↑

Properties

Label 38.38.3219012198...6848.1
Degree $38$
Signature $[38, 0]$
Discriminant $2^{57}\cdot 19^{73}$
Root discriminant $809.28$
Ramified primes $2, 19$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-4367524927373312, 0, 35186028862190125056, 0, -215810819637279588352, 0, 522672459062519857152, 0, -650128852045193019392, 0, 458440410895243640832, 0, -195241850251924127744, 0, 52826511238771384320, 0, -9509847366602178560, 0, 1180088221648270336, 0, -103342296909371392, 0, 6467923444948992, 0, -290161586183680, 0, 9270936511936, 0, -207620468672, 0, 3173576992, 0, -31840200, 0, 197828, 0, -684, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 - 684*x^36 + 197828*x^34 - 31840200*x^32 + 3173576992*x^30 - 207620468672*x^28 + 9270936511936*x^26 - 290161586183680*x^24 + 6467923444948992*x^22 - 103342296909371392*x^20 + 1180088221648270336*x^18 - 9509847366602178560*x^16 + 52826511238771384320*x^14 - 195241850251924127744*x^12 + 458440410895243640832*x^10 - 650128852045193019392*x^8 + 522672459062519857152*x^6 - 215810819637279588352*x^4 + 35186028862190125056*x^2 - 4367524927373312)
 
gp: K = bnfinit(x^38 - 684*x^36 + 197828*x^34 - 31840200*x^32 + 3173576992*x^30 - 207620468672*x^28 + 9270936511936*x^26 - 290161586183680*x^24 + 6467923444948992*x^22 - 103342296909371392*x^20 + 1180088221648270336*x^18 - 9509847366602178560*x^16 + 52826511238771384320*x^14 - 195241850251924127744*x^12 + 458440410895243640832*x^10 - 650128852045193019392*x^8 + 522672459062519857152*x^6 - 215810819637279588352*x^4 + 35186028862190125056*x^2 - 4367524927373312, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{38} - 684 x^{36} + 197828 x^{34} - 31840200 x^{32} + 3173576992 x^{30} - 207620468672 x^{28} + 9270936511936 x^{26} - 290161586183680 x^{24} + 6467923444948992 x^{22} - 103342296909371392 x^{20} + 1180088221648270336 x^{18} - 9509847366602178560 x^{16} + 52826511238771384320 x^{14} - 195241850251924127744 x^{12} + 458440410895243640832 x^{10} - 650128852045193019392 x^{8} + 522672459062519857152 x^{6} - 215810819637279588352 x^{4} + 35186028862190125056 x^{2} - 4367524927373312 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $38$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[38, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(321901219811890081790219546628722051791865953039568238015939027374467326085267423464178688376545784307644366848=2^{57}\cdot 19^{73}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $809.28$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 19$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(2888=2^{3}\cdot 19^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{2888}(2433,·)$, $\chi_{2888}(2051,·)$, $\chi_{2888}(1,·)$, $\chi_{2888}(1673,·)$, $\chi_{2888}(1291,·)$, $\chi_{2888}(913,·)$, $\chi_{2888}(531,·)$, $\chi_{2888}(2585,·)$, $\chi_{2888}(153,·)$, $\chi_{2888}(2203,·)$, $\chi_{2888}(1825,·)$, $\chi_{2888}(1443,·)$, $\chi_{2888}(305,·)$, $\chi_{2888}(1065,·)$, $\chi_{2888}(683,·)$, $\chi_{2888}(2737,·)$, $\chi_{2888}(2355,·)$, $\chi_{2888}(1977,·)$, $\chi_{2888}(1595,·)$, $\chi_{2888}(1217,·)$, $\chi_{2888}(835,·)$, $\chi_{2888}(457,·)$, $\chi_{2888}(2507,·)$, $\chi_{2888}(2129,·)$, $\chi_{2888}(75,·)$, $\chi_{2888}(1747,·)$, $\chi_{2888}(1369,·)$, $\chi_{2888}(987,·)$, $\chi_{2888}(609,·)$, $\chi_{2888}(227,·)$, $\chi_{2888}(379,·)$, $\chi_{2888}(2281,·)$, $\chi_{2888}(1899,·)$, $\chi_{2888}(1521,·)$, $\chi_{2888}(2659,·)$, $\chi_{2888}(1139,·)$, $\chi_{2888}(761,·)$, $\chi_{2888}(2811,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $\frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{3}$, $\frac{1}{4} a^{4}$, $\frac{1}{4} a^{5}$, $\frac{1}{8} a^{6}$, $\frac{1}{8} a^{7}$, $\frac{1}{16} a^{8}$, $\frac{1}{16} a^{9}$, $\frac{1}{32} a^{10}$, $\frac{1}{32} a^{11}$, $\frac{1}{64} a^{12}$, $\frac{1}{64} a^{13}$, $\frac{1}{128} a^{14}$, $\frac{1}{128} a^{15}$, $\frac{1}{256} a^{16}$, $\frac{1}{256} a^{17}$, $\frac{1}{512} a^{18}$, $\frac{1}{512} a^{19}$, $\frac{1}{1024} a^{20}$, $\frac{1}{1024} a^{21}$, $\frac{1}{2048} a^{22}$, $\frac{1}{2048} a^{23}$, $\frac{1}{4096} a^{24}$, $\frac{1}{4096} a^{25}$, $\frac{1}{8192} a^{26}$, $\frac{1}{8192} a^{27}$, $\frac{1}{16384} a^{28}$, $\frac{1}{16384} a^{29}$, $\frac{1}{32768} a^{30}$, $\frac{1}{32768} a^{31}$, $\frac{1}{65536} a^{32}$, $\frac{1}{65536} a^{33}$, $\frac{1}{16646144} a^{34} - \frac{15}{8323072} a^{32} + \frac{1}{520192} a^{30} - \frac{5}{1040384} a^{28} + \frac{1}{260096} a^{26} - \frac{3}{260096} a^{24} - \frac{7}{32512} a^{22} + \frac{5}{32512} a^{20} + \frac{3}{8128} a^{18} - \frac{31}{32512} a^{16} - \frac{11}{8128} a^{14} + \frac{27}{4064} a^{12} + \frac{7}{4064} a^{10} - \frac{31}{1016} a^{8} + \frac{57}{1016} a^{6} - \frac{23}{508} a^{4} - \frac{37}{254} a^{2} + \frac{5}{127}$, $\frac{1}{16646144} a^{35} - \frac{15}{8323072} a^{33} + \frac{1}{520192} a^{31} - \frac{5}{1040384} a^{29} + \frac{1}{260096} a^{27} - \frac{3}{260096} a^{25} - \frac{7}{32512} a^{23} + \frac{5}{32512} a^{21} + \frac{3}{8128} a^{19} - \frac{31}{32512} a^{17} - \frac{11}{8128} a^{15} + \frac{27}{4064} a^{13} + \frac{7}{4064} a^{11} - \frac{31}{1016} a^{9} + \frac{57}{1016} a^{7} - \frac{23}{508} a^{5} - \frac{37}{254} a^{3} + \frac{5}{127} a$, $\frac{1}{141505810107384727742376584650878745498335663663745463006004737192488947607512775003801858645848152541296238203403446162756236511272858340538112331743232} a^{36} + \frac{1135681081077959949837745328247425808771833811697177591799512953125125427614065168022415928810652457666264143733553882740215619894784372205267027}{70752905053692363871188292325439372749167831831872731503002368596244473803756387501900929322924076270648119101701723081378118255636429170269056165871616} a^{34} + \frac{216666501878480505656804668437399000456209901974094604483909138157635592278018720700120429062946500556067134089982274626854625116149484181770347441}{35376452526846181935594146162719686374583915915936365751501184298122236901878193750950464661462038135324059550850861540689059127818214585134528082935808} a^{32} + \frac{10837253139923341187240567913342870606539965465711115253574028850216334200734605953798006306138349105210939000599675277311501324311274144166029165}{17688226263423090967797073081359843187291957957968182875750592149061118450939096875475232330731019067662029775425430770344529563909107292567264041467904} a^{30} - \frac{57924279052392258260601878635822819142179727750944544291779620689052707802157333657576359129763539068820197189733671493135058496157318388664390607}{4422056565855772741949268270339960796822989489492045718937648037265279612734774218868808082682754766915507443856357692586132390977276823141816010366976} a^{28} - \frac{14512159105409114997677197973568134905285000371699993108853664305071872565006416609315863371762423373889038039179760119993468515021136924840213903}{4422056565855772741949268270339960796822989489492045718937648037265279612734774218868808082682754766915507443856357692586132390977276823141816010366976} a^{26} + \frac{7977977434648735284869151971490146881847549238318315379740466424426365831895659118896910349425591020868139565958952392566042727101016332480301237}{2211028282927886370974634135169980398411494744746022859468824018632639806367387109434404041341377383457753721928178846293066195488638411570908005183488} a^{24} - \frac{65273053847384798090265332230917698576118322180922534888259538877891998472926073146661217131784044477089152539241378873555615202784455864693407677}{552757070731971592743658533792495099602873686186505714867206004658159951591846777358601010335344345864438430482044711573266548872159602892727001295872} a^{22} - \frac{103789030699266543588489628038712454619226949514747042843157580517540628219970530625209257963554326921670328944309538561170901307912148505554380671}{276378535365985796371829266896247549801436843093252857433603002329079975795923388679300505167672172932219215241022355786633274436079801446363500647936} a^{20} + \frac{255813343712777330906793165852071016726353686290215399424984935182598313512515137172799088802618608964340485741781704203717721291419300475243850797}{276378535365985796371829266896247549801436843093252857433603002329079975795923388679300505167672172932219215241022355786633274436079801446363500647936} a^{18} - \frac{44917000066688416577949082279951103684444851183393092906346035946152895998508125165207022945412260568885408453188060279522624384836088515062438345}{138189267682992898185914633448123774900718421546626428716801501164539987897961694339650252583836086466109607620511177893316637218039900723181750323968} a^{16} - \frac{21153161223229475926192208086909336426450496881893212192438432366456104879878635510121508640405075949797732249589685872383002004856384996952716685}{34547316920748224546478658362030943725179605386656607179200375291134996974490423584912563145959021616527401905127794473329159304509975180795437580992} a^{14} - \frac{169165546432974749109807029486495398207208811558721498513270024623677281499498851580693133876371250136689187835065933578235891313128820829261397595}{34547316920748224546478658362030943725179605386656607179200375291134996974490423584912563145959021616527401905127794473329159304509975180795437580992} a^{12} - \frac{1947348751607607544708220100536735790397808212572222659528468529837878668945227755533959019788164198916600047368208072096891051611344949038650439}{136013058743103246245978969929255683957400021207309477083466044453287389663348124350049461204563077230422842146172419186335272852401477089745817248} a^{10} - \frac{116201478695551119460958335134623659339565985398083186999897474760177788058848428810327356949426654934390975382704044834367726551690818574023516913}{4318414615093528068309832295253867965647450673332075897400046911391874621811302948114070393244877702065925238140974309166144913063746897599429697624} a^{8} + \frac{60369979688123319598699022987796953158850566155903764512124919949629934083936342504624857753257459008869383135916851463622432946597979008122915183}{1079603653773382017077458073813466991411862668333018974350011727847968655452825737028517598311219425516481309535243577291536228265936724399857424406} a^{6} + \frac{22249905200592036155114622344073244891057710058420261189122175126326488424965122269982861982296113381691659334984510749792585745791956039121379483}{1079603653773382017077458073813466991411862668333018974350011727847968655452825737028517598311219425516481309535243577291536228265936724399857424406} a^{4} - \frac{86872225162315798405560511063770939443623118427264952672144587412216467100340503707834044898127154897266313664991622095789459297175501160902545457}{1079603653773382017077458073813466991411862668333018974350011727847968655452825737028517598311219425516481309535243577291536228265936724399857424406} a^{2} + \frac{156278228393948426524989147006366386473725419280293101960503290819569192446018802528260478885331351234366202723926833893281911847678659314031739365}{539801826886691008538729036906733495705931334166509487175005863923984327726412868514258799155609712758240654767621788645768114132968362199928712203}$, $\frac{1}{2962990157838528814197623306004750051989650461455166249882733192073526073953709995804607118185414466062201931741064759201952836309542380792527534114371534848} a^{37} + \frac{38195302739378758296398807238587359177096165289089289711092608120991890235266559234216286740435179777225780624315776016645514023484884569636452572981}{1481495078919264407098811653002375025994825230727583124941366596036763036976854997902303559092707233031100965870532379600976418154771190396263767057185767424} a^{35} + \frac{976535403792216469965074598191875855407168237130692434794238609479411179519498773820898909138067285245185030914583878746539735068760502219013464780741}{740747539459632203549405826501187512997412615363791562470683298018381518488427498951151779546353616515550482935266189800488209077385595198131883528592883712} a^{33} - \frac{18924530323861212536898039254993900798729932874873108791435722859323125008422187928576859627875940933205443256420801026650072666475694665191344635999}{23148360608113506360918932078162109781169144230118486327208853063074422452763359342223493110823550516110952591727068431265256533668299849941621360268527616} a^{31} + \frac{1791123548757388589413707574176594014656600712055283929694825709667987573154391170005459412517737256085350292308657261921953510998438719753428330289039}{92593442432454025443675728312648439124676576920473945308835412252297689811053437368893972443294202064443810366908273725061026134673199399766485441074110464} a^{29} + \frac{3783469243713969035662289703009752370988338442424681480879983821520568576854643727886488424555284642087625212369673140522367437421290142160852667287291}{92593442432454025443675728312648439124676576920473945308835412252297689811053437368893972443294202064443810366908273725061026134673199399766485441074110464} a^{27} - \frac{841292296061859036966327675659818964491368646127248995342081760871606391934953968250340167279150203425432720527949404148485118231248960429972163172689}{46296721216227012721837864156324219562338288460236972654417706126148844905526718684446986221647101032221905183454136862530513067336599699883242720537055232} a^{25} - \frac{5126807013190199600699188041565741992201576204751537038459479257947179884113622008839418577932919999192830606613499460826788956196824881663132657992383}{23148360608113506360918932078162109781169144230118486327208853063074422452763359342223493110823550516110952591727068431265256533668299849941621360268527616} a^{23} - \frac{13347720843983915349832307650223415044086722123899924128866658713017787688253994550710626342596086015723748058494419861700978919457632362649028180065}{361693134501773536889358313721282965330767878595601348862638329110537850824427489722242079856617976814233634245735444238519633338567185155337833754195744} a^{21} - \frac{216068648782500008548977457815699422666096112758642121148476757740495752913592267148544244167559376554789058778260534536634296231836966547450323486701}{361693134501773536889358313721282965330767878595601348862638329110537850824427489722242079856617976814233634245735444238519633338567185155337833754195744} a^{19} + \frac{1704955281690275498852781802151525253624550858494370013729199970836016250690755863922651691998180327553723553742525308426225436171447155062311738787537}{2893545076014188295114866509770263722646143028764810790901106632884302806595419917777936638852943814513869073965883553908157066708537481242702670033565952} a^{17} + \frac{2492962299420321551372922089631205058782950431468325261144258543489017479084382912085466026629469045385337931801780431335092314994040148538752451689167}{1446772538007094147557433254885131861323071514382405395450553316442151403297709958888968319426471907256934536982941776954078533354268740621351335016782976} a^{15} + \frac{53221272368424614454172832239043894268931753452371905973562015126748299472466217262471443367714685985662981101104972195197104358321767698062499478287}{45211641812721692111169789215160370666345984824450168607829791138817231353053436215280259982077247101779204280716930529814954167320898144417229219274468} a^{13} - \frac{13079214720650635325223427380557530943684688922037995375845475599870000578431733811610609394549656747656072649722492080539374741665060646376563287033}{2847977437021838873144553651348684766383999044059853140650695504807384652160846375765685668162346274127823891698704285342674278256434528782187667355872} a^{11} + \frac{956718665146692898315220347745937956020474908205373174410548291998559947569887287858243876034501251276436500667671993378635984880986150323151582595611}{90423283625443384222339578430320741332691969648900337215659582277634462706106872430560519964154494203558408561433861059629908334641796288834458438548936} a^{9} + \frac{48550718492403283769829753612350719108320048473454243621203144661740508613977921718689488190773185233376058270306435026407133317929207168191354482421}{11302910453180423027792447303790092666586496206112542151957447784704307838263359053820064995519311775444801070179232632453738541830224536104307304818617} a^{7} - \frac{1363985208632396304018609575517342866844031411945817059748047519927506510917356733411121182644813065458195999848679943834539455064243723151098731189854}{11302910453180423027792447303790092666586496206112542151957447784704307838263359053820064995519311775444801070179232632453738541830224536104307304818617} a^{5} - \frac{4032389517436401261676930718833121826902256014339602220465330514844018483659696549789677307554652111074301154572531481253585310123464290949992164474711}{22605820906360846055584894607580185333172992412225084303914895569408615676526718107640129991038623550889602140358465264907477083660449072208614609637234} a^{3} - \frac{5539948882536116087546916348225487598766962282150162969567572710949928212729684680368116088533691143379166093664256390904412916798552473891007869190116}{11302910453180423027792447303790092666586496206112542151957447784704307838263359053820064995519311775444801070179232632453738541830224536104307304818617} a$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $37$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{38}) \), 19.19.10842505080063916320800450434338728415281531281.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R $38$ $38$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $19^{2}$ R $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $38$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
19Data not computed