696534 x^{20} + 2234014705617187 x^{19} + 4567783324513705 x^{18} - 18344021577226452 x^{17} - 17463010883221388 x^{16} + 104832501140747015 x^{15} + 20376056557184568 x^{14} - 404067216333505704 x^{13} + 145474235510190184 x^{12} + 993501780393456457 x^{11} - 802580113540061439 x^{10} - 1397056980898431787 x^{9} + 1777610773293950943 x^{8} + 828006009049982590 x^{7} - 1870498674916885790 x^{6} + 149010153465744057 x^{5} + 792835816599885131 x^{4} - 263743626557925763 x^{3} - 70397321789549937 x^{2} + 22676005466862230 x + 3982698853424371 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $38$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[38, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(40853785140337784007397063977038401127887375420009422661096767054490071326066871682680123894670984898629721=761^{37}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $639.09$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $761$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(761\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{761}(1,·)$, $\chi_{761}(258,·)$, $\chi_{761}(5,·)$, $\chi_{761}(263,·)$, $\chi_{761}(136,·)$, $\chi_{761}(399,·)$, $\chi_{761}(528,·)$, $\chi_{761}(529,·)$, $\chi_{761}(274,·)$, $\chi_{761}(404,·)$, $\chi_{761}(405,·)$, $\chi_{761}(152,·)$, $\chi_{761}(25,·)$, $\chi_{761}(410,·)$, $\chi_{761}(288,·)$, $\chi_{761}(679,·)$, $\chi_{761}(680,·)$, $\chi_{761}(554,·)$, $\chi_{761}(207,·)$, $\chi_{761}(81,·)$, $\chi_{761}(82,·)$, $\chi_{761}(473,·)$, $\chi_{761}(351,·)$, $\chi_{761}(736,·)$, $\chi_{761}(609,·)$, $\chi_{761}(356,·)$, $\chi_{761}(357,·)$, $\chi_{761}(487,·)$, $\chi_{761}(232,·)$, $\chi_{761}(233,·)$, $\chi_{761}(362,·)$, $\chi_{761}(625,·)$, $\chi_{761}(498,·)$, $\chi_{761}(756,·)$, $\chi_{761}(503,·)$, $\chi_{761}(760,·)$, $\chi_{761}(636,·)$, $\chi_{761}(125,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $\frac{1}{41} a^{26} - \frac{11}{41} a^{25} + \frac{6}{41} a^{24} + \frac{7}{41} a^{23} - \frac{11}{41} a^{22} + \frac{14}{41} a^{21} + \frac{9}{41} a^{20} + \frac{14}{41} a^{19} - \frac{5}{41} a^{18} - \frac{11}{41} a^{17} + \frac{17}{41} a^{16} + \frac{9}{41} a^{15} - \frac{9}{41} a^{14} + \frac{6}{41} a^{13} + \frac{4}{41} a^{12} - \frac{4}{41} a^{11} - \frac{7}{41} a^{10} - \frac{15}{41} a^{9} + \frac{1}{41} a^{8} - \frac{11}{41} a^{6} + \frac{18}{41} a^{5} - \frac{10}{41} a^{4} + \frac{6}{41} a^{3} - \frac{1}{41} a^{2} + \frac{18}{41} a + \frac{6}{41}$, $\frac{1}{41} a^{27} + \frac{8}{41} a^{25} - \frac{9}{41} a^{24} - \frac{16}{41} a^{23} + \frac{16}{41} a^{22} - \frac{1}{41} a^{21} - \frac{10}{41} a^{20} - \frac{15}{41} a^{19} + \frac{16}{41} a^{18} + \frac{19}{41} a^{17} - \frac{9}{41} a^{16} + \frac{8}{41} a^{15} - \frac{11}{41} a^{14} - \frac{12}{41} a^{13} - \frac{1}{41} a^{12} - \frac{10}{41} a^{11} - \frac{10}{41} a^{10} + \frac{11}{41} a^{8} - \frac{11}{41} a^{7} + \frac{20}{41} a^{6} - \frac{17}{41} a^{5} + \frac{19}{41} a^{4} - \frac{17}{41} a^{3} + \frac{7}{41} a^{2} - \frac{1}{41} a - \frac{16}{41}$, $\frac{1}{2747} a^{28} + \frac{13}{2747} a^{27} + \frac{14}{2747} a^{26} - \frac{1283}{2747} a^{25} - \frac{1122}{2747} a^{24} - \frac{355}{2747} a^{23} + \frac{59}{2747} a^{22} - \frac{390}{2747} a^{21} + \frac{32}{2747} a^{20} + \frac{1176}{2747} a^{19} + \frac{648}{2747} a^{18} - \frac{1099}{2747} a^{17} - \frac{376}{2747} a^{16} + \frac{557}{2747} a^{15} + \frac{1103}{2747} a^{14} + \frac{781}{2747} a^{13} + \frac{411}{2747} a^{12} - \frac{13}{67} a^{11} + \frac{320}{2747} a^{10} + \frac{577}{2747} a^{9} - \frac{1297}{2747} a^{8} - \frac{9}{67} a^{7} - \frac{479}{2747} a^{6} - \frac{545}{2747} a^{5} - \frac{117}{2747} a^{4} - \frac{55}{2747} a^{3} - \frac{39}{2747} a^{2} - \frac{1356}{2747} a + \frac{976}{2747}$, $\frac{1}{2747} a^{29} - \frac{21}{2747} a^{27} + \frac{9}{2747} a^{26} + \frac{415}{2747} a^{25} - \frac{107}{2747} a^{24} - \frac{887}{2747} a^{23} + \frac{1255}{2747} a^{22} + \frac{881}{2747} a^{21} - \frac{1049}{2747} a^{20} + \frac{1239}{2747} a^{19} - \frac{1014}{2747} a^{18} + \frac{243}{2747} a^{17} - \frac{920}{2747} a^{16} - \frac{1}{67} a^{15} - \frac{828}{2747} a^{14} + \frac{241}{2747} a^{13} - \frac{114}{2747} a^{12} + \frac{13}{2747} a^{11} + \frac{1241}{2747} a^{10} - \frac{691}{2747} a^{9} + \frac{211}{2747} a^{8} + \frac{97}{2747} a^{7} + \frac{389}{2747} a^{6} + \frac{15}{41} a^{5} + \frac{260}{2747} a^{4} - \frac{999}{2747} a^{3} + \frac{1362}{2747} a^{2} + \frac{1050}{2747} a - \frac{494}{2747}$, $\frac{1}{310411} a^{30} - \frac{25}{310411} a^{29} - \frac{43}{310411} a^{28} - \frac{1293}{310411} a^{27} + \frac{2763}{310411} a^{26} - \frac{75721}{310411} a^{25} - \frac{137410}{310411} a^{24} + \frac{144738}{310411} a^{23} - \frac{126597}{310411} a^{22} - \frac{101728}{310411} a^{21} - \frac{88480}{310411} a^{20} - \frac{43858}{310411} a^{19} + \frac{139843}{310411} a^{18} - \frac{104221}{310411} a^{17} + \frac{121547}{310411} a^{16} + \frac{97689}{310411} a^{15} - \frac{105701}{310411} a^{14} + \frac{116843}{310411} a^{13} - \frac{83765}{310411} a^{12} - \frac{123569}{310411} a^{11} + \frac{121307}{310411} a^{10} + \frac{145626}{310411} a^{9} - \frac{106088}{310411} a^{8} - \frac{128052}{310411} a^{7} + \frac{18970}{310411} a^{6} - \frac{28218}{310411} a^{5} + \frac{118288}{310411} a^{4} - \frac{8633}{310411} a^{3} + \frac{50335}{310411} a^{2} + \frac{105933}{310411} a + \frac{93254}{310411}$, $\frac{1}{310411} a^{31} + \frac{10}{310411} a^{29} + \frac{5}{310411} a^{28} + \frac{2191}{310411} a^{27} + \frac{2394}{310411} a^{26} + \frac{6390}{310411} a^{25} - \frac{135326}{310411} a^{24} + \frac{41737}{310411} a^{23} - \frac{148305}{310411} a^{22} + \frac{15571}{310411} a^{21} + \frac{99401}{310411} a^{20} - \frac{149900}{310411} a^{19} - \frac{20407}{310411} a^{18} + \frac{39425}{310411} a^{17} + \frac{38017}{310411} a^{16} + \frac{64546}{310411} a^{15} - \frac{53242}{310411} a^{14} + \frac{144859}{310411} a^{13} + \frac{96094}{310411} a^{12} + \frac{91557}{310411} a^{11} - \frac{126949}{310411} a^{10} - \frac{77031}{310411} a^{9} + \frac{77}{2747} a^{8} - \frac{123420}{310411} a^{7} - \frac{101340}{310411} a^{6} - \frac{139117}{310411} a^{5} + \frac{23223}{310411} a^{4} + \frac{139610}{310411} a^{3} - \frac{151813}{310411} a^{2} - \frac{14152}{310411} a - \frac{146853}{310411}$, $\frac{1}{310411} a^{32} + \frac{29}{310411} a^{29} + \frac{22}{310411} a^{28} + \frac{1425}{310411} a^{27} + \frac{908}{310411} a^{26} - \frac{97022}{310411} a^{25} - \frac{72938}{310411} a^{24} + \frac{19537}{310411} a^{23} + \frac{110183}{310411} a^{22} - \frac{29704}{310411} a^{21} + \frac{40854}{310411} a^{20} - \frac{124566}{310411} a^{19} - \frac{80862}{310411} a^{18} + \frac{88539}{310411} a^{17} - \frac{3635}{310411} a^{16} + \frac{60205}{310411} a^{15} - \frac{16497}{310411} a^{14} + \frac{129193}{310411} a^{13} + \frac{113912}{310411} a^{12} - \frac{75499}{310411} a^{11} + \frac{126467}{310411} a^{10} + \frac{25396}{310411} a^{9} + \frac{142053}{310411} a^{8} + \frac{87261}{310411} a^{7} + \frac{154371}{310411} a^{6} + \frac{154661}{310411} a^{5} + \frac{125715}{310411} a^{4} + \frac{98819}{310411} a^{3} - \frac{57705}{310411} a^{2} + \frac{51733}{310411} a - \frac{132274}{310411}$, $\frac{1}{310411} a^{33} - \frac{44}{310411} a^{29} - \frac{40}{310411} a^{28} - \frac{2953}{310411} a^{27} - \frac{2677}{310411} a^{26} - \frac{116350}{310411} a^{25} - \frac{37809}{310411} a^{24} + \frac{98301}{310411} a^{23} + \frac{20750}{310411} a^{22} - \frac{70317}{310411} a^{21} + \frac{110503}{310411} a^{20} + \frac{1113}{2747} a^{19} + \frac{3298}{7571} a^{18} - \frac{143757}{310411} a^{17} + \frac{46817}{310411} a^{16} - \frac{50016}{310411} a^{15} + \frac{63179}{310411} a^{14} + \frac{42015}{310411} a^{13} + \frac{57300}{310411} a^{12} + \frac{148321}{310411} a^{11} - \frac{133130}{310411} a^{10} - \frac{11632}{310411} a^{9} - \frac{34539}{310411} a^{8} + \frac{75147}{310411} a^{7} - \frac{100652}{310411} a^{6} + \frac{67496}{310411} a^{5} + \frac{50783}{310411} a^{4} + \frac{41797}{310411} a^{3} + \frac{35593}{310411} a^{2} - \frac{107566}{310411} a + \frac{134759}{310411}$, $\frac{1}{310411} a^{34} - \frac{10}{310411} a^{29} + \frac{14}{310411} a^{28} + \frac{2581}{310411} a^{27} + \frac{137}{310411} a^{26} + \frac{33801}{310411} a^{25} - \frac{118521}{310411} a^{24} - \frac{78107}{310411} a^{23} + \frac{137444}{310411} a^{22} + \frac{575}{2747} a^{21} + \frac{123917}{310411} a^{20} + \frac{88159}{310411} a^{19} + \frac{100452}{310411} a^{18} + \frac{124377}{310411} a^{17} - \frac{119959}{310411} a^{16} - \frac{64828}{310411} a^{15} + \frac{4283}{310411} a^{14} + \frac{112262}{310411} a^{13} + \frac{147930}{310411} a^{12} + \frac{31357}{310411} a^{11} - \frac{52585}{310411} a^{10} + \frac{22292}{310411} a^{9} + \frac{64118}{310411} a^{8} + \frac{92131}{310411} a^{7} + \frac{74225}{310411} a^{6} + \frac{67672}{310411} a^{5} + \frac{27903}{310411} a^{4} - \frac{142893}{310411} a^{3} - \frac{25927}{310411} a^{2} + \frac{44613}{310411} a - \frac{25618}{310411}$, $\frac{1}{111784106429717} a^{35} - \frac{116510208}{111784106429717} a^{34} - \frac{67095370}{111784106429717} a^{33} + \frac{171263693}{111784106429717} a^{32} + \frac{160378868}{111784106429717} a^{31} + \frac{87698840}{111784106429717} a^{30} + \frac{374979563}{2726441620237} a^{29} - \frac{10325676320}{111784106429717} a^{28} + \frac{955872103375}{111784106429717} a^{27} - \frac{1162333969800}{111784106429717} a^{26} - \frac{27195496063972}{111784106429717} a^{25} - \frac{8983701801989}{111784106429717} a^{24} + \frac{29992705989910}{111784106429717} a^{23} + \frac{30443331725789}{111784106429717} a^{22} + \frac{17409489064002}{111784106429717} a^{21} - \frac{47923614591562}{111784106429717} a^{20} + \frac{2100265919}{2726441620237} a^{19} + \frac{19934917156194}{111784106429717} a^{18} + \frac{42578132610943}{111784106429717} a^{17} + \frac{3100343197150}{111784106429717} a^{16} + \frac{12627187634}{79335774613} a^{15} + \frac{13572939308724}{111784106429717} a^{14} - \frac{6725591244781}{111784106429717} a^{13} + \frac{27077451557731}{111784106429717} a^{12} - \frac{43328810415079}{111784106429717} a^{11} + \frac{28831663009420}{111784106429717} a^{10} + \frac{37538309110376}{111784106429717} a^{9} - \frac{12503770402081}{111784106429717} a^{8} - \frac{12091711876658}{111784106429717} a^{7} - \frac{19103175499844}{111784106429717} a^{6} - \frac{2009565057546}{111784106429717} a^{5} + \frac{819288382842}{111784106429717} a^{4} - \frac{24487424557176}{111784106429717} a^{3} - \frac{24431214717504}{111784106429717} a^{2} - \frac{23081546723732}{111784106429717} a + \frac{23199651328231}{111784106429717}$, $\frac{1}{8473868880328839272309673767} a^{36} + \frac{37481079465882}{8473868880328839272309673767} a^{35} - \frac{4459075625672491712093}{8473868880328839272309673767} a^{34} - \frac{7572197975766099945047}{8473868880328839272309673767} a^{33} + \frac{2862107951463700414419}{8473868880328839272309673767} a^{32} + \frac{6498716334478755459892}{8473868880328839272309673767} a^{31} + \frac{13509883842319544935817}{8473868880328839272309673767} a^{30} - \frac{1405777885636838380335147}{8473868880328839272309673767} a^{29} - \frac{732380624172656063138409}{8473868880328839272309673767} a^{28} + \frac{346766256797889801371424}{126475654930281183168801101} a^{27} - \frac{40290754000754249566472672}{8473868880328839272309673767} a^{26} - \frac{1691038604780255996555709896}{8473868880328839272309673767} a^{25} - \frac{3383432289393924613100941208}{8473868880328839272309673767} a^{24} + \frac{851920658738869911097398486}{8473868880328839272309673767} a^{23} + \frac{2293901709605005418991932107}{8473868880328839272309673767} a^{22} - \frac{111394997908542987877391065}{8473868880328839272309673767} a^{21} + \frac{4010934447321197508197489993}{8473868880328839272309673767} a^{20} - \frac{1693430626834063153515778830}{8473868880328839272309673767} a^{19} + \frac{4080225241251466586202033689}{8473868880328839272309673767} a^{18} + \frac{589690187843514863551913762}{8473868880328839272309673767} a^{17} + \frac{2749764064213748373218563906}{8473868880328839272309673767} a^{16} - \frac{2307787589472171677835378910}{8473868880328839272309673767} a^{15} - \frac{516156798815794154471147741}{8473868880328839272309673767} a^{14} - \frac{2119842587044817030509890501}{8473868880328839272309673767} a^{13} - \frac{2093959379436326056219753855}{8473868880328839272309673767} a^{12} - \frac{3184346907926236210748834421}{8473868880328839272309673767} a^{11} + \frac{1821660442608271208370004313}{8473868880328839272309673767} a^{10} - \frac{106416141667877230854539961}{8473868880328839272309673767} a^{9} - \frac{3373532390048896897048200892}{8473868880328839272309673767} a^{8} + \frac{1702304255196038507735774569}{8473868880328839272309673767} a^{7} + \frac{2012297651517875065857133285}{8473868880328839272309673767} a^{6} - \frac{1882115360604802120323508579}{8473868880328839272309673767} a^{5} + \frac{3476608620755600535432747807}{8473868880328839272309673767} a^{4} + \frac{4217977220734716651700525507}{8473868880328839272309673767} a^{3} + \frac{378635338438090122684621212}{8473868880328839272309673767} a^{2} - \frac{231377388943465201021531029}{8473868880328839272309673767} a + \frac{3510840335122236742099415441}{8473868880328839272309673767}$, $\frac{1}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{37} + \frac{21432691181766982881779017961465178442437827354189121072466394781147514815896866632141933533385721986776770108943069055832856365467947430879345312549630141707443217612487831138965690601827744267680343729787220112}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{36} - \frac{492212287291700892087570208802031957710567289054226796200013857472643083586482863198368995268109001265888902957220214069360181058797445262809533679215719506363271819555978797946693996281650993525051046330303174300902389931648}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{35} - \frac{430287510583508798622268903322576891069483223456173216129565094039435887333890241757732245081335397317608130332708782503091585530436550993284415384884650621595436049846016850704794852226946973748377982637122130447261444167373020003541}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{34} + \frac{129474215082114950621411385902799692078143550417093399728884992650849054429290408764493399132901900283227148530667856049577168753050888859439007928291568681018457546887132718982003029428645351699458278565663758768126319687229912852932}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{33} + \frac{626375756671107783067436089404982678510402525746516202520930906390044827001410629195601108798653580831317935942238501232909239117132785554376241488215326946400323531259966110571820115045707229293608110743559971589719368293113122799409}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{32} - \frac{433894337639591206429936728973734558674967525004491663588009196580250656931650902703108581359681227699733216701036876279930879248011911626608479936670751233524139231181548838723646128469114286977873718913770513669098846495402024741589}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{31} + \frac{87667908962727508126721655723812268659533379648298816437242356138633432956865764424886143555563750957524381713186033408786852880812300483817487202791293291474193685817579361431715310312224404404468237180895689057360808810962725995527}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{30} + \frac{53097290568349227298912014407984637017431570775330627978781468385106345188801941670718333448403129347471386313712047929103888531568220659180886036547130862299589228596089112773955979032574618293541503173677035053784235422205809296737561}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{29} + \frac{23011805767097473371760032817148517391366678121392913063652166624264100371212911678244300316399161748437367779178345019434885029346703236809650780113023450490291963260866034369209865263022641924341015040431637867529447510341148630486126}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{28} + \frac{3840483214452459988470310957560461423215406007460761889120513007750763809875578142988589712744122870140891780397186173333088830958377022354119427447315021060110419099547061381855755801699622194648988340420926101235673967238223071387548378}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{27} + \frac{2040099623220851285799297483640628778587201106159834784820840975001708699442781896453667420931004774884853788420722159036104220928399750967250961410126140028666931683011390372795871491490333675647072620528469213418584916561689738526822195}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{26} + \frac{154549009519534476452222273027876007324770118543259202442979331560377136703971763447805239132343915480430510763665369603291653077044353194899952817539832330831274059825820825726444495759272577730820991227170913863636670181065358284739081940}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{25} + \frac{55609260673413127687019234611166933643907167265002303395148177859930034691951754682300530881568750577681009062167843727684236437478516488934053024439072156872859817777692526880900014767317544634299135980647795371738337922315086422867761524}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{24} + \frac{189415620383046541424093471168891746976066637830063417765745458211335748433377130175154026652308599349953820447759076904424471079875652695406935572123312744932068012535479126415489351951461504442757398001269514644536578964886234375767320895}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{23} + \frac{813343068062676146842408845352566758805841633684807815667875636962652207157570273319740119853885551470033490525011790070215520728299523511791294833879674890132463366779341154131200944702731042487947480686800792311125220047151598346212158}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{22} + \frac{19263586732124559731629824427704258763856717723931507045015033952628312223041851136427238091188312139070179611680943416935831682720694890275110987485924013672470309652303180285812517144658941042868193548921181189213564082837304946711723652}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{21} - \frac{185441724769376437604824630108856207405349301093179164170011062597929672931465323226624637010141424602070336282186003908119928233952353788243682085028978580974970566084188519345068942879096514876662341077129290893133664559990170560284530293}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{20} + \frac{110254877360641729085482982787824118303787426197984339647994437360630526766738506838793597105115458686797136070530542319090315593902765246490255070894842153149036488478591731201683698494527921336815148748070103741439964729902301743211049579}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{19} - \frac{172982674726974623869047334517659105757635773704953038501954420795438314540223440081186348299252235591514735806741916228114950952730859143461886349547352985977795466044326586550661461405116586957159293648218637240025293065072665522271005327}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{18} - \frac{343932177044369576085587553860161632976500021353311577262316618152228357638132519201367738853040434892278656051086398517144319109790883032635383135493698509725483436620021388177362263952676555249001313604653283288024170385467637278465618}{5999932999674582181691361436682687401134768439801386111210491517149133110366053169635405165537784274968932484131890797064653424366524313118768650381656429379079549826305940491198494446885383258476184363837142040828738377085161089125305219} a^{17} - \frac{138416975313592728515882223337410810899059893199949968822313759808605508100380539663754623450355255650279568597432569282612781493962202131069092817547230615823291750256824209980516655429168568975699349161216111025987462930967076443468839778}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{16} + \frac{77730060283525184979942540118162082205720451291487955410110176933745939350139160097656169713621395869227788290091508648143952955290945141352528825188284190318340975993973787752591756392404096140149747507879812835112201376355938330325427488}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{15} - \frac{190111435648688588642067233249448890248876437227603160765497304960647388458727054700894502980296789716865438756477644770514651195768799625145926138747181773953768884961514174696960884917741949219627416074738131677947006759843923566390074958}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{14} + \frac{52668924630076344079975222280146301971427737295348020188301567609452975032348231530520497943289772085885589224688984449062453562505557530394645991896587475311534986860323457741551787927036494229303535480935727029097839499504441759485905463}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{13} + \frac{45805173910233822575987342238164697937816733720206701297962231069149185508627864057934123521677258223944829647266877359070698691149428283411783228290834455664440969776553880452020738606604758664429683365278815117187703360910794147095072221}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{12} + \frac{89234092275071670083571061192890887214511094486294881260130470386495233970944798573833588025020711778326931998741368060022928732263172758563607365356910302828622675396809645261205122930687998393937416881026243187633934412744199534211099734}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{11} - \frac{69215688160607708616324860262360243622965530891931756404813763361833691871102505587526462282148954755800366272593444600885250924603874776410270313093115407847927577517816531975008204495655582349802629257429258553371329060356995637496956365}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{10} + \frac{1914358342711343125054807029530502948228099860846657012435662994564775656404977827355972188499106542343810970404688117883726238452784139830833769228591962831021973012352283616341591966090172771511247093292654402798721496125847558922157433}{9804768560443829418861493079457074533561694767480313889051291015829071180354282008916393807098330400558987230166748375691019010550173877535548770135877579717032435082012146656348759218080992154095228106758256505744523689383068121253547553} a^{9} - \frac{135061130197776252695779023377991029236746469775515501376725677322051819617702388429065632167650035190985110960450017985814799342631515127363115286013411149127576859684595620183934640095113096046605933335364929740418830870537423195441345463}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{8} + \frac{101778498424265519456254345830109067040153058969039548789769122425634804748331491567309982865409587757080067009540817504466399735748525343478585610838000389840703110937548372582356102205751891497873509979337149594464308505868591345978495869}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{7} + \frac{73996160112030799822702667793090194241983196442001339328530036968167223528949367219115143845636608543766891606469876774331098548520041665855854140970862091508223415032282249065765150387901567234791994340819649643243906280340719699635169892}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{6} - \frac{98158138743794908567881614933575490581782300693895545548877374690465041200436964352574544996246447743419063603612671002997077224478166006537028792383099960160094654873659999345032437880381319646519137532710847114327222365868320317137128806}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{5} + \frac{65644098738480345245271747834943119586061508083965272555156686249391205217410941878613469147239735487299319448041339240027085709103697346389142103814012593387612261776528630676177120948183820268529088309412800425655992503801905306884256302}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{4} - \frac{61828164697615874936177000947972630418434798468525306870118139979785435833250156275934400805922570625014007317418938658662407343487435410776889861881823981043661476408560996433954359395378961728148406392923436975880296684272226725204616186}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{3} + \frac{192866289943120622945963438292834510940835281423124296896604648652579086175483177228607145517400651327248374700766063417853890700012687112299782130237641591473094695937562880780998375725856066543481486149966290029799457161309655591316966720}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a^{2} - \frac{76249825300393546099447249328206978822841308376457078906977120575883361801886956943744020941341116684421285589901345975944173214436697211555751127719227471736408385236286329644007242923281623987772131490412932879788687663041522163937248852}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673} a + \frac{117897113854160307850016427102355468292769394023172474507272192902842891671305124216854759011001803842371854090406233487535328207556235562515709597573332431073917185794001824702981887740493203164210929813909056534561627455403349109971891251}{401995510978197006173321216257740055876029485466692869451102931648991918394525562365572146091031546422918476436836683403331779432557128978957499575570980768398329838362498012910299127941320678317904352377088516735525471264705792971395449673}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $37$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{761}) \), 19.19.7326960021331421245780688833073465007173042939202481.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/41.1.0.1}{1} }^{38}$ $38$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
761Data not computed