Properties

Label 38.38.290...677.1
Degree $38$
Signature $[38, 0]$
Discriminant $2.908\times 10^{93}$
Root discriminant $288.12$
Ramified primes $3, 191$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 - x^37 - 188*x^36 + 180*x^35 + 15133*x^34 - 12829*x^33 - 695929*x^32 + 470210*x^31 + 20560148*x^30 - 9452291*x^29 - 414286793*x^28 + 90520176*x^27 + 5875939616*x^26 + 191303612*x^25 - 59496127537*x^24 - 16762796308*x^23 + 430644226744*x^22 + 224673611403*x^21 - 2206305371572*x^20 - 1655031822292*x^19 + 7828656065108*x^18 + 7607383848877*x^17 - 18551523651529*x^16 - 22355418258850*x^15 + 27686404325779*x^14 + 41724858463028*x^13 - 23225313872578*x^12 - 48637857116067*x^11 + 6837701957301*x^10 + 34223650023543*x^9 + 4693738691921*x^8 - 13444562674843*x^7 - 4790142874347*x^6 + 2352031466145*x^5 + 1507820068977*x^4 + 14043380009*x^3 - 154333274880*x^2 - 38062864399*x - 2836879451)
 
gp: K = bnfinit(x^38 - x^37 - 188*x^36 + 180*x^35 + 15133*x^34 - 12829*x^33 - 695929*x^32 + 470210*x^31 + 20560148*x^30 - 9452291*x^29 - 414286793*x^28 + 90520176*x^27 + 5875939616*x^26 + 191303612*x^25 - 59496127537*x^24 - 16762796308*x^23 + 430644226744*x^22 + 224673611403*x^21 - 2206305371572*x^20 - 1655031822292*x^19 + 7828656065108*x^18 + 7607383848877*x^17 - 18551523651529*x^16 - 22355418258850*x^15 + 27686404325779*x^14 + 41724858463028*x^13 - 23225313872578*x^12 - 48637857116067*x^11 + 6837701957301*x^10 + 34223650023543*x^9 + 4693738691921*x^8 - 13444562674843*x^7 - 4790142874347*x^6 + 2352031466145*x^5 + 1507820068977*x^4 + 14043380009*x^3 - 154333274880*x^2 - 38062864399*x - 2836879451, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-2836879451, -38062864399, -154333274880, 14043380009, 1507820068977, 2352031466145, -4790142874347, -13444562674843, 4693738691921, 34223650023543, 6837701957301, -48637857116067, -23225313872578, 41724858463028, 27686404325779, -22355418258850, -18551523651529, 7607383848877, 7828656065108, -1655031822292, -2206305371572, 224673611403, 430644226744, -16762796308, -59496127537, 191303612, 5875939616, 90520176, -414286793, -9452291, 20560148, 470210, -695929, -12829, 15133, 180, -188, -1, 1]);
 

\( x^{38} - x^{37} - 188 x^{36} + 180 x^{35} + 15133 x^{34} - 12829 x^{33} - 695929 x^{32} + 470210 x^{31} + 20560148 x^{30} - 9452291 x^{29} - 414286793 x^{28} + 90520176 x^{27} + 5875939616 x^{26} + 191303612 x^{25} - 59496127537 x^{24} - 16762796308 x^{23} + 430644226744 x^{22} + 224673611403 x^{21} - 2206305371572 x^{20} - 1655031822292 x^{19} + 7828656065108 x^{18} + 7607383848877 x^{17} - 18551523651529 x^{16} - 22355418258850 x^{15} + 27686404325779 x^{14} + 41724858463028 x^{13} - 23225313872578 x^{12} - 48637857116067 x^{11} + 6837701957301 x^{10} + 34223650023543 x^{9} + 4693738691921 x^{8} - 13444562674843 x^{7} - 4790142874347 x^{6} + 2352031466145 x^{5} + 1507820068977 x^{4} + 14043380009 x^{3} - 154333274880 x^{2} - 38062864399 x - 2836879451 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $38$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[38, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(290\!\cdots\!677\)\(\medspace = 3^{19}\cdot 191^{37}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $288.12$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $3, 191$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $38$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(573=3\cdot 191\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{573}(1,·)$, $\chi_{573}(388,·)$, $\chi_{573}(257,·)$, $\chi_{573}(136,·)$, $\chi_{573}(521,·)$, $\chi_{573}(11,·)$, $\chi_{573}(14,·)$, $\chi_{573}(275,·)$, $\chi_{573}(532,·)$, $\chi_{573}(196,·)$, $\chi_{573}(535,·)$, $\chi_{573}(25,·)$, $\chi_{573}(154,·)$, $\chi_{573}(155,·)$, $\chi_{573}(412,·)$, $\chi_{573}(413,·)$, $\chi_{573}(160,·)$, $\chi_{573}(161,·)$, $\chi_{573}(418,·)$, $\chi_{573}(419,·)$, $\chi_{573}(548,·)$, $\chi_{573}(38,·)$, $\chi_{573}(41,·)$, $\chi_{573}(298,·)$, $\chi_{573}(559,·)$, $\chi_{573}(562,·)$, $\chi_{573}(52,·)$, $\chi_{573}(437,·)$, $\chi_{573}(185,·)$, $\chi_{573}(572,·)$, $\chi_{573}(451,·)$, $\chi_{573}(452,·)$, $\chi_{573}(121,·)$, $\chi_{573}(350,·)$, $\chi_{573}(223,·)$, $\chi_{573}(316,·)$, $\chi_{573}(377,·)$, $\chi_{573}(122,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $\frac{1}{7} a^{25} - \frac{2}{7} a^{24} - \frac{2}{7} a^{23} + \frac{3}{7} a^{22} - \frac{2}{7} a^{21} + \frac{1}{7} a^{20} + \frac{3}{7} a^{19} - \frac{2}{7} a^{18} + \frac{1}{7} a^{17} + \frac{1}{7} a^{16} - \frac{1}{7} a^{15} + \frac{3}{7} a^{13} - \frac{1}{7} a^{12} - \frac{3}{7} a^{9} + \frac{1}{7} a^{8} + \frac{3}{7} a^{7} + \frac{3}{7} a^{6} - \frac{3}{7} a^{5} + \frac{1}{7} a^{4} + \frac{3}{7} a^{3} - \frac{3}{7} a^{2} + \frac{2}{7} a$, $\frac{1}{7} a^{26} + \frac{1}{7} a^{24} - \frac{1}{7} a^{23} - \frac{3}{7} a^{22} - \frac{3}{7} a^{21} - \frac{2}{7} a^{20} - \frac{3}{7} a^{19} - \frac{3}{7} a^{18} + \frac{3}{7} a^{17} + \frac{1}{7} a^{16} - \frac{2}{7} a^{15} + \frac{3}{7} a^{14} - \frac{2}{7} a^{13} - \frac{2}{7} a^{12} - \frac{3}{7} a^{10} + \frac{2}{7} a^{9} - \frac{2}{7} a^{8} + \frac{2}{7} a^{7} + \frac{3}{7} a^{6} + \frac{2}{7} a^{5} - \frac{2}{7} a^{4} + \frac{3}{7} a^{3} + \frac{3}{7} a^{2} - \frac{3}{7} a$, $\frac{1}{7} a^{27} + \frac{1}{7} a^{24} - \frac{1}{7} a^{23} + \frac{1}{7} a^{22} + \frac{3}{7} a^{20} + \frac{1}{7} a^{19} - \frac{2}{7} a^{18} - \frac{3}{7} a^{16} - \frac{3}{7} a^{15} - \frac{2}{7} a^{14} + \frac{2}{7} a^{13} + \frac{1}{7} a^{12} - \frac{3}{7} a^{11} + \frac{2}{7} a^{10} + \frac{1}{7} a^{9} + \frac{1}{7} a^{8} - \frac{1}{7} a^{6} + \frac{1}{7} a^{5} + \frac{2}{7} a^{4} - \frac{2}{7} a$, $\frac{1}{7} a^{28} + \frac{1}{7} a^{24} + \frac{3}{7} a^{23} - \frac{3}{7} a^{22} - \frac{2}{7} a^{21} + \frac{2}{7} a^{19} + \frac{2}{7} a^{18} + \frac{3}{7} a^{17} + \frac{3}{7} a^{16} - \frac{1}{7} a^{15} + \frac{2}{7} a^{14} - \frac{2}{7} a^{13} - \frac{2}{7} a^{12} + \frac{2}{7} a^{11} + \frac{1}{7} a^{10} - \frac{3}{7} a^{9} - \frac{1}{7} a^{8} + \frac{3}{7} a^{7} - \frac{2}{7} a^{6} - \frac{2}{7} a^{5} - \frac{1}{7} a^{4} - \frac{3}{7} a^{3} + \frac{1}{7} a^{2} - \frac{2}{7} a$, $\frac{1}{7} a^{29} - \frac{2}{7} a^{24} - \frac{1}{7} a^{23} + \frac{2}{7} a^{22} + \frac{2}{7} a^{21} + \frac{1}{7} a^{20} - \frac{1}{7} a^{19} - \frac{2}{7} a^{18} + \frac{2}{7} a^{17} - \frac{2}{7} a^{16} + \frac{3}{7} a^{15} - \frac{2}{7} a^{14} + \frac{2}{7} a^{13} + \frac{3}{7} a^{12} + \frac{1}{7} a^{11} - \frac{3}{7} a^{10} + \frac{2}{7} a^{9} + \frac{2}{7} a^{8} + \frac{2}{7} a^{7} + \frac{2}{7} a^{6} + \frac{2}{7} a^{5} + \frac{3}{7} a^{4} - \frac{2}{7} a^{3} + \frac{1}{7} a^{2} - \frac{2}{7} a$, $\frac{1}{763} a^{30} - \frac{29}{763} a^{29} + \frac{22}{763} a^{28} + \frac{4}{763} a^{27} - \frac{9}{763} a^{26} + \frac{31}{763} a^{25} - \frac{307}{763} a^{24} + \frac{323}{763} a^{23} - \frac{223}{763} a^{22} + \frac{54}{109} a^{21} + \frac{110}{763} a^{20} + \frac{292}{763} a^{19} + \frac{57}{763} a^{18} + \frac{257}{763} a^{17} - \frac{358}{763} a^{16} + \frac{72}{763} a^{15} - \frac{253}{763} a^{14} + \frac{215}{763} a^{13} - \frac{99}{763} a^{12} - \frac{50}{109} a^{11} - \frac{22}{763} a^{10} + \frac{360}{763} a^{9} - \frac{44}{763} a^{8} + \frac{40}{109} a^{7} - \frac{151}{763} a^{6} + \frac{264}{763} a^{5} + \frac{326}{763} a^{4} - \frac{355}{763} a^{3} + \frac{376}{763} a^{2} - \frac{349}{763} a - \frac{8}{109}$, $\frac{1}{763} a^{31} + \frac{53}{763} a^{29} - \frac{12}{763} a^{28} - \frac{2}{763} a^{27} - \frac{12}{763} a^{26} + \frac{47}{763} a^{25} + \frac{20}{109} a^{24} - \frac{339}{763} a^{23} - \frac{29}{109} a^{22} + \frac{9}{109} a^{21} - \frac{6}{763} a^{20} + \frac{132}{763} a^{19} + \frac{275}{763} a^{18} + \frac{17}{109} a^{17} - \frac{282}{763} a^{16} + \frac{200}{763} a^{15} - \frac{146}{763} a^{14} + \frac{32}{763} a^{13} - \frac{60}{763} a^{12} - \frac{362}{763} a^{11} + \frac{158}{763} a^{10} + \frac{41}{763} a^{9} + \frac{312}{763} a^{8} - \frac{45}{109} a^{7} + \frac{354}{763} a^{6} + \frac{25}{763} a^{5} - \frac{275}{763} a^{4} + \frac{13}{109} a^{2} + \frac{69}{763} a - \frac{14}{109}$, $\frac{1}{763} a^{32} - \frac{1}{763} a^{29} + \frac{31}{763} a^{28} - \frac{6}{763} a^{27} - \frac{3}{109} a^{26} + \frac{23}{763} a^{25} + \frac{18}{763} a^{24} + \frac{48}{109} a^{23} + \frac{219}{763} a^{22} - \frac{202}{763} a^{21} - \frac{139}{763} a^{20} - \frac{268}{763} a^{19} - \frac{68}{763} a^{18} + \frac{267}{763} a^{17} + \frac{208}{763} a^{16} - \frac{21}{109} a^{15} + \frac{34}{763} a^{14} - \frac{17}{109} a^{13} - \frac{20}{763} a^{12} - \frac{149}{763} a^{11} - \frac{101}{763} a^{10} - \frac{347}{763} a^{9} - \frac{163}{763} a^{8} + \frac{229}{763} a^{7} - \frac{38}{763} a^{6} + \frac{12}{763} a^{5} - \frac{165}{763} a^{4} - \frac{60}{763} a^{3} + \frac{306}{763} a^{2} - \frac{349}{763} a - \frac{12}{109}$, $\frac{1}{763} a^{33} + \frac{2}{763} a^{29} + \frac{16}{763} a^{28} - \frac{17}{763} a^{27} + \frac{2}{109} a^{26} + \frac{7}{109} a^{25} + \frac{29}{763} a^{24} - \frac{221}{763} a^{23} + \frac{338}{763} a^{22} + \frac{239}{763} a^{21} - \frac{158}{763} a^{20} + \frac{32}{109} a^{19} + \frac{324}{763} a^{18} - \frac{298}{763} a^{17} + \frac{258}{763} a^{16} + \frac{106}{763} a^{15} - \frac{372}{763} a^{14} + \frac{195}{763} a^{13} - \frac{248}{763} a^{12} + \frac{312}{763} a^{11} - \frac{369}{763} a^{10} + \frac{197}{763} a^{9} + \frac{185}{763} a^{8} + \frac{242}{763} a^{7} - \frac{139}{763} a^{6} + \frac{99}{763} a^{5} + \frac{38}{109} a^{4} - \frac{7}{109} a^{3} + \frac{27}{763} a^{2} + \frac{330}{763} a - \frac{8}{109}$, $\frac{1}{763} a^{34} - \frac{5}{109} a^{29} + \frac{48}{763} a^{28} + \frac{6}{763} a^{27} - \frac{6}{109} a^{26} - \frac{33}{763} a^{25} - \frac{152}{763} a^{24} + \frac{237}{763} a^{23} - \frac{296}{763} a^{22} - \frac{260}{763} a^{21} + \frac{113}{763} a^{20} - \frac{369}{763} a^{19} + \frac{351}{763} a^{18} + \frac{289}{763} a^{17} - \frac{268}{763} a^{16} + \frac{29}{763} a^{15} + \frac{47}{763} a^{14} - \frac{19}{109} a^{13} + \frac{183}{763} a^{12} - \frac{323}{763} a^{11} + \frac{241}{763} a^{10} + \frac{228}{763} a^{9} + \frac{221}{763} a^{8} - \frac{45}{763} a^{7} - \frac{362}{763} a^{6} - \frac{153}{763} a^{5} - \frac{156}{763} a^{4} + \frac{43}{109} a^{3} + \frac{2}{109} a^{2} + \frac{206}{763} a + \frac{16}{109}$, $\frac{1}{763} a^{35} + \frac{2}{109} a^{29} + \frac{13}{763} a^{28} - \frac{11}{763} a^{27} - \frac{3}{109} a^{26} - \frac{48}{763} a^{25} - \frac{53}{109} a^{24} + \frac{3}{7} a^{23} - \frac{31}{109} a^{22} + \frac{263}{763} a^{21} + \frac{211}{763} a^{20} + \frac{216}{763} a^{19} - \frac{5}{763} a^{18} + \frac{1}{109} a^{17} - \frac{293}{763} a^{16} + \frac{60}{763} a^{15} + \frac{24}{109} a^{14} - \frac{249}{763} a^{13} + \frac{136}{763} a^{12} - \frac{19}{763} a^{11} - \frac{106}{763} a^{10} - \frac{41}{763} a^{9} + \frac{159}{763} a^{8} - \frac{45}{763} a^{7} + \frac{12}{763} a^{6} + \frac{37}{763} a^{5} - \frac{170}{763} a^{4} - \frac{312}{763} a^{3} - \frac{41}{763} a^{2} - \frac{4}{763} a + \frac{47}{109}$, $\frac{1}{1370639588843} a^{36} + \frac{833090371}{1370639588843} a^{35} - \frac{556156977}{1370639588843} a^{34} + \frac{704988761}{1370639588843} a^{33} + \frac{648807200}{1370639588843} a^{32} + \frac{750279711}{1370639588843} a^{31} - \frac{712377978}{1370639588843} a^{30} + \frac{7689553381}{1370639588843} a^{29} - \frac{83682178585}{1370639588843} a^{28} - \frac{88840402270}{1370639588843} a^{27} + \frac{504445485}{195805655549} a^{26} + \frac{85862574660}{1370639588843} a^{25} + \frac{381333541629}{1370639588843} a^{24} + \frac{802953904}{1370639588843} a^{23} + \frac{204823429009}{1370639588843} a^{22} - \frac{149150188562}{1370639588843} a^{21} + \frac{74670012202}{195805655549} a^{20} + \frac{7003252694}{195805655549} a^{19} - \frac{604737816362}{1370639588843} a^{18} - \frac{345010856341}{1370639588843} a^{17} + \frac{426709361642}{1370639588843} a^{16} - \frac{639083872715}{1370639588843} a^{15} + \frac{91079744481}{195805655549} a^{14} + \frac{479531287259}{1370639588843} a^{13} + \frac{217261920087}{1370639588843} a^{12} + \frac{5196343346}{195805655549} a^{11} + \frac{613471234725}{1370639588843} a^{10} + \frac{610227836935}{1370639588843} a^{9} - \frac{111995596197}{1370639588843} a^{8} - \frac{540066546438}{1370639588843} a^{7} - \frac{394756406594}{1370639588843} a^{6} - \frac{92916546647}{1370639588843} a^{5} + \frac{518409606985}{1370639588843} a^{4} - \frac{469238922909}{1370639588843} a^{3} + \frac{239234853605}{1370639588843} a^{2} - \frac{79324356280}{195805655549} a - \frac{5044819}{66442367}$, $\frac{1}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{37} + \frac{3556828747950216746136650472575580770415541819557474779345733692782045957409170986190616911535794969360711563986628676437838207363699279734490696160576017821853205498406710301173250}{962686444645234232569679754188305682845934724640351592418529887493125724786245980017955732772623984020373176502885573561659287887351957345740391045737448131893482897209864376397459787503586552927} a^{36} - \frac{4332762078755426634920499243296901268874892548223107407506611065687522029591428818885447893162721990479024397196346876289854374459693557750058018077917321693472729230389084925670120516657250966}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{35} - \frac{2705337795998813727050398064512102877336785051655972597573383773530124408223678173467943942603731646397950385519503168847780058410689709496120170111623809491626491629095850134843060955925153545}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{34} - \frac{1974018831658733837589387404244620446288902033037844040554400562961512683642307559515686649062432043060841822471978241604124483398640084131554173791466727164211085446767709952150539295493398161}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{33} + \frac{45921212592251008966289569859110270820242132312933388826580386638974261845293464819865870100084432167648977732935831380535652043071186737241966763380920023074809821908859538039144342144714326}{962686444645234232569679754188305682845934724640351592418529887493125724786245980017955732772623984020373176502885573561659287887351957345740391045737448131893482897209864376397459787503586552927} a^{32} - \frac{3201146923261759126662254235375714028168500758805398056240311118420097956631389566643680920106032197580187454419293686947994982937593550137911946416816524446104724830111585550696798463478939154}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{31} - \frac{2566362384917198065105574152490688798057082296573022268640130289322394766933895288178662331033897524235765951913531386652655093253564018234945054161679271229395077303482501647702838431295681916}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{30} - \frac{240659080876530778024691762235181018581037620320366348043523798545631625728858678479578325575917737880289968294165168959759636737430529134317355828381946869071256414443223176535075607707158032201}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{29} - \frac{40741941127680758194910437957196447179356997292839833769990225304980884746855925556976785133857398575489836495593685645106216494486945678229380601529845896066355235143607554492192733832168945939}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{28} + \frac{286981562287672885858136019480843426684915626725737457982979090455666066887382247277935600185557783390483938079733850103678266283676530731670027018234792084046974896490082366806416721484058516379}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{27} + \frac{215836925692276532952593550512149164413751869784114201211115892562971926569848141135474525653429381638923405735671955430680562567972894398230715324439439492752767192502996088400587350680393004072}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{26} - \frac{1626763199612394264928595437659747575262339000896419501356602882823001774771527280137515981010447978440023326099269372990950158635033111566898178086781761488051401518289245299078601970797175504}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{25} - \frac{760564395404528784350913519709684133502044669664920420451551047424531217758271455787124620486766980663811099748845142144168170923439377293585658178822997625835505521899268433489014862926200082677}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{24} - \frac{587850855340836274619918966991990377477411685381617396862886084185601416222865883869286828357819848719012152492623869930171152450495300430394710248736676765844012072776253975994956960177697338070}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{23} - \frac{122226673653874778995398808823413206715078976877508784272270979434634331395327206464306304886454867045263437954426655093996266980519805012910169771765463497462779052200820064781894839445002526398}{962686444645234232569679754188305682845934724640351592418529887493125724786245980017955732772623984020373176502885573561659287887351957345740391045737448131893482897209864376397459787503586552927} a^{22} - \frac{1739886234280046874466857291332169878718433711168864281047250080050362540078802058249144460563901000493717616727399075351433309560961356406904608474212252171258898427505394011933642909213338027340}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{21} - \frac{16839438340106175161006634487937885423919035580162160345183444030841184066759208896025833890365509394859623289696563822537958472442519708713544021718838398097515613486799657586056792704073438574}{137526634949319176081382822026900811835133532091478798916932841070446532112320854288279390396089140574339025214697939080237041126764565335105770149391064018841926128172837768056779969643369507561} a^{20} - \frac{2123280705960649499205210849156042190409488645540551216356937748110835870473004047119660788222689078562590798580314936470299144483492576572418979312996117086648933288559183462545574310535094867340}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{19} + \frac{3026069840797475176766077340792168754882088401161879618308142669902616189500453337606086320889532182616566083515732152828559241566854845215409800579762884438503255027825286722157558986908220544880}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{18} + \frac{914481305420016096170135361473297393595834304723741585050935204426122565509826473974073489154133789494161437117548655047273863245467902359480305922940295424489502965382999646550299661697989649480}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{17} + \frac{68289258033796450705187783739971448746315413776266557832217823272284319028979537995328906537627462391875127937313064242947671506416410590115290816871826869483118268473472190588048859177955694777}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{16} - \frac{2609594547672320189754378510581325948722639844168567356455078591879753438018030161222150675500839294878084157783635764042409914991461016057799526792276984208760563984259917550498557133631556149558}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{15} + \frac{2358550614111579584704212155667951388574036702003879649663203559929338838231021628710757039373080852784007517852556776521238297201096535057639822872822198245972688314459120566579275997469245121800}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{14} + \frac{1677736443453874308357069883407790197223645668175693721565076742499471162444707526564495607636498356371932738219209137572194484756664231684285701092581004046854005658088602390752869946785633419834}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{13} + \frac{1426282013795959235925002302034850059438035047900759125194434619779686054177560090703391753494450347468060854872932923266128032876104231697265640896318144948518531297520512636846913749210570751542}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{12} - \frac{603760315493829821497528191089830425377291558081652863576253092370924099555372153621544971830799572062416145581266925366082119174176050295314035828369893527924100476606774466764727181565489929303}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{11} + \frac{289990825972837453278719629929541518456019261909261904830692295251971808175142136716603664370951711051221511430277383023996504641197635169321893997524374547273505415300193046994751946445705615371}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{10} - \frac{248512205363967576617315076243357267702363722443128499365839172437384303304956285821001256544129546937408407353876371829085794787926261224200708240358966961259289645711945887135602207248097903792}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{9} + \frac{1822241005048769015649514720465549909637978188767387869602308315600329452726302007597775519069011959280888356689736318389502440235193485702684774631070490997208738329003102259741317563338737368332}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{8} + \frac{1327424390111508819125039665056195089941403430149064009363498410712094161383125574274750638076576256257511361325589602594925253914519971463643572738445769011327143439791984489796231158232277117130}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{7} - \frac{37138800763431390221509505229288984900663860565811689406701664563765707725059850859241642967775147947980270046914674910684028686275320054104398044456273040397557250854236568076136289268622960372}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{6} - \frac{2800161758901708661470555361857974066584837068252439105745097817391011799699754674996545508226881012631124988126389386959816122168827624279976420514976588941243577756273886915238424799323327036687}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{5} - \frac{2618962589449037064674473038042827687516430415463455329149496610280092977736857760349052056930280019764202402092796541524598125509853922968361204680650528879099585517504815423175549992160687930218}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{4} - \frac{439026215408737789182703538452838972600303089985138967504037079593994343486596607888304234314887764855717728780187339144836520770712543795194502878967553988228971523976572962716761539767724692073}{962686444645234232569679754188305682845934724640351592418529887493125724786245980017955732772623984020373176502885573561659287887351957345740391045737448131893482897209864376397459787503586552927} a^{3} + \frac{1322679079307481116551203341753159817913504993464410049715039753916621650043702748707278767618292924907235954066962279663519047718117709164627805400656299597783286725391112847167361759535788088}{6738805112516639627987758279318139779921543072482461146929709212451880073503721860125690129408367888142612235520199014931615015211463701420182737320162136923254380280469050634782218512525105870489} a^{2} + \frac{3631489855123204348910656849751826226341095129067932070040069256237876362852507842761796159856633410713890432769281436597236647668142567257037175958872618062417597850378389367705801376077604567}{137526634949319176081382822026900811835133532091478798916932841070446532112320854288279390396089140574339025214697939080237041126764565335105770149391064018841926128172837768056779969643369507561} a - \frac{46686913285916914068931993530096023450399704670000681811270703786736497118336938506423756186791153772016611891570043502965186953816596336232748969577688651157054762350721127192301237193625099}{326666591328549111832263235218291714572763734184035151821693209193459696228790627763133943933703421791779157279567551259470406476875452102389002730145045175396499116800089710348646008654084341}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $37$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{573}) \), 19.19.114445997944945591651333831028437092270721.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $38$ R $38$ ${\href{/LocalNumberField/7.2.0.1}{2} }^{19}$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $38$ $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
191Data not computed