↑

Properties

Label 38.38.3755804202...0928.1
Degree $38$
Signature $[38, 0]$
Discriminant $2^{38}\cdot 3^{19}\cdot 19^{72}$
Root discriminant $917.26$
Ramified primes $2, 3, 19$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-12096418325420651, 83491121636914172, 243256145713820310, -1549163770234993240, -982571054057336775, 8214394275890294054, -401306313611257396, -15541311823983218862, 1922777588324163853, 15294419019527334076, -876281456624103747, -8864686668184347808, -311710190949163192, 3165382764313672498, 348726570733652776, -730444453804863254, -121022580509952352, 113664376988967624, 23651579816234812, -12300250827756042, -2989860507551200, 943233324679388, 259378354379174, -51660807861512, -15888580830821, 2015632656852, 695156070533, -55237466216, -21701301440, 1032382746, 477137082, -12457464, -7182209, 87020, 70148, -266, -399, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 - 399*x^36 - 266*x^35 + 70148*x^34 + 87020*x^33 - 7182209*x^32 - 12457464*x^31 + 477137082*x^30 + 1032382746*x^29 - 21701301440*x^28 - 55237466216*x^27 + 695156070533*x^26 + 2015632656852*x^25 - 15888580830821*x^24 - 51660807861512*x^23 + 259378354379174*x^22 + 943233324679388*x^21 - 2989860507551200*x^20 - 12300250827756042*x^19 + 23651579816234812*x^18 + 113664376988967624*x^17 - 121022580509952352*x^16 - 730444453804863254*x^15 + 348726570733652776*x^14 + 3165382764313672498*x^13 - 311710190949163192*x^12 - 8864686668184347808*x^11 - 876281456624103747*x^10 + 15294419019527334076*x^9 + 1922777588324163853*x^8 - 15541311823983218862*x^7 - 401306313611257396*x^6 + 8214394275890294054*x^5 - 982571054057336775*x^4 - 1549163770234993240*x^3 + 243256145713820310*x^2 + 83491121636914172*x - 12096418325420651)
 
gp: K = bnfinit(x^38 - 399*x^36 - 266*x^35 + 70148*x^34 + 87020*x^33 - 7182209*x^32 - 12457464*x^31 + 477137082*x^30 + 1032382746*x^29 - 21701301440*x^28 - 55237466216*x^27 + 695156070533*x^26 + 2015632656852*x^25 - 15888580830821*x^24 - 51660807861512*x^23 + 259378354379174*x^22 + 943233324679388*x^21 - 2989860507551200*x^20 - 12300250827756042*x^19 + 23651579816234812*x^18 + 113664376988967624*x^17 - 121022580509952352*x^16 - 730444453804863254*x^15 + 348726570733652776*x^14 + 3165382764313672498*x^13 - 311710190949163192*x^12 - 8864686668184347808*x^11 - 876281456624103747*x^10 + 15294419019527334076*x^9 + 1922777588324163853*x^8 - 15541311823983218862*x^7 - 401306313611257396*x^6 + 8214394275890294054*x^5 - 982571054057336775*x^4 - 1549163770234993240*x^3 + 243256145713820310*x^2 + 83491121636914172*x - 12096418325420651, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{38} - 399 x^{36} - 266 x^{35} + 70148 x^{34} + 87020 x^{33} - 7182209 x^{32} - 12457464 x^{31} + 477137082 x^{30} + 1032382746 x^{29} - 21701301440 x^{28} - 55237466216 x^{27} + 695156070533 x^{26} + 2015632656852 x^{25} - 15888580830821 x^{24} - 51660807861512 x^{23} + 259378354379174 x^{22} + 943233324679388 x^{21} - 2989860507551200 x^{20} - 12300250827756042 x^{19} + 23651579816234812 x^{18} + 113664376988967624 x^{17} - 121022580509952352 x^{16} - 730444453804863254 x^{15} + 348726570733652776 x^{14} + 3165382764313672498 x^{13} - 311710190949163192 x^{12} - 8864686668184347808 x^{11} - 876281456624103747 x^{10} + 15294419019527334076 x^{9} + 1922777588324163853 x^{8} - 15541311823983218862 x^{7} - 401306313611257396 x^{6} + 8214394275890294054 x^{5} - 982571054057336775 x^{4} - 1549163770234993240 x^{3} + 243256145713820310 x^{2} + 83491121636914172 x - 12096418325420651 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $38$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[38, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(37558042021064440125339965470642631555945155620286006863544912171494489244102707178495963679128943158407544700928=2^{38}\cdot 3^{19}\cdot 19^{72}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $917.26$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 3, 19$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(4332=2^{2}\cdot 3\cdot 19^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{4332}(1,·)$, $\chi_{4332}(2053,·)$, $\chi_{4332}(647,·)$, $\chi_{4332}(4105,·)$, $\chi_{4332}(2699,·)$, $\chi_{4332}(913,·)$, $\chi_{4332}(2965,·)$, $\chi_{4332}(1559,·)$, $\chi_{4332}(3611,·)$, $\chi_{4332}(1825,·)$, $\chi_{4332}(419,·)$, $\chi_{4332}(3877,·)$, $\chi_{4332}(2471,·)$, $\chi_{4332}(685,·)$, $\chi_{4332}(2737,·)$, $\chi_{4332}(1331,·)$, $\chi_{4332}(3383,·)$, $\chi_{4332}(1597,·)$, $\chi_{4332}(191,·)$, $\chi_{4332}(3649,·)$, $\chi_{4332}(2243,·)$, $\chi_{4332}(4295,·)$, $\chi_{4332}(457,·)$, $\chi_{4332}(2509,·)$, $\chi_{4332}(1103,·)$, $\chi_{4332}(3155,·)$, $\chi_{4332}(1369,·)$, $\chi_{4332}(3421,·)$, $\chi_{4332}(2015,·)$, $\chi_{4332}(4067,·)$, $\chi_{4332}(229,·)$, $\chi_{4332}(2281,·)$, $\chi_{4332}(875,·)$, $\chi_{4332}(2927,·)$, $\chi_{4332}(1141,·)$, $\chi_{4332}(3193,·)$, $\chi_{4332}(1787,·)$, $\chi_{4332}(3839,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $\frac{1}{1571} a^{35} - \frac{615}{1571} a^{34} + \frac{97}{1571} a^{33} - \frac{355}{1571} a^{32} + \frac{733}{1571} a^{31} - \frac{242}{1571} a^{30} + \frac{76}{1571} a^{29} + \frac{185}{1571} a^{28} + \frac{144}{1571} a^{27} + \frac{332}{1571} a^{26} + \frac{143}{1571} a^{25} + \frac{61}{1571} a^{24} + \frac{245}{1571} a^{23} - \frac{31}{1571} a^{22} - \frac{406}{1571} a^{21} + \frac{472}{1571} a^{20} - \frac{708}{1571} a^{19} - \frac{532}{1571} a^{18} - \frac{119}{1571} a^{17} + \frac{410}{1571} a^{16} + \frac{385}{1571} a^{15} - \frac{31}{1571} a^{14} + \frac{676}{1571} a^{13} - \frac{557}{1571} a^{12} - \frac{287}{1571} a^{11} + \frac{383}{1571} a^{10} + \frac{583}{1571} a^{9} - \frac{540}{1571} a^{8} + \frac{628}{1571} a^{7} + \frac{244}{1571} a^{6} + \frac{742}{1571} a^{5} + \frac{667}{1571} a^{4} - \frac{287}{1571} a^{3} + \frac{285}{1571} a^{2} - \frac{41}{1571} a - \frac{506}{1571}$, $\frac{1}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{36} + \frac{247611749145459223491510938706767342848042220191959922122497196198979756}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{35} + \frac{250741946692638734297034733129566799090193645499133743619135882135746952791}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{34} + \frac{47972127138572397224284936228473907912695072050904704020675800717066574648}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{33} - \frac{163860530701257471151140212738920555329184588063166020229508223652258546328}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{32} + \frac{424592986377436188752921042098667622016595435769901052509695633082979129019}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{31} - \frac{70565145917169027115303767524910990985750606495490742879071833080326581596}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{30} + \frac{438213507277612769622085715986393394518394657889058123619511459375420548260}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{29} + \frac{252966566201080785976751790559651159188493009872662886787410068468751429302}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{28} + \frac{411526781816846843820195238059042700624817775250774025817228276465788018971}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{27} - \frac{310585760408209526429952084166024555461405784838504215722988090242932615036}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{26} + \frac{12102910889534933073910776751502813830514111980560512924607539570592855653}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{25} + \frac{269612669404215531144620621679569586582448852810496698869823606468368395569}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{24} - \frac{128073070907217490461905349292232768078305240895564900475800842875951481542}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{23} + \frac{346363056183003958201057884629771767284025785906844907064417786848967313880}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{22} + \frac{68119887203681060991340804902381511881141272289710249143518339883964569602}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{21} - \frac{135300177816344037628576814237799504714868217000472037333684762931252592357}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{20} + \frac{196940679546089431958182036734190187525249668757162588753847056004182613333}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{19} + \frac{316246251658786854706155550854869742729456162199073979793175065867948516994}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{18} + \frac{116657006048286461005474060759338631205533629100436685061756180653501819847}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{17} + \frac{181538529081479667753005387771285482747735031912348444653658731225563824806}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{16} - \frac{169524960528175010263083425079460796306271515189718742354617033376822224702}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{15} - \frac{421903946717819169820355957496428583290614867833523943608953200279266518996}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{14} - \frac{65923727291548026392661947925896656995748966757563970154287392264024755654}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{13} - \frac{383206825765667062075370189500418600374256580781276161130558450606124040175}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{12} + \frac{6086551148874301271721730808244834508181646104368570902670749797791851472}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{11} - \frac{33032075432581986868108036268982938683316509673486542401280251195137099763}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{10} + \frac{367256350371836587212927900066679642251182259019476032446594954351829821040}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{9} + \frac{162330918172153965517654968908620682449503169584193510460957396456895645643}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{8} + \frac{427752072765507276889732377810542749024791864960557295157997447212559895766}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{7} - \frac{87808741018024979146040309267237534441111661402107585025295225662303842280}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{6} - \frac{318097255352370234977630032396566145920608211340922184581664494455954330155}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{5} + \frac{280036079495612595124372294459331573068332929958670866859593563853533635729}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{4} - \frac{80111141901836139186587902456351624286734480380664867251971697862991208727}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{3} + \frac{403794405282007125808758830599889531289728880601802472965464112189481464426}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{2} + \frac{358971433451834774964005028044709999664004145500161426647700327546005262237}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a - \frac{2246758593799064962687242653413476221602176220739137838260668679493350395}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289}$, $\frac{1}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{37} + \frac{629927840650023302494781544947307852656463779774784091153758649925161615534743924249285434726966424072229484846000612896219199086683161847743310215160488375015797945024352663270254352393745628782}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{36} + \frac{1441744579650183622918276974798366193890276112729311882446632761406662774614433188526610559697407835037806194442786410001179164932203082763743735163649945447429162660977081553438848281080887296930405681204493895537199712246474669587116177380587967800813024770386517929}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{35} + \frac{378563264237034577470543255164571552920500750421206392848761558098446881685544726591734664976584271903785554187055114026856312176189805270519649285116891133658410965215613836092473336452188482455139738732363752761980227559786883500582757186385916928976074765140623942788}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{34} - \frac{1911518412970282293937172217365326643588721496207994416358541345972319961318590903156766432457963743801684945433300430674897184713627173154155133999480419962103722497767083634178152860355068310987728692930334878629600107225765490334828136714576388789300558500970435079889}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{33} + \frac{311990273941286095655054754815839539409254764430916808470387789753164240687397771457433817473737566923403304971268858058957235472392863276026981446701159130785290947989444176845642291060422537632778637021613254973559808957057353308844158353540443049151474960378248416}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{32} + \frac{2218217948195360366797497970829476340978921683551801550752094556849867018577187815066091643736317028763725643601779720742613073115222437038386578853131221389858080979454396157058739197170199055485425363514295434117329818093663625527899454989939898850325885966101490619001}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{31} + \frac{15876332969997568307358510272501749685373739186712233328997883869464020208614882746889886165305743640534378199189442117791579533419339410720749004965822998891437216235501800712406498569288983263477973879728292758360405102342174395574528492023551739331792309748211006501}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{30} - \frac{1200640765682314269792614444830927394107497746594913592614572977514059485399112475613367184909530551196929683934101691306645143183744209500751271913220967502458308837360176384590732490617338419741936129963767043840061073778204850634067581752287080589527566116484330684415}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{29} + \frac{495090427600981574832714967276323149190262987666511435123715977044908142093765423975375979515840414785326791607461779590414529274015498600080042078906622080093086160576673447657794408250577561644531556079953796336152915984396719662239954461979847002367136391884958640729}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{28} + \frac{2558598615937003201735129814582462123075644544288773384123586415264604684164068915120434024359751276006103998250934152706119984409228462886395852597152581728499677298413549954713869347685688645430368899545449007135487501168591271333035311909686465430163311224018290516919}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{27} + \frac{2163331974471957931930753668629678282239549642847213048874463260452430874467169734428325380284090406953126286273195622975379055617240018903281220649025022686252744797280039880350556284371241074886918101625023565534807792711748067596252442962108148148402986821513001004976}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{26} - \frac{1584202250415367282100087156089178425481545699792876332838737112877171864975197707354690359711303515961773278721603312529386170189508409435162023166340711727577938720593347393822991986940599155993107245967386486690868449256902725138819295478300593005700670123216822982385}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{25} - \frac{2730010884664915605426690866715245187213700992439260787747192456939932635898580110650908898955578387824053287459320395384470249029057441638387604900875799746911076641698820232098527076031522090120393782500175093627547870727319034500865418384634307045780143195236771115579}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{24} - \frac{2805625593481128925221416936970456838188439912071579464766328626333475274395308687799597926222336026594397816999804595888201969643197332789469533383724949546516558883208960126894980631721444390368310265487393855383911089714535103050794263044612642659603909444088474319195}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{23} + \frac{2231051736788414486138663774686816429350153505725630235447337698296412291804104824457880343717002260540858944701575742629175559709271997574960195672984329390599301817355658552591682986017824183541727786010583098464010294479472997482240594056666640861406334315081053809677}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{22} + \frac{2763340997383803003597621029001302346304129143437849311982068089082160274057755645053859995160772242251481133184932476254179413519326526862887260583423982876997512482989274974985766021498721296901357708430021076087778677319862735896280402000892529748516538105711817542618}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{21} + \frac{1894606042189777362704115281980131721467274498823940700154879565048784768503080500862175041202530286099962865536301078328719745981151878703463936203311533855731351264596008892793862658039413047457713534431474883349792846754638104000288197047829402059683615848598398411112}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{20} - \frac{502978795216009953284273102777132141520784492305382495641271156386672184303642357372571669617993399633547146190494522025728707741895007128002136248296190798444706936773672815246538234287416593498803397552312053268965773322335890688817185261844244102862666253317294677486}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{19} - \frac{1960117289786561430294912199223697824825432233999939691633326130174985172039791903347340468716422222481350543376069968894684289614455260969120432823749371364401717705841705744386812887632035774272277868746725723395764795711983428051941592851472070139552705161774354581221}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{18} - \frac{1416516695920485946330978327376172832104841620426045892426370330332480202043512790628395188868996386955108123215577730925351390896104457625880434141005275855857650686603583762331868429601785041693192519722258051959308632478870810533429387985698162695082291255618766573570}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{17} + \frac{2018332322866944330753955059841033120657392510631510236963876221973757360601586267278633946497734369143719972973358314300138255915994239980269097088658223262273346347841417912948990037851882876585914519925265051270371473547406917186621355974708539203953559286325191628089}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{16} + \frac{2652550507058159818543062675768471006579769707530280342765118191428077328661964433197005268606216318962390332248788954770249238204389666703109016843383702658019814081666523844332496585041585645691633451550563108936925303968451320199704201569519773848980455741066141339421}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{15} - \frac{871821006278980978607122406949869560452577824357069207207119058581813291788881079772655947671732427143845238330985139745766971949194795604616210587829561707681250414710921663735983010865877156591540535762798403484564681002292065746064891330413415977562751160196838322401}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{14} + \frac{1844825437719711451431839250532132617491051098405655266242628500503209687326552359419860883191433420549973638248264605100694353953531812048689143064262490201932410509012813138432084387954874885204783463535379465508963833243704915116944587484605145911972496124398365482957}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{13} + \frac{2068824500137309991751606700208581936274083136188706583915379633888097802591395735429315967699917290666141457306060714103293800805836739271225663276089014842103727664707685506953659375905900846038117994908919668284422574538853684513899098610968863423972302748712166130529}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{12} + \frac{1687886487122798783620295689678157136719006929743504402074734338197851192106607102366905521325985071889745448636158377179758391422273180224518123897159149647164766189413480596322479051443851488540708298741866081026823978218543766753210549408248277515410768565418807811979}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{11} + \frac{1625008513983703584046387014175672860748406746822383613217451128706522316260789811148537840240183396204483613412933139968832912060751567972709214834076400644269863409641124282645713021986575580479679628925459238260112984731491121396196596093529800121693226119025257280724}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{10} + \frac{1189832646683760582995189344691810539838574452687472274113536279375214735817039160482520383064595479357030624643641451854316047727003329085780775877604709995999103899650112590935056882552978133369108863394809190812120302710695671651302076787108220493220944257768127301493}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{9} - \frac{2329837445368332753197208274109766911858597903334395820818825460889599665184997718523475513056748619127370667274351668642074501484800771804227695994687383409734509637461936699371776327998215192477413753844817528519844398772918039895044657886650639830955371121401623605415}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{8} - \frac{477384876770780553034001529423935544963733069236356341586947564630687310950033829777817945364572038248485869827861499660088576555930268080809041150301254700687158848945342874567831853392183849183947894851432420271806375898160045845678047885157445609231198243827737839330}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{7} + \frac{1866885359371942178179101212124425907447649864310178124540923665066644916620036166223574164094113906123963824496060273013898822582915336808785732894495376092307733438400749692505639387505925829615346858549796504086403397774874471029877470757248461682764812426500437112133}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{6} - \frac{299211137502234995967848819313191215337198867570198453989499207879154349249959846340046730429926877043366988510647175920811977968566557335756933443090199497504524903003572838693412689167010234512012252179705408934546876558491183200937796391022514528240201414879785886213}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{5} + \frac{2249109034745148144278920965908455710173362538935834674997093344887695759387172393738108349541704820254647114455065121173386209205898720072727781823148483644768176986540479576623518762183815185953289285327879433904261726021825974794445404595857662988008024494736533784249}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{4} + \frac{1427992601049614317703980807313530608691700715580330352896664109109971999812839842538856665888321071037233674504610396040359689772595066889897511238914743838864183216757525480546191371798040690895653460383201470473411453940608046411337777530745977621362261562360246075641}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{3} + \frac{872404050922922099477962336814612002970440490533659130515661446217371786321288076684694895653738926033999227590885953816701116014833775401005849064910023246003397332125887085093393835263495839277566298105524646390778828216677040739993235262917445291189289863940152136747}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a^{2} - \frac{1282056544691179360638937035513128369660180987508312418237685346764441748529458306561089857061440005809164176088732360172241244013587067973193232311829558540290504471552125061357613661858538231175756533832158418399072006686938354539922241755261914114102725885357624753927}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983} a - \frac{918165397820904630830189737056946349105585970296669016621364616653326915263219211506715437625277479917623384717921782347059214485374384234170866068015478287550432436154262077980625332497789811847217667442595789352637119478961881813592831274996022916646537512500723635621}{5862129837812714189746621693446355083917451323430656072771699279349170385686166185887967037720873646282502297903075594878807466914596208711336517974079284750657864282953299085193633466239456420515897701131298784837354387639829935467274214743767938849626736018252971879983}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $37$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{3}) \), 19.19.10842505080063916320800450434338728415281531281.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R R $38$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ R $19^{2}$ $38$ $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
3Data not computed
19Data not computed